2021年河南省开封市高考数学三模试卷(理科)(附答案详解)

2021年河南省开封市高考数学三模试卷（理科）一、单选题（本大题共12小题，共60.0分）1.(2021·河南省开封市·模拟题)已知集合A={x||x−12|<12}，B={x|0<x<a}，若A⊆B，则实数a的范围是()A. (0,1)B. (0,1]C. (1,+∞)D. [1,+∞)2.(2021·河南省开封市·模拟题)设复数z满足|z|=|z−i|=1，且z的实部大于虚部，则z=()A. √32−12i B. √32+12i C. 12−√32i D. 12+√32i3.(2021·河南省开封市·模拟题)“方程x2m−1−y2m+2=1表示双曲线”的一个必要不充分条件为()A. m∈(−∞,−1)∪(1,+∞)B. m∈(−∞,−2)∪(1,+∞)C. m∈(−∞,−2)D. m∈(1,+∞)4.(2021·甘肃省武威市·模拟题)2021年开始，我省将试行“3+1+2“的普通高考新模式，即除语文数学、外语3门必选科目外，考生再从物理、历史中选1门，从化学、生物、地理、政治中选2门作为选考科目．为了帮助学生合理选科，某中学将高一每个学生的六门科目综合成绩按比例均缩放成5分制，绘制成雷达图．甲同学的成绩雷达图如图所示，下面叙述一定不正确的是()A. 甲的物理成绩领先年级平均分最多B. 甲有2个科目的成绩低于年级平均分C. 甲的成绩从高到低的前3个科目依次是地理化学、历史D. 对甲而言，物理、化学、地理是比较理想的一种选科结果5.(2021·江西省九江市·模拟题)已知sin2αsinα=√22，则cos2α=()A. −78B. −34C. 34D. 06.(2021·河南省开封市·模拟题)(a−x)(1+x)6的展开式中x的奇数次幂项的系数之和为64，则实数a=()7. (2021·河南省开封市·模拟题)已知函数f(x)=4cos(ωx+φ)e |x|(ω>0,0<φ<π)的部分图象如图所示，则ωϕ=( )A. 12B. 1C. 2D. 2π8. (2021·河南省开封市·模拟题)某几何体的三视图如图所示，关于该几何体有下述四个结论： ①体积可能是56； ②体积可能是23；③AB 和CD 在直观图中所对应的棱所成的角为π3； ④在该几何体的面中，互相平行的面可能有四对． 其中所有正确结论的编号是( )A. ①③B. ②④C. ①②③D. ①②③④9. (2021·河南省开封市·模拟题)若2a =5b =z c ，且1a +1b =1c ，则z 的值可能为( )A. √7B. √10C. 7D. 1010. (2021·河南省开封市·模拟题)如图，A ，B ，C 是半径为1的圆周上的点，且∠BAC =π3，AB +AC =√6，则图中阴影区域的面积为( )A. π3 B. π6C. π3+√34 π√311. (2021·河南省开封市·模拟题)某校组织甲、乙两个班的学生到“农耕村”参加社会实践活动，某天安排有酿酒、油坊、陶艺、打铁、纺织、竹编制作共六项活动可供选择，每个班上午、下午各安排一项活动(不重复)，且同一时间内每项活动都只允许一个班参加，则活动安排方案的种数为( )A. 126B. 360C. 600D. 63012. (2021·河南省开封市·模拟题)已知椭圆C ：x 2a 2+y 2b 2=1(a >b >0)的左、右焦点分别为F 1(−c,0)，F 2(c,0).若椭圆C 上存在一点P ，使得sin∠PF 2F1sin∠PF 1F 2=ca ，则椭圆C 的离心率的取值范围为( )A. (0,√22)B. (0,√2−1)C. (√2−1,1)D. (√22,1)二、单空题（本大题共4小题，共20.0分）13. (2021·河南省开封市·模拟题)已知{a n }为等差数列，且3a 5=2a 7，则a 1= ______ ． 14. (2021·河南省开封市·模拟题)已知向量a ⃗ ，b ⃗ 满足(a ⃗ −b ⃗ )⊥b ⃗ ，若|b ⃗ |=1，则a ⃗ 在b ⃗ 方向上的投影为______ ．15. (2021·河南省开封市·模拟题)在平面直角坐标系xOy 中，P 是曲线y =x 2+1x (x >0)上的一个动点，则点P 到直线y =x 的距离的最小值是______ ．16. (2021·河南省开封市·模拟题)农历五月初五是端午节，民间有吃粽子的习惯，粽子又称粽籺，古称“角黍”.如图，是由六个边长为3的正三角形构成的平行四边形形状的纸片，某同学将其沿虚线折起来，制作了一个粽子形状的六面体模型，则该六面体的体积为______ ；若该六面体内有一球，则该球体积的最大值为______ ．三、解答题（本大题共7小题，共82.0分）17. (2021·河南省开封市·模拟题)已知数列{a n }满足a 1=−2，a n+1=2a n +4．(1)求a 2，a 3，a 4；(2)猜想{a n }的通项公式并加以证明； (3)求数列{|a n |}的前n 项和S n ．18. (2021·河南省开封市·模拟题)如图，在四棱锥P −ABCD中，AB//CD ，且∠BAP =∠CDP =90°． (1)证明：AD ⊥CD ；(2)已知CD =PD =4，AB =AD =3，∠ADP =90°.在棱AB 上是否存在一点E ，使得平面PAD 与平面PCE 所成的锐二面角的余弦值为√33？若存在，求出AEEB 的值，若不存在，请说明理由．19. (2021·河南省开封市·模拟题)人耳的听力情况可以用电子测听器检测，正常人听力的等级为0−25dB(分贝)，并规定测试值在区间(0,5]为非常优秀，测试值在区间(5,10]为优秀.某班50名同学都参加了听力测试，将所得测试值制成如图频率分布直方图：(1)现从测试值在区间(0,10]内的同学中任意抽取4人，其中听力非常优秀的同学人数为X ，求X 的分布列与数学期望；(2)现选出一名同学参加另一项测试，测试规则如下：四个音叉的发音情况不同，由强到弱的编号分别为1，2，3，4.测试前将音叉顺序随机打乱，被测试的同学依次听完后，将四个音叉按发音由强到弱重新排序，所对应的音叉编号分别为a 1，a 2，a 3，a 4(其中a 1，a 2，a 3，a 4为1，2，3，4的一个排列).记Y =|1−a 1|+|2−a 2|+|3−a 3|+|4−a 4|，可用Y 描述被测试者的听力偏离程度，求Y ≤2的概率．20. (2021·河南省开封市·模拟题)已知抛物线C ：y 2=2px(p >0)的焦点为F ，P 是抛物线C 上一点，且满足FP ⃗⃗⃗⃗⃗ =(0,−2)． (1)求抛物线C 的方程；(2)已知直线l 与抛物线C 交于A ，B 两点，且|AB|=15，线段AB 的中点M 在直线x =1上． (ⅰ)求直线l 的方程；(ⅰ)证明：|FA ⃗⃗⃗⃗⃗ |，|FP ⃗⃗⃗⃗⃗ |，|FB ⃗⃗⃗⃗⃗ |成等差数列，并求该数列的公差．21. (2021·河南省开封市·模拟题)已知函数f(x)=lnxmx 2．(1)讨论f(x)的单调性；(2)若m =2，对于任意x 1>x 2>0，证明：(x 12⋅f(x 1)−x 22⋅f(x 2))⋅(x 12+x 22)>22. (2021·河南省开封市·模拟题)已知在平面直角坐标系xOy 中，直线l 的参数方程为{x =tcosαy =2+tsinα(t 为参数).以坐标原点O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C 的极坐标方程为ρ2=31+2sin 2θ． (1)求曲线C 的直角坐标方程；(2)设点P(0,2)，若直线l 与曲线C 交于不同的两点A ，B ，求|PA|+|PB|的取值范围．23. (2021·河南省开封市·模拟题)已知函数f(x)=|x −12|，g(x)=|x −1|．(1)求函数y =f(x)+g(x)的最小值；(2)已知θ∈[0,2π)，求关于θ的不等式f(sinθ)+g(cosθ)>52的解集．答案和解析1.【答案】D【知识点】集合的基本关系【解析】解：因为集合A={x||x−12|<12}={x|0<x<1}，又B={x|0<x<a}，当A⊆B，则有a≥1．故选：D．先利用含有绝对值的不等式的解法求出集合A，然后由子集的定义求解即可．本题考查了集合子集的理解和应用，涉及了含有绝对值的不等式的解法，属于基础题．2.【答案】B【知识点】复数的模【解析】解：设z=a+bi，(a,b∈R)，∵复数z满足|z|=|z−i|=1，∴√x2+y2=1，√x2+(y−1)2=1，即x2+y2=1，x2+y2−2y=0，解得y=12，x=±√32，∵z的实部大于虚部，∴x=√32，∴z=√32+12i，故选：B．设z=a+bi，(a,b∈R)，由复数z满足|z|=|z−i|=1，利用模的计算公式可得关于x，y的方程组，进而得出结论．本题考查了复数的运算法则、模的计算公式，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．3.【答案】A【知识点】必要条件、充分条件与充要条件的判断、双曲线的性质及几何意义【解析】解：方程x2m−1−y2m+2=1为双曲线时，(m+2)(m−1)>0∴m∈(−∞,−2)∪(1,+∞)，“方程x2m−1−y2m+2=1表示双曲线”的一个必要不充分条件为m∈(−∞,−1)∪(1,+∞)．故选：A．利用双曲线的定义求出m的范围，再根据子集的包含关系判断即可．本题考查了充分必要条件的判断，考查了双曲线的定义，属于基础题．4.【答案】C【知识点】合情推理（归纳、类比推理）【解析】【分析】本题考查对图表数据的分析，进行判断，属于基础题．根据图表进行选项判断，可知C错误．【解答】解：甲的成绩从高到低的前3个科目依次是地理、化学、生物(物理)，C选项错，故选：C．5.【答案】B【知识点】二倍角公式及其应用【解析】【分析】由已知结合二倍角正弦公式进行化简可求cosα，然后结合二倍角余弦公式即可求解．本题主要考查了二倍角正弦及余弦公式，属于基础题．【解答】解：因为sin2αsinα=√22=2sinαcosαsinα，所以cosα=√24，则cos2α=2cos2α−1=2×18−1=−34．故选：B．6.【答案】B【解析】解：∵(a−x)(1+x)6的展开式中x的奇数次幂项的系数之和为64，设f(x)=(a−x)(x+1)6=a0+a1x+a2x2+⋯+a6x6+a6x7，令x=1，则f(1)=a0+a1+a2+a3+a4+a5+a6+a7=(a+1)(1−1)5=64(a−1)，①令x=−1，则f(−1)=a0−a1+a2−a3+a4−a5+a6−a7=(a−1)(−1−1)5=0；②①−②得，2(a1+a3+a5+a7)=64(a−1)，∴a1+a3+a5+a7=32(a−1)=64，解得a=3，故选：B．设出解析式，给展开式中的x分别赋值1，−1，可得两个等式，两式相减，再除以2得到答案．本题考查了二项式展开式的系数问题，可设出解析式，用赋值法代入特殊值，相加或相减即可，属于中档题．7.【答案】C【知识点】函数图象的作法、函数y=A sin(ωx+φ)的图象与性质【解析】解：由f(0)=0得：4cosφ=0，又0<φ<π，∴φ=π2，由图象可知，y=4cos(ωx+π2)的周期为2，∴T=2πω=2，∴ω=π，∴ωϕ=ππ2=2，故选：C．由f(0)=0，0<φ<π，可求得φ=π2，由图象可知，y=4cos(ωx+π2)的周期为2，可求得ω，从而可得答案．本题考查由函数f(x)=Asin(ωx+φ)的部分图象确定解析式，考查识图与运算能力，属于中档题．8.【答案】D【解析】解：由三视图可画出直观图如下图：如图1，V=13−13×12×1×1×1=56，故①正确；如图2，V=13−2×13×12×1×1×1=23，故②正确；如上图，AB和CD在直观图中所对应的棱分别为EF和FG，由△EFG为正三角形，可知AB和CD在直观图中所对应的棱所成的角为π3，故③正确；如上图，平面ABCD//平面B1C1D1，面ADD1//面BCC1B1，面ABB1//面DCC1D1，面AB1D1//面BC1D，故④正确，故选：D．根据三视图画出直观图后即可对四个选项逐一进行判断．本题考查了空间位置关系及其判断、简易逻辑的判定方法，考查了了推理能力与计算能力，属于基础题．9.【答案】D【解析】解：设2a=5b=z c=k，则a=log2k，b=log5k，c=log z k，∴1a +1b=1log2k+1log5k=log k2+log k5=log k(2×5)=log k10=1c=log k z，∴z=10，故选：D．设2a=5b=z c=k，转化为对数式即可解决此题．本题考查对数式与指数式互化、导数运算，考查数学运算能力，属于基础题．10.【答案】A【知识点】弧长公式与扇形面积公式【解析】解：取圆心为O，连结OA，OB，OC，BC，因为∠BAC=π3，所以∠BOC=2π3，则∠OBC=∠OCB=π6，所以BC=2BOcosπ6=√3，在△ABC中，由余弦定理可得BC2=AC2+AB2−2AC⋅AB⋅cosπ3=(AC+AB)2−3AC⋅AB，因为AB+AC=√6，所以3=(√6)2−3AC⋅AB，解得AC⋅AB=1，所以S△ABC=12⋅AC⋅AB⋅sinπ3=√34，S△OBC=12⋅OB⋅OC⋅sin2π3=√34，扇形OBC的面积为S=12⋅2π3×12=π3，所以图中阴影区域的面积为S△ABC+S扇形OBC −S△OBC=√34+π3−√34=π3．故选：A．取圆心为O，连结OA，OB，OC，BC，在△ABC中，由余弦定理求出AC⋅AB，然后求出△ABC，△OBC以及扇形OBC的面积，即可得到答案．本题考查了扇形面积公式的运用，余弦定理的运用，考查了逻辑推理能力与运算能力，属于中档题．11.【答案】D【知识点】排列、组合的综合应用【解析】解：第一类，上下午共安排4个活动(上午2个，下午2个)分配给甲，乙，故有A62A42=360种，第二类，上下午共安排3个活动，(上午2个下午1个，或上午1个下午2个)分配给甲，乙，故有A62A41A21=240第三类，上下午共安排2个活动，(上午1个，下午1个)分配给甲，乙，故有A62=30种，根据分类计数原理，共有360+240+30=630种．故选：D．由题意，根据场次需要分三类，第一类，上下午共安排4个活动，第二类，上下午共安排3个活动，第三类，上下午共安排2个活动，根据分类计数原理可得．本题考查分类和分步计数原理，关键是分类，类中有步，属于中档题．12.【答案】C【知识点】双曲线的性质及几何意义【解析】解：在△PF1F2中，由正弦定理知sin∠PF2F1sin∠PF1F2=|PF1||PF2|，∵sin∠PF2F1 sin∠PF1F2=ca，∴|PF1||PF2|=ca=e，即|PF1|=e|PF2|，①又∵P在椭圆上，∴|PF1|+|PF2|=2a，②联立①②得|PF2|=2ae+1∈(a−c,a+c)，即a−c<2ae+1<a+c，同除以a得，1−e<2e+1<1+e，得√2−1<e<1．∴椭圆C的离心率的取值范围为(√2−1,1)．故选：C．在△PF1F2中，利用正弦定理、椭圆的定义及已知条件可得|PF2|=2ae+1，再由|PF2|∈(a−c,a+c)，即可求解椭圆的离心率的取值范围．本题考查椭圆的离心率的取值范围，考查正弦定理、椭圆的定义的应用，考查运算求解能力，属于中档题．13.【答案】0【知识点】等差数列的通项公式【解析】解：设等差数列{a n}的公差为d，由3a5=2a7，得2a5+a5=2(a5+2d)，则a5=4d；又a5=a1+4d，所以a1=0．故答案为：0．令{a n}是以d为公差的等差数列，又3a5=2a7，可得2a5+a5=2(a5+2d)，那么a5= 4d；又根据a5=a1+4d即可确定a1的值．本题主要考查等差数列的通项，考查运算求解能力，属于简单题．14.【答案】1【知识点】向量的数量积【解析】解：∵(a⃗−b⃗ )⊥b⃗ ，∴(a⃗−b⃗ )⋅b⃗ =0，∴a⃗⋅b⃗ −|b⃗ |2=0，∵|b⃗ |=1，∴a⃗⋅b⃗ =1，∴a⃗在b⃗ 方向上的投影为：|a⃗|cos<a⃗,b⃗ >=a⃗ ⋅b⃗|b⃗|=11=1，故答案为：1．利用向量垂直与数量积的关系，可推得a⃗⋅b⃗ =1，再结合向量的投影公式，即可求解．本题考查了向量垂直与数量积的关系、以及向量之间的投影问题，需要学生熟练掌握公式，属于基础题．15.【答案】√22【知识点】导数的几何意义、点到直线的距离公式【解析】解：原问题可转化为曲线在点P处与直线y=x平行的切线，与直线y=x之间的距离，因为y=x2+1x ，所以y′=2x−1x2，因为在点P的切线与直线y=x平行，所以y′=2x−1x2=1(x>0)，所以x=1，将其代入曲线方程，得y=1+1=2，即点P的坐标为(1,2)，所以点P到直线y=x的距离的最小值是d=√2=√22．故答案为：√22．原问题可转化为曲线在点P处与直线y=x平行的切线，与直线y=x之间的距离，再结合导数的运算法则求出点P的坐标，然后利用点到直线的距离公式，得解．本题考查利用导数研究函数的切线方程问题，点到直线的距离，熟练掌握导数的运算法则和点到直线的距离公式是解题的关键，考查逻辑推理能力和运算能力，属于中档题．16.【答案】9√228√6 27π【知识点】球的表面积和体积【解析】解：该六面体是由两个全等的正四面体组合而成，正四面体的棱长为3，如图，在棱长为3的正四面体S−ABC中，取BC的中点D，连接SD，AD，作SO⊥平面ABC，垂足O在AD上，则AD=SD=3√32,OD=13AD=√32,SO=√SD2−OD2=√6，∴该六面体的体积为V=2V S−ABC=2×13×12×3×3√32×√6=9√22，当该六面体内有一球，且该球的体积取得最大值时，球心为O，且该球与SD相切，过球心O作OE⊥SD，则OE就是球的半径，∵SO×OD=SD×OE，∴OE=SO×ODSD =√6×√323√32=√63，∴该球体积的最大值为V=4π3×(√63)3=8√627π．故答案为：9√22；8√627π．画出几何体的图形，取BC中点D，连接SD，AD，作SO⊥平面ABC，垂足O在AD上，然后求解六面体的体积，当该六面体内有一球，且该球的体积取得最大值时，球心为O，且该球与SD相切，求出球的半径即可求得此时的体积．本题考查六面体体积以及球的体积计算，解题关键是求出正四面体的高SO以及利用截面将空间问题平面化，从而找到并求出半径OE，考查空间想象能力及运算求解能力，属于中档题．17.【答案】解：(1)由已知，易得a2=0，a3=4，a4=12．(2)猜想a n=2n−4．因为a n+1=2a n+4，所以a n+1+4=2(a n+4)，a n+1+4a n+4=2，则{a n+4}是以2为首项，以2为公比的等比数列，所以a n+4=2n，所以=a n=2n−4．(3)当n=1时，a1=−2<0，S1=|a1|=2；当n ≥2时，a n ≥0，所以S n =−a 1+a 2+⋯+a n =2+(22−4)+⋯+(2n −4)=2+22+⋯+2n −4(n −1)=2(1−2n )1−2−4(n −1)=2n+1−4n +2，又n =1时满足上式．所以，当n ∈N ∗时，S n =2n+1−4n +2．【知识点】数列求和方法【解析】(1)直接利用数列的递推关系式求出数列的各项； (2)利用猜想和关系式的变换求出数列的通项公式； (3)利用分类讨论法的应用求出数列的和．本题考查的知识要点：数列的递推关系式，数列的求和，分类讨论法的求和，主要考查学生的运算能力和数学思维能力，属于基础题．18.【答案】(1)证明：因为∠BAP =∠CDP =90°，所以AB ⊥AP ，CD ⊥PD ，又AB//CD ，故CD ⊥AP ， 又因为AP ∩PD =P ，AP ，PD ⊂平面PAD ， 所CD ⊥平面PAD ，又AD ⊂平面PAD ， 所以CD ⊥AD ；(2)解：假设在棱AB 上存在一点E ，使得平面PAD 与平面PCE 所成的锐二面角的余弦值为√33，由已知∠ADP =90°，结合(1)可得DA ，DC ，DP 两两垂直，以D 为原点，以DA ，DC ，DP 所在直线分别为x ，y ，z 轴建立空间直角坐标系D −xyz ， 令AE =a ，则A(3,0，0)，C(0,4，0)，P(0,0，4)，E(3,a ，0)， 所以PC⃗⃗⃗⃗⃗ =(0,4,−4)，PE ⃗⃗⃗⃗⃗ =(3,a,4)， 则平面PAD 的法向量为m⃗⃗⃗ =(0,1,0)， 设平面PCE 的法向量为n⃗ =(x,y,z)， 则{n ⃗ ⋅PC ⃗⃗⃗⃗⃗ =0n ⃗ ⋅PE ⃗⃗⃗⃗⃗ =0，即{4y −4z =03x +ay −4z =0， 令z =1，所以n⃗ =(4−a 3,1,1)，故cos <m ⃗⃗⃗ ,n ⃗ >=m ⃗⃗⃗ ⋅n ⃗⃗|m ⃗⃗⃗ |⋅|n ⃗⃗ |=1√2+(4−a 3)2=√33，解得a =1(舍去a =7)，则AE =1，所以AE EB =12．【知识点】线面垂直的判定、利用空间向量求线线、线面和面面的夹角【解析】(1)利用线面垂直的判定定理可得CD ⊥平面PAD ，由线面垂直的性质定理即可证明；(2)假设在棱AB 上存在一点E ，使得平面PAD 与平面PCE 所成的锐二面角的余弦值为√33，建立合适的空间直角坐标系，设AE =a ，求出所需点的坐标和向量的坐标，然后利用待定系数法求出平面PCE 的法向量，由向量的夹角公式列出关于a 的方程，求解即可得到答案．本题考查了立体几何的综合应用，涉及了线面垂直的判定定理和性质定理的应用，在求解有关空间角问题的时候，一般会建立合适的空间直角坐标系，将空间角问题转化为空间向量问题进行研究，属于中档题．19.【答案】解：(1)听力等级为(0,5]的有0.016×5×50=4人，听力等级为(5,10]的有0.024×5×50=6人， 则X 的所有可能取值为0，1，2，3，4，所以P(X =0)=C 64C 104=15210=114， P(X =1)=C 41C 63C 104=80210=821， P(X =2)=C 42C 62C 104=90210=37， P(X =3)=C 43C 61C 104=24210=435，P(X =4)=C 44C 104=1210，所以X 的分布列为：则X 的数学期望为E(X)=0×114+1×821+2×37+3×435+4×1210=1.6； (2)序号a 1，a 2，a 3，a 4的排列总数为A 44=24种， 当Y =0时，a 1=1，a 2=2，a 3=3，a 4=4，当Y =|1−a 1|+|2−a 2|+|3−a 3|+|4−a 4|=2时，a 1，a 2，a 3，a 4的取值为a 1=1，a 2=2，a 3=4，a 4=3或a 1=1，a 2=3，a 3=2，a 4=4或a 1=2，a 2=1，a 3=3，a 4=4，所以Y ≤2时，序号a 1，a 2，a 3，a 4对应的情况为4种， 所以P(Y ≤2)=424=16．【知识点】离散型随机变量的期望与方差、频率分布直方图、离散型随机变量及其分布列【解析】(1)先求出听力等级为(0,5]，(5,10]的人数，求出随机变量X 的可能取值，然后求出其对应的概率，列出分布列，由数学期望的计算公式求解即可； (2)利用随机变量的定义以及古典概型的概率公式求解即可．本题考查了离散型随机变量及其分布列和离散型随机变量期望的求解与应用，古典概型概率公式的运用，考查了逻辑推理能力与化简运算能力，属于中档题．20.【答案】(1)解：由题可知，F(p2,0)，设点P(x 0,y 0)，因为FP ⃗⃗⃗⃗⃗ =(0,−2)，即(x 0−p2,y 0)=(0,−2)， 所以x 0=p2，y 0=−2，故P(p 2,−2)， 将点P 代入y 2=2px ，得4=p 2， 又因为p >0，所以p =2， 所以抛物线C 的方程为y 2=4x ；(2)(i)解：若直线l 斜率不存在，则直线l ：x =1，此时|AB|=4≠√15， 故直线l 斜率存在，设直线l ：y =kx +m ，联立方程组{y =kx +m y 2=4x ，消去y 得，k 2x 2+(2km −4)x +m 2=0，满足△=(2km −4)2−4k 2m 2=16(1−km)>0，即km <1， 设点A(x 1,y 1)，B(x 2,y 2)， 则x 1+x 2=4−2km k 2，x 1x 2=m 2k 2，所以|AB|=√1+k 2|x 1−x 2|=√1+k 24√1−km k 2=√15①，又因为线段AB 的中点M 在直线x =1上， 所以x 1+x 2=4−2km k 2=2②，由①式与②式联立可得k =±2， 当k =2时，m =−1，满足km <1； 当k =−2时，m =1，满足km <1，所以直线l 的方程为y =2x −1或y =−2x +1；(ii)证明：由(i)可知，直线l 与抛物线C 联立方程，消去y 可得4x 2−8x +1=0， 所以x 1+x 2=2，x 1x 2=14，故|FA ⃗⃗⃗⃗⃗ |+|FB ⃗⃗⃗⃗⃗ |=x 1+x 2+2=4，|FP ⃗⃗⃗⃗⃗ |=2， 则|FA ⃗⃗⃗⃗⃗ |+|FB ⃗⃗⃗⃗⃗ |=2|FP⃗⃗⃗⃗⃗ |， 所以|FA ⃗⃗⃗⃗⃗ |，|FP ⃗⃗⃗⃗⃗ |，|FB ⃗⃗⃗⃗⃗ |成等差数列，又因为公差d 满足2d =|FB⃗⃗⃗⃗⃗ |−|FA ⃗⃗⃗⃗⃗ |=x 2−x 1， 因为|x 2−x 1|=√(x 1+x 2)2−4x 1x 2=√3， 所以2d =±√3，故数列的公差d =±√32．【知识点】抛物线的性质及几何意义【解析】(1)设点P 的坐标，利用向量FP ⃗⃗⃗⃗⃗ 的坐标，求出点P 代入抛物线方程，即可求出p 的值，从而得到抛物线的方程；(2)(i)判断直线l 斜率存在，设直线l 的方程，与抛物线联立方程组，通过△>0，求出km <1，利用弦长公式结合韦达定理，利用线段AB 的中点M 在直线x =1上，求解即可得到答案；(ii)利用(i)中的结果，x 1+x 2=2，x 1x 2=14，得到|FA ⃗⃗⃗⃗⃗ |+|FB ⃗⃗⃗⃗⃗ |,FP ⃗⃗⃗⃗⃗ ，再利用|FA ⃗⃗⃗⃗⃗ |，|FP ⃗⃗⃗⃗⃗ |，|FB ⃗⃗⃗⃗⃗ |成等差数列，分析求解即可得到答案．本题考查了抛物线标准方程的求解、直线与抛物线位置关系的应用，在解决直线与圆锥曲线位置关系的问题时，一般会联立直线与圆锥曲线的方程，利用韦达定理和“设而不求”的方法进行研究，属于中档题．21.【答案】解：(1)f(x)=lnx mx 2的定义域为(0,+∞)，f′(x)=1−2lnx mx 3，当m >0时，f′(x)>0⇒0<x <√e ，此时f(x)在(0,√e)上单调递增， f′(x)<0⇒x >√e ，此时f(x)在(√e,+∞)上单调递减，当m <0时，f′(x)>0⇒x >√e ，此时f(x)在(√e,+∞)上单调递增， f′(x)<0⇒0<x <√e ，此时f(x)在(0,√e)上单调递减；综上可知：当m >0时，f(x)的增区间是(0,√e)，减区间是(√e,+∞)； 当m <0时，f(x)的增区间是(√e,+∞)，减区间是(0,√e)．(2)证明：由m =2，f(x)=lnx 2x 2，(x 12⋅f(x 1)−x 22⋅f(x 2))⋅(x 12+x 22)=12(lnx 1−lnx 2)⋅(x 12+x 22)，由于x 1>x 2>0，所以x 1x 2−x 22>0.设t =x1x 2>1，故：(x 12⋅f(x 1)−x 22⋅f(x 2))⋅(x 12+x 22)>x 1x 2−x 22⇔lnx 1−lnx 2>2(x 1x 2−x 22)x 12+x 22⇔ln x 1x 2>2(x 1x 2−1)1+(x 1x 2)2⇔lnt >2(t−1)1+t 2(t >1)⇔lnt −2(t−1)1+t 2>0(t >1)，令φ(t)=lnt −2(t−1)1+t 2，则φ′(t)=(t 2−1)(t 2+2t−1)t(t 2+1)2，由于t >1，故φ′(t)=(t 2−1)(t 2+2t−1)t(t 2+1)2>0，则φ(t)=lnt −2(t−1)1+t 2在(1,+∞)上单调递增，故φ(t)>φ(1)=0，即：所证不等式(x 12⋅f(x 1)−x 22⋅f(x 2))⋅(x 12+x 22)>x 1x 2−x 22成立．【知识点】利用导数研究闭区间上函数的最值、利用导数研究函数的单调性 【解析】(1)求出函数的导数，通过讨论m 的范围，求出函数的单调区间即可；(2)设t =x1x 2>1，问题转化为lnt −2(t−1)1+t 2>0(t >1)，令φ(t)=lnt −2(t−1)1+t 2，求出函数的导数，根据函数的单调性证明即可．本题考查了函数的单调性，最值问题，考查导数的应用以及函数恒成立问题，考查不等式的证明以及转化思想，是难题．22.【答案】解：(1)曲线C 的极坐标方程为ρ2=31+2sin 2θ，整理得ρ2+2ρ2sin 2θ=3，根据{x =ρcosθy =ρsinθx 2+y 2=ρ2，整理得x 2+3y 2=3，化简得曲线C 的直角坐标方程为x 23+y 2=1．(2)联立直线l 的参数方程与曲线C 的直角坐标方程得：(tcosα)2+3(2+tsinα)2=3， 化简得(1+2sin 2α)t 2+12tsinα+9=0， 则t 1+t 2=−12sinα1+2sin 2α，t 1t 2=91+2sin 2α>0，且△=144sin 2α−36(1+2sin 2α)>0，2sin 2α−1>0， 则有|sinα|∈(√22,1],则|PA|+|PB|=|t 1+t 2|=12|sinα|1+2sin 2α，令m =|sinα|∈(√22,1]，有|PA|+|PB|=121m+2m ∈[4,3√2),所以|PA|+|PB|的取值范围为[4,3√2)．【知识点】简单曲线的极坐标方程、曲线的参数方程【解析】(1)直接利用转换关系，在参数方程极坐标方程和直角坐标方程之间进行转换； (2)利用一元二次方程根和系数关系式的应用和三角函数的关系式的变换的应用求出结果．本题考查的知识要点：参数方程极坐标方程和直角坐标方程之间的转换，三角函数的关系式的变换，一元二次方程根和系数关系式的应用，主要考查学生的运算能力和数学思维能力，属于基础题．23.【答案】解：(1)由已知可得y =f(x)+g(x)=|x −12|+|x −1|≥|(x −12)−(x −1)|=12， 当且仅当(x −12)−(x −1)≤0即12≤x ≤1时等号成立， 所以函数y =f(x)+g(x)的最小值为12．(2)由已知|sinθ−12|+|cosθ−1|>52，原不等式可化为|sinθ−12|−cosθ>32， ①当sinθ≥12时，θ∈[π6,5π6]，原不等式化为sinθ−cosθ>2，此时无解，②当sinθ<12时，θ∈[0,π6)∪(5π6,2π)，原不等式化为sinθ+cosθ<−1，即sin(θ+π4)<−√22，所以5π4<θ+π4<7π4，π<θ<3π2，综上所述，不等式的解集为(π,3π2).【知识点】函数的最值、不等式和绝对值不等式 【解析】(1)利用绝对值不等式的性质即可求解．(2)利用正弦，余弦函数的图象与性质，去掉绝对值转化为解三角不等式即可． 本题考查含有绝对值的函数，着重考查了绝对值的含义、解法和最值问题，属于中档题．。