多目标规划模型
非线性规划多目标规划
⑵ 等式约束非线性规划模型： min f (x) s.t. hj (x) 0, j 1,2, r
⑶ 不等式约束非线性规划模型： min f (x) s.t. gi (x) 0,i 1,2, m
针对上述三类非线性规划模型,其常用求解的基 本思路可归纳如下：
1 无约束的非线性规划问题
2 只有等式约束的非线性规划问题通常可用消元 法、拉格朗日乘子法或反函数法,将其化为无 约束问题求解.
3 具有不等式约束的非线性规划问题解起来很复 杂,求解这一类问题，通常将不等式化为等式 约束，再将约束问题化为无约束问题，用线 性逼近的方法将非线性规划问题化为线性规 划问题.
下面介绍一个简单的非线性规划问题的 例子,其中的一些约束条件是等式，这类非线 性规划问题可用拉格朗日方法求解.
表示当约束条件右边的值增大一个单位后，相
应目标函数值的增加值。比如说：如总存储空间由 24 变 为 25 时 ， 最 优 值 会 由 12.71 变 为 12.71 0.3947 13.10。
非线性规划解法
例9 求解非线性规划
min z (x1 1.5)2 x22
s.t.
x12
x22
1,
bj ,
i 1, 2,3 j 1, 2,3, 4
xij 0.
注: 在上面的问题中, 输水费用函数 f x 一般不是x
的线性函数. 因而相应的规划不是线性规划.
问题2 砂石运输问题
设有V立方米的砂石,要由甲地运到乙地, 运输前需
先装入一个有底无盖并在底部装有滑行器的木箱中. 砂 石运到乙地后, 从箱中倒出,在继续用空箱装运. 不论箱 子大小, 每装运一箱, 需0.1元, 箱底和两端的材料费为 20元/米2, 箱子两侧的材料费为5元/米2, 箱底的两个滑 行器与箱子同长, 材料费为2.5元/米. 问木箱的长宽高各 为多少米,才能使运费与箱子的成本费的总和为最小.
最优化之多目标规划
三、模型的建立与分析
1.总体风险用所投资的Si中最大的一个风险来衡量,即
max{ qixi|i=1，2,…n}
2．购买 Si 所付交易费是一个分段函数,即
pixi
交易费 =
xi>ui xi≤ui
piui
而题目所给定的定值 ui(单位:元)相对总投资 M 很小, piui 更小, 可以忽略不计,这样购买 Si 的净收益为(ri-pi)xi
max i i
i 1 k
i ( x1 , x2 , xn ) gi ( i 1,2,, m)
式中， i 应满足： 向量形式：
i 1
i 1
k
max T
s.t . ( X ) G
方法二 罚款模型（理想点法）
思想: 规划决策者对每一个目标函数都能提出所期望的值 （或称满意值）；
二 多目标规划求解技术简介
为了求得多目标规划问题的非劣解，常常需要将 多目标规划问题转化为单目标规划问题去处理。实现 这种转化，有如下几种建模方法。
效用最优化模型 罚款模型 约束模型 目标达到法 目标规划模型
方法一
效用最优化模型（线性加权法）
思想：规划问题的各个目标函数可以通过一定的方式 进行求和运算。这种方法将一系列的目标函数与效
一、问题提出 市场上有 n 种资产 s i （i=1,2……n）可以选择，现用数额为 M 的相当大的资金作一 个时期的投资。这 n 种资产在这一时期内购买 s i 的平均收益率为 ri ，风险损失率为 qi ， 投资越分散，总的风险越小，总体风险可用投资的 s i 中最大的一个风险来度量。
pi )，当购买额不超过给定值 u i 时，交易费按购买 u i 计算。另外，假定同期银行存款利率是 r0 ，既无交易费又无风险。 r0 =5%） （
目标规划模型
目标规划模型目标规划是一种多目标决策方法，旨在寻找一个可行的目标向量，这个向量最好满足一组优先级排序的目标。
目标规划模型可以用来解决多目标决策问题。
目标规划模型通常包括以下几个要素：决策者的目标向量、决策变量、约束条件和目标函数。
决策者的目标向量是指决策者对决策问题中各个目标的优先级排序。
在目标规划模型中，通常将目标向量表示为一个具有多个元素的向量，每个元素表示各个目标的权重。
决策变量是可以被决策者调整的变量，在目标规划模型中，在决策变量的取值范围内寻找一个可行的解。
决策变量的具体取值将影响各个目标的实现程度。
约束条件是对决策变量的限制条件。
这些限制条件可能是由于资源有限，或由于业务规则等原因导致的。
约束条件是确保决策方案可行和符合实际情况的必要条件。
目标函数是目标规划模型的核心部分。
目标函数是一个由决策变量和目标向量构成的函数，表示决策方案对各个目标的实现程度。
目标函数的含义是在满足约束条件的前提下，最大化或最小化目标向量中的各个元素。
目标规划模型的解决方法通常有两种：基于罚函数的解法和基于切比雪夫距离的解法。
基于罚函数的解法通过引入罚函数，将目标规划问题转化为单目标规划问题，然后使用传统的单目标规划方法求解。
基于切比雪夫距离的解法则通过计算决策方案与目标向量之间的切比雪夫距离，将目标规划问题转化为一个单目标规划问题。
目标规划模型的求解过程通常包括以下几个步骤：确定决策变量、建立目标函数、建立约束条件、确定目标权重、求解目标规划模型。
目标规划模型具有以下几个优点：可以考虑多个目标，能够灵活地适应不同的决策需求；可以根据决策者的需求制定不同的目标权重，不受固定的优先级限制；可以通过引入不同的解决方法，得到不同的结果，提供更多的选择。
总之，目标规划模型是一种多目标决策方法，可以用于解决多目标决策问题。
它通过优化决策方案和目标向量之间的关系，寻找一个满足决策者需求的最优解。
目标规划模型具有灵活性和鲁棒性等优点，是现代决策科学中的重要工具之一。
multi
2.1 2.2 2.3 多目标规划的数学模型 多目标规划问题的解 多目标规划问题的解法
第二章 多目标规划
本书大部分章节讨论的基本上都是单目标优化问题， 实际上，许多实际问题的优化牵涉的目标往往不止一 个，如设计一个工厂的施工方案，就要考虑工期、成 本、质量、污染等目标、再如找工作、购买家用电器 追求的目标往往都不止一个。由于这类问题需同时考 虑多个目标，而有些目标之间又相互矛盾，从而使决 策问题变得复杂、 这类决策问题称为多目标决策问题。
多目标规划模型
线性规划及非线性规划研究的都是在给定的约束集合 R={X|gi(X) ≥0，i=1，2，……，m)} X∈En上，求单目标 f(x)的最大或最小的问题，即方案的好坏是以一个目标去衡 量。
第二章 多目标规划
然而，在很多实际问题中，衡量一个方案的好坏往往 难以用一个指标来判断 。也就是说，需要用一个以 上的目标去判断方案的好坏，而这些目标之间又往往 不是那么协调，甚至是相互矛盾的。本章将以实例归 结出几类常见的描述多目标最优化问题的数学模型。
第二章 多目标规划 例4：某水稻区一农民承包10亩农田从事农业种植。已知 有三类复种方式可供选择，其相应的经济效益如下表：
方 复种方式 案 大麦－早 1 稻－晚梗 2 3 大麦－早 稻－玉米 油菜－玉 米－蔬菜 粮食产量 (公斤/亩) 1056 1008 336 油料产量 (公斤/亩) —— —— 130 利润 (元/亩) 120.27 111.46 208.27 投入氮素 用工量 (公斤/亩) (小时/亩) 50 48 40 320 350 390
第二章 多目标规划
进入20世纪70年代，随着第一次国际多目标决策 研讨会的召开及这方面专著的问世，多目标决策 问题的研究工作迅速、蓬勃地开展起来，到目前 为止，已取得若干有价值的研究成果。
多目标规划ppt
多目标规划问题的典型实例
例1 木梁设计问题
用直径为 1（单位长）的圆木制成截面为矩形的梁。为使重量最轻面强度最大， 问截面的宽和高应取何尺寸？ 假设矩形截面的宽和高分别为 x1 和 x2 ，那么根据几何知识可得：
2 x12 + x2 = 1
且此时木梁的截面面积为 x x 。同时根据材料力规划的解集
绝对最优解
* * 设 x* ∈ R ，如果对于 ∀x ∈ R 均有 F ( x ) ≤ F ( x ) ，则称 x 为多目标规划问题的绝对最
*
优解。多目标规划问题的绝对最优解的全体可以记为 Rab ，其含义为：该最优解与 任意一个可行解都是可以进行比较的。下图为当 n = 1, p = 2 时绝对最优解的示意图。
以显然 A2 比 A3 好。 对于方案 A1 和 A2 ，由于无法确定其优劣， 而且又没有比它们更好的其他方案，所 以它们就被称之为多目标规划问题的有效解 有效解 （或者非劣解） ，其余方案都称为劣解。所有 非劣解构成的集合称为非劣解集 非劣解集。 非劣解集
O
f2 A5 A4 A1 A3 A2 f1 A6 A7
x2 L xn ] ； F ( x ) = f1 ( x )
T
f2 ( x ) L
f p ( x ) , p ≥ 2
对向量形式的 p 个目标函数求最小，且目标函数 F ( x ) 和约束函数 gi ( x ) 、hi ( x ) 可以 是线性函数也可以是非线性函数。
令 R = {x | gi ( x ) ≤ 0, i = 1, 2,..., m} ，则称 R 为问题的可行域，V-min F ( x ) 指的是
多目标规划问题的典型实例
例2 工厂采购问题
某工厂需要采购某种生产原料，该原料市场上有 A 和 B 两种，单价分别为 2 元/kg 和 1.5 元/kg。现要求所花的总费用不超过 300 元，购得的原料总重量不少于 120kg，其中 A 原料不得少于 60kg。间如何确定最佳采购方案，花最少的钱，采 购最多数量的原料。 设 A、B 两种原料分别采购 x1 、 x2 kg，那么总的花费为： f1 ( x ) = 2 x1 + 1.5 x2 购得的原料总量为： f 2 ( x ) = x1 + x2 那么我们求解的目标即是使得花最少的钱买最多的原料，即最小化 f ( x ) 的同时
多目标规划及案例
• 以学分最多为目标， 不管课程多少。
最优解显然是选修所 有9门课程 。
多目标规划
• 在课程最少的前提下 以学分最多为目标。
课号
课名
学分
∗1 ∗
微积分
5
∗2 ∗
线性代数
4
∗ 3 ∗ 最优化方法
4
4
数据结构
3
5∗
应用统计
4
∗6
计算机模拟
3
∗ 7 ∗ 计算机编程
2
8
预测理论
2
∗9 ∗
数学实验
3
9
增加约束 ∑ xi = 6 ， i =1
A/(h/件)
22
12
B/(h/件)
40
16
C/(h/件)
05
15
赢利/(元/件) 200 300
问该企业应如何安排生产，使得在计划期内 总利润最大？
1. 线性规划建模
该例是一个线性规划问题，直接考虑它的线性规划模型
设甲、乙产品的产量分别为x1, x2,建立线性规划模型：
Max z = 200 x1 + 300 x 2 ;
s. t. 2x1 + 2x2 ≤12,
4x1 ≤16,
5x2 ≤15,
x1, x2 ≥ 0.
用Lindo或Lingo软件求解,得到最优
解
x1 = 3, x2 = 3, z* = 1500.
2. 目标规划建模
若在上例中，企业的经营目标不仅要考
Max
s. t.
z = 200 x 1 + 300 x 2 ;
⎪⎧min{d −}; ⎪⎩⎨200x1 + 300x2 + d − − d + = 1500.
数学建模多目标规划
虑利润，还需要考虑多个方面，因此增加下列因素(目标)：
• 力求使利润指标不低于1500元 • 考虑到市场需求,甲、乙两种产品的产量比应尽量保持1:2 • 设备A为贵重设备，严格禁止超时使用 • 设备C可以适当加班，但要控制；设备B既要求充分利用，又 尽可能不加班，在重要性上，设备B是设备C的3倍 从上述问题可以看出，仅用线性规划方法是不够的，需 要借助于目标规划的方法进行建模求解
4 5 6 7 8 9
∗ ∗ ∗
多目标规划
• 对学分数和课程数加权形成一个目标，如三七开。
Min Y = λ1Z − λ2W = 0.7 Z − 0.3W
课号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 课名 微积分 线性代数 最优化方法 数据结构 应用统计 计算机模拟 计算机编程 预测理论 数学实验 学分 5 4 4 3 4 3 2 2 3
u( f (x)) = ∑λi fi (x)
i =1
m
∑λ = 1
i =1 i
m
转化单目标法
3. 极大极小点法
1≤ i ≤ m
min u ( f ( x )) = min max{ f i ( x )}
x∈ X 1≤ i ≤ m
4. 范数理想点法
dp
(
p⎤ ⎡ f ( x ), f ;ω = ⎢ ∑ ω i f i ( x ) − f i ⎥ ⎣ i =1 ⎦ m
0-1规划模型
课号 课名 微积分 线性代数 最优化方法 数据结构 应用统计 计算机模拟 计算机编程 预测理论 数学实验 先修课要求
约束条件 先修课程要求 x3=1必有x1 = x2 =1
∗ 1 ∗ 2 ∗ 3 ∗ ∗ ∗
4 5 6 7 8 9
微积分；线性代数 计算机编程 微积分；线性代数 计算机编程 应用统计 微积分；线性代数
《运筹学》教案-目标规划数学模型
《运筹学》教案-目标规划数学模型第一章：目标规划概述1.1 目标规划的定义与意义1.2 目标规划与其他规划方法的区别1.3 目标规划的应用领域1.4 目标规划的发展历程第二章：目标规划的基本原理2.1 目标规划的基本假设2.2 目标规划的数学模型2.3 目标规划的求解方法2.4 目标规划的评估与决策第三章：目标规划的数学模型3.1 单一目标规划模型3.2 多目标规划模型3.3 带约束的目标规划模型3.4 动态目标规划模型第四章：目标规划的求解方法4.1 线性规划求解方法4.2 非线性规划求解方法4.3 整数规划求解方法4.4 遗传算法求解方法第五章：目标规划的应用案例5.1 生产计划目标规划案例5.2 人力资源规划目标规划案例5.3 投资组合目标规划案例5.4 物流配送目标规划案例第六章：目标规划的高级应用6.1 目标规划在供应链管理中的应用6.2 目标规划在项目管理中的应用6.3 目标规划在金融管理中的应用6.4 目标规划在能源管理中的应用第七章：目标规划的软件工具7.1 目标规划软件工具的介绍7.2 常用目标规划软件工具的操作与应用7.3 目标规划软件工具的选择与评估7.4 目标规划软件工具的发展趋势第八章：目标规划在实际问题中的应用8.1 目标规划在制造业中的应用案例8.2 目标规划在服务业中的应用案例8.3 目标规划在政府决策中的应用案例8.4 目标规划在其他领域的应用案例第九章：目标规划的局限性与挑战9.1 目标规划的局限性分析9.2 目标规划在实际应用中遇到的问题9.3 目标规划的发展趋势与展望9.4 目标规划的未来研究方向10.1 目标规划的意义与价值10.2 目标规划在国内外的发展现状10.3 目标规划在未来的发展方向10.4 对运筹学领域的发展展望重点和难点解析重点环节一：目标规划的数学模型补充和说明：在讲解目标规划的数学模型时，重点关注单一目标规划模型和多目标规划模型的构建。
多目标两阶段组合DEA模型及应用研究
多目标两阶段组合DEA模型及应用研究目标:多目标优化问题指的是一个决策中存在多个相互矛盾的目标，DEA （Data Envelopment Analysis）模型是一种常用的非参数效率评价方法，它可以用于评价具有多个输入和输出的决策单元之间的效率。
然而，传统的DEA模型只能处理单目标问题，而多目标DEA模型可以同时考虑多个目标，提供更加全面的决策结果。
方法：多目标DEA模型的基本思想是，在评价决策单元的效率时同时考虑多个不同类型的输出和输入指标，并且将其转化为一个单一的优化问题。
在多目标DEA模型中，决策单元根据其输入和输出指标的性能水平，被划分为有效单元和无效单元两个集合。
有效单元是指在所有输入资源和输出产品的组合下，能够最大化输出指标而最小化输入指标的决策单元。
无效单元是指在同样的资源和产品条件下，无法达到有效性的决策单元。
多目标DEA模型的求解过程可以分为两个阶段：第一阶段是确定各决策单元的权重，第二阶段是确定决策单元的效率值。
在第一阶段中，采用线性规划模型来确定决策单元的权重。
该模型的目标是根据每个决策单元在每个指标上的相对性能水平，找到一个最优的权重向量，使得所有决策单元的得分最大化。
在第二阶段中，根据第一阶段得到的权重，使用标准DEA模型计算每个决策单元的效率值。
应用：多目标DEA模型可以应用于各种领域的决策问题。
以制造业为例，可以使用多目标DEA模型来评估不同企业的生产效率和经济效益。
通过比较不同企业的效率值，可以找到最佳的生产方式和资源配置方案，提高整体生产效率。
此外，多目标DEA模型还可以在投资组合优化、教育评估、医疗资源配置等领域中得到广泛应用。
在实际应用中，多目标DEA模型还可以与其他优化方法相结合，如遗传算法、模糊逻辑等，以更好地解决复杂的多目标问题。
同时，由于多目标DEA模型的求解复杂度较高，还可以利用并行计算和启发式算法等技术进行加速处理。
总结：多目标DEA模型是一种可以同时处理多个相互矛盾目标的有效方法，可以用于评估决策单元的效率和提供决策支持。
上层单目标下层多目标双层模型求解方法
上层单目标下层多目标双层模型求解方法
双层规划模型包含一个上层问题和一个下层问题。
上层问题（leader）的决策变量和目标函数不受下层问题（follower）的
影响；而下层问题的决策变量和目标函数受到上层问题的影响。
在这种情况下，上层问题是单目标问题，下层问题是多目标问题。
求解双层模型的方法通常有以下几种：
1. 串行方法：分别解决上层和下层问题。
首先，固定上层问题的决策变量，将其转化为单目标问题，并求解。
然后，将上层问题的解作为下层问题的约束，求解下层问题。
重复这两个步骤直到收敛。
2. 博弈论方法：将双层模型转化为一个整体的多目标单层问题。
在该方法中，将上层问题和下层问题合并成一个多目标问题，并同时求解。
通过博弈论的方法，可以寻找到达到平衡的解。
3. 牵引法：通过反复求解下层问题，来改进上层问题的解。
首先，固定上层问题的解，求解下层问题，得到一个局部最优解。
然后，根据下层问题的解，改进上层问题的解。
重复这个过程直到收敛。
4. 松弛法：将下层问题转化为一个松弛约束问题，然后将双层模型转化为一个单层问题。
首先，固定上层问题的解，将下层问题的约束松弛，得到一个单层问题。
然后，求解单层问题，并获取下层问题的一组最优解。
最后，根据下层问题的解，改
进上层问题的解。
重复这个过程直到收敛。
这些方法都有各自的优缺点，选择合适的方法取决于具体问题的特点和求解效果的要求。
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实验报告2任务
某工厂有两条生产线生产某一种产品，第一生产线每小时生产2个单
位产品，第二生产线每小时生产0.5个单位产品，正常开工每周40
小时，每单位产品获利100元。
设：
第1目标是每周生产180个单位产品；
第2目标是第一生产线每周加班不得超过10小时；
第3目标是避免开工不足；
最后目标是加班时数达到最少。
假定两条生产线的开工费用相同。
要求：（1）制订合理的生产计划；
（2）若考虑每周利润19000元作为第1目标，其余目标不变，请重
新制订合理的生产计划。