理论力学各章小结

《理论力学》内容小结

第一章 质点运动学 一、运动的描述方法

1．参考系——描述物体运动时被选作参考的另一物体叫参考系。

2．运动与静止——相对于参照坐标系而言，运动质点的坐标是时间t 的函数，如质点坐标为常数，则为静止。 3．运动学方程

（a ）矢量形式)(t r r

= (b)坐标形式

Ⅰ直角坐标)(1t f x =，)(2t f y =，)(3t f z =

Ⅱ平面极坐标)(t r r =，)(t θθ=

4．轨道——运动质点在空间一连串所占据的点形成的连续曲线，其方程可由上述运动学方程消去t 而得。 二、速度与加速度

1．矢量形式dt

r d v

=，22d d d d t r

a ==

t v 2．分量形式（平面）

Ⅰ直角坐标 速度x ，y ；加速度x

，y Ⅱ平面极坐标 径向速度r

，横向速度θ r ；径向加速度2

θ r r -，横向加速度θθ r r 2+ Ⅲ自然坐标 切向速度s ，法向速度0；切向加速度s

，t d d v 或s

d d v

v ，法向加速度ρ2v 三、平动参考系

1．匀速直线运动参考系

v v v '+=

0（绝对速度＝牵连速度＋相对速度） a a '=

（绝对加速度＝相对加速度） 2．加速直线运动参考系

v v v '+= 0 a a a '+=

0（绝对加速度＝牵连加速度＋相对加速度） 第二章 质点动力学 一、质点运动微分方程 1． 自由质点

（a ）矢量形式 ),,(t r

r F r m = （b ）分量形式

Ⅰ直角坐标 x F x m =

，y F y m = ，z F z m =

Ⅱ平面极坐标 r

F r r m =-)(2θ ，θθθF r r m =+)2( Ⅲ自然坐标 τF t

m d d v

，n F m =ρ2v ，b F =0 2． 非自由质点——取消约束，代以约束范作用力，就可把非自由质点视为自由质点，再和

约束方程联立求解。 3． 理想线约束

τF t

m =d d v

，n n R F m +=ρ2v 二、功与能 1． 功 z F y F x F r F W z y B

A

x B

A

d d d d ++=⋅=

⎰⎰

是一个线积分，一般随路径而异

2． 能——物体作功的本领，功是能量变化的量度 3． 动能22

1

v m E k =，m 是质点的质量，v 是质点的速度 4． 势能

如V F -∇=

，则力所作的功与路径无关，只与两端点的位置有关，这种力叫保守力，

在保守力场中，函数),,(z y x V 就是质点在),,(z y x 点上相对于某一规定零点的势能。 三、质点动力学的几个基本定理与守恒定律 1． 动量定理与动量守恒定律

动量v

m p =

动量定理F t

m t p

==d )(d d d v

动量守恒定律0=F ，=p

恒矢量，或1C x

= ，2C y = ，3C z = 2． 角动量定理与角动量守恒定律

对一点的角动量p r J

⨯= 力矩F r M

⨯=

角动量定理 t J M d d

= 或 [][][]⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧-=--=--=-x y z x y z yF xF x y y x m t

xF zF z x x

z m t

zF yF y z z y m t )(d d )(d d

)(d d

角动量守恒定律0=M ，=J

恒矢量，或

4C y z z

y =- ，5C z x x z =- ，6C x y y x =-

3． 动能定理与机械能守恒定律

动能定理 r F m E k d )2

1(d d 2

⋅==v

机械能守恒定律——对保守力成立，E V E k =+

第三章 质点系动力学 一、质点系

1． 质点系是由许多相互间存在作用的质点所组成的系统。 2． 内力和外力

质点系中质点间相互作用的力叫内力； 其他物体对质点系内质点的作用力叫外力；

质点系中任何两个质点间相互作用的内力满足牛顿第三运动定律，故对整个质点系而言，内力的总和为零，即

011

)

()(==∑∑=≠=n i i

j j i ij i F F

对任意参考点，内力矩之和也为零，即

011

)()(=⨯=∑∑=≠=n i i

j j i ij ij i F r M

3． 质心——质点系的全部质量可认为集中在某一点上，这点叫质点系的质心（刚体也是这

样）。其直角坐标为

∑∑===

n

i i

n

i i

i

C m

x

m x 1

1

，∑∑===

n

i i

n

i i

i

C m

y

m y 1

1，∑∑===

n

i i

n

i i

i

C m

z

m z 1

1

对质量连续分布的系统而言，上式中的求和应改为积分。 二、动量定理与动量守恒定律

1． 质点系动量对时间的变化率等于作用在质点系上诸外力的矢量和，这关系叫质点系的动

量定理，即

∑∑===⎪⎭⎫ ⎝⎛=n i e i n i i i F m t t p 1

)

(1d d d d

v

2． 质心运动定理——质点系质心的运动，就好像一个质点的运动一样，此质点的质量等于质点系的质量，而作用在此质点上的力等于作用在质点系上所有诸外力的矢量和，即

∑==n i e i

C F r m 1

)

( 3． 动量守恒定律——质点系不受外力作用而运动或虽受外力作用，但外力矢量和等于零，

则它的动量为一恒矢量。即01)(=∑=n

i e i F ，则===∑=i n i i C m m p v v

1

恒矢量。

三、质点系角动量定理与动量守恒定律