2018版高中数学 第二章 平面向量导学案 新人教A版必修4

第二章 平面向量

1 向量和差作图全攻略

两个非零向量的和差作图，对同学们是一个难点，这里对其作图方法作出细致分析，以求尽快掌握.

一、向量a 、b 共线

例1 如图，已知共线向量a 、b ，求作a ＋b . (1)a 、b 同向；

(2)a 、b 反向，且|a |＞|b |； (3)a 、b 反向，且|a |＜|b |.

作法 在与a 平行的同一条直线上作出三个向量OA →＝a ，AB →＝b ，OB →

＝a ＋b ，具体作法是：当

a 与

b 方向相同时，a ＋b 与a 、b 的方向相同，长度为|a |＋|b |；当a 与b 方向相反时，a ＋b 与a 、b 中长度长的向量方向相同，长度为||a |－|b ||.为了直观，将三个向量中绝对值最

大的向量沿与a 垂直的方向稍加平移，然后分别标上a ，b ，a ＋b .作图如下：

例2 如图，已知共线向量a 、b ，求作a －b . (1)a 、b 同向，且|a |＞|b |； (2)a 、b 同向，且|a |＜|b |； (3)a 、b 反向.

作法 在平面上任取一点O ，作OA →＝a ，OB →＝b ，则BA →

＝a －b .事实上a －b 可看作是a ＋(－b )，按照这个理解和a ＋b 的作图方法不难作出a －b ，作图如下：

二、向量a 、b 不共线

如果向量不共线，可以应用三角形法则或平行四边形法则作图.

例3 如图，已知向量a 、b . 求作：(1)a ＋b ；(2)a －b . 作法1 (应用三角形法则)

(1)一般情况下，应在两已知向量所在的位置之外任取一点O .

第一步：作OA →

＝a ，方法是将一个三角板的直角边与a 重合，再将直尺一边与三角板的另一直角边重合，最后将三角板拿开，放到一直角边过点O ，一直角边与直尺的一边重合的位置，在此基础上取|OA →|＝|a |，并使OA →

与a 同向.

第二步：同第一步方法作出AB →＝b ，一定要保证方向相同且长度相等.(此处最易错的是把AB →

作成与b 的方向相反.)

第三步：作OB →，即连接OB ，在B 处打上箭头，OB →

即为a ＋b . 作图如下：

(2)第一步：在平面上a ，b 位置之外任取一点O ； 第二步：依照前面方法过O 作OA →＝a ，OB →

＝b ； 第三步：连接AB ，在A 处加上箭头，向量BA →

即为a －b . 作图如下：

点评 向量加法作图的特点是“首尾相接，首尾连”；向量减法作图的特点是“共起点，连终点，箭头指被减”.

作法2 (应用平行四边形法则)

在平面上任取一点A ，以点A 为起点作AB →

＝a ， AD →

＝b ，以AB ，AD 为邻边作▱ABCD ，则AC →＝a ＋b ，DB →

＝a －b .作图如下：

点评 向量的平行四边形法则和三角法则在本质上是一样的，但在解决某些问题时平行四边形法则有一定的优越性，因此两种法则都应熟练掌握.

向量和差作图，要注意的是保证所作向量与目标向量“方向相同，长度相等”，最忌讳的是“作法不一”，比如作法中要求的是作AB →＝b ，可实际上作的是AB →

＝－b .只要作图的过程与作法的每一步相对应，一定能作出正确的图形.

2 向量线性运算的应用

平面向量的线性运算包括加法、减法以及数乘运算，在解题中具有广泛的应用.在对向量实施线性运算时，要准确利用对应的运算法则、运算律，注意向量的大小和方向两个方面. 一、化简

例1 化简下列各式： (1)(2AB →－CD →)－(AC →－2BD →

)； (2)1

24[3(2a ＋8b )－6(4a －2b )]. 解 (1)(2AB →－CD →)－(AC →－2BD →

)

＝2AB →－CD →－AC →＋2BD →＝2AB →＋DC →＋CA →＋2BD → ＝2(AB →＋BD →)＋(DC →＋CA →)＝2AD →＋DA →＝AD →. (2)1

24

[3(2a ＋8b )－6(4a －2b )] ＝124(6a ＋24b －24a ＋12b )＝1

24(－18a ＋36b ) ＝－34a ＋32

b .

点评 向量的基本运算主要有两个途径：一是基于“形”，通过作出向量，运用平行四边形法则或三角形法则进行化简；二是基于“数”，满足“首尾相接且相加”或“起点相同且相减”的两个向量进行化简，解题时要注意观察是否有这两种形式出现，同时注意向量加法法则、减法法则的逆向应用.数乘运算，可类比实数积的运算方法进行，将向量a ，b ，c 等看成一般字母符号，其中向量数乘之间的和差运算，相当于合并同类项或提取公因式，这里的“同类项”与“公因式”指的是向量. 二、求参数

例2 如图，已知△ABC 和点M 满足MA →＋MB →＋MC →＝0，若存在实数m 使得AB →＋AC →＝mAM →

成立，则

m ＝________.

解析 如图，因为MA →＋MB →＋MC →

＝0，

即MA →＝－(MB →＋MC →)， 即AM →＝MB →＋MC →， 延长AM ，交BC 于D 点，

所以D 是BC 边的中点，所以AM →＝2MD →

， 所以AD →＝32AM →，所以AB →＋AC →＝2AD →＝3AM →，

所以m ＝3. 答案 3

点评 求解含参数的向量线性运算问题，只需把参数当作已知条件，根据向量的加法、减法及数乘运算将问题中所涉及的向量用两个不共线的向量表示，列出向量方程，对比系数求参数的值. 三、表示向量

例3 如图所示，在△ABC 中，AD →＝23AB →

，DE ∥BC 交AC 于E ，BC 边上的中线AM 交DE 于点N ，

设AB →＝a ，AC →＝b ，用向量a ，b 表示AE →、BC →、DE →、DN →、AM →.

解 因为DE ∥BC ，AD →＝23

AB →

，

所以AE →＝23AC →＝23b ，BC →＝AC →－AB →

＝b －a ，

由△ADE ∽△ABC ，得DE →＝23BC →＝2

3(b －a )，

又M 是△ABC 底边BC 的中点，DE ∥BC ， 所以DN →＝12DE →＝1

3

(b －a )，