静电场电场力所作的功和电位的计算方法

位的参考点，即 Q 是零电位点。
在电磁场分析中梯度和旋度是两个非常重要的概念，这里对其计算进行简单介绍。在直角坐标系下若记算子“ ”（哈密顿算子）
为
则数量函数 u(x, y, z)的梯度的计算公式为
x
ex
y
ey
z
ez
则矢量函数 A(x, y, z)的旋度的计算公式为
grad
u
u
u x
ex
u y
l E dl 0
（3）
S E dS = 0
式中 S 为有向闭曲线 l 张成的曲面，S 的法向量 n 与 l 之间满足右螺旋关系。由于上式中的面积分在任何情况下都等于零，因此有
E = 0
（4）
式（4）表明静电场是一个无旋场。
在电磁场分析中斯托克斯定理是一个非常重要定理，这里进行补充性介绍。设 L 为分段光滑的空间有向闭曲线，S 是以 L 为边界
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点 P 处的电位 φ(r)计算式为 2.4 等位面
r 1 n qk 1
r'
dV '
1
r'
dS '
1
r'
dl '
40 k1 r r' 40 V ' r r'
40 S ' r r'
40 l' r r'
在静电场中将电位相等的点连接起来形成曲面，称为等位面，其方程为
EM
q0 4 0
er r2
（1）
式（1）中 r 为由源点 O 到场点 M 的距离，即
r = x2 y2 z2
er 为由源点 O 指向场点 M 的单位矢量。设 α、β、γ 依次是 er 与 x 轴、y 轴、z 轴之间的夹角，则矢量 er 可采用方向余弦表示
er
=
dx dr
ex +
dy dr
ey
+
dz dr
ez
= cos ex + cos ey + cos ez
在点电荷单独产生的静电场中将试验电荷 q 沿某一路径 l 从 A 点移至 B 点时，电场力 F 所作的功是
（2）点电荷单独产生的静电场是无旋场
W B F dl B qE dl
A
A
在以点电荷为源点产生的在静电场中，将试验电荷 q 沿闭合路径移动，电场力 F 所作的功恒为零
ey
u z
ez
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Lizhx.2.2 已知电位计算电场强度的方法 设静电场的电位函数为ex ey ez来自 rot A = A =
P ex Q ey R ez
x
y
z
PQR
= x, y, z
由式（5）可得
静电场中任意一点 M 处的电场强度 E 为
E
x,
U AB A B
B E dl
A
（7）
式（7）中积分路线可以选取场中连接点 A 和点 B 的任意一条光滑曲线 l。
若选定空间某点 Q 作为电位的参考点（通常选取大地做参考点），则由式（2.7）可知，空间中任意一点 P 都将有确定的单一电位
值
特别地，当参考点选为无限远处时，有
P
Q E dl
上式中 rot A 是矢量 A 的旋度，n0 是曲面 S 的单位法向量，它与 x 轴、y 轴、z 轴之间的夹角依次是 α、β、γ。矢量 A 和 n0 分别为
A P ex Q ey +R ez n0 cos ex cos ey + cos ez
Lizhx.1.2 任意场源形成的静电场中电场力所作的功 根据线性叠加原理，任意静电场都可以看作是由许多点电荷的静电场叠加的结果。因此，在任意场源形成的静电场中，将单位正
的分段光滑的有向曲面，L 的正向与 S 的方向符合右手螺旋规则，函数 P(x, y, z)、Q(x, y, z)、R(x, y, z)在包含曲面 S 在内的一个空间区
域具有一阶连续偏导数，则有
该定理的其他常见形式有
S
R y
Q z
dydz
P z
R x
dzdx
Q x
P y
dxdy
L
P dx Q dy
试验电荷沿某一路径 l 从 A 点移至 B 点时，电场力 F 所作的功是
W B E dl A
同样根据线性叠加原理，在任意场源形成的静电场中，电场强度 E 的环路线积分恒等于零、静电场是无旋场
l E dl 0
E = 0
即式（3）和式（4）对于任意场源形成的静电场具有普适性。
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R dz
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dydz dzdx dxdy
S x
y
z
L P dx Q dy R dz
PQ R
cos cos cos
S x y z dS L P dx Q dy R dz
PQR
S rot An0dS S AdS L P dx Q dy R dz
q a
Ex x(t), y(t), z(t) x 't Ey x(t), y(t), z(t) y 't Ez x(t), y(t), z(t) z 't dt
Lizhx.2 电位及计算
2.1 电位 根据矢量分析，任意一个标量函数 u 的梯度场是无旋场，即 u = 0
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P
（8）
P
E dl
P
Lizhx.2.4 已知场源分布由叠加积分计算电位
设场域中无限远处电位为参考电位，r’表示源点的位矢，r 表示场点位矢。对于场源中既有点电荷 qk(k=1, 2, …, n)，又有体积电荷
密度 ρ(r’) 分布的带电体 V’、面电荷密度 σ(r’)分布的带电面 S’和线电荷密度 τ(r’)分布的带电线 l’的一般情况，根据叠加原理，可得场
y,
z
x
ex
y
ey
z
ez
2.3 已知电场强度计算电位差
EM E M e E M e E Me
x
x
y
y
z
z
e
e
e
x M x y M y z M z
设静电场的电位函数为 φ(x, y, z)，则由多元函数的全微分公式可知
d dx dy dz x y z
由上式以及式（2）、式（5）可知，在静电场中将单位正电荷从点 A 移动至点 B 电场力对所作的功为
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静电场电场力所作的功和电位的计算方法
Lizhx.1 电场力所作的功及计算
1.1 点电荷产生的静电场中电场力所作的功
（1）点电荷单独产生的静电场中电场力所作的功
若位于直角坐标系原点 O 处的点电荷电量为 q0，根电场强度的定义，该点电荷产生的静电场中任意一点 M(x, y, z)处的电场强度为
y
t
z
z
t
dl = dx ex dy ey dz ez
= x 't dt ex y 't dt ey z 't dt ez
若 l 的起点 A(x(a), y(a), z(a))、终点 B(x(b), y(b), z(a))，则电场力对电荷 q 所作的功为
B
W A qE dl
b
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因此，可以选取一个标量函数来表征静电场的电场强度。 静电场是一个无旋场，故可以在场中定义一个标量函数 φ，使之满足
E
（5）
称 φ 为静电场的标量电位函数，它也是表征静电场特性的一个物理量。 由于
E +C
上式中 C 为任意常数，因此静电场的标量电位函数不是唯一确定。为了得到确定的电位值，通常在场中人为地选定空间某点 Q 作为电
式（10）中 C 取不同的值可得不同的等位面。 由式（5）可知，等位面和电力线（E 线）处处正交。
x, y,z C
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（9） （10）
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（6）
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W B E dl A
B dl A
B
=
A
x
dx
y
dy
z
dz
= B d A
= A B
这就是说，若已知静电场的电场强度 E(x, y, z)，则场中两点 A、B 的电位差（电压 UAB）为
（2）
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W l qE dl
q
= 4 0
l
1 r2
er
dxex dyey dzez
q
= 4 0
l
1 r2
dr
=
q 4 0
B A
1 r2
dr
A B
1 r2
dr
0
因此，电场强度 E 的环路线积分恒等于零，即
根据式（3）和斯托克斯定理可知
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1.3 电场力所作的功的计算方法 设电场强度 E 为
E x, y, z = Ex x, y, z ex Ey x, y, z ey Ez x, y, z ez
有向光滑曲线 l 取 t 为参数，可用下述参数方程表示
则在 l 上任意一点 M(x, y, z)处有
x xt
y