【人教版】红对勾2020届高考一轮数学(理)复习：课时作业17
【人教版】红对勾2020届高考一轮数学(理)复习：课时作业11
课时作业2命题及其关系、充分条件与必要条件1．命题“若a＞b，则a＋c＞b＋c”的否命题是(A)A．若a≤b，则a＋c≤b＋c B．若a＋c≤b＋c，则a≤bC．若a＋c＞b＋c，则a＞b D．若a＞b，则a＋c≤b＋c解析：将条件、结论都否定．命题的否命题是“若a≤b，则a＋c≤b＋c”．2．(2019·江西九江十校联考)已知函数f(x)＝Error!则“x＝0”是“f(x)＝1”的(B)A．充要条件B．充分不必要条件C．必要不充分条件D．既不充分也不必要条件解析：若x＝0，则f(0)＝e0＝1；若f(x)＝1，则e x＝1 或ln(－x)＝1，解得x＝0 或x＝－e.故“x＝0”是“f(x)＝1”的充分不必要条件．3．在命题“若抛物线y＝ax2＋bx＋c的开口向下，则{x|ax2＋bx＋c＜0}≠∅”的逆命题、否命题、逆否命题中结论成立的是(D) A．都真B．都假C．否命题真D．逆否命题真解析：对于原命题：“若抛物线y＝ax2＋bx＋c的开口向下，则{x|ax2＋bx＋c＜0}≠∅”，这是一个真命题，所以其逆否命题也为真命题；但其逆命题：“若{x|ax2＋bx＋c＜0}≠∅，则抛物线y＝ax2＋bx＋c的开口向下”是一个假命题，因为当不等式ax2＋bx＋c＜0 的解集非空时，可以有a＞0，即抛物线的开口可以向上，因此否命题也是假命题，故选D.4．(2019·河南郑州一模)下列说法正确的是(D)A．“若a＞1，则a2＞1”的否命题是“若a＞1，则a2≤1”B．“若am2＜bm2，则a＜b”的逆命题为真命题C．存在x0∈(0，＋∞)，使3x0＞4x0 成立1 πD．“若sinα≠，则α≠”是真命题2 6解析：对于选项A，“若a＞1，则a2＞1”的否命题是“若a≤1，则a2≤1”，故选项A 错误；对于选项B，“若am2＜bm2，则a＜b”的逆命题为“若a＜b，则am2＜bm2”，因为当m＝0 时，am2＝bm2，所以逆命题为假命题，故选项B 错误；对于选项C，由指数函数的图象知，对任意的x∈(0，＋∞)，都有4x＞3x，故选项C 错误；1 ππ对于选项D，“若sinα≠，则α≠”的逆否命题为“若α＝，则sinα2 6 61＝”，该逆否命题为真命题，所以原命题为真命题，故选D.25．(2019·江西鹰谭中学月考)设f(x)＝x2－4x(x∈R)，则f(x)＞0 的一个必要不充分条件是(C)A．x＜0 B．x＜0 或x＞4C．|x－1|＞1 D．|x－2|＞3解析：依题意，f(x)＞0⇔x2－4x＞0⇔x＜0 或x＞4.又|x－1|＞1⇔x－1＜－1 或x－1＞1，即x＜0 或x＞2，而{x|x＜0 或x＞x|x＜0 或x＞2}，因此选C.6．(2019·山东日照联考)“m＜0”是“函数f(x)＝m＋log2x(x≥1)存在零点”的(A)A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件解析：当m＜0 时，由图象的平移变换可知，函数f(x)必有零点；当函数f(x)有零点时，m≤0，所以“m＜0”是“函数f(x)＝m＋log2x(x≥1)存在零点”的充分不必要条件，故选A.7．(2019·安徽两校阶段性测试)设a∈R，则“a＝4”是“直线l1：ax＋8y－8＝0 与直线l2：2x＋ay－a＝0 平行”的(D)A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件a8 －8解析：∵当a≠0 时，＝＝⇒直线l1 与直线l2 重合，∴无论a2 a－a取何值，直线l1 与直线l2 均不可能平行，当a＝4 时，l1 与l2 重合．故选D.8．(2019·山西太原模拟)已知a，b都是实数，那么“2a＞2b”是“a2＞b2”的(D)A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件解析：充分性：若2a＞2b，则2a－b＞1，∴a－b＞0，∴a＞b.当a＝－1，b＝－2 时，满足2a＞2b，但a2＜b2，故由2a＞2b不能得出a2＞b2，因此充分性不成立．必要性：若a2＞b2，则|a|＞|b|.当a＝－2，b＝1 时，满足a2＞b2，但2－2＜21，即2a＜2b，故必要性不成立．综上，“2a＞2b”是“a2＞b2”的既不充分也不必要条件，故选D.ππ 19．(2017·天津卷)设θ∈R，则“|θ－12|＜”是“sinθ＜”的12 2(A)A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件ππππππ 1 解析：∵|θ－12|＜⇔－＜θ－＜⇔0＜θ＜，sinθ＜⇔θ∈12 12 12 12 6 27ππ(2kπ－6)，k∈Z，，2kπ＋6π7ππ(0，6)(2kπ－6)，k∈Z，，2kπ＋6ππ 1∴“|θ－12|＜”是“sinθ＜”的充分而不必要条件．12 2Earlybird10．(2019·江西红色七校模拟)在△ABC中，角A，B均为锐角，则“cos A＞sin B”是“△ABC为钝角三角形”的(C)A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件π解析：因为cos A＞sin B，所以cos A＞cos(－B)，2π因为角A，B均为锐角，所以－B为锐角，2又因为余弦函数y＝cos x在(0，π)上单调递减，ππ所以A＜－B，所以A＋B＜，2 2π在△ABC中，A＋B＋C＝π，所以C＞，2所以△ABC为钝角三角形；若△ABC为钝角三角形，角A，B均为锐角，πππ则C＞，所以A＋B＜，所以A＜－B，2 2 2π所以cos A＞cos(－B)，即cos A＞sin B.2故“cos A＞sin B”是“△ABC为钝角三角形”的充要条件．11．设向量a＝(sin2θ，cosθ)，b＝(cosθ，1)，则“a∥b”是“tanθ1＝成立”的必要不充分__条件．(选填“充分不必要”“必要不充2分”“充要”“既不充分也不必要”)解析：a∥b⇔sin2θ＝cos2θ⇔cosθ＝0 或2sinθ＝cosθ⇔cosθ＝0 或1 1tanθ＝，所以“a∥b”是“tanθ＝成立”的必要不充分条件．2 212．已知条件p：2x2－3x＋1≤0，条件q：x2－(2a＋1)x＋a(a＋1)≤0.若綈p是綈q的必要不充分条件，则实数a的取值范围是1 [02].解析：方法一命题p为Error!，命题q为{x|a≤x≤a＋1}．綈p对应的集合A＝Error!.綈q对应的集合B＝{x|x＞a＋1 或x＜a}．∵綈p是綈q的必要不充分条件，1∴Error!或Error!∴0≤a≤.2方法二命题p：A＝Error!，命题q：B＝{x|a≤x≤a＋1}．∵綈p是綈q的必要不充分条件，∴p是q的充分不必要条件，即A B，1∴Error!或Error!∴0≤a≤.213．已知p：函数f(x)＝|x＋a|在(－∞，－1)上是单调函数，q：函数g(x)＝log a(x＋1)(a＞0，且a≠1)在(－1，＋∞)上是增函数，则綈p 是q的(C)A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件解析：易知p成立⇔a≤1，q成立⇔a＞1，所以綈p成立⇔a＞1，则綈p是q的充要条件，故选C.14．(2019·昆明诊断)下列选项中，说法正确的是(D)A．若a＞b＞0，则ln a＜ln bB．向量a＝(1，m)，b＝(m,2m－1)(m∈R)垂直的充要条件是m＝1C．命题“∀n∈N*,3n＞(n＋2)·2n－1”的否定是“∀n∈N*,3n≥(n＋2)·2n－1”D．已知函数f(x)在区间[a，b]上的图象是连续不断的，则命题“若f(a)·f(b)＜0，则f(x)在区间(a，b)内至少有一个零点”的逆命题为假命题解析：∵函数y＝ln x(x＞0)是增函数，∴若a＞b＞0，则ln a＞ln b，故A 错误；若a⊥b，则m＋m(2m－1)＝0，解得m＝0，故B 错误；命题“∀n∈N*,3n＞(n＋2)·2n－1”的否定是“∃n∈N*,3n≤(n＋2)·2n－1”，故C 错误；命题“若f(a)·f(b)＜0，则f(x)在区间(a，b)内至少有一个零点”的逆命题“若f(x)在区间(a，b)内至少有一个零点，则f(a)·f(b)＜0”是假命题，如函数f(x)＝x2－2x－3 在区间[－2,4]上的图象连续不断，且在区间(－2,4)内有两个零点，但f(－2)·f(4)＞0，D 正确．15．已知集合A＝Error!，B＝{x|－1＜x＜m＋1，x∈R}，若x∈B成立的一个充分不必要条件是x∈A，则实数m的取值范围是(2，＋∞)__．解析：A＝Error!＝{x|－1＜x＜3}，∵x∈B成立的一个充分不必要条件是x∈A，∴A B，∴m＋1＞3，即m＞2.x－116．(2019·石家庄模拟)已知p：|1－ 3|≤2，q：x2－2x＋1－m2≤0(m＞0)，且綈p是綈q的必要不充分条件，则实数m的取值范围是[9，＋∞)__．x－1解析：法一：由|1－ 3|≤2，得－2≤x≤10，∴綈p对应的集合为{x|x＞10 或x＜－2}，设A＝{x|x＞10 或x＜－2}．由x2－2x＋1－m2≤0(m＞0)，得1－m≤x≤1＋m(m＞0)，∴綈q对应的集合为{x|x＞1＋m或x＜1－m，m＞0}，设B＝{x|x＞1＋m或x＜1－m，m＞0}．∵綈p是綈q的必要不充分条件，∴B A，∴Error!或Error!解得m≥9，∴实数m的取值范围为[9，＋∞)．法二：∵綈p是綈q的必要不充分条件，∴q是p的必要不充分条件．即p是q的充分不必要条件，由x2－2x＋1－m2≤0(m＞0)，得1－m≤x≤1＋m(m＞0)．∴q对应的集合为{x|1－m≤x≤1＋m，m＞0}，设M＝{x|1－m≤x≤1＋m，m＞0}，x－1又由|1－ 3 |≤2，得－2≤x≤10，∴p对应的集合为{x|－2≤x≤10}，设N＝{x|－2≤x≤10}．由p是q的充分不必要条件知，N M，∴Error!或Error!解得m≥9.∴实数m的取值范围为[9，＋∞)．。
【人教版】2020届高考一轮数学(理)复习：课时作业 (24)
课时作业24 正弦定理和余弦定理1．(2016·天津卷)在△ABC 中，若AB ＝13，BC ＝3，∠C ＝120°，则AC ＝( A ) A ．1 B ．2 C ．3 D ．4 解析：在△ABC 中，设A 、B 、C 所对的边分别为a ，b ，c ，则由c 2＝a 2＋b 2－2ab cos C ，得13＝9＋b 2－2×3b ×⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，即b 2＋3b －4＝0，解得b ＝1(负值舍去)，即AC ＝1，故选A ． 2．在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别是a ，b ，C ．已知8b ＝5c ，C ＝2B ，则cos C 等于( A ) A ．725 B ．－725 C ．±725 D ．2425 解析：∵8b ＝5c ，∴由正弦定理，得8sin B ＝5sin C ． 又∵C ＝2B ，∴8sin B ＝5sin2B ，∴8sin B ＝10sin B cos B ． ∵sin B ≠0，∴cos B ＝45， ∴cos C ＝cos2B ＝2cos 2B －1＝725. 3．在△ABC 中，内角A ，B ，C 所对的边分别是a ，b ，C ．若c 2＝(a －b )2＋6，C ＝π3，则△ABC 的面积是( C ) A ．3 B ．932 C ．332 D ．3 3 解析：c 2＝(a －b )2＋6，即c 2＝a 2＋b 2－2ab ＋6.①∵C ＝π3，∴由余弦定理得c 2＝a 2＋b 2－ab ，② 由①和②得ab ＝6， ∴S △ABC ＝12ab sin C ＝12×6×32＝332，故选C ． 4．(2019·湖南衡阳调研)在△ABC 中，a 、b 、c 分别为内角A 、B 、C 所对的边，若2sin C ＝sin A ＋sin B ，cos C ＝35且S △ABC ＝4，则c ＝( A ) A ．463 B ．4 C ．263 D ．5 解析：因为2sin C ＝sin A ＋sin B ， 所以由正弦定理可得2c ＝a ＋b ，① 由cos C ＝35可得c 2＝a 2＋b 2－2ab cos C ＝(a ＋b )2－165ab ，② 又由cos C ＝35，得sin C ＝45， 所以S △ABC ＝12ab sin C ＝2ab 5＝4， ∴ab ＝10.③ 由①②③解得c ＝463，故选A ． 5．在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，若sin A sin B ＝a c ，(b ＋c ＋a )(b ＋c －a )＝3bc ，则△ABC 的形状为( C ) A ．直角三角形 B ．等腰非等边三角形 C ．等边三角形 D ．钝角三角形 解析：∵sin A sin B ＝a c ，∴a b ＝a c ，∴b ＝C ． 又(b ＋c ＋a )(b ＋c －a )＝3bc ，∴b 2＋c 2－a 2＝bc ， ∴cos A ＝b 2＋c 2－a 22bc ＝bc 2bc ＝12.∵A ∈(0，π)，∴A ＝π3，∴△ABC 是等边三角形． 6．(2019·合肥质检)已知△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，若cos C ＝223，b cos A ＋a cos B ＝2，则△ABC 的外接圆面积为( C ) A ．4π B ．8π C ．9π D ．36π 解析：由余弦定理得b ·b 2＋c 2－a 22bc ＋a ·a 2＋c 2－b 22ac ＝2.即b 2＋c 2－a 2＋a 2＋c 2－b 22c ＝2，整理得c ＝2，由cos C ＝223得sin C ＝13，再由正弦定理可得2R ＝c sin C ＝6，所以△ABC 的外接圆面积为πR 2＝9π. 7．(2018·浙江卷)在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，C ．若a ＝7，b ＝2，A ＝60°，则sin B ＝217，c ＝3_. 解析：由a sin A ＝b sin B 得sin B ＝b a sin A ＝217，由a 2＝b 2＋c 2－2bc cos A ，得c 2－2c －3＝0，解得c ＝3(舍负)． 8．(2019·烟台模拟)在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，若角A ，B ，C 依次成等差数列，且a ＝1，b ＝3，则S △ABC 2. 解析：因为角A ，B ，C 依次成等差数列，所以B ＝60°. 由正弦定理，得1sin A ＝3sin60°，解得sin A ＝12， 因为0°＜A ＜120°，所以A ＝30°， 此时C ＝90°，所以S △ABC ＝12ab ＝32. 9．(2018·江苏卷)在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，∠ABC ＝120°，∠ABC 的平分线交AC 于点D ，且BD ＝1，则4a ＋c 的最小值为9__.解析：依题意画出图形，如图所示．易知S △ABD ＋S △BCD ＝S △ABC ， 即12c sin60°＋12a sin60°＝12ac sin120°， ∴a ＋c ＝ac ，∴1a ＋1c ＝1， ∴4a ＋c ＝(4a ＋c )⎝ ⎛⎭⎪⎫1a ＋1c ＝5＋c a ＋4a c ≥9，当且仅当c a ＝4a c ，即a ＝32，c ＝3时取“＝”． 10．(2019·梅州质检)在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，若a 2－b 2＝3bc ，且sin C ＝23sin B ，则角A 的大小为π6. 解析：由sin C ＝23sin B 得，c ＝23b ， ∴a 2－b 2＝3bc ＝3b ·23b ＝6b 2，∴a 2＝7b 2. 则cos A ＝b 2＋c 2－a 22bc ＝b 2＋12b 2－7b 243b 2＝32， 又∵0<A <π，∴A ＝π6. 11．(2019·贵阳质检)在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且a 2－(b －c )2＝(2－3)bc ，sin A sin B ＝cos 2C 2，BC 边上的中线AM 的长为7. (1)求角A 和角B 的大小； (2)求△ABC 的面积． 解：(1)由a 2－(b －c )2＝(2－3)bc ， 得a 2－b 2－c 2＝－3bc ，∴cos A ＝b 2＋c 2－a 22bc ＝32，又0＜A ＜π，∴A ＝π6. 由sin A sin B ＝cos 2C 2， 得12sin B ＝1＋cos C 2，即sin B ＝1＋cos C ， 则cos C ＜0，即C 为钝角，∴B 为锐角，且B ＋C ＝5π6， 则sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫5π6－C ＝1＋cos C ，化简得cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫C ＋π3＝－1， 解得C ＝2π3，∴B ＝π6. (2)由(1)知，a ＝b ，在△ACM 中， 由余弦定理得AM 2＝b 2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫a 22－2b ·a 2·cos C ＝b 2＋b 24＋b 22＝(7)2， 解得b ＝2，故S △ABC ＝12ab sin C ＝12×2×2×32＝ 3. 12．设△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，a ＝b tan A ，且B 为钝角． (1)证明：B －A ＝π2； (2)求sin A ＋sin C 的取值范围． 解：(1)证明：由a ＝b tan A 及正弦定理，得sin A cos A ＝a b ＝sin A sin B ，所以sin B ＝cos A ，即sin B ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＋A . 又B 为钝角，因此π2＋A ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，π， 故B ＝π2＋A ，即B －A ＝π2. (2)由(1)知，C ＝π－(A ＋B )＝π－⎝ ⎛⎭⎪⎫2A ＋π2＝π2－2A ＞0，所以A ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π4.于是sin A ＋sin C ＝sin A ＋sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－2A ＝sin A ＋cos2A ＝－2sin 2A ＋sin A ＋1 ＝－2⎝ ⎛⎭⎪⎫sin A －142＋98. 因为0＜A ＜π4，所以0＜sin A ＜22， 因此22＜－2⎝ ⎛⎭⎪⎫sin A －142＋98≤98. 由此可知sin A ＋sin C 的取值范围是⎝ ⎛⎦⎥⎤22，98.13．在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，且满足b 2＋c 2－a 2＝bc ，AB →·BC →＞0，a ＝32，则b ＋c 的取值范围是( B ) A ．⎝ ⎛⎭⎪⎫1，32 B ．⎝ ⎛⎭⎪⎫32，32 C ．⎝ ⎛⎭⎪⎫12，32 D ．⎝ ⎛⎦⎥⎤12，32 解析：由b 2＋c 2－a 2＝bc 得，cos A ＝b 2＋c 2－a 22bc ＝12， ∵0<A <π，则A ＝π3，由AB →·BC →＞0知，B 为钝角， 又a sin A ＝1，则b ＝sin B ，c ＝sin C ，b ＋c ＝sin B ＋sin C ＝sin B ＋sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2π3－B ＝32sin B ＋32cos B ＝3sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫B ＋π6， ∵π2＜B ＜2π3，∴2π3＜B ＋π6＜5π6， ∴12＜sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫B ＋π6＜32，b ＋c ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫32，32. 14．(2019·山东济宁模拟)在△ABC 中，内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，且a cos B －b cos A ＝23c ，则tan(A －B )的最大值为( A )A ．255B ．55C ．33D ． 3 解析：由a cos B －b cos A ＝23c 及正弦定理可得， sin A ·cos B －sin B cos A ＝23sin C ＝23sin(A ＋B )＝ 23sin A cos B ＋23cos A sin B ， 即13sin A cos B ＝53sin B cos A ，得tan A ＝5tan B ， 从而可得tan A ＞0，tan B ＞0， ∴tan(A －B )＝tan A －tan B 1＋tan A tan B ＝4tan B 1＋5tan 2B ＝41tan B ＋5tan B ≤425＝255，当且仅当1tan B ＝5tan B ，即tan B ＝55时取得等号， ∴tan(A －B )的最大值为255，故选A ． 15．(2019·广东七校联考)已知△ABC 的三个内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，若a ＝2，A ＝π3，且32－sin(B －C )＝sin2B ，则△ABC 3. 解析：法1 ∵A ＝π3，且32－sin(B －C )＝sin2B ， ∴32＝sin2B ＋sin(B －C )， 即sin A ＝sin2B ＋sin(B －C )，又sin A ＝sin(B ＋C )， ∴sin B cos C ＋cos B sin C ＝2sin B cos B ＋sin B cos C －cos B sin C ，即cos B sin C ＝sin B cos B ． 当cos B ＝0时，可得B ＝π2，C ＝π6，∴S △ABC ＝12ac ＝12×2×2×tan π6＝233； 当cos B ≠0时，sin B ＝sin C ， 由正弦定理可知b ＝c ，∴△ABC 为等腰三角形， 又∵A ＝π3，∴a ＝b ＝c ＝2，∴S △ABC ＝34a 2＝ 3. 综上可知△ABC 的面积为3或233. 法2 由已知及A ＋B ＋C ＝π可得32－sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2B －23π ＝sin2B ，即sin2B ＋sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2B －23π＝32， ∴sin2B －32cos2B －12sin2B ＝32， 即sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2B －π3＝32. ∵A ＝π3，∴0＜B ＜23π，∴－π3＜2B －π3＜π， ∴2B －π3＝π3或2π3，∴B ＝π3或π2. 当B ＝π2时，C ＝π6， ∴S △ABC ＝12×2×2×tan π6＝233； 当B ＝π3时，△ABC 是边长为2的等边三角形， ∴S △ABC ＝34a 2＝34×4＝ 3. 综上可知，△ABC 的面积为3或233. 16．(2019·河南信阳模拟)已知a ，b ，c 分别是△ABC 内角A ，B ，C 的对边，且满足(a ＋b ＋c )(sin B ＋sin C －sin A )＝b sin C ． (1)求角A 的大小； (2)设a ＝3，S 为△ABC 的面积，求S ＋3cos B cos C 的最大值．解：(1)∵(a ＋b ＋c )(sin B ＋sin C －sin A )＝b sin C ， ∴根据正弦定理，知(a ＋b ＋c )(b ＋c －a )＝bc ， 即b 2＋c 2－a 2＝－bC ． ∴由余弦定理，得cos A ＝b 2＋c 2－a 22bc ＝－12. 又A ∈(0，π)，所以A ＝23π. (2)根据a ＝3，A ＝23π及正弦定理可得 b sin B ＝c sin C ＝a sin A ＝332＝2， ∴b ＝2sin B ，c ＝2sin C ． ∴S ＝12bc sin A ＝12×2sin B ×2sin C ×32＝3sin B sin C ． ∴S ＋3cos B cos C ＝3sin B sin C ＋3cos B ·cos C ＝3cos(B －C )． 故当⎩⎨⎧ B ＝C ，B ＋C ＝π3，即B ＝C ＝π6时， S ＋3cos B ·cos C 取得最大值 3.。
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课时作业10 函数的图象1．函数f (x )＝x2ln|x |的图象大致是( D )解析：由f (－x )＝－f (x )可得f (x )是奇函数，图象关于原点对称，排除A ，C ，而x ∈(0,1)时，ln|x |＜0，f (x )＜0，排除B ，故选D.2．现有四个函数：①y ＝x sin x ；②y ＝x cos x ；③y ＝x |cos x |；④y ＝x ·2x .它们的图象(部分)如下，但顺序已被打乱，则按照从左到右将图象对应的函数序号排列正确的一组是( D )A ．④①②③B ．①④③②C ．③④②①D ．①④②③解析：函数y ＝x sin x 是偶函数，由图象知，函数①对应第一个图象；函数y ＝x cos x 是奇函数，且当x ＝π时，y ＝－π＜0，故函数②对应第三个图象；函数y ＝x |cos x |为奇函数，且当x ＞0时，y ≥0，故函数③与第四个图象对应；函数y ＝x ·2x 为非奇非偶函数，与第二个图象对应．综上可知，选D.3．(2019·河南信阳模拟)已知函数f (x )(x ∈R )满足f (－x )＝8－f (4＋x )，函数g (x )＝4x ＋3x －2，若函数f (x )与g (x )的图象共有168个交点，记作P i (x i ，y i )(i ＝1,2，…，168)，则(x 1＋y 1)＋(x 2＋y 2)＋…＋(x 168＋y 168)的值为( D )A ．2 018B ．2 017C ．2 016D ．1 008解析：函数f (x )(x ∈R )满足f (－x )＝8－f (4＋x )，可得f (－x )＋f (4＋x )＝8，即函数f (x )的图象关于点(2,4)对称，由函数g (x )＝4x ＋3x －2＝4(x －2)＋11x －2＝4＋11x －2，可知其图象关于点(2,4)对称，∵函数f (x )与g (x )的图象共有168个交点，∴两图象在点(2,4)两边各有84个交点，且两边的点分别关于点(2,4)对称，故得(x 1＋y 1)＋(x 2＋y 2)＋…＋(x 168＋y 168)＝(4＋8)×84＝1 008.故选D.4．已知函数f (x )的图象如图所示，则f (x )的解析式可能是( A )A ．f (x )＝12x －1－x 3B ．f (x )＝12x －1＋x 3C ．f (x )＝12x ＋1－x 3D ．f (x )＝12x ＋1＋x 3解析：由图可知，函数图象的渐近线为x ＝12，排除C ，D ，又函数f (x )在⎝ ⎛⎭⎪⎫－∞，12，⎝ ⎛⎭⎪⎫12，＋∞上单调递减．而函数y ＝12x －1在⎝ ⎛⎭⎪⎫－∞，12，⎝ ⎛⎭⎪⎫12，＋∞上单调递减，y ＝－x 3在R 上单调递减，则f (x )＝12x －1－x 3在⎝ ⎛⎭⎪⎫－∞，12，⎝ ⎛⎭⎪⎫12，＋∞上单调递减，故选A. 5．如图所示，动点P 在正方体ABCD A 1B 1C 1D 1的体对角线BD 1上．过点P 作垂直于平面BB 1D 1D 的直线，与正方体的表面相交于M ，N 两点．设BP ＝x ，MN ＝y ，则函数y ＝f (x )的图象大致是( B )解析：设正方体的棱长为1，显然，当P 移动到体对角线BD 1的中点E 时，函数y ＝MN ＝AC ＝2取得唯一的最大值，所以排除A 、C ；当P 在BE 上时，分别过M ，N ，P 作底面的垂线，垂足分别为M 1，N 1，P 1，则y ＝MN ＝M 1N 1＝2BP 1＝2x cos ∠D 1BD ＝263x ，是一次函数，所以排除D ，故选B.6．(2019·泰安模拟)已知f (x )＝14x 2＋sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＋x ，f ′(x )为f (x )的导函数，则y ＝f ′(x )的图象大致是( A )解析：因为f (x )＝14x 2＋cos x ，所以f ′(x )＝12x －sin x ，f ′(x )为奇函数，排除B ，D ；当x ＝π6时，f ′(x )＝π12－12＜0，排除C ，∴A 满足．7．(2019·昆明检测)已知定义在R 上的函数f (x )是奇函数，且f (x )在(－∞，0)上是减函数，f (2)＝0，g (x )＝f (x ＋2)，则不等式xg (x )≤0的解集是( C )A ．(－∞，－2]∪[2，＋∞)B ．[－4，－2]∪[0，＋∞)C ．(－∞，－4]∪[－2，＋∞)D ．(－∞，－4]∪[0，＋∞)解析：依题意，画出函数的大致图象如图所示．实线部分为g (x )的草图，则xg (x )≤0⇔⎩⎪⎨⎪⎧ x ≥0，g (x )≤0或⎩⎪⎨⎪⎧x ≤0，g (x )≥0，由图可得xg (x )≤0的解集为(－∞，－4]∪[－2，＋∞)． 8．已知函数f (x )＝2ln x ，g (x )＝x 2－4x ＋5，则方程f (x )＝g (x )的根的个数为( C )A ．0B ．1C ．2D ．3解析：在平面直角坐标系内作出f (x )，g (x )的图象如图所示，由已知g (x )＝(x －2)2＋1，得其顶点为(2,1)，又f (2)＝2ln2∈(1,2)，可知点(2,1)位于函数f (x )＝2ln x 图象的下方，故函数f (x )＝2ln x 的图象与函数g (x )＝x 2－4x ＋5的图象有2个交点．9．(2019·江苏扬州模拟)不等式2－x ≤log 2(x ＋1)的解集是{x |x ≥1}__．解析：画出y ＝2－x ，y ＝log 2(x ＋1)的图象如图所示，由图可知，解集为{x |x ≥1}．10．给定min{a ，b }＝⎩⎪⎨⎪⎧a ，a ≤b ，b ，b ＜a ，已知函数f (x )＝min{x ，x 2－4x＋4}＋4，若动直线y ＝m 与函数y ＝f (x )的图象有3个交点，则实数m 的取值范围为(4,5)__．解析：作出函数f (x )的图象，函数f (x )＝min{x ，x 2－4x ＋4}＋4的图象如图所示，由于直线y ＝m 与函数y ＝f (x )的图象有3个交点，数形结合可得m 的取值范围为(4,5)．11．已知函数f (x )＝2x ，x ∈R .(1)当m 取何值时，方程|f (x )－2|＝m 有一个解？两个解？(2)若不等式[f (x )]2＋f (x )－m ＞0在R 上恒成立，求m 的取值范围． 解：(1)令f (x )＝|f (x )－2|＝|2x －2|，G (x )＝m ，画出f (x )的图象如图所示.由图象看出，当m ＝0或m ≥2时，函数f (x )与G (x )的图象只有一个交点，即原方程有一个解；当0＜m ＜2时，函数f (x )与G (x )的图象有两个交点，即原方程有两个解．(2)令f (x )＝t (t ＞0)，H (t )＝t 2＋t ，因为H (t )＝⎝ ⎛⎭⎪⎫t ＋122－14在区间(0，＋∞)上是增函数，所以H (t )＞H (0)＝0.因此要使t 2＋t ＞m 在区间(0，＋∞)上恒成立，应有m ≤0， 即所求m 的取值范围为(－∞，0]．12．已知函数f (x )的图象与函数h (x )＝x ＋1x ＋2的图象关于点A (0,1)对称．(1)求函数f (x )的解析式；(2)若g (x )＝f (x )＋ax ，g (x )在区间(0,2]上的值不小于6，求实数a 的取值范围．解：(1)设f (x )图象上任一点坐标为(x ，y )，∵点(x ，y )关于点A (0,1)的对称点(－x,2－y )在h (x )的图象上， ∴2－y ＝－x ＋1－x＋2，∴y ＝x ＋1x ，即f (x )＝x ＋1x . (2)由题意g (x )＝x ＋a ＋1x ， 且g (x )＝x ＋a ＋1x ≥6，x ∈(0,2]．∵x ∈(0,2]，∴a ＋1≥x (6－x )，即a ≥－x 2＋6x －1. 令q (x )＝－x 2＋6x －1，x ∈(0,2]， q (x )＝－x 2＋6x －1＝－(x －3)2＋8，∴当x ∈(0,2]时，q (x )是增函数，q (x )max ＝q (2)＝7. 故实数a 的取值范围是[7，＋∞)．13．(2019·安徽江南十校联考)若函数f (x )的图象如图所示，则f (x )的解析式可能是( B )A ．f (x )＝e x －1x 2－1B ．f (x )＝e xx 2－1C ．f (x )＝x 3＋x ＋1x 2－1D ．f (x )＝x 4＋x ＋1x 2－1解析：由题中图象可知，函数的定义域为{x |x ≠a 且x ≠b }，f (x )在(－∞，a )上为增函数，在(a,0]上先增后减，在[0，b )上为减函数，在(b ，＋∞)上先减后增．A 项中f (x )的定义域为{x |x ≠－1且x ≠1}， 此时a ＝－1，b ＝1.f ′(x )＝e x (x 2－1)－2x (e x －1)(x 2－1)2，则f ′(－2)＝79e 2－49＜0，与f (x )在(－∞，－1)上递增不符． B 项中f (x )的定义域 为{x |x ≠±1}，f ′(x )＝e x (x 2－2x －1)(x 2－1)2＝e x [(x －1)2－2](x 2－1)2，若f ′(x )＞0，则x ＜－1或－1＜x ＜1－2或x ＞1＋2，此时f (x )在各对应区间上为增函数，符合题意．同理可检验C 、D 不符，故选B.14．(2019·福建厦门双十中学模拟)已知函数f (x )＝x 2＋e x－12(x ＜0)与g (x )＝x 2＋ln(x ＋a )的图象上存在关于y 轴对称的点，则实数a 的取值范围是( B )A.⎝⎛⎭⎪⎫－∞，1e B ．(－∞，e) C.⎝ ⎛⎭⎪⎫1e ，＋∞ D ．(e ，＋∞)解析：原命题等价于在x ＜0时，f (x )与g (－x )的图象有交点，即方程e x－12－ln(－x ＋a )＝0在(－∞，0)上有解，令m (x )＝e x－12－ln(－x ＋a )，显然m (x )在(－∞，0)上为增函数．当a ＞0时，只需m (0)＝e 0－12－ln a ＞0，解得0＜a ＜e ；当a ≤0时，x 趋于－∞，m (x )＜0，x 趋于a ，m (x )＞0，即m (x )＝0在(－∞，a )上有解．综上，实数a 的取值范围是(－∞，e)．15．已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧sinπx ，0≤x ≤1，log 2 017x ，x ＞1，若a ，b ，c 互不相等，且f (a )＝f (b )＝f (c )，则a ＋b ＋c 的取值范围是( D )A ．(1,2 017)B ．(1,2 018)C ．[2,2 018]D ．(2,2 018)解析：设f (a )＝f (b )＝f (c )＝m ，作出函数f (x )的图象与直线y ＝m ，如图所示，不妨设a ＜b ＜c ，当0≤x ≤1时，函数f (x )的图象与直线y ＝m 的交点分别为A ，B ，由正弦曲线的对称性，可得A (a ，m )与B (b ，m )关于直线x ＝12对称，因此a ＋b ＝1，令log 2 017x ＝1，解得x ＝2 017，结合图象可得1＜c ＜2 017， 因此可得2＜a ＋b ＋c ＜2 018， 即a ＋b ＋c ∈(2,2 018)．故选D.16．函数y ＝ln|x －1|的图象与函数y ＝－2cosπx (－2≤x ≤4)的图象所有交点的横坐标之和为6__.解析：作出函数y ＝ln|x －1|的图象，又y ＝－2cosπx 的最小正周期为T ＝2，如图所示，两图象都关于直线x ＝1对称，且共有6个交点，由中点坐标公式可得所有交点的横坐标之和为6.。
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课时作业1集合及其运算1．(2019·莱州一中模拟)已知集合A＝{x∈N|x2＋2x－3≤0}，B＝{C|C⊆A}，则集合B中元素的个数为(C)A．2 B．3C．4 D．5解析：A＝{x∈N|(x＋3)(x－1)≤0}＝{x∈N|－3≤x≤1}＝{0,1}，共有22＝4个子集，因此集合B中元素的个数为4，选C.2．(2018·浙江卷)已知全集U＝{1,2,3,4,5}，A＝{1,3}，则∁U A＝(C)A．∅B．{1,3}C．{2,4,5} D．{1,2,3,4,5}解析：∵U＝{1,2,3,4,5}，A＝{1,3}，∴∁U A＝{2,4,5}．3．(2019·湖北四地七校联考)若集合M＝{x||x|≤1}，N＝{y|y＝x2，|x|≤1}，则(D)A．M＝N B．M⊆NC．M∩N＝∅D．N⊆M解析：因为M＝{x||x|≤1}，所以M＝{x|－1≤x≤1}，因为N＝{y|y ＝x2，|x|≤1}，所以N＝{y|0≤y≤1}，所以N⊆M，故选D.4．(2019·湖南长沙长郡中学月考)已知集合A＝{0}，B＝{－1,0,1}，若A⊆C⊆B，则符合条件的集合C的个数为(C)A．1 B．2C．4 D．8解析：由题意得，含有元素0且是集合B的子集的集合有{0}，{0，－1}，{0,1}，{0，－1，1}，即符合条件的集合C共有4个，故选C.5．(2014·新课标Ⅰ)已知集合A＝{x|x2－2x－3≥0}，B＝{x|－2≤x ＜2}，则A∩B＝(A)A ．[－2，－1]B ．[－1,2)C ．[－1,1]D ．[1,2)解析：由不等式x 2－2x －3≥0，解得x ≥3或x ≤－1，因此集合A ＝{x |x ≤－1或x ≥3}，又集合B ＝{x |－2≤x ＜2}，所以A ∩B ＝{x |－2≤x ≤－1}，故选A.6．(2019·湖北黄冈调研)已知函数f (x )＝11－x 2的定义域为M ，g (x )＝ln(1－x )的定义域为N ，则M ∪(∁R N )＝( A )A ．{x |x ＞－1}B ．{x |x ≥1}C ．∅D ．{x |－1＜x ＜1}解析：依题意得M ＝{x |－1＜x ＜1}，N ＝{x |x ＜1}，∁R N ＝{x |x ≥1}，所以M ∪(∁R N )＝{x |x ＞－1}．7．(2019·广东省际名校联考)已知集合A ＝{x |x 2－x －2＜0}，B ＝{y |y ＝e x ，x ＜ln3}，则A ∪B ＝( A )A ．(－1,3)B ．(－1,0)C ．(0,2)D ．(2,3) 解析：因为A ＝{x |－1＜x ＜2}，B ＝{y |0＜y ＜3}，所以A ∪B ＝(－1,3)．8．(2019·广州质检)已知集合A ＝{x |2x 2－7x ＋3＜0}，B ＝{x ∈Z |lg x ＜1}，则阴影部分所表示的集合的元素个数为( B )A ．1B ．2C ．3D ．4解析：∵A ＝{x |2x 2－7x ＋3＜0}＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12，3，B ＝{x ∈Z |lg x ＜1}＝{1,2,3,4,5,6,7,8,9}，∴阴影部分表示的集合是A ∩B ＝{1,2}，有2个元素．9．(2019·河北“五个一”名校联盟质检)已知全集U ＝{1,2,3,4,5,6,7}，集合A ＝{1,3,7}，B ＝{x |x ＝log 2(a ＋1)，a ∈A }，则(∁U A )∩(∁U B )＝(C )A ．{1,3}B ．{5,6}C ．{4,5,6}D ．{4,5,6,7}解析：A ＝{1,3,7}，B ＝{x |x ＝log 2(a ＋1)，a ∈A }＝{1,2,3}，又U ＝{1,2,3,4,5,6,7}，∴∁U A ＝{2,4,5,6}，∁U B ＝{4,5,6,7}，∴(∁U A )∩(∁U B )＝{4,5,6}．10．设P 和Q 是两个集合，定义集合P －Q ＝{x |x ∈P ，且x ∉Q }，如果P ＝{x |log 2x ＜1}，Q ＝{x ||x －2|＜1}，那么P －Q ＝( B )A ．{x |0＜x ＜1}B ．{x |0＜x ≤1}C ．{x |1≤x ＜2}D ．{x |2≤x ＜3}解析：由log 2x ＜1，得0＜x ＜2，所以P ＝{x |0＜x ＜2}；由|x －2|＜1，得1＜x ＜3，所以Q ＝{x |1＜x ＜3}，由题意，得P －Q ＝{x |0＜x ≤1}．11．设全集为R ，集合A ＝{x |x 2－9＜0}，B ＝{x |－1＜x ≤5}，则A ∩(∁R B )＝{x |－3＜x ≤－1}__．解析：由题意知，A ＝{x |x 2－9＜0}＝{x |－3＜x ＜3}， ∵B ＝{x |－1＜x ≤5}，∴∁R B ＝{x |x ≤－1或x ＞5}．∴A ∩(∁R B )＝{x |－3＜x ＜3}∩{x |x ≤－1或x ＞5}＝{x |－3＜x ≤－1}．12．(2019·淮北模拟改编)已知集合U ＝R ，集合M ＝{x |x ＋2a ≥0}，N ＝{x |log 2(x －1)＜1}，若集合M ∩(∁U N )＝{x |x ＝1或x ≥3}，那么a 的取值为－12 .解析：由log 2(x －1)＜1，得1＜x ＜3，则N ＝(1,3)， ∴∁U N ＝{x |x ≤1或x ≥3}．又M ＝{x |x ＋2a ≥0}＝[－2a ，＋∞)， M ∩(∁U N )＝{x |x ＝1或x ≥3}，∴－2a ＝1，解得a ＝－12.13．如图所示的Venn 图中，A ，B 是非空集合，定义集合A #B 为阴影部分表示的集合．若x ，y ∈R ，A ＝{x |y ＝2x －x 2}，B ＝{y |y ＝3x ，x ＞0}，则A #B 为( D )A ．{x |0＜x ＜2}B ．{x |1＜x ≤2}C ．{x |0≤x ≤1或x ≥2}D ．{x |0≤x ≤1或x ＞2}解析：因为A ＝{x |0≤x ≤2}，B ＝{y |y ＞1}，A ∪B ＝{x |x ≥0}，A ∩B ＝{x |1＜x ≤2}，所以A #B ＝∁A ∪B (A ∩B )＝{x |0≤x ≤1或x ＞2}，故选D.14．设平面点集A ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫(x ，y )⎪⎪⎪(y －x )⎝ ⎛⎭⎪⎫y －1x ≥0，B ＝{(x ，y )|(x －1)2＋(y －1)2≤1}，则A ∩B 所表示的平面图形的面积为( D )A.34π B.35π C.47πD.π2解析：不等式(y －x )·⎝⎛⎭⎪⎫y －1x ≥0可化为⎩⎨⎧y －x ≥0，y －1x ≥0或⎩⎨⎧y －x ≤0，y －1x ≤0.集合B 表示圆(x －1)2＋(y －1)2＝1上以及圆内部的点所构成的集合，A ∩B 所表示的平面区域如图所示．曲线y ＝1x ，圆(x －1)2＋(y －1)2＝1均关于直线y ＝x 对称，所以阴影部分占圆面积的一半，即为π2.15．(2019·沈阳模拟)已知集合A ＝{x ∈N |x 2－2x －3≤0}，B ＝{1,3}，定义集合A ，B 之间的运算“*”：A *B ＝{x |x ＝x 1＋x 2，x 1∈A ，x 2∈B }，则A *B 中的所有元素之和为( D )A ．15B ．16C ．20D ．21解析：由x 2－2x －3≤0，得(x ＋1)(x －3)≤0，又x ∈N ，故集合A ＝{0,1,2,3}． ∵A *B ＝{x |x ＝x 1＋x 2，x 1∈A ，x 2∈B }，∴A *B 中的元素有0＋1＝1,0＋3＝3,1＋1＝2,1＋3＝4,2＋1＝3(舍去)，2＋3＝5,3＋1＝4(舍去)，3＋3＝6，∴A *B ＝{1,2,3,4,5,6}， ∴A *B 中的所有元素之和为21.16．设集合M ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪⎪ m ≤x ≤m ＋34，N ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪⎪n －13≤x ≤n ，且M ，N 都是集合{x |0≤x ≤1}的子集，如果把b －a 叫做集合{x |a ≤x ≤b }的“长度”，那么集合M ∩N 的“长度”的最小值是112 .解析：由已知，可得⎩⎨⎧m ≥0，m ＋34≤1，即0≤m ≤14；⎩⎨⎧n －13≥0，n ≤1，即13≤n ≤1，当集合M ∩N 的长度取最小值时，M 与N 应分别在区间[0,1]的左、右两端．取m 的最小值0，n 的最大值1，可得M ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，34，N ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤23，1，所以M ∩N ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，34∩⎣⎢⎡⎦⎥⎤23，1＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤23，34，此时集合M ∩N 的“长度”的最小值为34－23＝112.。
【人教版】2020届高考一轮数学(理)复习：课时作业 (12)
课时作业12 函数模型及其应用1．已知正方形ABCD 的边长为4，动点P 从B 点开始沿折线BCDA 向A 点运动．设点P 运动的路程为x ，△ABP 的面积为S ，则函数S ＝f (x )的图象是( D )解析：依题意知当0≤x ≤4时，f (x )＝2x ；当4＜x ≤8时，f (x )＝8；当8＜x ≤12时，f (x )＝24－2x ，观察四个选项知D 项符合要求． 2．在某种新型材料的研制中，实验人员获得了下列一组实验数据，现准备用下列四个函数中的一个近似地表示这些数据的规律，其中最接近的一个是( B )A.y ＝2x －2 B ．y ＝2(x 2－1) C ．y ＝log 2x D ．y ＝log 12x 解析：由题中表可知函数在(0，＋∞)上是增函数，且y 的变化随x 的增大而增大的越来越快，分析选项可知B 符合，故选B. 3．我们定义函数y ＝[x ]([x ]表示不大于x 的最大整数)为“下整函数”；定义y ＝{x }({x }表示不小于x 的最小整数)为“上整函数”；例如[4.3]＝4，[5]＝5；{4.3}＝5，{5}＝5.某停车场收费标准为每小时2元，即不超过1小时(包括1小时)收费2元，超过一小时，不超过2小时(包括2小时)收费4元，以此类推．若李刚停车时间为x 小时，则李刚应付费为(单位：元)( C ) A ．2[x ＋1] B ．2([x ]＋1)C ．2{x }D ．{2x } 解析：如x ＝1时，应付费2元，此时2[x ＋1]＝4,2([x ]＋1)＝4，排除A 、B ；当x ＝0.5时，付费为2元，此时{2x }＝1，排除D ，故选C. 4．(2019·福建质检)当生物死亡后，其体内原有的碳14的含量大约每经过5 730年衰减为原来的一半，这个时间称为“半衰期”．当死亡生物体内的碳14含量不足死亡前的千分之一时，用一般的放射性探测器就测不到了．若某死亡生物体内的碳14用一般的放射性探测器探测不到，则它经过的“半衰期”个数至少是( C ) A ．8 B ．9 C ．10 D ．11 解析：设死亡生物体内原有的碳14含量为1，则经过n (n ∈N *)个“半衰期”后的含量为⎝ ⎛⎭⎪⎫12n ，由⎝ ⎛⎭⎪⎫12n ＜11 000得n ≥10.所以，若探测不到碳14含量，则至少经过了10个“半衰期”．故选C. 5．(2019·贵州遵义模拟)某企业为节能减排，用9万元购进一台新设备用于生产，第一年需运营费用2万元，从第二年起，每年运营费用均比上一年增加3万元．该设备每年生产的收入均为21万元．设该设备使用了n (n ∈N *)年后，盈利总额达到最大值(盈利总额等于总收入减去总成本)，则n 等于( B ) A ．6 B ．7 C ．8 D ．7或8 解析：盈利总额为21n －9－⎣⎢⎡⎦⎥⎤2n ＋12×n (n －1)×3＝－32n 2＋412n －9.因为其对应的函数的图象的对称轴方程为n ＝416.所以当n ＝7时取最大值，即盈利总额达到最大值，故选B. 6．已知每生产100克饼干的原材料加工费为1.8元．某食品加工厂对饼干采用两种包装，包装费用、销售价格如下表所示：①买小包装实惠；②买大包装实惠；③卖3小包比卖1大包盈利多；④卖1大包比卖3小包盈利多．A．①③B．①④C．②③D．②④解析：买小包装时每克费用为3100元，买大包装时每克费用为8.4300＝2.8100元，而3100＞2.8100，所以买大包装实惠，卖3小包的利润为3×(3－1.8－0.5)＝2.1(元)，卖1大包的利润是8.4－1.8×3－0.7＝2.3(元)，而2.3＞2.1，所以卖1大包盈利多，故选D.7．如图，矩形ABCD的周长为8，设AB＝x(1≤x≤3)，线段MN 的两端点在矩形的边上滑动，且MN＝1，当N沿A→D→C→B→A在矩形的边上滑动一周时，线段MN的中点P所形成的轨迹为G，记G 围成的区域的面积为y，则函数y＝f(x)的图象大致为(D)解析：由题意可知点P 的轨迹为图中虚线所示，其中四个角均是半径为12的扇形．因为矩形ABCD 的周长为8，AB ＝x ， 则AD ＝8－2x 2＝4－x ， 所以y ＝x (4－x )－π4＝－(x －2)2＋4－π4(1≤x ≤3)， 显然该函数的图象是二次函数图象的一部分， 且当x ＝2时，y ＝4－π4∈(3,4)，故选D. 8．为了响应政府推进“菜篮子”工程建设的号召，某经销商投资60万元建了一个蔬菜生产基地．第一年支出各种费用8万元，以后每年支出的费用比上一年多2万元，每年销售蔬菜的收入为26万元．设f (n )表示前n 年的纯利润(f (n )＝前n 年的总收入－前n 年的总费用支出－投资额)，则从第 5 年开始盈利． 解析：由题知f (n )＝26n －⎣⎢⎡⎦⎥⎤8n ＋n (n －1)2×2－60＝－n 2＋19n －60. 令f (n )＞0，即－n 2＋19n －60＞0， 解得4＜n ＜15，所以从第5年开始盈利． 9．西北某羊皮手套公司准备投入适当的广告费对其生产的产品进行促销．在一年内，根据预算得羊皮手套的年利润L 万元与广告费x 万元之间的函数解析式为L ＝512－⎝ ⎛⎭⎪⎫x 2＋8x (x ＞0)．则当年广告费投入 4 万元时，该公司的年利润最大．解析：由题意得L ＝512－⎝ ⎛⎭⎪⎫x 2＋8x ≤512－2x 2·8x ＝21.5， 当且仅当x 2＝8x ，即x ＝4时等号成立． 此时L 取得最大值21.5. 故当年广告费投入4万元时，该公司的年利润最大． 10．某商品在近30天内每件的销售价格P (元)与时间t (天)之间的函数关系式为P ＝⎩⎪⎨⎪⎧ t ＋20，0<t <25，t ∈N ，－t ＋100，25≤t ≤30，t ∈N ，且该商品的日销售量Q (件)与时间t (天)之间的函数关系式为Q ＝－t ＋40(0<t ≤30，t ∈N )，则这种商品日销售金额最大的一天是30天中的第 25 天． 解析：设日销售金额为W (t )元，则W (t )＝P ·Q ＝⎩⎪⎨⎪⎧ (t ＋20)(－t ＋40)，0<t <25，t ∈N ，(－t ＋100)(－t ＋40)，25≤t ≤30，t ∈N . 令f (t )＝(t ＋20)(－t ＋40)＝－t 2＋20t ＋800(0<t <25，t ∈N )，易知f (t )max ＝f (10)＝900，令g (t )＝(－t ＋100)(－t ＋40)＝t 2－140t ＋4 000(25≤t ≤30，t ∈N )，易知g (t )max ＝g (25)＝1 125.综上，当t ＝25，即第25天时，日销售金额W (t )最大． 11．某景区提供自行车出租，该景区有50辆自行车供游客租赁使用，管理这些自行车的费用是每日115元．根据经验，若每辆自行车的日租金不超过6元，则自行车可以全部租出；若超出6元，则每超过1元，租不出的自行车就增加3辆．为了便于结算，每辆自行车的日租金x (元)只取整数，并且要求租自行车一日的总收入必须高于这一日的管理费用，用y (元)表示出租自行车的日净收入(即一日中出租自行车的总收入减去管理费用后得到的部分)． (1)求函数y ＝f (x )的解析式； (2)试问当每辆自行车的日租金为多少元时，才能使一日的净收入最多？ 解：(1)当x ≤6时，y ＝50x －115， 令50x －115＞0，解得x ＞2.3，∵x 为整数，∴3≤x ≤6，x ∈Z . 当x ＞6时，y ＝[50－3(x －6)]x －115＝－3x 2＋68x －115. 令－3x 2＋68x －115＞0，有3x 2－68x ＋115＜0， 结合x 为整数得6＜x ≤20，x ∈Z . ∴y ＝⎩⎪⎨⎪⎧ 50x －115(3≤x ≤6，x ∈Z )，－3x 2＋68x －115(6＜x ≤20，x ∈Z ). (2)对于y ＝50x －115(3≤x ≤6，x ∈Z )， 显然当x ＝6时，y max ＝185； 对于y ＝－3x 2＋68x －115＝－3·⎝ ⎛⎭⎪⎫x －3432＋8113(6＜x ≤20，x ∈Z )，当x ＝11时，y max ＝270. ∵270＞185，∴当每辆自行车的日租金定为11元时，才能使一日的净收入最多． 12．(2019·山东德州模拟)某地自来水苯超标，当地自来水公司对水质检测后，决定在水中投放一种药剂来净化水质．已知每投放质量为m 的药剂后，经过x 天该药剂在水中释放的浓度y (毫克/升)满足y ＝mf (x )，其中f (x )＝⎩⎨⎧ x 225＋2，0＜x ≤5，x ＋192x －2，x ＞5.当药剂在水中的浓度不低于5(毫克/升)时称为有效净化；当药剂在水中的浓度不低于5(毫克/升)且不高于10(毫克/升)时称为最佳净化． (1)如果投放的药剂的质量为m ＝5，试问自来水达到有效净化总共可持续几天？ (2)如果投放的药剂质量为m ，为了使在9天(从投放药剂算起包括9天)之内的自来水达到最佳净化，试确定应该投放的药剂质量m 的最小值．解：(1)当m ＝5时，y ＝⎩⎨⎧ x 25＋10，0＜x ≤5，5x ＋952x －2，x ＞5. 当0＜x ≤5时，x 25＋10＞10，显然符合题意； 当x ＞5时，由5x ＋952x －2≥5，解得5＜x ≤21. 综上，0＜x ≤21，所以自来水达到有效净化总共可持续21天． (2)y ＝mf (x )＝⎩⎨⎧ mx 225＋2m ，0＜x ≤5，m (x ＋19)2x －2，x ＞5. 当0＜x ≤5时，y ＝mx 225＋2m 在区间(0,5]上单调递增， 所以2m ＜y ≤3m ； 当x ＞5时，y ′＝－40m (2x －2)2＜0， 所以函数y ＝m (x ＋19)2x －2在(5,9]上单调递减， 所以7m 4≤y ＜3m .综上可知7m 4≤y ≤3m . 为使5≤y ≤10恒成立，只要⎩⎨⎧ 7m 4≥5，3m ≤10， 解得207≤m ≤103， 所以应该投放的药剂质量m 的最小值为207. 13．(2019·嘉定模拟)某市环保研究所对市中心每天环境中放射性污染情况进行调查研究后发现，一天中环境综合放射性污染指数f (x)与时刻x (时)的关系为f (x )＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪x x 2＋1－a ＋2a ＋23，x ∈[0,24]，其中a 是与气象有关的参数，且a ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，12.如果以每天f (x )的最大值为当天的环境综合放射性污染指数，并记为M (a )，若规定当M (a )≤2时为环境综合放射性污染指数不超标，则该市中心的环境综合放射性污染指数不超标时，a 的取值范围为( B ) A.⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，14 B.⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，49 C.⎣⎢⎡⎦⎥⎤14，49 D.⎣⎢⎡⎦⎥⎤49，12 解析：设t ＝x x 2＋1，当x ≠0时，可得t ＝1x ＋1x ∈⎝ ⎛⎦⎥⎤0，12，当x ＝0时，t ＝0，因而f (x )＝g (t )＝|t －a |＋2a ＋23＝⎩⎪⎨⎪⎧ －t ＋3a ＋23，0≤t ≤a ，t ＋a ＋23，a ＜t ≤12，从而有g (0)＝3a ＋23，g ⎝ ⎛⎭⎪⎫12＝a ＋76，g (0)－g ⎝ ⎛⎭⎪⎫12＝2⎝ ⎛⎭⎪⎫a －14， 因而M (a )＝⎩⎪⎨⎪⎧ g ⎝ ⎛⎭⎪⎫12，0≤a ≤14，g (0)，14＜a ≤12， 即M (a )＝⎩⎪⎨⎪⎧ a ＋76，0≤a ≤14，3a ＋23，14＜a ≤12，当0≤a ≤14时，M (a )＜2，当14＜a ≤49时，M (a )≤2，当49＜a ≤12时，M (a )＞2，所以该市中心的环境综合放射性污染指数不超标时，a 的取值范围为⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，49. 14．一个工厂生产某种产品每年需要固定投资100万元，此外每生产1件该产品还需要增加投资1万元，年产量为x (x ∈N *)件．当x ≤20时，年销售总收入为(33x －x 2)万元；当x ＞20时，年销售总收入为260万元．记该工厂生产并销售这种产品所得的年利润为y 万元，则y (万元)与x (件)的函数关系式为 y ＝⎩⎪⎨⎪⎧ －x 2＋32x －100，0＜x ≤20，160－x ，x ＞20 (x ∈N *) ，该工厂的年产量为 16 件时，所得年利润最大．(年利润＝年销售总收入－年总投资) 解析：当x ≤20时，y ＝(33x －x 2)－x －100＝－x 2＋32x －100； 当x ＞20时，y ＝260－100－x ＝160－x . 故y ＝⎩⎪⎨⎪⎧ －x 2＋32x －100，0＜x ≤20，160－x ，x ＞20(x ∈N *)． 当0＜x ≤20时，y ＝－x 2＋32x －100＝－(x －16)2＋156， 当x ＝16时，y max ＝156. 当x ＞20时，160－x ＜140， 故x ＝16时取得最大年利润． 15．(2019·潍坊模拟)某地西红柿从2月1日开始上市，通过市场调查，得到西红柿种植成本Q (单位：元/100 kg)与上市时间t (单位：天)的数据如下表：Q 与上市时间t 的变化关系：Q ＝at ＋b ，Q ＝at 2＋bt ＋c ，Q ＝a ·b t ，Q ＝a ·log b t . 利用你选取的函数，求得： (1)西红柿种植成本最低时的上市天数是 120 ； (2)最低种植成本是 80 (元/100 kg)． 解析：根据表中数据可知函数不单调， 所以Q ＝at 2＋bt ＋c ，且开口向上， 对称轴t ＝－b 2a ＝60＋1802＝120，代入数据⎩⎪⎨⎪⎧ 3 600a ＋60b ＋c ＝116，10 000a ＋100b ＋c ＝84，32 400a ＋180b ＋c ＝116，解得⎩⎪⎨⎪⎧ b ＝－2.4，c ＝224，a ＝0.01. 所以西红柿种植成本最低时的上市天数是120，最低种植成本是14 400a ＋120b ＋c ＝14 400×0.01＋120×(－2.4)＋224＝80(元/100 kg)． 16．(2019·西安质检)我国加入WTO 后，根据达成的协议，若干年内某产品的关税与市场供应量P 的关系近似满足：y ＝P (x )＝2(1－kt )(x －b )2(其中t 为关税的税率，且t ∈⎣⎢⎡⎭⎪⎫0，12，x 为市场价格，b ，k 为正常数)，当t ＝18时的市场供应量曲线如图： (1)根据图象求b ，k 的值； (2)若市场需求量为Q ，它近似满足Q (x )＝.当P ＝Q 时的市场价格称为市场平衡价格．为使市场平衡价格控制在不低于9元的范围内，求税率t 的最小值． 解：(1)由图象知函数图象过(5,1)，(7,2)． 解得⎩⎪⎨⎪⎧ k ＝6，b ＝5. (2)当P ＝Q 时，2(1－6t )(x －5)2＝211－x 2，【人教版】红对勾2020届高考一轮数学（理）复习：课时作业则(1－6t)(x－5)2＝11－x2，所以1－6t＝11－x2(x－5)2＝12·22－x(x－5)2＝12·⎣⎢⎡⎦⎥⎤17(x－5)2－1x－5.令m＝1x－5(x≥9)，m∈⎝⎛⎦⎥⎤0，14.设f(m)＝17m2－m，m∈⎝⎛⎦⎥⎤0，14，对称轴为m＝134，所以f(m)max＝f⎝⎛⎭⎪⎫14＝1316，所以，当m＝14，即x＝9时，1－6t取得最大值为12×1316，则1－6t≤12×1316，解得t≥19192，所以税率的最小值为19192.。
【人教版】2020届高考一轮数学(理)复习：课时作业 (32)
课时作业32 等比数列及其前n 项和1．已知正项等比数列{a n }满足a 3＝1，a 5与32a 4的等差中项为12，则a 1的值为( A ) A ．4 B ．2 C.12 D.14 解析：由题意知2×12＝a 5＋32a 4，即3a 4＋2a 5＝2. 设{a n }的公比为q (q ＞0)，则由a 3＝1， 得3q ＋2q 2＝2，解得q ＝12或q ＝－2(舍去)， 所以a 1＝a 3q 2＝4. 2．(2019·益阳调研)已知等比数列{a n }中，a 5＝3，a 4a 7＝45，则a 7－a 9a 5－a 7的值为( D ) A ．3 B ．5 C ．9 D ．25 解析：设等比数列{a n }的公比为q ，则a 4a 7＝a 5q ·a 5q 2＝9q ＝45，所以q ＝5，a 7－a 9a 5－a 7＝a 5q 2－a 7q 2a 5－a 7＝q 2＝25.故选D. 3．(2019·武昌调研)等比数列{a n }的前n 项和为S n ，若对任意的正整数n ，S n ＋2＝4S n ＋3恒成立，则a 1的值为( C ) A ．－3 B ．1 C ．－3或1 D ．1或3 解析：设等比数列{a n }的公比为q ， 当q ＝1时，S n ＋2＝(n ＋2)a 1，S n ＝na 1， 由S n ＋2＝4S n ＋3得，(n ＋2)a 1＝4na 1＋3，即3a 1n ＝2a 1－3，若对任意的正整数n,3a 1n ＝2a 1－3恒成立， 则a 1＝0且2a 1－3＝0，矛盾，所以q ≠1， 所以S n ＝a 1(1－q n )1－q ，S n ＋2＝a 1(1－q n ＋2)1－q ， 代入S n ＋2＝4S n ＋3并化简得a 1(4－q 2)q n ＝3＋3a 1－3q ，若对任意的正整数n 该等式恒成立， 则有⎩⎪⎨⎪⎧ 4－q 2＝0，3＋3a 1－3q ＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧ a 1＝1，q ＝2或⎩⎪⎨⎪⎧ a 1＝－3，q ＝－2， 故a 1＝1或－3，故选C. 4．(2019·西安八校联考)已知数列{a n }是等比数列，数列{b n }是等差数列，若a 1·a 6·a 11＝－33，b 1＋b 6＋b 11＝7π，则tan b 3＋b 91－a 4·a 8的值是( A ) A ．－ 3 B ．－1 C ．－33 D. 3 解析：依题意得，a 36＝(－3)3，a 6＝－3，3b 6＝7π，b 6＝7π3，b 3＋b 91－a 4·a 8＝2b 61－a 26＝－7π3，故tan b 3＋b 91－a 4·a 8＝tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫－7π3＝－tan π3＝－ 3. 5．(2018·北京卷)“十二平均律”是通用的音律体系，明代朱载堉最早用数学方法计算出半音比例，为这个理论的发展做出了重要贡献．十二平均律将一个纯八度音程分成十二份，依次得到十三个单音，从第二个单音起，每一个单音的频率与它的前一个单音的频率的比都等于122.若第一个单音的频率为f ，则第八个单音的频率为( D ) A.32f B.322f C.1225f D.1227f 解析：由题意知，十三个单音的频率构成首项为f ，公比为122的等比数列，设该等比数列为{a n }，则a 8＝a 1q 7，即a 8＝1227f ，故选D. 6．在正项数列{a n }中，a 1＝2，点(a n ，a n －1)(n ≥2)在直线x －2y ＝0上，则数列{a n }的前n 项和S n 等于( A ) A ．2n ＋1－2 B ．2n ＋1 C ．2n 2－ 2 D ．2n ＋22－ 2 解析：因为点(a n ，a n －1)(n ≥2)在直线x －2y ＝0上， 所以a n －2·a n －1＝0. 又因为a n ＞0，所以a n a n －1＝2(n ≥2)． 又a 1＝2，所以数列{a n }是首项为2，公比为2的等比数列． 所以所求的S n ＝2(1－2n )1－2＝2n ＋1－2. 7．(2019·天津实验中学月考)设{a n }是由正数组成的等比数列，公比q ＝2，且a 1·a 2·a 3·…·a 30＝230，则a 3·a 6·a 9·…·a 30＝( B ) A ．210 B ．220 C ．216 D ．215 解析：因为a 1a 2a 3＝a 32，a 4a 5a 6＝a 35，a 7a 8a 9＝a 38，…，a 28a 29a 30＝a 329，所以a 1a 2a 3a 4a 5a 6a 7a 8a 9…a 28a 29a 30＝(a 2a 5a 8…a 29)3＝230.所以a 2a 5a 8…a 29＝210.则a 3a 6a 9…a 30＝(a 2q )(a 5q )(a 8q )…(a 29q )＝(a 2a 5a 8…a 29)q 10＝210×210＝220，故选B. 8．(2019·山西太原模拟)已知数列{a n }的前n 项和为S n ，点(n ，S n ＋3)(n ∈N *)在函数y ＝3×2x 的图象上，等比数列{b n }满足b n ＋b n ＋1＝a n (n ∈N *)，其前n 项和为T n ，则下列结论正确的是( D ) A ．S n ＝2T n B ．T n ＝2b n ＋1 C ．T n ＞a n D ．T n ＜b n ＋1 解析：由题意可得S n ＋3＝3×2n ，S n ＝3×2n －3， 由等比数列前n 项和的特点可得数列{a n }是首项为3，公比为2的等比数列，数列的通项公式a n ＝3×2n －1， 设b n ＝b 1q n －1，则b 1q n －1＋b 1q n ＝3×2n －1， 当n ＝1时，b 1＋b 1q ＝3， 当n ＝2时，b 1q ＋b 1q 2＝6， 解得b 1＝1，q ＝2， 数列{b n }的通项公式b n ＝2n －1， 由等比数列求和公式有：T n ＝2n －1，观察所给的选项： S n ＝3T n ，T n ＝2b n －1，T n ＜a n ，T n ＜b n ＋1. 9．在各项都为正数的等比数列{a n }中，若a 2 018＝22，则1a 2 017＋2a 2 019的最小值为 4 . 解析：设公比为q (q ＞0)，因为a 2 018＝22， 所以a 2 017＝a 2 018q ＝22q ，a 2 019＝a 2 018q ＝22q ， 则有1a 2 017＋2a 2 019＝2q ＋222q ＝2q ＋22q ≥2 2 q ×2q ＝4，当且仅当q 2＝2， 即q ＝2时取等号，故所求最小值为4. 10．(2019·湖北荆州一模)已知等比数列{a n }的公比不为－1，设S n 为等比数列{a n }的前n 项和，S 12＝7S 4，则S 8S 4＝ 3 . 解析：由题意可知S 4，S 8－S 4，S 12－S 8成等比数列， 则(S 8－S 4)2＝S 4·(S 12－S 8)， 又S 12＝7S 4，∴(S 8－S 4)2＝S 4·(7S 4－S 8)， 可得S 28－6S 24－S 8S 4＝0，两边都除以S 24， 得⎝ ⎛⎭⎪⎫S 8S 42－S 8S 4－6＝0，解得S 8S 4＝3或－2， 又S 8S 4＝1＋q 4(q 为{a n }的公比)，∴S 8S 4＞1，∴S 8S 4＝3. 11．设数列{a n }的前n 项和为S n ，n ∈N *.已知a 1＝1，a 2＝32，a 3＝54，且当n ≥2时，4S n ＋2＋5S n ＝8S n ＋1＋S n －1. (1)求a 4的值； (2)证明：⎩⎨⎧⎭⎬⎫a n ＋1－12a n 为等比数列． 解：(1)当n ＝2时，4S 4＋5S 2＝8S 3＋S 1， 即4×⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋32＋54＋a 4＋5×⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋32＝8×⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋32＋54＋1， 解得a 4＝78. (2)证明：因为4S n ＋2＋5S n ＝8S n ＋1＋S n －1(n ≥2)， 所以4S n ＋2－4S n ＋1＋S n －S n －1＝4S n ＋1－4S n (n ≥2)， 即4a n ＋2＋a n ＝4a n ＋1(n ≥2)． 又因为4a 3＋a 1＝4×54＋1＝6＝4a 2， 所以4a n ＋2＋a n ＝4a n ＋1， 所以a n ＋2－12a n ＋1a n ＋1－12a n ＝4a n ＋2－2a n ＋14a n ＋1－2a n ＝4a n ＋1－a n －2a n ＋14a n ＋1－2a n ＝2a n ＋1－a n 2(2a n ＋1－a n )＝12， 所以数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫a n ＋1－12a n 是以a 2－12a 1＝1为首项，12为公比的等比数列．12．(2016·四川卷)已知数列{a n }的首项为1，S n 为数列{a n }的前n 项和，S n ＋1＝qS n ＋1，其中q ＞0，n ∈N *. (1)若2a 2，a 3，a 2＋2成等差数列，求数列{a n }的通项公式； (2)设双曲线x 2－y 2a 2n ＝1的离心率为e n ，且e 2＝53，证明：e 1＋e 2＋…＋e n ＞4n －3n 3n －1. 解：(1)由已知，S n ＋1＝qS n ＋1，S n ＋2＝qS n ＋1＋1， 两式相减得到a n ＋2＝qa n ＋1，n ≥1. 又由S 2＝qS 1＋1得到a 2＝qa 1， 故a n ＋1＝qa n 对所有n ≥1都成立． 所以，数列{a n }是首项为1，公比为q 的等比数列． 从而a n ＝q n －1. 由2a 2，a 3，a 2＋2成等差数列， 可得2a 3＝3a 2＋2， 即2q 2＝3q ＋2，则(2q ＋1)(q －2)＝0， 由已知，q ＞0，故q ＝2. 所以a n ＝2n －1(n ∈N *)． (2)证明：由(1)可知，a n ＝q n －1. 所以双曲线x 2－y 2a 2n ＝1的离心率e n ＝1＋a 2n ＝1＋q 2(n －1). 由e 2＝1＋q 2＝53，解得q ＝43. 因为1＋q 2(k －1)＞q 2(k －1)， 所以1＋q 2(k －1)＞q k －1(k ∈N *)． 于是e 1＋e 2＋…＋e n ＞1＋q ＋…＋q n －1＝q n －1q －1， 故e 1＋e 2＋…＋e n ＞4n －3n 3n －1.13．(2019·山东实验中学诊断测试)中国古代数学名著《九章算术》中有这样一个问题：今有牛、马、羊食人苗，苗主责之粟五斗，羊主曰：“我羊食半马．”马主曰：“我马食半牛．”今欲衰偿之，问各出几何？此问题的译文是：今有牛、马、羊吃了别人的禾苗，禾苗主人要求赔偿5斗粟．羊主人说：“我的羊所吃的禾苗只有马的一半．”马主人说：“我的马所吃的禾苗只有牛的一半．”打算按此比例偿还，他们各应偿还多少？已知牛、马、羊的主人应偿还a 升，b 升，c 升，1斗为10升，则下列判断正确的是( D ) A ．a ，b ，c 依次成公比为2的等比数列，且a ＝507 B ．a ，b ，c 依次成公比为2的等比数列，且c ＝507 C ．a ，b ，c 依次成公比为12的等比数列，且a ＝507 D ．a ，b ，c 依次成公比为12的等比数列，且c ＝507 解析：由题意可知b ＝12a ，c ＝12b ， ∴b a ＝12，c b ＝12. ∴a 、b 、c 成等比数列且公比为12. ∵1斗＝10升，∴5斗＝50升，∴a ＋b ＋c ＝50， 又易知a ＝4c ，b ＝2c ，∴4c ＋2c ＋c ＝50， ∴7c ＝50，∴c ＝507，故选D. 14．(2019·郑州第一次质量预测)已知数列{a n }满足a 1a 2a 3…a n ＝2n 2(n ∈N *)，且对任意n ∈N *都有1a 1＋1a 2＋…＋1a n ＜t ，则实数t 的取值范围为( D ) A.⎝ ⎛⎭⎪⎫13，＋∞ B.⎣⎢⎡⎭⎪⎫13，＋∞ C.⎝ ⎛⎭⎪⎫23，＋∞ D.⎣⎢⎡⎭⎪⎫23，＋∞ 解析：依题意得，当n ≥2时， a n ＝a 1a 2a 3…a n a 1a 2a 3…a n －1＝2n 22(n －1)2＝2n 2－(n －1)2＝22n －1， 又a 1＝21＝22×1－1，因此a n ＝22n －1，1a n ＝122n －1，数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫1a n 是以12为首项，14为公比的等比数列，等比数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫1a n 的前n 项和等于12⎝ ⎛⎭⎪⎫1－14n 1－14＝23⎝ ⎛⎭⎪⎫1－14n ＜23，因此实数t 的取值范围是⎣⎢⎡⎭⎪⎫23，＋∞. 15．(2019·东北三省三校联考)各项均为正数的数列{a n }和{b n }满足：a n ，b n ，a n ＋1成等差数列，b n ，a n ＋1，b n ＋1成等比数列，且a 1＝1，a 2＝3，则数列{a n }的通项公式为 a n ＝n (n ＋1)2 . 解析：由题意知2b n ＝a n ＋a n ＋1，a 2n ＋1＝b n ·b n ＋1， ∴a n ＋1＝b n b n ＋1， 当n ≥2时，2b n ＝b n －1b n ＋b n b n ＋1， ∵b n ＞0，∴2b n ＝b n －1＋b n ＋1， ∴{b n }成等差数列， 由a 1＝1，a 2＝3，得b 1＝2，b 2＝92， ∴b 1＝2，b 2＝322， ∴公差d ＝22， ∴b n ＝n ＋122，∴b n ＝(n ＋1)22， ∴a n ＝b n －1b n ＝n (n ＋1)2. 16．已知首项为32的等比数列{a n }的前n 项和为S n (n ∈N *)，且－2S 2，S 3,4S 4成等差数列． (1)求数列{a n }的通项公式； (2)证明：S n ＋1S n ≤136(n ∈N *)．解：(1)设等比数列{a n }的公比为q ， 因为－2S 2，S 3,4S 4成等差数列， 所以S 3＋2S 2＝4S 4－S 3， 即S 4－S 3＝S 2－S 4， 可得2a 4＝－a 3，于是q ＝a 4a 3＝－12. 又a 1＝32，所以等比数列{a n }的通项公式为a n ＝32×⎝ ⎛⎭⎪⎫－12n －1＝(－1)n －1·32n . (2)证明：由(1)知，S n ＝1－⎝ ⎛⎭⎪⎫－12n ， S n ＋1S n ＝1－⎝ ⎛⎭⎪⎫－12n ＋11－⎝ ⎛⎭⎪⎫－12n ＝⎩⎨⎧ 2＋12n (2n ＋1)，n 为奇数，2＋12n (2n －1)，n 为偶数. 当n 为奇数时，S n ＋1S n 随n 的增大而减小， 所以S n ＋1S n ≤S 1＋1S 1＝136. 当n 为偶数时，S n ＋1S n 随n 的增大而减小， 所以S n ＋1S n ≤S 2＋1S 2＝2512. 故对于n ∈N *，有S n ＋1S n ≤136.。
【人教版】红对勾2020届高考一轮数学(理)复习：课时作业26
课时作业33 数列求和1．已知等比数列{a n }中，a 2·a 8＝4a 5，等差数列{b n }中，b 4＋b 6＝a 5，则数列{b n }的前9项和S 9等于( B )A ．9B ．18C ．36D ．72 解析：∵a 2·a 8＝4a 5， 即a 25＝4a 5，∴a 5＝4，∴a 5＝b 4＋b 6＝2b 5＝4，∴b 5＝2. ∴S 9＝9b 5＝18，故选B.2．(2019·广州调研)数列112，314，518，7116，…，(2n －1)＋12n ，…的前n 项和S n 的值等于( A )A ．n 2＋1－12nB ．2n 2－n ＋1－12n C ．n 2＋1－12n －1D ．n 2－n ＋1－12n解析：该数列的通项公式为a n ＝(2n －1)＋12n ，则S n ＝[1＋3＋5＋…＋(2n －1)]＋⎝ ⎛⎭⎪⎫12＋122＋…＋12n ＝n 2＋1－12n . 3．(2019·开封调研)已知数列{a n }满足a 1＝1，a n ＋1·a n ＝2n (n ∈N *)，则S 2 018＝( B )A ．22 018－1B ．3×21 009－3C ．3×21 009－1D ．3×21 008－2解析：a 1＝1，a 2＝2a 1＝2，又a n ＋2·a n ＋1a n ＋1·a n ＝2n ＋12n ＝2，∴a n ＋2a n＝2.∴a 1，a 3，a 5，…成等比数列；a 2，a 4，a 6，…成等比数列， ∴S 2 018＝a 1＋a 2＋a 3＋a 4＋a 5＋a 6＋…＋a 2 017＋a 2 018＝(a 1＋a 3＋a 5＋…＋a 2 017)＋(a 2＋a 4＋a 6＋…＋a 2 018) ＝1－21 0091－2＋2(1－21 009)1－2＝3×21 009－3.4．定义n p 1＋p 2＋…＋p n为n 个正数p 1，p 2，…，p n 的“均倒数”．若已知正项数列{a n }的前n 项的“均倒数”为12n ＋1，又b n ＝a n ＋14，则1b 1b2＋1b 2b 3＋…＋1b 10b 11＝( C )A.111B.112C.1011D.1112解析：依题意有n a 1＋a 2＋…＋a n ＝12n ＋1，即前n 项和S n ＝n (2n ＋1)＝2n 2＋n ， 当n ＝1时，a 1＝S 1＝3；当n ≥2时，a n ＝S n －S n －1＝4n －1，a 1＝3满足该式． 则a n ＝4n －1，b n ＝a n ＋14＝n . 因为1b n b n ＋1＝1n (n ＋1)＝1n －1n ＋1，所以1b 1b 2＋1b 2b 3＋…＋1b 10b 11＝1－12＋12－13＋…＋110－111＝1011.5．(2019·华中师大联盟质量测评)在数列{a n }中，已知a 1＝3，且数列{a n ＋(－1)n }是公比为2的等比数列，对于任意的n ∈N *，不等式a 1＋a 2＋…＋a n ≥λa n ＋1恒成立，则实数λ的取值范围是( C )A.⎝ ⎛⎦⎥⎤－∞，25B.⎝ ⎛⎦⎥⎤－∞，12 C.⎝ ⎛⎦⎥⎤－∞，23 D ．(－∞，1]解析：由已知，a n ＋(－1)n ＝[3＋(－1)1]·2n －1＝2n ，∴a n ＝2n －(－1)n .当n 为偶数时，a 1＋a 2＋…＋a n ＝(2＋22＋…＋2n )－(－1＋1－…＋1)＝2n ＋1－2，a n ＋1＝2n ＋1－(－1)n ＋1＝2n ＋1＋1，由a 1＋a 2＋…＋a n ≥λa n ＋1，得λ≤2n ＋1－22n ＋1＋1＝1－32n ＋1＋1对n ∈N *恒成立，∴λ≤23；当n 为奇数时，a 1＋a 2＋…＋a n ＝(2＋22＋…＋2n )－(－1＋1－…＋1－1)＝2n ＋1－1，a n ＋1＝2n ＋1－(－1)n ＋1＝2n ＋1－1， 由a 1＋a 2＋…＋a n ≥λa n ＋1得， λ≤2n ＋1－12n ＋1－1＝1对n ∈N *恒成立， 综上可知λ≤23.6．(2019·衡水质检)中国古代数学有着很多令人惊叹的成就．北宋沈括在《梦溪笔谈》卷十八《技艺》篇中首创隙积术，隙积术意即：将木桶一层层堆放成坛状，最上一层长有a 个，宽有b 个，共计ab 个木桶，每一层长宽各比上一层多一个，共堆放n 层，设最底层长有c 个，宽有d 个，则共计有木桶n [(2a ＋c )b ＋(2c ＋a )d ＋(d －b )]6个．假设最上层有长2宽1共2个木桶，每一层的长宽各比上一层多一个，共堆放15层，则木桶的个数为 1 360 .解析：各层木桶长与宽的木桶数自上而下组成一等差数列，且公差为1，根据题意得，a ＝2，b ＝1，c ＝2＋14＝16，d ＝1＋14＝15，n ＝15，则木桶的个数为15[(2×2＋16)×1＋(2×16＋2)×15＋(15－1)]6＝1 360(个)． 7．(2019·安阳模拟)已知数列{a n }中，a n ＝－4n ＋5，等比数列{b n }的公比q 满足q ＝a n －a n －1(n ≥2)且b 1＝a 2，则|b 1|＋|b 2|＋|b 3|＋…＋|b n |＝ 4n －1 .解析：由已知得b 1＝a 2＝－3，q ＝－4， ∴b n ＝(－3)×(－4)n －1， ∴|b n |＝3×4n －1，即{|b n |}是以3为首项，4为公比的等比数列， ∴|b 1|＋|b 2|＋…＋|b n |＝3(1－4n )1－4＝4n－1.8．(2019·海口调研)设数列{a n }的前n 项和为S n ，且a 1＝1，a n ＋a n ＋1＝12n (n ＝1,2,3，…)，则S 2n ＋3＝43⎝⎛⎭⎪⎫1－14n ＋2 .解析：依题意得S 2n ＋3＝a 1＋(a 2＋a 3)＋(a 4＋a 5)＋…＋(a 2n ＋2＋a 2n ＋3)＝1＋14＋116＋…＋14n ＋1＝1－14n ＋21－14＝43⎝ ⎛⎭⎪⎫1－14n ＋2. 9．(2019·广东潮州模拟)已知S n 为数列{a n }的前n 项和，a n ＝2·3n－1(n ∈N *)，若b n ＝a n ＋1S n S n ＋1，则b 1＋b 2＋…＋b n ＝ 12－13n ＋1－1.解析：因为a n ＋1a n＝2·3n2·3n －1＝3，且a 1＝2，所以数列{a n }是以2为首项，3为公比的等比数列， 所以S n ＝2(1－3n )1－3＝3n－1，又b n ＝a n ＋1S n S n ＋1＝S n ＋1－S n S n S n ＋1＝1S n －1S n ＋1，所以b 1＋b 2＋…＋b n ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1S 1－1S 2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫1S 2－1S 3＋…＋⎝ ⎛⎭⎪⎫1S n －1S n ＋1＝1S 1－1S n ＋1＝12－13n ＋1－1. 10．(2019·潍坊模拟)若数列{a n }的前n 项和S n 满足S n ＝2a n －λ(λ＞0，n ∈N *)．(1)证明数列{a n }为等比数列，并求a n ；(2)若λ＝4，b n ＝⎩⎪⎨⎪⎧a n ，n 为奇数，log 2a n ，n 为偶数(n ∈N *)，求数列{b n }的前2n项和T 2n .解：(1)证明：∵S n ＝2a n －λ，当n ＝1时，得a 1＝λ， 当n ≥2时，S n －1＝2a n －1－λ， ∴S n －S n －1＝2a n －2a n －1， 即a n ＝2a n －2a n －1，∴a n ＝2a n －1，∴数列{a n }是以λ为首项，2为公比的等比数列， ∴a n ＝λ2n －1.(2)∵λ＝4，∴a n ＝4·2n －1＝2n ＋1，∴b n ＝⎩⎪⎨⎪⎧2n ＋1，n 为奇数，n ＋1，n 为偶数，∴T 2n ＝22＋3＋24＋5＋26＋7＋…＋22n ＋2n ＋1 ＝(22＋24＋…＋22n )＋(3＋5＋…＋2n ＋1) ＝4－4n ·41－4＋n (3＋2n ＋1)2 ＝4n ＋1－43＋n (n ＋2)， ∴T 2n ＝4n ＋13＋n 2＋2n －43.11．(2019·江西百校联盟联考)已知数列{a n }的前n 项和为S n ，数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫S n n 是公差为1的等差数列，且a 2＝3，a 3＝5. (1)求数列{a n }的通项公式；(2)设b n ＝a n ·3n ，求数列{b n }的前n 项和T n . 解：(1)由题意，得S nn ＝a 1＋n －1， 即S n ＝n (a 1＋n －1)，所以a 1＋a 2＝2(a 1＋1)，a 1＋a 2＋a 3＝3(a 1＋2)，且a 2＝3，a 3＝5. 解得a 1＝1，所以S n ＝n 2，所以当n ≥2时，a n ＝S n －S n －1＝n 2－(n －1)2＝2n －1，又n ＝1时也满足，故a n ＝2n －1. (2)由(1)得b n ＝(2n －1)·3n ，所以T n ＝1×3＋3×32＋…＋(2n －1)·3n ， 则3T n ＝1×32＋3×33＋…＋(2n －1)·3n ＋1.∴T n －3T n ＝3＋2×(32＋33＋…＋3n )－(2n －1)·3n ＋1，则－2T n ＝3＋2×32－3n ×31－3－(2n －1)·3n ＋1＝3n ＋1－6＋(1－2n )·3n ＋1＝(2－2n )·3n ＋1－6，故T n ＝(n －1)·3n ＋1＋3.12．(2019·贵阳一模)已知数列{a n }的前n 项和是S n ，且S n ＋12a n＝1(n ∈N *)．(1)求数列{a n }的通项公式；(2)设b n ＝log 13(1－S n ＋1)(n ∈N *)，令T n ＝1b 1b 2＋1b 2b 3＋…＋1b n b n ＋1，求T n .解：(1)当n ＝1时，a 1＝S 1， 由S 1＋12a 1＝1，得a 1＝23，当n ≥2时，S n ＝1－12a n ，S n －1＝1－12a n －1， 则S n －S n －1＝12(a n －1－a n )，即a n ＝12(a n －1－a n )，所以a n ＝13a n －1(n ≥2)． 故数列{a n }是以23为首项，13为公比的等比数列．故a n ＝23·⎝ ⎛⎭⎪⎫13n －1＝2·⎝ ⎛⎭⎪⎫13n (n ∈N *)． (2)因为1－S n ＝12a n ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫13n .所以b n ＝log 13(1－S n ＋1)＝log 13⎝ ⎛⎭⎪⎫13n ＋1＝n ＋1，因为1b n b n ＋1＝1(n ＋1)(n ＋2)＝1n ＋1－1n ＋2，所以T n ＝1b 1b 2＋1b 2b 3＋…＋1b n b n ＋1＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12－13＋⎝ ⎛⎭⎪⎫13－14＋…＋⎝ ⎛⎭⎪⎫1n ＋1－1n ＋2＝12－1n ＋2＝n 2(n ＋2).13．(2019·湖北四地七校联考)数列{a n }满足a 1＝1，na n ＋1＝(n ＋1)a n＋n (n ＋1)，且b n ＝a n cos 2n π3，记S n 为数列{b n }的前n 项和，则S 24＝( D )A ．294B ．174C ．470D ．304解析：∵na n ＋1＝(n ＋1)a n ＋n (n ＋1)， ∴a n ＋1n ＋1－a n n＝1， ∴数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫a n n 是公差与首项都为1的等差数列．∴a nn ＝1＋(n －1)×1，可得a n ＝n 2. ∵b n ＝a n cos 2n π3，∴b n ＝n 2cos 2n π3， 令n ＝3k －2，k ∈N *，则b 3k －2＝(3k －2)2cos 2(3k －2)π3＝ －12(3k －2)2，k ∈N *，同理可得b 3k －1＝－12(3k －1)2，k ∈N *， b 3k ＝(3k )2，k ∈N *.∴b 3k －2＋b 3k －1＋b 3k ＝－12(3k －2)2－12(3k －1)2＋(3k )2＝9k －52，k ∈N *，则S 24＝9×(1＋2＋…＋8)－52×8＝304.14．(2019·衡水联考)已知数列{a n }与{b n }的前n 项和分别为S n ，T n ，且a n ＞0,6S n ＝a 2n ＋3a n ，n ∈N *，b n ＝2a n (2a n －1)(2a n ＋1－1)，若∀n ∈N *，k ＞T n 恒成立，则k 的最小值是( B )A.17B.149 C ．49D.8441解析：当n ＝1时，6a 1＝a 21＋3a 1，解得a 1＝3或a 1＝0. 由a n ＞0，得a 1＝3.由6S n ＝a 2n ＋3a n ，得6S n ＋1＝a 2n ＋1＋3a n ＋1. 两式相减得6a n ＋1＝a 2n ＋1－a 2n ＋3a n ＋1－3a n .所以(a n ＋1＋a n )(a n ＋1－a n －3)＝0. 因为a n ＞0，所以a n ＋1＋a n ＞0，a n ＋1－a n ＝3.即数列{a n }是以3为首项，3为公差的等差数列， 所以a n ＝3＋3(n －1)＝3n . 所以b n ＝2a n (2a n －1)(2a n ＋1－1)＝8n(8n －1)(8n ＋1－1) ＝17⎝ ⎛⎭⎪⎫18n －1－18n ＋1－1. 所以T n ＝17⎝⎛18－1－182－1＋182－1－183－1＋…⎭⎪⎫＋18n －1－18n ＋1－1 ＝17⎝ ⎛⎭⎪⎫17－18n ＋1－1＜149. 要使∀n ∈N *，k ＞T n 恒成立，只需k ≥149.故选B.15．设f (x )＝4x4x ＋2，若S ＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12 017＋f ⎝ ⎛⎭⎪⎫22 017＋…＋f ⎝ ⎛⎭⎪⎫2 0162 017，则S ＝ 1 008 .解析：∵f (x )＝4x4x ＋2，∴f (1－x )＝41－x 41－x ＋2＝22＋4x ，∴f (x )＋f (1－x )＝4x 4x ＋2＋22＋4x＝1.S ＝f ⎝⎛⎭⎪⎫12 017＋f ⎝⎛⎭⎪⎫22 017＋…＋f ⎝⎛⎭⎪⎫2 0162 017，①S ＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫2 0162 017＋f ⎝ ⎛⎭⎪⎫2 0152 017＋…＋f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12 017，②①＋②，得2S ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤f ⎝⎛⎭⎪⎫12 017＋f ⎝⎛⎭⎪⎫2 0162 017＋⎣⎢⎡⎦⎥⎤f ⎝ ⎛⎭⎪⎫22 017＋f ⎝ ⎛⎭⎪⎫2 0152 017＋…＋⎣⎢⎡⎦⎥⎤f ⎝ ⎛⎭⎪⎫2 0162 017＋f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12 017 ＝2 016， ∴S ＝2 0162＝1 008.16．已知数列{a n }的首项a 1＝3，前n 项和为S n ，a n ＋1＝2S n ＋3，n ∈N *.(1)求数列{a n }的通项公式．(2)设b n ＝log 3a n ，求数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫b n a n 的前n 项和T n ，并证明：13≤T n ＜34.解：(1)由a n ＋1＝2S n ＋3， 得a n ＝2S n －1＋3(n ≥2)，两式相减得a n ＋1－a n ＝2(S n －S n －1)＝2a n ， 故a n ＋1＝3a n (n ≥2)，所以当n ≥2时，{a n }是以3为公比的等比数列． 因为a 2＝2S 1＋3＝2a 1＋3＝9，a 2a 1＝3，所以{a n }是首项为3，公比为3的等比数列，a n ＝3n . (2)a n ＝3n ，故b n ＝log 3a n ＝log 33n ＝n ，b n a n ＝n3n ＝n ·⎝ ⎛⎭⎪⎫13n ，T n ＝1×13＋2×⎝ ⎛⎭⎪⎫132＋3×⎝ ⎛⎭⎪⎫133＋…＋n ×⎝ ⎛⎭⎪⎫13n ，①13T n ＝1×⎝ ⎛⎭⎪⎫132＋2×⎝ ⎛⎭⎪⎫133＋3×⎝ ⎛⎭⎪⎫134＋…＋(n －1)×⎝ ⎛⎭⎪⎫13n ＋n ×⎝ ⎛⎭⎪⎫13n ＋1.②①－②，得23T n ＝13＋⎝ ⎛⎭⎪⎫132＋⎝ ⎛⎭⎪⎫133＋…＋⎝ ⎛⎭⎪⎫13n －n ×⎝ ⎛⎭⎪⎫13n ＋1＝13－⎝ ⎛⎭⎪⎫13n ＋11－13－n ×⎝ ⎛⎭⎪⎫13n ＋1＝12－⎝ ⎛⎭⎪⎫32＋n ⎝ ⎛⎭⎪⎫13n ＋1，所以T n ＝34－12⎝⎛⎭⎪⎫32＋n ⎝ ⎛⎭⎪⎫13n .因为⎝ ⎛⎭⎪⎫32＋n ⎝ ⎛⎭⎪⎫13n ＞0，所以T n ＜34.又因为T n ＋1－T n ＝n ＋13n ＋1＞0，所以数列{T n }单调递增， 所以(T n )min ＝T 1＝13， 所以13≤T n ＜34.Earlybird。
【人教版】红对勾2020届高考一轮数学(理)复习：课时作业18
课时作业26 平面向量的概念及其线性运算1．设a 是非零向量，λ是非零实数，下列结论中正确的是( B ) A ．a 与λa 的方向相反 B ．a 与λ2a 的方向相同 C ．|－λa |≥|a |D ．|－λa |≥|λ|·a解析：对于A ，当λ＞0时，a 与λa 的方向相同，当λ＜0时，a 与λa 的方向相反；B 正确；对于C ，|－λa |＝|－λ||a |，由于|－λ|的大小不确定，故|－λa |与|a |的大小关系不确定；对于D ，|λ|a 是向量，而|－λa |表示长度，两者不能比较大小．2．(2019·合肥质检)已知O ，A ，B ，C 为同一平面内的四个点，若2AC→＋CB →＝0，则向量OC →等于( C ) A ．23OA →－13OB →B ．－13OA →＋23OB →C ．2OA→－OB → D ．－OA→＋2OB → 解析：因为AC→＝OC →－OA →，CB →＝OB →－OC →，所以2AC →＋CB →＝2(OC →－OA→)＋(OB →－OC →)＝OC →－2OA →＋OB →＝0，所以OC →＝2OA →－OB →. 3．(2019·济宁模拟)如图所示，在△ABC 中，点O 是BC 的中点，过点O 的直线分别交直线AB ，AC 于不同的两点M ，N ，若AB →＝mAM →，AC→＝nAN →，则m ＋n 的值为( B )A ．1B ．2C ．3D ．4解析：∵O 为BC 的中点， ∴AO →＝12(AB →＋AC →) ＝12(mAM →＋nAN →)＝m 2AM →＋n 2AN →，∵M ，O ，N 三点共线，∴m 2＋n2＝1，∴m ＋n ＝2.4．(2019·河南中原名校联考)如图，在直角梯形ABCD 中，AB ＝2AD ＝2DC ，E 为BC 边上一点，BC →＝3EC →，F 为AE 的中点，则BF →＝( C )A ．23AB →－13AD → B ．13AB →－23AD →C ．－23AB →＋13AD →D ．－13AB →＋23AD →解析：BF →＝BA →＋AF →＝BA →＋12AE → ＝－AB →＋12⎝ ⎛⎭⎪⎫AD →＋12AB →＋CE →＝－AB →＋12⎝⎛⎭⎪⎫AD →＋12AB →＋13CB →＝－AB →＋12AD →＋14AB →＋16(CD →＋DA →＋AB →) ＝－23AB →＋13AD →.5．(2019·长春模拟)在△ABC 中，D 为△ABC 所在平面内一点，且AD →＝13AB →＋12AC →，则S △BCD S △ABD＝( B )A ．16 B ．13 C ．12D ．23解析：由AD →＝13AB →＋12AC →得点D 在平行于AB 的中位线上，从而有S △ABD ＝12S △ABC ，又S △ACD ＝13S △ABC ，所以S △BCD ＝⎝⎛⎭⎪⎫1－12－13S △ABC ＝16S△ABC ，所以S △BCD S △ABD ＝13.故选B ． 6．(2019·太原模拟)在△ABC 中，AB ＝3，AC ＝2，∠BAC ＝60°，点P 是△ABC 内一点(含边界)，若AP →＝23AB →＋λ·AC →，则|AP →|的取值范围为( D )A ．⎣⎢⎡⎦⎥⎤2，210＋333 B ．⎣⎢⎡⎦⎥⎤2，83C ．⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，2133 D ．⎣⎢⎡⎦⎥⎤2，2133 解析：在AB 上取一点D ，使得AD →＝23AB →，过D 作DH ∥AC ，交BC 于H .∵AP →＝23AB →＋λAC →，且点P 是△ABC 内一点(含边界)，∴点P 在线段DH 上．当P 在D 点时，|AP→|取得最小值2； 当P 在H 点时，|AP →|取得最大值， 此时B ，P ，C 三点共线， ∵AP →＝23AB →＋λAC →，∴λ＝13， ∴AP →＝13AC →＋23AB →，∴AP →2＝19AC →2＋49AB →2＋49AB →·AC →＝529，∴|AP →|＝2133. 故|AP →|的取值范围为⎣⎢⎡⎦⎥⎤2，2133.故选D ． 7．已知△ABC 和点M 满足MA →＋MB →＋MC →＝0，若存在实数m 使得AB→＋AC →＝mAM →成立，则m ＝3__. 解析：由已知条件得MB→＋MC →＝－MA →，如图，延长AM 交BC 于D 点， 则D 为BC 的中点．延长BM 交AC 于E 点，延长CM 交AB 于F 点， 同理可证E ，F 分别为AC ，AB 的中点，即M 为△ABC 的重心，∴AM →＝23AD →＝13(AB →＋AC →)， 即AB→＋AC →＝3AM →，则m ＝3. 8．(2019·郑州模拟)设e 1与e 2是两个不共线向量，AB →＝3e 1＋2e 2，CB →＝k e 1＋e 2，CD →＝3e 1－2k e 2，若A ，B ，D 三点共线，则k 的值为－94.解析：由题意，A ，B ，D 三点共线，故必存在一个实数λ，使得AB →＝λBD→. 又AB →＝3e 1＋2e 2，CB →＝k e 1＋e 2，CD →＝3e 1－2k e 2， 所以BD →＝CD →－CB →＝3e 1－2k e 2－(k e 1＋e 2)＝(3－k )e 1－(2k ＋1)e 2， 所以3e 1＋2e 2＝λ(3－k )e 1－λ(2k ＋1)e 2，又e 1与e 2不共线，所以⎩⎪⎨⎪⎧3＝λ(3－k )，2＝－λ(2k ＋1)，解得k ＝－94.9．在直角梯形ABCD 中，A ＝90°，B ＝30°，AB ＝23，BC ＝2，点E 在线段CD 上，若AE →＝AD →＋μAB →，则μ的取值范围是⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，12 .解析：由题意可求得AD ＝1，CD ＝3，∴AB →＝2DC →， ∵点E 在线段CD 上，∴DE →＝λDC →(0≤λ≤1)． ∵AE→＝AD →＋DE →， 又AE →＝AD →＋μAB →＝AD →＋2μDC →＝AD →＋2μλDE →，∴2μλ＝1，即μ＝λ2，∵0≤λ≤1，∴0≤μ≤12.即μ的取值范围是⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，12. 10．(2019·太原质检)设G 为△ABC 的重心，且sin A ·GA →＋sin B ·GB →＋sin C ·GC →＝0，则角B 的大小为60°__.解析：∵G 是△ABC 的重心，∴GA→＋GB →＋GC →＝0，GA →＝－(GB →＋GC →)， 将其代入sin A ·GA →＋sin B ·GB →＋sin C ·GC →＝0， 得(sin B －sin A )GB→＋(sin C －sin A )GC →＝0. 又GB→，GC →不共线，∴sin B －sin A ＝0，sin C －sin A ＝0. 则sin B ＝sin A ＝sin C ． 根据正弦定理知，b ＝a ＝c ， ∴△ABC 是等边三角形，则B ＝60°.11．如图所示，在△ABC 中，D ，F 分别是AB ，AC 的中点，BF 与CD 交于点O ，设AB→＝a ，AC →＝b ，试用a ，b 表示向量AO →.解：由D ，O ，C 三点共线，可设DO →＝k 1DC →＝k 1(AC →－AD →)＝k 1⎝⎛⎭⎪⎫b －12a ＝－12k 1a ＋k 1b (k 1为实数)，同理，可设BO →＝k 2BF →＝k 2(AF →－AB →) ＝k 2⎝⎛⎭⎪⎫12b －a ＝－k 2a ＋12k 2b (k 2为实数)，①又BO →＝BD →＋DO →＝－12a ＋⎝⎛⎭⎪⎫－12k 1a ＋k 1b＝－12(1＋k 1)a ＋k 1b ，②所以由①②，得－k 2a ＋12k 2b ＝－12(1＋k 1)a ＋k 1b ，即12(1＋k 1－2k 2)a ＋⎝ ⎛⎭⎪⎫12k 2－k 1b ＝0. 又a ，b 不共线， 所以⎩⎪⎨⎪⎧12(1＋k 1－2k 2)＝0，12k 2－k 1＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧k 1＝13，k 2＝23.所以BO →＝－23a ＋13B ． 所以AO →＝AB →＋BO →＝a ＋⎝⎛⎭⎪⎫－23a ＋13b ＝13(a ＋b )．12．(2019·四川成都外国语学校月考)设P 是△ABC 所在平面内的一点，若AB →·(CB →＋CA →)＝2AB →·CP →且|AB →|2＝|AC →|2－2BC →·AP →，则点P 是△ABC 的( A )A ．外心B ．内心C ．重心D ．垂心解析：由AB →·(CB →＋CA →)＝2AB →·CP →，得AB →·(CB →＋CA →－2CP →)＝0，即AB →·[(CB→－CP →)＋(CA →－CP →)]＝0， 所以AB →·(PB →＋P A →)＝0.设D 为AB 的中点，则AB →·2PD →＝0，故AB →·PD →＝0.因为|AB →|2＝|AC →|2－2BC →·AP →，所以(AC →＋AB →)·(AC →－AB →)＝2BC →·AP →，所以BC →·(AC →＋AB →－2AP →)＝0.设BC 的中点为E ，同理可得BC →·PE →＝0，所以P 为AB 与BC 的垂直平分线的交点， 所以P 是△ABC 的外心．故选A ．13．如图所示，在△ABC 中，AD ＝DB ，点F 在线段CD 上，设AB →＝a ，AC →＝b ，AF →＝x a ＋y b ，则1x ＋4y ＋1的最小值为( D )A ．6＋2 2B ．6 3C ．6＋4 2D ．3＋2 2解析：由题意知AF→＝x a ＋y b ＝2xAD →＋yAC →， 因为C ，F ，D 三点共线，所以2x ＋y ＝1，即y ＝1－2x . 由题图可知x ＞0且x ≠1. 所以1x ＋4y ＋1＝1x ＋21－x ＝x ＋1x －x 2.令f (x )＝x ＋1x －x 2，则f ′(x )＝x 2＋2x －1(x －x 2)2，令f ′(x )＝0，得x ＝2－1或x ＝－2－1(舍)． 当0＜x ＜2－1时，f ′(x )＜0， 当x ＞2－1且x ≠1时，f ′(x )＞0.所以当x ＝2－1时，f (x )取得极小值，亦为最小值，最小值为f (2－1)＝2(2－1)－(2－1)2＝3＋2 2.14．(2019·河北百校联盟联考)已知在△ABC 中，点D 满足2BD →＋CD →＝0，过点D 的直线l 与直线AB ，AC 分别交于点M ，N ，AM →＝λAB →，AN →＝μAC →.若λ＞0，μ＞0，则λ＋μ的最小值为3＋223 .解析：连接AD ．因为2BD →＋CD →＝0，所以BD →＝13BC →， AD →＝AB →＋BD →＝AB →＋13BC →＝AB →＋13(AC →－AB →)＝ 23AB →＋13AC →.因为D ，M ，N 三点共线，所以存在x ∈R ， 使AD→＝xAM →＋(1－x )AN →， 则AD→＝xλAB →＋(1－x )μAC →， 所以xλAB →＋(1－x )μAC →＝23AB →＋13AC →，所以xλ＝23，(1－x )μ＝13，所以x ＝23λ，1－x ＝13μ，所以23λ＋13μ＝1，所以λ＋μ＝13(λ＋μ)⎝ ⎛⎭⎪⎫2λ＋1μ＝13⎝ ⎛⎭⎪⎫3＋2μλ＋λμ≥3＋223，当且仅当λ＝2μ时等号成立， 所以λ＋μ的最小值为3＋223.15．定义两个平面向量的一种运算a ⊗b ＝|a |·|b |sin 〈a ，b 〉，则关于平面向量上述运算的以下结论中，①a ⊗b ＝b ⊗a ； ②λ(a ⊗b )＝(λa )⊗b ； ③若a ＝λb ，则a ⊗b ＝0；④若a ＝λb 且λ＞0，则(a ＋b )⊗c ＝(a ⊗c )＋(b ⊗c )．正确的序号是①③④__.解析：①恒成立，②λ(a⊗b)＝λ|a|·|b|sin〈a，b〉，(λa)⊗b＝|λa|·|b|sin〈a，b〉，当λ＜0时，λ(a⊗b)＝(λa)⊗b不成立，③a＝λb，则sin〈a，b〉＝0，故a⊗b＝0恒成立，④a＝λb，且λ＞0，则a＋b＝(1＋λ)b，(a＋b)⊗c＝|(1＋λ)||b|·|c|sin〈b，c〉，(a⊗c)＋(b⊗c)＝|λb|·|c|sin〈b，c〉＋|b|·|c|sin 〈b，c〉＝|1＋λ||b|·|c|sin〈b，c〉，故(a＋b)⊗c＝(a⊗c)＋(b⊗c)恒成立．。
【人教版】2020届高考一轮数学(理)复习：课时作业 (70)
课时作业70 二项分布、正态分布及其应用1．设X ～N (μ1，σ21)，Y ～N (μ2，σ22)，这两个正态分布密度曲线如图所示．下列结论中正确的是( C )A ．P (Y ≥μ2)≥P (Y ≥μ1)B ．P (X ≤σ2)≤P (X ≤σ1)C ．对任意正数t ，P (X ≤t )≥P (Y ≤t )D ．对任意正数t ，P (X ≥t )≥P (Y ≥t ) 解析：由题图可知μ1<0<μ2，σ1<σ2， ∴P (Y ≥μ2)<P (Y ≥μ1)，故A 错 ； P (X ≥σ2)>P (X ≤σ1)，故B 错； 当t 为任意正数时，由题图可知 P (X ≤t )≥P (Y ≤t )， 而P (X ≤t )＝1－P (X ≥t )，P (Y ≤t )＝1－P (Y ≥t )， ∴P (X ≥t )≤P (Y ≥t )，故C 正确，D 错． 2．(2019·福建厦门模拟)袋中装有2个红球，3个黄球，有放回地抽取3次，每次抽取1球，则3次中恰有2次抽到黄球的概率是( D ) A.25 B.35 C.18125 D.54125 解析：袋中装有2个红球，3个黄球，有放回地抽取3次，每次抽取1球，每次取到黄球的概率P 1＝35，∴3次中恰有2次抽到黄球的概率是P ＝C 23⎝ ⎛⎭⎪⎫352⎝ ⎛⎭⎪⎫1－35＝54125. 3．(2019·河北唐山模拟)甲乙等4人参加4×100米接力赛，在甲不跑第一棒的条件下，乙不跑第二棒的概率是( D )A.29B.49C.23D.79 解析：甲不跑第一棒共有A 13·A 33＝18种情况，甲不跑第一棒且乙不跑第二棒共有两类：(1)乙跑第一棒，共有A 33＝6种情况；(2)乙不跑第一棒，共有A 12·A 12·A 22＝8种情况，∴甲不跑第一棒的条件下，乙不跑第二棒的概率为6＋818＝79.故选D. 4．(2019·山东淄博一模)设每天从甲地去乙地的旅客人数为随机变量X ，且X ～N (800,502)．则一天中从甲地去乙地的旅客人数不超过900的概率为( A ) (参考数据：若X ～N (μ，σ2)，有P (μ－σ<X ≤μ＋σ)＝0.682 6，P (μ－2σ<X ≤μ＋2σ)＝0.954 4，P (μ－3σ<X ≤μ＋3σ)＝0.997 4) A ．0.977 2 B ．0.682 6 C ．0.997 4 D ．0.954 4 解析：∵X ～N (800,502)， ∴P (700≤X ≤900)＝0.954 4， ∴P (X >900)＝1－0.954 42＝0.022 8， ∴P (X ≤900)＝1－0.022 8＝0.977 2. 故选A. 5．甲、乙两个小组各10名学生的英语口语测试成绩如下(单位：分)． 甲组：76,90,84,86,81,87,86,82,85,83 乙组：82,84,85,89,79,80,91,89,79,74 现从这20名学生中随机抽取一人，将“抽出的学生为甲组学生”记为事件A ；“抽出的学生的英语口语测试成绩不低于85分”记为事件B ，则P (AB )，P (A |B )的值分别是( A ) A.14，59 B.14，49C.15，59D.15，49 解析：由题意知，P (AB )＝1020×510＝14，根据条件概率的计算公式得P (A |B )＝P (AB )P (B )＝14920＝59. 6．为向国际化大都市目标迈进，某市今年新建三大类重点工程，它们分别是30项基础设施类工程、20项民生类工程和10项产业建设类工程．现有3名民工相互独立地从这60个项目中任选一个项目参与建设，则这3名民工选择的项目所属类别互异的概率是( D ) A.12 B.13 C.14 D.16 解析：记第i 名民工选择的项目属于基础设施类、民生类、产业建设类分别为事件A i ，B i ，C i ，i ＝1,2,3.由题意，事件A i ，B i ，C i (i ＝1,2,3)相互独立，则P (A i )＝3060＝12，P (B i )＝2060＝13，P (C i )＝1060＝16，i ＝1,2,3，故这3名民工选择的项目所属类别互异的概率是P ＝A 33P (A i B i C i )＝6×12×13×16＝16. 7．位于坐标原点的一个质点P 按下述规则移动：质点每次移动一个单位，移动的方向为向上或向右，并且向上、向右移动的概率都是12.质点P 移动五次后位于点(2,3)的概率是516. 解析：由于质点每次移动一个单位，移动的方向为向上或向右，移动五次后位于点(2,3)，所以质点P 必须向右移动两次，向上移动三次，故其概率为C 35⎝ ⎛⎭⎪⎫123·⎝ ⎛⎭⎪⎫122＝C 35⎝ ⎛⎭⎪⎫125＝C 25⎝ ⎛⎭⎪⎫125＝516. 8．(2019·江西南昌模拟)口袋中装有大小形状相同的红球2个，白球3个，黄球1个，甲从中不放回地逐一取球，已知第一次取得红球，则第二次取得白球的概率为35. 解析：口袋中装有大小形状相同的红球2个，白球3个，黄球1个，甲从中不放回地逐一取球，设事件A 表示“第一次取得红球”，事件B 表示“第二次取得白球”，则P (A )＝26＝13，P (AB )＝26×35＝15，∴第一次取得红球后，第二次取得白球的概率为P (B |A )＝P (AB )P (A )＝1513＝35. 9.如图，四边形EFGH 是以O 为圆心，半径为1的圆的内接正方形．将一颗豆子随机地扔到该圆内，用A 表示事件“豆子落在正方形EFGH 内”，B 表示事件“豆子落在扇形OHE (阴影部分)内”，则P (B |A )＝14. 解析：由题意可得，事件A 发生的概率P (A )＝S 正方形EFGH S 圆O ＝2×2π×12＝2π.事件AB 表示“豆子落在△EOH 内”，则P (AB )＝S △EOH S 圆O ＝12×12π×12＝12π， 故P (B |A )＝P (AB )P (A )＝12π2π＝14. 10．某一部件由三个电子元件按如图所示方式连接而成，元件1或元件2正常工作，且元件3正常工作，则部件正常工作．设三个电子元件的使用寿命(单位：小时)均服从正态分布N (1 000,502)，且各个元件能否正常工作相互独立，那么该部件的使用寿命超过1 000小时的概率为38.解析：设元件1,2,3的使用寿命超过1 000小时的事件分别记为A ，B ，C ，显然P (A )＝P (B )＝P (C )＝12， ∴该部件的使用寿命超过1 000小时的事件为(A B ＋A B ＋AB )C ，∴该部件的使用寿命超过1 000小时的概率 P ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12×12＋12×12＋12×12×12＝38. 11．(2014·新课标Ⅰ)从某企业生产的某种产品中抽取500件，测量这些产品的一项质量指标值，由测量结果得如下频率分布直方图：(1)求这500件产品质量指标值的样本平均数x 和样本方差s 2(同一组中的数据用该组区间的中点值作代表)； (2)由直方图可以认为，这种产品的质量指标值Z 服从正态分布N (μ，σ2)，其中μ近似为样本平均数x ，σ2近似为样本方差s 2. (ⅰ)利用该正态分布，求P (187.8＜Z ＜212.2)； (ⅱ)某用户从该企业购买了100件这种产品，记X 表示这100件产品中质量指标值位于区间(187.8，212.2)的产品件数．利用(ⅰ)的结果，求E (X )．附：150≈12.2.若Z～N(μ，σ2)，则P(μ－σ＜Z＜μ＋σ)＝0.682 6，P(μ－2σ＜Z＜μ＋2σ)＝0.954 4.解：(1)抽取产品的质量指标值的样本平均数x和样本方差s2分别为x＝170×0.02＋180×0.09＋190×0.22＋200×0.33＋210×0.24＋220×0.08＋230×0.02＝200，s2＝(－30)2×0.02＋(－20)2×0.09＋(－10)2×0.22＋0×0.33＋102×0.24＋202×0.08＋302×0.02＝150.(2)(ⅰ)由(1)知，Z～N(200,150)，从而P(187.8<Z<212.2)＝P(200－12.2<Z<200＋12.2)＝0.682 6.(ⅱ)由(ⅰ)知，一件产品的质量指标值位于区间(187.8,212.2)的概率为0.682 6，依题意知X～B(100,0.682 6)，所以E(X)＝100×0.682 6＝68.26.12．(2019·广东顺德一模)某市市民用水拟实行阶梯水价，每人月用水量不超过w立方米的部分按4元/立方米收费，超出w立方米的部分按10元/立方米收费，从该市随机调查了100位市民，获得了他们某月的用水量数据，整理得到如下频率分布直方图，并且前四组频数成等差数列．(1)求a，b，c的值及居民月用水量在2～2.5内的频数；(2)根据此次调查，为使80%以上居民月用水价格为4元/立方米，应将w定为多少？(精确到小数点后2位)(3)若将频率视为概率，现从该市随机调查3名居民的月用水量，将月用水量不超过2.5立方米的人数记为X，求其分布列及均值．解：(1)∵前四组频数成等差数列， ∴所对应的频率组距也成等差数列， 设a ＝0.2＋d ，b ＝0.2＋2d ，c ＝0.2＋3d ， ∴0.5(0.2＋0.2＋d ＋0.2＋2d ＋0.2＋3d ＋0.2＋d ＋0.1＋0.1＋0.1)＝1， 解得d ＝0.1，∴a ＝0.3，b ＝0.4，c ＝0.5. 居民月用水量在2～2.5内的频率为0.5×0.5＝0.25. 居民月用水量在2～2.5内的频数为0.25×100＝25. (2)由题图及(1)可知，居民月用水量小于2.5的频率为0.7<0.8， ∴为使80%以上居民月用水价格为4元/立方米， 应规定w ＝2.5＋0.10.15×0.5≈2.83. (3)将频率视为概率，设A (单位：立方米)代表居民月用水量， 可知P (A ≤2.5)＝0.7， 由题意，X ～B (3,0.7)， P (X ＝0)＝C 03×0.33＝0.027， P (X ＝1)＝C 13×0.32×0.7＝0.189， P (X ＝2)＝C 23×0.3×0.72＝0.441， P (X ＝3)＝C 33×0.73＝0.343. ∴X 的分布列为∵X ～B ∴E (X )＝np ＝2.1.13．(2019·广东茂名一模)设X ～N (1,1)，其正态分布密度曲线如图所示，那么向正方形ABCD 中随机投掷10 000个点，则落入阴影部分的点的个数的估计值是( D ) (注：若X ～N (μ，σ2)，则P (μ－σ<X <μ＋σ)＝68.26%，P (μ－2σ<X <μ＋2σ)＝95.44%)A ．7 539B ．6 038C ．7 028D ．6 587 解析：∵X ～N (1,1)， ∴μ＝1，σ＝1. ∵P (μ－σ<X <μ＋σ)＝68.26%， ∴P (0<X <2)＝68.26%， 则P (1<X <2)＝34.13%， ∴阴影部分的面积为1－0.341 3＝0.658 7.∴向正方形ABCD 中随机投掷10 000个点，则落入阴影部分的点的个数的估计值是10 000×0.658 7＝6 587.故选D. 14．(2019·金华一中模拟)春节放假，甲回老家过节的概率为13，乙、丙回老家过节的概率分别为14，15.假定三人的行动相互之间没有影响，那么这段时间内至少1人回老家过节的概率为( B ) A.5960 B.35 C.12 D.160 解析：“甲、乙、丙回老家过节”分别记为事件A ，B ，C ，则P (A )＝13，P (B )＝14，P (C )＝15，所以P (A )＝23，P (B )＝34，P (C )＝45.由题知A ，B ，C 为相互独立事件，所以三人都不回老家过节的概率 P (A B C )＝P (A )P (B )P (C )＝23×34×45＝25，所以至少有一人回老家过节的概率P ＝1－25＝35.15．甲罐中有5个红球，2个白球和3个黑球，乙罐中有4个红球，3个白球和3个黑球．先从甲罐中随机取出一球放入乙罐，分别以A1，A2和A3表示由甲罐取出的球是红球，白球和黑球的事件；再从乙罐中随机取出一球，以B表示由乙罐取出的球是红球的事件，则下列结论中正确的是②④.(写出所有正确结论的序号)①P(B)＝2 5；②P(B|A1)＝5 11；③事件B与事件A1相互独立；④A1，A2，A3是两两互斥的事件；⑤P(B)的值不能确定，它与A1，A2，A3中哪一个发生都有关．解析：由题意知A1，A2，A3是两两互斥的事件，P(A1)＝510＝12，P(A2)＝210＝15，P(A3)＝310，P(B|A1)＝12×51112＝511，由此知，②正确；P(B|A2)＝411，P(B|A3)＝411，而P(B)＝P(A1B)＋P(A2B)＋P(A3B)＝P(A1)P(B|A1)＋P(A2)P(B|A2)＋P(A3)P(B|A3)＝12×511＋15×411＋310×411＝922.由此知①③⑤不正确；A1，A2，A3是两两互斥事件，④正确，故答案为②④.16．(2019·河北石家庄新华模拟)“过大年，吃水饺”是我国不少地方过春节的一大习俗.2018年春节前夕，A市某质检部门随机抽取了100包某种品牌的速冻水饺，检测其某项质量指标值，所得频率分布直方图如下：(1)求所抽取的100包速冻水饺该项质量指标值的样本平均数x (同一组中的数据用该组区间的中点值作代表)；(2)①由直方图可以认为，速冻水饺的该项质量指标值Z 服从正态分布N (μ，σ2)，利用该正态分布，求Z 落在(14.55,38.45)内的概率； ②将频率视为概率，若某人从某超市购买了4包这种品牌的速冻水饺，记这4包速冻水饺中这种质量指标值位于(10,30)内的包数为X ，求X 的分布列和数学期望． 附：计算得所抽查的这100包速冻水饺的质量指标值的标准差为σ＝142.75≈11.95； 若ξ～N (μ，σ2)，则P (μ－σ<ξ≤μ＋σ)＝0.682 6，P (μ－2σ<ξ≤μ＋2σ)＝0.954 4. 解：(1)所抽取的100包速冻水饺该项质量指标值的平均数x ＝5×0.1＋15×0.2＋25×0.3＋35×0.25＋45×0.15＝26.5. (2)①∵Z 服从正态分布N (μ，σ2)，且μ＝26.5，σ≈11.95， ∴P (14.55<Z <38.45)＝P (26.5－11.95<Z <26.5＋11.95)＝0.682 6， ∴Z 落在(14.55,38.45)内的概率是0.682 6. ②根据题意得X ～B ⎝ ⎛⎭⎪⎫4，12， P (X ＝0)＝C 04⎝ ⎛⎭⎪⎫124＝116； P (X ＝1)＝C 14⎝ ⎛⎭⎪⎫124＝14； P (X ＝2)＝C 24⎝ ⎛⎭⎪⎫124＝38； P (X ＝3)＝C 34⎝ ⎛⎭⎪⎫124＝14；【人教版】红对勾2020届高考一轮数学（理）复习：课时作业P(X＝4)＝C44⎝⎛⎭⎪⎫124＝116. ∴X的分布列为∴E(X)＝4×12＝2.。
【人教版】红对勾2020届高考一轮数学(理)复习：课时作业48
课时作业53 椭圆1．已知三点P (5,2)，F 1(－6,0)，F 2(6,0)，那么以F 1，F 2为焦点且经过点P 的椭圆的短轴长为( B )A ．3B ．6C ．9D ．12解析：因为点P (5,2)在椭圆上，所以|PF 1|＋|PF 2|＝2a ，|PF 2|＝5，|PF 1|＝55，所以2a ＝65，即a ＝35，c ＝6，则b ＝3，故椭圆的短轴长为6，故选B.2．设F 1，F 2为椭圆x 29＋y 25＝1的两个焦点，点P 在椭圆上，若线段PF 1的中点在y 轴上，则|PF 2||PF 1|的值为( B )A.514 B ．513 C.49D ．59 解析：由题意知a ＝3，b ＝5，c ＝2. 设线段PF 1的中点为M ，则有OM ∥PF 2， ∵OM ⊥F 1F 2，∴PF 2⊥F 1F 2， ∴|PF 2|＝b 2a ＝53.又∵|PF 1|＋|PF 2|＝2a ＝6， ∴|PF 1|＝2a －|PF 2|＝133， ∴|PF 2||PF 1|＝53×313＝513，故选B.3．已知点P 是椭圆x 24＋y 23＝1上一点，F 1，F 2分别为椭圆的左、右焦点，M 为△PF 1F 2的内心，若S △MPF 1＝λS △MF 1F 2－S △MPF 2成立，则λ的值为( D )A.32 B ．12 C.22D ．2解析：设内切圆的半径为r ，因为S △MPF 1＝λS △MF 1F 2－S △MPF 2， 所以S △MPF 1＋S △MPF 2＝λS △MF 1F 2； 由椭圆的定义可知|PF 1|＋|PF 2|＝2a ，|F 1F 2|＝2c ， 所以ar ＝λcr ，c ＝a 2－b 2， 所以λ＝aa 2－b2＝2. 4．(2019·安徽宣城一模)已知椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)的左顶点为M ，上顶点为N ，右焦点为F ，若NM →·NF →＝0，则椭圆的离心率为( D )A.32 B ．2－12C.3－12D ．5－12解析：由题意知，M (－a,0)，N (0，b )，F (c,0)， ∴NM →＝(－a ，－b )，NF →＝(c ，－b )． ∵NM →·NF →＝0，∴－ac ＋b 2＝0，即b 2＝ac . 又知b 2＝a 2－c 2，∴a 2－c 2＝ac . ∴e 2＋e －1＝0，解得e ＝5－12或e ＝－5－12(舍)． ∴椭圆的离心率为5－12，故选D.5．(2019·湖北重点中学联考)已知椭圆x 24＋y 23＝1的左、右焦点分别为F 1、F 2，过F 2且垂直于长轴的直线交椭圆于A ，B 两点，则△ABF 1内切圆的半径为( D )A.43 B ．1 C.45D ．34解析：法一：不妨设A 点在B 点上方，由题意知，F 2(1,0)，将F 2的横坐标代入椭圆方程x 24＋y 23＝1中， 可得A 点纵坐标为32，故|AB |＝3，所以内切圆半径r ＝2S C ＝68＝34(其中S 为△ABF 1的面积，C 为△ABF 1的周长)，故选D.法二：由椭圆的通径公式得|AB |＝2b 2a ＝3，则S △ABF 1＝12×2×3＝3，又易得△ABF 1的周长C ＝4a ＝8，则由S △ABF 1＝12C ·r 可得r ＝34.故选D.6．(2019·豫南九校联考)已知两定点A (－1,0)和B (1,0)，动点P (x ，y )在直线l ：y ＝x ＋3上移动，椭圆C 以A ，B 为焦点且经过点P ，则椭圆C 的离心率的最大值为( A )A.55 B ．105 C.255D ．2105解析：不妨设椭圆方程为x 2a 2＋y 2a 2－1＝1(a ＞1)，与直线l 的方程联立得⎩⎨⎧x 2a 2＋y 2a 2－1＝1，y ＝x ＋3，消去y 得(2a 2－1)x 2＋6a 2x ＋10a 2－a 4＝0，由题意易知Δ＝36a 4－4(2a 2－1)(10a 2－a 4)≥0，解得a ≥5， 所以e ＝c a ＝1a ≤55， 所以e 的最大值为55.故选A.7．(2019·河北衡水中学模拟)设F 1、F 2分别是椭圆x 225＋y 216＝1的左、右焦点，P 为椭圆上任意一点，点M 的坐标为(6,4)，则|PM |－|PF 1|的最小值为 －5 .解析：由椭圆的方程可知F 2(3,0)， 由椭圆的定义可得|PF 1|＝2a －|PF 2|，∴|PM |－|PF 1|＝|PM |－(2a －|PF 2|)＝|PM |＋|PF 2|－2a ≥|MF 2|－2a ， 当且仅当M ，P ，F 2三点共线时取得等号， 又|MF 2|＝(6－3)2＋(4－0)2＝5,2a ＝10， ∴|PM |－|PF 1|≥5－10＝－5， 即|PM |－|PF 1|的最小值为－5.8．过点M (1,1)作斜率为－12的直线与椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)相交于A ，B 两点，若M 是线段AB 的中点，则椭圆C 的离心率等于 22 .解析：设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则x 21a 2＋y 21b 2＝1，① x 22a 2＋y 22b 2＝1.②①、②两式相减并整理得y 1－y 2x 1－x 2＝－b 2a 2·x 1＋x 2y 1＋y 2.结合已知条件得，－12＝－b 2a 2×22， ∴b 2a 2＝12，故椭圆的离心率e ＝1－b 2a 2＝22.9．已知F 1，F 2是椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)的两个焦点，P 为椭圆C 上的一点，且∠F 1PF 2＝60°，S △PF 1F 2＝33，则b ＝ 3 .解析：由题意得|PF 1|＋|PF 2|＝2a ， 又∠F 1PF 2＝60°，所以|PF 1|2＋|PF 2|2－2|PF 1||PF 2|cos60°＝|F 1F 2|2， 所以(|PF 1|＋|PF 2|)2－3|PF 1||PF 2|＝4c 2， 所以3|PF 1||PF 2|＝4a 2－4c 2＝4b 2， 所以|PF 1||PF 2|＝43b 2，所以S △PF 1F 2＝12|PF 1||PF 2|sin60°＝12×43b 2×32＝33b 2＝33，所以b ＝3.10．椭圆M ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)的左、右焦点分别为F 1，F 2，P 为椭圆M 上任一点，且|PF 1|·|PF 2|的最大值的取值范围是[2b 2,3b 2]，椭圆M 的离心率为e ，则e －1e 的最小值是 －22 .解析：由椭圆的定义可知|PF 1|＋|PF 2|＝2a ，∴|PF 1|·|PF 2|≤⎝⎛⎭⎪⎫|PF 1|＋|PF 2|22＝a 2， ∴2b 2≤a 2≤3b 2，即2a 2－2c 2≤a 2≤3a 2－3c 2， ∴12≤c 2a 2≤23，即22≤e ≤63. 令f (x )＝x －1x ，则f (x )在⎣⎢⎡⎦⎥⎤22，63上是增函数，∴当e ＝22时，e －1e 取得最小值22－2＝－22.11．已知点A (0，－2)，椭圆E ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)的离心率为32，F 是椭圆E 的右焦点，直线AF 的斜率为233，O 为坐标原点．(1)求E 的方程；(2)设过点A 的动直线l 与E 相交于P ，Q 两点．当△OPQ 的面积最大时，求l 的方程．解：(1)设F (c,0)，由条件知，2c ＝233，得c ＝ 3. 又c a ＝32，所以a ＝2，b 2＝a 2－c 2＝1. 故E 的方程为x 24＋y 2＝1. (2)当l ⊥x 轴时不合题意，故设l ：y ＝kx －2，P (x 1，y 1)，Q (x 2，y 2)． 将y ＝kx －2代入x 24＋y 2＝1 得(1＋4k 2)x 2－16kx ＋12＝0. 当Δ＝16(4k 2－3)＞0，即k 2＞34时，x 1,2＝8k ±24k 2－34k 2＋1.从而|PQ |＝k 2＋1|x 1－x 2|＝4k 2＋1·4k 2－34k 2＋1.又点O 到直线PQ 的距离d ＝2k 2＋1，所以△OPQ 的面积 S △OPQ ＝12d ·|PQ |＝44k 2－34k 2＋1.设4k 2－3＝t ，则t ＞0，S △OPQ ＝4t t 2＋4＝4t ＋4t.因为t ＋4t ≥4，当且仅当t ＝2， 即k ＝±72时等号成立，且满足Δ＞0， 所以，当△OPQ 的面积最大时，l 的方程为 y ＝72x －2或y ＝－72x －2.12．已知椭圆E ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)的半焦距为c ，原点O 到经过两点(c,0)，(0，b )的直线的距离为12c .(1)求椭圆E 的离心率；(2)如图，AB 是圆M ：(x ＋2)2＋(y －1)2＝52的一条直径，若椭圆E 经过A ，B 两点，求椭圆E 的方程．解：(1)过点(c,0)，(0，b )的直线方程为bx ＋cy －bc ＝0，则原点O 到该直线的距离d ＝bc b 2＋c2＝bca ， 由d ＝12c ，得a ＝2b ＝2a 2－c 2， 可得离心率c a ＝32. (2)解法一：由(1)知，椭圆E 的方程为x 2＋4y 2＝4b 2.①依题意，圆心M (－2,1)是线段AB 的中点，且|AB |＝10.易知，AB 与x 轴不垂直，设其方程为y ＝k (x ＋2)＋1，代入①得(1＋4k 2)x 2＋8k (2k ＋1)x ＋4(2k ＋1)2－4b 2＝0.设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则x 1＋x 2＝－8k (2k ＋1)1＋4k 2，x 1x 2＝4(2k ＋1)2－4b 21＋4k 2.由x 1＋x 2＝－4，得－8k (2k ＋1)1＋4k 2＝－4，解得k ＝12.从而x 1x 2＝8－2b 2. 于是|AB |＝1＋⎝ ⎛⎭⎪⎫122|x 1－x 2| ＝52(x 1＋x 2)2－4x 1x 2 ＝10(b 2－2).由|AB |＝10，得10(b 2－2)＝10，解得b 2＝3. 故椭圆E 的方程为x 212＋y 23＝1. 解法二：由(1)知，椭圆E 的方程为x 2＋4y 2＝4b 2. ②依题意，点A ，B 关于圆心M (－2,1)对称，且|AB |＝10. 设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则x 21＋4y 21＝4b 2，x 22＋4y 22＝4b 2，两式相减并结合x 1＋x 2＝－4，y 1＋y 2＝2，得－4(x 1－x 2)＋8(y 1－y 2)＝0.易知AB 与x 轴不垂直，则x 1≠x 2， 所以AB 的斜率k AB ＝y 1－y 2x 1－x 2＝12.因此直线AB 的方程为y ＝12(x ＋2)＋1，代入②得x 2＋4x ＋8－2b 2＝0.所以x 1＋x 2＝－4，x 1x 2＝8－2b 2.于是|AB |＝1＋⎝ ⎛⎭⎪⎫122|x 1－x 2|＝ 52(x 1＋x 2)2－4x 1x 2＝10(b 2－2). 由|AB |＝10，得10(b 2－2)＝10，解得b 2＝3. 故椭圆E 的方程为x 212＋y 23＝1.13．设F 是椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)的一个焦点，P 是C 上的点，圆x 2＋y 2＝a29与线段PF 交于A ，B 两点，若A ，B 是线段PF 的两个三等分点，则椭圆C 的离心率为( D )A.33 B ．53 C.104D ．175解析：如图所示，设线段AB 的中点为D ，连接OD ，OA ，设椭圆C 的左、右焦点分别为F ，F 1， 连接PF 1.设|OD |＝t ，因为点A ，B 是线段PF 的两个三等分点， 所以点D 为线段PF 的中点，所以OD ∥PF 1，且|PF 1|＝2t ，PF 1⊥PF . 因为|PF |＝3|AB |＝6|AD |＝6⎝ ⎛⎭⎪⎫a 32－t 2， 根据椭圆的定义，得|PF |＋|PF 1|＝2a ，∴6⎝ ⎛⎭⎪⎫a 32－t 2＋2t ＝2a ， 解得t ＝a5或t ＝0(舍去)． 所以|PF |＝8a 5，|PF 1|＝2a5.在Rt △PFF 1中，|PF |2＋|PF 1|2＝|FF 1|2，即⎝ ⎛⎭⎪⎫8a 52＋⎝ ⎛⎭⎪⎫2a 52＝(2c )2，得c 2a 2＝1725， 所以椭圆C 的离心率e ＝c a ＝175.14．已知椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)的左、右焦点分别为F 1，F 2，且|F 1F 2|＝2c ，若椭圆上存在点M 使得sin ∠MF 1F 2a ＝sin ∠MF 2F 1c ，则该椭圆离心率的取值范围为( D )A ．(0，2－1)B ．⎝ ⎛⎭⎪⎫22，1 C.⎝⎛⎭⎪⎫0，22D ．(2－1,1)解析：在△MF 1F 2中，|MF 2|sin ∠MF 1F 2＝|MF 1|sin ∠MF 2F 1，而sin ∠MF 1F 2a ＝sin ∠MF 2F 1c ， ∴|MF 2||MF 1|＝sin ∠MF 1F 2sin ∠MF 2F 1＝a c .①又M 是椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1上一点，F 1，F 2是椭圆的焦点， ∴|MF 1|＋|MF 2|＝2a .②由①②得，|MF 1|＝2ac a ＋c ，|MF 2|＝2a 2a ＋c .显然|MF 2|＞|MF 1|， ∴a －c ＜|MF 2|＜a ＋c ，即a －c ＜2a 2a ＋c＜a ＋c ， 整理得c 2＋2ac －a 2＞0，∴e 2＋2e －1＞0，又0＜e ＜1，∴2－1＜e ＜1，故选D.15．过椭圆y 2a 2＋x 2b 2＝1(a ＞b ＞0)上的动点M 作圆x 2＋y 2＝b 22的两条切线，切点分别为P 和Q ，直线PQ 与x 轴和y 轴的交点分别为E 和F ，则△EOF 面积的最小值是 b 34a .解析：设M (x 0，y 0)，P (x 1，y 1)，Q (x 2，y 2)，则直线MP 和MQ 的方程分别为x 1x ＋y 1y ＝b 22，x 2x ＋y 2y ＝b 22.因为点M 在MP 和MQ 上，所以有x 1x 0＋y 1y 0＝b 22，x 2x 0＋y 2y 0＝b 22，则P ，Q 两点的坐标满足方程x 0x ＋y 0y ＝b 22，所以直线PQ 的方程为x 0x ＋y 0y ＝b 22，可得E ⎝ ⎛⎭⎪⎫b 22x 0，0和F ⎝ ⎛⎭⎪⎫0，b 22y 0， 所以S △EOF ＝12·|OE ||OF |＝b 48|x 0y 0|， 因为b 2y 20＋a 2x 20＝a 2b 2，b 2y 20＋a 2x 20≥2ab |x 0y 0|，所以|x 0y 0|≤ab 2，所以S △EOF ＝b 48|x 0y 0|≥b 34a ， 当且仅当b 2y 20＝a 2x 20＝a 2b 22时取“＝”，故△EOF 面积的最小值为b 34a .16．(2019·山东济宁一模)已知椭圆C ：x 2a 2＋y 24＝1(a ＞2)，直线l ：y ＝kx ＋1(k ≠0)与椭圆C 相交于A ，B 两点，点D 为AB 的中点．(1)若直线l 与直线OD (O 为坐标原点)的斜率之积为－12，求椭圆C 的方程；(2)在(1)的条件下，y 轴上是否存在定点M ，使得当k 变化时，总有∠AMO ＝∠BMO (O 为坐标原点)？若存在，求出定点M 的坐标；若不存在，请说明理由．解：(1)由⎩⎨⎧ x 2a 2＋y 24＝1，y ＝kx ＋1(k ≠0)得(4＋a 2k 2)x 2＋2a 2kx －3a 2＝0，显然Δ＞0，设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，D (x 0，y 0)，则x 1＋x 2＝－2a 2k 4＋a 2k 2，x 1x 2＝－3a 24＋a 2k 2，∴x 0＝－a 2k 4＋a 2k 2，y 0＝－a 2k 24＋a 2k 2＋1＝44＋a 2k 2，∴k ·y 0x 0＝k ·⎝ ⎛⎭⎪⎫－4a 2k ＝－12，∴a 2＝8.∴椭圆C 的方程为x 28＋y 24＝1.(2)假设存在定点M 符合题意，且设M (0，m )，由∠AMO ＝∠BMO 得k AM ＋k BM ＝0.∴y 1－m x 1＋y 2－mx 2＝0.即y 1x 2＋y 2x 1－m (x 1＋x 2)＝0，∴2kx 1x 2＋x 1＋x 2－m (x 1＋x 2)＝0.由(1)知x 1＋x 2＝－4k 1＋2k 2，x 1x 2＝－61＋2k 2，∴－12k 1＋2k 2－4k 1＋2k 2＋4mk1＋2k 2＝0，∴－16k＋4mk1＋2k2＝0，即4k(－4＋m)1＋2k2＝0，∵k≠0，∴－4＋m＝0，∴m＝4. ∴存在定点M(0,4)，使得∠AMO＝∠BMO.。
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课时作业25解三角形应用举例1．(2019·襄阳模拟)如图，两座灯塔A和B与海岸观察站C的距离相等，灯塔A在观察站南偏西40°，灯塔B在观察站南偏东60°，则灯塔A在灯塔B的(D)A．北偏东10°B．北偏西10°C．南偏东80°D．南偏西80°解析：由条件及图可知，∠A＝∠CBA＝40°，又∠BCD＝60°，所以∠CBD＝30°，所以∠DBA＝10°，因此灯塔A在灯塔B的南偏西80°.2．(2019·许昌调研)如图所示，已知两座灯塔A和B与海洋观察站C的距离都等于a km，灯塔A在观察站C的北偏东20°，灯塔B 在观察站C的南偏东40°，则灯塔A与B的距离为(B)A．a km B．3a kmC．2a km D．2a km解析：由题图可知，∠ACB＝120°，由余弦定理，得AB 2＝AC 2＋BC 2－2AC ·BC ·cos ∠ACB ＝a 2＋a 2－2·a ·a ·⎝ ⎛⎭⎪⎫－12＝3a 2，解得AB ＝3a (km)． 3．如图，测量河对岸的塔高AB 时可以选与塔底B 在同一水平面内的两个测点C 与D ，测得∠BCD ＝15°，∠BDC ＝30°，CD ＝30，并在点C 测得塔顶A 的仰角为60°，则塔高AB 等于( D )A ．5 6B ．15 3C ．5 2D ．15 6解析：在△BCD 中，∠CBD ＝180°－15°－30°＝135°.由正弦定理得BC sin30°＝30sin135°，所以BC ＝15 2.在Rt △ABC 中，AB ＝BC tan ∠ACB ＝152×3＝15 6.4．如图所示，为了了解某海域海底构造，在海平面上取一条直线上的A ，B ，C 三点进行测量，已知AB ＝50 m ，BC ＝120 m ，于A 处测得水深AD ＝80 m ，于B 处测得水深BE ＝200 m ，于C 处测得水深CF ＝110 m ，则∠DEF 的余弦值为( A )A ．1665B ．1965C ．1657D ．1757解析：如图所示，作DM ∥AC 交BE 于N ，交CF 于M ，则DF ＝MF 2＋DM 2＝302＋1702＝10298(m)，DE ＝DN 2＋EN 2＝502＋1202＝130(m)，EF ＝(BE －FC )2＋BC 2＝902＋1202＝150(m)．在△DEF 中，由余弦定理，得cos ∠DEF ＝DE 2＋EF 2－DF 22DE ·EF＝1302＋1502－102×2982×130×150＝1665. 5．地面上有两座相距120 m 的塔，在矮塔塔底望高塔塔顶的仰角为α，在高塔塔底望矮塔塔顶的仰角为α2，且在两塔底连线的中点O处望两塔塔顶的仰角互为余角，则两塔的高度分别为( B )A ．50 m,100 mB ．40 m,90 mC ．40 m,50 mD ．30 m,40 m 解析：设高塔高H m ，矮塔高h m ，在O 点望高塔塔顶的仰角为β.则tan α＝H 120，tan α2＝h 120，根据三角函数的倍角公式有H 120＝2×h 1201－⎝ ⎛⎭⎪⎫h 1202.① 因为在两塔底连线的中点O 望两塔塔顶的仰角互为余角，所以在O 点望矮塔塔顶的仰角为π2－β，由tan β＝H 60，tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－β＝h 60，得H 60＝60h .② 联立①②解得H ＝90，h ＝40.即两座塔的高度分别为40 m,90 m.6．如图所示，一座建筑物AB 的高为(30－103)m ，在该建筑物的正东方向有一座通信塔CD ．在它们之间的地面上的点M (B ，M ，D 三点共线)处测得楼顶A ，塔顶C 的仰角分别是15°和60°，在楼顶A 处测得塔顶C 的仰角为30°，则通信塔CD 的高为( B)A ．30 mB ．60 mC ．30 3 mD ．40 3 m解析：在Rt △ABM 中，AM ＝AB sin ∠AMB ＝30－103sin15°＝30－1036－24＝206(m).过点A 作AN ⊥CD 于点N ，如图所示．易知∠MAN ＝∠AMB ＝15°，所以∠MAC ＝30°＋15°＝45°.又∠AMC ＝180°－15°－60°＝105°，所以∠ACM ＝30°.在△AMC 中，由正弦定理得MC sin45°＝206sin30°，解得MC ＝403(m)．在Rt △CMD 中，CD ＝403×sin60°＝60(m)，故通信塔CD 的高为60 m.7．(2019·哈尔滨模拟)如图，某工程中要将一长为100 m ，倾斜角为75°的斜坡改造成倾斜角为30°的斜坡，并保持坡高不变，则坡底需加长解析：设坡底需加长x m ，由正弦定理得100sin30°＝x sin45°，解得x ＝100 2.8．如图，为了测量两座山峰上P ，Q 两点之间的距离，选择山坡上一段长度为300 3 m 且和P ，Q 两点在同一平面内的路段AB 的两个端点作为观测点，现测得∠P AB ＝90°，∠P AQ ＝∠PBA ＝∠PBQ ＝60°，则P ，Q 两点间的距离为900__m.解析：由已知，得∠QAB ＝∠P AB －∠P AQ ＝30°.又∠PBA ＝∠PBQ ＝60°，∴∠AQB ＝30°，∴AB ＝BQ .又PB 为公共边，∴△P AB ≌△PQB ，∴PQ ＝P A ．在Rt △P AB 中，AP ＝AB ·tan60°＝900，故PQ ＝900，∴P ，Q 两点间的距离为900 m.9．(2019·湖北百所重点中学模拟)我国南宋著名数学家秦九韶在他的著作《数书九章》卷五“田域类”里记载了这样一个题目：“今有沙田一段，有三斜，其小斜一十三里，中斜一十四里，大斜一十五里．里法三百步．欲知为田几何．”这道题讲的是有一块三角形的沙田，三边长分别为13里，14里，15里，假设1里按500米计算，则该沙田的面积为21__平方千米．解析：设在△ABC 中，a ＝13里，b ＝14里，c ＝15里，∴cos C ＝132＋142－1522×13×14＝132＋(14－15)×(14＋15)2×13×14＝1402×13×14＝513， ∴sin C ＝1213，故△ABC 的面积为12×13×14×1213×5002×11 0002＝21(平方千米)．10．海轮“和谐号”从A 处以每小时21海里的速度出发，海轮“奋斗号”在A 处北偏东45°的方向，且与A 相距10海里的C 处，沿北偏东105°的方向以每小时9海里的速度行驶，则海轮“和谐号”与海轮“奋斗号”相遇所需的最短时间为23 小时．解析：设海轮“和谐号”与海轮“奋斗号”相遇所需的最短时间为x 小时，如图，则由已知得△ABC 中，AC ＝10，AB ＝21x ，BC ＝9x ，∠ACB ＝120°. 由余弦定理得：(21x )2＝100＋(9x )2－2×10×9x ×cos120°，整理，得36x 2－9x －10＝0，解得x ＝23或x ＝－512(舍)．所以海轮“和谐号”与海轮“奋斗号”相遇所需的最短时间为23小时．11．(2019·武汉模拟)为了应对日益严重的气候问题，某气象仪器科研单位研究出一种新的“弹射型”气象仪器，这种仪器可以弹射到空中进行气象观测．如图所示，A ，B ，C 三地位于同一水平面上，这种仪器在C 地进行弹射实验，观测点A ，B 两地相距100米，∠BAC＝60°.在A 地听到弹射声音的时间比B 地晚217秒．在A 地测得该仪器至最高点H 处的仰角为30°.(1)求A ，C 两地的距离；(2)求这种仪器的垂直弹射高度HC ．(已知声音的传播速度为340米/秒)解：(1)由题意，设AC ＝x ，因为在A 地听到弹射声音的时间比B 地晚217秒，所以BC ＝x －217×340＝x －40，在△ABC 内，由余弦定理得BC 2＝CA 2＋BA 2－2BA ·CA ·cos ∠BAC ， 即(x －40)2＝x 2＋10 000－100x ，解得x ＝420.答：A ，C 两地的距离为420米．(2)在Rt △ACH 中，AC ＝420，∠CAH ＝30°.所以CH ＝AC ·tan ∠CAH ＝1403米．答：该仪器的垂直弹射高度CH 为1403米．12．如图所示，在一条海防警戒线上的点A ，B ，C 处各有一个水声监测点，B ，C 两点到点A 的距离分别为20 km 和50 km.某时刻，B 收到发自静止目标P 的一个声波信号，8 s 后A ，C 同时接收到该声波信号，已知声波在水中的传播速度是1.5 km/s.(1)设A 到P 的距离为x km ，用x 表示B ，C 到P 的距离，并求x 的值；(2)求静止目标P 到海防警戒线AC 的距离．解：(1)依题意，有P A ＝PC ＝x ，PB ＝x －1.5×8＝x －12.在△P AB 中，AB ＝20，cos ∠P AB ＝P A 2＋AB 2－PB 22P A ·AB＝x 2＋202－(x －12)22x ·20＝3x ＋325x . 同理，在△P AC 中，AC ＝50，cos ∠P AC ＝P A 2＋AC 2－PC 22P A ·AC ＝x 2＋502－x 22x ·50＝25x .因为cos ∠P AB ＝cos ∠P AC ，所以3x ＋325x ＝25x ，解得x ＝31.(2)作PD ⊥AC 于点D ，在△ADP 中，由cos ∠P AD ＝2531，得sin ∠P AD ＝1－cos 2∠P AD ＝42131，所以PD ＝P A sin ∠P AD ＝31×42131＝421(km)．故静止目标P 到海防警戒线AC 的距离为421 km.13．如图，为了测量A ，C 两点间的距离，选取同一平面上B ，D 两点，测出四边形ABCD 各边的长度(单位：km)：AB ＝5，BC ＝8，CD ＝3，DA ＝5，且∠B 与∠D 互补，则AC 的长为( A )A ．7 kmB ．8 kmC ．9 kmD ．6 km解析：在△ACD 中，由余弦定理得：cos D ＝AD 2＋CD 2－AC 22AD ·CD＝34－AC 230. 在△ABC 中，由余弦定理得：cos B ＝AB 2＋BC 2－AC 22AB ·BC＝89－AC 280. 因为∠B ＋∠D ＝180°，所以cos B ＋cos D ＝0，即34－AC 230＋89－AC 280＝0，解得AC ＝7.14．(2019·呼和浩特调研)某人为测出所住小区的面积，进行了一些测量工作，最后将所住小区近似地画成如图所示的四边形，测得的42.解析：如图，连接AC ，由余弦定理可知AC ＝AB 2＋BC 2－2AB ·BC ·cos B ＝3，故∠ACB ＝90°，∠CAB ＝30°，∠DAC ＝∠DCA ＝15°，∠ADC ＝150°，AC sin ∠ADC ＝AD sin ∠DCA， 即AD ＝AC sin ∠DCA sin ∠ADC ＝3·6－2412＝32－62， 故S 四边形ABCD ＝S △ABC ＋S △ADC ＝12×1×3＋12×⎝ ⎛⎭⎪⎫32－622×12＝6－34(km 2)． 15．(2019·福州质检)如图，小明同学在山顶A 处观测到一辆汽车在一条水平的公路上沿直线匀速行驶，小明在A 处测得公路上B ，C 两点的俯角分别为30°，45°，且∠BAC ＝135°.若山高AD ＝100 m，汽车从B 点到C 点历时14 s ，则这辆汽车的速度约为22.6__m/s(精确到0.1)．解析：因为小明在A 处测得公路上B ，C 两点的俯角分别为30°，45°，所以∠BAD ＝60°，∠CAD ＝45°.设这辆汽车的速度为v m/s ，则BC ＝14v .在Rt △ADB 中，AB ＝AD cos ∠BAD ＝AD cos60°＝200.在Rt △ADC 中，AC ＝AD cos ∠CAD ＝100cos45°＝100 2. 在△ABC 中，由余弦定理，得BC 2＝AC 2＋AB 2－2AC ·AB ·cos ∠BAC ，所以(14v )2＝(1002)2＋2002－2×1002×200×cos135°，所以v ＝50107≈22.6，所以这辆汽车的速度约为22.6 m/s.16．某港口O 要将一件重要物品用小艇送到一艘正在航行的轮船上．在小艇出发时，轮船位于港口O 北偏西30°且与该港口相距20海里的A 处，并正以30海里/小时的航行速度沿正东方向匀速行驶．假设该小艇沿直线方向以v 海里/小时的航行速度匀速行驶，经过t 小时与轮船相遇．(1)若希望相遇时小艇的航行距离最小，则小艇航行速度的大小应为多少？(2)假设小艇的最高航行速度只能达到30海里/小时，试设计航行方案(即确定航行方向和航行速度的大小)，使得小艇能以最短时间与轮船相遇，并说明理由．解：(1)设相遇时小艇航行的距离为S 海里，则S ＝900t 2＋400－2·30t ·20·cos (90°－30°)＝900t 2－600t ＋400＝900⎝ ⎛⎭⎪⎫t －132＋300. 故当t ＝13时，S min ＝103，v ＝10313＝30 3.即小艇以303海里/小时的速度航行，相遇时小艇的航行距离最小．(2)设小艇与轮船在B 处相遇．如图所示．则v 2t 2＝400＋900t 2－2·20·30t ·cos(90°－30°)，故v 2＝900－600t ＋400t 2. 因为0＜v ≤30，所以900－600t ＋400t 2≤900，即2t 2－3t ≤0，解得t ≥23.又t ＝23时，v ＝30，故v ＝30时，t 取得最小值，且最小值等于23.此时，在△OAB 中，有OA ＝OB ＝AB ＝20.故可设计航行方案如下：航行方向为北偏东30°，航行速度为30海里/小时．。