高二下册第11章《坐标平面上的直线》知识点梳理
高中数学直线知识总结归纳
高中数学直线知识总结归纳直线是几何学中最基础的图形之一，它在高中数学中有着重要的作用。
本文将对高中数学直线知识进行总结归纳，帮助同学们更好地理解和掌握直线的相关概念、性质和应用。
1. 直线的基本概念直线是由无限多个点组成的，它没有宽度和长度；直线上的任意两个点可以确定一条直线。
2. 直线的表示方法在直角坐标系中，直线可以用解析式表示。
一般地，直线的解析式可以表示为y = kx + b，其中k为斜率，b为截距。
当k=0时，直线为水平线；当k不存在时，直线为垂直线。
3. 直线的斜率直线的斜率用来描述其倾斜程度。
斜率的计算公式为k = (y₂-y₁)/(x₂-x₁)，其中(x₁, y₁)和(x₂, y₂)为直线上的两个点。
斜率可以用来判断直线的方向、倾斜程度以及与其他直线的关系。
4. 直线的截距直线在坐标系中与坐标轴的交点称为截距。
直线与x轴的交点的纵坐标为y轴截距，与y轴的交点的横坐标为x轴截距。
通过截距可以确定直线在坐标系中的位置和方向。
5. 直线的性质（1）平行线的性质：平行线具有相同的斜率，不会相交。
（2）垂直线的性质：垂直线的斜率之积为-1，两直线相交成直角。
（3）相交线的性质：两条直线相交于一点，则它们的斜率不相等。
6. 直线的方程（1）一般式方程：直线的一般式方程为Ax + By + C = 0，其中A、B、C为常数，且A和B不全为零。
（2）截距式方程：直线的截距式方程为x/a + y/b = 1，其中a为x轴截距，b为y轴截距。
（3）点斜式方程：已知直线上一点P(x₁, y₁)和直线的斜率k，则可得到直线的点斜式方程为y-y₁ = k(x-x₁)。
（4）斜截式方程：已知直线的斜率k和与y轴的截距b，可以得到直线的斜截式方程为y = kx + b。
7. 直线的应用直线在几何学和实际问题中有广泛的应用。
其中包括直线的长度计算、直线的位置判断、直线的平移和旋转、直线的交点计算等等。
总结一下，高中数学中直线的知识点较为基础但也是重要的。
高二直线知识点
高二直线知识点1、直线的倾斜角：（1）定义：在平面直角坐标系中，对于一条与x 轴相交的直线l ，如果把x 轴绕着交点按逆时针方向转到和直线l 重合时所转的最小正角记为α，那么α就叫做直线的倾斜角。
当直线l 与x 轴重合或平行时，规定倾斜角为0；（2）倾斜角的范围[)π,0。
如（1）直线023cos =-+y x θ的倾斜角的范围是__ __；（2）过点),0(),1,3(m Q P -的直线的倾斜角的范围m 那么],32,3[ππα∈值的范围是__2、直线的斜率：（1）定义：倾斜角不是90°的直线，它的倾斜角的正切值叫这条直线的斜率k ，即k ＝tan α(α≠90°)；倾斜角为90°的直线没有斜率；（2）斜率公式：经过两点111(,)P x y 、222(,)P x y 的直线的斜率为()212121x x x x y y k ≠--=；（3）直线的方向向量(1,)a k = ，直线的方向向量与直线的斜率有何关系？（4）应用：证明三点共线： AB BC k k =。
如(1) 两条直线钭率相等是这两条直线平行的____________条件；（2）实数,x y 满足3250x y --= (31≤≤x )，则xy 的最大值、最小值分别为______3、直线的方程：（1）点斜式：已知直线过点00(,)x y 斜率为k ，则直线方程为00()y y k x x -=-,它不包括垂直于x 轴的直线。
（2）斜截式：已知直线在y 轴上的截距为b 和斜率k ，则直线方程为y kx b =+,它不包括垂直于x 轴的直线。
（3）点方向式：已知直线的一个方向向量为()(),0,0d u v u v =≠≠ ,00(,)P x y 则直线方程为00x x y y u v --=，它不包括垂直于坐标轴的直线和过原点的直线。
（4）两点式：已知直线一个法向量为(),n a b = ,经过00(,)P x y 则直线方程为()()000a x x b y y -+-=。
沪教版第11章_坐标平面上的直线_111(2)_直线的点法向式方程(有答案)
沪教版(上海某校高二第二学期新高考辅导与训练第11章坐标平面上的直线 11.1（2）直线的点法向式方程一、填空题1. 写出直线的一个法向量________．二、解答题已知正方形的两个顶点，求边所在直线的点法向式方程．三、填空题过点，一个法向量是的直线的点法向式方程是________．已知两点，则线段的中垂线的点法向式方程是________．若直线经过两点，且它的一个法向量，则的值是________．直线的一个法向量是，则的值是________．若直线过点，且它的法向量与直线的法向量平行，则直线的点法向式方程是________．四、多选题直线经过点，且一个方向向量是，则直线的点法向式方程是()A. B.C. D.五、单选题若，且分别是直线的法向量，则的值分别可以是() A.1，2 B.2，1 C. D.参考答案与试题解析沪教版(上海某校高二第二学期新高考辅导与训练第11章坐标平面上的直线 11.1（2）直线的点法向式方程一、填空题1.【答案】此题暂无答案【考点】直线较向量熔程【解析】此题暂无解析【解答】此题暂无解答二、解答题【答案】此题暂无答案【考点】直线的都特式方程直线的验我式方程直线的较般式划程皮直校的垂直关系【解析】此题暂无解析【解答】此题暂无解答三、填空题【答案】此题暂无答案【考点】直线的都特式方程直线的验我式方程直线的都特式方程【解析】此题暂无解析【解答】此题暂无解答【答案】此题暂无答案【考点】与直线表于抛制直线析称的直线方程中点较标公洗直线的都特式方程【解析】此题暂无解析【解答】此题暂无解答【答案】此题暂无答案【考点】数量积常断换个平只存量的垂直关系【解析】此题暂无解析【解答】此题暂无解答【答案】此题暂无答案【考点】直线的来程的阿念【解析】此题暂无解析【解答】此题暂无解答【答案】此题暂无答案【考点】直线的都特式方程直线的水根式方务式直线的平行关系直线的较般式划程皮直校的垂直关系【解析】此题暂无解析【解答】此题暂无解答四、多选题【答案】此题暂无答案【考点】直体的氯率直线的都特式方程直线于倾斜落【解析】此题暂无解析【解答】此题暂无解答五、单选题【答案】此题暂无答案【考点】二次表数擦应用函根的萄送木其几何意义勾体定展【解析】此题暂无解析【解答】此题暂无解答。
高中直线知识点总结
高中直线知识点总结直线是初中数学中的基础概念之一，随着升入高中，对直线的研究也进一步深入。
下面是对高中直线知识点的总结，希望能够对你的学习有所帮助。
一、直线的定义和基本性质1. 直线的定义：直线是由无数个点按一定的方向延伸，同时无限延伸的图形。
2. 直线的特点：直线上的任意两点可以确定一条唯一的直线，直线上的任意一点可以与直线上的其他点连成的线段的延长线。
3. 直线的符号表示：可以用一个小写字母加上一个横线来表示直线，如l表示直线。
4. 直线的分类：直线可以分为水平线、垂直线、倾斜线等多种类型。
二、直线的方程及表示方法1. 直线的一般方程：一般地，直线上的点的坐标(x, y)应满足直线的一般方程Ax+By+C=0，其中A、B、C均为实数且A和B不同时为0。
2. 直线的斜截式方程：斜截式方程是直线上的点的坐标(x, y)满足y=kx+b，其中k为直线的斜率，b为直线和y轴的交点的纵坐标。
3. 直线的截距式方程：截距式方程是直线上的点的坐标(x, y)满足x/a+y/b=1，其中a和b分别是直线与x轴和y轴的截距。
4. 直线的点斜式方程：点斜式方程是直线上的点的坐标(x, y)满足y-y1=k(x-x1)，其中(x1, y1)是直线上的一点，k为直线的斜率。
三、直线的斜率和倾斜角1. 斜率的定义：直线上两点A(x1, y1)和B(x2, y2)之间的斜率k 定义为k=(y2-y1)/(x2-x1)，其中(x1, y1)和(x2, y2)是直线上的任意两点。
2. 斜率的性质：斜率k=0时，直线水平；斜率k不存在时，直线垂直；斜率为正时，直线向右上倾斜；斜率为负时，直线向右下倾斜。
3. 倾斜角的定义：倾斜角是直线与x轴正方向的夹角，它的范围为[0, π]。
4. 倾斜角的计算：倾斜角可以通过斜率的正切值来计算，即倾斜角θ=arctan(k)，其中k为直线的斜率。
四、直线的平行和垂直关系1. 平行线的判定条件：两条直线平行的充分必要条件是它们的斜率相等。
高中直线知识点归纳总结
高中直线知识点归纳总结直线是几何学中最基本的图形之一，也是几何学中最简单的元素之一。
在高中数学课程中，直线是一个非常重要的知识点，直线的性质和相关应用在很多数学问题中都有着重要的作用。
因此，对直线的相关知识点进行系统的归纳总结，有助于我们更好地理解和掌握这些知识，提高数学学习的效果。
一、直线的定义和基本性质直线是两点确定的一条唯一的直线，直线上的任意一点都可以写成两点之间的距离的形式。
直线的长度是无限的，没有起点和终点。
直线上的点可以被用坐标表示，坐标中的任意两点都可以确定一条直线。
直线有以下基本性质：1. 直线上的任意两点可以确定一条直线；2. 两条直线可能平行，可能相交，也可能重合；3. 直线的斜率是指直线倾斜角的正切值，可以用来描述直线的斜率大小和方向；4. 直线的方程有多种形式，如一般式、斜截式、截距式等；5. 直线的平行和垂直关系可以通过直线的斜率来确定。
二、直线的方程及其性质直线的方程是描述直线位置的一种数学表示形式，常见的直线方程有一般式、斜截式和截距式。
直线方程的一般形式为Ax+By+C=0，其中A、B、C是常数，x和y是变量。
斜截式方程y=kx+b中，k是直线的斜率，b是y轴截距；截距式方程x/a+y/b=1中，a和b分别是x、y轴上的截距。
直线的斜率是描述直线的倾斜程度和方向的重要参数，斜率的性质决定了直线的特性：1. 斜率为正的直线向右上方倾斜，斜率为负的直线向右下方倾斜；2. 斜率为0的直线是水平直线，斜率不存在的直线是竖直直线；3. 具有相同斜率的直线是平行的，斜率的倒数相互为-1的直线是垂直的；4. 斜率为k的直线的法线斜率是-1/k。
直线还有许多其他重要的性质和定理，如直线的平移和旋转性质、直线的夹角、直线的交点以及直线的点斜式等。
三、直线的相关应用直线的相关知识在数学的广泛领域中都有着重要的应用，如代数、几何、微积分等。
在几何学中，直线的相关性质和定理可以用来解决各种直线问题，如平行线和垂直线的性质、角的平分线、三角形的内角和外角等。
沪教版高中数学第11章 坐标平面上的直线(1)
沪教版高中数学第11章坐标平面上的直线（1）一、选择题（本大题共12小题，共60.0分）1.过三点A(1,3)，B(4,2)，C(1,−7)的圆交于y轴于M、N两点，则|MN|=()A. 2√6B. 8C. 4√6D. 102.函数y=f(x)的图象如图所示，在区间[a,b]上可找到n(n≥2)个不同的数x1，x2，…，x n，使得f(x1)x1=f(x2)x2=⋯=f(x n)x n，则n的取值范围是()A. {3,4}B. {2,3，4}C. {3,4，5}D. {2,3}3.函数y=f(x)的图像如图所示，在区间[a,b]上可找到n(n≥2)个不同的数x1,x2,.....,x n，使得f(x1)x1=f(x2)x2=......=f(x n)x n，则n的取值范围为()A. {3,4}B. {2,3，4}C. {3,4，5}D. {2,3}4.过点(−1,2)且与直线2x−3y+4=0垂直的直线方程为()A. 3x+2y−1=0B. 3x+2y+7=0C. 2x−3y+5=0D. 2x−3y+8=05.直线x+y+1=0关于点(1,2)对称的直线方程为()A. x+y−7=0B. x−y+7=0C. x+y+6=0D. x−y−6=06.已知点(a,2)(a>0)到直线l：x−y+3=0的距离为1，则a等于()A. √2B. 2−√2C. √2+1D. √2−17.若AC<0，BC<0，则直线Ax+By+C=0不通过()A. 第一象限B. 第二象限C. 第三象限D. 第四象限8.已知点A(−1,0)，B(1,0)，C(0,1)，直线y=ax+b(a>0)将△ABC分割为面积相等的两部分，则b的取值范围是()A. (0,1)B. (1−√22,12) C. (1−√22,13] D. [13,12)9. 设m ∈R ，过定点A 的动直线x +my =0和过定点B 的动直线mx −y −m +3=0交于点P(x,y)，则|PA|+|PB|的取值范围是( )A. [√5,2√5]B. [√10,2√5]C. [√10,4√5]D. [2√5,4√5]10. 在等腰直角三角形ABC 中，AB =AC =4，点P 是边AB 上异于A ，B 的一点．光线从点P 出发，经BC ，CA 反射后又回到点P(如图).若光线QR 经过△ABC 的重心，则AP 等于( )A. 2B. 1C. 83D. 4311. 已知的顶点A(1,2)，AB 边上的中线CM 所在直线方程为x +2y −1=0，的平分线BH 所在直线方程为y =x ，则直线BC 的方程为( )A. 2x −3y −1=0B. 2x +3y −1=0C. 3x −2y −1=0D. 3x −2y +1=012. 正方形ABCD 的边长为3，点E 在边AB 上，点F 在边BC 上，AE =BF =1，动点P 从点E 出发沿直线向F 运动，每当碰到正方形的边时反弹，反弹时反射角等于入射角．当点P 第一次碰到点E 时，P 与正方形的边碰撞的次数为( )A. 8B. 6C. 4D. 3二、填空题（本大题共4小题，共20.0分）13. 已知直线l 1：{x =1−2t,y =2+kt(t 为参数)，l 2：{x =s,y =1−2s (s 为参数)，若l 1//l 2，则k =______；若l 1⊥l 2，则k =________．14. 设λ∈R ，动直线l 1：λx −y +λ=0过定点A ，动直线l 2：x +λy −3−2λ=0过定点B ，若P为l 1与l 2的交点，则|PA|·|PB|的最大值为_______．15. 已知圆O:x 2+y 2=1和点A(−2,0)，若定点B(b,0)(b ≠−2)和常数λ满足：对圆O 上任意一点M ，都有|MB |=λ|MA |，则λ−b =_____(x>0)图象上一动点.若点P，A之间的最短距离为√7，则满足条16.设定点A(a,a)，P是函数y=1x件的实数a的所有值为 ________三、解答题（本大题共5小题，共60.0分）17.已知三条直线l1：(m+2)x−y+m=0，l2：x+y−2=0；l3：y=0相交于同一点，求实数m的值．18.在2x+y−8=0上求一点P，使它到两直线l1：√3x−3y−3=0，l2：√3x−y−1=0的距离相等．19.如图，圆x2+y2=8内有一点P(−1,2)，AB为过点P且倾斜角为α的弦．当α=135∘时，求线段AB长度；设过点P的弦的中点为M，求点M的坐标所满足的关系式．20.在平面直角坐标系xOy中，对于直线l：ax+by+c=0和点y2=2px(p>0)记η=(ax1+by1+c)(ax2+by2+c)若η<0，则称点P1,P2被直线l分隔.若曲线C与直线l没有公共点，且曲线C上存在点P1,P2被直线l分隔，则称直线l为曲线C的一条分隔线．(1)求证：点A(1,2)，B(−1,0)被直线x+y−1=0分隔；(2)若直线y=kx是曲线x2−4y2=1的分隔线，求实数k的取值范围；(3)动点M到点Q(0,2)的距离与到y轴的距离之积为1，设点M的轨迹为E，求E的方程，并证明y轴为曲线E的分割线．21.已知点P(2,−1)，求：(1)过P点与原点距离为2的直线l的方程；(2)过P点与原点距离最大的直线l的方程，最大距离是多少？(3)是否存在过P点与原点距离为6的直线？若存在，求出方程；若不存在，请说明理由．-------- 答案与解析 --------1.答案：C解析：本题考查了圆的方程，属于基础题．设圆的方程为x 2+y 2+Dx +Ey +F =0，代入点的坐标，求出D ，E ，F ，令x =0，即可得出结论． 解：设圆的方程为x 2+y 2+Dx +Ey +F =0， 则{1+9+D +3E +F =016+4+4D +2E +F =01+49+D −7E +F =0， ∴D =−2，E =4，F =−20， ∴x 2+y 2−2x +4y −20=0， 令x =0，可得y 2+4y −20=0， ∴y =−2±2√6， ∴|MN|=4√6． 故选C ．2.答案：B解析：本题考查的知识点是函数图象的应用，属于中档题． 由f(x)x表示(x,f(x))点与原点连线的斜率，结合函数y =f(x)的图象，数形结合分析可得答案．解：作直线y =kx ，与y =f(x)可以得出2，3，4个交点， 故k =f(x)x(x >0)可分别有2，3，4个解．故n 的取值范围为{2,3，4}． 故选：B ．解析：本题考查的知识点是函数零点与方程根的关系，n的值为函数f(x)与y=kx图象的交点个数，结合函数y=f(x)的图象，数形结合分析可得答案．解：令f(x1)x1=f(x2)x2=......=f(x n)x n=k，则n的值为函数y=f(x)与y=kx图象的交点个数，作直线y=kx，当k值变化时，y=f(x)与y=kx，可以得出2，3，4个交点，故k=f(x)x可分别有2，3，4个解．故n的取值范围为{2,3，4}．故选：B．4.答案：A解析：本题考查了两条直线垂直的判定，与直线2x−3y+4=0垂直的直线方程可设为3x+2y+c=0，将点(−1,2)代入即可得出结果．解：与直线2x−3y+4=0垂直的直线方程可设为3x+2y+c=0，将点(−1,2)代入得3×(−1)+2×2+c=0，得c=−1，所以与直线2x−3y+4=0垂直的直线方程为3x+2y−1=0，故选A．5.答案：A解析：本题考查求一个点关于另一个点的对称点的方法，考查直线的方程，属于基础题．解：在所求直线上取点(x,y)，关于点(1,2)对称的点的坐标为(2−x,4−y)，代入直线x+y+1=0，可得2−x+4−y+1=0，即x+y−7=0，故选A．解析：解：∵点(a,2)(a >0)到直线l ：x −y +3=0的距离为1， ∴√2=1，化为a +1=±√2， ∵a >0， ∴a =√2−1， 故选：D ．利用点到直线的距离公式即可得出．本题考查了点到直线的距离公式，属于基础题．7.答案：C解析：将直线化为斜截式方程为y =−AB x −CB ，又AC <0，BC <0，∴AB >0，故−AB <0，−CB >0，故直线通过一、二、四象限，故选C ．8.答案：B解析：本题考查了直线方程的综合应用，体现了分类讨论的数学思想，属于基础题．根据题意可得，△ABC 面积为1，分若点M 和点A 重合、若点M 在点O 和点A 之间则点N 在点B 和点C 之间和若点M 在点A 的左侧，三种情况，进行讨论，即可得出结果． 解：根据题意可得，△ABC 面积为1，因为直线y =ax +b(a >0)与x 轴的交点为M(−ba ,0)， 由−ba ≤0可得点M 在射线OA 上， 设直线和BC 的交点为N ，则由{y =ax +bx +y =1, 可得点N 的坐标为(1−b a+1,a+ba+1)，(1)若点M 和点A 重合，则点N 为线段BC 的中点， 则−ba =−1且a+ba+1=12，解得a =b =13；(2)若点M 在点O 和点A 之间则点N 在点B 和点C 之间， 根据题意可得三角形NMB 的面积等于12， 即12·MB ·y N =12，即12·(1+ba )·a+ba+1=12， 计算得出a =b 21−2b>0，故b <12；(3)若点M 在点A 的左侧，则−ba <−1,b >a ， 设直线y =ax +b 和AC 的交点为P ，则{y =ax +by =x +1，求得点P 的坐标为(1−b a−1,a−ba−1)，此时，NP =√(1−ba+1−1−ba−1)2+(a+ba−1−a−ba−1)2 =√4(1+a 2)(1−b)2(a+1)2(a−1)2=2|1−b||(a+1)(a−1)|√1+a 2，此时，点C(0,1)到直线y =ax +b 的距离等于√1+a 2， 根据题意可得，△CPN 的面积等于12， 即12·2|1−b||(a+1)(a−1)|√1+a 2√1+a 2=12，化简得√2(1−b)=√1−a 2<1， 则b >1−√22，综上所述，b 的取值范围是(1−√22,12)．故选B ．9.答案：B解析：本题考查直线过定点问题，涉及直线的垂直关系和三角函数的应用，属于中档题．可得两动直线分别过定点(0,0)和(1,3)且垂直，可得|PA|2+|PB|2=10.三角换元后，由三角函数的知识可得．解：由题意可知，动直线x +my =0经过定点A(0,0)，动直线mx −y −m +3=0即m(x −1)−y +3=0，经过点定点B(1,3)，当m =0时，显然两直线垂直； 当m ≠0时，∵动直线x +my =0和动直线mx −y −m +3=0的斜率之积为−1，所以两直线始终垂直， P 又是两条直线的交点，∴PA ⊥PB ，∴|PA|2+|PB|2=|AB|2=10． 设∠ABP =θ，则|PA|=√10sinθ，|PB|=√10cosθ， 由|PA|≥0且|PB|≥0，可得θ∈[0,π2]∴|PA|+|PB|=√10(sinθ+cosθ)=2√5sin(θ+π4)，∵θ∈[0,π2]，∴θ+π4∈[π4,3π4]，∴sin(θ+π4)∈[√22,1]，∴2√5sin(θ+π4)∈[√10,2√5]，即|PA|+|PB|的取值范围是[√10,2√5]， 故选B ．10.答案：D解析：本题考查直线与点的对称问题，涉及直线方程的求解以及光的反射原理的应用，属中档题． 建立坐标系，设点P 的坐标，可得P 关于直线BC 的对称点P 1的坐标，和P 关于y 轴的对称点P 2的坐标，由P 1，Q ，R ，P 2四点共线可得直线的方程，由于过△ABC 的重心，代入可得关于a 的方程，解之可得P 的坐标，进而可得AP 的值． 解：建立如图所示的坐标系：可得B(4,0)，C(0,4)，故直线BC 的方程为x +y =4， △ABC 的重心为(0+0+43,0+4+03)，即(43,43)，设P(a,0)，其中0<a <4，则点P 关于直线BC 的对称点P 1(x,y)，满足{a+x2+y+02=4y−0x−a⋅(−1)=−1，解得{x =4y =4−a ，即P 1(4,4−a)，易得P 关于y 轴的对称点P 2(−a,0)，由光的反射原理可知P 1，Q ，R ，P 2四点共线，直线QR 的斜率为k =4−a−04−(−a)=4−a 4+a ，故直线QR 的方程为y =4−a4+a (x +a)， 由于直线QR 过△ABC 的重心(43,43)，代入化简可得3a 2−4a =0， 解得a =43，或a =0(舍去)，故P(43,0)，故A P =43． 故选D ．11.答案：A解析：本题主要考查点关于直线对称的性质，三角形的中线、高线的性质，属于中档题．先设出B 的坐标，代入直线CM ，求出m 的值，从而求出B 的坐标即可，设出A 关于y =x 的对称点，表示出A′B 的方程，即BC 的方程，整理即可．解：：(1)由题意可知，点B 在角平分线y =x 上，可设点B 的坐标是(m,m)， 则AB 的中点(m+12,m+22)在直线CM 上，∴m+12+2⋅m+22−1=0，解得：m =−1，故点B(−1,−1)．设A 关于y =x 的对称点为A′(x 0,y 0)，则有{y 0−2x 0−1=−1y 0+22=x 0+12，{x 0=2y 0=1，即A′(2,1) 则由A′在直线BC 上，可得BC 的方程为y+11+1=x+12+1，即3(y +1)=2(x +1)，即2x −3y −1=0， 故选：A ．12.答案：B解析：解：根据已知中的点E，F的位置，可知入射角的正切值tan∠FEB=1，2第一次碰撞点为F，在反射的过程中，根据入射角等于反射角及平行关系的三角形的相似可得，DA，第二次碰撞点为G，在DA上，且DG=16DC，第三次碰撞点为H，在DC上，且DH=13BC，第四次碰撞点为M，在CB上，且CM=13AD，第五次碰撞点为N，在DA上，且AN=16AB．第六次回到E点，AE=13故P与正方形的边碰撞的次数为6，故选：B．，通过相似三角形，来确定反射后的点的位根据已知中的点E，F的位置，可知入射角的正切值为12置，从而可得反射的次数．本题主要考查了反射原理与三角形相似知识的运用．通过相似三角形，来确定反射后的点的位置，从而可得反射的次数，属于中档题．13.答案：4；−1解析：本题考查两直线平行、垂直的性质，属于基础题型．先把直线的方程化为普通方程，再利用两直线平行，斜率相等，两直线垂直，斜率之积等于−1，分别求出k值．解：直线l1的方程即kx+2y−k−4=0，直线l2的方程即2x+y−1=0．，k=4，若l1//l2，则−2=−k2=−1，k=−1．若l1⊥l2，则−2·k−2故答案为4；−1．14.答案：10解析：本题主要考查恒过定点的直线方程的求解，基本不等式的应用，属于中档题．由题意可得A(−1,0)，B(3,2)，且两直线始终垂直，可得|PA|2+|PB|2=|AB|2=20，由基本不等式可得|PA|⋅|PB|≤|PA|2+|PB|22=10，验证等号成立即可．解：由题意可知动直线l1:λx−y+λ=0过定点A(−1,0)，动直线l2:x+λy−3−2λ=0，即(x−3)+λ(y−2)=0，过定点B(3,2)，且可知两直线始终垂直，P又是两条直线的交点，∴PA⊥PB，∴|PA|2+|PB|2=|AB|2=20，故|PA|⋅|PB|≤|PA|2+|PB|22=10(当且仅当|PA|=|PB|=√10时，取“=”)，故答案为10．15.答案：1解析：本题考查圆的方程，考查赋值法的运用，考查学生的计算能力，属于基础题．利用|MB|=λ|MA|，可得(x−b)2+y2=λ2(x+2)2+λ2y2，由题意，取(1,0)、(−1,0)分别代入，即可求得b、λ，可得结论．解：设M(x,y)，则∵|MB|=λ|MA|，∴(x−b)2+y2=λ2(x+2)2+λ2y2，由题意，取(1,0)、(−1,0)分别代入可得(1−b)2=λ2(1+2)2，(−1−b)2=λ2(−1+2)2，∴b=−12,λ=12．∴λ−b=1，故答案为1．16.答案：3或1−√142.解析：本题综合考查了两点间的距离公式、基本不等式的性质、二次函数的单调性等基础知识和基本技能，考查了分类讨论的思想方法、推理能力和计算能力．设点P(x,1x)(x>0)，利用两点间的距离公式可得|PA|，利用基本不等式和二次函数的单调性即可得出a的值．解：设点P(x,1x )(x>0)，则|PA|=√(x−a)2+(1x−a)2=√x2+1x2−2a(x+1x)+2a2=√(x+1x )2−2a(x+1x)+2a2−2，令t=x+1x，∵x>0，∴t≥2，令g(t)=t2−2at+2a2−2=(t−a)2+a2−2，①当a≤2时，t=2时g(t)取得最小值g(2)=2−4a+2a2=(√7)2，解得a=1−√142；②当a>2时，g(t)在区间[2,a)上单调递减，在(a,+∞)单调递增，∴t=a，g(t)取得最小值g(a)=a2−2，∴a2−2=(√7)2，解得a=3.综上可知：a=3或1−√142.故答案为3或1−√142.17.答案：解：直线l2，l3的交点为(2,0)，所以直线l1过点(2,0)，则2(m+2)+m=0，解得m=−43．解析：先求出l 2，l 3的交点代入l 1的方程，即可得出m 的值．18.答案：解：设P(x,8−2x)，则|√3x−3(8−2x)−3|√3+9=|√3x−(8−2x)−1|√3+1，即|(6+√3)x −27|=|(3+2√3)x −9√3|．∴(6+√3)x −27=(3+2√3)x −9√3或(6+√3)x −27=−(3+2√3)x +9√3． ∴x =9或x =3．故所求的点P 的坐标为(9,−10)或(3,2)．解析：本题考查了两点间的距离，考查了数学转化思想方法和方程的解法，是基础题． 设出P 点坐标，由点到直线的距离公式得出关系式求出P 点坐标即可．19.答案：【小题1】解：过点O 作OG ⊥AB 于G ，连接OA ，当α=135°时，直线AB 的斜率为−1， 故直线AB 的方程x +y −1=0， ∴|OG|=√2=√22， ∵r =2√2， ∴|AG|=√8−12=√302， ∴|AB|=2|AG|=√30；【小题2】解：设AB 的中点为M(x,y)，AB 的斜率为k ，OM ⊥AB ， 则{y −2=k(x +1)y =−1k x消去k ，得x 2+y 2+x −2y =0，当AB 的斜率k 不存在时也成立，故过点P 的弦的中点的轨迹方程为x 2+y 2+x −2y =0．解析：1.本题考查直线与圆的位置关系，点到直线的距离公式．过点O 作OG ⊥AB 于G ，连接OA ，依题意可知直线AB 的斜率，求得AB 的方程，利用点到直线的距离求得OG ，则|AB|可求得．2.本题考查求轨迹的方程问题，设出AB 的中点的坐标，依据题意联立方程组，消去k 求得x 和y 的关系式，即P 的轨迹方程．20.答案：解：(1)把点(1,2)、(−1,0)分别代入x +y −1可得η=(1+2−1)(−1−1)=−4<0，∴点(1,2)、(−1,0)被直线x +y −1=0分隔．(2)联立{x 2−4y 2=1y =kx 可得(1−4k 2)x 2=1，根据题意，此方程无解，故有1−4k 2≤0，∴|k|≥12.当|k|≥12时，对于直线y =kx ，曲线x 2−4y 2=1上的点(−1,0)和(1,0)满足η=−k 2<0，即点(−1,0)和(1,0)被y =kx 分隔．故实数k 的取值范围是(−∞,−12]∪[12,+∞)．(3)设点M(x,y)，则√x 2+(y −2)2⋅|x|=1，故曲线E 的方程为[x 2+(y −2)2]x 2=1 ①． 对任意的y 0，(0,y 0)不是上述方程的解，即y 轴与曲线E 没有公共点．又曲线E 上的点(1,2)、(−1,2)对于y 轴(x =0)满足η=1×(−1)=−1<0，即点(−1,2)和(1,2)被y 轴分隔，所以y 轴为曲线E 的分隔线．解析：本题考查了创新问题专题，直线的一般式方程和动点的轨迹方程．(1)把A 、B 两点的坐标代入η=(ax 1+by 1+c)(ax 2+by 2+c)，再根据η<0，得出结论． (2)联立{x 2−4y 2=1y =kx 可得(1−4k 2)x 2=1，根据此方程无解，可得1−4k 2≤0，从而求得k 的范围．(3)设点M(x,y)，与条件求得曲线E 的方程为[x 2+(y −2)2]x 2=1①.由于y 轴为x =0，显然与方程①联立无解．把P 1、P 2的坐标代入x =0，由η=1×(−1)=−1<0，可得x =0是一条分隔线．21.答案：解：(1)过P 点的直线l 与原点距离为2，而P 点坐标为(2,−1)，可见，过P(2,−1)垂直于x 轴的直线满足条件．此时l的斜率不存在，其方程为x=2．若斜率存在，设l的方程为y+1=k(x−2)，即kx−y−2k−1=0．由已知，过P点与原点距离为2，得√k2+1=2，解之得k=34．此时l的方程为3x−4y−10=0.综上，可得直线l的方程为x=2或3x−4y−10=0．(2)作图可证过P点与原点O距离最大的直线是过P点且与PO垂直的直线，由l⊥OP，得k l⋅k OP=−1，所以k l=−1kOP=2.由直线方程的点斜式得y+1=2(x−2)，即2x−y−5=0，即直线2x−y−5=0是过P点且与原点O距离最大的直线，最大距离为√5=√5．(3)由(2)可知，过P点不存在到原点距离超过√5的直线，因此不存在过P点且到原点距离为6的直线．解析：(1)直线已过一点，考虑斜率不存在时是否满足条件，在利用待定系数法根据点到直线的距离公式建立等量关系，求出斜率；(2)过P点与原点O距离最大的直线是过P点且与PO垂直的直线，求出斜率，利用点斜式可得直线方程，再利用点到直线的距离公式求出距离即可；(3)只需比较“过P点与原点距离最大的直线l中最大距离”与6的大小，即可判断是否存在．本题主要考查了直线的一般方程，以及两点之间的距离公式的应用，属于基础题．。
高二平面直角坐标系知识点
高二平面直角坐标系知识点在高二数学课程中，平面直角坐标系是一个非常重要的概念。
它为我们解决平面几何问题提供了方便和便利。
本文将详细介绍高二平面直角坐标系的相关知识点。
一、平面直角坐标系的概念平面直角坐标系由两条相互垂直的直线构成，一条被称为x轴，另一条被称为y轴。
x轴和y轴的交点被称为原点O，它是坐标系的起点。
坐标系上的点可以用有序数对（x，y）表示，其中x为点在x轴上的坐标，y为点在y轴上的坐标。
二、平面直角坐标系中的点与坐标在平面直角坐标系中，每个点都有唯一的坐标。
点的坐标可通过垂直于轴的线段的长度来表示。
对于任意点A(x，y)，其中x为点A在x轴上的坐标，y为点A在y轴上的坐标。
例如，点A(3，4)表示x轴坐标为3，y轴坐标为4的点A。
三、平面直角坐标系中的距离公式在平面直角坐标系中，我们可以通过距离公式计算两个点之间的距离。
对于两个点A(x₁，y₁)和B(x₂，y₂)，它们之间的距离d可以使用以下公式表示：d = √((x₂-x₁)² + (y₂-y₁)²)。
四、平面直角坐标系中的图形方程在平面直角坐标系中，各种图形可以通过方程来表示。
例如，直线的方程通常有y = mx + b的形式，其中m表示直线的斜率，b表示直线与y轴的截距。
圆的方程可以写成(x-a)² + (y-b)² = r²，其中(a，b)表示圆心的坐标，r表示半径。
五、平面直角坐标系中的线段中点公式在平面直角坐标系中，我们可以通过线段中点公式计算线段的中点坐标。
对于线段AB，其中A(x₁，y₁)和B(x₂，y₂)，它的中点M的坐标可以使用以下公式表示：M((x₁+x₂)/2, (y₁+y₂)/2)。
六、平面直角坐标系中的斜率公式在平面直角坐标系中，我们可以通过斜率公式计算两点之间的斜率。
对于两点A(x₁，y₁)和B(x₂，y₂)，它们之间的斜率k可以使用以下公式表示：k = (y₂-y₁)/(x₂-x₁)。
直线知识点归纳总结
直线知识点归纳总结一、直线的定义直线是由无数个点组成的，其长度和宽度都为零，因此无法用常规的尺寸来描述。
直线可以用两点之间的直线段来表示，也可以用方程式来描述。
直线在坐标系上用直线段来表示，具有无限延伸性和方向性。
二、直线的性质1. 直线上的任意两点可以确定一条直线。
2. 直线的长度为无穷大，宽度为零。
3. 直线的方向是唯一确定的。
4. 直线上的任意一点到它的两个端点的距离为零。
5. 直线是平行的两个面的交线。
三、直线的方程直线的方程有多种形式，常见的有一般式、点斜式、斜截式等。
1. 一般式：Ax+By+C=0，A、B和C是常数，A和B不同时为零。
A、B和C是整数。
2. 点斜式：y-y₁=m(x-x₁)，其中m是直线的斜率，(x₁,y₁)是直线上的一点。
3. 斜截式：y = mx + c，其中m是直线的斜率，c是直线与y轴的交点。
四、直线的图像和图形关系1. 直线的图像可以表示在一个平面上，它与坐标轴和其他几何图形的位置关系有多种情况。
2. 直线与圆、椭圆、抛物线和双曲线等曲线有不同的交点和位置关系。
3. 直线的平行、垂直关系可以与其他直线或曲线进行比较，对于几何、物理和工程学均具有重要意义。
五、直线的应用1. 直线在数学中广泛应用于几何、代数和解析几何等领域，是其他图形的基础。
2. 直线在物理学中用于描述物体的运动轨迹、力的作用线和光的传播路径等。
3. 直线在工程学中用于设计建筑、道路、桥梁、机械等领域，是工程图形的基础。
通过对直线的定义、性质、方程、图像和应用的归纳总结，我们了解到直线在数学、物理和工程学中具有重要意义，在我们的日常生活中也无处不在。
所以对直线的深入理解和应用不仅有助于我们提高数学水平，还有利于我们在实际生活中解决问题和创新设计。
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高二下册第11章《坐标平面上的直线》知识点梳理
高二下册第11章《坐标平面上的直线》知识点梳理
第11章坐标平面上的直线
1、内容要目：直线的点方向式方程、直线的点法向式方程、点斜式方程、直线方程的一般式、直线的倾斜角和斜率等。
点到直线的距离，两直线的夹角以及两平行线之间的距离。
2、基本要求：掌握求直线的方法，熟练转化确定直线方向的不同条件（例如：直线方向向量、法向量、斜率、倾斜角等）。
熟练判断点与直线、直线与直线的不同位置，能正确求点到直线的距离、两直线的交点坐标及两直线的夹角大小。
3、重难点：初步建立代数方法解决几何问题的观念，正确将几何条件与代数表示进行转化，定量地研究点与直线、直线与直线的位置关系。
根据两个独立条件求出直线方程。
熟练运用待定系数法。
（1）图形与方程
图形方程
直线l(不同时为零)①
（2）直线的几何特征与二元一次方程的代数特征
几何特征代数特征
点A在直线上点A的坐标（x,y）是方程①的解。
直线l的方向法向量
直线l平行的向量方向向量（u,v）
倾斜角斜率k=
（3）直线的已知条件与所选直线方程的形式直线的已知条件所选择直线方程的形式
已知直线经过点且与向量=（u,v）平行
点方向式方程
已知直线经过点且与向量=（a,b）垂直
点法向式方程
已知直线经过点和点
一般式方程
已知直线的斜率为k,且经过点
点斜式方程
（4）两直线的位置关系：
位置关系系数关系
相交
平行
且
重合
且
垂直
（5）点到直线的距离公式
（6）两直线的夹角公式
（7）直线的倾斜角的范围是<,当直线的斜率不存在时，直线的倾斜角为。