静电场力的功(精)
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i i
4 0 ria
qi
对于电荷连续分布的带电体在空间的电势分布，选无穷 dq 远为电势零点则有： Va q 4 r 0 这就是电势叠加原理
3、电势差(electric potential difference)
电场中两点电势之差
B A
B
U AB
VA VB A E dl
Va
E pa q0
E dl
ra
r0
电势零点的选取是任意的。一般电势零点可以选在无穷远
Va E dl
a
电势是标量，单位为伏特（V），显然，1V＝1J/1C
由电势的定义，很容易计算真空中点电荷在空间的电势 分布，选无穷远为电势零点则有：
Va E dl
a
E p＝q0 E dl
r
若选r0处为电势能的零点，则电场中任一点的电势能表为：
E p＝q0 E dl
r
r0
可以看出电势能是场和试验电荷共同性质的体现，即电 势能即与场有关也与试验电荷有关。电势能的单位为焦 耳（J）
电 势
2、 电势及电势叠加原理
为了得到一个只与场有关的物理量，进而用它来描 述电场，我们定义电势，它是电势能EP 与q0之比，它只 取决于电场。电场中某点的电势为
W q0 E dl
a
b
b b q0 a E dl q0 a E dl q0 a En dl
b
W1 W2 Wn
总功也与路径无关。
静电场力的功
结论：
试验电荷在任意给定的静电场中移动时，电 场力对q0做的功仅与试验电荷的电量及路径的起 点和终点位置有关，而与具体路径无关。
沿着电场线方向，电势降低。
电势的计算
三、电势的计算 1、 点电荷的电势
V + P
i
1 q dr V r E dl r 2 4 0 r
q 4 0 r
1
r
2、点电荷系的电势 V 3、 连续分布带电体的电势
1 qi 4 0 ri
r3 r2 q2 q3
q E dS S 0 E dl 0 L
电 势
二、 电势和电势叠加原理
1、 电势能(electric potential energy)
由环路定理知，静电场是保守场。保守场必有相应的势能，对静 电场则为电势能。 以点电荷为例给出静电场的电势能的定义。 静电场力的功： W
W F dl q0 L E dl L
p2
p1 q0 p1 E dl q0 p2 E dl
(L1)
p1
(L2)
q0 (
p2
E dl p E dl ) 1
p2
L2
P2
(L1)
(L2)
电场力做功与路径无关，故
W q0 E dl 0
ab
q0
b
a
qq0 E dl 4
rb
ra
dr qq0 1 1 ( ) 2 r 4 ra rb
b
静电场做功和路径无关,只与始末位置有关。 所以我们可以定义一个位置函数，称 为电势能。比如图中q0在a点时的电势 能为： qq0
rb
r dr
q
dr
dl
E pa
4 ra
静电场是保守场，静电场力是保守力。
静电场力的功
3、 静电场的环路定理 (circulation theorem of electrostatic field)
试验电荷q0在静电场中沿任意闭合路径L运动一 周时，电场力对q0做的功W=？
安培
q0
静电场力的功
在闭合路径L上任取两点P1、P2，将L分成L1、L2两段，
C
r
ra
q0
E
这样静电场力的功可表示为电势能的负增量：
a
Wab Ep (Epb Epa )
电势能的零点选取时任意的，一般可选无穷远处为电势 能的零点，如果这样，电势能中待定的常数C为零。 qq0 C C 0 ra 时Epa＝0 E pa＝ 4 ra 这样，电场中任一点的电势能可表为：
ra
1 1 q dr ( ) 2 4 0 r 4 0 ra 4 0 ra
q
q
如果是点电荷系在空间的电势分布，选无穷远为电势零 点则有： V E dl
a
a
( E1 E2
a
En ) dl E1 dl
a
En dl
a
Vi
L
即
L E dl 0
P1 L1
静电场力的功
静电场的环路定理:在静电场中，场强沿任意闭合路 径的线积分（称为场强的环流）恒为零。
L E dl 0
静电场的环路定理说明，静电场是无旋场。 静电场的高斯定理和环路定理是静电场的基本规律，它 们所反映的物理图像是：电荷是电场的源，电场线从正 电荷出发而终止于负电荷，在自由空间中电场线连续通 过；在静电情形下电场没有漩涡状结构。
§8.4 静电场的环路定理 电势
一 静电场力的功 静电场的环路定理 1、 点电荷电场 试验电荷q0从点电荷q的电场中a点经任意路径到 达b点,求此过程中电场力作的功。
在路径上任一点附近取元位移 dl
b
dW F dl q0 E dl
q0 E dl cosθ
rb
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q
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dl
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W dW q0 a E dl
b
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E
a
W q0 E dl
a
Байду номын сангаас
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b
静电场做功和路径无关。
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E
a
2、 任意带电体系的电场中 将带电体系分割为许多电荷元，根据电场的叠加性 E E1 E2 En 电场力对试验电荷q0做功为
r1
r4 q1
dq V 4 0 r
1
q4
电势的计算例题
电势的计算例题 例1. 均匀带电圆环轴线上的电势 例2. 均匀带电薄圆盘轴线上的电势
例3 均匀带电球面的电势 例4. 电偶极子的电势
例5. 均匀带电线的电势
例1. 均匀带电圆环轴线上的电势（q、a、x）
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对于电荷连续分布的带电体在空间的电势分布，选无穷 dq 远为电势零点则有： Va q 4 r 0 这就是电势叠加原理
3、电势差(electric potential difference)
电场中两点电势之差
B A
B
U AB
VA VB A E dl
Va
E pa q0
E dl
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电势零点的选取是任意的。一般电势零点可以选在无穷远
Va E dl
a
电势是标量，单位为伏特（V），显然，1V＝1J/1C
由电势的定义，很容易计算真空中点电荷在空间的电势 分布，选无穷远为电势零点则有：
Va E dl
a
E p＝q0 E dl
r
若选r0处为电势能的零点，则电场中任一点的电势能表为：
E p＝q0 E dl
r
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可以看出电势能是场和试验电荷共同性质的体现，即电 势能即与场有关也与试验电荷有关。电势能的单位为焦 耳（J）
电 势
2、 电势及电势叠加原理
为了得到一个只与场有关的物理量，进而用它来描 述电场，我们定义电势，它是电势能EP 与q0之比，它只 取决于电场。电场中某点的电势为
W q0 E dl
a
b
b b q0 a E dl q0 a E dl q0 a En dl
b
W1 W2 Wn
总功也与路径无关。
静电场力的功
结论：
试验电荷在任意给定的静电场中移动时，电 场力对q0做的功仅与试验电荷的电量及路径的起 点和终点位置有关，而与具体路径无关。
沿着电场线方向，电势降低。
电势的计算
三、电势的计算 1、 点电荷的电势
V + P
i
1 q dr V r E dl r 2 4 0 r
q 4 0 r
1
r
2、点电荷系的电势 V 3、 连续分布带电体的电势
1 qi 4 0 ri
r3 r2 q2 q3
q E dS S 0 E dl 0 L
电 势
二、 电势和电势叠加原理
1、 电势能(electric potential energy)
由环路定理知，静电场是保守场。保守场必有相应的势能，对静 电场则为电势能。 以点电荷为例给出静电场的电势能的定义。 静电场力的功： W
W F dl q0 L E dl L
p2
p1 q0 p1 E dl q0 p2 E dl
(L1)
p1
(L2)
q0 (
p2
E dl p E dl ) 1
p2
L2
P2
(L1)
(L2)
电场力做功与路径无关，故
W q0 E dl 0
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静电场做功和路径无关,只与始末位置有关。 所以我们可以定义一个位置函数，称 为电势能。比如图中q0在a点时的电势 能为： qq0
rb
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E pa
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静电场是保守场，静电场力是保守力。
静电场力的功
3、 静电场的环路定理 (circulation theorem of electrostatic field)
试验电荷q0在静电场中沿任意闭合路径L运动一 周时，电场力对q0做的功W=？
安培
q0
静电场力的功
在闭合路径L上任取两点P1、P2，将L分成L1、L2两段，
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E
这样静电场力的功可表示为电势能的负增量：
a
Wab Ep (Epb Epa )
电势能的零点选取时任意的，一般可选无穷远处为电势 能的零点，如果这样，电势能中待定的常数C为零。 qq0 C C 0 ra 时Epa＝0 E pa＝ 4 ra 这样，电场中任一点的电势能可表为：
ra
1 1 q dr ( ) 2 4 0 r 4 0 ra 4 0 ra
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如果是点电荷系在空间的电势分布，选无穷远为电势零 点则有： V E dl
a
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Vi
L
即
L E dl 0
P1 L1
静电场力的功
静电场的环路定理:在静电场中，场强沿任意闭合路 径的线积分（称为场强的环流）恒为零。
L E dl 0
静电场的环路定理说明，静电场是无旋场。 静电场的高斯定理和环路定理是静电场的基本规律，它 们所反映的物理图像是：电荷是电场的源，电场线从正 电荷出发而终止于负电荷，在自由空间中电场线连续通 过；在静电情形下电场没有漩涡状结构。
§8.4 静电场的环路定理 电势
一 静电场力的功 静电场的环路定理 1、 点电荷电场 试验电荷q0从点电荷q的电场中a点经任意路径到 达b点,求此过程中电场力作的功。
在路径上任一点附近取元位移 dl
b
dW F dl q0 E dl
q0 E dl cosθ
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W dW q0 a E dl
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静电场做功和路径无关。
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2、 任意带电体系的电场中 将带电体系分割为许多电荷元，根据电场的叠加性 E E1 E2 En 电场力对试验电荷q0做功为
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1
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电势的计算例题
电势的计算例题 例1. 均匀带电圆环轴线上的电势 例2. 均匀带电薄圆盘轴线上的电势
例3 均匀带电球面的电势 例4. 电偶极子的电势
例5. 均匀带电线的电势
例1. 均匀带电圆环轴线上的电势（q、a、x）