【中考专题】2018中考数学专题(四) 整式方程(组)的应用
2018中考数学 常考易错点 2.1 整式方程
2.1整式方程易错清单1.根据题意列出正确的方程.【例1】(2014·山东烟台)按如图的运算程序,能使输出结果为3的x,y的值是().A. x=5,y=-2B. x=3,y=-3C. x=-4,y=2D. x=-3,y=-9【解析】由题意,得2x-y=3,A. x=5时,y=7,故本选项错误;B. x=3时,y=3,故本选项错误;C. x=-4时,y=-11,故本选项错误;D. x=-3时,y=-9,故本选项正确.【答案】 D【误区纠错】读懂题意,列出正确的整式方程是解题的关键.2.方程中隐含条件的运用.【例2】(2014·山东济宁)若一元二次方程ax2=b(ab>0)的两个根分别是m+1与2m-4,则= . 【解析】∵x2=(ab>0),∴x=±.∴方程的两个根互为相反数.∴m+1+2m-4=0,解得m=1.∴一元二次方程ax2=b(ab>0)的两个根分别是2与-2.∴=2.∴=4.【答案】 4【误区纠错】一个正数有两个平方根,这两个平方根互为相反数.根据这个隐含条件可求出m的值.【例3】(2014·广东广州)若关于的方程x2+2mx+m2+3m-2=0有两个实数根x1,x1,则x1(x2+x1)+的最小值为.【解析】该题主要是考察方程思想与函数思想的结合,由根与系数的关系得到:x1+x2=-2m,x1x2=m2+3m-2,而x1(x2+x1)+=(x1+x2)2-x1x2=3m2-3m+2.因为方程有实数根,所以Δ≥0,解得m≤.当m=时,3m2-3m+2的最小值为.【答案】【误区纠错】本题最大失误是不知道根据Δ≥0这个隐含条件求出m的取值范围.3.整体思想的运用.【例4】(2014·江苏泰州)已知a2+3ab+b2=0(a≠0,b≠0),则代数式+的值等于.【解析】∵a2+3ab+b2=0,∴a2+b2=-3ab,∴原式===-3.【答案】-3【误区纠错】本题直接使用整体思想解题,将a2+b2视为一个整体未知数.名师点拨1.能区分等式各个性质的区别与联系.2.理解一元一次方程的有关概念,并解决一些简单问题.3.会利用代入法求一元一次方程的解.4.会利用定义判断一元二次方程,能利用配方法、公式法、因式分解法求一元二次方程的根.5.记住一元二次方程根的判别式,并能解决一些问题.6.理解一元二次方程根与系数的关系,并能解决一些问题.7.会根据等量关系列整式方程并求解.提分策略1.选择适当的方法求解一元二次方程.若方程中含有未知数的代数式是一个完全平方式,可选用直接开平方法;若不是,则把右边化为0且方程左边分解因式,则选用因式分解法;若不能分解因式或难以分解因式时,则选用公式法.配方法一般很少选用,但求根公式是由配方法推导的,且以后学习中还常用到,故必须掌握这种重要的数学方法.【例1】解方程:3x(x-2)=2(2-x).【解析】先移项,然后提取公因式(x-2),对等式的左边进行因式分解.【答案】由原方程,得(3x+2)(x-2)=0,所以3x+2=0或x-2=0.解得x1=-,x2=2.2.配方法在二次三项式中的应用.在二次三项式中运用配方法与一元二次方程的配方类似,但也有不同:(1)化二次项系数为1,当二次项系数不为1时,可提取二次项系数,但不能像解方程那样除以二次项系数(因为二次三项式配方是恒等变形,而配方法解一元二次方程是同解变形).(2)加上一次项系数一半的平方,使其中的三项成为完全平方式,但又要使此二次三项式的值不变,故在加的同时,还要减去一次项系数一半的平方.(3)配方后将原二次三项式化为a(x+m)2+n的形式.【例2】阅读材料:把形如ax2+bx+c的二次三项式(或其一部分)配成完全平方式的方法叫做配方法.配方法的基本形式是完全平方公式的逆写,即a2±2ab+b2=(a±b)2.例如:(x-1)2+3,(x-2)2+2x,+x2是x2-2x+4的三种不同形式的配方(即“余项”分别是常数项、一次项、二次项).请根据阅读材料解决下列问题:(1)比照上面的例子,写出x2-4x+2三种不同形式的配方;(2)将a2+ab+b2配方(至少两种形式);(3)已知a2+b2+c2-ab-3b-2c+4=0,求a+b+c的值.【答案】(1)x2-4x+2=(x-2)2-2;x2-4x+2=(x-)2+(2-4)x;x2-4x+2=(x-)2-x2.(2)a2+ab+b2=(a+b)2-ab=+b2.(3)a2+b2+c2-ab-3b-2c+4=+(b-2)2+(c-1)2=0.从而a-b=0,b-2=0,c-1=0,即a=1,b=2,c=1.所以a+b+c=4.3.利用一次方程解决生活中的实际问题.解决问题需要从问题中挖掘相关信息,包含隐含条件,找到相关的已知量,构建相应的数学模型,灵活运用所学知识解决实际问题.【例3】如图,要利用一面墙(墙长为25米)建羊圈,用100米的围栏围成总面积为400平方米的三个大小相同的矩形羊圈,求羊圈的边长AB,BC各为多少米?【解析】设AB的长度为x,则BC的长度为(100-4x)米;然后根据矩形的面积公式列出方程.【答案】设AB的长度为x,则BC的长度为(100-4x)米.根据题意,得(100-4x)x=400,解得x1=20,x2=5.则100-4x=20或100-4x=80.∵80>25,∴x2=5舍去.即AB=20,BC=20.故羊圈的边长AB,BC分别是20米、20米.专项训练一、选择题1. (2014·江苏泰州洋思中学)若5k+20<0,则关于x的一元二次方程x2+4x-k=0的根的情况是().A. 没有实数根B. 有两个相等的实数根C. 有两个不相等的实数根D. 无法判断2. (2014·四川峨眉山二模)已知x1,x2是方程x2-(k-2)x+k2+3k+5=0的两个实数根,则+的最大值是().A. 19B. 18C. 15D. 133. (2014·湖北襄阳模拟)已知关于x的方程kx2+(1-k)x-1=0,下列说法正确的是().A. 当k=0时,方程无解B. 当k=-1时,方程有两个相等的实数解C. 当k=1时,方程有一个实数解D. 当k≠0时,方程总有两个不相等的实数解4. (2013·湖北荆州模拟)若方程(k-1)x2-x+=0有两个实数根,则k的取值范围是().A. k≥1B. k≤1C. k>1D. k<15. (2013·安徽芜湖一模)芜湖市对城区主干道进行绿化,计划把某一段公路的一侧全部栽上树,要求路的两端各栽一棵,并且每两棵树的间隔相等.若每隔5米栽1棵,则树苗缺21棵;若每隔6米栽1棵,则树苗正好用完.设原有树苗x棵,则根据题意列出方程正确的是().A. 5(x+21-1)=6(x-1)B. 5(x+21)=6(x-1)C. 5(x+21-1)=6xD. 5(x+21)=6x二、填空题6. (2014·北京顺义区模拟)如果关于x的方程x2-mx+2=0有两个相等的实数根,那么m的值为.7. (2014·江苏南京溧水区二模)方程(x-2)2-2(x-2)=0的解为.8. (2013·吉林镇赉县一模)若x=1是方程x2+x+n=0的一个解,则方程的另一个解是.9. (2013·湖北荆州模拟)已知关于x的一元二次方程(k-2)2x2+(2k+1)x+1=0有两个不相等的实数根,则k的取值范围是.三、解答题10. (2014·安徽安庆二模)为了满足铁路交通的快速发展,安庆火车站从去年开始启动了扩建工程.其中某项工程,甲队单独完成所需时间比乙队单独完成所需时间多5个月,并且两队单独完成所需时间的乘积恰好等于两队单独完成所需时间之和的6倍,求甲、乙两队单独完成这项工程各需几个月?11. (2014·北京顺义区模拟)已知关于x的一元二次方程mx2+4x+4-m=0.(1)求证:方程总有两个实数根;(2)若m为整数,当此方程有两个互不相等的负整数根时,求m的值.12. (2013·河南沁阳第一次质量检测)某特产专卖店销售核桃,其进价为每千克40元,按每千克60元出售,平均每天可售出100千克,后来经过市场调查发现,单价每降低2元,则平均每天的销售量可增加20千克,若该专卖店销售这种核桃要想平均每天获利2240元,请回答:(1)每千克核桃应降价多少元?(2)在平均每天获利不变的情况下,为尽可能让利于顾客,赢利市场,该店应按原售价的几折出售?参考答案与解析1. A[解析]由5k+20<0,得k<-4,则Δ=16+4k<0.2. B[解析]由题意,得(k-2)2-4(k2+3k+5)≥0,解得-4≤k≤-.因为x1+x2=k-2,x1x2=k2+3k+5,所以+=(x1+x2)2=(k-2)2-2(k2+3k+5)=-k2-10k-6=-(k+5)2+19.所以当k=-4时,+取得最大值为18.3. B[解析]Δ=(k+1)2,当k=0时,方程有解;当k=1时,方程有两个不等的实数解;当k≠0时,如果k=-1,那么方程有两个相等的实数解.4. D[解析]当k=1时,原方程不成立,故k≠1.∴方程(k-1)x2-x+=0为一元二次方程.又此方程有两个实数根,∴b2-4ac=(-)2-4×(k-1)×=1-k-(k-1)=2-2k≥0,解得k≤1.∵k≠1,∴k<1.综上,k的取值范围是k<1.5. A[解析]设原有树苗x棵,根据首、尾两端均栽上树,每间隔5米栽一棵,则缺少21棵,可知这一段公路长为5(x+21-1);若每隔6米栽1棵,则树苗正好用完,可知这一段公路长又可以表示为6(x-1),根据公路的长度不变列出方程即可.6.±2[解析]根据Δ=m2-8=0求解.7.x1=2,x2=4[解析]将(x-2)作为公因式提取.8.-2[解析]把x=1代人方程得n=-2,再解方程x2+x-2=0.9.k>且k≠2[解析]由题意,得(2k+1)2-4(k-2)2>0,且k-2≠0,求解即可.10.设甲队单独完成这项工程需要x个月,则乙队单独完成这项工程需要(x-5)个月,由题意,得x(x-5)=6(x+x-5),解得x1=2(舍去),x2=15.故甲队单独完成这项工程需要15个月,乙队单独完成这项工程需要10个月.11. (1)∵Δ=42-4m(4-m)=4(m-2)2≥0,∴方程总有两个实数根.(2)∵x==,∴x1==,x2==-1.∵方程有两个互不相等的负整数根,∴<0.∴或∴0<m<4.∵m为整数,∴m=1或2或3.当m=1时,x1==-3≠x2,符合题意;当m=2时,x1==-1=x2,不符合题意;当m=3时,x1==-≠x2,但不是整数,不符合题意.∴m=1.12. (1)设每千克核桃应降价x元.由题意,得(60-x-40)=2 240.化简,得x2-10x+24=0,解得x1=4,x2=6.故每千克核桃应降价4元或6元.(2)由(1)可知每千克核桃可降价4元或6元.因为要尽可能让利于顾客,所以每千克核桃应降价6元.此时,售价为60-6=54(元),×100%=90%.故该店应按原售价的九折出售.。
2018中考数学复习03--(1)方程(组)及其应用ppt
3.验根方法：解分式方程时，有可能产生增根，因此解分式方程要验根，其 方法: 把求得的未知数的值代入最简公分母，使最简公分母不为0的就是原方 程的根;使得最简公分母为0的就是原方程的增根，增根必须舍去. 也可以把求得的未知数的值代入原方程检验。
4.增根在含参数的分式方程中的应用:由增根求参数的值：解答思路为： (1)将原方程化为整式方程； (2)确定增根； (3)将增根代入变形后的整式方程，求出参数的值．
解答题
8-10
中档题
命题规律
纵观近年中考，一次方程(组)及应用在中考中分值4～9分，以解答为主， 难度中偏下，注重基础；二元一次方程(组)的应用在填空题、解答题中 考；一元二次方程、分式的解法与应用在解答题中考，分值9～10分， 难度中档。
二.考点知识梳理
知识点一. 等式的性质、方程有关概念
1.等式的基本性质： 性质①：若a=b，则a±m=b±m; 性质②：若a=b，则am=bm； a b 若a=b，则 d d (d≠0).
5. 列分式方程解应用题：方法和步骤：
(1)审清题意；(2)设未知数；(3)根据题意找等量关系，列出分式方程； (4)解方程并验根(一要看此解是否使原方程有意义，二要看此解是否符合实 际情况)； (5)写出答案．
三.题型与解题策略
考点1.方程（组）有关概念
1． （2017 杭州）设 x，y，c 是实数，( B ) A．若 x＝y，则 x＋c＝y－c B．若 x＝y，则 xc＝yc x y C．若 x＝y，则 ＝ c c x y D．若 ＝ ，则 2x＝3y 2c 3c
2．方程的有关概念
等式 方程：含有未知数的________ 叫做方程．
方程的解：使方程中等号左右两边相等的未知数的值叫做方程的解． 解方程：求方程解的过程叫做解方程．
专题提升(4) 整式方程(组)的应用
头，共价四十八两(我国古代货币单位)；马二匹、牛五头，共价三十八两．问
马、牛各价几何？”设马每匹x两，牛每头y两，根据题意可列方程组为( D )
4x＋6y＝38， A.2x＋5y＝48
4y＋6x＝48， B.2y＋5x＝38
4y＋6x＝38， C.2y＋5x＝48
4x＋6y＝48， D.2x＋5y＝38
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5x＋6y＝1， A.5x－y＝6y－x
5x＋6y＝1， C.4x＋y＝5y＋x
6x＋5y＝1， B.5x＋y＝6y＋x
6x＋5y＝1， D.4x－y＝5y－x
【解析】 由题意可得45xx＋＋y6＝y＝5y1＋，x. 故选C. 【答案】 C
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2．[2019·嘉兴]中国清代算书《御制数理精蕴》中有这样一题：“马四匹、牛六
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解：设参与种树的人数为x人．依题意，得 10x＋6＝12x－6.解得x＝6. 答：参与种树的人数为6人．
【思想方法】 利用一元一次方程解决实际问题是学习二元一次方程组、分式方 程、一元二次方程、一元一次不等式(组)等的基础，
[2018·襄阳]我国古代数学著作《九章算术》中有一道阐述“盈不足术”的问题， 译文为：“现有几个人共同购买一个物品，每人出8钱，则多3钱；每人出7钱， 则差4钱．问这个物品的价格是多少钱？”则该物品的价格是 53 钱．
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解：设牛、羊每头各值金x两、y两．依题意，得
5x＋2y＝10， 2x＋5y＝8.
解得yx＝＝22320141.，
答：牛、羊每头各值金3241两、2201两．
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2018年中考数学包头专版复习课件-专题突破方案专题4 方程(组)、一元一次不等式与函数的应用
解：(1)由题意知苗圃园与墙平行的一边长为(30－2x )米．依 题意可列方程 x(30－2x)＝72 ，即 x2－15x＋36＝0.解得 x1＝3，x2＝ 12. ∵30 －2x≤18，∴x≥6，∴x＝ 12. (2) 依题意，得 8≤30－2x≤18，解得 6≤x≤11. 15 2 225 面积 S ＝x(30－2 x)＝－2(x－ ) ＋ (6≤x ≤11)． 2 2 15 225 ①当 x ＝ 时，S 有最大值，S 最大＝ ； 2 2 ②当 x ＝11 时，S 有最小值，S 最小＝11×(30－ 22)＝88. 2 (3) 令 x(30－2 x)＝100，得 x －15x＋ 50＝0. 解得 x 1＝5，x2＝10.又 x≥6， ∴x 的取值范围是 6≤ x≤10.
专题四┃方程(组)、一元一次不等式与函数的应用
针对训练 1． 【2016·包头】一幅长 20 cm、宽 12 cm 的长方形图案，如 图 Z4－1， 其中有一横两竖的彩条、 横、 竖彩条的宽度比为 3∶2. 设竖彩条的宽度为 x cm，图案中三条彩条所占面积和为 y cm2. (1)求 y 与 x 之间的函数关系式；
专题四┃方程(组)、一元一次不等式与函数的应用
类型1 以“教材”典例为模型的方程函数类问题 [2017年23题 2016年23题 ]
例 1【2017·包头】某广告公司设计一幅周长为 16 米的矩 形广告牌，广告设计费为每平方米 2000 元，设矩形一边长 为 x 米，面积为 S 平方米． (1)求 S 与 x 之间的函数关系式，并写出自变量 x 的取值范 围； (2)设计费能达到 24000 元吗？为什么？ (3)当 x 是多少米时，设计费最多？最多是多少元？
专题四┃方程(组)、一元一次不等式与函数的应用
陕西省2018年中考数学复习课件：第一编第04课时方程与方程组.pptx
【点评】本题综合考查二元一次方程组、一元一次不等式及一次函数的、不等式和函数解析式，熟练掌握相关知
识是解题的关键．
《中考内参（数学）2018》配套课件
第4课时：方程与方程组
请完成《中考内参（数学）》（听课手册） 本节【当堂目标检测】。
第4课时：方程与方程组 布置作业：
吸收改造外来文化并使其成为自己的一部分。这种处于变化发展中的文化，其民族性往往更为鲜明突出，更符合民族文化发展的需要。以中国绘画为例，“六朝以来，就大受印度美术的影响”。内容
与形式发生较大
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例1（2016年，荆州市）互联网“微商”经营已成为大众创业 新途径，某微信平台上一件商品标价为200元，按标价的五 折销售，仍可获利20元，则这件商品的进价为（ C ） A．120元 B．100元 C．80元 D．60元
【点评】本题考查一元一次方程的应用，解题的关键是列出方程,本题于基础题 ，难度不大。解决该类题目时，根据数量关系“售出价-成本=利润”列出方程 是关键．
《中考内参（数学）2018》配套课件
第4课时：方程与方程组
例2（2017年，徐州市）4月9日上午8时，2017徐州国际马拉松
赛鸣枪开跑，一名34岁的男子带着他的两个孩子一同参加了比
赛，下面是两个孩子与记者的对话：
根据对话内容，请你用方程的知识帮记者求出哥哥和妹妹的 年龄．
《中考内参（数学）2018》配套课件
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【点评】例4、例5考查一元二次方程的根的判别式的知识：一元二次方程ax2+bx+c=0 （a≠0）的根的情况与根的判别式△=b2﹣4ac有如下关系：当△＞0时，方程有两个不 相等的实数根；当△=0时，方程有两个相等的实数根；当△＜0时，方程无实数根．反 之亦然。
【复习必备】2018年中考数学试题分类汇编 知识点07 一次方程(组)及其应用
知识点07 一次方程（组）及其应用一、选择题1. （2018山东省淄博市，4，4分） 若单项式a m -1b 2与12a 2b n 的和仍是单项式，则n m的值是 （A ）3 （B ） 6 （C ）8 （D ）9 【答案】C【解析】由题意可知两个单项式是同类项，其相同字母的指数相同，所以可以利用指数相同列出关于m 和n 的方程，求出m 、n ，进而求出结果. 【知识点】同类项；一元一次方程；幂的运算2. （2018天津市，8，3）方程组10216x y x y +=⎧⎨+=⎩的解是（ ）A ．64x y =⎧⎨=⎩ B ．56x y =⎧⎨=⎩ C. 36x y =⎧⎨=⎩ D ．28x y =⎧⎨=⎩【答案】A【解析】分析：本题考查了二元一次的解法，根据系数的特点用加减消元法解方程组即可． 解：②﹣①得到x=6，把x=6代入①得到y=4，∴⎩⎨⎧==46y x ，故选A ．【知识点】二元一次方程组；加减消元法；二元一次方程组的解3. （2018浙江杭州，6，3分）某次知识竞赛共有20道题，规定：每答对一道得+5，每答错一题得-2分，不答的题得0分，已知圆圆这次竞赛得了60分，设圆圆答对了x 道题，答错了y 道题，则（ ）A. 20x y -=B. 20x y +=C. 5260x y -=D. 5260x y += 【答案】C【解析】答对得分：5x 分，答错得分-2y 分，不答得分0分，共得分60分，则5260x y -= 【知识点】二元一次方程组的应用4. （2018浙江温州，8，4）. 学校八年级师生共466人准备参加社会实践活动，现已预备了49座和37座两种客车共10辆，刚好坐满.设49座客车x 辆，37座客车y 辆，根据题意可列出方程组（ ）A.104937466+=⎧⎨+=⎩x y x y B.103749466+=⎧⎨+=⎩x y x yC.466493710+=⎧⎨+=⎩x y x yD.466374910+=⎧⎨+=⎩x y x y【答案】A【解析】本题考查了二元一次方程组的应用，得x+y=10,49x+37y=466故选A 【知识点】二元一次方程组的应用1. （2018四川遂宁，3，4分） 二元一次方程组⎩⎨⎧=-=+422y x y x 的解是（ ）A ．⎩⎨⎧==20y xB ．⎩⎨⎧==02y xC ．⎩⎨⎧-==13y xD ．⎩⎨⎧==11y x【答案】B.【解析】解：⎩⎨⎧=-=+②42①2y x y x①+②，得x =2，把x =2代入①，得y =0，所以方程组的解为⎩⎨⎧==02y x .故选B.【知识点】加减消元法解二元一次方程组2. （2018广东广州，8，3分）《九章算术》是我国古代数学的经典著作，书中有一个问题：“今有黄金九枚，白银一十一枚，称之重适等，交易其一，金轻十三两，问金、银各重几何？”意思是：甲袋中装有黄金9枚（每枚黄金重量相同），乙袋中装有白银11枚（每枚黄金重量相同），称重两袋相等，两袋互相交换1枚后，甲袋比乙袋轻了13两（袋子重量忽略不计），问黄金、白银每枚各重多少两？设每枚黄金重x 两，每枚白银重y 两，根据题意得：（ ）A ．()()11910813x yy x x y =⎧⎪⎨+-+=⎪⎩B ．10891311y x x yx y+=+⎧⎨+=⎩C ．()()91181013x y x y y x =⎧⎪⎨+-+=⎪⎩D ．()()91110813x y y x x y =⎧⎪⎨+-+=⎪⎩【答案】D【解析】题中有两个相等关系：9枚黄金的重量＝11枚白银的重量，8枚黄金的重量＋1枚白银的重量＋13两＝10枚白银的重量＋1枚黄金的重量．依题意，可得()()91110813x y y x x y =⎧⎪⎨+-+=⎪⎩，故答案为D ．【知识点】二次一次方程组的应用3. （2018河北省，7，3） 有三种不同质量的物体“”“”“”，其中，同一种物体的质量都相等．现左右手中同样的盘子上都放着不同个数的物体，只有一组左右质量不相等，则该组是（ ）【答案】A【解析】设立方体的质量为x，圆柱体的质量为y，球体的质量为z．假设四个选项都是正确的，则有A中2x＝3y,B中x＋2z＝2y＋2z，C中x＋z＝2y＋z,D中2x＝4y．观察对比可知A选项和另外三个选项是矛盾的，故选A．【知识点】等式的性质4.（2018·新疆维吾尔、生产建设兵团，8，5）某文具店一本练习本和一支水笔的单价合计为3元，小妮在该店买了20本练习本和10支水笔，共花了36元．如果设练习本每本为x元，水笔每支为y元，那么根据题意，下列方程组中，正确的是（）A．3201036x yx y-=⎧⎨+=⎩B．3201036x yx y+=⎧⎨+=⎩C．3201036y xx y-=⎧⎨+=⎩D．3 102036x yx y+=⎧⎨+=⎩【答案】B．【解析】根据“文具店一本练习本和一支水笔的单价合计为3元”，得x＋y＝3；根据“20本练习本和10支水笔，共花了36元”，可得20x＋10y＝36，因此选B．【知识点】二元一次方程组的应用5. （2018福建A卷，8，4）我国古代数学著作《增删算法统宗》记载“绳索量竿”问题：“一条竿子一条索，索比竿子长一托.折回索子却量竿，却比竿子短一托.”其大意为：现有一根竿和一条绳索，用绳索去量竿，绳索比竿长5尺；如果将绳索对半折后再去量竿，就比竿短5尺.设绳索长x尺，竿长y尺，则符合题意的方程组是 ( )A．5152x yx yì=+ïí=-ïîB.5152x yx yì=-ïí=+ïîC.525x yx yì=+ïí=-ïîD.525x yx yì=-ïí=+ïî【答案】A【解析】本题考查了二元一次方程组，解题的关键是找准等量关系.由“绳索比竿长5尺”，可得x=y+5；再根据“将绳索对半折后再去量竿，就比竿短5尺”，可列得方程152x y=-.所以符合题意的方程组是515 2x yx yì=+ïí=-ïî.【知识点】二元一次方程组的实际应用6.（2018福建B卷，8，4）我国古代数学著作《增删算法统宗》记载“绳索量竿”问题：“一条竿子一条索，索比竿子长一托.折回索子却量竿，却比竿子短一托.”其大意为：现有一根竿和一条绳索，用绳索去量竿，绳索比竿长5尺；如果将绳索对半折后再去量竿，就比竿短5尺.设绳索长x尺，竿长y尺，则符合题意的方程组是 ( )A．5152x yx yì=+ïí=-ïîB.5152x yx yì=-ïí=+ïîC.525x yx yì=+ïí=-ïîD.525x yx yì=-ïí=+ïî【答案】A【解析】本题考查了二元一次方程组，解题的关键是找准等量关系.由“绳索比竿长5尺”，可得x=y+5；再根据“将绳索对半折后再去量竿，就比竿短5尺”，可列得方程152x y=-.所以符合题意的方程组是515 2x yx yì=+ïí=-ïî.【知识点】二元一次方程组的实际应用7. （2018广东省深圳市，9，3分）某旅店一共70个房间，大房间每间住8个人，小房间每间住6个人，一共480个学生刚好住满，设大房间有x 个，小房间有y 个.下列方程正确的是( )A ．7086480x y x y +=+=⎧⎨⎩B ．7068480x y x y +=+=⎧⎨⎩C ． 4806870x y x y +=+=⎧⎨⎩D ．4808670x y x y +=+=⎧⎨⎩【答案】A ．【思路分析】根据题意找出等量关系：大房间＋小房间＝70间，大房间住的人数＋小房间住的人数＝480人，房间总人数＝房间数×每间住的人数．【解析】解：由“旅店一共70个房间”可得x ＋y ＝70，由“大房间每间住8个人，小房间每间住6个人，一共480个学生刚好住满”可,8x ＋6y ＝480，故选A ． 【知识点】二元一次方程组的应用8. （2018湖北荆州，T6，F3）《九章算术》是中国传统数学名著，其中记载:“今有牛五、羊二，直金十两;牛二、羊五,直金八两问牛，羊各直金几何?”译文:“假设有5头牛,2只羊，值金10两;2头牛,5只羊，值金8两.问每头牛、每只羊各值金多少两?”若设每头牛、每只羊分别值金x 两、y 两，则可列方程组为（ ）A ．5210258x y x y +=⎧⎨+=⎩ B ．5210258x y x y -=⎧⎨-=⎩ C.5210258x y x y +=⎧⎨-=⎩ D ．5282510x y x y +=⎧⎨+=⎩【答案】A【解析】设每牛值金x 两，每只羊值金y 两，由题意，得⎩⎨⎧=+=+8521025y x y x ．故选择A ．【知识点】二元一次方程组的实际应用---销售、利润问题9.（2018河南，6，3分）《九章算术》中记载：“今有共买羊,人出五,不足四十五；人出七,不足三．问人数、羊价各几何？”其大意是：今有人合伙买羊,若每人出5钱,还差45钱；若每人出7钱,还差3钱．问合伙人数、羊价各是多少？设合伙人数为x 人,羊价为y 钱,根据题意,可列方程组为（A ）545,73y x y x =+⎧⎨=+⎩（B ）545,73y x y x =-⎧⎨=+⎩ （C ）545,73y x y x =+⎧⎨=-⎩ （D ）545,73y x y x =-⎧⎨=-⎩【答案】A【解析】本题已经设出未知数x 表示合伙人的人数，y 表示羊价的钱数；由“若每人出5钱,还差45钱”可以表示出羊价为y =5x +45；由“若每人出7钱,还差3钱”可以表示出羊价为y =7x +3；故选项A 正确.【知识点】二元一次方程组的应用10. （2018·北京，3，2）方程组33814x y x y -=⎧⎨-=⎩的解为 （ ）A ．12x y =-⎧⎨=⎩ B ．12x y =⎧⎨=-⎩ C ．21x y =-⎧⎨=⎩ D ．21x y =⎧⎨=-⎩【答案】D ．【解析】方程②－①×3，得－5y ＝5， y ＝－1，并代入①，得x ＋1＝3，x ＝2．故原方程组的解为21x y =⎧⎨=-⎩，因此选D ． 【知识点】二元一次方程的解法11. （2018山东省泰安市，6，3）夏季来临，某超市试销A 、B 两种型号的风扇，两周内共销售30台，销售收入5300元，A 型风扇每台200元，B 型风扇每台150元，问A 、B 两种型号的风扇分别销售了多少台？若设A 型风扇销售了x 台，B 型风扇销售了y 台，则根据题意列出方程组为（ ）A ．530020015030x y x y +=⎧⎨+=⎩B ．530015020030x y x y +=⎧⎨+=⎩C．302001505300x yx y+=⎧⎨+=⎩D．301502005300x yx y+=⎧⎨+=⎩【答案】C【解析】本题考查了一元一次方程的应用，解题的关键是找出等量关系．由等量关系列出二元一次方程组．本题的相等关系一：、两种型号的风扇，两周内共销售30台；相等关系二：销售的A、B 两种型号D的30台共收入5300元，由此可列出方程组．解：设A型风扇销售了x台，B型风扇销售了y台，由题意，得302001505300x yx y+=⎧⎨+=⎩．故选择C．【知识点】二元一次方程组的实际应用——销售、利润问题.二、填空题1. （2018江苏无锡，14，3分）方程组225x yx y-=⎧⎨+=⎩的解是 .【答案】31 xy=⎧⎨=⎩【解析】225x yx y-=⎧⎨+=⎩①②，②-①得3y=3，∴y=1.把y=1代入①，得x-1=2，解得x=3.∴原方程组的解是31 xy=⎧⎨=⎩.【知识点】二元一次方程组的解法2. （2018年山东省枣庄市，13，4分）若二元一次方程组⎩⎨⎧=-=+4533y x y x 的解为⎩⎨⎧==b y ax ，则=-b a .【答案】74【解析】方法一：解方程组得19858x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，即195,88a b ==，74a b -=，故填74。
2018年全国中考数学 方程(组)、不等式(组)及其应用 专题复习汇总
2018年全国中考数学方程(组)、不等式(组)及其应用压轴题专题复习【课标要求】1．方程(组)及其应用(1)能够根据具体问题中的数量关系，列出方程(组)，解决简单的具体问题，体会方程是刻画现实世界的一个有效的数学模型；(2)经历用观察、画图等手段估计方程解的过程；(3)会解一元一次方程、简单的二元一次方程组、可化为一元一次方程或一元二次方程的分式方程(方程中分式不超过两个)、简单的三元一次方程组、二元二次方程组(一个二元一次方程和一个二元二次方程组成)；(4)理解配方法，会用因式分解法(十字相乘法)、公式法、配方法解简单的数字系数的一元二次方程；(5)掌握一元二次方程根的判别式、一元二次方程根与系数的关系，并能灵活运用；(6)能根据具体问题的实际意义，检验结果是否合理.2．不等式(组)及其应用(1)能够根据具体问题中的大小关系了解不等式的意义，并探索不等式的基本性质；掌握不等式及其基本性质；(2)会解简单的一元一次不等式，并能在数轴上表示出解集．会解由两个一元一次不等式组成的不等式组；(3)能够根据具体问题中的数量关系，列出一元一次不等式和一元一次不等式组，解决简单的问题.【课时分布】方程(组)、不等式(组)部分在第一轮复习时大约需要9个课时(包括单元测试)，下表为内容及课时安排(仅供参考)：【知识回顾】 1． 知识脉络不等式(组)及其应用部分：2．基础知识方程(组)及其应用部分 (1)方程的有关概念含有未知数的等式叫做方程．能使方程两边的值相等的未知数的值，叫做方程的解．只含有一个未知数的方程的解，也叫做根．求方程的解的过程叫做解方程. (2)一元一次方程①只含有一个未知数，且未知项的次数是1的整式方程叫做一元一次程．对于一元一次方程，要抓住“一元”、“一次”两个关键和“整式方程”这一要素．它的一般形式为：)0,(0≠=+a b a b ax 为常数，且；②一元一次方程的解法：去分母、去括号、移项、合并同类项、系数化为1；③特别提醒：在解一元一次方程时，由于对等式性质的理解不够深入，会造成一些错误，如移项时忘记变号；去分母时漏乘不带分母的项；去括号，括号前是“-”时忘记变号；采用除法将系数化为1时，被除数和除数颠倒． (3)一元二次方程①只含有一个未知数，且未知项的最高次数是2的整式方程叫做一元二次方程．它的一般形式为02=++c bx ax (c b a ,,是已知数，0≠a )，其中bx ax ,2分别叫做二次项，一次项；c b a ,,分别叫做二次项系数，一次项系数，常数项；②一元二次方程的解法.其基本思想是降次．其常用方法:直接开平方法、因式分解法(十字相乘法)、公式法、换元法、配方法；③一元二次方程02=++c bx ax (c b a ,,是已知数，0≠a )的根的判别式(ac b 42-=∆)： (a)当0>∆时，一元二次方程有两个不相等的实数根； (b)当0=∆时，一元二次方程有两个相等的实数根； (c)当0<∆时，一元二次方程没有实数根． 以上结论，反之亦成立；④一元二次方程根与系数的关系(韦达定理)：若一元二次方程20ax bx c ++=（a ，b ，c 是已知数，0≠a )的两根为1x 、2x ，则acx x a b x x =⋅-=+2121,（此知识点为苏州市要求选学内容）；⑤提别提醒：解一元二次方程时不要盲目运用配方法，有时候会令计算繁琐；利用公式法求解时，确定各项系数要注意符号；利用根与系数的关系求待定字母值时，要检验∆及二次项系数0a ≠的隐含条件. (4)分式方程①分母中含有未知数的方程叫做分式方程； ②分式方程的解法．其基本思想是将分式方程转化为整式方程．其方法是运用等式性质在方程两边同乘以最简公分母．解分式方程必须要验根；③特别提醒：去分母时不要漏乘整数项；不要忘记验根；用换元法可简化运算时优先选用换元法．(5)二元一次方程(组)①含有两个未知数，且未知项的次数都是1的整式方程，叫做二元一次方程；②含有两个未知数，且未知项的次数都是1，由这样的几个整式方程所组成的方程组叫做二元一次方程组；③由几个方程所组成的一组方程叫做方程组．方程组里各个方程的公共解叫做这个方程组的解．求方程组的解的过程叫做解方程组；④二元一次方程组的解法．其基本思想是消元．其基本方法是代入消元法和加减消元法； ⑤二元一次方程的整数解问题： 由于二元一次方程的解不唯一性(无数多个)，在实际生活中有较多的例子需要求出二元一次方程的整数解；⑥二元一次方程组的检验法： 常用的方法是将这对数值分别代入方程组中的每个方程，只有当这对数值满足组内的所有方程时，才能说这对数值是此方程组的解；如果这对数值不满足其中任何的一个方程，那么它就不是方程组的解． (6)三元一次方程(组)①含有三个未知数，且未知项的次数都是1的整式方程，叫做三元一次方程；②含有三个未知数，且未知项的次数都是1，由这样的几个整式方程所组成的方程组叫做三元一次方程组；③三元一次方程组的解法．其基本思想仍是消元．其基本方法仍是代入法和加减法；(7)二元二次方程组(一个二元一次方程、一个二元二次方程)①含有两个未知数，且未知项的最高次数为2的整式方程叫做二元二次方程；②含有两个未知数，且未知项的最高次数为2，由这样的几个整式方程所组成的方程组叫做二元二次方程组；③二元二次方程组的解法．其基本思想是消元、降次．其方法主要是代入消元法．(8)列方程(组)解应用题的一般步骤：①审清题意；②找出等量关系；③设出直(间)接未知数；④列出方程(组)；⑤解方程(组)；⑥验方程(组)的根；⑦答出完整的语句．不等式(组)及其应用部分 (1)不等式的有关概念①用不等号表示不等关系的式子叫做不等式； ②使不等式成立的未知数的值叫做不等式的解；③不等式所有的解,组成这个不等式的解的集合,简称为这个不等式的解集； ④求不等式的解集的过程,叫做解不等式. (2)不等式的基本性质 ①不等式的性质1：不等式的两边都加上(或减去)同一个数或同一个整式,不等号的方向不变.如果b a >,那么c b c a +>+,c b c a ->-；②不等式的性质2：不等式的两边都乘以(或除以)同一个正数,不等号的方向不变. 如果b a >,并且0>c ,那么bc ac >； ③不等式的性质3不等式的两边都乘以(或除以)同一个负数,不等号的方向改变. 如果b a >,并且0<c ,那么bc ac <. (3)一元一次不等式①只含有一个未知数,且含未知数的式子是整式,未知数的最高次数是1,像这样的不等式叫做一元一次不等式；②解一元一次不等式与解一元一次方程的方法相类似,基本步骤是:去分母、去括号、移项、合并同类项、系数化为1.特别要注意当系数化为1时,如果不等式两边同乘以(或除以)的是同一个负数,不等号的方向必须改变； ③一元一次不等式的解集在数轴上直观表示如下图:(4)一元一次不等式组①几个未知数相同的一元一次不等式所组成的不等式组叫做一元一次不等式组； ②解一元一次不等式组一般先求出不等式组中各个不等式的解集,再利用数轴求出解集的公共部分；③由两个一元一次不等式组成的一元一次不等式组的解集，在数轴上直观表 示的方法有四种情况，如下: 若b a <,则①,.x a x b >⎧⎨>⎩的解集是b x >，如下图： ②,.x a x b <⎧⎨<⎩的解集是a x <，如下图：< >≤ ≥③,.x a x b >⎧⎨<⎩的解集是b x a <<，如下图： ④,.x a x b <⎧⎨>⎩无解，如下图：(7)不等式(组)的应用解不等式(组)的应用问题关键是使学生从实际问题中抽象出数量关系，建立不等式模型,即：会根据题中的不等量关系列出不等式(组)；在列不等式(组)时候，还要密切关注题目中的不等关系，如“至少”、“至多”、“不大于”、“不少于”.3．能力要求例1 解下列方程： (1) 0232=-+x x (2) x x x --=-21122 (3) 021)1(22=----x x xx 【分析】第(1)题根据一元二次方程的几种解法，不能运用直接开平方法和因式分解法，考虑配方法或公式法．第(2)题为分式方程，将方程两边同时乘以2-x 得到一个一元一次方程，要注意的是x -2与2-x 互为相反式，分式方程需要检验是否产生增根．第(3)题方程两边同乘以2x ，直接去分母可以化为整式方程，但通过观察方程特点，此题采用换元法较为简便． 【解】(1)解法一：原方程化为： 232=+x x配方，得 222232233⎪⎭⎫⎝⎛+=⎪⎭⎫ ⎝⎛++x x .整理，得417)23(2=+x∴21723±=+x ，即217232+-=x ，217232--=x ． 解法二：1=a ，3=b ，2-=c . ∴17)2(143422=-⨯⨯-=-ac b∴aac b b x 242-±-=2173±-=. 即21731+-=x ，21732--=x ．(2)原方程化为：21122-+=-x x x 方程两边同时乘以2-x ，去分母的:122+-=x x .得：1-=x . 检验：当1-=x 时，分母02≠-x . ∴1-=x 是原方程的根．(3)令y xx =-1，则原方程可化为022=--y y . 解之，得：11-=y ，22=y .当11-=y 时，11-=-x x ，∴ 211=x ； 当22=y 时，21=-xx ∴12-=x ． 经检验，211=x ，12-=x 是原方程的根． ∴原方程的根是211=x ，12-=x ． 【说明】第(1)题考查了一元二次方程的解法，直接开平方法和因式分解法虽然简单些，但有一定的局限性，配方法和公式法可以解所有一元二次方程，公式法要用一般式准确写出各项系数，以防出错；第(2)题考查了分式方程的解法，属于比较简单的题型，解分式方程的关键在于确定正确的最简公分母和检验,值得注意的是在去分母时不要漏乘没有分母的项,解答此类题不要忘记检验；第(3)题考查了换元思想，教学时应将渗透这种数学思想． 例2 下列四个结论中，正确的是 （ ） A ．方程12x x +=-有两个不相等的实数根 B ．方程11x x +=有两个不相等的实数根C ．方程12x x +=有两个不相等的实数根D ．方程1x a x+=（其中a 为常数，且2a >）有两个不相等的实数根【分析】方程两边同时乘以x ，去分母转化为一元二次方程，然后整理成一般形式，通过计算根的判别式∆ac b 42-=得出原方程根的情况． 【解】对于选项A ，整理得0122=++x x ，∆0=，∴原方程有两个相等的实数根，选项A 错误；对于选项B ,整理得012=+-x x ，∆0<，∴原方程没有实数根，选项B 错误；对于选项C ，整理得0122=+-x x ，∆0=，∴原方程有两个相等的实数根，选项C 错误；对于选项D ，整理得012=+-ax x ，当2||>a 时，∆04)(2>--=a ，∴原方程有两个不相等的实数根，选项D 正确． 【说明】本题考查了一元二次方程根的判别，解题时要将分式方程转化为一元二次方程的一般式，综看四个选择支，只要仔细分析D 选项即可得出其他三个选项是错误的结论，可适当引导学生体会从特殊到一般的化归思想．例3 已知一元二次方程013)13(2=-++-x x 的两根为1x 、2x ，则____1121=+x x ．【分析】利用根与系数的关系a b x x -=+21，acx x =21，得出两根和、两根积的值．将和与积整体代入21122111x x x x x x +=+，注意将结果分母有理化． 【解】∵a b x x -=+2113+=，acx x =2113-=, ∴21122111x x x x x x +=+1313-+=32+=. 【说明】根与系数关系现已列入阅读材料，但是利用根与系数关系求代数式的值仍是近年来中考的热点，教师教学时需要适当补充．例4 解方程组 (1) ⎩⎨⎧=+-=-②．①，0252y x y x (2) ⎪⎩⎪⎨⎧=-+=++=++③．②，①，1232721323z y x z y x z y x (3) ⎪⎩⎪⎨⎧=++=--②．①，01032y x y x 【分析】第(1)题因为方程①中x 的系数为1，所以把方程①变形为52-=y x ，然后代入方程②求出y ，再求x ；也可以把方程②变形为x y 2-=，然后代入方程①求出x ，再求y ；还可以②2⨯后与①相加消y 求解．第(2)题中有未知数系数的绝对值为1，故可用代入消元法解决，而观察未知数z 的系数，本题用加减消元法也可以．第(3)题中把方程①变形为3+=y x ，代入方程②，可得到关于x 的一元二次方程． 【解】(1) 解法一：(代入消元法，消未知数x ) 由①得：52-=y x ③把③代入②得：0)52(2=+-y y ，即0105=-y ．∴2=y ④ 把④代入③，得1-=x ．∴原方程组的解是⎩⎨⎧=-=21y x .解法二：(代入消元法消未知数y ) 由②得：x y 2-= ③把③代入①得：5)2(2-=-⨯-x x ，即55-=x ，∴1-=x ④ 把④代入③，得2=y ．∴⎩⎨⎧=-=21y x .解法二：(加减消元法) ②2⨯得：024=+y x ③①＋③得：55-=x ，即1-=x ④ 把④代入②得：2=y ．∴⎩⎨⎧=-=21y x .(2)解法一：(代入消元法消未知数x ) 由②得：z y x 27--= ④ 把④代入①得：85=+z y ⑤ 把④代入③得：25-=-z y ⑥ 由⑤⑥得：⎩⎨⎧-=-=+⑥⑤2585z y z y 解这个方程组得：⎩⎨⎧==13z y .把1,3==z y 代入④ 得：x =2 ∴⎪⎩⎪⎨⎧===132z y x .解法二：(加减消元法消未知数z ) 由①+③得：2555=+y x ④ 由②+③⨯2得：3175=+y x ⑤ 由④⑤得：⎩⎨⎧=+=+⑤④31752555y x y x 解这个方程组得：⎩⎨⎧==32y x .把3,2==y x 代入① 得：z =1 ∴⎪⎩⎪⎨⎧===132z y x .(3)由①得：3+=y x ③把③代入②得：01)3(2=+++y y ，整理得01072=++y y ． 解之得：21-=y ，52-=y ．当21-=y 时，11=x ；当52-=y 时，22-=x ． ∴原方程组的解是⎩⎨⎧-==2111y x ⎩⎨⎧-=-=5222y x .【说明】解方程组的关键是消元，教师在复习时要让学生学会选择合适的消元方法，提高解方程组的能力，为解决综合题目打好基础．其中第(3)题不但考查了数学的转化(消元、降次)思想，而且还沟通了二次函数中的问题，如：用一般式求抛物线解析式和求抛物线与x 轴的交点坐标、直线与抛物线的交点坐标等问题．例5 解不等式（组） (1) 解不等式12315>--x x ，并将解集在数轴上表示出来． (2) 解不等式组⎪⎩⎪⎨⎧+>-+≥-．，)1(212132x x x x【分析】第(1)小题先两边同时乘以3化整系数，再按不等式性质移项、合并同类项、系数化为1即可求解．第(2)小题分别求出每个不等式的解集，再找出它们的公共部分． 【解】(1)不等式两边同时乘以3得：36)15(>--x x 去括号，移项得： 1365+>-x x 即4>-x 系数化为1，得： 4-<x ． 在数轴上表示不等式的解集为：(2) ⎪⎩⎪⎨⎧+>-+≥-②①)1(212132x x x x 解不等式①，得 4≥x ；解不等式②，得 5>x . ∴不等式组的解集为5>x ． 【说明】第(1)题中考查了不等式的性质，解一元一次不等式，在数轴上表示不等式的解集等知识点的应用，主要考查学生能否正确解一元一次不等式，注意：不等式的两边都乘以或除以同一个负数时，不等号的方向要改变；第(2)题中解不等式组的关键是确定不等式解集的公共部分，学生可以借助数轴找出公共部分，复习时应加强数形结合思想的渗透和训练．例6 若关于x 的不等式组⎪⎩⎪⎨⎧++>++>++．，a x a x x x 3)1(44530312恰有三个整数解，求实数a 的取值范围． 【分析】解不等式①得52->x ，整数0，1，2满足52->x ，解不等式②得a x 2<，又210，，=x ，可结合数轴得出a 2介于2与3之间，分析临界状态得a 2取不到2但能够取到3． 【解】⎪⎩⎪⎨⎧++>++>++②①a x a x x x 3)1(44530312 解不等式①，得52->x ；解不等式②，得a x 2<.结合52->x 和不等式恰有三个整数解，得210，，=x . ∴322≤<a ，解得231≤<a ． 【说明】本题主要考查运用逆向思维解决含有待定字母的一元一次不等式组的问题．可先把a 2看成一个整体确定它的范围，有些学生确定字母范围时可能觉得只要22>a 即可，这就扩大了解的范围．教学时利用数轴帮助学生理解字母a 2的范围应该包括3，但是不应该包括2． 例7 某市为进一步缓解交通拥堵现象，决定修建一条从市中心到飞机场的轻轨铁路．实际施工时，每月的工效比原计划提高了20%，结果提前5个月完成这一工程．求原计划完成这一工程的时间是多少月？ 【分析】设原来计划完成这一工程的时间为x 个月，根据工程问题的数量关系建立方程求出其解即可． 【解】设原来计划完成这一工程的时间为x 个月，由题意，得：511%)201(-=⋅+x x 解得：30=x . 经检验，30=x 是原方程的解． 答：原计划完成这一工程的时间是30个月． 【说明】本题主要考查了关于列分式方程解决实际问题的运用，要求掌握工程问题的数量关系：工作总量=工作效率×工作时间，解答时根据工作效率的数量关系建立方程是解答的关键．注意工程问题常常把工作总量看作单位１．例8 已知甲、乙两种原料中均含有A 元素，其含量及每吨原料的购买单价如下表所示：A 元素要排放废气0.5吨．若某厂要提取A 元素20千克，并要求废气排放不超过16吨，问：该厂购买这两种原料的费用最少是多少万元？ 【分析】设所购原料总费用为W 万元，W 与甲、乙两种原料的购买量有关，故可设购买甲、乙两种原料x 吨、y 吨，找出x 、y 两者之间的关系以及W 与x 、y 之间的函数关系即可求解． 【解】设购买甲、乙两种原料x 吨、y 吨，则 ⎩⎨⎧≤⋅⋅⋅+⋅⋅⋅=⋅⋅+⋅⋅165.01000%811000%5201000%81000%5y x y x 整理得⎩⎨⎧≤+=+164050285y x y x 解得1.0≥y设购买甲、乙两种原料所需的费用为W 万元，则2.12165825.265.2≥+=+-⨯=+=y y y y x W ∴当1.0=y ，24.0=x 时，2.1=最小W答：该厂购买这两种原料的费用最少是1.2万元．【说明】本题综合考查了二元一次方程、二元一次不等式与一次函数的最值问题．解题的关键在于弄清购买的甲原料量、乙原料量和总费用这三者之间的关系．注意选择合适的单位简化运算．例9 某汽车销售公司6月份销售某厂家的汽车．在一定范围内，每部汽车的进价与销售量有如下关系：若当月仅售出1部汽车，则该部汽车的进价为27万元；每多售出1部，所有售出的汽车的进价均降低0.1万元／部．月底厂家根据销售量一次性返利给销售公司，销售量在10部以内（含10部），每部返利0.5万元；销售量在10部以上，每部返利1万元(1)若该公司当月售出3部汽车，则每部汽车的进价为________ 万元；(2)如果汽车的售价为28万元／部，该公司当月盈利12万元，那么需要售出多少部汽车？（盈利＝销售利润＋返利）【分析】(1)根据若当月仅售出1部汽车，则该部汽车的进价为27万元；每多售出1部，所有售出的汽车的进价均降低0.1万元/部，得出该公司当月售出3部汽车时，则每部汽车的进价为：27－0.1×2=26.8万元．(2)利用设需要售出x 部汽车，由题意可知，每部汽车的销售利润，根据当100≤≤x ，以及当10>x 时，分别讨论得出即可．【解】(1)26.8(2)设需要售出x 部汽车，由题意可知，每部汽车的销售利润为：[])9.01.0()1(1.02728+=---x x （万元）， 当100≤≤x 时，根据题意，得125.0)9.01.0(=++x x x ，整理，得0120142=-+x x ， 解这个方程，得201-=x （不合题意，舍去），62=x ．当10>x 时，根据题意，得12)9.01.0(=++x x x ，整理，得0120192=-+x x ，解这个方程，得x 1=−24（不合题意，舍去），x 2=5．∵105<，∴x 2=5舍去．答：要卖出6部汽车．【说明】本题考查的是一元二次方程的应用．关键在于学生要能够正确理解题意，找出关于销售利润的代数式；能够根据分类标准准确分类，抓住等量关系列出方程，舍去不合题意的解．复习时，教师要渗透分类思想．【复习建议】1．正确理解课标要求，立足教材，打好基础，复习中应抓住四个方面内容：(1)等式和不等式的性质，它们是方程和不等式变形的理论依据；(2)方程(组)和不等式(组)的相关概念，它们是方程(组)和不等式(组)中的基础知识，应用这些基础知识能够解决许多简单问题；(3)方程(组)和不等式(组)的解法，它们是方程和不等式的核心内容，要通过解方程和不等式提高基本技能，对于特殊形式的方程(组)可以采用整体代入、换元法等特殊的解决方法求解，注意解方程(组)、不等式(组)过程步骤的完整性训练；(4)一元二次方程根的判别式和根与系数的关系的熟练应用．2．列方程(组)、不等式(组)解应用题的复习应要注意联系社会关注的热点问题的应用题，重视与社会发展相适应的一些实际问题．重视情景(信息)问题的分析，增强学生的情景分析或信息提取能力．要引导学生学会分析现实世界中的量与量的相等或不等关系；多样化题型的适应性训练，重视问题情境的创设和实际问题的解决，强化方程(组)、不等式(组)思想和方法的渗透、总结，增强学生自觉运用方程(组)、不等式(组)模型解决现实生活中的数学问题的意识和能力，增强学生用数学知识解决情景问题能力，即建模能力．3．注重知识间的联系，将方程(组)、不等式(组)知识与函数知识有机结合，强化训练学生综合运用数学知识的能力，从而把数学知识转化为自身素质.提高方程(组)、不等式(组)、函数和直角三角形，相似三角形等几何知识的综合运用能力训练，力争做到有关知识点的相互联系，融会贯通．4．“转化”是研究方程与不等式的重要思想方法，如将二元方程转化为一元方程，二次方程转化为一次方程，分式方程转化为整式方程，培养学生将未知转化为已知，将复杂问题转化为简单问题的能力．复习中要注重数形结合、转化、分类讨论等数学思想和方法的应用．5．根据教学的实际情况，对课程标准外的内容作适当的补充．。
2018届中考数学：专题提升(四) 整式方程(组)的应用
专题提升(四) 整式方程(组)的应用类型之一 一元一次方程的应用【经典母题】汽车队运送一批货物．若每辆车装4 t ，还剩下8 t 未装；若每辆车装4.5 t ，恰好装完．这个车队有多少辆车？解：设这个车队有x 辆车，依题意，得4x ＋8＝4.5x ，解得x ＝16.答：这个车队有16辆车．【思想方法】 利用一元一次方程解决实际问题是学习二元一次方程组、分式方程、一元二次方程、一元一次不等式(组)等的基础，是课标要求，也是热门考点．【中考变形】1．学校机房今年和去年共购置了100台计算机，已知今年购置计算机数量是去年购置计算机数量的3倍，今年购置计算机的数量是( C )A ．25台B ．50台C ．75台D ．100台 【解析】 设今年购置计算机的数量是x 台，去年购置计算机的数量是(100－x )台，根据题意可得x ＝3(100－x )，解得x ＝75.2．[2016·盐城校级期中]小明的妈妈在菜市场买回3斤萝卜、2斤排骨，准备做萝卜排骨汤．妈妈说：“今天买这两样菜共花了45元，上月买同重量的这两种菜只要36元”．爸爸说：“报纸上说了萝卜的单价上涨50%，排骨单价上涨20%”．小明说：爸爸、妈妈，我想知道今天买的萝卜和排骨的单价分别是多少？请你通过列一元一次方程求解这天萝卜、排骨的单价(单位：元/斤)． 解：设上月萝卜的单价是x 元/斤，则排骨的单价36－3x 2元/斤，根据题意，得3(1＋50%)x ＋2(1＋20%)⎝ ⎛⎭⎪⎫36－3x 2＝45， 解得x ＝2，则36－3x 2＝36－3×22＝15. ∴这天萝卜的单价是(1＋50%)×2＝3(元/斤)，这天排骨的单价是(1＋20%)×15＝18(元/斤)．答：这天萝卜的单价是3元/斤，排骨的单价是18元/斤．【中考预测】[2016·株洲模拟]根据如图Z4－1的对话，分别求小红所买的笔和笔记本的价格．图Z4－1解：设笔的价格为x 元/支，则笔记本的价格为3x 元/本，由题意，得10x ＋5×3x ＝30，解得x ＝1.2，∴3x ＝3.6.答：笔的价格为1.2元/支，笔记本的价格为3.6元/本．类型之二 二元一次方程组的应用【经典母题】用如图Z4－2①中的长方形和正方形纸板做侧面和底面，做成如图②的竖式和横式两种无盖纸盒．现在仓库里有1 000张正方形纸板和2 000张长方形纸板，问两种纸盒各做多少个，恰好将库存的纸板用完？图Z4－2解：设做竖式纸盒x 个，横式纸盒y 个，可恰好将库存的纸板用完．根据题意，得⎩⎨⎧4x ＋3y ＝2 000，x ＋2y ＝1 000，解得⎩⎨⎧x ＝200，y ＝400.答：竖式纸盒做200个，横式纸盒做400个，恰好将库存的纸板用完．【思想方法】 利用方程(组)解决几何计算问题，是较好的方法，体现了数形结合思想．【中考变形】1．小华写信给老家的爷爷，问候“八·一”建军节．折叠长方形信纸，装入标准信封时发现：若将信纸按图Z4－3①连续两次对折后，沿着信封口边线装入时宽绰3.8 cm ；若将信纸按图②三等分折叠后，同样方法装入时宽绰1.4 cm.试求出信纸的纸长与信封的口宽．①②图Z4－3解：设信纸的纸长为x cm ，信封口的宽为y cm.由题意，得⎩⎪⎨⎪⎧y ＝x 4＋3.8，y ＝x 3＋1.4，解得⎩⎨⎧x ＝28.8，y ＝11. 答：信纸的纸长为28.8 cm ，信封的口宽为11 cm.2．某中学新建了一栋四层的教学楼，每层楼有10间教室，进出这栋教学楼共有4个门，其中两个正门大小相同，两个侧门大小也相同．安全检查中，对4个门进行了测试，当同时开启一个正门和两个侧门时，2 min 内可以通过560名学生；当同时开启一个正门和一个侧门时，4 min 内可以通过800名学生．(1)求平均每分钟一个正门和一个侧门各可以通过多少名学生？(2)检查中发现，出现紧急情况时，因学生拥挤，出门的效率将降低20%，安全检查规定：在紧急情况下全楼的学生应在5 min 内通过这4个门安全撤离，假设这栋教学大楼每间教室最多有45名学生，问：该教学楼建造的这4个门是否符合安全规定？请说明理由．解：(1)设一个正门平均每分钟通过x 名学生，一个侧门平均每分钟通过y 名学生，由题意，得⎩⎨⎧2x ＋4y ＝560，4x ＋4y ＝800，解得⎩⎨⎧x ＝120，y ＝80.答：一个正门平均每分钟通过120名学生，一个侧门平均每分钟通过80名学生；(2)由题意得共有学生45×10×4＝1 800(人)，学生通过的时间为1 800÷[(120＋80)×0.8×2]＝458(min)．∵5＜458，∴该教学楼建造的这4个门不符合安全规定．【中考预测】随着“互联网＋”时代的到来，一种新型的手机打车方式受到大众欢迎，该打车方式的总费用由里程费和耗时费组成，其中里程费按p 元/km 计算，耗时费按q 元/min 计算(总费用不足9元按9元计价)．小明、小刚两人用该打车方式出行，按上述计价规则，其打车总费用、行驶里程数与车速如下表：(1)求p ，q 的值；(2)如果小华也用该打车方式，车速55 km/h ，行驶了11 km ，那么小华的打车总费用为多少？解：(1)小明的里程数是8 km ，时间为8 min ；小刚的里程数为10 km ，时间为12 min.由题意得⎩⎨⎧8p ＋8q ＝12，10p ＋12q ＝16，解得⎩⎪⎨⎪⎧p ＝1，q ＝12； (2)小华的里程数是11 km ，时间为12 min.则总费用是11p ＋12q ＝17(元)．类型之三 一元二次方程的应用【经典母题】某租赁公司拥有汽车100辆，据统计，当每辆车的月租金为3 000元时，可全部租出，每辆车的月租金每增加50元，未租出的车将会增加1辆．租出的车每辆每月需要维护费为150元，未租出的车每辆每月只需要维护费50元．(1)当每辆车的月租金定为3 600元时，能租出多少辆？(2)当每辆车的月租金定为多少元时，租赁公司的月收益(租金收入扣除维护费)可达到306 600元？解：(1)100－3 600－3 00050＝88(辆)． 答：当每辆车的月租金定为3 600元时，能租出88辆．(2)设每辆车的月租金定为(3 000＋x )元，则⎝ ⎛⎭⎪⎫100－x 50[(3 000＋x )－150]－x 50×50＝306 600， 解得x 1＝900，x 2＝1 200，∴3 000＋900＝3 900(元)，3 000＋1 200＝4 200(元)．答：当每辆车的月租金为3 900元或4 200元时，月收益可达到306 600元．【思想方法】利润＝收入－支出，即利润＝租出去车辆的租金－租出去车辆的维护费－未租出去车辆的维护费．【中考变形】1．[2017·眉山]东坡某烘焙店生产的蛋糕礼盒分为6个档次，第一档次(即最低档次)的产品每天生产76件，每件利润10元．调查表明：生产提高一个档次的蛋糕产品，该产品每件利润增加2元．(1)若生产的某批次蛋糕每件利润为14元，此批次蛋糕属第几档次产品；(2)由于生产工序不同，蛋糕产品每提高一个档次，一天产量会减少4件．若生产的某档次产品一天的总利润为1 080元，该烘焙店生产的是第几档次的产品？解：(1)设此批次蛋糕属第a 档次产品，则10＋2(a －1)＝14，解得a ＝3. 答：此批次蛋糕属第3档次产品．⎝ ⎛⎭⎪⎫或：∵14－102＋1＝3，∴此批蛋糕属第3档次产品.(2)设该烘焙店生产的是第x档次的产品，根据题意，得[10＋2(x－1)][76－4(x－1)]＝1 080，解得x1＝5，x2＝11(舍去)．答：该烘焙店生产的是第5档次的产品．2．[2017·重庆B卷]某地大力发展经济作物，其中果树种植已初具规模，今年受气候、雨水等因素的影响，樱桃较去年有小幅度的减产，而枇杷有所增产．(1)该地某果农今年收获樱桃和枇杷共400 kg，其中枇杷的产量不超过樱桃的产量的7倍，求该果农今年收获樱桃至少多少千克？(2)该果农把今年收获的樱桃、枇杷两种水果的一部分运往市场销售．该果农去年樱桃的市场销售量为100 kg，销售均价为30元/kg，今年樱桃的市场销售量比去年减少了m%，销售均价与去年相同；该果农去年枇杷的市场销售量为200 kg，销售均价为20元/kg，今年枇杷的市场销售量比去年增加了2m%，但销售均价比去年减少了m%.该果农今年运往市场销售的这部分樱桃和枇杷的销售总金额与他去年樱桃和枇杷的市场销售总金额相同，求m的值．【解析】(1)根据“枇杷的产量不超过樱桃的产量的7倍”即可列出不等式求得今年收获樱桃的质量；(2)抓住关键语句，仔细梳理，根据去年、今年樱桃销售量、销售均价，求出各自的销售额，可以用一张表格概括其中数量关系：然后根据“今年樱桃和枇杷的销售总金额与去年樱桃和枇杷的市场销售总金额相同”可列方程求解．解：(1)设该果农今年收获樱桃至少x kg，今年收获枇杷(400－x)kg，依题意，得400－x≤7x，解得x≥50.答：该果农今年收获樱桃至少50 kg.(2)由题意，得3 000×(1－m %)＋4 000×(1 ＋2m%)×(1－m%)＝7 000，解得m1＝0(不合题意，舍去)，m2＝12.5.答：m的值为12.5.【中考预测】某水果批发商场经销一种水果，如果每千克盈利10元，每天可售出400 kg.经市场调查发现，在进货价不变的情况下，若每千克涨价1元，日销售量将减少20 kg.(1)当每千克涨价多少元时，每天的盈利最多？最多是多少？(2)若商场只要求保证每天的盈利为4 420元，同时又可使顾客得到实惠，每千克应涨价多少元？解：(1)设每千克涨价x元，总利润为y元．则y＝(10＋x)(400－20x)＝－20x2＋200x＋4 000＝－20(x－5)2＋4 500.当x＝5时，y取得最大值，最大值为4 500元．答：当每千克涨价5元时，每天的盈利最多，最多为4 500元；(2)设每千克应涨价a元，则(10＋a)(400－20a)＝4 420.解得a＝3或a＝7，为了使顾客得到实惠，∴a＝3.答：每千克应涨价3元．。
2018中考数学试题分类汇编 考点4 整式课件
1
整式的运算
（2018•云南）按一定规律排列的单项式：a，
﹣a2，a3，﹣a4，a5，﹣a6，……，第n个 单项式是（ ）
A．an
B．﹣an
C．（﹣1）n+1an D．（﹣1）nan
【分析】观察字母a的系数、次数的规律即可写出
第n个单项式．
【解答】解：a，﹣a2，a3，﹣a4，a5，﹣a6，……，
B、2a﹣a=a，错误； C、（a+b）2=a2+2ab+b2，错误；
D、2a+3b=2a+3b，错误；
故选：A．
3
（2018•南京）计算a3•（a3）2的结果是（ ）
A．a8
B．a9 C．a11 D．a18
【分析】根据幂的乘方，即可解答． 【解答】解：a3•（a3）2=a9， 故选：B．
4
（2018•柳州）计算：（2a）•（ab）=（ ） A．2ab B．2a2b C．3ab D．3a2b
【分析】直接利用单项式乘以单项式运算法则计算 得出答案． 【解答】解：（2a）•（ab）=2a2b． 故选：B．
5
多项式的乘法
（2018•武汉）计算（a﹣2）（a+3）的结果 是（ ） A．a2﹣6 B．a2+a﹣6 C．a2+6 D．a2﹣a+6
【分析】根据多项式的乘法解答即可． 【解答】解：（a﹣2）（a+3）=a2+a﹣6， 故选：B．
【分析】原式利用平方差公式计算即可得到结果． 【解答】解：原式=x2﹣1， 故答案为：x2﹣1
10
化简求值
（2018•宁波）先化简，再求值：（x﹣1）2+x （3﹣x），其中x= 1 ．
(青海专版)2018中考数学复习 第2编 专题突破篇 题型4 方程(组)及不等式(组)的实际应用(精讲)试题
题型四 方程(组)及不等式(组)的实际应用,命题规律与解题策略)【命题规律】纵观青海省近五年中考，多数是把方程(组)和不等式(组)相结合，尤其方案设计是初中分类讨论思想的体现，很好的培养了学生的能力，多以选择或解答的形式出现，难度偏大．【解题策略】审题依然是关键，要抓住题目中的相等关系和不等关系，平时加强训练，同时要注意计算准确，答题的规范完整．,重难点突破)方程与不等式结合【例1】(2017葫芦岛中考)在“母亲节”前夕，某花店购进康乃馨和玫瑰两种鲜花，销售过程中发现康乃馨比玫瑰销售量大，店主决定将玫瑰每枝降价1元促销，降价后30元可购买玫瑰的数量是原来购买玫瑰数量的1.5倍．(1)求降价后每枝玫瑰的售价是多少元；(2)根据销售情况，店主用不多于900元的资金再次购进两种鲜花共500枝，康乃馨进价为2元/枝，玫瑰进价为1.5元/枝，问至少购进玫瑰多少枝？【解析】(1)可设降价后每枝玫瑰的售价是x 元，根据等量关系：降价后30元可购买玫瑰的数量＝原来30元购买玫瑰数量的1.5倍，列出方程求解即可；(2)可设购进玫瑰y 枝，根据不等量关系：购进康乃馨的钱数＋购进玫瑰的钱数≤900元，列出不等式求解即可．【答案】解：(1)设降价后每枝玫瑰的售价是x 元．依题意，有30x ＝30x ＋1×1.5，解得x ＝2. 经检验，x ＝2是原方程的解．答：降价后每枝玫瑰的售价是2元．(2)设购进玫瑰y 枝．依题意，有2(500－y)＋1.5y≤900，解得y≥200.答：至少购进玫瑰200枝．1．(2017重庆中考A 卷)某地大力发展经济作物，其中果树种植已初具规模，今年受气候、雨水等因素的影响，樱桃较去年有小幅度的减产，而枇杷有所增产．(1)该地某果农今年收获樱桃和枇杷共400 kg ，其中枇杷的产量不超过樱桃产量的7倍，求该果农今年收获樱桃至少多少千克；(2)该果农把今年收获的樱桃、枇杷两种水果的一部分运往市场销售，该果农去年樱桃的市场销售量为100 kg ，销售均价为30元/kg ，今年樱桃的市场销售量比去年减少了m%，销售均价与去年相同，该果农去年枇杷的市场销售量为200 kg ，销售均价为20元/kg ，今年枇杷的市场销售量比去年增加了2m%，但销售均价比去年减少了m%，该果农今年运往市场销售的这部分樱桃和枇杷的销售总金额与他去年樱桃和枇杷的市场销售总金额相同，求m 的值．解：(1)设该果农今年收获樱桃x kg .答：该果农今年收获樱桃至少50 kg ；(2)由题意可得：100(1－m%)×30＋200×(1＋2m%)×20(1－m%)＝100×30＋200×20，令m%＝y ，原方程可化为：3 000(1－y)＋4 000(1＋2y)(1－y)＝7 000，整理可得：8y 2－y ＝0，解得：y 1＝0，y 2＝0.125，∴m 1＝0(舍去)，m 2＝12.5，∴m 2＝12.5.答：m 的值为12.5. 【方法指导】善于抓住题目中类似于“共”“不超过”“今年樱桃的市场销售量比去年减少了m%”“今年枇杷的市场销售量比去年增加了2m%，但销售均价比去年减少了m%”“销售总金额相同”等关键词．方程(组)与不等式(组)结合【例2】(2017宁波中考)2017年5月14日至15日， “一带一路”国际合作高峰论坛在北京举行，本届论坛期间，中国同30多个国家签署经贸合作协议，某厂准备生产甲、乙两种商品共8万件销往“一带一路”沿线国家和地区，己知2件甲种商品与3件乙种商品的销售收入相同，3件甲种商品比2件乙种商品的销售收入多1 500元．(1)甲种商品与乙种商品的销售单价各多少元？(2)若甲、乙两种商品的销售总收入不低于5 400万元，则至少销售甲种商品多少万件？【解析】(1)设甲种商品的销售单价是x 元，乙种商品的单价为y 元，根据题意建立方程求出其解即可；(2)根据销售总收入不低于5 400万元，列出一元一次不等式求解即可．【答案】解：(1)设甲种商品的销售单价是x 元，乙种商品的单价为y 元．根据题意，得⎩⎪⎨⎪⎧2x ＝3y ，3x －2y ＝1 500，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝900，y ＝600. 答：甲种商品的销售单价是900元，乙种商品的单价为600元；(2)设销售甲产品a 万件，则销售乙产品(8－a)万件．根据题意，得900a ＋600(8－a)≥5 400，解得a≥2.答：至少销售甲产品2万件．【例3】(2017安顺中考)某商场计划购进一批甲、乙两种玩具，已知一件甲种玩具的进价与一件乙种玩具的进价的和为40元，用90元购进甲种玩具的件数与用150元购进乙种玩具的件数相同．(1)求每件甲种、乙种玩具的进价分别是多少元；(2)商场计划购进甲、乙两种玩具共48件，其中甲种玩具的件数少于乙种玩具的件数，商场决定此次进货的总资金不超过1 000元，求商场共有几种进货方案．【解析】(1)设甲种玩具进价x 元/件，则乙种玩具进价为(40 －x)元/件，根据“一件甲种玩具的进价与一件乙种玩具的进价的和为40元”“用90元购进甲种玩具的件数与用150元购进乙种玩具的件数相同”可列方程求解；(2)设购进甲种玩具y 件，则购进乙种玩具(48－y)件，根据“甲种玩具的件数少于乙种玩具的件数”“商场决定此次进货的总资金不超过1 000元”可列出不等式组求解．【答案】解：设甲种玩具的进价为x 元/件，则乙种玩具的进价为(40－x)元/件．由题意，得90x ＝15040－x，解得x ＝15， 经检验，x ＝15是原方程的解，∴40－x ＝25.答：甲、乙两种玩具的进价分别是15元/件，25元/件；(2)设购进甲种玩具y 件，则购进乙种玩具(48－y)件．由题意，得⎩⎪⎨⎪⎧y<48－y ，15y ＋25（48－y ）≤1 000，解得20≤y<24.∵y 是整数，∴y 取20，21，22，23，共有4种方案．2．(2017南充中考)学校准备租用一批汽车，现有甲、乙两种大客车，甲种客车每辆载客量为45人，乙种客车每辆载客量为30人，已知1辆甲种客车和3辆乙种客车共需租金1 240元，3辆甲种客车和2辆乙种客车共需租金1 760元．(1)求1辆甲种客车和1辆乙种客车的租金分别是多少元；(2)学校计划租用甲、乙两种客车共8辆，送330名师生集体外出活动，最节省的租车费用是多少？解：(1)设1辆甲种客车的租金是x 元，1辆乙种客车的租金是y 元．依题意，得⎩⎪⎨⎪⎧x ＋3y ＝1 240，3x ＋2y ＝1 760，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝400，y ＝280.答：1辆甲种客车的租金是400元，1辆乙种客车的租金是280元；(2)租用甲种客车6辆，租用乙客车2辆是最节省的租车费用，400×6＋280×2＝2 400＋560＝2 960(元)． 答：最节省的租车费用是2 960元．3．(2017广安中考)某班级45名同学自发筹集到1 700元资金，用于初中毕业时各项活动的经费，通过商议，决定拿出不少于544元但不超过560元的资金用于请专业人士拍照，其余资金用于给每名同学购买一件文化衫或一本制作精美的相册作为纪念品，己知每件文化衫28元，每本相册20元．(1)适用于购买文化衫和相册的总费用为W 元，求总费用W(元)与购买的文化衫件数t(件)的函数关系式；(2)购买文化衫和相册有哪几种方案？为了使拍照的资金更充足，应选择哪种方案，并说明理由．解：(1)设购买文化衫t 件，则购买相册(45－t)本．根据题意，得W ＝28t ＋20×(45－t)＝8t ＋900.(2)根据题意，得⎩⎪⎨⎪⎧8t ＋900≥1 700－560，8t ＋900≤1 700－544， 解得30≤t≤32，∴有三种购买方案：方案一：购买30件文化衫、15本相册；方案二：购买31件文化衫、14本相册；方案三：购买32件文化衫、13本相册；∵W ＝8t ＋900中，W 随x 的增大而增大，∴当t ＝30时，W 取最小值，此时用于拍照的费用最多，∴为了使拍照的资金更充足，应选择方案一：购买30件文化衫、15本相册．4．(2017黔东南中考)某校为了在九月份迎接高一年级的新生，决定将学生公寓楼重新装修，现学校招用了甲、乙两个工程队．若两队合作，8天就可以完成该项工程；若由甲队先单独做3天后，剩余部分由乙队单独做需要18天才能完成．(1)求甲、乙两队的工作效率分别是多少；(2)甲队每天工资3 000元，乙队每天工资1 400元，学校要求在12天内将学生公寓楼装修完成，若完成该工程甲队工作m 天，乙队工作n 天，求学校需支付的总工资w(元)与甲队工作天数m(天)的函数关系式，并求出m 的取值范围及w 的最小值，解：(1)设甲队单独完成需要x 天，乙队单独完成需要y 天．由题意，得⎩⎪⎨⎪⎧1x ＋1y ＝18，3x ＋18y ＝1，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝12，y ＝24，经检验，⎩⎪⎨⎪⎧x ＝12，y ＝24是分式方程组的解， ∴甲、乙两队的工作效率分别是112和124；(2)由题意，得⎩⎪⎨⎪⎧m×112＋n×124＝1，0≤m ≤12，0≤n ≤12，变形，得⎩⎪⎨⎪⎧n ＝24－2m ，0≤24－2m≤12，即⎩⎪⎨⎪⎧n ＝24－2m ，6≤m ≤12，∴w ＝3 000m ＋1 400(24－2m)＝200m ＋33 600(6≤m≤12)．∵w 是一次函数且200>0，∴w 随m 的增大而增大．∴当m ＝6时，w 有最小值，此时w ＝200×6＋33 600＝34 800(元)．∴m 的取值范围为6≤m≤12，w 的最小值是34 800元．百度文库是百度发布的供网友在线分享文档的平台。
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专题提升(四) 整式方程(组)的应用类型之一 一元一次方程的应用【经典母题】汽车队运送一批货物．若每辆车装4 t ，还剩下8 t 未装；若每辆车装4.5 t ，恰好装完．这个车队有多少辆车？解：设这个车队有x 辆车，依题意，得4x ＋8＝4.5x ，解得x ＝16.答：这个车队有16辆车．【思想方法】 利用一元一次方程解决实际问题是学习二元一次方程组、分式方程、一元二次方程、一元一次不等式(组)等的基础，是课标要求，也是热门考点．【中考变形】1．学校机房今年和去年共购置了100台计算机，已知今年购置计算机数量是去年购置计算机数量的3倍，今年购置计算机的数量是( C )A ．25台B ．50台C ．75台D ．100台 【解析】 设今年购置计算机的数量是x 台，去年购置计算机的数量是(100－x )台，根据题意可得x ＝3(100－x )，解得x ＝75.2．[2016·盐城校级期中]小明的妈妈在菜市场买回3斤萝卜、2斤排骨，准备做萝卜排骨汤．妈妈说：“今天买这两样菜共花了45元，上月买同重量的这两种菜只要36元”．爸爸说：“报纸上说了萝卜的单价上涨50%，排骨单价上涨20%”．小明说：爸爸、妈妈，我想知道今天买的萝卜和排骨的单价分别是多少？请你通过列一元一次方程求解这天萝卜、排骨的单价(单位：元/斤)． 解：设上月萝卜的单价是x 元/斤，则排骨的单价36－3x 2元/斤，根据题意，得3(1＋50%)x ＋2(1＋20%)⎝ ⎛⎭⎪⎫36－3x 2＝45， 解得x ＝2，则36－3x 2＝36－3×22＝15. ∴这天萝卜的单价是(1＋50%)×2＝3(元/斤)，这天排骨的单价是(1＋20%)×15＝18(元/斤)．答：这天萝卜的单价是3元/斤，排骨的单价是18元/斤．【中考预测】[2016·株洲模拟]根据如图Z4－1的对话，分别求小红所买的笔和笔记本的价格．图Z4－1解：设笔的价格为x 元/支，则笔记本的价格为3x 元/本，由题意，得10x ＋5×3x ＝30，解得x ＝1.2，∴3x ＝3.6.答：笔的价格为1.2元/支，笔记本的价格为3.6元/本．类型之二 二元一次方程组的应用【经典母题】用如图Z4－2①中的长方形和正方形纸板做侧面和底面，做成如图②的竖式和横式两种无盖纸盒．现在仓库里有1 000张正方形纸板和2 000张长方形纸板，问两种纸盒各做多少个，恰好将库存的纸板用完？图Z4－2解：设做竖式纸盒x 个，横式纸盒y 个，可恰好将库存的纸板用完．根据题意，得⎩⎨⎧4x ＋3y ＝2 000，x ＋2y ＝1 000，解得⎩⎨⎧x ＝200，y ＝400.答：竖式纸盒做200个，横式纸盒做400个，恰好将库存的纸板用完．【思想方法】 利用方程(组)解决几何计算问题，是较好的方法，体现了数形结合思想．【中考变形】1．小华写信给老家的爷爷，问候“八·一”建军节．折叠长方形信纸，装入标准信封时发现：若将信纸按图Z4－3①连续两次对折后，沿着信封口边线装入时宽绰3.8 cm ；若将信纸按图②三等分折叠后，同样方法装入时宽绰1.4 cm.试求出信纸的纸长与信封的口宽．①②图Z4－3解：设信纸的纸长为x cm ，信封口的宽为y cm.由题意，得⎩⎪⎨⎪⎧y ＝x 4＋3.8，y ＝x 3＋1.4，解得⎩⎨⎧x ＝28.8，y ＝11. 答：信纸的纸长为28.8 cm ，信封的口宽为11 cm.2．某中学新建了一栋四层的教学楼，每层楼有10间教室，进出这栋教学楼共有4个门，其中两个正门大小相同，两个侧门大小也相同．安全检查中，对4个门进行了测试，当同时开启一个正门和两个侧门时，2 min 内可以通过560名学生；当同时开启一个正门和一个侧门时，4 min 内可以通过800名学生．(1)求平均每分钟一个正门和一个侧门各可以通过多少名学生？(2)检查中发现，出现紧急情况时，因学生拥挤，出门的效率将降低20%，安全检查规定：在紧急情况下全楼的学生应在5 min 内通过这4个门安全撤离，假设这栋教学大楼每间教室最多有45名学生，问：该教学楼建造的这4个门是否符合安全规定？请说明理由．解：(1)设一个正门平均每分钟通过x 名学生，一个侧门平均每分钟通过y 名学生，由题意，得⎩⎨⎧2x ＋4y ＝560，4x ＋4y ＝800，解得⎩⎨⎧x ＝120，y ＝80.答：一个正门平均每分钟通过120名学生，一个侧门平均每分钟通过80名学生；(2)由题意得共有学生45×10×4＝1 800(人)，学生通过的时间为1 800÷[(120＋80)×0.8×2]＝458(min)．∵5＜458，∴该教学楼建造的这4个门不符合安全规定．【中考预测】随着“互联网＋”时代的到来，一种新型的手机打车方式受到大众欢迎，该打车方式的总费用由里程费和耗时费组成，其中里程费按p 元/km 计算，耗时费按q 元/min 计算(总费用不足9元按9元计价)．小明、小刚两人用该打车方式出行，按上述计价规则，其打车总费用、行驶里程数与车速如下表：(1)求p ，q 的值；(2)如果小华也用该打车方式，车速55 km/h ，行驶了11 km ，那么小华的打车总费用为多少？解：(1)小明的里程数是8 km ，时间为8 min ；小刚的里程数为10 km ，时间为12 min.由题意得⎩⎨⎧8p ＋8q ＝12，10p ＋12q ＝16，解得⎩⎪⎨⎪⎧p ＝1，q ＝12； (2)小华的里程数是11 km ，时间为12 min.则总费用是11p ＋12q ＝17(元)．类型之三 一元二次方程的应用【经典母题】某租赁公司拥有汽车100辆，据统计，当每辆车的月租金为3 000元时，可全部租出，每辆车的月租金每增加50元，未租出的车将会增加1辆．租出的车每辆每月需要维护费为150元，未租出的车每辆每月只需要维护费50元．(1)当每辆车的月租金定为3 600元时，能租出多少辆？(2)当每辆车的月租金定为多少元时，租赁公司的月收益(租金收入扣除维护费)可达到306 600元？解：(1)100－3 600－3 00050＝88(辆)． 答：当每辆车的月租金定为3 600元时，能租出88辆．(2)设每辆车的月租金定为(3 000＋x )元，则⎝ ⎛⎭⎪⎫100－x 50[(3 000＋x )－150]－x 50×50＝306 600， 解得x 1＝900，x 2＝1 200，∴3 000＋900＝3 900(元)，3 000＋1 200＝4 200(元)．答：当每辆车的月租金为3 900元或4 200元时，月收益可达到306 600元．【思想方法】利润＝收入－支出，即利润＝租出去车辆的租金－租出去车辆的维护费－未租出去车辆的维护费．【中考变形】1．[2017·眉山]东坡某烘焙店生产的蛋糕礼盒分为6个档次，第一档次(即最低档次)的产品每天生产76件，每件利润10元．调查表明：生产提高一个档次的蛋糕产品，该产品每件利润增加2元．(1)若生产的某批次蛋糕每件利润为14元，此批次蛋糕属第几档次产品；(2)由于生产工序不同，蛋糕产品每提高一个档次，一天产量会减少4件．若生产的某档次产品一天的总利润为1 080元，该烘焙店生产的是第几档次的产品？解：(1)设此批次蛋糕属第a 档次产品，则10＋2(a －1)＝14，解得a ＝3. 答：此批次蛋糕属第3档次产品．⎝ ⎛⎭⎪⎫或：∵14－102＋1＝3，∴此批蛋糕属第3档次产品.(2)设该烘焙店生产的是第x档次的产品，根据题意，得[10＋2(x－1)][76－4(x－1)]＝1 080，解得x1＝5，x2＝11(舍去)．答：该烘焙店生产的是第5档次的产品．2．[2017·重庆B卷]某地大力发展经济作物，其中果树种植已初具规模，今年受气候、雨水等因素的影响，樱桃较去年有小幅度的减产，而枇杷有所增产．(1)该地某果农今年收获樱桃和枇杷共400 kg，其中枇杷的产量不超过樱桃的产量的7倍，求该果农今年收获樱桃至少多少千克？(2)该果农把今年收获的樱桃、枇杷两种水果的一部分运往市场销售．该果农去年樱桃的市场销售量为100 kg，销售均价为30元/kg，今年樱桃的市场销售量比去年减少了m%，销售均价与去年相同；该果农去年枇杷的市场销售量为200 kg，销售均价为20元/kg，今年枇杷的市场销售量比去年增加了2m%，但销售均价比去年减少了m%.该果农今年运往市场销售的这部分樱桃和枇杷的销售总金额与他去年樱桃和枇杷的市场销售总金额相同，求m的值．【解析】(1)根据“枇杷的产量不超过樱桃的产量的7倍”即可列出不等式求得今年收获樱桃的质量；(2)抓住关键语句，仔细梳理，根据去年、今年樱桃销售量、销售均价，求出各自的销售额，可以用一张表格概括其中数量关系：然后根据“今年樱桃和枇杷的销售总金额与去年樱桃和枇杷的市场销售总金额相同”可列方程求解．解：(1)设该果农今年收获樱桃至少x kg，今年收获枇杷(400－x)kg，依题意，得400－x≤7x，解得x≥50.答：该果农今年收获樱桃至少50 kg.(2)由题意，得3 000×(1－m %)＋4 000×(1 ＋2m%)×(1－m%)＝7 000，解得m1＝0(不合题意，舍去)，m2＝12.5.答：m的值为12.5.【中考预测】某水果批发商场经销一种水果，如果每千克盈利10元，每天可售出400 kg.经市场调查发现，在进货价不变的情况下，若每千克涨价1元，日销售量将减少20 kg.(1)当每千克涨价多少元时，每天的盈利最多？最多是多少？(2)若商场只要求保证每天的盈利为4 420元，同时又可使顾客得到实惠，每千克应涨价多少元？解：(1)设每千克涨价x元，总利润为y元．则y＝(10＋x)(400－20x)＝－20x2＋200x＋4 000＝－20(x－5)2＋4 500.当x＝5时，y取得最大值，最大值为4 500元．答：当每千克涨价5元时，每天的盈利最多，最多为4 500元；(2)设每千克应涨价a元，则(10＋a)(400－20a)＝4 420.解得a＝3或a＝7，为了使顾客得到实惠，∴a＝3.答：每千克应涨价3元．。