组合数学 课后答案 PDF 版
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性,平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益,请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间:9:00-18:30)。
3.1 某甲参加一种会议,会上有6位朋友,某甲和其中每一个人在会上各相遇12次,每两人各相遇6次,每3人各相遇4次,每4人各相遇3次,每5人各相遇2次,每6人各相遇1次,1人也没遇见的有5次,问某甲共参加几次会议?
解:设A 为甲与第i 个朋友相遇的会议集.i=1,2,3,4,5,6.则 │∪A i │=12*C(6,1)-6*C(6,2)+4*C(6,3)-3*(6,4)+2*(6,5)-C(6,6) =28
甲参加的会议数为 28+5=33
3.2
:求从1到500的整数中被3和5整除但是不能被7整除的数的个数。 解:
设 A 3:被3整除的数的集合
A 5:被5整除的数的集合 A 7:被7整除的数的集合 所以 ||
=||-|
|
=
-=33-4=29 3.3 n 个代表参加会议,试证其中至少有2个人各自的朋友数相等
解:每个人的朋友数只能取0,1,…,n -1.但若有人的朋友数为0,即此人和其 他人都不认识,则其他人
的最大取数不超过n -2.故这n 个人的朋友数的实际取数只 有n -1种可能.,根据鸽巢原理所
以至少有2人的朋友数相等.
3.4试给出下列等式的组合意义
0j j 0(1)=(1), 1n-m-j+1(2)(1)1 j 1(3)...(1) 1 12m l l n m l n m m n l n k m n k l k l n m l n m l m l m l m l m l m l m m m m m l =-=--⎛⎫⎛⎫⎛⎫-≥≥ ⎪ ⎪⎪-⎝⎭⎝⎭⎝⎭---⎛⎫⎛⎫⎛⎫=- ⎪ ⎪⎪--⎝⎭⎝⎭⎝⎭+-++++⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-+-+- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪-+++⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭
∑∑ 证明:
(1)从n 个不同元素中取k ,使得其中必含有m 个特定元素的方案数为)()(k
n m
n m k m
n --=--。设这m 个元素为a 1,a 2,…,a m , Ai 为包含a i 的组合(子集),i=1,…,m.
1212|...|(...)
12 =(...(1))1 2 =(1) m m m l n A A A A A A k n m n m n m n m k k k m k m n l l k ⎛⎫
=- ⎪⎝⎭
---⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫--++- ⎪ ⎪⎪ ⎪⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭-⎛⎫⎛- ⎪⎝⎭ 0m
l =⎫ ⎪⎝⎭∑ (2)把l 个无区别的球放到n 个不同的盒子,但有m 个空盒子的方案数为11n l m n m -⎛⎫⎛⎫
⎪⎪--⎝⎭⎝⎭
令k=n-m ,设A i 为第i 个盒子有球,i=1,2,…k
12k 121|...|(...)
1k 11211 =(...(1)) 1 2 k k k l A A A A A A k k l k l k k l k k k l k l l k l +-⎛⎫
=- ⎪⎝⎭
+--+--+--+-⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫--++- ⎪ ⎪⎪ ⎪⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭ k
j j 0k k-j+1 =(1)j l l =-⎛⎫⎛⎫
- ⎪⎪
⎝⎭⎝⎭
∑ (3)设A i 为m+l 个元素中去m+i 个,含特定元素a 的方案集;N i 为m+l 个元素中取m+i 个的方案数。则:
10000101101211 |A |= |A |=1 m+i 1|A ||A |= m+i |A ||A | i=12|A ||A |= |A |=(|A |)...(1)1 1 i i i i i i i i l l m l m l m l N m i m i m l N l
N N N N N N N N m l m l m m +++-+-⎛⎫⎛⎫⎛⎫
= ⎪ ⎪ ⎪
++-⎝⎭⎝⎭⎝⎭
+-⎛⎫
= ⎪
⎝⎭=-=----=-+-+-+-+⎛⎫⎛⎫= ⎪ -⎝⎭⎝⎭,,...,...(1)12l m l m l m l m m m l +++⎛⎫⎛⎫⎛⎫-+-+-⎪ ⎪ ⎪ ⎪
+++⎝⎭⎝⎭⎝⎭
3.5 设有3个7位的二进制数
4
3
2
1
4321
4321c c c c b b b b a a a a 6
6
5
765765c c c b b b a a a
试证存在整数i 和71,≤<≤j i j ,使得下列之一必然成立:
j i j i j i j i j i j i c c b b c c a a b b a a =========,
解:应用鸽巢原理,在每一个纵列中,含有三个元素,分别都只由两种选择0 或1,应用鸽巢原理所以必有i i i i i i c b c a b a ===,
中至少一个必然成立;成
立的时候取值的不同可以有这样几种情况:22
3⨯C =6种,而每一横行共有七个元素,
再次用鸽巢原理,必有两列是相同的 即: j i j i j i j i j i j i c c b b c c a a b b a a =========,
之一必然成立
证明:分别连接对边的中点,这样正方形被均匀的分成四个域,在正方形内任取5点,根据鸽巢原理,
证明:将边长为1的等边三角行分成4
三角形的边长为2
1
,离小于2
1
。
3.8.任取11个整数,求证其中至少有两个数它们的差是10的倍
数。
解:易知任意整数的个位数的可能取值只可能为0,1,2,,9 ,共10种可能,而利用鸽巢原理,任取的11个整数中,其中至少有两个整数的个位数相同,这两个个位数相同的整数的差显然是10的倍数。即证。
3.9 把从1到326的326个整数任意分为5个部分,试证其中有一部分至少有一个数是某两个数之和,或是另一个数的两倍。
解:用反证法。设存在划分 ]326,1[5
4
3
2
1
= P
P P P P , P i 中没有数是两数之和, 即P i 中没有数是两数
之差。设1到326中至少有66151326=+⎥⎦
⎥
⎢
⎣⎢-个元素属于P 1,并设为},,{6621a a a A =,不妨设6621a a a <<< ,若A 中存在一个元素是某两个元素之差,则满足要求。否则,令166********,,,a a b a a b a a b -=-=-= ,令},,{6521b b b B =,显然B 中的元素仍然是1到326之间
的数,即3261<≤i b 。根据假定B 中无一属于P 1,否则与假定矛盾。所以B 的元素属于P 2 ,P 3 ,P 4 ,P 5。与前面讨论类似,设B 中至少存在属于P 2的1714165=+⎥⎦
⎥
⎢
⎣⎢-个元素。设为1721c c c <<< 。令},,{1721c c c C =。根据假定,C 中没有数是两数之差。令11716132121,,,c c d c c d c c d -=-=-= ,},,{1621d d d D =,那么,对于所有16,2,1,326 =
易知存在整数m l ,使得m l m l k k a a a a a a c c d -=---=-=+)()(1111。所以,D 中的元素不属于P 1,也不属于P 2,只能属于P 3 ,P 4 ,P 5。故根据鸽巢原理,设至少存在613116=+⎦
⎥
⎢
⎣⎢-个元素属于P 3。设为