解释几何解与习题平面与空间直线

例1、已知不共线的三点M1(x1,y1,z1),M2(x2,y2,z2), M3(x3,y3,z3),求过这三点的平面的方程。
解：设M(x,y,z)是平面上任意一点，已知点为Mi的 径矢为ri=OMi，则可取方位向量为 r2-r1=M1M2={x2-x1,y2-y1,z2-z1}, r3-r1=M1M3={x3-x1,y3-y1,z3-z1}, 因此，平面的向量式参数方程为
n M
y
(1)
称方程(1) 为平面的点法式方程.
例1: 求过点(2, 3, 0)且以 n = {1, 2, 3}为法向量 的平面的方程.
解: 根据平面的点法式方程(1), 可得平面方程为: 1 (x 2) 2 (y + 3) + 3 (z 0) = 0
即:
x 2y + 3z 8 = 0
M2
2 3 1
所以, 所求平面的方程为:
14(x 2) + 9(y + 1) (z 4) = 0
即: 14x + 9y z 15 = 0
例3、已知两点M1(1,-2,3),M2(3,0,-1)，求线段的垂直 平分面的方程。 解：因为向量M1M2={2，2，-4}=2{1，1，-2}
垂直于平面，所以平面的一个法向量为 n={1,1,-2}. 又所求平面过点M1M2的中点M0(2,-1,1)，故 平面的点法式方程为 (x-2)+(y+1)-2(z-1)=0 整理得
2(x +1) 3(y 2) + 4(z 3) = 0
即:
2x 3y + 4z 4 = 0
2. 平面方程的几种特殊情形
(1) 过原点的平面方程 由于O(0, 0, 0)满足方程, 所以D = 0. 于是, 过原点的平面方程为: Ax + By + Cz = 0
(2) 平行于坐标轴的方程 考虑平行于x轴的平面Ax + By + Cz + D = 0, 它的法向量n = {A, B, C}与x 轴上的单位向量 i ={1, 0, 0}垂直, 所以
x+y-2z+1=0
三、平面的一般方程
1. 定理1: 任何x, y, z的一次方程. Ax +By +Cz +D = 0 都表示平面,且此平面的一个法向量是: n = {A, B, C}
证: A, B, C不能全为0, 不妨设A 0, 则方程可以化为
A
x
(
D A
)
B
(
y
0
)
C
(
z
0
)
0
它表示过定点
第一节 平面及其方程
一、由平面上一点与平面的方位向量决定的平面的方程
1、方位向量 在空间给定一个点M0与两个不共线的向量a,b，则
通过点M0且与a,b平行的平面就被唯一确定。向量a, b称为平面的方位向量。
显然，任何一对与平面平行的不共线向量都可作 为平面的方位向量。
2、平面的向量式参数方程
OM在0=空r0间,平，面取标上架的{任O意；一e1点,eM2,的e3径},并矢设为点OMM=0r的，径显矢然
点M在平面上的充要条件为向量M0M与a,b,面， 因为a,b不共线，所以这个共面的条件可写成：
M0M=ua+vb
z M0 a
又因为 M0M=r-r0 所以 r-r0= ua+vb
r0 b M r
即 r=r0+ ua+vb （1） x O
y
方程（1）称为平面的向量式参数方程。
3、平面的坐标式参数方程 r=r0+ ua+vb （1）
M
0
(
D,0,0) A
且法向量为 n = {A, B, C}的平面.
注：一次方程: Ax + By + Cz + D = 0 (2)
称为平面的一般方程.
例2: 已知平面过点M0(1, 2, 3), 且平行于 平面2x 3y + 4z 1= 0, 求其方程.
解: 所求平面与已知平面有相同的法向量 n ={2 3, 4}
r=r1+u(r2-r1)+v(r3-r1) (3) 坐标式参数方程为
x x1 u(x2 x1) v(x3 x1)
y
y1
u( y2
y1 )
v( y3
y1 )
(4)
z z1 u(z2 z1) v(z3 z1)
从（3），（4）中分别消去参数u,v可得：
（r-r1,r2-r1,r3-r1)=0
若设M0，M的坐标分别为(x0,y0,z0),(x,y,z),则
r0={x0,y0,z0},r={x,y,z} 并设 a={X1,Y1,Z1},b={X2,Y2,Z2}
则由（1）可得
x x0 X1u X 2v
y
y0
Y1u
Y2v
(2)
z z0 Z1u Z2v
Байду номын сангаас
（2）式称为平面的坐标式参数方程。
（5）
x x1 x2 x1 x3 x1
与
y y1 y2 y1 y3 y1 0 (6)
z z1 z2 z1 z3 z1
xy z 1
或
x1 y1 z1 1 0 (7)
x2 y2 z2 1
x3 y3 z3 1
（5）（6）（7）都有叫做平面的三点式方程。
特别地，若平面与三坐标轴的交点分别 为M1(a,0,0) M2(0,b,0),M3(0,0,c),其中abc≠0,则平面的方程为
例2: 求过三点M1(2, 1, 4), M2( 1, 3, 2)和M3(0, 2, 3) 的平面的方程.
解: 先找出该平面的法向量n.
由于n与向量M1M2, M1M3都垂直. 而M1M2={3, 4, 6} M1M3={2, 3, 1} n
可取n = M1M2 M1M3
i jk
M1
M3
3 4 6 = 14i + 9j k
2. 平面的点法式方程
设平面过定点 M0(x0, y0, z0), 且有法向量n={A,B, C}.
对于平面上任一点M(x, y, z), 向量M0M与n垂直.
z M0
n M0 M = 0
而M0 M ={x x0, y y0, z z0},
O
得:
x
A(x x0) +B( y y0) +C( z z0) = 0
x y z 1 (8)
abc
z
M3
称为平面的截距式方程。 其中a,b,c分别称为平面在
o
M2
三坐标轴上的截距。
x M1
y
二、平面的点法式方程
1. 法向量:
z
n
如果一非零向量垂直
于一平面，这向量就叫做 该平面的法向量．
M0 M
o
y
x
法向量的特征： 垂直于平面内的任一向量．
注: 1 对平面, 法向量n不唯一; 2 平面 的法向量n与 上任一向量垂直.