高中数学必修一 集合的交集与并集

集合的交集与并集

导入新课

1若集合A={x|0

学生回答后,教师指明:在不同的范围内集合中的元素会有所不同,这个“范围”问题就是本节学习的内容,引出课题. 推进新课 新知探究 提出问题

①用列举法表示下列集合:

A={x ∈Z |(x-2)(x+

31

)(x 2-)=0}; B={x ∈Q|(x-2)(x+31

)(x 2-)=0};

C={x ∈R|(x-2)(x+3

1

)(x 2-)=0}.

②问题①中三个集合相等吗？为什么？ ③由此看,解方程时要注意什么？

④问题①,集合Z,Q,R 分别含有所解方程时所涉及的全部元素,这样的集合称为全集,请给出全集的定义.

⑤已知全集U={1,2,3},A={1},写出全集中不属于集合A 的所有元素组成的集合B. ⑥请给出补集的定义. ⑦用Venn 图表示

A.

活动：组织学生充分讨论、交流,使学生明确集合中的元素,提示学生注意集合中元素的范围. 讨论结果： ①A={2},B={2,31-

},C={2,3

1

-,2}. ②不相等,因为三个集合中的元素不相同.

③解方程时,要注意方程的根在什么范围内,同一个方程,在不同的范围其解会有所不同.

④一般地,如果一个集合含有我们所研究问题中涉及的所有元素,那么就称这个集合为全集,通常记为U. ⑤B={2,3}.

⑥对于一个集合A,全集U 中不属于集合A 的所有元素组成的集合称为集合A 相对于全集U 的补集.

集合A 相对于全集U 的补集记为A,即A={x|x ∈U,且x A}.

⑦如图1-1-3-9所示,阴影表示补集.

图1-1-3-9

应用示例

例1：设U={x|x是小于9的正整数},A={1,2,3},B={3,4,5,6},求A, B.

活动：让学生明确全集U中的元素,回顾补集的定义,用列举法表示全集U,依据补集的定义写

出A, B.

解：根据题意,可知U={1,2,3,4,5,6,7,8},所以

A={4,5,6,7,8};B={1,2,7,8}.

点评：本题主要考查补集的概念和求法.用列举法表示的集合,依据补集的含义,直接观察写出集合运算的结果.

常见结论:(A∩B)=(A)∪(B);(A∪B)=(A)∩(B).

变式训练

1.2007吉林高三期末统考,文1已知集合U={1,2,3,4,5,6,7},A={2,4,5,7},B={3,4,5},则

(A)∩(B)等于( )

A.{1,6}

B.{4,5}

C.{2,3,4,5,7}

D.{1,2,3,6,7}

分析:思路一:观察得(A)∩(B)={1,3,6}∩{1,2,6,7}={1,6}.

思路二:A∪B={2,3,4,5,7},则(A)∩(B)=(A∪B)={1,6}.

答案：A

2.2007北京东城高三期末教学目标抽测一,文1设集合U={1,2,3,4,5},A={1,2,4},B={2},则

A∩(B)等于( )

A.{1,2,3,4,5}

B.{1,4}

C.{1,2,4}

D.{3,5}

答案：B

3.2005浙江高考,理1设全集U={1,2,3,4,5,6,7},P={1,2,3,4,5},Q={3,4,5,6,7},则P∩(Q)等于

( )

A.{1,2}

B.{3,4,5}

C.{1,2,6,7}

D.{1,2,3,4,5}

答案：A

例 2.设全集U={x|x是三角形},A={x|x是锐角三角形},B={x|x是钝角三角形}.求

A∩B,(A∪B).

活动：学生思考三角形的分类和集合的交集、并集和补集的含义.结合交集、并集和补集的

含义写出结果.A∩B是由集合A,B中公共元素组成的集合,(A∪B)是全集中除去集合A∪B

中剩下的元素组成的集合.

解：根据三角形的分类可知

A∩B= ,

A∪B={x|x是锐角三角形或钝角三角形},(A∪B)={x|x是直角三角形}.

变式训练

1.已知集合A={x|3≤x<8},求 A. 解：A={x|x<3或x≥8}.

2.设S={x|x 是至少有一组对边平行的四边形},A={x|x 是平行四边形},B={x|x 是菱形},C={x|x 是矩形},求B∩C,B, A.

解：B∩C={x|正方形},B={x|x 是邻边不相等的平行四边形},A={x|x 是梯形}.

3.已知全集I=R ,集合A={x|x 2+ax+12b=0},B={x|x 2-ax+b=0},满足(A)∩B={2},(B)∩A={4},求实数a 、b 的值. 答案：a=

78,b=7

12 . 4.设全集U=R ,A={x|x≤2+3},B={3,4,5,6},则(

A)∩B 等于…( )

A.{4}

B.{4,5,6}

C.{2,3,4}

D.{1,2,3,4} 分析:∵U=R ,A={x|x≤2+3},∴A={x|x>2+3}.而4,5,6都大于2+3,

∴(

A)∩B={4,5,6}.

答案：B

例3.已知全集U=R,A={x|-2≤x≤4},B={x|-3≤x≤3},求: (1)A,

B;

(2)(A)∪(B),(A∩B),由此你发现了什么结论？ (3)(

A)∩(

B),

(A ∪B),由此你发现了什么结论？

活动：学生回想补集的含义,教师指导学生利用数轴来解决.依据补集的含义,借助于数轴求得.在数轴上表示集合A,B. 解：如图1-1-3-10所示,

图1-1-3-10

(1)由图得A={x|x<-2或x>4},B={x|x<-3或x>3}.

(2)由图得(

A)∪(

B)={x|x<-2或x>4}∪{x|x<-3或x>3}={x|x<-2或x>3};

∵A∩B={x|-2≤x≤4}∩{x|-3≤x≤3}={x|-2≤x≤3}, ∴

(A∩B)=

{x|-2≤x≤3}={x|x<-2或x>3}. ∴得出结论

(A∩B)=(

A)∪(

B).