广东省茂名市2017年高考数学一模试卷(文科)(解析版)
2017年全国高考文科数学试题及答案-全国1卷
、选择题: 1.已知集合A. A l2.3.4.5.2017年普通高等学校招生全国统一考试1卷文科数学本大题共12小题,A= x|x 2 , B=B= x|x -2每小题5分，共60分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
x|3 2x 0，则B. A lC . A U B x|x |D. A U B=R为评估一种农作物的种植效果，选了n块地作试验田•这n块地的亩产量（单位：kg）分别为X1, X2,…, x n，下面给出的指标中可以用来评估这种农作物亩产量稳定程度的是A . X1, X2,…，X n的平均数C . X1, X2,…，x n的最大值F列各式的运算结果为纯虚数的是A . i(1+i)2B . i2(1-i) C. X1, X2,…，X n的标准差X1, X2,…，X n的中位数(1+i)2D. i(1+i)如图，正方形ABCD内的图形来自中国古代的太极图.正方形内切圆中的黑色部分和白色部分关于正方形的中心成中心对称•在正方形内随机取一点，则此点取自黑色部分的概率是（）已知F是双曲线nB . 一82C：x2- — =1的右焦点,3CP是C上一点，且PF与x轴垂直，点A的坐标是（1,3）.则△APF的面积为（）6.如图，在下列四个正方体中，A, B为正方体的两个顶点, Q为所在棱的中点，则在这四个正方体中，直接AB与平面平行的是7•设x, y满足约束条件x 3y 3,x y 1,则z=x+y的最大值为y 0,3C. 2sin2 x8 .函数y 的部分图像大致为（1 cosx9.已知函数f(x) Inx ln(2 x)，则A . f (x)在(0,2 )单调递增B . f (x)在(0,2)单调递减C. y= f(x)的图像关于直线x=1对称D. y= f(x)的图像关于点(1,0)对称10.如图是为了求出满足3n 2n1000的最小偶数n,那么在O和匚二|两个空白框中,可以分别填入A . A>1000 和n=n+1B . A>1000 和n=n+2C. A w 100(和n=n+1 D . A< 100(和n=n+211. △ABC的内角A、B、C的对边分别为a、b、c。
2017年高考真题——数学文(全国Ⅰ卷)含答解析
2017年普通高等学校招生全国统一考试文科数学【试卷点评】【命题特点】2017年全国1高考数学与2016全国1高考数学难度方面相对持平,在选择题和填空题及解答题方面难度有所降低．在保持稳定的基础上,进行适度创新，尤其是选择填空压轴题．试卷内容上体现新课程理念，贴近中学数学教学，坚持对基础性的考查，同时加大了综合性、应用性和创新性的考查，如第2、4、9、12、19题．1。
体现新课标理念,重视对传统核心考点考查的同时，增加了对数学文化的考查，如理科第2题，文科第4题以中国古代的太极图为背景,考查几何概型．2.关注通性通法．试卷淡化了特殊的技巧，全面考查通性通法，体现了以知识为载体，以方法为依托,以能力考查为目的的命题要求．3。
考查了数学思想、数学能力、数学的科学与人文价值，体现了知识与能力并重、科学与人文兼顾的精神．如第5、12、13、16题对数形结合思想的考查;第9题对函数与方程思想的考查．4.体现了创新性，如第19题立意新、情景新、设问新，增强了学生数学应用意识和创新能力．【命题趋势】1.函数与导数知识:以函数性质为基础，考查函数与不等式综合知识，如第9题；对函数图像的考查，如第8题；对含参单调性以及零点问题的考查，如21题，比较常规．2.三角函数与解三角形知识：对三角恒等变换的考查，如第15题；对解三角形问题的考查，如第11题．重视对基础知识与运算能力的考查．3.数列知识:对数列通项公式的考查，如17题．整体考查比较平稳，没有出现偏、怪的数列相关考点．4.立体几何知识:对立体几何图形的认识与考查，如文科第6题,理科第7题,试题难度不大,比较常规;第16题,简单几何体的外接球问题,难度一般．立体几何解答题的考查较常规．5。
解析几何知识：对圆锥曲线简单性质的考查，如文科第5题，文科第10题;对圆锥曲线综合知识的考查,如第12题,难度偏大；解答题考查较为常规，考查直线与圆锥曲线的位置关系，难度中等，重视对学生运算能力的考查．6.选做题知识：极坐标与参数方程仍然考查直角坐标方程与极坐标方程的互化，参数方程与普通方程的互化，直线与曲线的位置关系，考查较为稳定;不等式选讲仍然考查关于绝对值不等式的应用，解不等式，求参数范围问题．一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的．1．已知集合A ={}|2x x <，B ={}|320x x ->，则A ．AB =3|2x x ⎧⎫<⎨⎬⎩⎭ B ．A B =∅ C ．A B 3|2x x ⎧⎫=<⎨⎬⎩⎭ D ．A B=R【答案】A2．为评估一种农作物的种植效果,选了n块地作试验田．这n块地的亩产量（单位：kg)分别为x1,x2，…，x n,下面给出的指标中可以用来评估这种农作物亩产量稳定程度的是A．x1，x2,…，x n的平均数B．x1，x2，…,x n的标准差C．x1,x2,…，x n的最大值D．x1,x2,…,x n的中位数【答案】B【解析】试题分析：刻画评估这种农作物亩产量稳定程度的指标是标准差,故选B【考点】样本特征数【名师点睛】众数：一组数据出现次数最多的数叫众数，众数反应一组数据的多数水平；中位数：一组数据中间的数，（起到分水岭的作用)中位数反应一组数据的中间水平；平均数：反应一组数据的平均水平；方差:方差是和中心偏离的程度，用来衡量一批数据的波动大小（即这批数据偏离平均数的大小)并把它叫做这组数据的方差．在样本容量相同的情况下，方差越大，说明数据的波动越大，越不稳定．标准差是方差的算术平方根，意义在于反映一个数据集的离散程度．3．下列各式的运算结果为纯虚数的是A ．i(1+i)2B ．i 2(1—i)C ．(1+i)2D ．i （1+i ）【答案】C4．如图,正方形ABCD 内的图形来自中国古代的太极图．正方形内切圆中的黑色部分和白色部分关于正方形的中心成中心对称．在正方形内随机取一点,则此点取自黑色部分的概率是A ．14 B ．π8 C ．12D ．π 4 【答案】B【解析】试题分析:不妨设正方形边长为a ,由图形的对称性可知,太极图中黑白部分面积相等，即所各占圆面积的一半．由几何概型概率的计算公式得，所求概率为221()228a a ππ⨯⨯=,选B ．【考点】几何概型【名师点睛】对于一个具体问题能否用几何概型的概率公式计算事件的概率,关键在于能否将问题几何化，也可根据实际问题的具体情况，选取合适的参数建立适当的坐标系，在此基础上，将实验的每一结果一一对应于该坐标系中的一点，使得全体结果构成一个可度量的区域；另外,从几何概型的定义可知,在几何概型中，“等可能”一词理解为对应于每个实验结果的点落入某区域内的可能性大小，仅与该区域的度量成正比,而与该区域的位置、形状无关．5．已知F 是双曲线C ：1322=-y x 的右焦点，P 是C 上一点，且PF 与x 轴垂直，点A 的坐标是(1,3)，则△APF 的面积为A ．13B ．1 2C ．2 3D ．3 2 【答案】D6．如图,在下列四个正方体中，A ,B 为正方体的两个顶点，M ，N ，Q 为所在棱的中点，则在这四个正方体中，直接AB 与平面MNQ 不平行的是A ．B ．C ．D ．【答案】A【解析】 试题分析:由B ，AB ∥MQ ，则直线AB ∥平面MNQ ；由C ,AB ∥MQ ，则直线AB ∥平面MNQ ；由D ,AB ∥NQ ，则直线AB ∥平面MNQ ．故A 不满足，选A ．【考点】空间位置关系判断【名师点睛】本题主要考查线面平行的判定定理以及空间想象能力,属容易题．证明线面平行的常用方法：①利用线面平行的判定定理,使用这个定理的关键是设法在平面内找到一条与已知直线平行的直线，可利用几何体的特征，合理利用中位线定理、线面平行的性质或者构造平行四边形、寻找比例式证明两直线平行．②利用面面平行的性质,即两平面平行，在其中一平面内的直线平行于另一平面．7．设x ,y 满足约束条件33,1,0,x y x y y +≤⎧⎪-≥⎨⎪≥⎩则z =x +y 的最大值为A ．0B ．1C ．2D ．3【答案】D8．函数sin21cos x y x =-的部分图像大致为A ．B ．C ．D ．【答案】C9．已知函数()ln ln(2)f x x x =+-，则A ．()f x 在（0，2）单调递增B ．()f x 在（0，2）单调递减C ．y =()f x 的图像关于直线x =1对称D ．y =()f x 的图像关于点（1，0)对称【答案】C【解析】试题分析：由题意知，(2)ln(2)ln ()f x x x f x -=-+=，所以()f x 的图象关于直线1x =对称,C 正确,D 错误;又112(1)'()2(2)x f x x x x x -=-=--（02x <<)，在(0,1)上单调递增，在[1,2)上单调递减,A ，B 错误，故选C ．【考点】函数性质【名师点睛】如果函数()f x ，x D ∀∈，满足x D ∀∈，恒有()()f a x f b x +=-，那么函数的图象有对称轴2a b x +=;如果函数()f x ，x D ∀∈,满足x D ∀∈，恒有()()f a x f b x -=-+，那么函数()f x 的图象有对称中心(,0)2a b +． 10．如图是为了求出满足321000n n ->的最小偶数n ，那么在两个空白框中，可以分别填入A ．A 〉1000和n =n +1B ．A 〉1000和n =n +2C ．A ≤1000和n =n +1D ．A ≤1000和n =n +2【答案】D11．△ABC 的内角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ．已知sin sin (sin cos )0B A C C +-=，a =2，c 2C =A ．π12B ．π6C ．π4D ．π3【答案】B【解析】试题分析:由题意sin()sin (sin cos )0A C A C C ++-=得sin cos cos sin sin sin sin cos 0A C A C A C A C ++-=， 即sin (sin cos )2sin()04C A A C A π+=+=,所以34A π=．由正弦定理sin sin a c A C =得223sin sin 4C π=,即1sin 2C =，得6C π=,故选B ．【考点】解三角形【名师点睛】在解有关三角形的题目时，要有意识地考虑用哪个定理更合适，或是两个定理都要用，要抓住能够利用某个定理的信息．一般地，学科*网如果式子中含有角的余弦或边的二次式时，要考虑用余弦定理；如果式子中含有角的正弦或边的一次式时，则考虑用正弦定理；以上特征都不明显时，则要考虑两个定理都有可能用到．12．设A 、B 是椭圆C ：2213x y m +=长轴的两个端点，若C 上存在点M 满足∠AMB =120°，则m 的取值范围是A ．(0,1][9,)+∞ B ．(0,3][9,)+∞ C ．(0,1][4,)+∞ D ．(0,3][4,)+∞ 【答案】A二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．13．已知向量a =（–1，2），b =（m ，1)．若向量a +b 与a 垂直，则m =________． 【答案】7 【解析】试题分析：由题得(1,3)a b m +=-，因为()0a b a +⋅=，所以(1)230m --+⨯=，解得7m =【考点】平面向量的坐标运算 ，垂直向量【名师点睛】如果a ＝(x 1,y 1)，b ＝（x 2，y 2)(b ≠0）,则a ⊥b 的充要条件是x 1x 2+y 1y 2＝0． 14．曲线21y xx=+在点（1，2）处的切线方程为______________． 【答案】1y x =+15．已知π(0)2a ∈，，tan α=2，则πcos ()4α-=__________．310 【解析】试题分析:由tan 2α=得sin 2cos αα=又22sincos 1αα+=所以21cos5α=因为(0,)2πα∈所以cos αα==因为cos()cos cos sin sin 444πππααα-=+所以cos()4525210πα-=+=【考点】三角函数求值【名师点睛】三角函数求值的三种类型(1）给角求值：关键是正确选用公式，以便把非特殊角的三角函数转化为特殊角的三角函数．(2）给值求值：关键是找出已知式与待求式之间的联系及函数的差异．①一般可以适当变换已知式,求得另外函数式的值,以备应用;②变换待求式，便于将已知式求得的函数值代入，从而达到解题的目的．（3)给值求角：实质是转化为“给值求值”,先求角的某一函数值，再求角的范围,确定角．16．已知三棱锥S —ABC 的所有顶点都在球O 的球面上，SC 是球O 的直径．若平面SCA ⊥平面SCB ，SA =AC ，SB =BC ，三棱锥S —ABC 的体积为9，则球O 的表面积为________． 【答案】36π形所在平面的直线上任一点到多边形的顶点的距离相等，然后同样的方法找到另一个多边形的各顶点距离相等的直线(这两个多边形需有公共点），这样两条直线的交点，就是其外接球的球心，再根据半径，顶点到底面中心的距离，球心到底面中心的距离，构成勾股定理求解，有时也可利用补体法得到半径，例:三条侧棱两两垂直的三棱锥，可以补成长方体，它们是同一个外接球．三、解答题：共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．第17~21题为必考题，每个试题考生都必须作答．第22、23题为选考题,考生根据要求作答．（一）必考题：60分．17．（12分)记S n为等比数列{}n a的前n项和,已知S2=2，S3=—6．（1）求{}n a的通项公式；（2）求S n ,并判断S n +1，S n ，S n +2是否成等差数列．【答案】（1）(2)nn a =-;（2)32)1(321+⋅-+=n n n S ，证明见解析．解决等差、等比数列的运算问题时，经常采用“巧用性质、整体考虑、减少运算量"的方法． 18．（12分）如图，在四棱锥P-ABCD 中，AB//CD ，且90BAP CDP ∠=∠=．（1）证明：平面PAB ⊥平面PAD ;(2）若PA =PD =AB =DC ，90APD ∠=，且四棱锥P-ABCD 的体积为8，求该四棱锥的侧面积．3【答案】（1）证明见解析；(2）326 ．19．（12分）为了监控某种零件的一条生产线的生产过程,检验员每隔30 min从该生产线上随机抽取一个零件，并测量其尺寸（单位：cm ）．下面是检验员在一天内依次抽取的16个零件的尺寸：经计算得16119.9716i i x x ===∑，0.212s ==18.439≈,161()(8.5) 2.78i i x x i =--=-∑，其中ix 为抽取的第i 个零件的尺寸，1,2,,16i =⋅⋅⋅．（1）求(,)ix i (1,2,,16)i =⋅⋅⋅的相关系数r ，并回答是否可以认为这一天生产的零件尺寸不随生产过程的进行而系统地变大或变小（若||0.25r <，则可以认为零件的尺寸不随生产过程的进行而系统地变大或变小）．（2)一天内抽检零件中，如果出现了尺寸在(3,3)x s x s -+之外的零件，就认为这条生产线在这一天的生产过程可能出现了异常情况,需对当天的生产过程进行检查．（ⅰ)从这一天抽检的结果看，学．科网是否需对当天的生产过程进行检查？（ⅱ)在(3,3)x s x s -+之外的数据称为离群值,试剔除离群值，估计这条生产线当天生产的零件尺寸的均值与标准差．（精确到0．01）附：样本(,)i i x y (1,2,,)i n =⋅⋅⋅的相关系数12211()()()()niii n niii i x x y y r x x y y ===--=--∑∑∑，0.0080.09≈．【答案】（1）18.0-≈r ，可以;（2)(ⅰ）需要；（ⅱ）均值与标准差估计值分别为10．02，0．09．（ii)剔除离群值，即第13个数据，剩下数据的平均数为1(169.979.22)10.0215⨯-=，这条生产线当天生产的零件尺寸的均值的估计值为10．02．162221160.212169.971591.134ii x==⨯+⨯≈∑，剔除第13个数据，剩下数据的样本方差为221(1591.1349.221510.02)0.00815--⨯≈， 这条生产线当天生产的零件尺寸的标准差的估计值为0.0080.09≈．【考点】相关系数，方差均值计算【名师点睛】解答新颖的数学题时，一是通过转化，化“新”为“旧”；二是通过深入分析，多方联想,以“旧”攻“新”；三是创造性地运用数学思想方法，以“新”制“新”，应特别关注创新题型的切入点和生长点．20．（12分）x上两点，A与B的横坐标之和为4．设A，B为曲线C：y=24（1）求直线AB的斜率;(2）设M为曲线C上一点，C在M处的切线与直线AB平行，且AM⊥BM，求直线AB的方程．【答案】（1）1；（2)7=+．y x【解析】21．（12分）已知函数()f x =e x （e x ﹣a )﹣a 2x ． (1）讨论()f x 的单调性；（2）若()0f x ≥，求a 的取值范围．【答案】（1)当0a =，)(x f 在(,)-∞+∞单调递增；当0a >，()f x 在(,ln )a -∞单调递减，在(ln ,)a +∞单调递增；当0a <，()f x 在(,ln())2a -∞-单调递减，在(ln(),)2a-+∞单调递增；(2）34[2e ,1]-．【解析】试题分析：（1）分0a =，0a >，0a <分别讨论函数)(x f 的单调性；（2）分0a =，0a >，0a <分别解0)(≥x f ,从而确定a 的取值范围． 试题解析：（1）函数()f x 的定义域为(,)-∞+∞,22()2(2)()xx x x f x e ae a e a e a '=--=+-，①若0a =，则2()xf x e =，在(,)-∞+∞单调递增．②若0a >,则由()0f x '=得ln x a =．当(,ln )x a ∈-∞时，()0f x '<;当(ln ,)x a ∈+∞时，()0f x '>，所以()f x 在(,ln )a -∞单调递减，在(ln ,)a +∞单调递增．③若0a <，则由()0f x '=得ln()2a x =-．当(,ln())2a x ∈-∞-时，()0f x '<;当(ln(),)2a x ∈-+∞时，()0f x '>，故()f x 在(,ln())2a -∞-单调递减，在(ln(),)2a -+∞单调递增．（二)选考题：共10分．请考生在第22、23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分．22．[选修4―4：坐标系与参数方程]（10分）在直角坐标系xOy 中，曲线C 的参数方程为3cos ,sin ,x y θθ=⎧⎨=⎩（θ为参数），直线l 的参数方程为4,1,x a t t y t =+⎧⎨=-⎩（为参数）．（1)若1-=a ,求C 与l 的交点坐标；（2）若C 上的点到l 的距离的最大值为17，求a ． 【答案】（1）(3,0)，2124(,)2525-；（2)8a =或16a =-．（2）直线l 的普通方程为440x y a +--=，故C 上的点(3cos ,sin )θθ到l 的距离为 17d = 当4a ≥-时，d 171717=8a =;当4a <-时，d 171717=16a =-． 综上,8a =或16a =-．【考点】参数方程【名师点睛】本题为选修内容，先把直线与椭圆的参数方程化为直角坐标方程，联立方程，可得交点坐标，利用椭圆的参数方程，求椭圆上一点到一条直线的距离的最大值，直接利用点到直线的距离公式，表达椭圆上的点到直线的距离，利用三角有界性确认最值，进而求得参数a 的值．23．[选修4-5：不等式选讲]（10分）已知函数4)(2++-=ax x x f ，|1||1|)(-++=x x x g ．（1）当1=a 时，求不等式)()(x g x f ≥的解集;(2）若不等式)()(x g x f ≥的解集包含［–1，1]，求a 的取值范围．【答案】（1){|1x x -<≤；(2)[1,1]-．（2)图像法：作出函数1||||y x a x b=-+-和2y c=的图像,结合图像求解．。
广东省茂名市2017-2018学年高考数学一模试卷(理科) Word版含解析
广东省茂名市2017-2018学年高考数学一模试卷（理科）一、选择题（共8小题，每小题5分，满分40分）1．（5分）设全集U={1，2，3，4，5，6}，集合A={1，2，3，5}，B={2，4，6}，则（∁U A）∩B为（）A．{2} B．{4，6} C．{1，3，5} D．{2，4，6}2．（5分）i为虚数单位，则复数的虚部是（）A．﹣i B．i C．1D．﹣13．（5分）设a∈R，则“a=﹣2”是“直线l1：ax+2y﹣1=0与直线l2：x+（a+1）y+4=0平行”的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件4．（5分）下列函数中，在（﹣1，1）内有零点且单调递增的是（）A．B．y=2x﹣1 C．D．y=﹣x35．（5分）以点（3，﹣1）为圆心且与直线3x+4y=0相切的圆的方程是（）A．（x﹣3）2+（y+1）2=1 B．（x+3）2+（y﹣1）2=1 C．（x+3）2+（y ﹣1）2=2 D．（x﹣3）2+（y+1）2=26．（5分）如图，三行三列的方阵中有9个数a ij（i=1，2，3；j=1，2，3），从中任取三个数，则至少有两个数位于同行或同列的概率是（）A．B．C．D．7．（5分）设x，y满足约束条件，若目标函数z=ax+by（a＞0，b＞0）的最小值2，则ab的最大值为（）A．1B．C．D．8．（5分）设函数y=f（x）在R上有定义，对于任一给定的正数p，定义函数f p（x）=，则称函数f p（x）为f（x）的“p界函数”，若给定函数f（x）=x2﹣2x﹣2，p=1，则下列结论成立的是（）A．f p[f（0）]=f[f p（0）]B．f p[f（1）]=f[f p（1）]C．f p[f（2）]=f p[f p（2）] D．f[f（﹣2）]=f p[f p（﹣2）]二、填空题（共5小题，每小题5分，满分25分）9．（5分）已知a，b，c分别是△ABC的三个内角，A，B，C所对的边，若a=3，C=120°，△ABC的面积S=，则c为．10．（5分）一个几何体的三视图如图所示，正视图为正方形，俯视图为半圆，侧视图为矩形，则其表面积为．11．（5分）若执行如图所示的程序框图，则输出的S是．12．（5分）已知等比数列{a n}的第5项是二项式（﹣）6展开式的常数项，则a3a7=．13．（5分）已知A、B是椭圆+=1（a＞b＞0）长轴的两个端点，M，N是椭圆上关于x轴对称的两点，直线AM，BN的斜率分别为k1，k2，且k1k2≠0若|k1|+|k2|的最小值为1，则椭圆的离心率．（二）选做题（14-15题，考生只能从中选做一题）【坐标系与参数方程】14．（5分）在极坐标系中，曲线ρ=sinθ与ρ=cosθ（ρ＞0，0≤θ≤）的交点的极坐标为．【几何证明选讲】15．如图，圆O的半径为13cm，点P是弦AB的中点，PO=5cm，弦CD过点P，且=，则CD的长为cm．三、解答题16．（12分）已知函数f（x）=sin2xcosφ+cos2xsinφ（x∈R，0＜φ＜π），f（）=．（1）求f（x）的解析式；（2）若f（﹣）=，α∈（，π），求sin（α+）的值．17．（12分）第117届中国进出口商品交易会（简称春季交广会）将于4月15日在广州市举行，为了搞好接待工作，组委会在广州某大学分别招募8名男志愿者和12名女志愿者，现将这20名志愿者的身高组成如下茎叶图（单位：m），若身高在175cm以上（包括175cm）定义为“高个子”，身高在175cm以下（不包括175cm）定义为“非高个子”．（1）计算男志愿者的平均身高和女志愿者身高的中位数（保留一位小数）；（2）若从所有“高个子”中选3名志愿者，用ξ表示所选志愿者中为女志愿者的人数，试写出ξ的分布列，并求ξ的数学期望．18．（14分）如图，在四棱锥P﹣ABCD中，PD⊥平面ABCD，AD⊥DC，DB平分∠ADC，E为PC的中点，AD=CD=1，DB=2，PD=2．（1）证明：PA∥平面BDE；（2）证明：AC⊥PB；（3）求二面角E﹣BD﹣C的余弦值．19．（14分）已知数列{a n}的前n项和为S n，a1=1，且2nS n+1﹣2（n+1）S n=n（n+1）（n∈N*）．数列{b n}满足b n+2﹣2b n+1+b n=0（n∈N*）．b3=5，其前9项和为63．（1）求数列{a n}和{b n}的通项公式；（2）令c n=+，数列{c n}的前n项和为T n，若对任意正整数n，都有T n﹣2n∈[a，b]，求b﹣a的最小值．20．（14分）已知点F（0，1），直线l：y=﹣1，P为平面上的动点，过点P作直线l的垂线，垂足为Q，且•=•．（1）求动点P的轨迹C的方程；（2）设M为直线l1：y=﹣m（m＞2）上的任意一点，过点M作轨迹C的两条切线MA，MB．切点分别为A，B，试探究直线l1上是否存在点M，使得△MAB为直角三角形？若存在，有几个这样的点；若不存在，请说明理由．21．（14分）设函数f（x）=ln|x|﹣x2+ax．（Ⅰ）求函数f（x）的导函数f′（x）；（Ⅱ）若x1、x2为函数f（x）的两个极值点，且，试求函数f（x）的单调递增区间；（Ⅲ）设函数f（x）在点C（x0，f（x0））（x0为非零常数）处的切线为l，若函数f（x）图象上的点都不在直线l的上方，试探求x0的取值范围．广东省茂名市2017-2018学年高考数学一模试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题（共8小题，每小题5分，满分40分）1．（5分）设全集U={1，2，3，4，5，6}，集合A={1，2，3，5}，B={2，4，6}，则（∁U A）∩B为（）A．{2} B．{4，6} C．{1，3，5} D．{2，4，6}考点：交、并、补集的混合运算．专题：集合．分析：先求出A的补集，从而求出（∁U A）∩B，进而得到答案．解答：解：∵∁U A={4，6}，∴（∁U A）∩B={4，6}∩{2，4，6}={4，6}，故选：B．点评：本题考查了集合的交，并，补集的运算，是一道基础题．2．（5分）i为虚数单位，则复数的虚部是（）A．﹣i B．i C．1D．﹣1考点：复数代数形式的乘除运算．专题：数系的扩充和复数．分析：直接利用复数代数形式的乘除运算化简得答案．解答：解：∵=，∴复数的虚部是﹣1．故选：D．点评：本题考查了复数代数形式的乘除运算，考查了复数的基本概念，是基础题．3．（5分）设a∈R，则“a=﹣2”是“直线l1：ax+2y﹣1=0与直线l2：x+（a+1）y+4=0平行”的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件考点：必要条件、充分条件与充要条件的判断．专题：简易逻辑．分析：根据直线平行的条件，结合充分条件和必要条件的定义进行判断即可．解答：解：当a=﹣2时，两直线方程分别为l1：﹣2x+2y﹣1=0与直线l2：x﹣y+4=0满足，两直线平行，充分性成立．当a=1时，满足直线l1：x+2y﹣1=0与直线l2：x+2y+4=0平行，∴必要性不成立，∴“a=﹣2”是“直线l1：ax+2y﹣1=0与直线l2：x+（a+1）y+4=0平行”的充分不必要条件，故选：A．点评：本题主要考查充分条件和必要条件的应用，利用直线平行的条件是解决本题的关键．4．（5分）下列函数中，在（﹣1，1）内有零点且单调递增的是（）A．B．y=2x﹣1 C．D．y=﹣x3考点：函数的零点．专题：计算题．分析：A、对数函数的定义域和底数小于1时是减函数；B、对数函数的定义域和底数大于1时是增函数；C、指数是正数的幂函数在R上是增函数；D、底数大于1的指数函数在R上是增函数．解答：解：A、的定义域是（0，+∞），且为减函数，故不正确；B、y=2x﹣1的定义域是R，并且是增函数，且在（﹣1，1）上零点为0，故正确；C、在（﹣1，0）上是减函数，在（0，1）上是增函数，故不正确；D、y=﹣x3是减函数，故不正确．故选B．点评：考查基本初等函数的定义域和单调性以及函数的零点问题，属基础题．5．（5分）以点（3，﹣1）为圆心且与直线3x+4y=0相切的圆的方程是（）A．（x﹣3）2+（y+1）2=1 B．（x+3）2+（y﹣1）2=1 C．（x+3）2+（y ﹣1）2=2 D．（x﹣3）2+（y+1）2=2考点：圆的标准方程．专题：计算题；直线与圆．分析：根据题意，求出点（3，﹣1）与直线3x+4y=0的距离，即为所求圆的半径，结合圆的标准方程形式即可得到本题答案．解答：解：设圆的方程是（x﹣3）2+（y+1）2=r2∵直线3x+4y=0相与圆相切∴圆的半径r==1因此，所求圆的方程为（x﹣3）2+（y+1）2=1故选：A．点评：本题求一个已知圆心且与已知直线相切的圆方程，着重考查了点到直线的距离公式、圆的标准方程和直线与圆的位置关系等知识，属于基础题．6．（5分）如图，三行三列的方阵中有9个数a ij（i=1，2，3；j=1，2，3），从中任取三个数，则至少有两个数位于同行或同列的概率是（）A．B．C．D．考点：排列、组合及简单计数问题；古典概型及其概率计算公式．专题：排列组合．分析：从9个数中任取3个数共有C93=84种取法，求得不满足要求的选法共有6种，可得满足条件的选法有84﹣6=78种，从而求得所求事件的概率．解答：解：从9个数中任取3个数共有C93=84种取法，取出的三个数，使它们不同行且不同列：从第一行中任取一个数有C 1 3种方法，则第二行只能从另外两列中的两个数任取一个有C 1 2种方法，第三行只能从剩下的一列中取即可有1中方法，∴共有×=6种方法，即三个数分别位于三行或三列的情况有6种，∴所求的概率为=．故答案选D．点评：本题考查简单计数原理和组合数公式的应用、概率的计算公式，直接解法较复杂，采用间接解法比较简单．7．（5分）设x，y满足约束条件，若目标函数z=ax+by（a＞0，b＞0）的最小值2，则ab的最大值为（）A．1B．C．D．考点：简单线性规划．专题：不等式的解法及应用．分析：由约束条件作差可行域，由可行域得到使目标函数取得最小值的点，联立方程组求得最优解的坐标，代入目标函数得到关于a，b的等式，然后利用基本不等式求最值．解答：解：由约束条件作差可行域如图，联立，解得A（2，3）．由图可知，目标函数z=ax+by在点（2，3）上取到最小值2，即2a+3b=2．∴ab=．当且仅当2a=3b=1，即时等号成立．故选：C．点评：本题考查了线性规划，考查了数形结合的解题思想方法，是中档题．8．（5分）设函数y=f（x）在R上有定义，对于任一给定的正数p，定义函数f p（x）=，则称函数f p（x）为f（x）的“p界函数”，若给定函数f（x）=x2﹣2x﹣2，p=1，则下列结论成立的是（）A．f p[f（0）]=f[f p（0）]B．f p[f（1）]=f[f p（1）]C．f p[f（2）]=f p[f p（2）] D．f[f（﹣2）]=f p[f p（﹣2）]考点：二次函数的性质．专题：函数的性质及应用．分析：根据p界函数的定义求出f1（x）=，从而根据已知函数解析式求函数值，进行验证各选项的正误即可．解答：解：根据题意；∴f（0）=﹣2，f1（0）=﹣2，f1[f（0）]=f1（﹣2）=1，f[f1（0）]=f（﹣2）=6，∴A错误；f（1）=﹣3，f1（1）=﹣3，f1[f（1）]=f1（﹣3）=1，f[f1（1）]=f（﹣3）=13，∴B错误；f（2）=﹣2，f1（2）=﹣2，f1[f（1）]=f1（﹣2）=1，f1[f1（2）]=f1（﹣2）=1，∴C正确；f（﹣2）=6，f1（﹣2）=1，f[f（﹣2）]=f（6）=22，f1[f1（﹣2）]=f1（1）=﹣3，∴D错误．故选C．点评：考查对p界函数的理解与运用，已知函数解析式能够求出函数值．二、填空题（共5小题，每小题5分，满分25分）9．（5分）已知a，b，c分别是△ABC的三个内角，A，B，C所对的边，若a=3，C=120°，△ABC的面积S=，则c为7．考点：正弦定理．专题：计算题；解三角形．分析：由已知及三角形面积公式可得b的值，由余弦定理即可求得c的值．解答：解：由三角形面积公式可得：S=absinC=，∵a=3，C=120°，∴可得：=，解得：b=5，∴由余弦定理可得：c2=a2+b2﹣2abcosC=9+25+15=49，∴可解得：c=7．故答案为：7．点评：本题主要考查了三角形面积公式，余弦定理的应用，属于基本知识的考查．10．（5分）一个几何体的三视图如图所示，正视图为正方形，俯视图为半圆，侧视图为矩形，则其表面积为3π+4．考点：由三视图求面积、体积．专题：计算题．分析：原几何体为圆柱的一半，且高为2，底面圆的半径为1，表面积由上下两个半圆及正面的正方形和侧面圆柱面积构成，分别求解相加可得答案．解答：解：由三视图可知：原几何体为圆柱的一半，（沿中轴线切开）由题意可知，圆柱的高为2，底面圆的半径为1，故其表面积为S=2×π×12+2×2+×2π×1×2=3π+4故答案为：3π+4点评：本题考查由几何体的三视图求面积，由三视图得出原几何体的形状和数据是解决问题的关键，属基础题．11．（5分）若执行如图所示的程序框图，则输出的S是﹣1．考点：程序框图．专题：图表型；算法和程序框图．分析：根据框图的流程模拟程序运行的结果，发现S值的周期为6，根据条件确定跳出循环的k值，计算输出的S值．解答：解：由程序框图知：n=1，第1次循环S=，n=2；第2次循环S=0，n=3；第3次循环S=﹣1，n=4；第4次循环S=﹣，n=5，第5次循环S=﹣1，n=6；第6次循环S=0，n=7；第7次循环S=，n=8，第8次循环S=0，……S值的周期为6，2016=6*336，∵跳出循环的k值为2016，∴输出的S=﹣1．故答案为：﹣1．点评：本题考查了当型循环结构的程序框图，根据框图的流程模拟程序运行的结果是解答此类问题的常用方法，属于基本知识的考查．12．（5分）已知等比数列{a n}的第5项是二项式（﹣）6展开式的常数项，则a3a7=．考点：二项式定理的应用．专题：二项式定理．分析：先求出二项式展开式的通项公式，再令x的幂指数等于0，求得r的值，即可求得展开式中的常数项的值．再根据该项是等比数列{a n}的第5项，再利用等比数列的性质求得a3a7的值．解答：解：二项式（﹣）6展开式的通项公式为T r+1=••，令3﹣=0，求得r=2，故展开式的常数项为•=．等比数列{a n}的第5项a5=，可得a3a7==，故答案为：．点评：本题主要考查二项式定理的应用，二项式系数的性质，二项式展开式的通项公式，等比数列的定义和性质，属于基础题．13．（5分）已知A、B是椭圆+=1（a＞b＞0）长轴的两个端点，M，N是椭圆上关于x轴对称的两点，直线AM，BN的斜率分别为k1，k2，且k1k2≠0若|k1|+|k2|的最小值为1，则椭圆的离心率．考点：椭圆的简单性质．专题：计算题；圆锥曲线的定义、性质与方程．分析：先假设出点M，N，A，B的坐标，然后表示出两斜率的关系，再由|k1|+|k2|的最小值为1运用基本不等式的知识可得到当x0=0时可取到最小值，进而找到a，b，c的关系，进而可求得离心率的值．解答：解：设M（x0，y0），N（x0，﹣y0），A（﹣a，0），B（a，0），则=1，即有，k1=，k2=，|k1|+|k2|=||+||=1，当且仅当=即x0=0，y0=b时等号成立．∴2=2•=1∴a=2b，又因为a2=b2+c2∴c=a，∴e==．故答案为：点评：本题主要考查椭圆的基本性质和基本不等式的应用．圆锥曲线是2017-2018学年高考的重点问题，基本不等式在解决最值时有重要作用，所以这两方面的知识都很重要，一定要强化复习．（二）选做题（14-15题，考生只能从中选做一题）【坐标系与参数方程】14．（5分）在极坐标系中，曲线ρ=sinθ与ρ=cosθ（ρ＞0，0≤θ≤）的交点的极坐标为．考点：简单曲线的极坐标方程．专题：坐标系和参数方程．分析：曲线ρ=sinθ与ρ=cosθ（ρ＞0，0≤θ≤）分别化为ρ2=ρsinθ，ρ2=ρcosθ．可得直角坐标方程为：x2+y2=y，x2+y2=x，x，y≥0，x2+y2＞0．联立解得x，y，再利用极坐标即可．解答：解：曲线ρ=sinθ与ρ=cosθ（ρ＞0，0≤θ≤）分别化为ρ2=ρsinθ，ρ2=ρcosθ．可得直角坐标方程为：x2+y2=y，x2+y2=x，x，y≥0，x2+y2＞0．联立解得x=y=．∴交点P，化为极坐标为=，．∴极坐标为：．故答案为：．点评：本题考查了极坐标与直角坐标的互化、圆的交点，考查了计算能力，属于基础题．【几何证明选讲】15．如图，圆O的半径为13cm，点P是弦AB的中点，PO=5cm，弦CD过点P，且=，则CD的长为18cm．考点：与圆有关的比例线段．专题：立体几何．分析：由已知条件利用垂径定理和勾股定理得AP=PB=12，再由相交弦定理得CP•PD=AP•PB=122=144，利用=，得CD=3CP，PD=2CP，由此能求出CD的长．解答：解：圆O的半径为13cm，点P是弦AB的中点，PO=5cm，∴AP=PB==12，∴CP•PD=AP•PB=122=144，∵=，∴CD=3CP，PD=2CP，∴2CP2=144，解得CP=6，∴CD=3CP=18．故答案为：18．点评：本题考查与圆有关的线段长的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意垂径定理、勾股定理、相交弦定理的合理运用．三、解答题16．（12分）已知函数f（x）=sin2xcosφ+cos2xsinφ（x∈R，0＜φ＜π），f（）=．（1）求f（x）的解析式；（2）若f（﹣）=，α∈（，π），求sin（α+）的值．考点：三角函数中的恒等变换应用；函数解析式的求解及常用方法．专题：计算题；三角函数的求值．分析：（1）由f（）=．可得cosφ=，又0＜φ＜π，可解得φ，从而可求得f（x）的解析式；（2）由f（﹣）=，可得cosα=﹣，又α∈（，π），可得sinα，利用两角和的正弦公式即可求得sin（α+）的值．解答：解：（1）由f（）=．可得sin cosφ+cos sinφ=…1分所以cosφ=…2分又∵0＜φ＜π…3分∴φ=…4分∴f（x）=sin2xcos+cos2xsin=sin（2x+）…6分（2）由f（﹣）=，可得sin[2（﹣）+]=，即sin（）=…7分所以cosα=﹣…8分又∵α∈（，π），…9分所以sinα===…10分sin（α+）=sinαcos+cos=…12分点评：本题主要考查了三角函数中的恒等变换应用，函数解析式的求解及常用方法，所以基本知识的考查．17．（12分）第117届中国进出口商品交易会（简称春季交广会）将于4月15日在广州市举行，为了搞好接待工作，组委会在广州某大学分别招募8名男志愿者和12名女志愿者，现将这20名志愿者的身高组成如下茎叶图（单位：m），若身高在175cm以上（包括175cm）定义为“高个子”，身高在175cm以下（不包括175cm）定义为“非高个子”．（1）计算男志愿者的平均身高和女志愿者身高的中位数（保留一位小数）；（2）若从所有“高个子”中选3名志愿者，用ξ表示所选志愿者中为女志愿者的人数，试写出ξ的分布列，并求ξ的数学期望．考点：离散型随机变量的期望与方差；茎叶图；离散型随机变量及其分布列．专题：概率与统计．分析：（1）根据茎叶图，利用平均数公式和中位数定义能求出男志愿者的平均身高和女志愿者身高的中位数．（2）由茎叶图知“高个子”有8人，“非高个子”有12人，而男志愿者的“高个子”有5人，女志愿者的高个子有3人，从而ξ的可能取值为0，1，2，3，分别求出相应的概率，由此能求出ξ的分布列和数学期望．解答：解：（1）根据茎叶图，得：男志愿者的平均身高为：≈176.1（cm），女志愿都身高的中位数为：=168.5（cm）．（2）由茎叶图知“高个子”有8人，“非高个子”有12人，而男志愿者的“高个子”有5人，女志愿者的高个子有3人，∴ξ的可能取值为0，1，2，3，P（ξ=0）==，P（ξ=1）==，P（ξ=2）==，P（ξ=3）==，∴ξ的分布列为：ξ0 1 2 3P∴Eξ==．点评：本题考查平均数、中位数的求法，考查离散型随机变量的分布列和数学期望的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意排列组合知识的合理运用．18．（14分）如图，在四棱锥P﹣ABCD中，PD⊥平面ABCD，AD⊥DC，DB平分∠ADC，E为PC的中点，AD=CD=1，DB=2，PD=2．（1）证明：PA∥平面BDE；（2）证明：AC⊥PB；（3）求二面角E﹣BD﹣C的余弦值．考点：二面角的平面角及求法；空间中直线与直线之间的位置关系；直线与平面平行的判定．专题：空间位置关系与距离；空间角．分析：（1）设AC∩BD=F，连结EF，由已知得EF为△PAC的中位线，从而PA∥EF，由此能证明PA∥平面BDE．（2）由已知得AC⊥BD，由线面垂直得PD⊥AC，从而AC⊥平面PBD，由此能证明AC⊥PB．（3）取CD中点M，连结EM，过M作MH⊥DF于H，连结EH，由已知得∠EHM是二面角E﹣BD﹣C的平面角，由此能求出二面角E﹣BD﹣C的余弦值．解答：（1）证明：如图，设AC∩BD=F，连结EF，∵AD=CD，且DB平分∠ADC，∴F为AC中点，又∵E为PC的中点，∴EF为△PAC的中位线，∴PA∥EF，又EF⊂平面BDE，PA⊄平面BDE，∴PA∥平面BDE．（2）证明：∵AD=CD，且DB平分∠ADC，∴AC⊥BD，又PD⊥平面ABCD，AC⊂平面ABCD，∴PD⊥AC，又∵PD∩BD=D，且PD⊂平面PBD，BD⊂平面PBD，∴AC⊥平面PBD，又PB⊂平面PBD，∴AC⊥PB．（3）解：取CD中点M，连结EM，过M作MH⊥DF于H，连结EH，∵EM∥PD，PD⊥平面ABCD，∴EM⊥平面ABCD，∴EM⊥BD，又MH⊥DF，MH∩EM=M，∴DF⊥平面EHM，∴DF⊥EH，∴∠EHM是二面角E﹣BD﹣C的平面角，又由AC==，∴MH=，在Rt△EAH中，由EM=1，得EH===，∴cos∠EHM==，∴二面角E﹣BD﹣C的余弦值为．点评：本题考查线面垂直的证明，考查异面直线垂直的证明，考查二面角的余弦值的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意空间思维能力的培养．19．（14分）已知数列{a n}的前n项和为S n，a1=1，且2nS n+1﹣2（n+1）S n=n（n+1）（n∈N*）．数列{b n}满足b n+2﹣2b n+1+b n=0（n∈N*）．b3=5，其前9项和为63．（1）求数列{a n}和{b n}的通项公式；（2）令c n=+，数列{c n}的前n项和为T n，若对任意正整数n，都有T n﹣2n∈[a，b]，求b﹣a的最小值．考点：数列的求和；数列递推式．专题：等差数列与等比数列．分析：（1）由2nS n+1﹣2（n+1）S n=n（n+1）（n∈N*），变形，可得数列是等差数列，利用等差数列的通项公式可得，S n=．再利用“当n≥2时，a n=S n﹣S n﹣1，当n=1时也成立”即可得出a n．由于数列{b n}满足b n+2﹣2b n+1+b n=0（n∈N*），可得数列{b n}是等差数列，利用等差数列的通项公式及其前n选和公式即可得出．（2）c n=+==2+2，利用“裂项求和”可得：数列{c n}的前n项和为T n=3+2n﹣2．设A n=，可得数列{A n}单调递增，得出：．由于对任意正整数n，都有T n﹣2n∈[a，b]，可得，b≥3，即可得出．解答：解：（1）∵2nS n+1﹣2（n+1）S n=n（n+1）（n∈N*），∴，∴数列是等差数列，首项为1，公差为，∴=1+，∴S n=．∴当n≥2时，，a n=S n﹣S n﹣1==n，当n=1时也成立．∴a n=n．∵数列{b n}满足b n+2﹣2b n+1+b n=0（n∈N*），∴数列{b n}是等差数列，设公差为d，∵前9项和为63，∴=9b5=63，解得b5=7，又b3=5，∴d==1，∴b n=b3+（n﹣3）d=5+n﹣3=n+2，∴b n=n+2．因此：a n=n，b n=n+2．（2）c n=+==2+2，∴数列{c n}的前n项和为T n=2n+2++…+=2n+2=3+2n﹣2．∴T n﹣2n=．设A n=，∵A n+1﹣A n=﹣3+2=＞0，∴数列{A n}单调递增，∴（A n）min=A1=．而A n＜3，∴．∵对任意正整数n，都有T n﹣2n∈[a，b]，∴∴，b≥3，∴b﹣a的最小值==．点评：本题考查了递推式的应用、等差数列的通项公式及前n项和公式及其性质、“裂项求和”、数列的单调性，考查了推理能力与计算能力，属于难题．20．（14分）已知点F（0，1），直线l：y=﹣1，P为平面上的动点，过点P作直线l的垂线，垂足为Q，且•=•．（1）求动点P的轨迹C的方程；（2）设M为直线l1：y=﹣m（m＞2）上的任意一点，过点M作轨迹C的两条切线MA，MB．切点分别为A，B，试探究直线l1上是否存在点M，使得△MAB为直角三角形？若存在，有几个这样的点；若不存在，请说明理由．考点：直线与圆锥曲线的综合问题；平面向量数量积的运算；轨迹方程．专题：圆锥曲线中的最值与范围问题．分析：（1）设动点P（x，y），则Q（x，﹣1），由•=•，可得=0，利用数量积运算可得﹣x2+4y=0，即x2=4y．（2）设A（x1，y1），B（x2，y2），M（x0，y0）．由x2=4y，可得，可得切线方程为：．又切线过点M，可得；同理可得过点B的切线方程为：．可知：x1，x2是方程的两个实数根．可得根与系数的关系：利用数量积运算可得=x1x2﹣x0（x1+x2）++y1y2﹣y0（y1+y2）+．可得：=．当m＞2时，＞0，∠AMB＜．利用斜率计算公式可得k MA•k AB=，若k MA•k AB=﹣1，整理得．即=4，而m＞2时，方程=4有解，即可得出．解答：解：（1）设动点P（x，y），则Q（x，﹣1），∵•=•，∴=0．∵=（﹣x，2），=（0，y+1），=（x，y﹣1），∴（﹣x，2）•（x，2y）=0，∴﹣x2+4y=0，即x2=4y．（2）设A（x1，y1），B（x2，y2），M（x0，y0）．由x2=4y，可得，∴切点A的切线斜率为，切线方程为：，即．又切线过点M，∴①，同理可得过点B的切线方程为，又过点M，∴．②由①②可知：x1，x2是方程的两个实数根．∴x1+x2=2x0，x1x2=4y0．=（x1﹣x0）（x2﹣x0）+（y1﹣y0）（y2﹣y0）=x1x2﹣x0（x1+x2）++y1y2﹣y0（y1+y2）+（*）．把x1+x2=2x0，x1x2=4y0.，y2=代入（*）可得：==．当m＞2时，＞0，∠AMB＜．∵k AB====.=，∴k MA•k AB==，若k MA•k AB=﹣1，整理得．∵y0=﹣m，∴=4，而m＞2时，方程=4有解，∴m＞2时，MA⊥AB或MB⊥AB，△MAB为直角三角形．即直线l1上存在两点M，使得△MAB为直角三角形．点评：本题考查了抛物线的标准方程及其性质、直线与抛物线相切问题、一元二次方程的根与系数的关系、向量垂直与数量积的关系，考查了分析问题与解决问题的能力，考查了推理能力与计算能力，属于难题．21．（14分）设函数f（x）=ln|x|﹣x2+ax．（Ⅰ）求函数f（x）的导函数f′（x）；（Ⅱ）若x1、x2为函数f（x）的两个极值点，且，试求函数f（x）的单调递增区间；（Ⅲ）设函数f（x）在点C（x0，f（x0））（x0为非零常数）处的切线为l，若函数f（x）图象上的点都不在直线l的上方，试探求x0的取值范围．考点：利用导数研究函数的极值；利用导数研究曲线上某点切线方程．专题：综合题；导数的综合应用．分析：（Ⅰ）确定函数的定义域，分类讨论，将函数化简，再求导函数即可；（Ⅱ）根据x1、x2为函数f（x）的两个极值点，利用韦达定理，可求a的值，即得到函数解析式，求导函数，利用f'（x）≥0，可得函数f（x）的单调递增区间；（Ⅲ）确定切线l的方程，再构造新函数g（x），求导数，确定函数的单调性与极值，从而函数f（x）=ln|x|﹣x2+ax的图象恒在直线l的下方或直线l上，等价于g（x）≤0对x≠0恒成立，即只需g（x0）≤0和，由此可得x0的取值范围．解答：解：（Ⅰ）函数f（x）=ln|x|﹣x2+ax的定义域为{x|x∈R，x≠0}．当x＞0时，f（x）=lnx﹣x2+ax，∴；…（1分）当x＜0时，f（x）=ln（﹣x）﹣x2+ax，∴；…（3分）综上可得．…（4分）（Ⅱ）∵=，x1、x2为函数f（x）的两个极值点，∴x1、x2为方程﹣2x2+ax+1=0的两根，所以，又∵，∴a=﹣1．…（5分）此时，，由f'（x）≥0得，当x＞0时，，此时；当x＜0时，（2x﹣1）（x+1）≥0，∴x≤﹣1或x≥，此时x≤﹣1．∴当f'（x）≥0时，x≤﹣1或．…（7分）当f'（x）≤0时，同理解得．…（8分）综上可知a=﹣1满足题意，且函数f（x）的单调递增区间为（﹣∞，﹣1]和．…（9分）（Ⅲ）∵，又，∴切线l的方程为，即（x0为常数）．…（10分）令=，=，（11分）当x0＞0时，x、g'（x）、g（x）的关系如下表：x （0，x0）x0（x0，+∞）g'（x）+ 0 ﹣+ 0 ﹣g（x）↗极大值↘↗极大值↘当x0＜0时，x、g'（x）、g（x）的关系如下表：x （﹣∞，x0）x0（x0，0）g'（x）+ 0 ﹣+ 0 ﹣g（x）↗极大值↘↗极大值↘函数f（x）=ln|x|﹣x2+ax的图象恒在直线l的下方或直线l上，等价于g（x）≤0对x≠0恒成立．∴只需g（x0）≤0和同时成立．…（12分）∵g（x0）=0，∴只需．下面研究函数，∵，∴m（x）在（0，+∞）上单调递增，注意到m（1）=0，∴当且仅当0＜x≤1时，m（x）≤0．…（13分）∴当且仅当时，，由解得或．∴x0的取值范围是．…（14分）点评：本题主要考查函数、导数等基础知识，考查推理论证能力、运算求解能力，考查数形结合思想、化归与转化思想、分类与整合思想、函数与方程思想．。
2017年高考数学全国卷1文(附参考答案及详解)
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2017广一模文科数学
2017年广东省广州市高考数学一模试卷（文科）一、选择题：本小题共12题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．复数的虚部是（）A．﹣2 B．﹣1 C．1 D．22．已知集合{x|x2+ax=0}={0，1}，则实数a的值为（）A．﹣1 B．0 C．1 D．23．已知tanθ=2，且θ∈，则cos2θ=（）A．B．C． D．4．阅读如图的程序框图．若输入n=5，则输出k的值为（）A．2 B．3 C．4 D．55．已知函数f（x）=，则f（f（3））=（）A．B．C． D．﹣36．已知双曲线C的一条渐近线方程为2x+3y=0，F1，F2分别是双曲线C的左，右焦点，点P在双曲线C上，且|PF1|=2，则|PF2|等于（）A．4 B．6 C．8 D．107．四个人围坐在一张圆桌旁，每个人面前放着完全相同的硬币，所有人同时翻转自己的硬币．若硬币正面朝上，则这个人站起来；若硬币正面朝下，则这个人继续坐着．那么，没有相邻的两个人站起来的概率为（）A．B．C．D．8．如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗线画出的是某几何体的正视图（等腰直角三角形）和侧视图，且该几何体的体积为，则该几何体的俯视图可以是（）A．B．C．D．9．设函数f（x）=x3+ax2，若曲线y=f（x）在点P（x0，f（x0））处的切线方程为x+y=0，则点P的坐标为（）A．（0，0）B．（1，﹣1）C．（﹣1，1）D．（1，﹣1）或（﹣1，1）10．《九章算术》中，将底面为长方形且有一条侧棱与底面垂直的四棱锥称之为阳马；将四个面都为直角三角形的三棱锥称之为鳖臑．若三棱锥P﹣ABC为鳖臑，PA⊥平面ABC，PA=AB=2，AC=4，三棱锥P﹣ABC的四个顶点都在球O的球面上，则球O的表面积为（）A．8πB．12πC．20πD．24π11．已知函数f（x）=sin（ωx+φ）+cos（ωx+φ）（ω＞0，0＜φ＜π）是奇函数，直线y=与函数f（x）的图象的两个相邻交点的横坐标之差的绝对值为，则（）A．f（x）在上单调递减B．f（x）在上单调递减C．f（x）在上单调递增D．f（x）在上单调递增12．已知函数f（x）=+cos（x﹣），则的值为（）A．2016 B．1008 C．504 D．0二、填空题：本小题共4题，每小题5分．13．已知向量=（1，2），=（x，﹣1），若∥（﹣），则•= ．14．若一个圆的圆心是抛物线x2=4y的焦点，且该圆与直线y=x+3相切，则该圆的标准方程是．15．满足不等式组的点（x，y）组成的图形的面积是5，则实数a的值为．16．在△ABC中，∠ACB=60°，BC＞1，AC=AB+，当△ABC的周长最短时，BC的长是．三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17．已知数列{a n}的前n项和为S n，且S n=2a n﹣2（n∈N*）．（Ⅰ）求数列{a n}的通项公式；（Ⅱ）求数列{S n}的前n项和T n．18．某企业生产的某种产品被检测出其中一项质量指标存在问题．该企业为了检查生产该产品的甲，乙两条流水线的生产情况，随机地从这两条流水线上生产的大量产品中各抽取50件产品作为样本，测出它们的这一项质量指标值．若该项质量指标值落在根据图1，估计乙流水线生产产品该质量指标值的中位数；（Ⅱ）若将频率视为概率，某个月内甲，乙两条流水线均生产了5000件产品，则甲，乙两条流水线分别生产出不合格品约多少件？（Ⅲ）根据已知条件完成下面2×2列联表，并回答是否有85%的把握认为“该企业生产的这种产品的质量指标值与甲，乙两条流水线的选择有关”？甲生产线乙生产线合计合格品不合格品合计附：（其中n=a+b+c+d为样本容量）P（K2≥k）0.150.100.050.0250.0100.0050.001 k 2.072 2.706 3.841 5.024 6.6357.87910.82819．如图1，在直角梯形ABCD中，AD∥BC，AB⊥BC，BD⊥DC，点E是BC 边的中点，将△ABD沿BD折起，使平面ABD⊥平面BCD，连接AE，AC，DE，得到如图2所示的几何体．（Ⅰ）求证：AB⊥平面ADC；（Ⅱ）若AD=1，AC与其在平面ABD内的正投影所成角的正切值为，求点B到平面ADE的距离．20．已知椭圆C：的离心率为，且过点A（2，1）．（Ⅰ）求椭圆C的方程；（Ⅱ）若P，Q是椭圆C上的两个动点，且使∠PAQ的角平分线总垂直于x轴，试判断直线PQ的斜率是否为定值？若是，求出该值；若不是，说明理由．21．已知函数f（x）=lnx+．（Ⅰ）若函数f（x）有零点，求实数a的取值范围；（Ⅱ）证明：当a≥时，f（x）＞e﹣x．选修4-4：坐标系与参数方程22．在直角坐标系xOy中，直线l的参数方程为（t为参数）．在以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴的极坐标系中，曲线C：ρ=2cos（θ﹣）．（Ⅰ）求直线l的普通方程和曲线C的直角坐标方程；（Ⅱ）求曲线C上的点到直线l的距离的最大值．选修4-5：不等式选讲23．已知函数f（x）=|x+a﹣1|+|x﹣2a|．（Ⅰ）若f（1）＜3，求实数a的取值范围；（Ⅱ）若a≥1，x∈R，求证：f（x）≥2．2017年广东省广州市高考数学一模试卷（文科）参考答案与试题解析一、选择题：本小题共12题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．复数的虚部是（）A．﹣2 B．﹣1 C．1 D．2【考点】复数代数形式的乘除运算．【分析】利用复数的运算法则、虚部的定义即可得出．【解答】解：复数==1﹣i的虚部是﹣1．故选：B．2．已知集合{x|x2+ax=0}={0，1}，则实数a的值为（）A．﹣1 B．0 C．1 D．2【考点】集合的表示法．【分析】集合{x|x2+ax=0}={0，1}，则x2+ax=0的解为0，1，利用韦达定理，求出a的值．【解答】解：由题意，0+1=﹣a，∴a=﹣1，故选A．3．已知tanθ=2，且θ∈，则cos2θ=（）A．B．C． D．【考点】二倍角的余弦．【分析】由已知利用同角三角函数关系式可求cosθ，进而利用二倍角的余弦函数公式即可计算求值得解．【解答】解：∵tanθ=2，且θ∈，∴cosθ===，∴cos2θ=2cos2θ﹣1=2×（）2﹣1=﹣．故选：C．4．阅读如图的程序框图．若输入n=5，则输出k的值为（）A．2 B．3 C．4 D．5【考点】循环结构．【分析】按照程序框图的流程写出前几次循环的结果；直到满足判断框中的条件，执行输出．【解答】解：经过第一次循环得到的结果为k=0，n=16，经过第二次循环得到的结果为k=1，n=49，经过第三次循环得到的结果为k=2，n=148，经过第四次循环得到的结果为k=3，n=445，满足判断框中的条件，执行“是”输出的k为3故选B5．已知函数f（x）=，则f（f（3））=（）A．B．C． D．﹣3【考点】函数的值．【分析】由解析式先求出f（3），由指数的运算法则求出（f（3））的值．【解答】解：由题意知，f（x）=，则f（3）=1﹣，所以f（f（3））==4•=，故选A．6．已知双曲线C的一条渐近线方程为2x+3y=0，F1，F2分别是双曲线C的左，右焦点，点P在双曲线C上，且|PF1|=2，则|PF2|等于（）A．4 B．6 C．8 D．10【考点】双曲线的简单性质．【分析】由双曲线的方程、渐近线的方程求出a，由双曲线的定义求出|PF2|．【解答】解：由双曲线的方程、渐近线的方程可得=，∴a=3．由双曲线的定义可得|PF2|﹣2=6，∴|PF2|=8，故选C．7．四个人围坐在一张圆桌旁，每个人面前放着完全相同的硬币，所有人同时翻转自己的硬币．若硬币正面朝上，则这个人站起来；若硬币正面朝下，则这个人继续坐着．那么，没有相邻的两个人站起来的概率为（）A．B．C．D．【考点】列举法计算基本事件数及事件发生的概率．【分析】列举出所有情况，求出满足条件的概率即可．【解答】解：由题意得：正面不能相邻，即正反正反，反正反正，3反一正，全反，其中3反一正中有反反反正，反反正反，反正反反，正反反反，故共7中情况，故P==，故选：B．8．如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗线画出的是某几何体的正视图（等腰直角三角形）和侧视图，且该几何体的体积为，则该几何体的俯视图可以是（）A．B．C．D．【考点】简单空间图形的三视图．【分析】该几何体为正方体截去一部分后的四棱锥P﹣ABCD，作出图形，可得结论．【解答】解：该几何体为正方体截去一部分后的四棱锥P﹣ABCD，如图所示，该几何体的俯视图为C．故选：C．9．设函数f（x）=x3+ax2，若曲线y=f（x）在点P（x0，f（x0））处的切线方程为x+y=0，则点P的坐标为（）A．（0，0）B．（1，﹣1）C．（﹣1，1）D．（1，﹣1）或（﹣1，1）【考点】利用导数研究曲线上某点切线方程．【分析】由曲线y=f（x）在点P（x0，f（x0））处的切线方程为x+y=0，导函数等于﹣1求得点（x0，f（x0））的横坐标，进一步求得f（x0）的值，可得结论．【解答】解：∵f（x）=x3+ax2，∴f′（x）=3x2+2ax，∵函数在点（x0，f（x0））处的切线方程为x+y=0，∴3x02+2ax0=﹣1，∵x0+x03+ax02=0，解得x0=±1．当x0=1时，f（x0）=﹣1，当x0=﹣1时，f（x0）=1．故选：D．10．《九章算术》中，将底面为长方形且有一条侧棱与底面垂直的四棱锥称之为阳马；将四个面都为直角三角形的三棱锥称之为鳖臑．若三棱锥P﹣ABC为鳖臑，PA⊥平面ABC，PA=AB=2，AC=4，三棱锥P﹣ABC的四个顶点都在球O 的球面上，则球O的表面积为（）A．8πB．12πC．20πD．24π【考点】球的体积和表面积．【分析】由题意，PC为球O的直径，求出PC，可得球O的半径，即可求出球O的表面积．【解答】解：由题意，PC为球O的直径，PC==2，∴球O的半径为，∴球O的表面积为4π•5=20π，故选C．11．已知函数f（x）=sin（ωx+φ）+cos（ωx+φ）（ω＞0，0＜φ＜π）是奇函数，直线y=与函数f（x）的图象的两个相邻交点的横坐标之差的绝对值为，则（）A．f（x）在上单调递减B．f（x）在上单调递减C．f（x）在上单调递增D．f（x）在上单调递增【考点】三角函数中的恒等变换应用．【分析】根据两角和的正弦函数化简解析式，由条件和诱导公式求出φ的值，由条件和周期共识求出ω的值，根据正弦函数的单调性和选项判断即可．【解答】解：由题意得，f（x）=sin（ωx+φ）+cos（ωx+φ）=[sin（ωx+φ）+cos（ωx+φ）]=，∵函数f（x）（ω＞0，0＜φ＜π）是奇函数，∴，则，又0＜φ＜π，∴φ=，∴f（x）==，∵y=与f（x）的图象的两个相邻交点的横坐标之差的绝对值为，∴T=，则ω=4，即f（x）=，由得4x∈（0，π），则f（x）在上不是单调函数，排除A、C；由得4x∈，则f（x）在上是增函数，排除B，故选：D．12．已知函数f（x）=+cos（x﹣），则的值为（）A．2016 B．1008 C．504 D．0【考点】数列的求和．【分析】函数f（x）=+cos（x﹣），可得f（x）+f（1﹣x）=0，即可得出．【解答】解：∵函数f（x）=+cos（x﹣），∴f（x）+f（1﹣x）=+cos（x﹣）++=1+0=1，则=2016=1008．故选：B．二、填空题：本小题共4题，每小题5分．13．已知向量=（1，2），=（x，﹣1），若∥（﹣），则•= ．【考点】平面向量的坐标运算．【分析】利用向量共线定理即可得出．【解答】解：=（1﹣x，3），∵∥（﹣），∴2（1﹣x）﹣3=0，解得x=﹣．则•=﹣﹣2=﹣．故答案为：﹣．14．若一个圆的圆心是抛物线x2=4y的焦点，且该圆与直线y=x+3相切，则该圆的标准方程是x2+（y﹣1）2=2 ．【考点】抛物线的简单性质．【分析】求出抛物线的焦点即圆心坐标，利用切线的性质计算点C到切线的距离即为半径，从而得出圆的方程．【解答】解：抛物线的标准方程为：x2=4y，∴抛物线的焦点为F（0，1）．即圆C的圆心为C（0，1）．∵圆C与直线y=x+3相切，∴圆C的半径为点C到直线y=x+3的距离d==．∴圆C的方程为x2+（y﹣1）2=2．故答案为：x2+（y﹣1）2=2．15．满足不等式组的点（x，y）组成的图形的面积是5，则实数a的值为 3 ．【考点】简单线性规划；二元一次不等式（组）与平面区域．【分析】根据题意，将不等式组表示的平面区域表示出来，分析可得必有a＞1，此时阴影部分的面积S=×2×1+×（a﹣1）×[a+1﹣（3﹣a）]=5，解可得a 的值，即可得答案．【解答】解：根据题意，不等式组⇔或；其表示的平面区域如图阴影部分所示：当a≤1时，其阴影部分面积S＜S△AOB=×2×1=1，不合题意，必有a＞1，当a＞1时，阴影部分面积S=×2×1+×（a﹣1）×[a+1﹣（3﹣a）]=5，解可得a=3或﹣1（舍）；故答案为：3．16．在△ABC中，∠ACB=60°，BC＞1，AC=AB+，当△ABC的周长最短时，BC的长是+1 ．【考点】三角形中的几何计算．【分析】设A，B，C所对的边a，b，c，则根据余弦定理可得a2+b2+c2=2abcosC，以及b=c+可得c的长，再利用均值不等式即可求出答案．【解答】解：设A，B，C所对的边a，b，c，则根据余弦定理可得a2+b2+c2=2abcosC，将b=c+代入上式，可得a2+c+=ac+，化简可得c=，所以△ABC的周长l=a+b+c=++a，化简可得l=3（a﹣1）++，因为a＞1，所以由均值不等式可得3（a﹣1）=时，即6（a﹣1）2=3，解得a=+1时，△ABC的周长最短，故答案为：+1．三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17．已知数列{a n}的前n项和为S n，且S n=2a n﹣2（n∈N*）．（Ⅰ）求数列{a n}的通项公式；（Ⅱ）求数列{S n}的前n项和T n．【考点】数列的求和；数列递推式．【分析】（I）S n=2a n﹣2（n∈N*），可得n=1时，a1=2a1﹣2，解得a1．n≥2时，a n=S n﹣S n﹣1，再利用等比数列的通项公式即可得出．（II）利用等比数列的求和公式即可得出．【解答】解：（I）∵S n=2a n﹣2（n∈N*），∴n=1时，a1=2a1﹣2，解得a1=2．n≥2时，a n=S n﹣S n﹣1=2a n﹣2﹣（2a n﹣1﹣2），化为：a n=2a n﹣1，∴数列{a n}是等比数列，公比为2．∴a n=2n．（II）S n==2n+1﹣2．∴数列{S n}的前n项和T n=﹣2n=2n+2﹣4﹣2n．18．某企业生产的某种产品被检测出其中一项质量指标存在问题．该企业为了检查生产该产品的甲，乙两条流水线的生产情况，随机地从这两条流水线上生产的大量产品中各抽取50件产品作为样本，测出它们的这一项质量指标值．若该项质量指标值落在根据图1，估计乙流水线生产产品该质量指标值的中位数；（Ⅱ）若将频率视为概率，某个月内甲，乙两条流水线均生产了5000件产品，则甲，乙两条流水线分别生产出不合格品约多少件？（Ⅲ）根据已知条件完成下面2×2列联表，并回答是否有85%的把握认为“该企业生产的这种产品的质量指标值与甲，乙两条流水线的选择有关”？甲生产线乙生产线合计合格品不合格品合计附：（其中n=a+b+c+d为样本容量）P（K2≥k）0.150.100.050.0250.0100.0050.001 k 2.072 2.706 3.841 5.024 6.6357.87910.828【考点】独立性检验的应用；频率分布直方图．【分析】（Ⅰ）利用（0.012+0.032+0.052）×5+0.076×（x﹣205）=0.5，即可估计乙流水线生产产品该质量指标值的中位数；（Ⅱ）求出甲，乙两条流水线生产的不合格的概率，即可得出结论；（Ⅲ）计算可得K2的近似值，结合参考数值可得结论．【解答】解：（Ⅰ）设乙流水线生产产品的该项质量指标值的中位数为x，因为0.48=（0.012+0.032+0.052）×5＜0.5＜（0.012+0.032+0.052+0.076）×5=0.86，…则（0.012+0.032+0.052）×5+0.076×（x﹣205）=0.5，…解得．…（Ⅱ）由甲，乙两条流水线各抽取的50件产品可得，甲流水线生产的不合格品有15件，则甲流水线生产的产品为不合格品的概率为，…乙流水线生产的产品为不合格品的概率为，…于是，若某个月内甲，乙两条流水线均生产了5000件产品，则甲，乙两条流水线生产的不合格品件数分别为：．…（Ⅲ）2×2列联表：甲生产线乙生产线合计合格品354075不合格品151025合计5050100…则，…因为1.3＜2.072，所以没有85%的把握认为“该企业生产的这种产品的该项质量指标值与甲，乙两条流水线的选择有关”．…19．如图1，在直角梯形ABCD中，AD∥BC，AB⊥BC，BD⊥DC，点E是BC边的中点，将△ABD沿BD折起，使平面ABD⊥平面BCD，连接AE，AC，DE，得到如图2所示的几何体．（Ⅰ）求证：AB⊥平面ADC；（Ⅱ）若AD=1，AC与其在平面ABD内的正投影所成角的正切值为，求点B到平面ADE的距离．【考点】点、线、面间的距离计算；直线与平面垂直的判定．【分析】（Ⅰ）由题意结合面面垂直的性质可得BD⊥DC，有DC⊥平面ABD，进一步得到DC⊥AB，再由线面垂直的判定可得AB⊥平面ADC；（Ⅱ）由（Ⅰ）知DC⊥平面ABD，可得AC在平面ABD内的正投影为AD，求解直角三角形得到AB的值，然后利用等积法求得点B到平面ADE的距离．【解答】（Ⅰ）证明：∵平面ABD⊥平面BCD，平面ABD∩平面BCD=BD，又BD⊥DC，∴DC⊥平面ABD，∵AB⊂平面ABD，∴DC⊥AB，又∵折叠前后均有AD⊥AB，DC∩AD=D，∴AB⊥平面ADC．（Ⅱ）解：由（Ⅰ）知DC⊥平面ABD，所以AC在平面ABD内的正投影为AD，即∠CAD为AC与其在平面ABD内的正投影所成角．依题意，AD=1，∴．设AB=x（x＞0），则，∵△ABD～△BDC，∴，即，解得，故．由于AB⊥平面ADC，AB⊥AC，E为BC的中点，由平面几何知识得AE=，同理DE=，∴．∵DC⊥平面ABD，∴．设点B到平面ADE的距离为d，则，∴，即点B到平面ADE的距离为．20．已知椭圆C：的离心率为，且过点A（2，1）．（Ⅰ）求椭圆C的方程；（Ⅱ）若P，Q是椭圆C上的两个动点，且使∠PAQ的角平分线总垂直于x轴，试判断直线PQ的斜率是否为定值？若是，求出该值；若不是，说明理由．【考点】直线与椭圆的位置关系．【分析】（Ⅰ）由椭圆C的离心率为，且过点A（2，1），列出方程组，求出a，b，由此能求出椭圆C的方程．（Ⅱ）法一：由∠PAQ的角平分线总垂直于x轴，知PA与AQ所在直线关于直线x=2对称．设直线PA的方程为y﹣1=k（x﹣2），直线AQ的方程为y﹣1=﹣k（x﹣2）．由，得（1+4k2）x2﹣（16k2﹣8k）x+16k2﹣16k ﹣4=0．由点A（2，1）在椭圆C上，求出．同理，由此能求出直线PQ的斜率为定值．法二：设点P（x1，y1），Q（x2，y2），则直线PA的斜率，直线QA的斜率．由∠PAQ的角平分线总垂直于x轴，知，再由点P（x1，y1），Q（x2，y2）在椭圆C上，能求出直线PQ的斜率为定值．法三：设直线PQ的方程为y=kx+b，点P（x1，y1），Q（x2，y2），则y1=kx1+b，y2=kx2+b，直线PA的斜率，直线QA的斜率．由∠PAQ 的角平分线总垂直于x轴，知=，由，得（4k2+1）x2+8kbx+4b2﹣8=0，由此利用韦达定理能求出直线PQ的斜率为定值．【解答】解：（Ⅰ）因为椭圆C的离心率为，且过点A（2，1），所以，．…因为a2=b2+c2，解得a2=8，b2=2，…所以椭圆C的方程为．…（Ⅱ）解法一：因为∠PAQ的角平分线总垂直于x轴，所以PA与AQ所在直线关于直线x=2对称．设直线PA的斜率为k，则直线AQ的斜率为﹣k．…所以直线PA的方程为y﹣1=k（x﹣2），直线AQ的方程为y﹣1=﹣k（x﹣2）．设点P（x P，y P），Q（x Q，y Q），由，消去y，得（1+4k2）x2﹣（16k2﹣8k）x+16k2﹣16k﹣4=0．①因为点A（2，1）在椭圆C上，所以x=2是方程①的一个根，则，…所以．…同理．…所以．…又．…所以直线PQ的斜率为．…所以直线PQ的斜率为定值，该值为．…解法二：设点P（x1，y1），Q（x2，y2），则直线PA的斜率，直线QA的斜率．因为∠PAQ的角平分线总垂直于x轴，所以PA与AQ所在直线关于直线x=2对称．所以k PA=﹣k QA，即，①…因为点P（x1，y1），Q（x2，y2）在椭圆C上，所以，②．③由②得，得，④…同理由③得，⑤…由①④⑤得，化简得x1y2+x2y1+（x1+x2）+2（y1+y2）+4=0，⑥…由①得x1y2+x2y1﹣（x1+x2）﹣2（y1+y2）+4=0，⑦…⑥﹣⑦得x1+x2=﹣2（y1+y2）．…②﹣③得，得．…所以直线PQ的斜率为为定值．…解法三：设直线PQ的方程为y=kx+b，点P（x1，y1），Q（x2，y2），则y1=kx1+b，y2=kx2+b，直线PA的斜率，直线QA的斜率．…因为∠PAQ的角平分线总垂直于x轴，所以PA与AQ所在直线关于直线x=2对称．所以k PA=﹣k QA，即=，…化简得x1y2+x2y1﹣（x1+x2）﹣2（y1+y2）+4=0．把y1=kx1+b，y2=kx2+b代入上式，并化简得2kx1x2+（b﹣1﹣2k）（x1+x2）﹣4b+4=0．（*）…由，消去y得（4k2+1）x2+8kbx+4b2﹣8=0，（**）则，…代入（*）得，…整理得（2k﹣1）（b+2k﹣1）=0，所以或b=1﹣2k．…若b=1﹣2k，可得方程（**）的一个根为2，不合题意．…若时，合题意．所以直线PQ的斜率为定值，该值为．…21．已知函数f（x）=lnx+．（Ⅰ）若函数f（x）有零点，求实数a的取值范围；（Ⅱ）证明：当a≥时，f（x）＞e﹣x．【考点】利用导数求闭区间上函数的最值；利用导数研究函数的单调性．【分析】（Ⅰ）法一：求出函数f（x）的导数，根据函数的单调性求出a的范围即可；法二：求出a=﹣xlnx，令g（x）=﹣xlnx，根据函数的单调性求出a的范围即可；（Ⅱ）问题转化为xlnx+a＞xe﹣x，令h（x）=xlnx+a，令φ（x）=xe﹣x，根据函数的单调性证明即可．【解答】解：（Ⅰ）法1：函数的定义域为（0，+∞）．由，得．…因为a＞0，则x∈（0，a）时，f'（x）＜0；x∈（a，+∞）时，f'（x）＞0．所以函数f（x）在（0，a）上单调递减，在（a，+∞）上单调递增．…当x=a时，[f（x）]min=lna+1．…当lna+1≤0，即0＜a≤时，又f（1）=ln1+a=a＞0，则函数f（x）有零点．…所以实数a的取值范围为．…法2：函数的定义域为（0，+∞）．由，得a=﹣xlnx．…令g（x）=﹣xlnx，则g'（x）=﹣（lnx+1）．当时，g'（x）＞0；当时，g'（x）＜0．所以函数g（x）在上单调递增，在上单调递减．…故时，函数g（x）取得最大值．…因而函数有零点，则．…所以实数a的取值范围为．…（Ⅱ）要证明当时，f（x）＞e﹣x，即证明当x＞0，时，，即xlnx+a＞xe﹣x．…令h（x）=xlnx+a，则h'（x）=lnx+1．当时，f'（x）＜0；当时，f'（x）＞0．所以函数h（x）在上单调递减，在上单调递增．当时，．…于是，当时，．①…令φ（x）=xe﹣x，则φ'（x）=e﹣x﹣xe﹣x=e﹣x（1﹣x）．当0＜x＜1时，f'（x）＞0；当x＞1时，f'（x）＜0．所以函数φ（x）在（0，1）上单调递增，在（1，+∞）上单调递减．当x=1时，．…于是，当x＞0时，．②…显然，不等式①、②中的等号不能同时成立．…故当时，f（x）＞e﹣x．…选修4-4：坐标系与参数方程22．在直角坐标系xOy中，直线l的参数方程为（t为参数）．在以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴的极坐标系中，曲线C：ρ=2cos（θ﹣）．（Ⅰ）求直线l的普通方程和曲线C的直角坐标方程；（Ⅱ）求曲线C上的点到直线l的距离的最大值．【考点】参数方程化成普通方程；简单曲线的极坐标方程．【分析】（Ⅰ）将直线l的参数方程消去t参数，可得直线l的普通方程，将ρcosθ=x，ρsinθ=y，ρ2=x2+y2，带入ρ=2cos（θ﹣）可得曲线C的直角坐标方程．（Ⅱ）法一：设曲线C上的点为，点到直线的距离公式建立关系，利用三角函数的有界限可得最大值．法二：设与直线l平行的直线为l'：x+y+b=0，当直线l'与圆C相切时，得，点到直线的距离公式可得最大值．【解答】解：（Ⅰ）由直线l的参数方程消去t参数，得x+y﹣4=0，∴直线l的普通方程为x+y﹣4=0．由=．得ρ2=2ρcosθ+2ρsinθ．将ρ2=x2+y2，ρcosθ=x，ρsinθ=y代入上式，得：曲线C的直角坐标方程为x2+y2=2x+2y，即（x﹣1）2+（y﹣1）2=2．（Ⅱ）法1：设曲线C上的点为，则点P到直线l的距离为==当时，∴曲线C上的点到直线l的距离的最大值为；法2：设与直线l平行的直线为l'：x+y+b=0．当直线l'与圆C相切时，得，解得b=0或b=﹣4（舍去）．∴直线l'的方程为x+y=0．那么：直线l与直线l'的距离为故得曲线C上的点到直线l的距离的最大值为．选修4-5：不等式选讲23．已知函数f（x）=|x+a﹣1|+|x﹣2a|．（Ⅰ）若f（1）＜3，求实数a的取值范围；（Ⅱ）若a≥1，x∈R，求证：f（x）≥2．【考点】绝对值不等式的解法；绝对值三角不等式．【分析】（Ⅰ）通过讨论a的范围得到关于a的不等式，解出取并集即可；（Ⅱ）基本基本不等式的性质证明即可．【解答】解：（Ⅰ）因为f（1）＜3，所以|a|+|1﹣2a|＜3．①当a≤0时，得﹣a+（1﹣2a）＜3，解得，所以；②当时，得a+（1﹣2a）＜3，解得a＞﹣2，所以；③当时，得a﹣（1﹣2a）＜3，解得，所以；综上所述，实数a的取值范围是．（Ⅱ）因为a≥1，x∈R，所以f（x）=|x+a﹣1|+|x﹣2a|≥|（x+a﹣1）﹣（x﹣2a）|=|3a﹣1|=3a﹣1≥2．2017年3月27日。
2017届高考数学仿真卷：文科数学试卷(2)(含答案解析)
2017高考仿真卷·文科数学(二)(考试时间:120分钟试卷满分:150分)第Ⅰ卷选择题(共60分)一、选择题(本大题共12小题,每小题5分,在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的)1.已知i是虚数单位,则复数=()A.-2+iB.iC.2-iD.-i2.已知集合M={x|x2-4x<0},N=,则M∪N=()A.[-2,4)B.(-2,4)C.(0,2)D.(0,2]3.采用系统抽样的方法从1 000人中抽取50人做问卷调查,为此将他们随机编号为1,2,3,…,1 000,适当分组后,在第一组中采用简单随机抽样的方法抽到的号码为8.若编号落入区间[1,400]上的人做问卷A,编号落入区间[401,750]上的人做问卷B,其余的人做问卷C,则抽到的人中,做问卷C的人数为()A.12B.13C.14D.154.已知命题p:函数y=ln(x2+3)+的最小值是2;命题q:“x>2”是“x>1”的充分不必要条件.则下列命题是真命题的是()A.p∧qB.( p)∧( q)C.( p)∧qD.p∧( q)5.已知点A是抛物线C1:y2=2px(p>0)与双曲线C2:=1(a>0,b>0)的一条渐近线的交点,若点A到抛物线C1的焦点的距离为p,则双曲线C2的离心率等于()A. B. C. D.6.某产品的广告费用x(单位:万元))的统计数据如下表:根据表中数据求得回归直线方程为=9.5x+,则等于()A.22B.26C.33.6D.19.57.设a,b,c分别是△ABC的内角A,B,C所对边的边长,则直线sin A·x-ay-c=0与bx+sin B·y+sin C=0的位置关系是()A.平行B.重合C.垂直D.相交但不垂直8.如图,正四棱锥P-ABCD底面的四个顶点A,B,C,D在球O的同一个大圆上,点P在球面上,若V =,则球O的表面积是()正四棱锥P-ABCDA.4πB.8πC.12πD.16π9.已知变量x,y满足线性约束条件若目标函数z=kx-y仅在点(0,2)处取得最小值,则k的取值范围是()A.k<-3B.k>1C.-1<k<1D.-3<k<110.某几何体的三视图如图所示,当a+b取最大值时,这个几何体的体积为()A. B. C. D.11.已知M是△ABC内一点(不含边界),且=2,∠BAC=30°.若△MBC,△MCA,△MAB的面积分别为x,y,z,记f(x,y,z)=,则f(x,y,z)的最小值为()A.26B.32C.36D.4812.已知集合M={(x,y)|y=f(x)},若对于任意(x1,y1)∈M,存在(x2,y2)∈M,使得x1x2+y1y2=0成立,则称集合M是“商高线”.给出下列四个集合:①M=;②M={(x,y)|y=sin x+1};③M={(x,y)|y=log2x};④M={(x,y)|y=e x-2}.其中是“商高线”的序号是()A.①②B.②③C.①④D.②④第Ⅱ卷非选择题(共90分)二、填空题(本大题共4小题,每小题5分,共20分)13.执行如图所示的程序框图,若输入x=0.1,则输出的m的值是.14.已知f(x)是定义在R上的奇函数,当x≥0时,f(x)=3x+m(m为常数),则f(-log35)的值为.15.关于函数f(x)=2(sin x-cos x)cos x的下列四个结论:①函数f(x)的最大值为;②把函数f(x)=sin 2x-1的图象向右平移个单位后可得到函数f(x)=2(sin x-cos x)·cos x的图象;③函数f(x)的单调递增区间为,k∈Z;④函数f(x)的图象的对称中心为,k∈Z.其中正确的结论有个.16.已知数列{a n}满足a1=,a n-1-a n=(n≥2),则该数列的通项公式为.三、解答题(本大题共6小题,满分70分,解答须写出文字说明、证明过程或演算步骤)17.(本小题满分12分)在△ABC中,角A,B,C的对边分别为a,b,c,已知A=,sin B=3sin C.(1)求tan C的值;(2)若a=,求△ABC的面积.18.(本小题满分12分)国家教育部要求高中阶段每学年都要组织学生进行“国家学生体质健康数据测试”,方案要求以学校为单位组织实施.某校对高一(1)班的同学按照“国家学生体质健康数据测试”的项目进行了测试,并对测试成绩进行统计,其频率分布直方图如图所示,若分数在[90,100]上的人数为2.(1)请求出分数在[70,80)内的人数;(2)现根据测试成绩从第一组和第五组(从低分段到高分段依次分为第一组,第二组,…,第五组)中任意选出2人,形成搭档小组.若选出的2人成绩差大于30,则称这2人为“互补组”,试求选出的2人为“互补组”的概率.19.(本小题满分12分)如图,在正方体ABCD-A1B1C1D1中,E,F分别为AB,BB1的中点.(1)求证:EF⊥平面A1D1B;(2)若AA1=2,求三棱锥D1-DEF的体积.20.(本小题满分12分)已知椭圆C的中心在原点,焦点在x轴上,长轴长为4,且点在椭圆C上.(1)求椭圆C的方程;(2)设P是椭圆C长轴上的一个动点,过P作斜率为的直线l交椭圆C于A,B两点,求证:|P A|2+|PB|2为定值.21.(本小题满分12分)设函数f(x)=.(1)求证:f(x)在(0,1)和(1,+∞)内都是增函数;(2)若在函数f(x)的定义域内,不等式af(x)>x恒成立,求a的取值范围.请考生在第22、23两题中任选一题做答,如果多做,则按所做的第一题评分.22.(本小题满分10分)选修4—4:坐标系与参数方程在平面直角坐标系中,以原点为极点,x轴的正半轴为极轴建立极坐标系.已知曲线C:ρcos2θ=2a sin θ(a>0),过点P(-4,-2)的直线l的参数方程为(t为参数),直线l与曲线C分别交于点M,N.(1)写出C的直角坐标方程和l的普通方程;(2)若|PM|,|MN|,|PN|成等比数列,求a的值.23.(本小题满分10分)选修4—5:不等式选讲已知函数f(x)=|x-1|+|x+1|.(1)求不等式f(x)≥3的解集;(2)若关于x的不等式f(x)>a2-x2+2x在R上恒成立,求实数a的取值范围.参考答案2017高考仿真卷·文科数学(二)1.B解析(方法一)=i.(方法二)=i.2.A解析∵M={x|0<x<4},N={x|-2≤x≤2},∴M∪N=[-2,4).3.A解析若采用系统抽样的方法从1 000人中抽取50人做问卷调查,则需要分为50组,每组20人.若第一组抽到的号码为8,则以后每组抽取的号码分别为28,48,68,88,108,…,所以编号落入区间[1,400]上的有20人,编号落入区间[401,750]上的有18人,所以做问卷C的有12人.4.C解析因为命题p为假命题,命题q为真命题,所以( p)∧q为真命题.5.C解析因为点A到抛物线C1的焦点的距离为p,所以点A到抛物线准线的距离为p.所以点A的坐标为.所以双曲线的渐近线方程为y=±2x.所以=2,所以b2=4a2.又b2=c2-a2,所以c2=5a2.所以双曲线的离心率为.6.B解析由题意知=2,=45.又由公式,得=26,故选B.7.C解析因为,所以两条直线斜率的乘积为=-1,所以这两条直线垂直.8.D解析连接PO,由题意知,PO⊥底面ABCD,PO=R,S正方形ABCD=2R2.因为V正四棱锥P-ABCD=,所以·2R2·R=,解得R=2,所以球O的表面积是16π.9.D解析如图,作出不等式组所表示的平面区域.由z=kx-y得y=kx-z,要使目标函数z=kx-y 仅在点A(0,2)处取得最小值,则阴影部分区域在直线y=kx+2的下方,故目标函数线的斜率k 满足-3<k<1.10.D解析由该几何体的三视图可得其直观图为如图所示的三棱锥,且从点A出发的三条棱两两垂直,AB=1,PC=,PB=a,BC=b.可知P A2+AC2=a2-1+b2-1=6,即a2+b2=8.故(a+b)2=8+2ab≤8+2,即a+b≤4,当且仅当a=b=2时,a+b取得最大值,此时P A=,AC=.所以该几何体的体积V=×1×.11.C解析由=2,∠BAC=30°,可得S△ABC=1,即x+y+z=1.故(x+y+z)=1+4+9+≥14+4+6+12=36,当且仅当x=,y=,z=时等号成立.因此,f(x,y,z)的最小值为36.12.D解析若对于函数图象上的任意一点M(x1,y1),在其图象上都存在点N(x2,y2),使OM⊥ON,则函数图象上的点的集合为“商高线”.对于①,若取M(1,1),则不存在这样的点;对于③,若取M(1,0),则不存在这样的点.②④都符合.故选D.13.0解析若输入x=0.1,则m=lg 0.1=-1.因为m<0,所以m=-1+1=0.所以输出的m的值为0.14.-4解析因为f(x)是定义在R上的奇函数,所以f(0)=1+m=0.所以m=-1.所以f(-log35)=-f(log35)=-(-1)=-4.15.2解析因为f(x)=2sin x·cos x-2cos2x=sin 2x-cos 2x-1=sin-1,所以其最大值为-1.所以①错误.因为函数f(x)=sin 2x-1的图象向右平移个单位后得到函数f(x)=sin-1=sin-1的图象,所以②错误.由-+2kπ≤2x-+2kπ,k∈Z,得函数f(x)的单调递增区间为,k∈Z,即为,k'∈Z.故③正确.由2x-=kπ,k∈Z,得x=,k∈Z,故④正确.16.a n=解析因为a n-1-a n=(n≥2),所以,所以.所以,…,.所以.所以.所以a n=(n≥2).经检验,当n=1时也适合此公式.所以a n=.17.解(1)∵A=,∴B+C=.∴sin=3sin C.∴cos C+sin C=3sin C.∴cos C=sin C.∴tan C=.(2)由,sin B=3sin C,得b=3c.在△ABC中,由余弦定理得a2=b2+c2-2bc cos A=9c2+c2-2×(3c)×c×=7c2.∵a=,∴c=1,b=3.∴△ABC的面积为S=bc sin A=.18.解(1)由频率分布直方图可知分数在[50,60)内的频率为0.1,[ 60,70)内的频率为0.25,[80,90)内的频率为0.15,[90,100]上的频率为0.05.故分数在[70,80)内的频率为1-0.1-0.25-0.15-0.05=0.45.因为分数在[90,100]上的人数为2,频率为0.05,所以参加测试的总人数为=40.所以分数在[70,80)内的人数为40×0.45=18.(2)因为参加测试的总人数为=40,所以分数在[50,60)内的人数为40×0.1=4.设第一组[50,60)内的同学为A1,A2,A3,A4;第五组[90,100]上的同学为B1,B2,则从中选出2人的选法有(A1,A2),(A1,A3),(A1,A4),(A1,B1),(A1,B2),(A2,A3),(A2,A4),(A2,B1),(A2,B2),(A3,A4),(A3,B1),(A3,B2),( A4,B1),(A4,B2),(B1,B2),共15种,其中2人成绩差大于30的选法有(A1,B1),(A1,B2),(A2,B1),(A2,B2),(A3,B1),(A3,B2),(A4,B1),(A4,B2),共8种,则选出的2人为“互补组”的概率为.19.(1)证明如图,连接AB1.因为E,F分别为AB与AB1的中点,所以EF∥AB1.因为AB1⊥A1B,所以EF⊥A1B.又因为D1A1⊥平面ABB1A1,平面ABB1A1⊃EF,所以D1A1⊥EF.又因为A1B∩D1A1=A1,所以EF⊥平面A1D1B.(2)解如图,连接DB.因为BB1∥DD1,所以.所以=S△DEB·DD1=×2=.20.(1)解因为2a=4,所以a=2.又因为焦点在x轴上,所以设椭圆方程为=1.将点代入椭圆方程得b2=1,所以椭圆方程为+y2=1.(2)证明设点P(m,0)(-2≤m≤2),可得直线l的方程是y=,由方程组消去y得2x2-2mx+m2-4=0.(*)设A(x1,y1),B(x2,y2),则x1,x2是方程(*)的两个根.所以x1+x2=m,x1x2=.所以|P A|2+|PB|2=(x1-m)2++(x2-m)2+=(x1-m)2+(x1-m)2+(x2-m)2+(x2-m)2=[(x1-m)2+(x2-m)2]=-2m(x1+x2)+2m2]=[(x1+x2)2-2m(x1+x2)-2x1x2+2m2]=[m2-2m2-(m2-4)+2m2]=5.所以|P A|2+|PB|2为定值.21.(1)证明由题意可得f'(x)==(x>0,x≠1).令g(x)=2ln x-,则g'(x)=.当0<x<1时,g'(x) <0,g(x)是减函数,g(x)>g(1)=0.于是f'(x)=g(x)>0,故f(x)在(0,1)内为增函数.当x>1时,g'(x)>0,g(x)是增函数,g(x)>g(1)=0,于是f'(x)=g(x)>0,故f(x)在(1,+∞)内为增函数.(2)解af(x)-x=-x=.令h(x)=-ln x(x>0),则h'(x)=.令φ(x)=ax2-x+a,当a>0,且Δ=1-4a2≤0,即a≥时,此时φ(x)=ax2-x+a>0在(0,1),(1,+∞)内恒成立,所以当a≥时,h'(x)>0在(0,1),(1,+∞)内恒成立,故h(x)在(0,1),(1,+∞)内是增函数,若0<x<1,则h(x)< h(1)=0,所以af(x)-x=h(x)>0;若x>1,则h(x)>h(1)=0,所以af(x)-x=h(x)>0,所以当x>0,x≠1时都有af(x)>x成立.当0<a<时,h'(x)<0,解得<x<,所以h(x)在内是减函数,h(x)<h(1)=0.故af(x)-x=h(x)<0,不符合题意.当a≤0时,x∈(0,1)∪(1,+∞),都有h'(x)<0,故h(x)在(0,1),(1,+∞)内为减函数,同理可知,在(0,1),(1,+∞)内,af(x)-x=h(x)<0,不符合题意.综上所述,a≥,即a的取值范围是.22.解(1)曲线C的直角坐标方程为x2=2ay(a>0),直线l的普通方程为x-y+2=0.(2)将直线l的参数方程与C的直角坐标方程联立,得t2-2(4+a)t+8(4+a)=0.(*)由Δ=8a(4+a)>0,可设点M,N对应的参数分别为t1,t2,且t1,t2是方程(*)的根,则|PM|=|t1|,|PN|=|t2|,|MN|=|t1-t2|.由题设得(t1-t2)2=|t1t2|,即(t1+t2)2-4t1t2=|t1t2|.由(*)得t1+t2=2(4+a),t1t2=8(4+a)>0.则有(4+a)2-5(4+a)=0,解得a=1或a=-4.因为a>0,所以a=1.23.解(1)原不等式等价于解得x≤-或x≥.故原不等式的解集为.(2)令g(x)=|x-1|+|x+1|+x2-2x,则g(x)=当x∈(-∞,1]时,g(x)单调递减;当x∈[1,+∞)时,g(x)单调递增.故当x=1时,g(x)取得最小值1.因为不等式f(x)>a2-x2+2x在R上恒成立,所以a2<1,解得-1<a<1.所以实数a的取值范围是(-1,1).。
2017年茂名一模(理数)
广东省茂名市2017年高考数学一模试卷（理科）（解析版）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．已知集合M={x|x2﹣x﹣2≤0}，N={y|y=2x}，则M∩N=（）A．（0，2] B．（0，2）C．[0，2]D．[2，+∞）2．设i为虚数单位，复数（2﹣i）z=1+i，则z的共轭复数在复平面中对应的点在（）A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限3．如图，函数f（x）=Asin（2x+φ）（A＞0，|φ|＜）的图象过点（0，），则f（x）的图象的一个对称中心是（）A．（﹣，0）B．（﹣，0）C．（，0）D．（，0）4．设命题p：若定义域为R的函数f（x）不是偶函数，则∀x∈R，f（﹣x）≠f（x）．命题q：f（x）=x|x|在（﹣∞，0）上是减函数，在（0，+∞）上是增函数．则下列判断错误的是（）A．p为假B．￢q为真C．p∨q为真D．p∧q为假5．我国古代数学著作《九章算术》有如下问题：“今有金箠，长五尺，斩本一尺，重四斤，斩末一尺，重二斤，问次一尺各重几何？”意思是：“现有一根金箠，长五尺，一头粗，一头细，在粗的一端截下1尺，重4斤；在细的一端截下1尺，重2斤；问依次每一尺各重多少斤？”根据上题的已知条件，若金箠由粗到细是均匀变化的，问第二尺与第四尺的重量之和为（）A．6 斤B．9 斤C．9.5斤D．12 斤6．已知定义域为R的偶函数f（x）在（﹣∞，0]上是减函数，且f（1）=2，则不等式f（log2x）＞2的解集为（）A．（2，+∞）B．C．D．7．执行如图的程序框图，若输出的结果是，则输入的a为（）A．3 B．4 C．5 D．68．一个几何体的三视图如图所示，其表面积为6π+π，则该几何体的体积为（）A．4πB．2πC．πD．3π9．学校计划利用周五下午第一、二、三节课举办语文、数学、英语、理综4科的专题讲座，每科一节课，每节至少有一科，且数学、理综不安排在同一节，则不同的安排方法共有（）A．6种 B．24种C．30种D．36种10．过球O表面上一点A引三条长度相等的弦AB、AC、AD，且两两夹角都为60°，若球半径为R，则弦AB的长度为（）A．B．C．R D．11．过双曲线﹣=1（a＞0，b＞0）的右焦点F2（c，0）作圆x2+y2=a2的切线，切点为M，延长F2M交抛物线y2=﹣4cx于点P，其中O为坐标原点，若，则双曲线的离心率为（）A．B．C．D．12．已知f（x）=|xe x|，又g（x）=f2（x）﹣tf（x）（t∈R），若满足g（x）=﹣1的x有四个，则t的取值范围是（）A．B．C．D．二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分，把答案填在答题纸上．13．如图为某工厂工人生产能力频率分布直方图，则估计此工厂工人生产能力的平均值为14．已知，则二项式展开式中的常数项是．15．若圆x2+y2﹣x+my﹣4=0关于直线x﹣y=0对称，动点P（a，b）在不等式组表示的平面区域内部及边界上运动，则的取值范围是．16．已知数列{a n}是各项均不为零的等差数列，S n为其前n项和，且（n∈N*）．若不等式对任意n∈N*恒成立，则实数λ的取值范围是．三、解答题：本大题共5小题，共70分.其中17至21题为必做题，22、23题为选做题.解答过程应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17．（12分）已知函f（x）=sin（2x﹣）﹣cos2x．（Ⅰ）求函数f（x）的最小正周期、最大值及取得最大值时x的集合；（Ⅱ）设△ABC内角A、B、C的对边分别为a、b、c，若，b=1，，且a＞b，求角B和角C．18．（12分）调查表明：甲种农作物的长势与海拔高度、土壤酸碱度、空气湿度的指标有极强的相关性，现将这三项的指标分别记为x，y，z，并对它们进行量化：0表示不合格，1表示临界合格，2表示合格，再用综合指标ω=x+y+z的值评定这种农作物的长势等级，若ω≥4，则长势为一级；若2≤ω≤3，则长势为二级；若0≤ω≤1，则长势为三级，为了了解目前这种农作物长势情况，研究人员随机抽取10块种植地，得到如表中结果：（Ⅰ）在这10块该农作物的种植地中任取两块地，求这两块地的空气湿度的指标z相同的概率；（Ⅱ）从长势等级是一级的种植地中任取一块地，其综合指标为A，从长势等级不是一级的种植地中任取一块地，其综合指标为B，记随机变量X=A﹣B，求X的分布列及其数学期望．19．（12分）如图1，在边长为的正方形ABCD中，E、O分别为AD、BC的中点，沿EO将矩形ABOE折起使得∠BOC=120°，如图2所示，点G 在BC上，BG=2GC，M、N分别为AB、EG中点．（Ⅰ）求证：MN∥平面OBC；（Ⅱ）求二面角G﹣ME﹣B的余弦值．20．（12分）设x，y∈R，向量分别为直角坐标平面内x，y轴正方向上的单位向量，若向量，，且．（Ⅰ）求点M（x，y）的轨迹C的方程；（Ⅱ）设椭圆，P为曲线C上一点，过点P作曲线C的切线y=kx+m 交椭圆E于A、B两点，试证：△OAB的面积为定值．21．（12分）已知函数f（x）=x3﹣x+2．（Ⅰ）求函数y=f（x）在点（1，f（1））处的切线方程；（Ⅱ）令g（x）=+lnx，若函数y=g（x）在（e，+∞）内有极值，求实数a的取值范围；（Ⅲ）在（Ⅱ）的条件下，对任意t∈（1，+∞），s∈（0，1），求证：．请考生在第22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分，[选修4-4：坐标系与参数方程]（共1小题，满分10分）22．（10分）在直角坐标系xOy中，曲线C1的参数方程为（α为参数）．在以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴的极坐标系中，曲线．（Ⅰ）写出曲线C1，C2的普通方程；（Ⅱ）过曲线C1的左焦点且倾斜角为的直线l交曲线C2于A，B两点，求|AB|．[选修4-5：不等式选讲]（共1小题，满分0分）23．已知函数f（x）=|2x﹣a|+|2x+3|，g（x）=|x﹣1|+2．（Ⅰ）若a=1，解不等式f（x）＜6；（Ⅱ）若对任意x1∈R，都有x2∈R，使得f（x1）=g（x2）成立，求实数a的取值范围．2017年广东省茂名市高考数学一模试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．已知集合M={x|x2﹣x﹣2≤0}，N={y|y=2x}，则M∩N=（）A．（0，2] B．（0，2）C．[0，2]D．[2，+∞）【考点】交集及其运算．【分析】由一元二次不等式的解法、指数函数的值域求出集合M、N，由交集的运算求出答案．【解答】解：依题意得，M={x|x2﹣x﹣2≤0}={x|﹣1≤x≤2}=[﹣1，2]，且N={y|y=2x}={y|y＞0}=（0，+∞），∴M∩N=（0，2]，故选：A．【点评】本题考查交集及其运算，一元二次不等式的解法，以及指数函数的值域，属于基础题．2．设i为虚数单位，复数（2﹣i）z=1+i，则z的共轭复数在复平面中对应的点在（）A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限【考点】复数代数形式的乘除运算．【分析】利用复数的运算法则、共轭复数的定义、几何意义即可得出．【解答】解：复数（2﹣i）z=1+i，∴（2+i）（2﹣i）z=（2+i）（1+i），∴z=则z的共轭复数=﹣i在复平面中对应的点在第四象限．故选：D．【点评】本题考查了复数的运算法则、共轭复数的定义、几何意义，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．3．如图，函数f（x）=Asin（2x+φ）（A＞0，|φ|＜）的图象过点（0，），则f（x）的图象的一个对称中心是（）A．（﹣，0）B．（﹣，0）C．（，0）D．（，0）【考点】正弦函数的图象．【分析】由函数图象可知A=2，由图象过点（0，），可得sinφ=，由|φ|＜，可解得φ，由2x+=kπ，k∈Z可解得f（x）的图象的对称中心是：（，0），k∈Z，对比选项即可得解．【解答】解：由函数图象可知：A=2，由于图象过点（0，），可得：2sinφ=，即sinφ=，由于|φ|＜，解得：φ=，即有：f（x）=2sin（2x+）．由2x+=kπ，k∈Z可解得：x=，k∈Z，故f（x）的图象的对称中心是：（，0），k∈Z当k=0时，f（x）的图象的对称中心是：（，0），故选：B．【点评】本题主要考查由函数y=Asin（ωx+φ ）的部分图象求函数的解析式，正弦函数的对称性，属于中档题．4．设命题p：若定义域为R的函数f（x）不是偶函数，则∀x∈R，f（﹣x）≠f（x）．命题q：f（x）=x|x|在（﹣∞，0）上是减函数，在（0，+∞）上是增函数．则下列判断错误的是（）A．p为假B．￢q为真C．p∨q为真D．p∧q为假【考点】复合命题的真假．【分析】分别判断出p，q的真假，从而判断出复合命题的真假即可．【解答】解：函数f（x）不是偶函数，仍然可∃x，使f（﹣x）=f（x），故p为假；f（x）=x|x|=在R上都是增函数，q为假；故p∨q为假，故选：C．【点评】本题考查了复合命题的真假，判断函数的单调性．是一道基础题．5．我国古代数学著作《九章算术》有如下问题：“今有金箠，长五尺，斩本一尺，重四斤，斩末一尺，重二斤，问次一尺各重几何？”意思是：“现有一根金箠，长五尺，一头粗，一头细，在粗的一端截下1尺，重4斤；在细的一端截下1尺，重2斤；问依次每一尺各重多少斤？”根据上题的已知条件，若金箠由粗到细是均匀变化的，问第二尺与第四尺的重量之和为（）A．6 斤B．9 斤C．9.5斤D．12 斤【考点】等差数列的通项公式．【分析】依题意，金箠由粗到细各尺构成一个等差数列，设首项a1=4，则a5=2，由此利用等差数列性质能求出结果．【解答】解：依题意，金箠由粗到细各尺构成一个等差数列，设首项a1=4，则a5=2，由等差数列性质得a2+a4=a1+a5=6，所以第二尺与第四尺的重量之和为6斤．故选：A．【点评】本题考查等差数列在生产生活中的实际应用，是基础题，解题时要认真审题，注意等差数列的性质的合理运用．6．已知定义域为R的偶函数f（x）在（﹣∞，0]上是减函数，且f（1）=2，则不等式f（log2x）＞2的解集为（）A．（2，+∞）B．C．D．【考点】奇偶性与单调性的综合．【分析】根据题意，结合函数的奇偶性、单调性分析可得f（log2x）＞2⇔|log2x|＞1；化简可得log2x＞1或log2x＜﹣1，解可得x的取值范围，即可得答案．【解答】解：f（x）是R的偶函数，在（﹣∞，0]上是减函数，所以f（x）在[0，+∞）上是增函数，所以f（log2x）＞2=f（1）⇔f（|log2x|）＞f（1）⇔|log2x|＞1；即log2x＞1或log2x＜﹣1；解可得x＞2或．故选：B．【点评】本题考查函数奇偶性与单调性的综合应用，关键是通过对函数奇偶性、单调性的分析，得到关于x的方程．7．执行如图的程序框图，若输出的结果是，则输入的a为（）A．3 B．4 C．5 D．6【考点】程序框图．【分析】算法的功能是求S=++…+的值，根据输出的S值，确定跳出循环的n值，从而得判断框内的条件．【解答】解：由程序框图知：算法的功能是求S=++…+的值，∵S==1﹣=．∴n=5，∴跳出循环的n值为5，∴判断框的条件为n＜5．即a=5．故选：C．【点评】本题考查了循环结构的程序框图，根据框图的流程判断算法的功能是解答本题的关键．8．一个几何体的三视图如图所示，其表面积为6π+π，则该几何体的体积为（）A．4πB．2πC．πD．3π【考点】由三视图求面积、体积．【分析】由三视图可知：该几何体从左到右由三部分组成，分别为圆锥、圆柱、半球．表面积为6π+π=+2πr×2r+2πr2，解得r．再利用体积计算公式即可得出．【解答】解：由三视图可知：该几何体从左到右由三部分组成，分别为圆锥、圆柱、半球．表面积为6π+π=+2πr×2r+2πr2，解得r=1．∴该几何体的体积V=r2×r+πr2×2r+=3π．故选：D．【点评】本题考查了圆柱、圆球、圆锥的三视图、体积与表面积计算公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．9．学校计划利用周五下午第一、二、三节课举办语文、数学、英语、理综4科的专题讲座，每科一节课，每节至少有一科，且数学、理综不安排在同一节，则不同的安排方法共有（）A．6种 B．24种C．30种D．36种【考点】排列、组合的实际应用．【分析】先从4个中任选2个看作整体，然后做3个元素的全排列，从中排除数学、理综安排在同一节的情形，可得结论．【解答】解：由于每科一节课，每节至少有一科，必有两科在同一节，先从4科中任选2科看作一个整体，然后做3个元素的全排列，共种方法，再从中排除数学、理综安排在同一节的情形，共种方法，故总的方法种数为﹣=36﹣6=30．故选：C．【点评】本题考查排列组合及简单的计数问题，采用间接法是解决问题的关键，属中档题．10．过球O表面上一点A引三条长度相等的弦AB、AC、AD，且两两夹角都为60°，若球半径为R，则弦AB的长度为（）A．B．C．R D．【考点】点、线、面间的距离计算．【分析】由题意画出图形，可知A﹣BCD是正四面体，设AB=a，结合球心为正四面体的中心通过求解直角三角形得答案．【解答】解：由条件可知A﹣BCD是正四面体，如图：A、B、C、D为球上四点，则球心O在正四面体中心，设AB=a，则过点B、C、D的截面圆半径，正四面体A﹣BCD的高，则截面BCD与球心的距离，∴，解得．故选：A．【点评】本题考查空间中点、线、面间的距离计算，考查空间想象能力和思维能力，是中档题．11．过双曲线﹣=1（a＞0，b＞0）的右焦点F2（c，0）作圆x2+y2=a2的切线，切点为M，延长F2M交抛物线y2=﹣4cx于点P，其中O为坐标原点，若，则双曲线的离心率为（）A．B．C．D．【考点】圆锥曲线的综合；双曲线的简单性质．【分析】说明M是F2P的中点．设抛物线的焦点为F1，则F1为（﹣c，0），也是双曲线的焦点．画出图形，连接PF1，OM，说明OM为△PF2F1的中位线．通过PF2⊥PF1，可得|PF2|=，设P（x，y），推出c﹣x=2a，利用双曲线定义结合勾股定理得y2+4a2=4b2，然后求解离心率即可．【解答】解：如图9，∵，∴M是F2P的中点．设抛物线的焦点为F1，则F1为（﹣c，0），也是双曲线的焦点．连接PF1，OM．∵O、M分别是F1F2和PF2的中点，∴OM为△PF2F1的中位线．∵OM=a，∴|PF1|=2 a．∵OM⊥PF2，∴PF2⊥PF1，于是可得|PF2|=，设P（x，y），则c﹣x=2a，于是有x=c﹣2a，y2=﹣4c（c﹣2 a），过点F2作x轴的垂线，点P到该垂线的距离为2a．由勾股定理得y2+4a2=4b2，即﹣4c（c﹣2a）+4 a2=4（c2﹣a2），变形可得c2﹣a2=ac，两边同除以a2有e2﹣e﹣1=0，所以e=，负值已经舍去．故选：D．【点评】本题考查双曲线的简单性质的应用，向量以及圆与双曲线的位置关系的综合应用，考查转化思想以及计算能力．12．已知f（x）=|xe x|，又g（x）=f2（x）﹣tf（x）（t∈R），若满足g（x）=﹣1的x有四个，则t的取值范围是（）A．B．C．D．【考点】利用导数研究函数的单调性；根的存在性及根的个数判断．【分析】令y=xe x，则y'=（1+x）e x，求出极值点，判断函数的单调性，作出y=xe x 图象，利用图象变换得f（x）=|xe x|图象，令f（x）=m，则关于m方程h（m）=m2﹣tm+1=0两根分别在，满足g（x）=﹣1的x有4个，列出不等式求解即可．【解答】解：令y=xe x，则y'=（1+x）e x，由y'=0，得x=﹣1，当x∈（﹣∞，﹣1）时，y'＜0，函数y单调递减，当x∈（﹣1，+∞）时，y'＞0，函数y单调递增．作出y=xe x图象，利用图象变换得f（x）=|xe x|图象（如图10），令f（x）=m，则关于m方程h（m）=m2﹣tm+1=0两根分别在时（如图11），满足g（x）=﹣1的x有4个，由，解得．故选：B．【点评】本题考查函数的导数的应用，函数的单调性以及函数的极值，函数的图象的变换，函数零点个数，考查函数与方程的综合应用，数形结合思想以及转化思想的应用．二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分，把答案填在答题纸上．13．如图为某工厂工人生产能力频率分布直方图，则估计此工厂工人生产能力的平均值为133.8【考点】频率分布直方图．【分析】由频率分布直方图求出x=0.024，由此能估计工人生产能力的平均数．【解答】解：由频率分布直方图得（0.008+0.02+0.048+x）×10=1，解得x=0.024．估计工人生产能力的平均数为：=115×0.008×10+125×0.020×10+135×0.048×10+145×0.024×10=133.8．故答案为：133.8．【点评】本题考查平均数的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意频率分布直方图的性质的合理运用．14．已知，则二项式展开式中的常数项是240．【考点】二项式定理的应用；定积分．【分析】利用定积分求出a，写出展开式的通项公式，令x的指数为0，即可得出结论．【解答】解：=sinx=2，则二项式=展开式的通项公式为，令，求得r=4，所以二项式展开式中的常数项是×24=240．故答案为：240．【点评】本题考查定积分知识的运用，考查二项式定理，考查学生的计算能力，属于中档题．15．若圆x2+y2﹣x+my﹣4=0关于直线x﹣y=0对称，动点P（a，b）在不等式组表示的平面区域内部及边界上运动，则的取值范围是（﹣∞，﹣2]∪[2，+∞）．【考点】简单线性规划．【分析】由已知列式求得m值，代入约束条件，作出可行域，结合的几何意义，即区域OAB内点P（a，b）与点Q（1，2）连线的斜率求解．【解答】解：∵圆x2+y2﹣x+my﹣4=0关于直线x﹣y=0对称，∴圆心在直在线x﹣y=0上，则，约束条件表示的平面区域如图：表示区域OAB内点P（a，b）与点Q（1，2）连线的斜率．∵，，∴的取值范围是（﹣∞，﹣2]∪[2，+∞）．故答案为：（﹣∞，﹣2]∪[2，+∞）．【点评】本题考查简单的线性规划，考查数形结合的解题思想方法和数学转化思想方法，是中档题．16．已知数列{a n }是各项均不为零的等差数列，S n 为其前n 项和，且（n∈N *）．若不等式对任意n ∈N *恒成立，则实数λ的取值范围是 [﹣3，0] ． 【考点】数列与函数的综合．【分析】利用已知条件，结合等差数列的性质，，得到a n =2n ﹣1，n ∈N *，然后①当n 为奇数时，利用函数的单调性以及最值求解λ≥﹣3，②当n 为偶数时，分离变量，通过函数的单调性以及最值求解 λ≤0，然后推出实数λ的取值范围．【解答】解：，⇒a n =2n﹣1，n∈N *⇒①当n 为奇数时，，是关于n （n ∈N *）的增函数．所以n=1时f （n ）最小值为f （1）=2﹣2+3=3，这时﹣λ≤3，λ≥﹣3，②当n 为偶数时，恒成立，n为偶数时，是增函数，当n=2时，g（n）最小值为g（2）=4+1﹣5=0，这时λ≤0综上①、②实数λ的取值范围是[﹣3，0]．故答案为：[﹣3，0]．【点评】本题考查数列的应用，数列的递推关系式以及数列的函数的特征，考查函数的单调性以及最值的求法，考查分析问题解决问题的能力．三、解答题：本大题共5小题，共70分.其中17至21题为必做题，22、23题为选做题.解答过程应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17．（12分）（2017•茂名一模）已知函f（x）=sin（2x﹣）﹣cos2x．（Ⅰ）求函数f（x）的最小正周期、最大值及取得最大值时x的集合；（Ⅱ）设△ABC内角A、B、C的对边分别为a、b、c，若，b=1，，且a＞b，求角B和角C．【考点】余弦定理；两角和与差的正弦函数．【分析】（I）根据两角差的正弦公式、特殊角的三角函数值化简解析式，由三角函数的周期公式函数f（x）的最小正周期，由正弦函数的最值求出最大值及取得最大值时x的集合；（II）由（Ⅰ）化简，由B的范围和特殊角的三角函数值求出B，由条件和正弦定理列出方程求出sinC，由C的范围和特殊角的三角函数值求出C，并结合条件验证边角关系．【解答】解：（Ⅰ）由题意得，f（x）=sin2xcos﹣cos2xsin﹣cos2x…（1分）=…（2分）∴函数f（x）的最小正周期为…（3分）当，即时，f（x）取最大值为，…（4分）这时x的集合为…（Ⅱ）由（I）知，，∴，…（6分）∵0＜B＜π，∴…（7分）∴，…（8分），∴由正弦定理得，则，…（9分）∵C为三角形的内角，∴…（10分）；…（11分），由a＞b得A＞B，则舍去，∴…（12分）【点评】此题考查了两角和与差的正弦、余弦函数公式，正弦定理，正弦函数的最值，以及特殊角的三角函数值，熟练掌握定理及公式是解本题的关键，注意内角的范围和边角关系．18．（12分）（2017•茂名一模）调查表明：甲种农作物的长势与海拔高度、土壤酸碱度、空气湿度的指标有极强的相关性，现将这三项的指标分别记为x，y，z，并对它们进行量化：0表示不合格，1表示临界合格，2表示合格，再用综合指标ω=x+y+z的值评定这种农作物的长势等级，若ω≥4，则长势为一级；若2≤ω≤3，则长势为二级；若0≤ω≤1，则长势为三级，为了了解目前这种农作物长势情况，研究人员随机抽取10块种植地，得到如表中结果：（Ⅰ）在这10块该农作物的种植地中任取两块地，求这两块地的空气湿度的指标z 相同的概率；（Ⅱ）从长势等级是一级的种植地中任取一块地，其综合指标为A ，从长势等级不是一级的种植地中任取一块地，其综合指标为B ，记随机变量X=A ﹣B ，求X 的分布列及其数学期望．【考点】离散型随机变量的期望与方差；离散型随机变量及其分布列．【分析】（Ⅰ）由表可知：空气湿度指标为1的有A 2，A 4，A 5，A 7，A 9，A 10，空气湿度指标为2的有A 1，A 3，A 6，A 8，求出这10块种植地中任取两块地，基本事件总数n ，这两块地的空气温度的指标z 相同包含的基本事件个数，然后求解概率．（Ⅱ）随机变量X=A ﹣B 的所有可能取值为1，2，3，4，5，求出概率得到分布列，然后求解期望即可．【解答】解：（Ⅰ）由表可知：空气湿度指标为1的有A 2，A 4，A 5，A 7，A 9，A 10…（1分）空气湿度指标为2的有A 1，A 3，A 6，A 8，…（2分） 在这10块种植地中任取两块地，基本事件总数n=…（3分）这两块地的空气温度的指标z 相同包含的基本事件个数…∴这两地的空气温度的指标z 相同的概率…（6分）（Ⅱ）由题意得10块种植地的综合指标如下表：其中长势等级是一级（ω≥4）有A 1，A 2，A 3，A 5，A 6，A 8，A 9，共7个， 长势等级不是一级（ω＜4）的有A 4，A 7，A 10，共3个，…（7分） 随机变量X=A ﹣B 的所有可能取值为1，2，3，4，5，…（8分）w=4的有A 1，A 2，A 5，A 6，A 9共5块地，w=3的有A 7，A 10共2块地，这时有X=4﹣3=1所以，…（9分）同理，，…（10分）∴X的分布列为：…（11分）…（12分）【点评】本题考查离散性随机变量的分布列的求法，概率的求法，考查转化思想以及计算能力．19．（12分）（2017•茂名一模）如图1，在边长为的正方形ABCD中，E、O 分别为AD、BC的中点，沿EO将矩形ABOE折起使得∠BOC=120°，如图2所示，点G 在BC上，BG=2GC，M、N分别为AB、EG中点．（Ⅰ）求证：MN∥平面OBC；（Ⅱ）求二面角G﹣ME﹣B的余弦值．【考点】二面角的平面角及求法；直线与平面平行的判定．【分析】（Ⅰ）法一：取OG中点F，连结BF、FN，证明MN∥BF，然后证明MN ∥平面OBC．法二：延长EM、OB交于点Q，连结GQ，证明M为EQ中点，推出MN∥QG，然后证明MN∥平面OBC．（Ⅱ）法一：证明OG⊥OB，推出OE⊥平面OBC，证明OE⊥OG，然后推出OG⊥QE，说明∠OMG为二面角G﹣ME﹣B的平面角，Rt△MOG中，求解即可．法二：建立空间直角坐标系O﹣xyz，求出面BOE的一个法向量，平面MGE的法向量，利用空间向量的数量积求解即可．【解答】（Ⅰ）证明：法一如图13取OG中点F，连结BF、FN，则中位线FN∥OE且FN=OE，又BM∥OE且BM=OE …（1分）所以FN∥BM且FN=BM，所以四边形BFNM是平行四边形，所以MN∥BF，…（2分）又MN⊄平面OBC，BF⊂平面OBC，所以MN∥平面OBC．…（4分）法二：如图14，延长EM、OB交于点Q，连结GQ，因为BM∥OE且BM=OE，所以，M为EQ中点，…（1分）所以中位线MN∥QG …（2分）又MN⊄平面OBC，QG⊂面OBC，所以MN∥平面OBC．…（4分）（Ⅱ）解：法一如图14，因为OB=OC=，∠BOC=120°，所以，…又BG=2GC．所以，，∴OB2+OG2=BG2，∴∠BOG=90°，OG⊥OB，…（6分）又∵OE⊥OB，OE⊥OC，OB∩OC=O，∴OE⊥平面OBC，OG⊂面OBC，∴OE⊥OG…（7分）又OB∩OE=O，所以OG⊥平面OBE，QE⊂面OBE OG⊥QE，…（8分）又M为EQ中点，所以OQ=OE=，所以OM⊥QE，OM∩OG=O，所以QE⊥平面OMG，QE⊥MG，∠OMG为二面角G﹣ME﹣B的平面角．…（9分）所以Rt△MOG中，，，…（11分），∴二面角G﹣ME﹣B的余弦值为…（12分）法二：如图15，∵OB=OC=，∠BOC=120°，∴，…又BG=2GC，∴，，∴OB2+OG2=BG2，∴∠BOG=90°，OG⊥OB，…（6分）又∵OE⊥OB，OE⊥OC，OB∩OC=O，∴OE⊥平面OBC，OG⊂面OBC，∴OE⊥OG…（7分）又OB∩OE=O，所以OG⊥平面OBE，OE⊂面OBE，∴OG⊥OE…（8分）建立如图所示的空间直角坐标系O﹣xyz，则M（，G（0，1，0），E（，，…（9分）而是平面BOE的一个法向量，…（11分）设平面MGE的法向量为，则，令z=1，则，面MGE的一个法向量为，…（10分）所以所以，二面角G﹣ME﹣B的余弦值为…（12分）【点评】本题考查直线与平面平行于垂直的判定定理的应用，二面角的平面角的求法，考查空间想象能力以及计算能力．20．（12分）（2017•茂名一模）设x，y∈R，向量分别为直角坐标平面内x，y轴正方向上的单位向量，若向量，，且．（Ⅰ）求点M（x，y）的轨迹C的方程；（Ⅱ）设椭圆，P为曲线C上一点，过点P作曲线C的切线y=kx+m交椭圆E于A、B两点，试证：△OAB的面积为定值．【考点】圆锥曲线的定值问题；圆锥曲线的轨迹问题；直线与椭圆的位置关系．【分析】（Ⅰ）通过，得到，说明点M（x，y）到两个定点F1（，0），F2（，0）的距离之和为4，推出点M的轨迹C是以F1、F2为焦点的椭圆，然后求解即可．（Ⅱ）设A（x1，y1），B（x2，y2），将y=kx+m代入椭圆E的方程，消去x可得（1+4k2）x2+8kmx+4m2﹣16=0显然直线与椭圆C的切点在椭圆E内，利用判别式以及韦达定理求解三角形的面积，转化求解即可．【解答】（Ⅰ）解：∵，，且，∴∴点M（x，y）到两个定点F1（，0），F2（，0）的距离之和为4…（2分）∴点M的轨迹C是以F1、F2为焦点的椭圆，设所求椭圆的标准方程为，a=2∴b2=a2﹣c2=1…（3分）其方程为…（4分）（Ⅱ）证明：设A（x1，y1），B（x2，y2），将y=kx+m代入椭圆E的方程，消去x可得（1+4k2）x2+8kmx+4m2﹣4=0显然直线与椭圆C的切点在椭圆E内，∴△＞0，由韦达定理可得：，．…所以…（6分）因为直线y=kx+m与y轴交点的坐标为（0，m），所以△OAB的面积…（7分）=…（8分）设将y=kx+m代入椭圆C的方程，可得（1+4k2）x2+8kmx+4m2﹣4=0…（10分）由△=0，可得m2=1+4k2即t=1，…（11分）又因为，故为定值．…（12分）【点评】本题考查椭圆的标准方程的求法，直线与椭圆的位置关系的综合应用，定值问题的处理方法，设而不求的应用，考查分析问题解决问题的能力．21．（12分）（2017•茂名一模）已知函数f（x）=x3﹣x+2．（Ⅰ）求函数y=f（x）在点（1，f（1））处的切线方程；（Ⅱ）令g（x）=+lnx，若函数y=g（x）在（e，+∞）内有极值，求实数a的取值范围；（Ⅲ）在（Ⅱ）的条件下，对任意t∈（1，+∞），s∈（0，1），求证：．【考点】利用导数研究函数的极值；利用导数研究曲线上某点切线方程．【分析】（Ⅰ）求出切点坐标，求出导数，得到切线的斜率，然后求解函数y=f（x）在点（1，f（1））处的切线方程．（Ⅱ）化简g（x）的表达式，求出定义域，求出导函数，构造函数h（x）=x2﹣（a+2）x+1，要使y=g（x）在（e，+∞）上有极值，转化为h（x）=x2﹣（a+2）x+1=0有两个不同的实根x1，x2，利用判别式推出a的范围，判断两个根的范围，然后求解a 的范围．（Ⅲ）转化已知条件为∀t∈（1，+∞），都有g（t）≥g（x2），通过函数的单调性以及最值，推出=，构造函数，利用导数以及单调性求解即可．【解答】（Ⅰ）解：∵f（1）=13﹣1+2×1=2．…（1分）…（2分）∴函数y=f（x）在点（1，f（1））处的切线方程为：y﹣2=3（x﹣1），即3x﹣y﹣1=0．…（3分）（Ⅱ）解：定义域为（0，1）∪（1，+∞）∴…（4分）设h（x）=x2﹣（a+2）x+1，要使y=g（x）在（e，+∞）上有极值，则h（x）=x2﹣（a+2）x+1=0有两个不同的实根x1，x2，∴△=（a+2）2﹣4＞0∴a＞0或a＜﹣4①…而且一根在区间（e，+∞）上，不妨设x2＞e，又因为x1•x2=1，∴，又h（0）=1，∴联立①②可得：…（6分）（Ⅲ）证明：由（Ⅱ）知，当x∈（1，x2），g'（x）＜0，∴g（x）单调递减，x∈（x2+∞）时，g'（x）＞0，g（x）单调递增∴g（x）在（1，+∞）上有最小值g（x2）即∀t∈（1，+∞），都有g（t）≥g（x2）…（7分）又当x∈（0，x1），g'（x）＞0∴g（x）单调递增，当x∈（x1，1），g'（x）＜0，∴g（x）单调递减，∴g（x）在（0，1）上有最大值g（x1）即对∀s∈（0，1），都有g（s）≤g（x1）…（8分）又∵x1+x2=2+a，x1x2=1，x1∈（0，），x2∈（e，+∞），∴==…（10分），∴，∴k（x）在（e，+∞）上单调递增，∴…（11分）∴…（12分）【点评】本题考查函数的导数，函数的单调性以及函数的最值，构造法的应用，考查函数的最值以及单调性的关系，考查转化思想以及计算能力．请考生在第22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分，[选修4-4：坐标系与参数方程]（共1小题，满分10分）22．（10分）（2017•茂名一模）在直角坐标系xOy中，曲线C1的参数方程为（α为参数）．在以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴的极坐标系中，曲线．（Ⅰ）写出曲线C1，C2的普通方程；（Ⅱ）过曲线C1的左焦点且倾斜角为的直线l交曲线C2于A，B两点，求|AB|．【考点】简单曲线的极坐标方程；参数方程化成普通方程．【分析】（Ⅰ）消去参数及利亚极坐标与直角坐标互化方法，写出曲线C1，C2的普通方程；（Ⅱ）直线l的参数方程为：（t为参数），将其代入曲线C2整理可得：，利用参数的几何运用求|AB|．【解答】解：（Ⅰ）…（1分）即C1的普通方程为．…（3分）∵ρ2=x2+y2，x=ρcosθ，y=ρsinθ，C2可化为x2+y2+4x﹣2y+4=0，…（3分）即（x+2）2+（y﹣1）2=1．…（4分）（Ⅱ）曲线C1左焦点为（﹣4，0），…直线l的倾斜角为，．…（6分）所以直线l的参数方程为：（t为参数），…（7分）将其代入曲线C2整理可得：，…（8分）所以△=．设A，B对应的参数分别为t1，t2，则．…（9分）所以．…（10分）【点评】本题考查参数方程的运用，考查参数方程、极坐标方程、普通方程的转化，考查学生的计算能力，属于中档题．[选修4-5：不等式选讲]（共1小题，满分0分）23．（2017•茂名一模）已知函数f（x）=|2x﹣a|+|2x+3|，g（x）=|x﹣1|+2．（Ⅰ）若a=1，解不等式f（x）＜6；（Ⅱ）若对任意x1∈R，都有x2∈R，使得f（x1）=g（x2）成立，求实数a的取值范围．【考点】绝对值不等式的解法．【分析】（Ⅰ）通过讨论x的范围，得到关于x的不等式组，解出即可；（Ⅱ）问题转化为{y|y=f（x）}⊆{y|y=g（x）}，分别求出f（x），g（x）的最小值，得到关于a的不等式，解出即可．【解答】解：（Ⅰ）当a=1时，f（x）＜6，即|2x﹣1|+|2x+3|＜6，即或或，∴或或，∴﹣2＜x＜1，所以不等式f（x）＜6的解集为{x|﹣2＜x＜1}．（Ⅱ）对任意x1∈R，都有x2∈R，使得f（x1）=g（x2）成立，则有{y|y=f（x）}⊆{y|y=g（x）}，又f（x）=|2x﹣a|+|2x+3|≥|（2x﹣a）﹣（2x+3）|=|a+3|。
2017年广东省佛山市高考数学一模试卷(文科)
2017年广东省佛山市高考数学一模试卷（文科）一、选择题：本大题共12小题，满分60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求1．（5分）已知集合A={x||x|＜1}，B={x|x2﹣x＜0}，则A∩B=（）A．[﹣1，2]B．[0，1]C．（0，1]D．（0，1）2．（5分）设复数z 1，z2在复平面内对应的点关于虚轴对称，且z1=2+i，则=（）A．﹣4+3i B．4﹣3i C．﹣3﹣4i D．3﹣4i3．（5分）命题“∃x0≤0，使得x02≥0”的否定是（）A．∀x≤0，x2＜0 B．∀x≤0，x2≥0 C．∃x0＞0，x02＞0 D．∃x0＜0，x02≤0 4．（5分）变量x，y满足约束条件，则目标函数z=x+3y的最小值为（）A．2 B．4 C．5 D．65．（5分）本学期王老师任教两个平行班高三A班、高三B班，两个班都是50个学生，如图图反映的是两个班在本学期5次数学测试中的班级平均分对比，根据图表，不正确的结论是（）A．A班的数学成绩平均水平好于B班B．B班的数学成绩没有A班稳定C．下次考试B班的数学平均分要高于A班D．在第1次考试中，A、B两个班的总平均分为986．（5分）抛物线y2=16x的焦点到双曲线﹣=1的渐近线的距离是（）A．1 B．C．2 D．27．（5分）已知函数f（x）=sin2x﹣cos2x+1，下列结论中错误的是（）A．f（x）的图象关于（，1）中心对称B．f（x）在（，）上单调递减C．f（x）的图象关于x=对称D．f（x）的最大值为38．（5分）一直线l与平行四边形ABCD中的两边AB、AD分别交于E、F，且交其对角线AC于K，若=2，=3，=λ（λ∈R），则λ=（）A．2 B．C．3 D．59．（5分）对任意a∈R，曲线y=e x（x2+ax+1﹣2a）在点P（0，1﹣2a）处的切线l与圆C：（x﹣1）2+y2=16的位置关系是（）A．相交B．相切C．相离D．以上均有可能10．（5分）如图所示的程序框图，输出的值为（）A．B．C．D．11．（5分）某几何体的三视图如图所示，则该几何体外接球的表面积为（）A．4πB．12πC．48πD．6π12．（5分）已知函数f（x）=x3+ax2+bx+c，g（x）=3x2+2ax+b（a，b，c是常数），若f（x）在（0，1）上单调递减，则下列结论中：①f（0）•f（1）≤0；②g（0）•g（1）≥0；③a2﹣3b有最小值．正确结论的个数为（）A．0 B．1 C．2 D．3二、填空题：本大题4小题，每小题5分，满分20分13．（5分）函数f（x）=+log2为奇函数，则实数a=．14．（5分）已知0＜x＜，且sin（2x﹣）=﹣，则sinx+cosx=．15．（5分）数轴上有四个间隔为1的点依次记为A、B、C、D，在线段AD上随机取一点E，则E点到B、C两点的距离之和小于2的概率为．16．（5分）△ABC中的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若b=4，c=5，B=2C，点D为边BC上一点，且BD=6，则△ADC的面积为．三．解答题：本大题共5小题，满分60分，解答须写出文字说明、证明过程或演算步骤17．（12分）已知数列{a n}的前n项和为S n，且满足S n=a n+n2﹣1（n∈N*）．（1）求{a n}的通项公式；（2）求证：．18．（12分）我们国家正处于老龄化社会中，老有所依也是政府的民生工程．某市共有户籍人口400万，其中老人（年龄60岁及以上）人数约有66万，为了了解老人们的健康状况，政府从老人中随机抽取600人并委托医疗机构免费为他们进行健康评估，健康状况共分为不能自理、不健康尚能自理、基本健康、健康四个等级，并以80岁为界限分成两个群体进行统计，样本分布被制作成如下图表：（Ⅰ）若采用分层抽样的方法再从样本中的不能自理的老人中抽取16人进一步了解他们的生活状况，则两个群体中各应抽取多少人？（Ⅱ）估算该市80岁及以上长者占全市户籍人口的百分比；（Ⅲ）政府计划为80岁及以上长者或生活不能自理的老人每人购买1000元/年的医疗保险，为其余老人每人购买600元/年的医疗保险，不可重复享受，试估计政府执行此计划的年度预算．19．（12分）如图，四棱锥P﹣ABCD中，△PAD为正三角形，AB∥CD，AB=2CD，∠BAD=90°，PA⊥CD，E为棱PB的中点（Ⅰ）求证：平面PAB⊥平面CDE；（Ⅱ）若AD=CD=2，求点P到平面ADE的距离．20．（12分）已知椭圆C：+=1（a＞b＞0）过点M（2，1），且离心率为．（Ⅰ）求椭圆C的方程；（Ⅱ）若过原点的直线l1与椭圆C交于P，Q两点，且在直线l2：x﹣y+2=0上存在点M，使得△MPQ为等边三角形，求直线l1的方程．21．（12分）设函数f（x）=e ax+λlnx，其中a＜0，e是自然对数的底数（Ⅰ）若f（x）是（0，+∞）上的单调函数，求λ的取值范围；（Ⅱ）若0＜λ＜，证明：函数f（x）有两个极值点．请考生在第22、23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分．[选修4-1：几何证明选讲]（共1小题，满分10分）22．（10分）在极坐标系中，射线l：θ=与圆C：ρ=2交于点A，椭圆Γ的方程为ρ2=，以极点为原点，极轴为x轴正半轴建立平面直角坐标系xOy （Ⅰ）求点A的直角坐标和椭圆Γ的参数方程；（Ⅱ）若E为椭圆Γ的下顶点，F为椭圆Γ上任意一点，求•的取值范围．[选修4-4：坐标系与参数方程选讲]（共1小题，满分0分）23．已知不等式|x+3|﹣2x﹣1＜0的解集为（x0，+∞）（Ⅰ）求x0的值；（Ⅱ）若函数f（x）=|x﹣m|+|x+|﹣x0（m＞0）有零点，求实数m的值．2017年广东省佛山市高考数学一模试卷（文科）参考答案与试题解析一、选择题：本大题共12小题，满分60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求1．（5分）已知集合A={x||x|＜1}，B={x|x2﹣x＜0}，则A∩B=（）A．[﹣1，2]B．[0，1]C．（0，1]D．（0，1）【分析】求出A与B中不等式的解集分别确定出A与B，找出两集合的交集即可．【解答】解：由A中不等式变形得：﹣1＜x＜1，即A=（﹣1，1），由B中不等式变形得：x（x﹣1）＜0，解得：0＜x＜1，即B=（0，1），则A∩B=（0，1），故选：D．【点评】此题考查了交集及其运算，熟练掌握交集的定义是解本题的关键．2．（5分）设复数z 1，z2在复平面内对应的点关于虚轴对称，且z1=2+i，则=（）A．﹣4+3i B．4﹣3i C．﹣3﹣4i D．3﹣4i【分析】利用复数的运算法则与共轭复数的定义、几何意义即可得出．【解答】解：∵复数z1，z2在复平面内对应的点关于虚轴对称，且z1=2+i，∴z 2=﹣2+i，从而，∴=（2+i）（﹣2﹣i）=﹣3﹣4i，故选：C．【点评】本题考查了复数的运算法则与共轭复数的定义、几何意义，属于基础题．3．（5分）命题“∃x0≤0，使得x02≥0”的否定是（）A．∀x≤0，x2＜0 B．∀x≤0，x2≥0 C．∃x0＞0，x02＞0 D．∃x0＜0，x02≤0【分析】直接利用特称命题的否定是全称命题，写出结果即可．【解答】解：因为特称命题的否定是全称命题，所以，命题“∃x0≤0，使得x02≥0”的否定是∀x≤0，x2＜0．故选：A．【点评】本题考查命题的否定，全称命题与特称命题的否定关系，是基础题．4．（5分）变量x，y满足约束条件，则目标函数z=x+3y的最小值为（）A．2 B．4 C．5 D．6【分析】先根据条件画出可行域，设z=x+3y，再利用几何意义求最值，将最小值转化为y轴上的截距最大，只需求出直线z=x+3y，取得截距的最小值，从而得到z最小值即可．【解答】解：作出不等式组所表示的平面区域，由z=x+3y可得y=﹣x+z．则z为直线y=﹣x+z在y轴上的截距，截距越小，z越小，作直线L：x+3y=0，然后把直线L向可行域方向平移，当经过点B时，z最小由可得B（2，0），此时z=2故选：A．【点评】借助于平面区域特性，用几何方法处理代数问题，体现了数形结合思想、化归思想．线性规划中的最优解，通常是利用平移直线法确定．5．（5分）本学期王老师任教两个平行班高三A班、高三B班，两个班都是50个学生，如图图反映的是两个班在本学期5次数学测试中的班级平均分对比，根据图表，不正确的结论是（）A．A班的数学成绩平均水平好于B班B．B班的数学成绩没有A班稳定C．下次考试B班的数学平均分要高于A班D．在第1次考试中，A、B两个班的总平均分为98【分析】求出A，B的平均数、方差，即可得出结论．【解答】解：A班的数学成绩为=101，B班的数学成绩为=99.2，即A正确；A的方差为（0+9+0+1+16）=5.2，B方差为（4.22+0.64+3.22+5.82+0.64）=12.56，即B正确；在第1次考试中，A、B两个班的总平均分为=98，即D正确；下次考试B班的数学平均分要高于A班，不正确．故选：C．【点评】本题考查平均数、方差的计算，考查学生利用数学知识解决实际问题，比较基础．6．（5分）抛物线y2=16x的焦点到双曲线﹣=1的渐近线的距离是（）A．1 B．C．2 D．2【分析】确定抛物线的焦点位置，进而可确定抛物线的焦点坐标；求出双曲线渐近线方程，利用点到直线的距离公式可得结论．【解答】解：抛物线y2=16x的焦点F的坐标为（4，0）；双曲线﹣=1的一条渐近线方程为x﹣y=0，∴抛物线y2=16x的焦点到双曲线﹣=1的一条渐近线的距离为=2，故选：D．【点评】本题考查双曲线、抛物线的标准方程，以及双曲线、抛物线的简单性质，考查点到直线的距离公式的应用，求出焦点坐标和一条渐近线方程，是解题的突破口．7．（5分）已知函数f（x）=sin2x﹣cos2x+1，下列结论中错误的是（）A．f（x）的图象关于（，1）中心对称B．f（x）在（，）上单调递减C．f（x）的图象关于x=对称D．f（x）的最大值为3【分析】利用辅助角公式将函数进行化简，结合三角函数的单调性，最值性，对称性的性质分别进行判断即可．【解答】解：f（x）=sin2x﹣cos2x+1=2sin（2x﹣）+1，A．当x=时，sin（2x﹣）=0，则f（x）的图象关于（，1）中心对称，故A正确，B．由2kπ+≤2x﹣≤2kπ+，k∈Z，得kπ+≤x≤kπ+，k∈Z，当k=0时，函数的递减区间是[，]，故B错误，C．当x=时，2x﹣=2×﹣=，则f（x）的图象关于x=对称，故C 正确，D．当2sin（2x﹣）=1时，函数取得最大值为2+1=3，故D正确，故选：B．【点评】本题主要考查与三角函数有关的命题的真假判断，利用辅助角公式将函数进行化简，结合三角函数的性质是解决本题的关键．8．（5分）一直线l与平行四边形ABCD中的两边AB、AD分别交于E、F，且交其对角线AC于K，若=2，=3，=λ（λ∈R），则λ=（）A．2 B．C．3 D．5【分析】=λ⇒=，由E，F，K三点共线可得，即可．【解答】解：∵=2，=3，∴=λ∴=，由E，F，K三点共线可得，∴λ=5故选：D．【点评】本题主要考查了向量加法的平行四边形法则的应用，向量共线定理的应用，其中解题的关键由EFK三点共线得系数之和为1，属于基础题．9．（5分）对任意a∈R，曲线y=e x（x2+ax+1﹣2a）在点P（0，1﹣2a）处的切线l与圆C：（x﹣1）2+y2=16的位置关系是（）A．相交B．相切C．相离D．以上均有可能【分析】求出曲线y=e x（x2+ax+1﹣2a）在点P（0，1﹣2a）处的切线l恒过定点（﹣2，﹣1），代入：（x﹣1）2+y2﹣16，可得9+1﹣16＜0，即定点在圆内，即可得出结论．【解答】解：∵y=e x（x2+ax+1﹣2a），∴y′=e x（x2+ax+2x+1﹣a），x=0时，y′=1﹣a，∴曲线y=e x（x2+ax+1﹣2a）在点P（0，1﹣2a）处的切线y﹣1+2a=（1﹣a）x，恒过定点（﹣2，﹣1），代入：（x﹣1）2+y2﹣16，可得9+1﹣16＜0，即定点在圆内，∴切线l与圆C：（x﹣1）2+y2=16的位置关系是相交．故选：A．【点评】本题考查导数的几何运用，考查直线与圆的位置关系，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．10．（5分）如图所示的程序框图，输出的值为（）A．B．C．D．【分析】由已知中的程序框图可知：该程序的功能是利用循环结构计算并输出变量S的值，模拟程序的运行过程，分析循环中各变量值的变化情况，可得答案．【解答】解：当i=1时，满足进行循环的条件，故S=，i=2，当i=2时，满足进行循环的条件，故S=1，i=3，当i=3时，满足进行循环的条件，故S=，i=4，当i=4时，满足进行循环的条件，故S=，i=5，当i=5时，不满足进行循环的条件，故输出的S值为，故选：C．【点评】本题考查的知识点是程序框图，当循环的次数不多，或有规律时，常采用模拟循环的方法解答．11．（5分）某几何体的三视图如图所示，则该几何体外接球的表面积为（）A．4πB．12πC．48πD．6π【分析】由三视图可知：该几何体为一个三棱锥P﹣BCD，作PA⊥底面BCD，垂足为A，底面ABCD是边长为2的正方形．则该几何体外接球的直径2R=．【解答】解：由三视图可知：该几何体为一个三棱锥P﹣BCD，作PA⊥底面BCD，垂足为A，底面ABCD是边长为2的正方形．则该几何体外接球的直径2R==2．表面积为=4πR2=12π．故选：B．【点评】本题考查了四棱锥的三视图、球的表面积计算公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．12．（5分）已知函数f（x）=x3+ax2+bx+c，g（x）=3x2+2ax+b（a，b，c是常数），若f（x）在（0，1）上单调递减，则下列结论中：①f（0）•f（1）≤0；②g（0）•g（1）≥0；③a2﹣3b有最小值．正确结论的个数为（）A．0 B．1 C．2 D．3【分析】由f（x）在（0，1）上单调递减，可得g（x）=3x2+2ax+b≤0在（0，1）上恒成立，则3x2+2ax+b=0有两个不等的实根根，进而判断三个命题的真假，可得答案．【解答】解：函数f（x）=x3+ax2+bx+c在（0，1）上单调递减，但f（0），f（1）的符号不能确定，故①f（0）•f（1）≤0不一定正确；由f′（x）=3x2+2ax+b≤0在（0，1）上恒成立，即g（x）=3x2+2ax+b≤0在（0，1）上恒成立，故g（0）≤0，且g（1）≤0，故②g（0）•g（1）≥0一定正确；由g（0）≤0，且g（1）≤0得b≤0，3+2a+b≤0，令Z=a2﹣3b，则b=（a2﹣Z），当b=（a2﹣Z）过（﹣，0）点时，Z取最小值﹣故③正确；故选：C．【点评】本题以命题的真假判断与应用为载体，考查了利用导数研究函数的单调性，二次函数的图象和性质，难度中档．二、填空题：本大题4小题，每小题5分，满分20分13．（5分）函数f（x）=+log2为奇函数，则实数a=1．【分析】根据函数奇偶性的性质建立方程关系进行求解即可．【解答】解：∵函数f（x）=+log2为奇函数，∴f（﹣x）=﹣f（x），即f（﹣x）+f（x）=0，则﹣+log2++log2=0，即log2（•）=0，则•==1，则1﹣a2x2=1﹣x2，则a2=1，则a=±1，当a=﹣1时，f（x）=+log2=f（x）=+log21=，此时1﹣x≠0且x≠0，即x≠1且x≠0，则函数的定义域关于原点不对称，不是奇函数，不满足条件．当a=1时，f（x）=+log2=+log2为奇函数，满足条件．故答案为：1【点评】本题主要考查函数奇偶性的应用，根据条件建立方程关系是解决本题的关键．14．（5分）已知0＜x＜，且sin（2x﹣）=﹣，则sinx+cosx=．【分析】由x的范围，可得﹣＜2x﹣＜0，可得cos（2x﹣）的值，再由sin2x=sin[（2x﹣）+]，运用两角和的正弦公式，以及sinx+cosx=，计算即可得到所求值．【解答】解：0＜x＜，且sin（2x﹣）=﹣，可得﹣＜2x﹣＜0，则cos（2x﹣）==，即有sin2x=sin[（2x﹣）+]=[sin（2x﹣）+cos（2x﹣）]=×（﹣+）=，则sinx+cosx====．故答案为：．【点评】本题考查三角函数的求值，考查两角和的正弦公式和同角基本关系式，考查化简整理的运算能力，属于中档题．15．（5分）数轴上有四个间隔为1的点依次记为A、B、C、D，在线段AD上随机取一点E，则E点到B、C两点的距离之和小于2的概率为．【分析】求出满足条件的E点所在的位置，从而求出E点到B、C两点的距离之和小于2的概率即可．【解答】解：设AB的中点是M，CD的中点是N，则E在MN上时满足条件，故E点到B、C两点的距离之和小于2的概率p=，故答案为：．【点评】本题考查了几何概型问题，考查线段的比值，是一道基础题．16．（5分）△ABC中的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若b=4，c=5，B=2C，点D为边BC上一点，且BD=6，则△ADC的面积为10．【分析】由已知利用二倍角的正弦函数公式，正弦定理可求cosC，利用二倍角的余弦函数公式可求cosB=cos2C的值，利用同角三角函数基本关系式可求sinC 的值，由余弦定理可得BC2﹣6BC﹣55=0，解得BC，可求DC的值，进而利用三角形面积公式即可计算得解．【解答】解：∵b=4，c=5，B=2C，∴由正弦定理可得：==，可得：cosC=，∴cosB=cos2C=2cos2C﹣1=，sinC==，∴在△ABC中，由余弦定理可得：（4）2=52+BC2﹣2×，整理可得：BC2﹣6BC﹣55=0，解得：BC=11或﹣5（舍去），∴DC=BC﹣BD=11﹣6=5，=AC•DC•sinC==10．∴S△ADC故答案为：10．【点评】本题主要考查了二倍角的正弦函数公式，正弦定理，二倍角的余弦函数公式，同角三角函数基本关系式，余弦定理，三角形面积公式在解三角形中的综合应用，考查了转化思想，属于中档题．三．解答题：本大题共5小题，满分60分，解答须写出文字说明、证明过程或演算步骤17．（12分）已知数列{a n}的前n项和为S n，且满足S n=a n+n2﹣1（n∈N*）．（1）求{a n}的通项公式；（2）求证：．【分析】（1）S n=a n+n2﹣1（n∈N*），可得a1+a2=a2+22﹣1，解得a1．n≥2时，a n=S n ．﹣S n﹣1（2）由（1）可得：S n=n2+2n．可得==．利用“裂项求和”方法即可得出．【解答】（1）解：∵S n=a n+n2﹣1（n∈N*），∴a1+a2=a2+22﹣1，解得a1=3．n≥2时，a n=S n﹣S n﹣1=a n+n2﹣1﹣[a n﹣1+（n﹣1）2﹣1]，化为：a n﹣1=2n﹣1，可得a n=2n+1，n=1时也成立．∴a n=2n+1．（2）证明：由（1）可得：S n=2n+1+n2﹣1=n2+2n．∴==．∴+…+=++…++=＜．【点评】本题考查了数列递推关系、“裂项求和”方法，考查了推理能力与就计算能力，属于中档题．18．（12分）我们国家正处于老龄化社会中，老有所依也是政府的民生工程．某市共有户籍人口400万，其中老人（年龄60岁及以上）人数约有66万，为了了解老人们的健康状况，政府从老人中随机抽取600人并委托医疗机构免费为他们进行健康评估，健康状况共分为不能自理、不健康尚能自理、基本健康、健康四个等级，并以80岁为界限分成两个群体进行统计，样本分布被制作成如下图表：（Ⅰ）若采用分层抽样的方法再从样本中的不能自理的老人中抽取16人进一步了解他们的生活状况，则两个群体中各应抽取多少人？（Ⅱ）估算该市80岁及以上长者占全市户籍人口的百分比；（Ⅲ）政府计划为80岁及以上长者或生活不能自理的老人每人购买1000元/年的医疗保险，为其余老人每人购买600元/年的医疗保险，不可重复享受，试估计政府执行此计划的年度预算．【分析】（Ⅰ）从图表中求出不能自理的80岁及以上长者占比，由此能求出抽取16人中不能自理的80岁及以上长者人数为．（Ⅱ）求出在600人中80岁及以上长者在老人中占比，用样本估计总体，能求出80岁及以上长者占户籍人口的百分比．（Ⅲ）先计算抽样的600人的预算，用样本估计总体，从而能估计政府执行此计划的年度预算．【解答】解：（Ⅰ）数据整理如下表：从图表中知不能自理的80岁及以上长者占比为：=，故抽取16人中不能自理的80岁及以上长者人数为16×=6，能自理的80岁及以上长者人数为10．（Ⅱ）在600人中80岁及以上长者在老人中占比为：=，80岁及以上长者有=11，用样本估计总体，80岁及以上长者占户籍人口的百分比为=2.75%．（Ⅲ）先计算抽样的600人的预算，其中享受1000元/年的人数为15+25+20+45+20=125人，享受600元/年的人数为600﹣125=475人，预算为125×1000+475×600=41×104元，用样本估计总体，全市老人的总预算为×41×104=4.51×108元．政府执行此计划的年度预算约为4.51亿元．【点评】本题考查分表图、分层抽样的应用，考查学生的计算能力，是中档题．19．（12分）如图，四棱锥P﹣ABCD中，△PAD为正三角形，AB∥CD，AB=2CD，∠BAD=90°，PA⊥CD，E为棱PB的中点（Ⅰ）求证：平面PAB⊥平面CDE；（Ⅱ）若AD=CD=2，求点P到平面ADE的距离．【分析】（Ⅰ）取AP的中点F，连结EF，DF，推导出四边形CDEF为平行四边形，从而DF∥CE，由此能证明平面PAB⊥平面CDE，（Ⅱ）利用等体积求点点P到平面ADE的距离．【解答】证明：（Ⅰ）取AP的中点F，连结EF，DF，∵E是PB中点，∴EF∥AB，EF=AB，∴CD∥AB，CD=AB，∴CD∥EF，CD=EF∴四边形CDEF为平行四边形，∴DF∥CE，又△PAD 为正三角形，∴PA⊥DF，从而PA⊥CE，又PA⊥CD，CD∩CE=C，∴PA⊥平面CDE，又PA⊂平面PAB，∴平面PAB⊥平面CDE．解：（Ⅱ）∵AB∥CD，AB⊥AD，∴CD⊥AD，又PA⊥CD，PA∩AD=A，∴CD⊥平面PAD，又（Ⅰ）知，CD∥EF，∴EF⊥平面PAD，∴EF为三棱锥的E﹣PAD的高，且EF=CD=2，易得△PAD的面积S=×22=，△PAD在Rt△PAB中，PB=2，AE=PB=，在矩形CDEF中，CD=2，CE=DF=，∴DE=，在△ADE中，AE=，DE=，AD=2，由平面几何知识可得AD边上的高EH=，∴△ADE的面积S=×2×=，△ADE=V E﹣PAD得设点P到平面ADE的距离为d，由V P﹣ADE××2=×d，解得d=∴点P到平面ADE的距离为【点评】本题考查直线与平面垂直的证明，求三棱锥的体积，解题时要认真审题，注意合理地化立体几何问题为平面几何问题．20．（12分）已知椭圆C：+=1（a＞b＞0）过点M（2，1），且离心率为．（Ⅰ）求椭圆C的方程；（Ⅱ）若过原点的直线l1与椭圆C交于P，Q两点，且在直线l2：x﹣y+2=0上存在点M，使得△MPQ为等边三角形，求直线l1的方程．【分析】（Ⅰ）椭圆的离心率为e═==．即a2=4b2，将点M（2，1），代入椭圆方程即可求得a和b的值，求得椭圆C的方程；（Ⅱ）当k=0，直线PQ的垂直平分线为y轴，y轴与直线m的交点为M（0，2），满足△MPQ为等边三角形，求直线l1的方程y=0，当k≠0时，设直线l1的方程为y=kx，代入椭圆方程，求得丨PO丨，则垂直平分线的方程y=﹣x，与直线l2：x﹣y+2=0上存在点M坐标，由等边三角形的性质可知：丨MO丨=丨PO丨，代入即可求得k的值，求得直线l1的方程．【解答】解：（Ⅰ）由题意可知：椭圆的离心率为e═==．即a2=4b2，由椭圆C：+=1（a＞b＞0）过点M（2，1），代入可知：，解得：b2=2，则a2=8，∴椭圆C的方程；（Ⅱ）显然，直线l的斜率k存在，设P（x0，y0），则Q（﹣x0，﹣y0），（1）当k=0，直线PQ的垂直平分线为y轴，y轴与直线m的交点为M（0，2），由丨PO丨=2，丨MO丨=2，∴∠MPO=60°，则△MPQ为等边三角形，此时直线l1的方程为y=0，当k≠0时，设直线l1的方程为y=kx，则，整理得：（1+4k2）x2=8，解得：丨x0丨=，则丨PO丨=•，则PQ的垂直平分线为y=﹣x，则，解得：，则M（﹣，），∴丨MO丨=，∵△MPQ为等边三角形，则丨MO丨=丨PO丨，∴=••，解得：k=0（舍去），k=，∴直线l1的方程为y=x，综上可知：直线l1的方程为y=0或y=x．【点评】本题考查椭圆的标准方程，直线与椭圆的位置关系，考查等边三角形的性质，考查计算能力，属于中档题．21．（12分）设函数f（x）=e ax+λlnx，其中a＜0，e是自然对数的底数（Ⅰ）若f（x）是（0，+∞）上的单调函数，求λ的取值范围；（Ⅱ）若0＜λ＜，证明：函数f（x）有两个极值点．【分析】（Ⅰ）求出函数的导数，通过讨论λ的范围，求出函数的单调区间，集合题意确定λ的范围即可；（Ⅱ）求出函数的导数，解关于导函数的不等式，求出函数的单调区间，从而判断函数的极值点的个数．【解答】解：（Ⅰ）f′（x）=ae ax+=，（x＞0），①若λ≤0，则f′（x）＜0，则f（x）在（0，+∞）递减，②若λ＞0，令g（x）=axe ax+λ，其中a＜0，x＞0，则g′（x）=ae ax（1+ax），令g′（x）=0，解得：x=﹣，故x∈（0，﹣）时，g′（x）＜0，g（x）递减，x∈（﹣，+∞）时，g′（x）＞0，g（x）递增，故x=﹣时，g（x）取极小值也是最小值g（﹣）=λ﹣，故λ﹣≥0即λ≥时，g（x）≥0，此时f′（x）≥0，f（x）在（0，+∞）递增，综上，所求λ的范围是（﹣∞，0]∪[，+∞）；（Ⅱ）f′（x）=ae ax+=，（x＞0），令g（x）=axe ax+λ，其中a＜0，x＞0，求导得：g′（x）=ae ax（1+ax），令g′（x）=0，解得：x=﹣，x∈（0，﹣）时，g′（x）＜0，g（x）递减，x∈（﹣，+∞）时，g′（x）＞0，g（x）递增，x=﹣时，g（x）取得极小值，也是最小值g（﹣）=λ﹣，∵0＜λ＜，∴g（﹣）=λ﹣＜0，又g（0）=λ＞0，∴g（﹣）g（0）＜0，而x→+∞时，f′（x）→λ＞0，∴函数f（x）有两个极值点．【点评】本题考查了函数的单调性、极值问题，考查导数的应用，是一道综合题．请考生在第22、23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分．[选修4-1：几何证明选讲]（共1小题，满分10分）22．（10分）在极坐标系中，射线l：θ=与圆C：ρ=2交于点A，椭圆Γ的方程为ρ2=，以极点为原点，极轴为x轴正半轴建立平面直角坐标系xOy （Ⅰ）求点A的直角坐标和椭圆Γ的参数方程；（Ⅱ）若E为椭圆Γ的下顶点，F为椭圆Γ上任意一点，求•的取值范围．【分析】（Ⅰ）射线l：θ=与圆C：ρ=2交于点A（2，），可得点A的直角坐标；求出椭圆直角坐标方程，即可求出椭圆Γ的参数方程；（Ⅱ）设F（cosθ，sinθ），E（0，﹣1），求出相应的向量，即可求•的取值范围．【解答】解：（Ⅰ）射线l：θ=与圆C：ρ=2交于点A（2，），点A的直角坐标（，1）；椭圆Γ的方程为ρ2=，直角坐标方程为+y2=1，参数方程为（θ为参数）；（Ⅱ）设F（cosθ，sinθ），∵E（0，﹣1），∴=（﹣，﹣2），=（cosθ﹣，sinθ﹣1），∴•=﹣3cosθ+3﹣2（sinθ﹣1）=sin（θ+α）+5，∴•的取值范围是[5﹣，5+]．【点评】本题考查极坐标方程、直角坐标方程、参数方程的转化，考查向量的数量积公式，考查学生的计算能力，属于中档题．[选修4-4：坐标系与参数方程选讲]（共1小题，满分0分）23．已知不等式|x+3|﹣2x﹣1＜0的解集为（x0，+∞）（Ⅰ）求x0的值；（Ⅱ）若函数f（x）=|x﹣m|+|x+|﹣x0（m＞0）有零点，求实数m的值．【分析】（Ⅰ）不等式转化为或，解得x＞2，即可求x0的值；（Ⅱ）由题意，等价于|x﹣m|+|x+|=2（m＞0）有解，结合基本不等式，即可求实数m的值．【解答】解：（Ⅰ）不等式转化为或，解得x＞2，∴x0=2；（Ⅱ）由题意，等价于|x﹣m|+|x+|=2（m＞0）有解，∵|x﹣m|+|x+|≥m+，当且仅当（x﹣m）（x+）≤0时取等号，∵|x﹣m|+|x+|=2（m＞0）有解，∴m+≤2，∵m+≥2，∴m+=2，∴m=1．【点评】本题考查不等式的解法，考查绝对值不等式，考查基本不等式的运用，属于中档题．。
2017年广东省汕头市高考数学一模试卷(文科) 有答案
2017年广东省汕头市高考数学一模试卷（文科）一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，满60分）1．已知集合A={x|≤0}，B={0，1，2，3}，则A∩B=（）A．{1，2}B．{0，1，2}C．{1} D．{1，2，3}2．已知=2﹣i，则在复平面内，复数z对应的点位于（）A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限3．一袋中装有大小相同，编号分别为1，2，3，4，5，6，7，8的八个球，从中有放回地每次取一个球，共取2次，则取得两个球的编号之和不小于15的概率为（）A．B．C．D．4．命题“ax2﹣2ax+3＞0恒成立”是假命题，则实数a的取值范围是（）A．0＜a＜3 B．a＜0或a≥3 C．a＜0或a＞3 D．a≤0或a≥35．函数y=的图象大致是（）A．B．C．D．6．已知a∈（，π），sinα=，则tan（α+）=（）A． B．7 C．D．﹣77．已知向量、满足：||=2，||=1，（﹣）•=0，那么向量、的夹角为（）A．30°B．45°C．60°D．90°8．已知双曲线的方程为﹣=1（a＞0，b＞0），过左焦点F1作斜率为的直线交双曲线的右支于点P，且y轴平分线段F1P，则双曲线的离心率为（）A．B． +1 C．D．2+9．函数f（x）=cos2x的周期是T，将f（x）的图象向右平移个单位长度后得到函数g（x），则g （x）具有性质（）A．最大值为1，图象关于直线x=对称B．在（0，）上单调递增，为奇函数C．在（，）上单点递增，为偶函数D．周期为π，图象关于点（，0）对称10．在四面体ABCD中，AB⊥AD，AB=AD=BC=CD=1，且平面ABD⊥平面BCD，M为AB中点，则线段CM的长为（）A．B．C．D．11．过抛物线C：x2=2y的焦点F的直线l交抛物线C于A、B两点，若抛物线C在点B处的切线斜率为1，则线段|AF|=（）A．1 B．2 C．3 D．412．在△ABC中，a，b，c分别为内角A，B，C所对的边，且满足b=c，=，若点O是△ABC外一点，∠AOB=θ（0＜θ＜π），OA=2，OB=1，则平面四边形OACB面积的最大值是（）A．B．C．3 D．二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，满分20分）13．如图所示的程序框图，输出的S=14．如图是一个空间几何体的三视图，则该几何体的表面积为．15．设非负实数x，y满足：，（2，1）是目标函数z=ax+3y（a＞0）取最大值的最优解，则a的取值范围是．16．若直角坐标系内A，B两点满足：（1）点A，B都在f（x）的图象上；（2）点A，B关于原点对称，则称点对（A，B）是函数f（x）的一个“姊妹点对”，点对（A，B）与（B，A）可看作一个“姊妹点对”，已知函数f（x）=，则f（x）的“姊妹点对”有个．三、解答题（本大题共5小题，共60分）=S n+2．17．（12分）已知数列{a n}的前n项和为S n，a1=2，a n+1（1）求数列{a n}的通项公式；（2）已知b n=log2a n，求数列{}的前n项和T n．18．（12分）如图，在三棱柱ABC﹣A1B1C1中，AB⊥平面BB1C1C，且四边形BB1C1C是菱形，∠BCC1=60°．（1）求证：AC1⊥B1C；（2）若AC⊥AB1，三棱锥A﹣BB1C的体积为，求△ABC的面积．19．（12分）二手车经销商小王对其所经营的A型号二手汽车的使用年数x与销售价格y（单位：万元/辆）进行整理，得到如下数据：（1）由折线图可以看出，可以用线性回归模型拟合z与x的关系，请用相关数加以说明；（2）求y关于x的回归方程并预测某辆A型号二手车当使用年数为9年时售价约为多少？（、小数点后保留两位有效数字）．（3）基于成本的考虑，该型号二手车的售价不得低于7118元，请根据（2）求出的回归方程预测在收购该型号二手车时车辆的使用年数不得超过多少年？参考公式：回归方程=x+中斜率和截距的最小二乘估计公式分别为：==，=﹣，r=．参考数据：=187.4，=47.64，=139，=4.18，=13.96，=1.53，ln1.46≈0.38，ln0.7118≈﹣0.34．20．（12分）已知O为坐标原点，圆M：（x+1）2+y2=16，定点F（1，0），点N是圆M上一动点，线段NF的垂直平分线交圆M的半径MN于点Q，点Q的轨迹为E．（1）求曲线E的方程；（2）已知点P是曲线E上但不在坐标轴上的任意一点，曲线E与y轴的交点分别为B1、B2，直线B1P和B2P分别与x轴相交于C、D两点，请问线段长之积|OC|•|OD|是否为定值？如果是请求出定值，如果不是请说明理由；（3）在（2）的条件下，若点C坐标为（﹣1，0），过点C的直线l与E相交于A、B两点，求△ABD面积的最大值．21．（12分）已知函数f（x）=﹣x2+alnx，a∈R．（1）讨论函数f（x）的单调性；（2）当a=4时，记函数g（x）=f（x）+kx，设x1、x2（x1＜x2）是方程g（x）=0的两个根，x0是x1、x2的等差中项，g′（x）为函数g（x）的导函数，求证：g′（x0）＜0．四、选修题22．（10分）已知曲线C的极坐标方程是ρ=6cosθ，以极点为平面直角坐标系的原点，极轴为x轴的正半轴，建立平面直角坐标系，直线l的参数方程是（t为参数）．（1）将曲线C的极坐标方程化为直角坐标方程（普通方程）；（2）若直线l与曲线C相交于A、B两点，且|AB|=2，求直线的倾斜角α的值．五、选修题23．（10分）已知函数f（x）=|x|+|x﹣2|．（1）求关于x的不等式f（x）＜3的解集；（2）如果关于x的不等式f（x）＜a的解集不是空集，求实数a的取值范围．2017年广东省汕头市高考数学一模试卷（文科）参考答案与试题解析一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，满60分）1．已知集合A={x|≤0}，B={0，1，2，3}，则A∩B=（）A．{1，2}B．{0，1，2}C．{1} D．{1，2，3}【考点】交集及其运算．【分析】求出A中不等式的解集确定出A，找出A与B的交集即可．【解答】解：由A中不等式变形得：x（x﹣2）≤0且x≠0，解得：0＜x≤2，即A=（0，2]，∵B={0，1，2，3}，∴A∩B={1，2}，故选：A．【点评】此题考查了交集及其运算，熟练掌握交集的定义是解本题的关键．2．已知=2﹣i，则在复平面内，复数z对应的点位于（）A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限【考点】复数代数形式的乘除运算．【分析】利用已知条件求出复数z，得到对应点的坐标即可判断选项．【解答】解：=2﹣i，∴=（1﹣i）（2﹣i）=1﹣3i∴z=1+3i∴复数z对应点（1，3）在第一象限．故选：A．【点评】本题考查复数的基本运算，复数的几何意义，是基础题．3．一袋中装有大小相同，编号分别为1，2，3，4，5，6，7，8的八个球，从中有放回地每次取一个球，共取2次，则取得两个球的编号之和不小于15的概率为（）A．B．C．D．【考点】列举法计算基本事件数及事件发生的概率．【分析】先求出基本事件总数n=8×8=64，再求出取得两个球的编号之和不小于15包含的基本事件个数，由此能求出取得两个球的编号之和不小于15的概率．【解答】解：一袋中装有大小相同，编号分别为1，2，3，4，5，6，7，8的八个球，从中有放回地每次取一个球，共取2次，基本事件总数n=8×8=64，取得两个球的编号之和不小于15包含的基本事件有：（7，8），（8，7），（8，8），共3个，∴取得两个球的编号之和不小于15的概率为p=．故选：C．【点评】本题考查概率的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意列举法的合理运用．4．命题“ax2﹣2ax+3＞0恒成立”是假命题，则实数a的取值范围是（）A．0＜a＜3 B．a＜0或a≥3 C．a＜0或a＞3 D．a≤0或a≥3【考点】命题的真假判断与应用．【分析】命题“ax2﹣2ax+3＞0恒成立”是假命题，即存在x∈R，使“ax2﹣2ax+3≤0，分类讨论即可．【解答】解：命题“ax2﹣2ax+3＞0恒成立”是假命题，即存在x∈R，使“ax2﹣2ax+3≤0，当a=0时，不符合题意；当a＜0时，符合题意；当a＞0时，△=4a2﹣12a≥0⇒a≥3，综上：实数a的取值范围是：a＜0或a≥3．故选：B【点评】本题考查了命题的真假的应用，转化是关键，属于基础题．5．函数y=的图象大致是（）A．B．C．D．【考点】对数函数的图象与性质．【分析】先由奇偶性来确定是A、B还是C、D选项中的一个，再通过对数函数，当x=1时，函数值为0，可进一步确定选项．【解答】解：∵f（﹣x）=﹣f（x）是奇函数，所以排除A，B当x=1时，f（x）=0排除C故选D【点评】本题主要考查将函数的性质与图象，将两者有机地结合起来，并灵活地运用图象及其分布是数形结合解题的关键．6．已知a∈（，π），sinα=，则tan（α+）=（）A． B．7 C．D．﹣7【考点】两角和与差的正切函数；同角三角函数基本关系的运用．【分析】由已知利用同角三角函数基本关系式可求cosα，tanα的值，进而利用两角和的正切函数公式即可计算得解．【解答】解：∵a∈（，π），sinα=，∴cosα=﹣=﹣，可得：tanα=﹣，∴tan（α+）===．故选：C．【点评】本题主要考查了同角三角函数基本关系式，两角和的正切函数公式在三角函数化简求值中的应用，考查了转化思想，属于基础题．7．已知向量、满足：||=2，||=1，（﹣）•=0，那么向量、的夹角为（）A．30°B．45°C．60°D．90°【考点】数量积表示两个向量的夹角；平面向量数量积的运算．【分析】设向量、的夹角为θ，由数量积的定义代入已知可得关于cosθ的方程，解之可得．【解答】解：设向量、的夹角为θ，θ∈[0，π]则由题意可得（﹣）•=﹣=2×1×cosθ﹣12=0，解之可得cosθ=，故θ=60°故选C【点评】本题考查平面向量数量积的运算，涉及向量的夹角，属中档题．8．已知双曲线的方程为﹣=1（a＞0，b＞0），过左焦点F1作斜率为的直线交双曲线的右支于点P，且y轴平分线段F1P，则双曲线的离心率为（）A．B． +1 C．D．2+【考点】双曲线的简单性质．【分析】先求过焦点F1（﹣c，0）的直线l的方程，进而可得P的坐标，代入双曲线方程，结合几何量之间的关系，即可求出双曲线的离心率．【解答】解：由题意，过焦点F1（﹣c，0）的直线l的方程为：y=（x+c），∵直线l交双曲线右支于点P，且y轴平分线段F1P，∴直l交y轴于点Q（0，c）．设点P的坐标为（x，y），则x+c=2c，y=c，∴P点坐标（c，c），代入双曲线方程得：=1又∵c2=a2+b2，∴c2=3a2，∴c=a，∴e==故选：A．【点评】本题考查双曲线的几何性质，考查学生的计算能力，确定P的坐标是关键．9．函数f（x）=cos2x的周期是T，将f（x）的图象向右平移个单位长度后得到函数g（x），则g （x）具有性质（）A．最大值为1，图象关于直线x=对称B．在（0，）上单调递增，为奇函数C．在（，）上单点递增，为偶函数D．周期为π，图象关于点（，0）对称【考点】函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换．【分析】利用诱导公式，函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换规律求得g（x）的解析式，再根据正弦函数的单调性以及它的图象的对称性，得出结论．【解答】解：函数f（x）=cos2x的周期是T==π，将f（x）的图象向右平移=个单位长度后得到函数g（x）=cos2（x﹣）=sin2x的图象，可得g（x）的最大值为1，当x=时，g（x）=0，不是最值，故它的图象不关于直线x=对称，故排除A．g（x）在（0，）上单调递增，且g（x）为奇函数，故B正确．在（，）上，2x∈（﹣，），sin2x没有单调性，故g（x）没有单调性，故C错误．令x=，求得g（x）=sin2x=，不是最值，故g（x）的图象不关于点（，0）对称，故D错误，故选：B．【点评】本题主要考查函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换规律，正弦函数的单调性以及它的图象的对称性，属于基础题．10．在四面体ABCD中，AB⊥AD，AB=AD=BC=CD=1，且平面ABD⊥平面BCD，M为AB中点，则线段CM的长为（）A．B．C．D．【考点】平面与平面垂直的判定．【分析】如图所示，取BD的中点O，连接OA，OC，利用等腰三角形的性质可得OA⊥BD，OC⊥BD．又平面ABD⊥平面BCD，可得OA⊥平面BCD，OA⊥OC．建立空间直角坐标系．又AB⊥AD，可得DB=，取OB中点N，连结MN、CN，∴MN∥OA，MN⊥平面BCD．∴．【解答】解：如图所示，取BD的中点O，连接OA，OC，∵AB=AD=BC=CD=1，∴OA⊥BD，OC⊥BD．又平面ABD⊥平面BCD，∴OA⊥平面BCD，OA⊥OC．又AB⊥AD，∴DB=．取OB中点N，连结MN、CN，∴MN∥OA，MN⊥平面BCD．∵MN2=ON2+OC2，∴．故选：C，【点评】本题考查了空间线面位置关系、向量夹角公式、等腰三角形的性质，考查了数形结合方法、推理能力与计算能力，属于中档题．11．过抛物线C：x2=2y的焦点F的直线l交抛物线C于A、B两点，若抛物线C在点B处的切线斜率为1，则线段|AF|=（）A．1 B．2 C．3 D．4【考点】抛物线的简单性质．【分析】利用抛物线C在点B处的切线斜率为1，求出B的坐标，可得直线l的方程，利用抛物线的定义，即可求出|AF|．【解答】解：∵x2=2y，∴y′=x，∴抛物线C在点B处的切线斜率为1，∴B（1，），∵x2=2y的焦点F（0，），准线方程为y=﹣，∴直线l的方程为y=，∴|AF|=1．故选：A．【点评】本题考查抛物线的简单性质，考查导数知识，正确运用抛物线的定义是关键．12．在△ABC中，a，b，c分别为内角A，B，C所对的边，且满足b=c，=，若点O是△ABC外一点，∠AOB=θ（0＜θ＜π），OA=2，OB=1，则平面四边形OACB面积的最大值是（）A．B．C．3 D．【考点】正弦定理；余弦定理．【分析】由=，化为sinC=sinA，又b=c，可得△ABC是等边三角形，设该三角形的边长为a，则S OACB=×1×2sinθ+a2，利用余弦定理、两角和差的正弦公式及其单调性即可得出．【解答】解：由=，化为sinBcosA=sinA﹣sinAcosB，∴sin（A+B）=sinA，∴sinC=sinA，A，C∈（0，π）．∴C=A，又b=c，∴△ABC是等边三角形，设该三角形的边长为a，则：a2=12+22﹣2×2×cosθ．则S OACB=×1×2sinθ+a2=sinθ+（12+22﹣2×2cosθ）=2sin（θ﹣）+，当θ=时，S OACB取得最大值．故选：B．【点评】本题考查了两角和差的正弦公式及其单调性、余弦定理、三角形的面积计算公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，满分20分）13．如图所示的程序框图，输出的S=88【考点】程序框图．【分析】由已知中的程序框图可知：该程序的功能是利用循环结构计算并输出变量S的值，模拟程序的运行过程，分析循环中各变量值的变化情况，可得答案．【解答】解：模拟程序的运行，可得S=0，k=1，执行循环体，k=2，S=2不满足条件k＞5，执行循环体，k=3，S=7不满足条件k＞5，执行循环体，k=4，S=18不满足条件k＞5，执行循环体，k=5，S=41不满足条件k＞5，执行循环体，k=6，S=88满足条件k＞5，输出S的值为88．故答案为：88．【点评】本题考查的知识点是程序框图，当循环的次数不多，或有规律时，常采用模拟循环的方法解答．14．如图是一个空间几何体的三视图，则该几何体的表面积为64+4π．【考点】由三视图求面积、体积．【分析】几何体为长方体挖去一个半球，把三视图中的数据代入公式计算即可．【解答】解：由三视图可知该几何体为长方体挖去一个半球得到的，长方体的棱长分别为4，4，2，半球的半径为2．∴S=4×4+4×2×4+4×4﹣π×22+=64+4π．故答案为64+4π．【点评】本题考查了空间几何体的三视图和面积计算，属于基础题．15．设非负实数x ，y 满足：，（2，1）是目标函数z=ax +3y （a ＞0）取最大值的最优解，则a 的取值范围是 [6，+∞） ． 【考点】简单线性规划．【分析】作出不等式组对应的平面区域，利用目标函数的几何意义，利用（2，1）是目标函数z=ax +3y 取最大值的最优解，得到直线z=ax +3y （a ＞0）斜率的变化，从而求出a 的取值范围． 【解答】解：作出不等式组对应的平面区域如图：由z=ax +3y 得y=﹣ax +z ，即直线的截距最大，z 也最大．平移直线y=﹣ax +z ，则直线的截距最大时，z 也最大，当a ＞0时，直线y=﹣ax +z ，在A 处的截距最大，此时满足条件．即a ≥6，故答案为：[6，+∞）．【点评】本题主要考查线性规划的应用，利用目标函数的几何意义，结合数形结合的数学思想是解决此类问题的基本方法．16．若直角坐标系内A ，B 两点满足：（1）点A ，B 都在f （x ）的图象上；（2）点A，B关于原点对称，则称点对（A，B）是函数f（x）的一个“姊妹点对”，点对（A，B）与（B，A）可看作一个“姊妹点对”，已知函数f（x）=，则f（x）的“姊妹点对”有2个．【考点】函数的值．【分析】设P（x，y）（x＜0），则点P关于原点的对称点为P′（﹣x，﹣y），从而2e x+x2+2x=0，令φ（x）=2e x+x2+2x，利用导数性质推导出函数φ（x）在区间（﹣2，﹣1），（﹣1，0）分别各有一个零点．由此能求出f（x）的“姊妹点对”的个数．【解答】解：设P（x，y）（x＜0），则点P关于原点的对称点为P′（﹣x，﹣y），于是=﹣（x2+2x），化为2e x+x2+2x=0，令φ（x）=2e x+x2+2x，下面证明方程φ（x）=0有两解．由x2+2x≤0，解得﹣2≤x≤0，而＞0（x≥0），∴只要考虑x∈[﹣2，0]即可．求导φ′（x）=2e x+2x+2，令g（x）=2e x+2x+2，则g′（x）=2e x+2＞0，∴φ′（x）在区间[﹣2，0]上单调递增，而φ′（﹣2）=2e﹣2﹣4+2＜0，φ′（﹣1）=2e﹣1＞0，∴φ（x）在区间（﹣2，0）上只存在一个极值点x0．而φ（﹣2）=2e﹣2＞0，φ（﹣1）=2e﹣1﹣1＜0，φ（0）=2＞0，∴函数φ（x）在区间（﹣2，﹣1），（﹣1，0）分别各有一个零点．也就是说f（x）的“姊妹点对”有2个．故答案为：2．【点评】本题考查函数的“姊妹点对”的个数的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意函数性质的合理运用．三、解答题（本大题共5小题，共60分）=S n+2．17．（12分）（2017•汕头一模）已知数列{a n}的前n项和为S n，a1=2，a n+1（1）求数列{a n}的通项公式；（2）已知b n=log2a n，求数列{}的前n项和T n．【考点】数列的求和；数列递推式．化简已知的式子，由等比数列的定义判断出数列{a n}是等比数列，【分析】（1）由题意和a n=S n﹣S n﹣1并求出公比和首项，由等比数列的通项公式求出a n；（2）由（1）和对数的运算性质化简b n，代入化简后，利用裂项相消法求出前n项和T n．【解答】解：（1）∵a n+1=S n+2，∴当n≥2时，a n=S n﹣1+2，两式相减得，a n+1﹣a n=S n﹣S n﹣1=a n，则a n+1=2a n，所以（n≥2），∵a1=2，∴a2=S1+2=4，满足，∴数列{a n}是以2为公比、首项的等比数列，则a n=2•2n﹣1=2n；（2）由（1）得，b n=log2a n=log22n=n，∴==，∴T n=（1﹣）+（）+（）+…+（）=1=．【点评】本题考查等比数列的定义、通项公式，数列的前n项和与通项之间关系，以及裂项相消法求数列的和，考查化简、变形能力．18．（12分）（2017•汕头一模）如图，在三棱柱ABC﹣A1B1C1中，AB⊥平面BB1C1C，且四边形BB1C1C是菱形，∠BCC1=60°．（1）求证：AC1⊥B1C；（2）若AC⊥AB1，三棱锥A﹣BB1C的体积为，求△ABC的面积．【考点】棱柱、棱锥、棱台的体积；空间中直线与直线之间的位置关系．【分析】（1）连结BC1，推导出AB⊥B1C，B1C⊥BC1，从而B1C⊥平面ABC1，由此能求出AC1⊥B1C．（2）由AB⊥平面BB1C1C，BC=BB1，知AC=AB1，由三棱锥A﹣BB1C的体积为，求出菱形BB1C1C的边长，由此能求出△ABC的面积．【解答】证明：（1）连结BC1，∵AB⊥平面BB1C1C，B1C⊂平面BB1C1C，∴AB⊥B1C，∵四边形BB1C1C是菱形，∴B1C⊥BC1，∵AB∩BC1=B，∴B1C⊥平面ABC1，∵AC1⊂平面ABC1，∴AC1⊥B1C．解：（2）由AB⊥平面BB1C1C，BC=BB1，知AC=AB1，设菱形BB1C1C的边长为a，∵∠BCC1=60°，∴==3a2，∵AC⊥AB1，∴，∴AC=AB1=a，∵AB⊥侧面BB1C1C，BC⊂侧面BB1C1C，∴AB⊥BC，∴在Rt△ABC中，AB==，∵三棱锥A﹣BB1C的体积为，∴×，解得a=2，∴AB=，BC=a=2，=×BC×AB==．∴△ABC的面积S△ABC【点评】本题考查线线垂直的证明，考查三棱锥的体积的求法及应用，是中档题，解题时要认真审题，注意空间思维能力的培养．19．（12分）（2017•汕头一模）二手车经销商小王对其所经营的A型号二手汽车的使用年数x与销售价格y（单位：万元/辆）进行整理，得到如下数据：下面是z关于x的折线图：（1）由折线图可以看出，可以用线性回归模型拟合z与x的关系，请用相关数加以说明；（2）求y关于x的回归方程并预测某辆A型号二手车当使用年数为9年时售价约为多少？（、小数点后保留两位有效数字）．（3）基于成本的考虑，该型号二手车的售价不得低于7118元，请根据（2）求出的回归方程预测在收购该型号二手车时车辆的使用年数不得超过多少年？参考公式：回归方程=x+中斜率和截距的最小二乘估计公式分别为：==，=﹣，r=．参考数据：=187.4，=47.64，=139，=4.18，=13.96，=1.53，ln1.46≈0.38，ln0.7118≈﹣0.34．【考点】线性回归方程．【分析】（1）由题意计算、，求出相关系数r，判断z与x的线性相关程度；（2）利用最小二乘估计公式计算、，写出z与x的线性回归方程，求出y关于x的回归方程，计算x=9时的值即可；（3）利用线性回归方程求出≥0.7118时x的取值范围，即可得出预测结果．【解答】解：（1）由题意，计算=×（2+3+4+5+6+7）=4.5，=×（3+2.48+2.08+1.86+1.48+1.10）=2，且x i z i=47.64，=4.18，=1.53，∴r===﹣（或﹣）≈﹣0.99；∴z与x的相关系数大约为0.99，说明z与x的线性相关程度很高；（2）利用最小二乘估计公式计算===﹣≈﹣0.36，∴=﹣=2+0.36×4.5=3.62，∴z与x的线性回归方程是=﹣0.36x+3.62，又z=lny，∴y关于x的回归方程是=e﹣0.36x+3.62；令x=9，解得=e﹣0.36×9+3.62≈1.46，即预测某辆A型号二手车当使用年数为9年时售价约1.46万元；（3）当≥0.7118时，e﹣0.36x+3.62≥0.7118=e ln0.7118=e﹣0.34，∴﹣0.36x+3.62≥﹣0.34，解得x≤11，因此预测在收购该型号二手车时车辆的使用年数不得超过11年．【点评】本题考查了线性回归方程与线性相关系数的求法与应用问题，计算量大，计算时要细心．20．（12分）（2017•汕头一模）已知O为坐标原点，圆M：（x+1）2+y2=16，定点F（1，0），点N是圆M上一动点，线段NF的垂直平分线交圆M的半径MN于点Q，点Q的轨迹为E．（1）求曲线E的方程；（2）已知点P是曲线E上但不在坐标轴上的任意一点，曲线E与y轴的交点分别为B1、B2，直线B1P和B2P分别与x轴相交于C、D两点，请问线段长之积|OC|•|OD|是否为定值？如果是请求出定值，如果不是请说明理由；（3）在（2）的条件下，若点C坐标为（﹣1，0），过点C的直线l与E相交于A、B两点，求△ABD面积的最大值．【考点】直线和圆的方程的应用．【分析】（1）通过连结FQ，利用中垂线的性质及椭圆的定义即得结论；（2）证明：设P（x0，y0），可得3x02=4（3﹣y02），直线B1P的方程为：y=．令y=0，得，|OC|•|OD|=|x C|•|x D|=||=4（定值）；（3）当点C的坐标为（﹣1，0）时，点D（﹣4，0），|CD|=3，设直线l的方程为：x=my﹣1，A（x1，y1），B（x2，y2）联立得（3m2+4）y2﹣6my﹣9=0解得：．|y1﹣y2|=，△ABD面积s=×|y1﹣y2|===；【解答】（1）解：连结FQ，则FQ=NQ，∵MQ+FQ=MQ+QN=MN=4＞ME，椭圆的定义即得点Q的轨迹为以点M、F为焦点，长轴为4的椭圆∴2a=4，即a=2，又∵焦点为（1，0），即c=1，∴b2=a2﹣c2=4﹣1=3，故点Q的轨迹C的方程为：（2）证明：设P（x0，y0），直线B1P的方程为：y=．令y=0，得，|OC |•|OD |=|x C |•|x D |=||∵点P 是曲线E 上但不在坐标轴上的任意一点，∴．即3x 02=4（3﹣y 02），∴=4，|OC |•|OD |是否为定值4．（3）当点C 的坐标为（﹣1，0）时，点D （﹣4，0），|CD |=3， 设直线l 的方程为：x=my ﹣1，A （x 1，y 1），B （x 2，y 2）联立得（3m 2+4）y 2﹣6my ﹣9=0解得：．|y 1﹣y 2|=，△ABD 面积s=×|y 1﹣y 2|=•==；∵，根据∵在[1，+∞）递增 可得3．∴∴m=0，即直线AB ：x=﹣1时，△ABD 面积的最大为．【点评】本题考查了轨迹方程的求法，直线与椭圆的位置关系，主要考查运算能力，属于难题．21．（12分）（2017•汕头一模）已知函数f （x ）=﹣x 2+alnx ，a ∈R ． （1）讨论函数f （x ）的单调性；（2）当a=4时，记函数g （x ）=f （x ）+kx ，设x 1、x 2（x 1＜x 2）是方程g （x ）=0的两个根，x 0是x1、x2的等差中项，g′（x）为函数g（x）的导函数，求证：g′（x0）＜0．【考点】利用导数研究函数的单调性；利用导数求闭区间上函数的最值．【分析】（1）求出函数的导数，通过讨论a的范围求出函数的单调区间即可；（2）求出函数g（x）的导数，问题转化为ln＜=，令t=，即t∈（0，1），问题转化为证lnt＜=2﹣，令h（t）=lnt+﹣2，（0＜t＜1），根据函数的单调性证明即可．【解答】解：（1）函数f（x）的定义域是（0，+∞），又f′（x）=﹣2x=﹣，a≤0时，在（0，+∞）上f（x）是减函数，a＞0时，f′（x）=0，得：x1=或x2=﹣（舍），在（0，）上，f′（x）＞0，f（x）是增函数，在（，+∞）上，f′（x）＜0，f（x）是减函数；证明：（2）∵g（x）=4lnx﹣x2+kx，∴g′（x）=﹣2x+k，又x1+x2=2x0，∴，两式相减得：4（lnx1﹣lnx2）﹣（x1+x2）（x1﹣x2）+k（x1﹣x2）=0，∴k=（x1+x2）﹣，由g′（x0）＜0⇔﹣2x0+k＜0⇔﹣＜0⇔ln＜=，令t=，即t∈（0，1），即证lnt＜=2﹣，令h（t）=lnt+﹣2，（0＜t＜1），∴h′（t）=﹣=，当t∈（0，1）时，h′（t）＞0，h（t）是增函数，令h（t）=lnt+﹣2，（0＜t＜1），∴h′（t）=＞0，故t∈（0，1）时，h（t）是增函数，∴h（t）＜h（1）=0，∴lnt＜2﹣成立，故原不等式成立．【点评】本题考查了函数的单调性、最值问题，考查导数的应用以及分类讨论思想、转化思想，是一道综合题．四、选修题22．（10分）（2017•汕头一模）已知曲线C的极坐标方程是ρ=6cosθ，以极点为平面直角坐标系的原点，极轴为x轴的正半轴，建立平面直角坐标系，直线l的参数方程是（t为参数）．（1）将曲线C的极坐标方程化为直角坐标方程（普通方程）；（2）若直线l与曲线C相交于A、B两点，且|AB|=2，求直线的倾斜角α的值．【考点】参数方程化成普通方程．【分析】（1）利用极坐标与直角坐标的互化方法，可将曲线C的极坐标方程化为直角坐标方程（普通方程）；（2）直线l的参数方程是（t为参数），代入圆的方程，整理可得t2﹣4tcosα﹣5=0，利用参数的几何意义，建立方程，即可求直线的倾斜角α的值．【解答】解：（1）曲线C的极坐标方程是ρ=6cosθ，可得ρ2=6ρcosθ，直角坐标方程为x2+y2﹣6x=0，即（x﹣3）2+y2=9（2）直线l的参数方程是（t为参数），代入圆的方程，整理可得t2﹣4tcosα﹣5=0设A，B对应的参数为t1，t2，则t1+t2=4cosα，t1t2=﹣5，∴|AB|=|t1﹣t2|==2，∴cosα=±，∵α∈[0，π），∴α=或．【点评】本题考查极坐标化为直角坐标，考查参数方程的运用，考查参数的几何意义，属于中档题．五、选修题23．（10分）（2017•汕头一模）已知函数f（x）=|x|+|x﹣2|．（1）求关于x的不等式f（x）＜3的解集；（2）如果关于x的不等式f（x）＜a的解集不是空集，求实数a的取值范围．【考点】绝对值不等式的解法；绝对值三角不等式．【分析】（1）不等式f（x）＜3，即|x|+|x﹣2|＜3，分类讨论，即可求关于x的不等式f（x）＜3的解集；（2）如果关于x的不等式f（x）＜a的解集不是空集，则a大于函数的最小值，即可求实数a的取值范围．【解答】解：（1）不等式f（x）＜3，即|x|+|x﹣2|＜3．x≤0时，﹣2x+2＜3，∴x＞﹣，∴﹣＜x≤0，0＜x＜2时，2＜3，恒成立；x≥2时，2x﹣2＜3，x，∴2≤x＜，综上所述，不等式的解集为{x|﹣＜x＜}；（2）f（x）=|x|+|x﹣2|≥|x﹣（x﹣2）|=2，∵关于x的不等式f（x）＜a的解集不是空集，∴a＞2．【点评】本题考查绝对值不等式的解法，考查绝对值不等式的运用，属于中档题．。
(完整版)2017年全国1卷高考文科数学试题及答案-,推荐文档
2019 年第四次文数练一、选择题：大题共12 小题，每小题 5 分，共60 分。
在每小题给出的四个选项中，有一项是符合题目要求的。
1．已知集合A= x|x 2 ，B= x|3 2x 0 ，则A．A B=3x|x B．A B 2C．A B3x|x D．A B= R 22．为评估一种农作物的种植效果，选n 块地作验.这n 块地的亩产量单位：kg）分x1，x2，⋯，x n，下面给出的指标中可以用来评估这种农作物亩产量定度的是A．x1，x2，⋯，x n 的平均数B．x1，x2，⋯，x n 的标准差C．x1，x2，⋯，x n 的最大D．x1，x2，⋯，x n 的中位数3．下列各式的运算结果为纯虚数的是A．i(1+i)22B．i (1-i) C．(1+i)2D．i(1+i)4．如图，正方形ABCD 内的图形来自中国古代的太图.正方形内切圆中的黑色部分和白色部分关于正方形的中心成中心称.在正方形内随机取一点，则此点取自黑色部分的概率是A．14B．π8C．12D．π45．已知 F 是双曲C：x2-2-2y3=1 的右焦点，P 是C 上一点，且PF 与x 轴垂直，点 A 的坐标是(1,3).则△APF 的面为A．13B．12C．23D．326．如图，在下列四个正方体中，A，B 为正方体的两个顶点，M，N，Q 为所在棱的中点，则在这四个正方体中，直AB 与平面MNQ 不平行的是x 3y 3,x y 1, 则z= x+y 的最大值为7．设x，y 满足约束条件y 0,A．0 B．1 C．2 D．38．.函数ysin2 x1 cosx的部分图像大致为9．已知函数 f (x) lnx ln(2 x) ，则A．f (x) 在（0,2）单调递增B．f (x) 在（0,2）单调递减C．y= f (x) 的图像关于直线x=1 对称D．y= f (x) 的图像关于点（1,0）对称n n10．如图是为了求出满足 3 2 1000的最小偶数n，那么在和两个空白框中，可以分别填入A ． A>1000 和 n=n+1B ．A>1000 和 n= n +2C ． A ≤ 1000和 n= n +1D ．A ≤ 1000和 n= n +211．△ABC 的内角 A 、B 、C 的对分为 a 、b 、c 。
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广东省茂名市2017年高考数学一模试卷（文科）(解析版) 一、选择题：本大题共12个小题；每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，有且只有一项是符合题目要求的. 1．已知集合P={x∈N|1≤x≤10}，集合Q={x∈R|x2﹣x﹣6＜0}，则P∩Q等于
（ ） A．{1，2，3} B．{1，2} C．[1，2] D．[1，3）
2．已知a是实数，是纯虚数，则a=（ ）
A．1 B．﹣1 C． D．﹣
3．函数的零点所在的区间是（ ）
A． B．（1，2） C．（2，e） D．（e，3）
4．在{1，3，5}和{2，4}两个集合中各取一个数组成一个两位数，则这个数能被
4整除的概率是（ ）
A． B． C． D．
5．对于向量、、和实数λ，下列命题中真命题是（ ）
A．若•=0，则=0或=0 B．若λ=，则λ=0或= C．若2=2，则=或=﹣ D．若•=•，则= 6．已知△ABC的面积为，且∠C=30°，BC=2，则AB等于（ ）
A．1 B． C．2 D．2 7．我国古代数学著作《九章算术》有如下问题：“今有金箠，长五尺，斩本一尺，
重四斤，斩末一尺，重二斤，问次一尺各重几何？”意思是：“现有一根金箠，长五尺，一头粗，一头细，在粗的一端截下1尺，重4斤；在细的一端截下1尺，重2斤；问依次每一尺各重多少斤？”根据上题的已知条件，若金箠由粗到细是均匀变化的，问第二尺与第四尺的重量之和为（ ） A．6 斤 B．9 斤 C．9.5斤 D．12 斤
8．已知函数和g（x）=2sin（2x+φ）+1的图象的对称轴完全相同，若，则f（x）的取值范围是（ ） A．[﹣3，3] B． C． D．
9．执行如图的程序框图，若输出的结果是，则输入的a为（ ）
A．3 B．4 C．5 D．6 10．一个几何体的三视图如图所示，其表面积为6π+π，则该几何体的体积为
（ ）
A．4π B．2π C．π D．3π 11．已知F1，F2分别是双曲线的两个焦点，过其中一个焦
点与双曲线的一条渐近线平行的直线交双曲线另一条渐近线于点M，若点M在以线段F1F2为直径的圆内，则双曲线离心率的取值范围是（ ） A．（1，2） B．（2，+∞） C． D．
12．已知f（x）=|x•ex|，又g（x）=f2（x）+tf（x）（t∈R），若满足g（x）=﹣1的x有四个，则t的取值范围为（ ） A．（﹣∞，﹣） B．（，+∞） C．（﹣，﹣2） D．（2，
）
二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.把答案填在答题卡的相应位置.
13．设x，y满足约束条件，则z=2x+y的最大值是 ．
14．若α∈（0，π），且sin2α+2cos2α=2，则tanα= ．
15．已知直线x﹣2y+2=0与圆C相切，圆C与x轴交于两点A （﹣1，0）、B （3，
0），则圆C的方程为 ．
16．过球O表面上一点A引三条长度相等的弦AB，AC，AD，且两两夹角都为
60°，若球半径为R，则△BCD的面积为 ．
三、解答题：本大题共5小题，共70分.其中17至21题为必做题，22、23题为选做题.解答过程应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 17．（12分）在等差数列{an}中，a2=4，前4项之和为18．
（Ⅰ）求数列{an}的通项公式； （Ⅱ）设，求数列{bn}的前n项和Tn． 18．（12分）如图1，在边长为的正方形ABCD中，E、O分别为 AD、BC的中点，沿 EO将矩形ABOE折起使得∠BOC=120°，如图2，点G 在BC上，BG=2GC，M、N分别为AB、EG中点．
（Ⅰ）求证：OE⊥MN； （Ⅱ）求点M到平面OEG的距离． 19．（12分）随着社会的发展，终身学习成为必要，工人知识要更新，学习培
训必不可少，现某工厂有工人1000名，其中250名工人参加过短期培训（称为A类工人），另外750名工人参加过长期培训（称为B类工人），从该工厂的工
人中共抽查了100名工人，调查他们的生产能力（此处生产能力指一天加工的零件数）得到A类工人生产能力的茎叶图（图1），B类工人生产能力的频率分布直方图（图2）．
（Ⅰ）问A类、B类工人各抽查了多少工人，并求出直方图中的x； （Ⅱ）求A类工人生产能力的中位数，并估计B类工人生产能力的平均数（同一组中的数据用该组区间的中点值作代表）； （Ⅲ） 若规定生产能力在[130，150]内为能力优秀，由以上统计数据在答题卡上完成下面的2×2列联表，并判断是否可以在犯错误概率不超过0.1%的前提下，认为生产能力与培训时间长短有关． 能力与培训时间列联表 短期培训 长期培训 合计 能力优秀 能力不优秀 合计 参考数据： P（K2≥k） 0.15 0.10 0.05 0.025 0.010 0.005 0.001
k 2.072 2.706 3.841 5.024 6.635 7.879 10.828 参考公式：，其中n=a+b+c+d． 20．（12分）已知定点Q（，0），P为圆N：上任意一点，
线段QP的垂直平分线交NP于点M． （Ⅰ）当P点在圆周上运动时，求点M （x，y） 的轨迹C的方程； （Ⅱ）若直线l与曲线C交于A、B两点，且，求证：直线l与某个定圆E相切，并求出定圆E的方程．
21．（12分）已知函数．
（Ⅰ） 当a=0时，求曲线f （x）在x=1处的切线方程； （Ⅱ） 设函数h（x）=alnx﹣x﹣f（x），求函数h （x）的极值； （Ⅲ） 若g（x）=alnx﹣x在[1，e]（e=2.718 28…）上存在一点x0，使得g（x0）≥f（x0）成立，求a的取值范围．
请考生在第22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分.[选修4-4：坐标系与参数方程] 22．（10分）在直角坐标系xOy中，曲线C1的参数方程为（α为
参数）．在以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴的极坐标系中，曲线04sin2cos4:22C．
（Ⅰ）写出曲线C1，C2的普通方程； （Ⅱ）过曲线C1的左焦点且倾斜角为的直线l交曲线C2于A，B两点，求|AB|．
[选修4-5：不等式选讲]（共1小题，满分0分） 23．已知函数f（x）=|2x﹣a|+|2x+3|，g（x）=|x﹣1|+2．
（Ⅰ）若a=1，解不等式f（x）＜6； （Ⅱ）若对任意x1∈R，都有x2∈R，使得f（x1）=g（x2）成立，求实数a的取值范围． 2017年广东省茂名市高考数学一模试卷（文科）
参考答案与试题解析
一、选择题：本大题共12个小题；每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，有且只有一项是符合题目要求的. 1．已知集合P={x∈N|1≤x≤10}，集合Q={x∈R|x2﹣x﹣6＜0}，则P∩Q等于
（ ） A．{1，2，3} B．{1，2} C．[1，2] D．[1，3）
【考点】交集及其运算． 【分析】根据交集的定义写出P∩Q即可． 【解答】解：P={x∈N|1≤x≤10}={1，2，3，4，5，6，7，8，9，10}， Q={ x∈R|﹣2＜x＜3}，
则P∩Q={1，2}． 故选：B． 【点评】本题考查了交集的定义与应用问题，是基础题目．
2．已知a是实数，是纯虚数，则a=（ ）
A．1 B．﹣1 C． D．﹣
【考点】复数代数形式的混合运算． 【分析】化简复数分母为实数，复数化为a+bi（a、b是实数）明确分类即可． 【解答】解：由是纯虚数， 则且，故a=1 故选A． 【点评】本小题主要考查复数的概念．是基础题．
3．函数的零点所在的区间是（ ） A． B．（1，2） C．（2，e） D．（e，3）
【考点】函数零点的判定定理． 【分析】先判断函数y是定义域上的增函数，再利用根的存在性定理，即可得出结论． 【解答】解：∵函数（x＞0）， ∴y′=+1+＞0， ∴函数y=lnx+x﹣﹣2在定义域（0，+∞）上是单调增函数； 又x=2时，y=ln2+2﹣﹣2=ln2﹣＜0， x=e时，y=lne+e﹣﹣2=+e﹣﹣2＞0，
因此函数的零点在（2，e）内． 故选：C． 【点评】本题主要考查了函数的零点问题，将零点问题转化为交点问题，是解决本题的关键．
4．在{1，3，5}和{2，4}两个集合中各取一个数组成一个两位数，则这个数能被
4整除的概率是（ ）
A． B． C． D．
【考点】古典概型及其概率计算公式． 【分析】利用列举法求出符合条件的所有两位数的个数和能被4整除的数的个数，由此能求出这个数能被4整除的概率． 【解答】解：符合条件的所有两位数为： 12，14，21，41，32，34，23，43，52，54，25，45共12个，
能被4整除的数为12，32，52共3个， 所求概率． 故选：D． 【点评】本题考查概率的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意列举法的合