三角函数图像和性质教案总结练习题

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三角函数的图像与性质知识点及题型归纳总结

三角函数的图像与性质知识点及题型归纳总结知识点讲解1.“五点法”作图原理在确定正弦函数])2,0[(sin π∈=x x y 的图像时，起关键作用的5个点是)0,2(),1,23(),0,(),1,2(),0,0(ππππ-.在确定余弦函数])2,0[(cos π∈=x x y 的图像时，起关键作用的5个点是)1,2(),0,23(),1,(),0,2(),1,0(ππππ-.2.3.)sin(ϕ+=wx A y 与)0,0)(cos(>>+=w A wx A y ϕ的图像与性质（1）最小正周期：wT π2=. （2）定义域与值域：)sin(ϕ+=wx A y ，）ϕ+=wx A y cos(的定义域为R ，值域为[-A ,A ]. （3）最值假设00>>w A ，. ①对于)sin(ϕ+=wx A y ，⎪⎩⎪⎨⎧-∈+-=+∈+=+;)(22;)Z (22A Z k k wx A k k wx 时，函数取得最小值当时，函数取得最大值当ππϕππϕ ②对于）ϕ+=wx A y cos(，⎩⎨⎧-∈+=+∈=+;)(2;)Z (2A Z k k wx A k k wx 时，函数取得最小值当时，函数取得最大值当ππϕπϕ （4）对称轴与对称中心. 假设00>>w A ，. ①对于)sin(ϕ+=wx A y ，⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧+==+∈=+=+=±=+∈+=+).0,()sin(0)sin()()sin(1)sin()(2000000x wx y wx Z k k wx xx wx y wx Z k k wx 的对称中心为时，，即当的对称轴为时，，即当ϕϕπϕϕϕππϕ ②对于）ϕ+=wx A y cos(，⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧+==+∈+=+=+=±=+∈=+).0,()cos(0)cos()(2)cos(1)cos()(000000x wx y wx Z k k wx x x wx y wx Z k k wx 的对称中心为时，，即当的对称轴为时，，即当ϕϕππϕϕϕπϕ 正、余弦曲线的对称轴是相应函数取最大（小）值的位置.正、余弦的对称中心是相应函数与x 轴交点的位置.（5）单调性. 假设00>>w A ，. ①对于)sin(ϕ+=wx A y ，⎪⎩⎪⎨⎧⇒∈++∈+⇒∈++-∈+.)](223,22[)](22,22[减区间增区间；Z k k k wx Z k k k wx ππππϕππππϕ ②对于）ϕ+=wx A y cos(，⎩⎨⎧⇒∈+∈+⇒∈+-∈+.)](2,2[)](2,2[减区间增区间；Z k k k wx Z k k k wx πππϕπππϕ （6）平移与伸缩由函数x y sin =的图像变换为函数3)32sin(2++=πx y 的图像的步骤；方法一：)322(ππ+→+→x x x .先相位变换，后周期变换，再振幅变换，不妨采用谐音记忆：我们“想欺负”（相一期一幅）三角函数图像，使之变形.−−−−−→−=个单位向左平移的图像3sin πx y 的图像)3sin(π+=x y 12−−−−−−−−→所有点的横坐标变为原来的纵坐标不变的图像)32sin(π+=x y 2−−−−−−−−−→所有点的纵坐标变为原来的倍横坐标不变的图像)32sin(2π+=x y−−−−−→−个单位向上平移33)32sin(2++=πx y方法二：)322(ππ+→+→x x x .先周期变换，后相位变换，再振幅变换.的图像x y sin =12−−−−−−−−→所有点的横坐标变为原来的纵坐标不变−−−−−→−=个单位向左平移的图像62sin πx y的图像)22sin()6(2sin ππ+=+=x x y 2−−−−−−−−−→所有点的纵坐标变为原来的倍横坐标不变−−−−−→−+=各单位向上平移的图像3)32sin(2πx y 3)32sin(2++=πx y注：在进行图像变换时，提倡先平移后伸缩（先相位后周期，即“想欺负”），但先伸缩后平移（先周期后相位）在题目中也经常出现，所以必须熟练掌握，无论哪种变化，切记每一个变换总是对变量x 而言的，即图像变换要看“变量x ”发生多大变化，而不是“角ϕ+wx ”变化多少.例如，函数x y 2sin =的图像向右平移6π个单位，得到的图像表达式是)32sin()6(2sin ππ-=-=x x y ，而不是)62sin(π-=x y ；再如，将图像)6sin(π+=x y 上各点的横坐标扩大到原来的2倍（纵坐标不变），得到的函数图像表达式是)621sin(x x y +=，而不是)6(21sin π+=x y .此点要引起同学们的的别注意.题型归纳及思路提示思路提示一般将所给函数化为)sin(ϕ+=wx A y 或)cos(ϕ+=wz A y ，0.0>>w A ，然后依据x y x y cos ,sin ==的性质整体求解.题型1 三角函数性质的应用一、函数的奇偶性例4.16函数)0)(sin(πϕϕ≤≤+=x y 是R 上的偶函数，则ϕ等于（） A .0 B .4π C .2πD .π 解析因为函数)sin(ϕ+=x y 是R 上的偶函数，所以其图像关于y 轴对称，有正弦函数的对称性知，当0=x 时，1sin ±=ϕ，又πϕ≤≤0，所以2πϕ=.故选C.评注由x y sin =是奇函数和x y cos =是偶函数可拓展得到关于三角函数奇偶性的重要结论：（1）若)sin(ϕ+=x A y 为奇函数，则)(Z k k ∈=πϕ；（2）若)sin(ϕ+=x A y 为偶函数，则)(2Z k k ∈+=ππϕ；（3）若)cos(ϕ+=x A y 为奇函数，则)(2Z k k ∈+=ππϕ；（4）若)cos(ϕ+=x A y 为偶函数，则)(Z k k ∈=πϕ；若)tan(ϕ+=x A y 为奇函数，则)(2Z k k ∈=πϕ，该函数不可能为偶函数. 变式1 已知R a ∈，函数)(sin )(R x a x x f ∈-=为奇函数，则a 等于（）. A .0 B .1 C .-1 D .1±变式2 设R ∈ϕ，则“0=ϕ”是“))(cos()(R x x x f ∈+=ϕ为偶函数”的（）.A.充分而不必要条件B.必要而不充分条件C.充分必要条件D.既不充分也不比哟啊条件变式3设)sin()(ϕ+=wx x f ，其中0>w ，则)(x f 是偶函数的充要条件是（）.A .1)0(=fB . 0)0(=fC . 1)0(='fD . 0)0(='f 例4.17设函数))(22sin()(R x x x f ∈-=π，则)(x f 是（）.A. 最小正周期为π的奇函数B. 最小正周期为π的偶函数C. 最小正周期为2π的奇函数 D. 最小正周期为2π的偶函数解析 x x x f 2cos )22sin()(-=-=π，所以是最小正周期为x 的偶函数.故选B.变式1 若函数)(21sin )(2R x x x f ∈-=，则)(x f 是（）A. 偶函数且最小正周期为πB. 奇函数且最小正周期为πC. 偶函数且最小正周期为π2D. 奇函数且最小正周期为π2变式2 下列函数中，既是)2,0(π上的增函数，又是以π为周期的偶函数的是（）A .x y 2cos =B .x y 2sin =C .x y cos =D .x y sin = 二、函数的周期性例4.18函数)62cos()62sin(ππ++=x x y 的最小正周期为（）A .2π B .4πC .π2D .π 解析函数)34sin(21)62cos()62sin(πππ+=++=x x x y ，242ππ==T .故选A评注关于三角函数周期的几个重要结论：（1）函数b wx A y b wx A y b wx A y ++=++=++=)tan(,)cos(,)sin(ϕϕϕ的周期分别为wT π2=，wT π=. （2）函数)cos(,)sin(ϕϕ+=+=wx A y wx A y ，)tan(ϕ+=wx A y 的周期均为wT π=（3）函数)0()cos(),0()sin(≠++=≠++=b b wx A y b b wx A y ϕϕ的周期均wT π2=.变式1 函数)32cos()62sin(ππ++=x x y 的最小正周期和最大值分别为（）A .1,πB .2,πC .1,2πD .2,2π变式2 已知函数))(cos (sin sin )(R x x x x x f ∈-=，则)(x f 的最小正周期为_____. 变式3 设函数x x x f 3sin 3sin )(+=，则)(x f 为（）A. 周期函数，最小正周期为3πB. 周期函数，最小正周期为32πC. 周期函数，最小正周期为π2D. 非周期函数二、函数的单调性例4.19函数]),0[)(26sin(2ππ∈-=x x y 为增函数的区间是（）A .]3,0[πB .]127,12[ππC .]65,3[ππD .],65[ππ解析因为)62sin(2)26sin(2ππ--=-=x x y ，所以)26sin(2x y -=π的递增区间实际上是 )62sin(2π-=x y 的递减区间.令)(2326222Z k kx x k ∈+≤-≤+ππππ，解得)(653Z k k x k ∈+≤≤+ππππ. 令0=k ，得653ππ≤≤x ，又因为],0[π∈x ，所以653ππ≤≤x .即函数]),0[)(26sin(2ππ∈-=x x y 的增区间为]65,3[ππ.故选C评注三角函数的单调性，需将函数)sin(ϕ+=wx A y 看成由一次函数和正弦函数组成的复合函数，利用复合函数单调区间的单调方法转化为解一元一次不等式.如函数)0,0)(sin(>>+=w A wx A y ϕ的单调区间的确定基本思想是吧ϕ+wx 看做是一个整体，如由)(2222Z k kx wx k ∈+≤+≤-πϕππ解出x 的范围，所得区间即为增区间；由)(23222Z k kx wx k ∈+≤+≤+πϕππ解出x 的范围，所得区间即为减区间.若函数)sin(ϕ+=wx A y 中0,0>>w A ，可用诱导公式将函数变为)sin(ϕ---=wx A y ，则)sin(ϕ--=wx A y 的增区间为原函数的减区间，减区间为原函数的的增区间.如)4sin()4sin(ππ--=-=x x y ，令22422πππππ+≤-≤-k x k ，即)(43242Z k k x k ∈+≤≤-ππππ，可得)](432,42[Z k k k ∈+-ππππ为原函数的减区间.对于函数)tan(),cos(ϕϕ+=+=wx A y wx A y 的单调性的讨论与以上类似处理即可. 变式1 若函数)(sin x f x y +=在]43,4[ππ-内单调递增，则)(x f 可以是（）.A .1B .x cosC .x sinD .x cos -变式2 已知0>w ，函数)4sin()(π+=wx x f 在),2(ππ上单调递减，则w 的取值范围是（） A .]45,21[ B .]43,21[ C .]21,0( D .]2,0( 变式3 已知函数)0(,),3cos()3cos(sin 3)(>∈-+++=w R x wx wx wx x f ππ.（1）求函数)(x f 的值域；（2）若)(x f 的最小正周期为]2,0[,2ππ∈x ，求)(x f 的单调递减区间. 四、函数的对称性（对称轴、对称中心）例4.30函数)32sin(π+=x y 图像的对称轴方程可能是（）A .6π-=x B .12π-C .6π=x D .12π=x解析解法一：已知x y sin =的对称轴方程是)(2Z k k x ∈+=ππ令)(232Z k k x ∈+=+πππ，得)(122Z k k x ∈+=ππ，当0=k 时，12π=x ，故选D.解法二，当6π-=x 时，032=+πx .其正弦值为0；当12π-=x 时，632ππ=+x ，其正弦值不等于1或-1当6π=x 时，3232ππ=+x ，其正弦值不等于1或-1 当12π=x 时，232ππ=+x ，这时12sin=π.故选D评注关于三角函数对称的几个重要结论；（1）函数x y sin =的对称轴为)(2Z k k x ∈+=ππ，对称中心为))(0.(Z k k ∈π；（2）函数x y cos =的对称轴为)(Z k k x ∈=π，对称中心为))(0,2(Z k k ∈+ππ；（3）函数x y tan =函数无对称轴，对称中心为))(0,2(Z k k ∈π；（4）求函数)0()sin(≠++=w b wx A y ϕ的对称轴的方法；令)(2Z k k wx ∈+=+ππϕ，得)(2Z k w k x ∈-+=ϕππ；对称中心的求取方法；令)(Z k k wx ∈=+πϕ，得wk x ϕπ-=，即对称中心为)(b wk ，ϕπ-.（5）求函数)0()cos(≠++=w b wx A y ϕ的对称轴的方法；令)(Z k k wx ∈=+πϕ得wk x ϕππ-+=2，即对称中心为))(,2(Z k b wk ∈-+ϕππ变式1 已知函数)0)(3sin()(>+=w wx x f π的最小正周期为π，则该函数的图像（）.A .关于点)0,3(π对称 B .关于直线4π=x 对称 C .关于点)0,4(π对称 D .关于直线3π=x 对称变式2 )4sin(π-=x y 的图像的一个对称中心是（）A .)0,(π-B .)0,43(π-C . )0,43(πD .)0,2(π变式3 52sin52cos xx y +=的图像中，相邻两条对称轴之间的距离是______. 变式4 将函数x x y cos 3sin -=的图像沿x 轴向右平移a 个单位)0(>a ，所得图像关于y 轴对称，则a 的最小值是（）.A .67πB .2πC .6πD .3π五、三角函数性质的综合思路提示三角函数的性质（如奇偶性、周期性、单调性、对称性）中，尤为重要的是对称性.因为对称性⇒奇偶性（若函数图像关于坐标原点对称，则函数)(x f 为奇函数；若函数图像关于y 轴对称，则函数)(x f 为偶函数）；对称性⇒周期性（相邻的两条对称轴之间的距离是2T ；相邻的对称中心之间的距离为2T；相邻的对称轴与对称中心之间的距离为4T）；对称性⇒单调性（在相邻的对称轴之间，函数)(x f 单调，特殊的，若0,0),sin()(>>=w A wx A x f ，函数)(x f 在],[21θθ上单调，且],[021θθ∈，设{}21,max θθθ=，则θ≥4T深刻体现了三角函数的单调性与周期性、对称性之间的紧密联系）例4.21设x b x a x f 2cos 2sin )(+=，其中,0,,≠∈ab R b a 若)6()(πf x f ≤对一切R x ∈恒成立，则①;0)1211(=πf ②)5()107(ππf f <； ③)(x f 既不是奇函数也不是偶函数； ④)(x f 的单调递增区间是)](32,6[Z k k k ∈++ππππ； ⑤存在经过点),(b a 的直线与函数)(x f 的图像不相交. 以上结论正确的是_______（写出所有正确命题的序号）分析函数)2sin()(22ϕ++=x b a x f ，a b =ϕtan ，其中一条对称轴为6π=x ，函数的最小正周期π=T ，通过对称轴⇒对称中心（对称轴与零点相距4T的奇数倍）通过对称轴⇒奇偶性（若函数)(x f 为奇函数，则6π等于4T 的奇数倍；若函数)(x f 为偶函数，则6π等于4T的偶数倍）；通过对称性⇒单调性（在相邻的两条对称轴之间，)(x f 单调递增或单调递减）.解析 )2sin()(22ϕ++=x b a x f ，其中a b =ϕtan ，))6((πf x f ≤对一切R x ∈恒成立，知直线6π=x 是)(x f 的对称轴，又)(x f 的最小正周期为π. 对于①：)436()1211(πππ+=f f 可看做6π=x ，加了43个周期所对应的函数值，所以0)1211(=πf .故①正确对于②：函数)(x f y =周期2π=T ，因为25107πππ=-，所以)5()107(ππf f =，因此)5()107(ππf f <错误，故②不正确. 对于③：因为6π既不是4T 的奇倍数，也不是4T的偶倍数，所以函数)(x f 的图像既不关于原点对称，也不关于y 轴对称，所以函数)(x f 既不是奇函数也不是偶函数，故③正确对于④：依题意，函数)(x f 相邻两条对称轴32,621ππ==x x ，在区间)](32,6[Z k k k ∈++ππππ上函数)(x f 单调，不能确定是单调递增，还是单调递减，故④不正确.对于⑤：因为x b x a x f 2cos 2sin )(+=)2sin(22ϕ++=x b a （其中ab =ϕtan ），所以22)(b a x f +≤，又0≠ab ，所以22b a b +≤，因此经过点),(b a 的直线与函数)(x f 的图像相交，⑤不正确，应填①③. 例4.22设)2cos(sin )6cos(4)(ππ+--=wx wx wx x f ，其中0>w（1）求)(x f 的值域；（2）若)(x f y =在区间]2,23[ππ-上为增函数，求w 的最大值. 解析12sin 32cos 2cos 12sin 32cos sin 2cos sin 322cos sin )6sin sin 6cos(cos 42cos sin )6cos(4)(12+=+-+=++=++=+-=wx wx wx wx wxwx wx wx wxwx wx wx wxwx wx x f πππ）（因为]1,1[2sin -∈wx 所以函数)(x f 的值域为]31,31[+-. （2）解法一：12sin 3)(+=wx x f ，由)(x f y =在区间]2,23[ππ-上为增函数，的)0](2,2[],3[>-⊆-w w w ππππ 故⎪⎩⎪⎨⎧≤-≥-223ππwx wx ，得610≤<w ，则w 的最大值为61. 解法二：由12sin 3)(+=wx x f )0(>w 在区间]2,23[ππ-上为增函数，含原点的增区间的对称型可知函数)(x f 在]23,23[ππ-上也为增函数，故π32≥T ，即π6≥T ，得ππ622≥w ，故610≤<w ，则w 的最大值为61评注一般的，若))((R x x f ∈为奇函数，在],[21θθ上为增函数，其中210θθ<<，若令},max{21θθθ=，则4T≤θ，即可求出w 的范围. 变式1 已知函数)sin(2)(wx x f =，其中常数0>w ，若)(x f y =在]32,4[ππ-上单调递增，求w 的取值范围.变式2 已知函数)0)(sin(2)(>=w wx x f ，)3()6(ππf f =在]4,3[ππ-上的虽小值为-2，则w 的最小值为_____.例4.23若)0)(3sin()(>+=w wx x f π，)3()6(ππf f =且在)3,6(ππ上有最小值无最大值，则______. 解析依题意，如图4-24所示，在4236πππ=+=x 处)(x f 取得最小值，故Zk k w ∈+=+,2323ππππ得3148+=k w.取0=k ，得314=w .评注本题融汇了三角函数)sin()(ϕ+=wx x f 的最值（对称轴）、周期性、单调性之间的相互关系与转化题型2 根据条件确定解析式方向一：“知图求式”，即已知三角形函数的部分图像，求函数解析式. 思路提示已知函数图像求函数)0,0)(sin(>>+=w A wx A y ϕ的解析式时，常用的解析方法是待定系数法，由图中的最大值或最小值确定A ，由周期确定w ，由适合解析式点的坐标确定ϕ，但有图像求得的)0,0)(sin(>>+=w A wx A y ϕ的解析式一般不唯一，只有限定ϕ的取值范围，才能得出唯一解，将若干个点代入函数式，可以求得相关特定系数ϕ,,w A ，这里需要注意的是，要认清选择的点属于“五点”中的哪一个位置点，并能正式代入式中，依据五点列表法原理，点的序号与式子的关系是：“第一点”（及图像上升时与x 轴的交点）为0=+ϕwx ；“第二点”（即图像曲线的最高点）为2πϕ=+wx ；“第三点”（及图像下降时与轴的交点），为πϕ=+wx ；“第四点”（及图像曲线的最低点）为23πϕ=+wx ；“第五点”（及图像上升时与x 轴的交点）为πϕ2=+wx .例4.24函数),)(2(sin )(R A x A x f ∈+=ϕϕ的部分图像如图4-25所示，那么)0(f =（ A .21-B .-1C .23-D .3-分析对于)sin(ϕ+=wx A y 的解析式的确定，通过最值确定A ，周期T 确定w ，特征点（尤其是极值点）来确定ϕ；对于零点要分析向上零点还是向下零点. 解析解法一：依题意Z k k A ∈+=+=,2232,2ππϕπ得Z k k ∈-=,62ππϕ，所以1)62sin(2sin 2)0(-=-==ππϕk f ，故选B解法二：由函数)2(sin )(ϕ+=x A x f ，得π=T ，则相邻的零点与对称轴之间的距离为44π=T ，因此图中向上的零点是120π=x ，则满足0)122sin()12(=+⨯=ϕππA f 所以.,62Z k k ∈-=ππϕ故1)62sin(2sin 2)0(-=-==ππϕk f ，故选B评注对于三角函数问题中的“知图求式”（及其性质），应重点关注以下方面（1）周期（可推出w 的值域范围）（2）振幅（可推出A （A >0））（3）特征点（可形成三角方程，以求ϕ的值）对于本题代入零点)0,(0x ，（0x 为上零点），则满足0)sin(0=+ϕwx A ，所以)sin()sin(sin )0(,,2000wx A wx A A f Z k wx k -=-==∈-=ϕπϕ1)122sin(2-=⨯-=π，对于正弦型函数),0)(sin()(R w wx A x f ∈>+=ϕϕ，若已知上零点0x ，则)sin()0(0wx A f -=.同理，若已知下零点0x '，则)sin()0(0x w A f '=. 变式一函数0,0,,,)(sin()(>>+=w A w A wx A x f是常数ϕϕ所示，则=)0(f _______.变式二已知函数)cos()(ϕ+=wx A x f 的图像如图4-27所示，32)(-=πf ，则=)0(f （） A .32- B .32C .21- D .21例4.25已知函数),0,0)(sin(πϕϕ<>>+=w A wx A y 的部分图像如图4-28所示，求函数)(x f 的解析式.分析有最小值为-2确定A ，由周期确定w ，但本题的周期不易求解，我们可抓住,2127T >π，且12743π>T ，建立周期 T 的不等关系，从而得到w 的取值范围，在建立w 的等量关系（根据零点），最终建立求得w ，而ϕ的确定可通过特征点（0,1）得到.解析有图知2=A ，将点（0,1），代入)sin(ϕ+=wx A y 中，得ϕsin 21=，即21sin =ϕ，又πϕπ<<-，且（0,1）点在函数的单调增区间上，故6πϕ=，又431272T T <<π，得6797π<<T T ，又因为wT π2=，得67297ππ<<w T ，故718712<<w ，又点)0,127(π-在函数图像上，且127π-为函数)(x f 的下零点，所以Z k k ∈+=+-,26127ππππ，解得Z k k w ∈--=,710724，因此7187********<--<k ，得121167-<<-k ，又Z k ∈，因此1-=k ，此时2=w . 所以).62sin(2)(π+=x x f变式一已知),)((cos )(2为常数ϕϕw wx x f +=，如果存在正整数w 常数ϕ使得函数)(x f 的图像经过点（1,0）如图4-29所示，求w 的值.方向二：知性质（如奇偶性、单调性、对称性、最值）求解函数解析式（即ϕ,,w A 的值的确定）例4.26已知函数)0,0)(sin()(πϕϕ<≤>+=w wx x f 为)0,43π是一个对称中心，且在区间]2,0[π上为单调函数，求函数)(x f 的解析式.分析本题的目标是求φ,w 因为)sin(ϕ+=wx y 为偶函数，则必关于y 轴对称，因此化为wx y cos =的形式，由函数在]2,0[π上单调，则]2,0[π最多只会是半个周期，即22π≥T ，从而得wT π2=得w 的范围，再代入对称中心求解.解析由函数)0,0)(sin()(πϕϕ<≤>+=w wx x f 为R 上的偶函数，则2πϕ=，得wx x f cos )(=，且在区间]2,0[π上为单调函数，得22π≥T ，即π≥T ，故ππ≥w 2，又0>w 得20≤<w .，同时点)0,43(π为函数)(x f 的一个对称中心，的Z k k w ∈+=,243πππ，则Z k k w ∈+=,324，因此23240≤+<k ，得Z k k ∈≤<-,121所以0=k 或1得32=w 或2，所以函数)(x f 的解析式为x y 32cos =或x y 2cos =.评注根据函数必关于y 轴对称，在三角函数中联想到wx y cos =的模型，从图象、对称轴、对称中心、最值点或单调性来求解.变式一：已知函数),20,0)(sin(4)(R x w wx x f ∈<<>+=πϕϕ图像的两条相邻对称轴的距离为3π，且经过点（0,2）.（1）求)(x f 的最小正周期；（2）求函数)(x f 的解析式.题型3 函数的值域（最值）思路提示求三角函数的最值，通常要利用正、余弦函数的有界性，一般是通过三角变换化归为下列基本类型处理. （1）b x a y +=sin ，设x t sin =，化为一次函数b at y +=在]1,1[-上的最值求解. （2）c x b x a y ++=cos sin ，引入辅助角)(tan ab=ϕϕ，化为c x b a y +++=)sin(22ϕ，求解方法同类型（1）（3）c x b x a y ++=sin sin 2，设x t sin =，化为二次函数c bt at y ++=2在闭区间]1,1[-∈t 上的最值求解，也可以是c x b x a y ++=sin cos 2或c x b x a y ++=sin 2cos 型.（4）c x x b x x a y +±+=)cos (sin cos sin ，设x x t cos sin ±=，则x x t cos sin 212±=，故21cos sin 2-±=t x x ，故原函数化为二次函数c bt t a y ++-±⋅=)21(2在闭区间]2,2[-上的最值求解.（5）d x c b x a y ++=sin sin 与dx c bx a y ++=cos sin ，根据正弦函数的有界性，即可用分析法求最值，也可用不等式法求最值，更可用数形结合法求最值.这里需要注意的是化为关于x sin 或x cos 的函数求解释务必注意x sin 或x cos 的范围.例4.27函数x x x f cos sin )(=的最小值是（）A .-1B .21-C .21D .1分析将函数)(x f 转化为)sin(ϕ+=wx A y 的形式求最值解析函数).(2sin 21cos sin )(R x x x x x f ∈==最小值为21-，故选B. 评注若本题改为“]4,0[,cos sin )(π∈=x x x x f ”则最小值为0，在解题过程中，若存在换元环节，应注意新元取值范围的限定.变式1 函数)6cos(sin )(π+-=x x x f 的值域为（）.A .[-2,2]B .]3,3[-C .[-1,1]D .]23,23[-变式2 函数x x x x f cos sin 3sin )(2+=在区间]2,4[ππ-上的最大值是（）. A .1 B .231+ C .23D .31+ 例4.28函数)6sin(3)3sin(4x x y -++=ππ的最大值为（）A .7B .2332+ C .5 D .4 分析由263πππ=-++x x ，利用诱导公式把)6(x -π转化为)3(π+x ，化不同角为相同角，将函数化为)sin()(ϕ+=wx A x f 的形式.解析 )]6(2cos[3)3sin(4x x y --++=πππ)3cos(3)3sin(4x x +++=ππ )43tan )(3sin(5=++=ϕϕπ其中x ，所以5=wax y .故选C.变式1 求函数)(2cos 2)32cos()(2R x x x f ∈++=ππ的值域变式2 求函数])2,12[)(4sin()4sin(2)32cos()(πππππ-∈+-+-=x x x x x f 的值域.例4.29求函数x x x x f cos 4sin 2cos 2)(2-+=的最大值和最小值.分析通过二倍角公式和同角公式将函数)(x f 的公式化简为)(cos cos 2R x c x b x a y ∈++=的形式，换元转化为求二次函数在给定区间上的最值.解析 ,1cos 4cos 3cos 4)cos 1()1cos 2(2)(222--=--+-=x x x x x x f 令]1,1[cos -∈=x t ，则])1,1[(37)32(3143)(22-∈--=--=t t t t t g ，因为]1,1[-∈t ，所以当1-=t 时，)(t f 取最大值6，即)(x f 的最大值为6；当32=t 时，)(t g 取最小值37-，即)(x f 的最小值为37-.变式1 已知4π≤x ，求函数x x y sin cos 2+=的最小值.变式2 求函数)20(2385cos sin 2π≤≤-+=x a xa x y 的最大值. 变式3 若0cos sin 2=++a x x 有实数解，试确定实数a 的取值范围. 变式4 若关于x 的方程0sin cos 2≥+-a x x 在]2,0(π上恒成立，求实数a 的取值范围.例4.30对于函数)0(sin 1sin )(π<<+=x xx x f ，下列结论中正确的是（）.A .有最大值无最小值B .有最小值无最大值C .有最大值且有最小值D .既无最大值又无最小值分析形如dx c bx a y ++=sin sin 的函数的最值，可考虑用函数的有界性求解.解析解法一：x x f sin 11)(+=，令]1,0(sin ∈=x t ，则ty 11+=在区间]1,0(上单调递减，即)(x f 只有最小值无最大值.故选B 解法二：1sin sin sin 1sin =-⇒+=x x y xx y ，得111sin 0≤-=<y x ，解得2≥y ，所以)(x f 只有最小值无最大值.故选B 变式1 求函数xxy sin 2cos 3+=的值域.变式2 若24ππ<<x ，则函数x x y 2tan 2tan =的最大值为_______.题型4 三角函数图像变换思路提示由函数x y sin =的图像变换为函数)0,()sin(>++=w A b wx A y ϕ的图像.方法一：)(ϕϕ+→+→wx x x 先相位变换，后周期变换，再振幅变换.x y sin =的图像→<ΦΦ>ΦΦ）个单位（向左平移）个单位（向左平移00)sin(ϕ+=x y 的图像→<ΦΦ>ΦΦ）个单位（向左平移）个单位（向左平移00ϖϖ)sin(ϕ+=wx y 的图像→横坐标不变倍来的所有点的纵坐标变为原A)sin(ϕ+=wx A y 的图像→<>）个单位（向下平移）个单位（向上平移00b b b b b wx A y ++=)sin(ϕ 例4.31把函数12cos +=x y 的图像上所有点的横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变），然后向左平移1分析利用三角函数的图像与变换求解解析 12cos +=x y →纵坐标不变倍横坐标伸长2−−−−−−→−+=个单位长度向左平移11cos x y −−−−−−→−++=个单位长度向下平移11)1cos(x y ).1cos(+=x y结合选项可知，函数图像过)0,12(-π.故选A变式1 为得到函数)32cos(π+=x y 的图像，只需将函数x y 2sin =的图像（）.A .向左平移125π个单位 B . 向右平移125π个单位 C .向左平移65π个单位 D . 向右平移65π个单位变式2 已知)2sin()(π+=x x f ，)2cos()(π-=x x g ，则)(x f 的图像（）.A .与)(x g 图像相同B .与)(x g 图像关于y 轴对称C .是由)(x g 的图像向左平移2π个单位得到D .是由)(x g 的图像向右平移2π个单位得到变式3 已知函数)0,)(4sin()(>∈+=w R x wx x f π的最小正周期为π，为了得到)cos()(wx x g =的图像，只要将)(x f y =的图像（）C DA .向左平移8π个单位长度 B .向右平移8π个单位长度 C .向左平移4π个单位长度 D .向右平移4π个单位长度例4.32已知函数)0)(2sin(21cos cos sin 2sin 21)(2πϕϕπϕϕ<<+-+=x x x f ，其图像过点)21,6(π.（1）求ϕ的值（2）将)(x f 图像上各点的横坐标缩短为原来的21，纵坐标不变，得到函数)(x g y =的图像，求函数)(x g 在]4,0[π上的最大值和最小值解析由题意把点)21,6(π代入函数的解析式得21cos 21cos 43sin 3sin 21=-+ϕϕϕπ 1)6sin(cos 21sin 23=+=+⇒πϕϕϕ （1）1)6sin(=+πϕ，.3,26),67,6(6),,0(πϕππϕπππϕπϕ==+∈+∈ （2）41cos 21232sin 21)(2-+⋅=x x x f )62sin(2141)2cos 1(412sin 43π+=-++=x x x ，依题意)64sin(21)622sin(21)(ππ+=+⋅=x x x g ，当6764ππ=+x ，即4π=x 时，)(x g 取最小值41-；当264ππ=+x ，即12π=x 时，)(x g 取最大值21.变式1已知向量)0)(2cos 2,cos 3(),1,(sin >==A x Ax A n x m ，函数n m x f ⋅=)(的最大值为6.（1）求A（2）求将函数)(x f y =的图像向左平移12π个单位，再将所的图像上各点的横坐标缩短到原来的21倍，，纵坐标不变，得到函数)(x g y =的图像，求)(x g 在]245,0[π上的值域最有效训练题1.已知函数)02,0)(sin()(<<->+=ϕπϕA wx A x f ，在65π=x 时取得最大值，则)(x f 在]0,[π-上的单调增区间是（）.A .]65,[ππ-- B .]6,65[ππ-- C .]0,3[π- D .]0,6[π- 2.若直线t x =与函数)42sin(π+=x y 和)42cos(π+=x y 的图像分别交于P ,Q的最大值为（）A .2B .1C .3D .2 3.已知函数x x x f sin cos )(2+=，那么下列命题中假命题是（）A .)(x f 既不是奇函数也不是偶函数B .)(x f 在]0,[π-上恰有一个零点C .)(x f 是周期函数D .)(x f 在)65,2(ππ上是增函数4,.已知函数)46sin()(π+=x x f 的图像上各点的横坐标伸长到原来的3倍，再向右平移8π个单位，得到的函数一个对称中心是（）.A .)0,16(π B .)0,9(π C .)0,4(π D .)0,2(π5.如图4-30所示，点P 是函数0,)(sin(2>∈+=w R x wx y ϕx 轴的交点，若0=⋅PN PM ,则w 的值为（）A .8π B .4πC .4D .8 6.已知],0(π∈x ，关于x 的方程a x =+)3sin(2π，（）..[2]A 2]B 2]C 2)D7.已知函数22()2sin cos f x x x x x ωωω=+，其中0ω>，且()f x 的最小正周期为π，则()f x 的单调递增区间为 . 8.已知函数()3sin()(0)6f x x πωω=->的图象和()2cos(2)1g x x ϕ=++的图象对称轴完全相同，若[0,]2x π∈，则()f x 的取值范围为 .9.定义一种运算12341423(,)(,)a a a a a a a a ⊗=-，将函数()2sin )(cos ,cos 2)f x x x x =⊗的图象向左移(0)n n >个单位长度所得图像对应的函数为偶函数，则n 的最小值为 .10.某学生对函数()2cos f x x x =进行研究后，得出如下四个结论：①函数()f x 在[,0]π-上为单调递增，在[0,]π上单调递减；②存在常数0M >，使()f x M x ≤对一切实数x 均成立；③点(,0)2π是函数()y f x =图像的一个对称中心；④函数()y f x =的图象关于直线x π=对称.其中正确的是 .（把所有正确的命题的序号都填上）. 11.已知函数22()cos(2)sin cos .3f x x x x π=-+-(1)求函数()f x 的最小正周期及图像的对称轴方程； (2)设函数2()[()]()g x f x f x =+，求()g x 的值域.12.已知函数()sin()f x A x ωϕ=+，其中 (,0,0,)22x R A ππωϕ∈>>-<<的部分图像如图4－31所示.(1)求函数()f x 的解析式；(2)已知函数()f x 图像上三点Ｍ，Ｎ，Ｐ的横坐标分别为－1，1，5，求sin MNP ∠ 的值.。

三角函数的图象与性质经典例题含答案

二．基本训练
1、（1）（2008浙江卷5）在同一平面直角坐标系中，函数的图象和直线的交点个数是(D)
（A）0（B）1（C）2（D）4
（2）、函数单调增区间是（A）
A[2kπ- ,2kπ＋］（k∈Z）B．［2kπ＋，2kπ＋］（k∈Z）
C．［2kπ－π，2kπ］（k∈Z）D．［2kπ，2kπ＋π］（k∈Z）
2.（1）已知f（x）的定义域为［0，1］，则f（cosx）的定义域是[2kπ- ,2kπ＋］
（2）函数y=｜sin（2x+ ）｜的最小正周期是
三．典例解析
例1、求函数）y= sin（－）的单调递增区间：
例2、（2008北京卷）．已知函数（）的最小正周期为．
（Ⅰ）求的值；（Ⅱ）求函数在区间上的取值范围．
8、（2008湖南卷）函数在区间上的最大值是(C)
A.1B. C. D.1+
9、函数y＝的最大值是（B）
A．－1B．＋1C．1－ D．－1－
10、（2001上海春）关于x的函数f（x）=sin（x+ ）有以下命题：
①对任意的，f（x）都是非奇非偶函数；
②不存在，使f（x）既是奇函数，又是偶函数；
①图象关于直线对称；②图象关于点对称；
③函数在区间内是增函数；
④由的图角向右平移个单位长度可以得到图象．
6．函数的图象向右平移（）个单位，得到的图象关于直线对称，则的最小值全国卷II）函数y＝sin2xcos2x的最小正周期是(D)
（A）2π（B）4π（C）（D）
化简完是
三角函数的图象与性质
一．要点精讲
1．正弦函数、余弦函数、正切函数的图像

新高考数学复习考点知识专题讲解与练习27---三角函数的图像和性质

新高考数学复习考点知识专题讲解与练习专题 27 三角函数的图像和性质一、单项选择题1．函数y ＝3sin2x ＋cos2x 的最小正周期为( ) A.π2 B.2π3 C ．π D ．2π 2．函数y ＝tan(π4－x)的定义域是( )A ．{x |x ≠π4}B ．{x |x ≠－π4}C ．{x |x ≠kπ＋π4，k ∈Z }D ．{x |x ≠kπ＋3π4，k ∈Z } 3．下列函数中，既是奇函数，又是周期函数的是( ) A ．y ＝sin|x| B ．y ＝cos2x C ．y ＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＋x D ．y ＝x 34．(2018·课标全国Ⅲ)函数f(x)＝tanx1＋tan2x 的最小正周期为( ) A.π4 B.π2 C ．π D ．2π 5．(2021·南昌大学附中)设f(x)＝sin (ωx ＋φ)，其中ω>0，则f(x)是偶函数的充要条件是( ) A ．f(0)＝1 B ．f(0)＝0C ．f′(0)＝1 D ．f′(0)＝06．函数f(x)＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π4在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2上的最小值为( )A ．－1B ．－22C.22D ．0 7．已知f(x)＝sin 2x ＋sinxcosx ，则f(x)的最小正周期和一个单调递增区间分别为( ) A ．π，[0，π] B ．2π，[－π4，3π4]C ．π，[－π8，3π8] D ．2π，[－π4，π4] 8．(2021·安徽皖江名校高三联考)已知函数f(x)＝3sin(2x ＋φ)＋cos(2x ＋φ)为偶函数，且在⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π4上是增函数，则φ的一个可能值为( )A.π3B.2π3C.4π3D.5π3 9．(2020·辽宁大连一模)若方程2sin(2x ＋π6)＝m 在区间[0，π2]上有两个不相等实根，则m 的取值范围是( ) A ．(1，3) B ．[0，2]C ．[1，2) D ．[1，3] 二、多项选择题10．(2017·课标全国Ⅲ，改编)设函数f(x)＝cos(x ＋π3)，则下列结论正确的是( ) A ．f(x)的一个周期为－2πB ．y ＝f(x)的图象关于直线x ＝8π3对称 C ．f(x ＋π)的一个零点为x ＝π6D ．f(x)在(π2，π)上单调递减11．已知函数f(x)＝sinx ＋cosx ，g(x)＝22sinx·cosx ，则下列结论中正确的是( ) A ．两函数的图象均关于点⎝ ⎛⎭⎪⎫－π4，0成中心对称B ．两函数的图象均关于直线x ＝－π4成轴对称 C ．两函数在区间⎝ ⎛⎭⎪⎫－π4，π4上都是单调增函数D ．两函数的最大值相同三、填空题与解答题12．函数y ＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－2x 的单调递减区间为________．13．(2020·保定市一模)设函数f(x)＝2sinxsin(x ＋π3＋φ)是奇函数，其中φ∈(0，π)，则φ＝________．14．已知函数f(x)＝sinx ＋acosx 的图象的一条对称轴是x ＝5π3，则函数g(x)＝asinx ＋cosx 的初相是________．15．已知函数f(x)＝(1＋cos2x)sin 2x(x ∈R )，则f(x)的最小正周期为________；当x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π4时，f(x)的最小值为________．16．已知函数f(x)＝3cos 2ωx ＋sinωxcosωx －32(ω>0)的最小正周期为π. (1)求函数f(x)的单调递减区间；(2)若f(x)>22，求x 的取值集合．17．(2017·北京)已知函数f(x)＝3cos(2x －π3)－2sinxcosx. (1)求f(x)的最小正周期；(2)求证：当x ∈[－π4，π4]时，f(x)≥－12.18．(2021·衡水中学调研)已知函数y ＝sinωx 在[－π3，π3]上是增函数，则ω的取值范围是( ) A ．[－32，0) B ．[－3，0)C ．(0，32] D ．(0，3] 19．(2018·北京，理)设函数f(x)＝cos (ωx －π6)(ω>0)．若f(x)≤f(π4)对任意的实数x 都成立，则ω的最小值为________．参考答案1．答案 C 2．答案 D解析 y ＝tan(π4－x)＝－tan(x －π4)，由x －π4≠π2＋k π，k ∈Z ，得x ≠k π＋3π4，k ∈Z .故选D.3．答案 C 4．答案 C解析 f(x)＝tanx 1＋tan2x＝sinx cosx 1＋sin2x cos2x ＝sinxcosx cos2x ＋sin2x ＝sinxcosx ＝12sin2x ，所以f(x)的最小正周期T ＝2π2＝π.故选C. 5．答案 D解析若f(x)＝sin (ωx ＋φ)是偶函数，则有φ＝k π＋π2，k ∈Z .∴f(x)＝±cos ωx.而f ′(x)＝∓ωsin ωx ，∴f ′(0)＝0，故选D. 6．答案 B 7．答案 C解析由f(x)＝12(1－cos2x)＋12sin2x ＝2sin （2x －π4）＋12，得该函数的最小正周期是π.当2k π－π2≤2x －π4≤2k π＋π2，k ∈Z ，即k π－π8≤x ≤k π＋3π8，k ∈Z 时，函数f(x)是增函数，即函数f(x)的单调递增区间是[k π－π8，k π＋3π8]，其中k ∈Z .由k ＝0得函数f(x)的一个单调递增区间是[－π8，3π8]，结合各选项知，选C. 8．答案 C解析根据题意，f(x)＝3sin(2x ＋φ)＋cos(2x ＋φ)＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋φ＋π6，若f(x)为偶函数，则有φ＋π6＝k π＋π2，即φ＝k π＋π3，k ∈Z ，所以可以排除B 、D ，对于A ，当φ＝π3时，f(x)＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π2＝2cos2x ，在⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π4上是减函数，不符合题意，对于C ，当φ＝4π3时，f(x)＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋3π2＝－2cos2x ，在⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π4上是增函数，符合题意．故选C. 9．答案 C解析因为x ∈[0，π2]，所以2x ＋π6∈[π6，7π6]．当2x ＋π6∈[π6，π2]时，函数f(x)＝2sin(2x ＋π6)单调递增，此时，m ∈[1，2]；当2x ＋π6∈(π2，7π6]时，函数f(x)＝2sin(2x ＋π6)单调递减，此时，m ∈[－1，2)，因此要有两个不相等实根，即m 与函数f(x)＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π6在⎣⎢⎡⎦⎥⎤π6，7π6上有两个交点，结合图象可知，m 的取值范围是[1，2)．故选C. 10．答案 ABC解析由三角函数的周期公式可得T ＝2π1＝2π，所以周期是－2π也正确，所以A 正确；由于三角函数在对称轴上取得最值，所以把对称轴x ＝8π3代入函数，得f(x)＝cos(8π3＋π3)＝cos3π＝－1，所以B 正确；f(x ＋π)＝cos(x ＋π＋π3)＝－cos(x ＋π3)＝0，解得其中一个解是x ＝π6，所以C 正确；函数f(x)在区间(π2，π)有增有减，D 不正确． 11．答案 CD解析 f(x)＝sinx ＋cosx ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π4，g(x)＝2sin2x ，因为f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－π4＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫－π4＋π4＝2sin0＝0，所以f(x)关于点⎝ ⎛⎭⎪⎫－π4，0成中心对称．因为g ⎝ ⎛⎭⎪⎫－π4＝2sin ⎣⎢⎡⎦⎥⎤2×⎝ ⎛⎭⎪⎫－π4＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫－π2＝－2≠0，所以g(x)不关于点⎝ ⎛⎭⎪⎫－π4，0成中心对称，故A 错误．由于f(x)关于⎝ ⎛⎭⎪⎫－π4，0成中心对称，g(x)关于x ＝－π4成轴对称，故B 错误．若－π4<x<π4，则0<x ＋π4<π2，此时函数f(x)为增函数，若－π4<x<π4，则－π2<2x<π2，此时函数g(x)为增函数，即两函数在区间⎝ ⎛⎭⎪⎫－π4，π4上都是单调增函数，故C 正确．两函数的最大值相同，都为2，故D 正确． 12．答案 ⎣⎢⎡⎦⎥⎤kπ＋π8，kπ＋5π8(k ∈Z )13．答案 π6解析因为f(x)＝2sinxsin⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π3＋φ是奇函数，且y ＝sinx 也是奇函数，所以函数y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π3＋φ为偶函数，所以π3＋φ＝k π＋π2(k ∈Z )，则φ＝k π＋π6(k ∈Z )，又φ∈(0，π)，所以φ＝π6. 14．答案2π3解析 f ′(x)＝cosx －asinx ，∵x ＝5π3为函数f(x)＝sinx ＋acosx 的一条对称轴， ∴f ′(5π3)＝cos 5π3－asin 5π3＝0，解得a ＝－33. ∴g(x)＝－33sinx ＋cosx ＝233(－12sinx ＋32cosx) ＝233sin(x ＋2π3)．15．答案 π2 016．答案 (1)⎣⎢⎡⎦⎥⎤π12＋kπ，7π12＋kπ，k ∈Z (2)⎩⎨⎧x ⎪⎪⎪⎭⎬⎫－π24＋kπ<x <5π24＋kπ，k ∈Z 解析 (1)f(x)＝3cos 2ωx ＋sin ωxcos ωx －32＝32(1＋cos2ωx)＋12sin2ωx －32＝32cos2ωx ＋12sin2ωx ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2ωx ＋π3.因为最小正周期为2π2ω＝π，所以ω＝1，所以f(x)＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π3.由π2＋2k π≤2x ＋π3≤3π2＋2k π，k ∈Z ，得π12＋k π≤x ≤7π12＋k π，k ∈Z ，所以函数f(x)的单调递减区间为[π12＋k π，7π12＋k π]，k ∈Z .(2)f(x)>22，即sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π3>22，由正弦函数的性质得π4＋2k π<2x ＋π3<3π4＋2k π，k ∈Z ，解得－π24＋k π<x<5π24＋k π，k ∈Z ，则x 的取值集合为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x|－π24＋kπ<x <5π24＋kπ，k ∈Z .17．答案 (1)π (2)证明见解析解析 (1)f(x)＝32cos2x ＋32sin2x －sin2x ＝12sin2x ＋32cos2x ＝sin(2x ＋π3)．所以f(x)的最小正周期T ＝2π2＝π.(2)证明：因为－π4≤x ≤π4，所以－π6≤2x ＋π3≤5π6. 所以sin(2x ＋π3)≥sin(－π6)＝－12. 所以当x ∈[－π4，π4]时，f(x)≥－12.18．答案 C解析方法一：由于y ＝sinx 在[－π2，π2]上是增函数，为保证y ＝sin ωx 在[－π3，π3]上是增函数，所以ω>0且π3·ω≤π2，则0<ω≤32.故选C.方法二(特值法)：取ω＝－1，则y ＝sin(－x)＝－sinx ，不合题意，故A 、B 不对．取ω＝2，则y ＝sin2x ，不合题意，故D 不对，所以选C. 19．答案 23解析由于对任意的实数都有f(x)≤f(π4)成立，故当x ＝π4时，函数f(x)有最大值，故f(π4)＝1，即πω4－π6＝2k π(k ∈Z )，∴ω＝8k ＋23(k ∈Z )，又ω>0，∴ωmin ＝23.。

三角函数练习(正弦函数、余弦函数的图像和性质)

三角函数练习（7）（正弦函数、余弦函数的图像和性质）2013.4.61、函数x y 2sin 21=的最小正周期T=_____________。

2、函数21()2sin 2sin 2f x x x =-+的最值是_________3、若函数f (x )＝3cos(ωx ＋θ) 对任意的x 都有f (π6＋x )＝f (π6－x )，则f (π6)等于. 4、若函数()sin f x x ω= （ω>0）在区间0,3π⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递增，在区间,32ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递减，则ω=_______ 5、函数)60sin(sin )(ο++=x x x f 的最大值是_________ 6、(1)函数()sin cos f x x x x =的奇偶性是__________（2）函数5sin(2)cos(2)44y x x ππ=++的奇偶性是__________周期为____________ 7、函数()2sin sin()3f x x x π=⋅-的最小正周期T =值域是.8、函数x x y 2sin 3sin 22-=的最大值是.9、函数f(x)＝2sinx(sinx-cosx)的单调递减区间为____________10、（1）函数1sin(4)234y x π=-+单调增区间__________（2）函数3sin(2)3y x π=-单调减区间_________ 11、函数)32cos()62sin(ππ+++=x x y 的最小正周期和最大值分别为（）A.2,2πB.1,2πC.π，1D.π，212、函数)(1)4cos()4sin(2)(R x x x x f ∈-+-=ππ是（） A. 最小正周期为π2的奇函数 B. 最小正周期为π的奇函数 C. 最小正周期为π2的偶函数 D. 最小正周期为π的偶函数13、函数⎥⎦⎤⎢⎣⎡∈+=2,0,cos 3sin πx x x y 的单调递增区间_________14、下列函数中，哪一个函数既是区间(0，2π)上的增函数，又是以π为周期的偶函数( )A.y ＝｜sinx ｜B.y ＝sin ｜x ｜C.y ＝cos2xD.y ＝lgsin2x15、已知函数()cos (0)f x x x ωωω=+>，()y f x =的图像与直线2y =的两个相邻交点的距离等于π，()f x 的单调递增区间是_______16、函数()sin 2sin ,[0,2]f x x x x π=+∈的图像与直线y k =有且仅有两个不同的交点，k 的取值范围是_____17、确定函数12()log )]4f x x π=-的定义域，值域，单调区间，奇偶性，周期性。

2018-2019学年最新苏教版高中数学必修四《三角函数的图像和性质》同步练习题及答案解析-精品试卷

必修四《三角函数的图像和性质》一、填空题1. 函数y ＝sin x －|sin x|的值域是__________．2. 函数f(x)＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π3，x ∈[－π，0]的单调递增区间是__________． 3. 函数y ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π3⎝ ⎛⎭⎪⎫－π6≤x ≤π6的值域是__________． 4. 若函数f(x)＝sinx ＋φ3(φ∈[0，2π])是偶函数，则φ＝________． 5. 若直线x ＝k π2(0≤k≤1)与函数y ＝tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π4的图象不相交，则k ＝__________． 6. 函数y ＝lg(sin x)＋2cos x －1的定义域为__________． 7. 如果函数y ＝3cos(2x ＋φ)的图象关于点⎝ ⎛⎭⎪⎫4π3，0中心对称，那么|φ|的最小值为________．8. 在平面直角坐标系xOy 中，若函数f(x)＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫ωx＋π6(ω＞0)图象的两条相邻的对称轴之间的距离为π2，且该函数图象关于点(x 0，0)成中心对称，x 0∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2，则x 0的值为__________．9. 将函数y ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫ωx－π4(ω>0)的图象分别向左、向右各平移π4个单位长度后，所得的两个图象对称轴重合，则ω的最小值为__________．10. 已知函数f(x)＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋3π2(x∈R)，则下列结论正确的是________．(填序号)① 函数f(x)的最小正周期为π； ② 函数f(x)是偶函数；③ 函数f(x)的图象关于直线x ＝π4对称；④ 函数f(x)在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2上是增函数．二、解答题11. 已知f(x)＝cos(2x ＋φ)⎝ ⎛⎭⎪⎫－π2<φ<0，且f(π4)＝32.(1) 求φ的值；(2) 在给定的坐标系中作出函数f(x)在[0，π]上的图象．12已知函数f(x)＝Asin (ωx＋φ)，x ∈R ⎝ ⎛⎭⎪⎫其中A ＞0，ω＞0，0＜φ＜π2的周期为π，且其图象上一个最低点为M ⎝⎛⎭⎪⎫2π3，－2.(1) 求f(x)的解析式；(2) 当x∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π12时，求f(x)的最值．13如图为一个缆车示意图，该缆车半径为4.8 m ，圆上最低点与地面间的距离为0.8 m ，60 s 转动一圈，图中OA 与地面垂直，以OA 为始边，逆时针转动θ角到OB.设点B 与地面间的距离为h.(1) 求h 与θ之间的函数解析式；(2) 设从OA 开始转动，经过t s 到达OB ，求h 与t 之间的函数关系式，并求缆车到达最高点时用的最少时间是多少？1. [－2，0] 解析：y ＝⎩⎪⎨⎪⎧0，0≤sin x ≤1，2sin x ，－1≤sin x ＜0，函数的值域为[－2，0]．2. ⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π6，0 解析：令2k π－π2≤x －π3≤2k π＋π2，k ∈Z ，解得2k π－π6≤x ≤2k π＋5π6，k ∈Z.又－π≤x ≤0，所以－π6≤x ≤0.3. [0，2] 解析：因为－π6≤x ≤π6，所以0≤2x＋π3≤2π3，所以0≤sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π3≤1，所以y ＝2sin(2x ＋π3)的值域为[0，2]．4.3π2 解析：因为f(x)是偶函数，所以0＋φ3＝π2＋k π(k ∈Z)，所以φ＝3π2＋3k π(k∈Z)．又φ∈[0，2π]，所以φ＝3π2.5. 14 解析：由题意得2×k π2＋π4＝π2＋m π，m ∈Z ，则k ＝14＋m ，m ∈Z.由于0≤k≤1，所以k ＝14.6. ⎩⎨⎧⎭⎬⎫x|2k π＜x ≤π3＋2k π，k ∈Z解析：要使函数有意义必须有⎩⎪⎨⎪⎧sin x ＞0，2cos x －1≥0，解得⎩⎪⎨⎪⎧2k π＜x ＜π＋2k π，k ∈Z ，－π3＋2k π≤x ≤π3＋2k π，k ∈Z ， ∴ 2k π＜x≤π3＋2k π(k∈Z)，∴ 函数的定义域为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x|2k π＜x ≤π3＋2k π，k ∈Z . 7. π6 解析：由题意得3cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2×4π3＋φ＝3cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2π3＋φ＝0，∴ 2π3＋φ＝k π＋π2，k ∈Z ，∴ φ＝k π－π6，k ∈Z ，∴ k ＝0时|φ|取最小值π6.8.5π12 解析：π2＝T 2，则T ＝π＝2πω，得ω＝2，sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x 0＋π6＝0，则2x 0＋π6＝k π，k∈Z ，∴ x 0＝k π2－π12.又x 0∈[0，π2]，∴ x 0＝5π12.9. 2 解析：平移后得到的函数分别为y ＝2sin (ωx－π4ω－π4)，y ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫ωx＋π4ω－π4，它们的对称轴方程分别为ωx－π4ω－π4＝k π＋π2，ωx ＋π4ω－π4＝k π＋π2，k∈Z，即ωx＝π4ω＋π4＋k π＋π2，ωx ＝－π4ω＋π4＋k π＋π2，k ∈Z ，而ωx＝－π4ω＋π4＋k π＋π2可以变形为ωx＝－π4ω＋π4＋k π＋π＋π2，则π4ω＋π4＋k π＋π2＝－π4ω＋π4＋k π＋π＋π2，所以ω＝2. 10. ①②④ 解析：f(x)＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋3π2＝－cos 2x ，故其最小正周期为π，①正确；∵ f(x)＝－cos 2x ，∴ f(x)是偶函数，②正确；由函数f(x)＝－cos 2x 的图象可知，函数f(x)的图象不关于直线x ＝π4对称，③错误；由函数f(x)的图象易知，函数f(x)在⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2上是增函数，④正确．故正确的为①②④.11. 解：(1) ∵ f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2×π4＋φ ＝cos(π2＋φ)＝－sin φ＝32，又－π2＜φ＜0，∴ φ＝－π3.(2) f(x)＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π3，列表如下：2x －π3－π3 0 π2 π 3π2 5π3 x 0 π6 5π12 2π3 11π12 π f(x) 121－112图象如图：12. 解：(1) 由最低点为M ⎝⎛⎭⎪⎫2π3，－2，得A ＝2.由T ＝π，得ω＝2πT ＝2ππ＝2.由点M ⎝ ⎛⎭⎪⎫2π3，－2在图象上，得2sin(4π3＋φ)＝－2，即sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫4π3＋φ＝－1，∴4π3＋φ＝2k π－π2(k∈Z)，即φ＝2k π－116π，k ∈Z. 又φ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2，∴ φ＝π6，∴ f(x)＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π6. (2) ∵ x∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π12，∴ 2x ＋π6∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤π6，π3. ∴ 当2x ＋π6＝π6，即x ＝0时，f(x)取得最小值1；当2x ＋π6＝π3，即x ＝π12时，f(x)取得最大值 3.13. 解：(1) 以圆心O 为原点，建立如图所示的平面直角坐标系．则以Ox 为始边，OB 为终边的角为θ－π2，故点B 的坐标为(4.8cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ－π2，4.8sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ－π2)，∴ h ＝5.6＋4.8sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ－π2.(2) 点A 在圆上转动的角速度是π30 rad/s ，故t s 转过的弧度数为π30t ，∴ h ＝5.6＋4.8sin ⎝⎛⎭⎪⎫π30t －π2，t ∈[0，＋∞)．到达最高点时，h ＝10.4 m.由sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π30t －π2＝1，得π30t －π2＝π2，∴ t ＝30 s ， ∴ 缆车到达最高点时，用的最少时间为30 s.。

三角函数图像与性质-知识点总结及题型归纳讲义

专题七《三角函数》讲义7.3 三角函数的图像与性质知识梳理.三角函数的图像与性质1．正弦、余弦、正切函数的图象与性质函数y＝sin x y＝cos x y＝tan x 图象定义域R R错误!值域[－1,1][－1,1]R奇偶性奇函数偶函数奇函数单调性在⎣⎡⎦⎤－π2＋2kπ，π2＋2kπ(k∈Z)上是递增函数，在⎣⎡⎦⎤π2＋2kπ，3π2＋2kπ(k∈Z)上是递减函数在[2kπ－π，2kπ](k∈Z)上是递增函数，在[2kπ，2kπ＋π](k∈Z)上是递减函数在⎝⎛⎭⎫－π2＋kπ，π2＋kπ(k∈Z)上是递增函数周期性周期是2kπ(k∈Z且k≠0)，最小正周期是2π周期是2kπ(k∈Z且k≠0)，最小正周期是2π周期是kπ(k∈Z且k≠0)，最小正周期是π对称性对称轴是x＝π2＋kπ(k∈Z)，对称中心是(kπ，0)(k∈Z)对称轴是x＝kπ(k∈Z)，对称中心是⎝⎛⎭⎫kπ＋π2，0(k∈Z)对称中心是⎝⎛⎭⎫kπ2，0(k∈Z)题型一. 三角函数图像的伸缩变换1．要得到函数y ＝3sin （2x +π3）的图象，只需要将函数y ＝3cos2x 的图象（） A ．向右平行移动π12个单位 B ．向左平行移动π12个单位C ．向右平行移动π6个单位D ．向左平行移动π6个单位2．（2017•新课标Ⅰ）已知曲线C 1：y ＝cos x ，C 2：y ＝sin （2x +2π3），则下面结论正确的是（）A ．把C 1上各点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向右平移π6个单位长度，得到曲线C 2B ．把C 1上各点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向左平移π12个单位长度，得到曲线C 2C ．把C 1上各点的横坐标缩短到原来的12，纵坐标不变，再把得到的曲线向右平移π6个单位长度，得到曲线C 2D ．把C 1上各点的横坐标缩短到原来的12，纵坐标不变，再把得到的曲线向左平移π12个单位长度，得到曲线C 23．（2021春•闵行区校级期中）函数y ＝cos （2x +φ）的图象向右平移π2个单位长度后与函数y ＝sin （2x +2π3）的图象重合，则|φ|的最小值为．4．（2016春•南通期末）将函数f(x)=sin(ωx +φ)，(ω＞0，−π2＜φ＜π2)图象上每一点的横坐标缩短为原来的一半，纵坐标不变，再向右平移π4个单位长度得到y ＝sin x 的图象，则f(π6)= ．5．（2015•湖南）将函数f （x ）＝sin2x 的图象向右平移φ（0＜φ＜π2）个单位后得到函数g （x ）的图象．若对满足|f （x 1）﹣g （x 2）|＝2的x 1、x 2，有|x 1﹣x 2|min =π3，则φ＝（） A ．5π12B ．π3C ．π4D ．π6题型二. 已知图像求解析式1．图是函数y ＝A sin （ωx +φ）（x ∈R ）在区间[−π6，5π6]上的图象，为了得到这个函数的图象，只要将y ＝sin x （x ∈R ）的图象上所有的点（）A ．向左平移π3个单位长度，再把所得各点的横坐标缩短到原来的12，纵坐标不变B ．向左平移π3个单位长度，再把所得各点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变C ．向左平移π6个单位长度，再把所得各点的横坐标缩短到原来的12，纵坐标不变D ．向左平移π6个单位长度，再把所得各点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变2．已知函数y =sin(ωx +φ)(ω＞0，|φ|＜π2)的部分图象如图所示，则（）A ．ω=π2，φ=−π4 B ．ω=π2，φ=π4C ．ω=π，φ=−π4D ．ω=π，φ=π43．已知函数f （x ）＝A cos （ωx +φ）的图象如图所示，f （π2）=−23，则f （0）＝（）A ．−23B ．−12C ．23D ．124．已知函数f （x ）＝A tan （ωx +φ）（ω＞0，|φ|＜π2）的部分图象如图所示，下列关于函数g （x ）＝A cos （ωx +φ）（x ∈R ）的表述正确的是（）A ．函数g （x ）的图象关于点（π4，0）对称B ．函数g （x ）在[−π8，3π8]递减 C ．函数g （x ）的图象关于直线x =π8对称D ．函数h （x ）＝cos2x 的图象上所有点向左平移π4个单位得到函数g （x ）的图象题型三. 三角函数的性质考点1.单调性1．函数y ＝sin （﹣2x +π3）的单调递减区间是（） A ．[k π−π12，k π+5π12]，k ∈Z B ．[2k π−π12，2k π+5π12]，k ∈ZC ．[k π−π6，k π+5π6]，k ∈ZD ．[2k π−π6，2k π+5π6]，k ∈Z2．已知函数f(x)=Asin(x +φ)(A ＞0，−π2＜φ＜0)在x =5π6时取得最大值，则f （x ）在[﹣π，0]上的单调增区间是（） A ．[−π，−5π6] B ．[−5π6，−π6] C ．[−π3，0]D ．[−π6，0]3．已知函数f （x ）＝sin （2x +π3）在区间[0，a ]（其中a ＞0）上单调递增，则实数a 的取值范围是（） A ．{a |0＜a ≤π12} B ．{a |0＜a ≤π2} C ．{a |a ＝k π+π12，k ∈N *} D ．{a |2k π＜a ≤2k π+π12，k ∈N *} 4．已知ω＞0，函数f （x ）＝sin （ωx +π4）在区间（π2，π）上单调递减，则实数ω的取值范围是（） A ．[12，54] B ．[12，34]C ．(0，12]D ．（0，2]考点2.周期性、奇偶性、对称性1．已知函数f （x ）＝cos 2x +sin 2（x +π6），则（）A ．f （x ）的最小正周期为π，最小值为12B ．f （x ）的最小正周期为π，最小值为−12C ．f （x ）的最小正周期为2π，最小值为12D ．f （x ）的最小正周期为2π，最小值为−122．已知f （x ）＝sin2x +|sin2x |（x ∈R ），则下列判断正确的是（） A ．f （x ）是周期为2π的奇函数 B ．f （x ）是值域为[0，2]周期为π的函数 C ．f （x ）是周期为2π的偶函数 D ．f （x ）是值域为[0，1]周期为π的函数3．将函数y ＝sin2x −√3cos2x 的图象沿x 轴向右平移a 个单位（a ＞0）所得图象关于y 轴对称，则a 的最小值是（） A ．712π B ．π4C ．π12D ．π64．已知函数f （x ）＝a sin x ﹣b cos x （ab ≠0，x ∈R ）在x =π4处取得最大值，则函数y ＝f （π4−x ）是（）A ．偶函数且它的图象关于点（π，0）对称B ．偶函数且它的图象关于点(3π2，0)对称 C ．奇函数且它的图象关于点(3π2，0)对称 D ．奇函数且它的图象关于点（π，0）对称考点3.三角函数性质综合1．（2019•天津）已知函数f （x ）＝A sin （ωx +φ）（A ＞0，ω＞0，|φ|＜π）是奇函数，将y ＝f （x ）的图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变），所得图象对应的函数为g （x ）．若g （x ）的最小正周期为2π，且g （π4）=√2，则f （3π8）＝（）A ．﹣2B ．−√2C ．√2D ．22．（2015•天津）已知函数f （x ）＝sin ωx +cos ωx （ω＞0），x ∈R ，若函数f （x ）在区间（﹣ω，ω）内单调递增，且函数y ＝f （x ）的图象关于直线x ＝ω对称，则ω的值为．3．（2014•大纲版）若函数f （x ）＝cos2x +a sin x 在区间（π6，π2）是减函数，则a 的取值范围是．4．（2016•新课标Ⅰ）若函数f （x ）＝x −13sin2x +a sin x 在（﹣∞，+∞）单调递增，则a 的取值范围是（） A ．[﹣1，1]B ．[﹣1，13]C ．[−13，13]D ．[﹣1，−13]5．（2013•安庆二模）已知函数f （x ）＝sin （ωx +π6），其中ω＞0，若f （π6）＝f （π3），且f （x ）在区间（π6，π3）上有最小值、无最大值，则ω等于（）A ．403B ．283C ．163D ．436．（2014•北京）设函数f （x ）＝A sin （ωx +φ）（A ，ω，φ是常数，A ＞0，ω＞0）若f （x ）在区间[π6，π2]上具有单调性，且f （π2）＝f（2π3）＝﹣f （π6），则f （x ）的最小正周期为．题型四. 三角函数最值1．函数f （x ）=15sin （x +π3）+cos （x −π6）的最大值为（） A ．65B ．1C ．35D ．152．函数f （x ）＝cos （ωx +π3）（ω＞0）在[0，π]内的值域为[﹣1，12]，则ω的取值范围为（） A ．[32，53]B ．[23，43]C ．[23，+∞)D ．[23，32]3．已知函数f （x ）＝cos2x +sin x ，则下列说法中正确的是（） A ．f （x ）的一条对称轴为x =π4 B ．f （x ）在（π6，π2）上是单调递减函数C ．f （x ）的对称中心为（π2，0）D ．f （x ）的最大值为14．若0＜x ≤π3，则函数y ＝sin x +cos x +sin x cos x 的值域为．5．已知函数f(x)=2sinωx ⋅cos 2(ωx 2−π4)−sin 2ωx(ω＞0)在区间[−2π5，5π6]上是增函数，且在区间[0，π]上恰好取得一次最大值1，则ω的取值范围是（） A ．(0，35]B ．[12，35]C ．[12，34]D ．[12，52)6．已知函数f （x ）＝cos x •sin （x +π3）−√3cos 2x +√34，x ∈R （1）求f （x ）的最小正周期；（2）求f （x ）在闭区间[0，π2]上的最大值和最小值及相应的x 值；（3）若不等式|f （x ）﹣m |＜2在x ∈[0，π2]上恒成立，求实数m 的取值范围．题型五.三角函数零点1．已知函数f （x ）＝sin ωx −√3cos ωx （ω＞0），若方程f （x ）＝﹣1在（0，π）上有且只有四个实数根，则实数ω的取值范围为．2．已知函数f （x ）=√3sin ωx cos ωx +cos 2ωx −12，（ω＞0，x ∈R ），若函数f （x ）在区间（π2，π）内没有零点，则ω的取值范围（） A ．（0，512] B ．（0，512]∪[56，1112]C ．（0，58]D ．（0，56]∪[1112，1）3．函数f(x)=2sin(2ωx +π6)(ω＞0)图象上有两点A （s ，t ），B （s +2π，t ）（﹣2＜t ＜2），若对任意s ∈R ，线段AB 与函数图象都有五个不同交点，若f （x ）在[x 1，x 2]和[x 3，x 4]上单调递增，在[x 2，x 3]上单调递减，且x 4−x 3=x 2−x 1=23(x 3−x 2)，则x 1的所有可能值是课后作业. 三角函数的图像与性质1．函数f （x ）＝A sin （ωx +φ）（A ＞0，ω＞0，﹣π＜φ＜0）的部分图象如图所示，为了得到g （x ）＝A sin ωx 的图象，只需将函数y ＝f （x ）的图象（）A ．向左平移π3个单位长度B ．向左平移π12个单位长度 C ．向右平移π3个单位长度D ．向右平移π12个单位长度2．关于函数y ＝2sin （3x +π4）+1，下列叙述正确的是（） A ．其图象关于直线x =−π4对称 B ．其图象关于点（π12，1）对称 C ．其值域是[﹣1，3]D ．其图象可由y ＝2sin （x +π4）+1图象上所有点的横坐标变为原来的13得到 3．已知函数f （x ）＝（12a −√3）sin x +（√32a +1）cos x ，将f （x ）的图象向右平移π3个单位长度得到函数g （x ）的图象，若对任意x ∈R ，都有g （x ）≤g （π4），则a 的值为． 4．已知函数f （x ）＝sin （ωx +φ）（ω＞1，0≤φ≤π）是R 上的偶函数，其图象关于点M （3π4，0）对称，且在区间[0，π2]上是单调函数，则ω和φ的值分别为（）A ．23，π4B ．2，π3C ．2，π2D ．103，π25．已知函数f （x ）＝sin （ωx +φ），其中ω＞0，|φ|≤π2，−π4为f （x ）的零点：且f （x ）≤|f （π4）|恒成立，f （x ）在区间（−π12，π24）上有最小值无最大值，则ω的最大值是（）A ．11B ．13C ．15D ．176．已知函数f （x ）＝2sin （ωx −π6）sin （ωx +π3）（ω＞0），若函数g （x ）＝f （x ）+√32在[0，π2]上有且只有三个零点，则ω的取值范围为（）A ．[2，113） B ．（2，113） C ．[73，103） D ．（73，103）。

三角函数概念图像与性质复习题型总结(最全)

三角函数概念和性质复习1.终边相同的角: 与角α终边相同角的集合为（1）试写出与角16800终边相同的最小正角和最大负角. （2）已知α与0240角的终边相同，则2α为第象限角.（3）第二象限角的集合为（4）如果角α为第三象限角，则2α为第象限角2.弧度制（1）0180rad π= ，01180radπ=，1801rad π=（2）弧长公式：l = ，扇形面积公式：s =（1）扇形的圆心角为1200，半径为6，扇形的弧长是 . （2）若2弧度的圆心角所对的弧长为4，则这个圆心角所在的扇形面积为 2cm ．3.任意角的三角函数定义角α终边上任意一点P 的坐标(,)x y ，它与原点的距离是(0)r r =.规定：s i n α= ；cos α= ；tan α=(0)x ≠.（1）①已知角α的终边经过点(5,12)-，则sin cos αα-= ．②已知角α的终边过点(,6)P x --，且5c o s 13α=-，则x = .③已知角α的终边在直线y =上，则sin α= ；tan α= .（2）特殊角的三角函数：（1）已知0tan cos <⋅θθ,则角θ是第象限角. （2）设角α是三角形的一个内角，在s i n ,c o s,t a n,t a n2αααα中，有可能取负值. （3）函数cos sin tan sin cos tan x x xy x x x=++的值域为 .5.同角三角函数关系: ①平方关系：；②商关系： .（1）①已知4sin 5α=，且α是第二象限角，则cos α= ；tan α= .②若12tan ,(,0)52παα=-∈-，则s i n α= ；cos α= .③已知sin α=，则44sin cos αα-的值为.（2）化简：①若α是第二象限角，则tan = ；②= ； ③若(,0)2πα∈-,则=（3）已知tan()3πα-=-．①求的值；②求αα－2α的值．（4）①已知sin cos αα+=sin cos αα及44sin cos αα+的值.6.诱导公式tan(2)k πα+=（1）求值：①4sin3π= ；②19cos4π= ；③17tan()6π-= . （2）已知cos 3α=，且(,0)2πα∈-，则(πα-)= ．（3）整体角思维应用（角的内在关系）①已知1sin()123πα+=，则7cos()12πα+= . ②已知01co s (75),3α+=且018090α--＜＜，则0co s (15)α-= . ③已知1sin(),64x π+=则25sin()sin ()63x x ππ-+-= . 7.三角函数的周期设,,A ωϕ为常数，且0,0A ω≠＞，则 sin()y A x ωϕ=+的周期；cos()y A x ωϕ=+的周期； t a n ()y A x ωϕ=+的周期 .（1）①函数cos(2)3y x π=-的最小正周期是； ②函数tan(3)6y x ππ=+的最小正周期是。

三角函数的图像和性质知识点讲解+例题讲解(含解析)

三角函数的图像与性质一、知识梳理1.用五点法作正弦函数和余弦函数的简图(1)正弦函数y ＝sin x ，x ∈[0，2π]的图象中，五个关键点是：(0，0)，⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，1，(π，0)，⎝ ⎛⎭⎪⎫3π2，－1，(2π，0).(2)余弦函数y ＝cos x ，x ∈[0，2π]的图象中，五个关键点是：(0，1)，⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，0，(π，－1)，⎝ ⎛⎭⎪⎫3π2，0，(2π，1).2.正弦、余弦、正切函数的图象与性质(下表中k ∈Z )π3.对称与周期(1)正弦曲线、余弦曲线相邻两对称中心、相邻两对称轴之间的距离是半个周期，相邻的对称中心与对称轴之间的距离是14个周期. (2)正切曲线相邻两对称中心之间的距离是半个周期.(3).对于y ＝tan x 不能认为其在定义域上为增函数，而是在每个区间⎝ ⎛⎭⎪⎫k π－π2，k π＋π2(k ∈Z )内为增函数.二、例题精讲 + 随堂练习1.判断下列结论正误(在括号内打“√”或“×”) (1)余弦函数y ＝cos x 的对称轴是y 轴.( ) (2)正切函数y ＝tan x 在定义域内是增函数.( ) (3)已知y ＝k sin x ＋1，x ∈R ，则y 的最大值为k ＋1.( ) (4)y ＝sin|x |是偶函数.( )解析 (1)余弦函数y ＝cos x 的对称轴有无穷多条，y 轴只是其中的一条. (2)正切函数y ＝tan x 在每一个区间⎝ ⎛⎭⎪⎫k π－π2，k π＋π2(k ∈Z )上都是增函数，但在定义域内不是单调函数，故不是增函数.(3)当k >0时，y max ＝k ＋1；当k <0时，y max ＝－k ＋1. 答案 (1)× (2)× (3)× (4)√2.若函数y ＝2sin 2x －1的最小正周期为T ，最大值为A ，则( ) A.T ＝π，A ＝1 B.T ＝2π，A ＝1 C.T ＝π，A ＝2D.T ＝2π，A ＝2解析最小正周期T ＝2π2＝π，最大值A ＝2－1＝1.故选A. 答案 A3.函数y ＝－tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －3π4的单调递减区间为________.解析由－π2＋k π＜2x －3π4＜π2＋k π(k ∈Z )，得π8＋k π2＜x ＜5π8＋k π2(k ∈Z )，所以y ＝－tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －3π4的单调递减区间为⎝ ⎛⎭⎪⎫π8＋k π2，5π8＋k π2(k ∈Z ). 答案 ⎝ ⎛⎭⎪⎫π8＋k π2，5π8＋k π2(k ∈Z )4.(2017·全国Ⅱ卷)函数f (x )＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π3的最小正周期为( )A.4πB.2πC.πD.π2解析由题意T ＝2π2＝π. 答案 C5.(2017·全国Ⅲ卷)函数f (x )＝15sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π3＋cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π6的最大值为( )A.65B.1C.35D.15解析 cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π6＝cos ⎣⎢⎡⎦⎥⎤π2－⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π3＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π3，则f (x )＝15sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π3＋sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π3＝65sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π3，函数的最大值为65. 答案 A6.(2018·江苏卷)已知函数y ＝sin(2x ＋φ)⎝ ⎛⎭⎪⎫－π2<φ<π2 的图象关于直线x ＝π3对称，则φ的值是________.解析由函数y ＝sin(2x ＋φ)⎝ ⎛⎭⎪⎫－π2<φ<π2的图象关于直线x ＝π3对称，得sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2π3＋φ＝±1.所以2π3＋φ＝π2＋k π(k ∈Z )，所以φ＝－π6＋k π(k ∈Z )，又－π2<φ<π2，所以φ＝－π6. 答案－π6考点一三角函数的定义域【例1】 (1)函数f (x )＝－2tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π6的定义域是( ) A.⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |x ≠π6 B.⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |x ≠－π12 C.⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |x ≠k π＋π6（k ∈Z ） D.⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |x ≠k π2＋π6（k ∈Z ） (2)不等式3＋2cos x ≥0的解集是________.(3)函数f (x )＝64－x 2＋log 2(2sin x －1)的定义域是________. 解析 (1)由2x ＋π6≠k π＋π2(k ∈Z )，得x ≠k π2＋π6(k ∈Z ).(2)由3＋2cos x ≥0，得cos x ≥－32，由余弦函数的图象，得在一个周期[－π，π]上，不等式cos x ≥－32的解集为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |－5π6≤x ≤56π，故原不等式的解集为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |－56π＋2k π≤x ≤56π＋2k π，k ∈Z .(3)由题意，得⎩⎨⎧64－x 2≥0，①2sin x －1>0，②由①得－8≤x ≤8，由②得sin x >12，由正弦曲线得π6＋2k π<x <56 π＋2k π(k ∈Z ).所以不等式组的解集为⎝ ⎛⎭⎪⎫－116π，－76π∪⎝ ⎛⎭⎪⎫π6，56π∪⎝ ⎛⎦⎥⎤13π6，8. 答案 (1)D (2)⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |－56π＋2k π≤x ≤56π＋2k π，k ∈Z (3)⎝ ⎛⎭⎪⎫－116π，－76π∪⎝ ⎛⎭⎪⎫π6，56π∪⎝ ⎛⎦⎥⎤13π6，8【训练1】 (1)函数y ＝sin x －cos x 的定义域为________. (2)函数y ＝lg(sin x )＋cos x －12的定义域为______.解析 (1)要使函数有意义，必须使sin x －cos x ≥0.利用图象，在同一坐标系中画出[0，2π]上y ＝sin x 和y ＝cos x 的图象，如图所示.在[0，2π]上，满足sin x ＝cos x 的x 为π4，5π4再结合正弦、余弦函数的周期是2π，所以原函数的定义域为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |π4＋2k π≤x ≤54π＋2k π，k ∈Z .(2)要使函数有意义必须有⎩⎪⎨⎪⎧sin x >0，cos x －12≥0，即⎩⎪⎨⎪⎧sin x >0，cos x ≥12，解得⎩⎪⎨⎪⎧2k π<x <π＋2k π，－π3＋2k π≤x ≤π3＋2k π(k ∈Z )，所以2k π<x ≤π3＋2k π(k ∈Z )，所以函数的定义域为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |2k π<x ≤π3＋2k π，k ∈Z .答案(1)⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |π4＋2k π≤x ≤54π＋2k π，k ∈Z (2)⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |2k π<x ≤π3＋2k π，k ∈Z考点二三角函数的值域与最值【例2】 (1)y ＝3sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π6在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2上的值域是________.(2)(2017·全国Ⅱ卷)函数f (x )＝sin 2x ＋3cos x －34⎝ ⎛⎭⎪⎫x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2的最大值是________. (3)函数y ＝sin x －cos x ＋sin x cos x 的值域为________.解析 (1)当x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2时，2x －π6∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π6，5π6，sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π6∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－12，1，故3sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π6∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－32，3，即y ＝3sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π6的值域为⎣⎢⎡⎦⎥⎤－32，3. (2)由题意可得f (x )＝－cos 2x ＋3cos x ＋14＝－(cos x －32)2＋1.∵x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2，∴cos x ∈[0，1].∴当cos x ＝32，即x ＝π6时，f (x )max ＝1. (3)设t ＝sin x －cos x ，则t 2＝sin 2x ＋cos 2x －2sin x cos x ，sin x cos x ＝1－t22，且－2≤t ≤2，所以y ＝－t 22＋t ＋12＝－12(t －1)2＋1.当t ＝1时，y max ＝1；当t ＝－2时，y min ＝－12－ 2 .所以函数的值域为⎣⎢⎡⎦⎥⎤－12－2，1. 答案 (1)⎣⎢⎡⎦⎥⎤－32，3 (2)1 (3)⎣⎢⎡⎦⎥⎤－12－2，1【训练2】 (1)函数f (x )＝cos 2x ＋6cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－x 的最大值为( )A.4B.5C.6D.7(2)(2019·临沂模拟)已知函数f (x )＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π6，其中x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π3，a ，若f (x )的值域是⎣⎢⎡⎦⎥⎤－12，1，则实数a 的取值范围是________. 解析 (1)由f (x )＝cos 2x ＋6cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－x ＝1－2sin 2x ＋6sin x ＝－2⎝ ⎛⎭⎪⎫sin x －322＋112，又sin x ∈[－1，1]，所以当sin x ＝1时函数的最大值为5.(2)由x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π3，a ，知x ＋π6∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π6，a ＋π6.因为x ＋π6∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π6，π2时，f (x )的值域为⎣⎢⎡⎦⎥⎤－12，1，所以由函数的图象知π2≤a ＋π6≤7π6，所以π3≤a ≤π. 答案 (1)B(2)⎣⎢⎡⎦⎥⎤π3，π考点三三角函数的单调性角度1 求三角函数的单调区间【例3－1】 (1)函数f (x )＝tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π3的单调递增区间是( ) A.⎣⎢⎡⎦⎥⎤k π12－π12，k π2＋5π12(k ∈Z ) B.⎝ ⎛⎭⎪⎫k π12－π12，k π2＋5π12(k ∈Z )C.⎝ ⎛⎭⎪⎫k π＋π6，k π＋2π3(k ∈Z )D.⎝ ⎛⎭⎪⎫k π－π12，k π＋5π12(k ∈Z ) (2)函数y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫－2x ＋π3的单调递减区间为________. 解析 (1)由k π－π2<2x －π3<k π＋π2(k ∈Z )，得k π2－π12<x <k π2＋5π12(k ∈Z )，所以函数f (x )＝tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π3的单调递增区间为⎝ ⎛⎭⎪⎫k π2－π12，k π2＋5π12(k ∈Z ).(2)y ＝－sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π3，它的减区间是y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π3的增区间.令2k π－π2≤2x －π3≤2k π＋π2，k ∈Z ，得k π－π12≤x ≤k π＋5π12，k ∈Z .故其单调递减区间为⎣⎢⎡⎦⎥⎤k π－π12，k π＋5π12，k ∈Z . 答案 (1)B (2)⎣⎢⎡⎦⎥⎤k π－π12，k π＋5π12，k ∈Z角度2 利用单调性比较大小【例3－2】已知函数f (x )＝2cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π6，设a ＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π7，b ＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6，c ＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4，则a ，b ，c 的大小关系是( ) A.a >b >c B.a >c >b C.c >a >bD.b >a >c解析令2k π≤x ＋π6≤2k π＋π，k ∈Z ，解得2k π－π6≤x ≤2k π＋5π6，k ∈Z ，∴函数f (x )＝2cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π6在⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π6，5π6上是减函数，∵－π6<π7<π6<π4<5π6， ∴f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π7>f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6>f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4. 答案 A角度3 利用单调性求参数【例3－3】 (2018·全国Ⅱ卷)若f (x )＝cos x －sin x 在[－a ，a ]是减函数，则a 的最大值是( ) A.π4B.π2C.3π4D.π解析 f (x )＝cos x －sin x ＝2cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π4，由题意得a >0，故－a ＋π4<π4，因为f (x )＝2cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π4在[－a ，a ]是减函数，所以⎩⎪⎨⎪⎧－a ＋π4≥0，a ＋π4≤π，a >0，解得0<a ≤π4，所以a 的最大值是π4.答案 A【训练3】 (1)设函数f (x )＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π3，x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π2，π，则以下结论正确的是( )A.函数f (x )在⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π2，0上单调递减B.函数f (x )在⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2上单调递增 C.函数f (x )在⎣⎢⎡⎦⎥⎤π2，5π6上单调递减 D.函数f (x )在⎣⎢⎡⎦⎥⎤5π6，π上单调递增(2)cos 23°，sin 68°，cos 97°的大小关系是________.(3)若函数f (x )＝sin ωx (ω>0)在⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π3上单调递增，在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤π3，π2上单调递减，则ω＝________.解析 (1)由x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π2，0，得2x －π3∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－4π3，－π3，此时函数f (x )先减后增；由x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2，得2x －π3∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π3，2π3，此时函数f (x )先增后减；由x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤π2，5π6，得2x －π3∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤2π3，4π3，此时函数f (x )单调递减；由x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤5π6，π，得2x －π3∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤4π3，5π3，此时函数f (x )先减后增.(2)sin 68°＝cos 22°，又y ＝cos x 在[0°，180°]上是减函数，∴sin 68°>cos 23°>cos 97°.(3)法一由于函数f (x )＝sin ωx (ω>0)的图象经过坐标原点，由已知并结合正弦函数的图象可知，π3为函数f (x )的14周期，故2πω＝4π3，解得ω＝32.法二由题意，得f (x )max ＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3＝sin π3ω＝1.由已知并结合正弦函数图象可知，π3ω＝π2＋2k π(k ∈Z )，解得ω＝32＋6k (k ∈Z )，所以当k ＝0时，ω＝32.答案 (1)C (2)sin 68°>cos 23°>cos 97° (3)32考点四三角函数的周期性、奇偶性、对称性角度1 三角函数奇偶性、周期性【例4－1】 (1)(2018·全国Ⅰ卷)已知函数f (x )＝2cos 2x －sin 2x ＋2，则( ) A.f (x )的最小正周期为π，最大值为3 B.f (x )的最小正周期为π，最大值为4 C.f (x )的最小正周期为2π，最大值为3 D.f (x )的最小正周期为2π，最大值为4(2)(2019·杭州调研)设函数f (x )＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫12x ＋θ－3cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫12x ＋θ⎝ ⎛⎭⎪⎫|θ|<π2的图象关于y 轴对称，则θ＝( ) A.－π6 B.π6 C.－π3 D.π3解析 (1)易知f (x )＝2cos 2x －sin 2x ＋2＝3cos 2x ＋1＝3cos 2x ＋12＋1＝32cos 2x ＋52，则f (x )的最小正周期为π，当2x ＝2k π，即x ＝k π(k ∈Z )时，f (x )取得最大值，最大值为4.(2)f (x )＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫12x ＋θ－3cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫12x ＋θ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫12x ＋θ－π3，由题意可得f (0)＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ－π3＝±2，即sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ－π3＝±1，∴θ－π3＝π2＋k π(k ∈Z )，∴θ＝5π6＋k π(k ∈Z ). ∵|θ|<π2，∴k ＝－1时，θ＝－π6. 答案 (1)B (2)A角度2 三角函数图象的对称性【例4－2】 (1)已知函数f (x )＝a sin x ＋cos x (a 为常数，x ∈R )的图象关于直线x ＝π6对称，则函数g (x )＝sin x ＋a cos x 的图象( )A.关于点⎝ ⎛⎭⎪⎫π3，0对称B.关于点⎝ ⎛⎭⎪⎫2π3，0对称 C.关于直线x ＝π3对称 D.关于直线x ＝π6对称解析 (1)因为函数f (x )＝a sin x ＋cos x (a 为常数，x ∈R )的图象关于直线x ＝π6对称，所以f (0)＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3，所以1＝32a ＋12，a ＝33，所以g (x )＝sin x ＋33cos x ＝233sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π6，函数g (x )的对称轴方程为x ＋π6＝k π＋π2(k ∈Z )，即x ＝k π＋π3(k ∈Z )，当k ＝0时，对称轴为直线x ＝π3，所以g (x )＝sin x ＋a cos x 的图象关于直线x ＝π3对称. 规律方法 1.对于可化为f (x )＝A sin(ωx ＋φ)形式的函数，如果求f (x )的对称轴，只需令ωx ＋φ＝π2＋k π(k ∈Z )，求x 即可；如果求f (x )的对称中心的横坐标，只需令ωx ＋φ＝k π(k ∈Z )，求x 即可.2.对于可化为f (x )＝A cos(ωx ＋φ)形式的函数，如果求f (x )的对称轴，只需令ωx ＋φ＝k π(k ∈Z )，求x ；如果求f (x )的对称中心的横坐标，只需令ωx ＋φ＝π2＋k π(k ∈Z )，求x 即可.【训练4】 (1)(2018·全国Ⅲ卷)函数f (x )＝tan x1＋tan 2x的最小正周期为( )A.π4B.π2C.πD.2π(2)设函数f (x )＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π3，则下列结论错误的是( )A.f (x )的一个周期为－2πB.y ＝f (x )的图象关于直线x ＝8π3对称 C.f (x ＋π)的一个零点为x ＝π6 D.f (x )在⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，π单调递减解析 (1)f (x )的定义域为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |x ≠k π＋π2，k ∈Z .f (x )＝sin x cos x 1＋⎝ ⎛⎭⎪⎫sin x cos x 2＝sin x ·cos x ＝12sin 2x ，∴f (x )的最小正周期T ＝2π2＝π.(2)A 项，因为f (x )的周期为2k π(k ∈Z 且k ≠0)，所以f (x )的一个周期为－2π，A 项正确.B 项，因为f (x )图象的对称轴为直线x ＝k π－π3(k ∈Z )，当k ＝3时，直线x ＝8π3是其对称轴，B 项正确.C 项，f (x ＋π)＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋4π3，将x ＝π6代入得到f ⎝ ⎛⎭⎪⎫7π6＝cos 3π2＝0，所以x ＝π6是f (x＋π)的一个零点，C 项正确.D 项，因为f (x )＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π3的递减区间为⎣⎢⎡⎦⎥⎤2k π－π3，2k π＋2π3 (k ∈Z )，递增区间为⎣⎢⎡⎦⎥⎤2k π＋2π3，2k π＋5π3 (k ∈Z )，所以⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，2π3是减区间，⎣⎢⎡⎭⎪⎫2π3，π是增区间，D 项错误.答案 (1)C (2)D三、课后练习1.若对于任意x ∈R 都有f (x )＋2f (－x )＝3cos x －sin x ，则函数f (2x )图象的对称中心为( )A.⎝ ⎛⎭⎪⎫k π－π4，0(k ∈Z ) B.⎝ ⎛⎭⎪⎫k π－π8，0(k ∈Z ) C.⎝ ⎛⎭⎪⎫k π2－π4，0(k ∈Z ) D.⎝ ⎛⎭⎪⎫k π2－π8，0(k ∈Z ) 解析因为f (x )＋2f (－x )＝3cos x －sin x ，所以f (－x )＋2f (x )＝3cos x ＋sin x .解得f (x )＝cos x ＋sin x ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π4，所以f (2x )＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π4. 令2x ＋π4＝k π(k ∈Z )，得x ＝k π2－π8(k ∈Z ).所以f (2x )图象的对称中心为⎝ ⎛⎭⎪⎫k π2－π8，0(k ∈Z ). 答案 D2.(2017·天津卷)设函数f (x )＝2sin(ωx ＋φ)，x ∈R ，其中ω>0，|φ|<π.若f ⎝ ⎛⎭⎪⎫5π8＝2，f ⎝ ⎛⎭⎪⎫11π8＝0，且f (x )的最小正周期大于2π，则( ) A.ω＝23，φ＝π12 B.ω＝23，φ＝－11π12C.ω＝13，φ＝－11π24D.ω＝13，φ＝7π24解析 ∵f ⎝ ⎛⎭⎪⎫5π8＝2，f ⎝ ⎛⎭⎪⎫11π8＝0，且f (x )的最小正周期大于2π， ∴f (x )的最小正周期为4⎝ ⎛⎭⎪⎫11π8－5π8＝3π， ∴ω＝2π3π＝23，∴f (x )＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫23x ＋φ. ∴2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫23×5π8＋φ＝2，得φ＝2k π＋π12(k ∈Z )，又|φ|<π，∴取k ＝0，得φ＝π12.答案 A3.已知x 0＝π3是函数f (x )＝sin(2x ＋φ)的一个极大值点，则f (x )的单调递减区间是________.解析因为x 0＝π3是函数f (x )＝sin(2x ＋φ)的一个极大值点，所以sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2×π3＋φ＝1，解得φ＝2k π－π6(k ∈Z ). 不妨取φ＝－π6，此时f (x )＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π6，令2k π＋π2≤2x －π6≤2k π＋3π2(k ∈Z )，得f (x )的单调递减区间是⎣⎢⎡⎦⎥⎤k π＋π3，k π＋56π(k ∈Z ). 答案 ⎣⎢⎡⎦⎥⎤k π＋π3，k π＋56π(k ∈Z )4.已知函数f (x )＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－x sin x －3cos 2x ＋32. (1)求f (x )的最大值及取得最大值时x 的值；(2)若方程f (x )＝23在(0，π)上的解为x 1，x 2，求cos(x 1－x 2)的值.解 (1)f (x )＝cos x sin x －32(2cos 2x －1) ＝12sin 2x －32cos 2x ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π3. 当2x －π3＝π2＋2k π(k ∈Z )，即x ＝512π＋k π(k ∈Z )时，函数f (x )取最大值，且最大值为1.(2)由(1)知，函数f (x )图象的对称轴为x ＝512π＋k π(k ∈Z )，∴当x ∈(0，π)时，对称轴为x ＝512π.又方程f (x )＝23在(0，π)上的解为x 1，x 2.∴x 1＋x 2＝56π，则x 1＝56π－x 2，∴cos(x 1－x 2)＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫56π－2x 2＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x 2－π3，又f (x 2)＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x 2－π3＝23，故cos(x 1－x 2)＝23.5.已知函数f (x )＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π6，若对任意的实数α∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－5π6，－π2，都存在唯一的实数β∈[0，m ]，使f (α)＋f (β)＝0，则实数m 的最小值是________.解析因为α∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－5π6，－π2，所以α－π6∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π，－2π3，则f (α)＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α－π6∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－32，0，因为对任意的实数α∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－5π6，－π2，都存在唯一的实数β∈[0，m ]，使f (α)＋f (β)＝0，所以f (β)在[0，m ]上单调，且f (β)∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，32，则sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫β－π6∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，32，则β－π6∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π3，所以β∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤π6，π2，即实数m 的最小值是π2. 答案 π26.(2017·山东卷)函数y ＝3sin 2x ＋cos 2x 的最小正周期为( )A.π2B.2π3C.πD.2π解析 ∵y ＝2⎝ ⎛⎭⎪⎫32sin 2x ＋12cos 2x ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π6， ∴T ＝2π2＝π.答案 C7.(2019·石家庄检测)若⎝ ⎛⎭⎪⎫π8，0是函数f (x )＝sin ωx ＋cos ωx 图象的一个对称中心，则ω的一个取值是( )A.2B.4C.6D.8解析因为f (x )＝sin ωx ＋cos ωx ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫ωx ＋π4，由题意，知f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π8＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫ωπ8＋π4＝0，所以ωπ8＋π4＝k π(k ∈Z )，即ω＝8k －2(k ∈Z )，当k ＝1时，ω＝6.答案 C8.已知函数f (x )＝2sin ωx (ω>0)在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π3，π4上的最小值是－2，则ω的最小值等于( ) A.23 B.32 C.2 D.3解析 ∵ω>0，－π3≤x ≤π4，∴－ωπ3≤ωx ≤ωπ4.由已知条件知－ωπ3≤－π2，∴ω≥32.答案 B9.(2019·湖南十四校联考)已知函数f (x )＝2sin ωx －cos ωx (ω>0)，若f (x )的两个零点x 1，x 2满足|x 1－x 2|min ＝2，则f (1)的值为( ) A.102 B.－102 C.2 D.－2解析依题意可得函数的最小正周期为2πω＝2|x 1－x 2|min ＝2×2＝4，即ω＝π2，所以f (1)＝2sin π2－cos π2＝2.答案 C10.(2018·北京卷)设函数f (x )＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫ωx －π6(ω>0).若f (x )≤f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4对任意的实数x 都成立，则ω的最小值为________.解析由于对任意的实数都有f (x )≤f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4成立，故当x ＝π4时，函数f (x )有最大值，故f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＝1，πω4－π6＝2k π(k ∈Z )，∴ω＝8k ＋23(k ∈Z ).又ω>0，∴ωmin ＝23. 答案 2311.(2019·北京通州区质检)已知函数f (x )＝sin ωx －cos ωx (ω>0)的最小正周期为π.(1)求函数y ＝f (x )图象的对称轴方程；(2)讨论函数f (x )在⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2上的单调性. 解 (1)∵f (x )＝sin ωx －cos ωx ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫ωx －π4，且T ＝π， ∴ω＝2，于是f (x )＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π4. 令2x －π4＝k π＋π2(k ∈Z )，得x ＝k π2＋3π8(k ∈Z ).即函数f (x )图象的对称轴方程为x ＝k π2＋3π8(k ∈Z ).(2)令2k π－π2≤2x －π4≤2k π＋π2(k ∈Z )，得函数f (x )的单调递增区间为⎣⎢⎡⎦⎥⎤k π－π8，k π＋3π8(k ∈Z ). 注意到x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2，所以令k ＝0，得函数f (x )在⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2上的单调递增区间为⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，3π8；同理，其单调递减区间为⎣⎢⎡⎦⎥⎤3π8，π2.。

三角函数图像及其性质(高一复习)

三角函数图像及其性质【知会】三角函数的图像，五点作图法；定义域、值域；奇偶性、单调性、最值与变量【核心问题】考点一：三角函数的图像作法及其运用例1.(1)求作函数y=-2cos x +3的一个周期内的简图，并说明函数取得最小值是x 的值。

(2)画出函数x x f tan )(=和x x f tan )(=的简图【练习】（1）已知函数1)sin()(++=φϖx A x f 满足)4()4(t f t f -=+ππ，1)cos()(-+=φϖx A x g 则=)4(πg （） A. 21- B. 21 C. -1 D.1 （2）x x cos =的根个数是______.考点二：三角不等式的求解（简单三角不等式用单位圆，涉及多个不等式用数轴求交集）例2.求解满足23sin 21≤<x 的x 集合。

【练习】(1)函数216)cos 22lg()(x x x f -+-=的定义域为____________.(2)函数)4tan()(π+=x x f 的定义域为____________.(3)函数x x f tan 3)(-=的定义域为____________. (4)函数1tan 1)(-=x x f 的定义域为____________. (5)函数x x x f tan 1lg 1tan )(-++=的定义域为____________.考点三：三角函数的周期问题(公式，图像法)例3.求下列函数的周期。

（1）y =3tan(21x -)4π (2)y=cos2x (3))431sin(π-=x y (4)x y cos = 【练习】(1)函数)122cos(3π+=x y 的最小周期为________; (2)x x y tan tan +=的最小周期为________;题型四：三角函数的奇偶性问题(判断方法：定义法、图象法、简缩思维法)例4.判断下例函数的奇偶性（1）x x f 31sin 2)(= (2))2343sin()(π+=x x f (3)x x f sin 2)(=(4)1cos cos 1)(-+-=x x x f（5）)343tan()(π+=x x f （6）xx x f cos 143tan )(+= 【练习】（1）函数11)(,1cos )(3=+=a f x x x f ，则._______)(=-a f （2）函数)0(),31sin()(πφφ≤≤-=x x f 是实数集上的偶函数，则.______=φ （3）关于函数)tan()(φ+=x x f 的以下几种说法：A.对任意)(,x f φ的都是非奇非偶函数B.)tan()(φ+=x x f 的图像关于（0,2φπ-）对称C.)tan()(φ+=x x f 的图像关于（0,φπ-）对称D.)tan()(φ+=x x f 是以π为最小正周期的周期函数（4）)32tan(3)(π+=x x f 的对称中心坐标是______________________.题型五：三角函数的单调性及运用（注意复合函数单调性规律，三角函数的单调区间记忆，计算）例5.（1）求函数)43sin(2)(π+-=x x f 的单调递减区间。

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三角函数图像与性质 1．正弦函数、余弦函数、正切函数的图像

1-1

y=sinx

-32-52-727252322-2-4-3-2432-

oyx

1-1

y=cosx

-3

-5

2-727252322-2-4-3-2432

-oyx

y=tanx3

2

3

2-



yx 2．三角函数的单调区间： xysin的递增区间是2222kk，)(Zk，递减区间是



23222kk，)(Zk

；

xycos的递增区间是kk22，)(Zk，递减区间是kk22，)(Zk

，

xytan的递增区间是22kk，)(Zk， 3．函数BxAy)sin(），（其中00A 最大值是BA，最小值是AB，周期是2T，频率是2f，相位是x，初相是；其图象的对称轴是直线)(2Zkkx，凡是该图象

与直线By的交点都是该图象的对称中心。 4．由y＝sinx的图象变换出y＝sin(ωx＋)的图象一般有两个途径，只有区别开这两个途径，才能灵活进行图象变换。利用图象的变换作图象时，提倡先平移后伸缩，但先伸缩后平移也经常出现无论哪种变形，请切记每一个变换总是对字母x而言，即图象变换要看“变量”起多大变化，而不是“角变化”多少。途径一：先平移变换再周期变换(伸缩变换)

先将y＝sinx的图象向左(＞0)或向右(＜0＝平移｜｜个单位，再将

图象上各点的横坐标变为原来的1倍(ω＞0)，便得y＝sin(ωx＋)的图象。途径二：先周期变换(伸缩变换)再平移变换。先将y＝sinx的图象上各点的横坐标变为原来的1倍(ω＞0)，再沿x轴向

左(＞0)或向右(＜0＝平移||个单位，便得y＝sin(ωx＋)的图象。 5．由y＝Asin(ωx＋)的图象求其函数式：给出图象确定解析式y=Asin（ωx+）的题型，有时从寻找“五点”中的第一零点（－，0）作为突破口，要从图象的升降情况找准．．第一个零点的位置。

6．对称轴与对称中心： sinyx的对称轴为2xk，对称中心为(,0) kkZ； cosyx的对称轴为xk，对称中心为2(,0)k；对于sin()yAx和cos()yAx来说，对称中心与零点相联系，对称轴与最值点联系。 7．求三角函数的单调区间：一般先将函数式化为基本三角函数的标准式，要特别注意A、的正负利用单调性三角函数大小一般要化为同名函数,并且在同一单调区间； 8．求三角函数的周期的常用方法：经过恒等变形化成“sin()yAx、cos()yAx”的形式，在利用周期公式，另外还有图像法和定义法。

9．五点法作y=Asin（ωx+）的简图：

五点取法是设x=ωx+，由x取0、2π、π、2π3、2π来求相应的x值及对应的y值，再描点作图。四．典例解析

题型1：三角函数的图象例1．（2000全国，5）函数y＝－xcosx的部分图象是（）解析：因为函数y＝－xcosx是奇函数，它的图象关于原点对称，所以排除A、C，当x∈（0，2）时，y＝－xcosx＜0。答案为D。

题型2：三角函数图象的变换例2．试述如何由y=31sin（2x+3π）的图象得到y=sinx的图象。解析：y=31sin（2x+3π））（纵坐标不变倍横坐标扩大为原来的3πsin312xy

xysin313π纵坐标不变

个单位图象向右平移

xysin3横坐标不变

倍纵坐标扩大到原来的

另法答案：（1）先将y=31sin（2x+3π）的图象向右平移6π个单位，得y=31sin2x的图象；（2）再将y=31sin2x上各点的横坐标扩大为原来的2倍（纵坐标不变），得

y=31sinx的图象；

（3）再将y=31sinx图象上各点的纵坐标扩大为原来的3倍（横坐标不变），即可得到y=sinx的图象。

例3．（2003上海春，15）把曲线ycosx+2y－1=0先沿x轴向右平移2个单位，再沿y轴向下平移1个单位，得到的曲线方程是（） A．（1－y）sinx+2y－3=0 B．（y－1）sinx+2y－3=0

C．（y+1）sinx+2y+1=0 D．－(y+1)sinx+2y+1=0

解析：将原方程整理为：y=xcos21，因为要将原曲线向右、向下分别移动2个单位和1个单位，因此可得y=)2cos(21x－1为所求方程.整理得（y+1）sinx+2y+1=0. 点评：本题考查了曲线平移的基本方法及三角函数中的诱导公式。如果对平

移有深刻理解，可直接化为：（y+1）cos（x－2）+2（y+1）－1=0，即得C选项。题型3：三角函数图象的应用例4．（2003上海春，18）已知函数f（x）=Asin（ωx+）（A>0，ω>0，x∈R）在一个周期内的图

象如图所示，求直线y=3与函数f（x）图象的所有交点的坐标。

解析：根据图象得A=2，T=27π－（－2）=4π，∴ω=21，∴y=2sin（2x+），

又由图象可得相位移为－2，∴－21=－2，∴=4.即y=2sin（21x+4）。

根据条件3=2sin（421x），∴421x=2kπ+3(k∈Z)或421x=2kπ+32π（k∈Z），∴x=4kπ+6（k∈Z）或x=4kπ+65π（k∈Z）。 ∴所有交点坐标为（4kπ+3,6）或（4kπ+3,65）（k∈Z）。点评：本题主要考查三角函数的基本知识，考查逻辑思维能力、分析和解决问题的能力。题型4：三角函数的定义域、值域例5．（1）已知f（x）的定义域为［0，1］，求f（cosx）的定义域；（2）求函数y=lgsin（cosx）的定义域；分析：求函数的定义域：（1）要使0≤cosx≤1，（2）要使sin（cosx）＞0，这里的cosx以它的值充当角。

解析：（1）0≤cosx＜12kπ－2π≤x≤2kπ+2π，且x≠2kπ（k∈Z）。

图 ∴所求函数的定义域为{x｜x∈［2kπ－2π，2kπ+2π］且x≠2kπ，k∈Z}。（2）由sin（cosx）＞02kπ＜cosx＜2kπ+π（k∈Z）。又∵－1≤cosx≤1，∴0＜cosx≤1。故所求定义域为{x｜x∈（2kπ－2π，2kπ+2π），k∈Z}。点评：求三角函数的定义域，要解三角不等式，常用的方法有二：一是图象，二是三角函数线。

题型5：三角函数的单调性例6．求下列函数的单调区间：（1）y=21sin（4π－32x）；（2）y=－｜sin（x+4π）｜。

分析：（1）要将原函数化为y=－21sin（32x－4π）再求之。（2）可画出y=－|sin（x+4π）|的图象。解：（1）y=21sin（4π－32x）=－21sin（32x－4π）。故由2kπ－2π≤32x－4π≤2kπ+2π。3kπ－8π3≤x≤3kπ+8π9（k∈Z），为单调减区间；由2kπ+2π≤32x－4π≤2kπ+2π3。3kπ+8π9≤x≤3kπ+8π21（k∈Z），为单调增区间。∴递减区间为［3kπ－8π3，3kπ+8π9］，递增区间为［3kπ+8π9，3kπ+8π21］（k∈Z）。（2）y=－|sin（x+4π）|的图象的增区间为［kπ+4π，kπ+4π3］，减区间为［kπ－4π，kπ+4π］。

-54-34745434



题型6：三角函数的奇偶性例7．（2001上海春）关于x的函数f（x）=sin（x+）有以下命题： ①对任意的，f（x）都是非奇非偶函数； ②不存在，使f（x）既是奇函数，又是偶函数； ③存在，使f（x）是奇函数； ④对任意的，f（x）都不是偶函数。其中一个假命题的序号是_____.因为当=_____时，该命题的结论不成立。答案：①，kπ（k∈Z）；或者①，2+kπ（k∈Z）；或者④，2+kπ（k∈Z）解析：当=2kπ，k∈Z时，f（x）=sinx是奇函数。当=2（k+1）π，k∈Z时f（x）=－sinx仍是奇函数。当=2kπ+2，k∈Z时，f（x）=cosx，或当=2kπ－2，k∈Z时，f（x）=－cosx，f（x）都是偶函数.所以②和③都是正确的。无论为何值都不能使f（x）恒等于零。所以f（x）不能既是奇函数又是偶函数。①和④都是假命题。点评：本题考查三角函数的奇偶性、诱导公式以及分析问题的能力，注意k∈Z不能不写，否则不给分，本题的答案不惟一，两个空全答对才能得分。

题型7：三角函数的周期性

例8．设)0(cossin)(xbxaxf的周期T，最大值4)12(f，（1）求、a、b的值；（2）的值终边不共线，求、、的两根，为方程、、若)tan(0)(xf。

解析：(1) )sin()(22xbaxf， T， 2，又 )(xf的最大值。4)12(f， 224ba ① ，且

122cosb122sina4②，由 ①、②解出 a=2 , b=3.

(2) )32sin(42cos322sin2)(xxxxf， 0)()(ff， )32sin(4)32sin(4， 32232k，或 )32(232k，即 k (、共线，故舍去) ，或

6k，33)6tan()tan(k )(Zk。

点评：方程组的思想是解题时常用的基本思想方法；在解题时不要忘记三角函数的周期性。

题型8：三角函数的最值

例9．（2000京、皖春理，10）函数y＝xxcossin21的最大值是（）