九年级数学切线的性质与判定2

说明：在此定理中，题设是“经过半径的外端”和“垂直于 这条半径”，结论为“直线是圆的切线”，两个条件缺一不 可，否则就不是圆的切线， 下面两个反例说明只满足其中一个条件的直线不是圆的 切线：
：
关于切线的判定问题，常见类型有：
(1)题目中“半径”已有，只需证“垂直”即可得直线与圆相切。 例1．已知：如图，AB是⊙O的直径，D在AB的延长线上，BD＝OB，C在 圆上，∠CAB＝30°，求证：DC是⊙O的切线。
方法2
直线l和⊙O相 切 d＝ r
方法3
切线判定定理
在证明一条直线是圆的切线时，常常要添加辅助线，一般有以下两种情况： (1)如果已知直线过圆上某一点，则可作出过这点的半径，并证明直线 与这条半径垂直。 (2)若已知直线和圆的公共点没有确定，这时应过圆心作已知直线的垂 线，再证明圆心到直线的距离等于半径。
证明：作OE⊥AC于E，OD⊥AB于D
设小圆的半径为r。 ∵∠B＝∠C，∴AB＝AC，∴OD＝OE 又∵AB与大圆相切，∴OD＝r，∴OE＝r 故由切线判定定理知，AC为小圆切线。
1．判断： (1)经过半径的一个端点，并且垂直于这条半径的直线是圆的切
(2)若一条直线与圆的半径垂直，则这条直线是圆的切线 (3)以直角边为半径的圆一定与另一条直角边相切。 (4)以等腰三角形斜边的中点为圆心，直角边的一半为半径的圆，与两 条直角边相切。 2．下列命题中的假命题是： A．和圆有唯一公共点的直线是圆的切线 B．过直径一端且垂直于这直径的直线是圆的切线 C．点A在直线l上，⊙O半径为r，若OA＝r时，则l是⊙O的切线 D．⊙O的直径为a，则O点直线的距离为d，若d＝ a时，则l是⊙O 的切线。
本讲着重介绍了“切线的判定定理”利用此定理判定一条直线是否为 圆的切线时，必须注意直线是否符合题设的两个条件，二者缺一不可. 要判定一条直线是圆的切线，我们已学过三种方法. 判定方法 方法1 和圆有唯一公共点的 直线是圆的切线 和圆心距离d等于圆 的半径r的直线是圆 的切线 过半径外端且和半径 垂直的直线是圆的切 线 根据 切线定义
在理解圆的切线的定义的基础上，了解判定圆的切线 的三种方法。 掌握切线的判定定理。

能运用切线判定定理解答一些有关的问题，学会在解 答与切线有关问题时,能正确的添加辅助线.
思考:直线和圆的位置关系? 如何判定直线和圆的位置关系?
此图表达了直线和圆的什么位置关系?
o
l
通过本节的学习，我们知道直线和圆有三种不同的 位置关系：相离、相切、相交。其中相切应是关注的重点。 当直线和圆有唯一的公共点时，叫做直线和圆相切. 此时，直 线叫做圆的切线，这种位置关系具有一条重要的性质，即 “直线l和⊙O相切 d＝r”。这就是说，如果圆心到直线 的距离等于半径，那么直线和圆相切、反之，也成立。因此， 在⊙O中，经过半径OA的外端A，作直线l⊥OA，则圆心O到 直线l的距离等于半径r，故l必和⊙O相切。这一事实就是下面 的定理： 切线的判定定理：经过半径的外端并且垂直于这条 半径的直线是圆的切线.
证明：∵OA⊥OB，OC⊥AB ∴△AOB是直角三角形 又∵OA＝2 ∴AB＝ cm，OB＝4 ＝10 cm
根据三角形面积公式有：AB· OC＝OA· OB ∴OC＝ ＝ ＝4(cm)，OC是⊙O的半径。
直线AB经过半径OC的外端C，并且垂直于半径OC所以AB与⊙O相切。
(3)题目的条件中“垂直”和“距离等于半径”都没有明确显示出来，就必须先作出“垂直”，再 证“距离等于半径”。 例3．如图,△ABC内接于⊙O，∠B＝∠C，小圆与AB相切，求证：AC为小 圆的切线。
证明：连OC、BC，∵AO＝OC，∴∠OCA＝∠A＝30° ∴∠BOC＝60°，∴△BOC是等边三角形
∴BD＝OB＝BC，∠D＝∠BCD＝30°
∴∠DCO＝90° ∴DC⊥OC ∴DC是⊙O的切线。
(2)题目中“垂直”已有，只需证“距离等于半径”，即可得直线与圆相切。 例2．已知：如图,⊙O的半径为4cm，OA⊥OB，OC⊥AB于C，OB＝4 OA＝2 cm，求证：AB与⊙O相切。 cm，
4．如图，已知AB是⊙O的直径，点E在⊙O外，AE交⊙O于C，CD是⊙O 的切线，交BE于点D，且DE＝DB，求证：BE是⊙O的切线。
5．如图，△ADC内接于⊙O，AB是⊙O的直径，且∠EAC＝∠D。求证： AE是⊙O的切线。 分析：要证AE是⊙O的切线，只要证OA⊥AE，即证∠OAE＝90°
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同圆的切线垂直于经过切点的半径，若题中有切线，就有直角三角形存 在。因此解直角三角形与解切线有关的问题有着直接的联系和应用应予 以关注。
1．已知：在△ABC中，AB＝AC，以AB为直径作⊙O交BC于D，DE⊥AC于E，
如图，求证：DE是⊙O的切线。 动画演示
分析：因为DE经过⊙O上的点D，所以要证明DE为切线，可连结OD， 再证明DE⊥OD。
2．如图(10)，已知在△ABC中，AD⊥BC于D，AD＝ BC，E和F分别 为AB和 AC的中点，EF与AD交于G，以EF为直径作⊙O，求证：⊙O与BC相切。 分析：要证明以EF为直径的⊙O与BC相切，只要过O作OH⊥BC于H，证 明OH等于直径EF的一半。 动画演示
3．如图，△ABC内接于⊙O，P、B、C在一直线上，且PA2＝PB· PC， 求证：PA是 ⊙O的切线。 分析：∵PA过⊙O上一点A，要证PA为切线，只要证PA⊥AO，为此，作 直径AD，并连结CD，只要证PA⊥AD即可。
3．如图，AB是⊙O的直径，PB是⊙O的切线，PA交⊙O于点C，若AB＝6 cm，PB＝8cm，则AC＝，PC＝cm。
4．已知：如图,⊙O的直径长6cm，OA＝OB＝5cm，AB＝8cm，求证：AB
与⊙O相切。
5．已知：如图，ABCD为直角梯形，AB⊥BC，CD＝AD＋BC，求证：以CD 为直径的圆与AB相切。 分析：要证明以CD为直径的圆与AB相切，只要证明圆心O到AB的距离等 于⊙O直径的一半即可。