学案导学高中数学(苏教版,选修21)课时作业与单元检测第2章+圆锥曲线与方程(14份)第2章 单元检
高中数学 第2章 圆锥曲线与方程 2.4.2 抛物线的几何性质学业分层测评 苏教版选修21
【课堂新坐标】2016-2017学年高中数学 第2章 圆锥曲线与方程2.4.2 抛物线的几何性质学业分层测评 苏教版选修2-1(建议用时：45分钟)学业达标]一、填空题1．抛物线焦点在x 轴上，直线y ＝－3与抛物线交于点A ，AF ＝5，则该抛物线的方程是________．【解析】 设抛物线的标准方程为y 2＝2ax (a ≠0)，设A (m ，－3)． 由抛物线定义得5＝AF ＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪m ＋a 2，又(－3)2＝2am ， ∴a ＝±1或a ＝±9，故所求抛物线的标准方程为y 2＝±2x 或y 2＝±18x . 【答案】 y 2＝±2x 或y 2＝±18x2．抛物线y 2＝4x 的弦AB 垂直于x 轴，若AB ＝43，则焦点到弦AB 的距离为________． 【解析】 由题意我们不妨设A (x,23)，则(23)2＝4x ，∴x ＝3，∴直线AB 的方程为x ＝3，抛物线的焦点为(1,0)，∴焦点到弦AB 的距离为2.【答案】 23．在抛物线y 2＝16x 内，过点(2,1)且被此点平分的弦AB 所在直线的方程是________. 【导学号：09390047】【解析】 显然斜率不存在时的直线不符合题意．设直线斜率为k ，则直线方程为y －1＝k (x －2)①，由⎩⎪⎨⎪⎧y －1＝k x －，y 2＝16x ，消去x 得ky 2－16y ＋16(1－2k )＝0，∴y 1＋y 2＝16k＝2(y 1，y 2分别是A ，B 的纵坐标)，∴k ＝8，代入①得y ＝8x －15.【答案】 y ＝8x －154．已知过抛物线Γ：x ＝－y 22的焦点F 的直线交抛物线Γ于A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)两点，若x 1＋x 2＝－7，则AB 的值为________．【解析】 因为x ＝－y 22，所以y 2＝－2x ，所以抛物线Γ的准线方程为x ＝12，根据抛物线的定义知AF ＝12－x 1，BF ＝12－x 2，所以AB ＝AF ＋BF ＝1－(x 1＋x 2)＝1－(－7)＝8.【答案】 85．直线y ＝k (x ＋1)与抛物线y 2＝8x 有两个交点，则实数k 的取值范围是________．【解析】 联立直线与抛物线方程，得⎩⎪⎨⎪⎧y 2＝8x ，y ＝k x ＋，所以ky 2－8y ＋8k ＝0.由题意得⎩⎪⎨⎪⎧k ≠0，Δ＝－2－4×k ×8k ＞0，解得－2＜k ＜2，且k ≠0.所以实数k 的取值范围是(－2，0)∪(0，2)． 【答案】 (－2，0)∪(0，2)6．已知抛物线E ：y 2＝4x 的焦点为F ，P 是E 的准线l 上一点，Q 是直线PF 与E 的一个交点．若PQ →＝2QF →，则直线PF 的方程为________. 【导学号：09390048】【解析】 抛物线E ：y 2＝4x 的焦点F (1,0)，设Q 到l 的距离为d ，则QF ＝d . ∵PQ →＝2QF →，∴|PQ →|＝2|QF →|＝2d ，∴直线的倾斜角为45°或135°，∴直线的斜率为±1，∴直线的方程为x ＋y －1＝0或x －y －1＝0. 【答案】 x ＋y －1＝0或x －y －1＝07．如图243是抛物线形拱桥，当水面在l 时，拱顶离水面2 m ，水面宽4 m ．水位下降1 m 后，水面宽_____________ m.图243【解析】 建立如图平面直角坐标系，设抛物线方程为x 2＝－2py (p ＞0)．由题意A (2，－2)，代入x 2＝－2py ，得p ＝1，故x 2＝－2y .设B (x ，－3)，代入x 2＝－2y 中，得x ＝6，故水面宽为2 6 m.【答案】 2 68．设点A 的坐标为(a,0)(a ∈R )，则曲线y 2＝2x 上的点到A 点的距离的最小值为________. 【导学号：09390049】【解析】 设抛物线上的点到A 点的距离为d ，抛物线上任一点的坐标为(x ，y )，则d 2＝(x －a )2＋y 2＝x 2－(2a －2)x ＋a 2＝x －(a －1)]2＋(2a －1)．因为x ∈0，＋∞)，所以当a －1≥0，即a ≥1时，d 2min ＝2a －1，d min ＝2a －1； 当a －1<0，即a <1时，当x ＝0时，d 2min ＝a 2，d min ＝|a |. 【答案】 2a －1(a ≥1)或|a |(a <1)二、解答题9．已知抛物线y 2＝2px (p >0)有一个内接直角三角形，直角顶点在原点，两直角边OA 与OB 的长分别为1和8，求抛物线的方程．【解】 设直线OA 的方程为y ＝kx ，k ≠0，则直线OB 的方程为y ＝－1kx ，由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝kx ，y 2＝2px ，得x ＝0(舍)或x ＝2pk2，∴A 点坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫2p k2，2p k ，B 点坐标为(2pk 2，－2pk )，由|OA |＝1，|OB |＝8，可得⎩⎪⎨⎪⎧4p 2k 2＋1k 4＝1， ①4p 2k 2k 2＋＝64， ②解方程组得k 6＝64，即k 2＝4. 则p 2＝16k2k 2＋＝45，又p >0，则p ＝255， 故所求抛物线方程为y 2＝455x .10．已知过抛物线y 2＝2px (p ＞0)的焦点，斜率为22的直线交抛物线于A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)(x 1＜x 2)两点，且|AB |＝9.(1)求该抛物线的方程；(2)O 为坐标原点，C 为抛物线上一点，若OC →＝OA →＋λOB →，求λ的值．【解】 (1)直线AB 的方程是y ＝22⎝ ⎛⎭⎪⎫x －p 2，与y 2＝2px 联立，从而有4x 2－5px ＋p2＝0，所以x 1＋x 2＝5p 4，由抛物线定义得，|AB |＝x 1＋x 2＋p ＝5p4＋p ＝9，所以p ＝4，从而抛物线方程为y 2＝8x .(2)由于p ＝4,4x 2－5px ＋p 2＝0可化简为x 2－5x ＋4＝0，从而x 1＝1，x 2＝4，y 1＝－22，y 2＝42，从而A (1，－22)，B (4，42)；设C (x 3，y 3)，则OC →＝(x 3，y 3)＝(1，－22)＋λ(4,42)＝(4λ＋1,42λ－22)，又y 23＝8x 3，即22(2λ－1)]2＝8(4λ＋1)，即(2λ－1)2＝4λ＋1，解得λ＝0或λ＝2.能力提升]1．等腰直角三角形AOB 内接于抛物线y 2＝2px (p >0)，O 为抛物线的顶点，OA ⊥OB ，则△AOB 的面积为________．【解析】 由条件，不妨设l OA 为y ＝x ，解方程组⎩⎪⎨⎪⎧y ＝x ，y 2＝2px ，得x ＝2p ，所以A (2p,2p )．故S △AOB ＝12·2·(2p )·(2p )＝4p 2.【答案】 4p 22．过抛物线y ＝ax 2(a >0)的焦点F 作一条直线交抛物线于P ，Q 两点，若线段PF 与FQ 的长分别为m ，n ，则1m ＋1n＝________.【解析】 由焦点弦性质，知1PF ＋1FQ ＝2p ，抛物线的标准方程为x 2＝1a y (a >0)，∴2p ＝1a，p ＝12a， ∴1PF ＋1FQ ＝4a ，即1m ＋1n＝4a .【答案】 4a3．已知抛物线y ＝18x 2与双曲线y 2a 2－x 2＝1(a ＞0)有共同的焦点F ，O 为坐标原点，P 在x轴上方且在双曲线，则OP →·FP →的最小值为________．【解析】 抛物线y ＝18x 2的焦点F 为(0,2)，则双曲线y 2a 2－x 2＝1中，c ＝2，则a 2＝3.即双曲线方程为y 23－x 2＝1，设P (m ，n )()n ≥3，则n 2－3m 2＝3， 则OP →·FP →＝(m ，n )·(m ，n －2)＝m 2＋n 2－2n ＝n 23－1＋n 2－2n ＝4n 23－2n －1＝43⎝ ⎛⎭⎪⎫n －342－74，所以当n ＝3时，OP →·FP →的最小值为3－2 3.【答案】 3－2 34．如图244，抛物线y 2＝2px (p >0)的焦点为F ，经过点F 的直线交抛物线于A ，B 两点，点C 在抛物线的准线上，且BC ∥x 轴．证明：直线AC 经过原点O .图244【证明】 法一：设直线AB 的方程为y ＝k ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －p 2，A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，C ⎝ ⎛⎭⎪⎫－p2，y 2.联立方程，得⎩⎪⎨⎪⎧y ＝k ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －p 2，y 2＝2px ，消去x ，得y 2－2py k －p 2＝0，∴y 1y 2＝－p 2，k OA ＝y 1x 1，k OC ＝y 2－p 2＝2p y 1.又∵y 21＝2px 1，∴k OC ＝y 1x 1＝k OA ，∴AC 经过原点O .当k 不存在时，AB ⊥x 轴，同理可得k OA ＝k OC ，所以AC 经过原点O .法二：因为抛物线y 2＝2px (p >0)的焦点为F ⎝ ⎛⎭⎪⎫p2，0，由于直线AB 斜率不确定，所以经过点F 的直线AB 的方程可设为x ＝my ＋p2，代入抛物线方程消去x 得y 2－2pmy －p 2＝0.若设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则y 1，y 2是该方程的两个根，所以y 1y 2＝－p 2.因为BC ∥x 轴，且点C 在准线x ＝－p2上，所以点C 的坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫－p2，y 2，故直线CO 的斜率为k ＝y 2－p 2＝2p y 1＝y 1x 1，即k 也是直线OA 的斜率，所以直线AC 经过原点O .法三：如图，过A 作AD ⊥l ，D 为垂足，则AD ∥EF ∥BC ，设AC 与EF 相交于点N ，则EN AD ＝CN AC ＝BF AB， NF BC ＝AF AB .由抛物线的定义可知AF ＝AD ，BF ＝BC ，∴EN ＝AD ·BF AB ＝AF ·BC AB＝NF . 即点N 是EF 的中点，与抛物线的顶点O 重合，所以直线AC 经过原点O .。
学案导学高中数学(苏教版,选修21)课时作业与单元检测模块综合检测(3份)模块综合检测(B)
模块综合检测(B)(时间：120分钟 满分：160分)一、填空题(本大题共14小题，每小题5分，共70分)1．用“p 或q ”“p 且q ”“ p ”填空，命题“a 2＋1≥1”是________形式，命题“奇数的平方不是偶数”是________形式．2．已知p ：－4<x －a <4，q ：(x －2)(3－x )>0，若p 是q 的充分条件，则实数a 的取值范围是________________．3．若双曲线x 24－y 2b ＝1 (b >0)的渐近线方程为y ＝±12x ，则b ＝________. 4．设F 1、F 2为曲线C 1：x 26＋y 22＝1的焦点，P 是曲线C 2：x 23－y 2＝1与C 1的一个交点，则△PF 1F 2的面积为________．5．若点P 到直线y ＝－1的距离比它到点(0,3)的距离小2，则点P 的轨迹方程为________．6．已知M (－1,3)，N (2,1)，点P 在x 轴上，且使PM ＋PN 取得最小值，则最小值为________．7．已知m 、n 是不重合的直线，α、β是不重合的平面，有下列命题：①若α∩β＝n ，m ∥n ，则m ∥α，m ∥β；②若m ⊥α，m ⊥β，则α∥β；③若m ∥α，m ⊥n ，则n ⊥α；④若m ⊥α，n α，则m ⊥n .其中所有真命题的序号是________．8．已知向量a ＝(－2,3,2)，b ＝(1，－5，－1)，则m a ＋b 与2a －3b 相互垂直的充要条件为________．9．椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1 (a >b >0)的右焦点为F 1，右准线为l 1，若过点F 1且垂直于x 轴的弦的弦长等于点F 1到l 1的距离，则椭圆的离心率是________．10．设F 为抛物线x 2＝8y 的焦点，点A ，B ，C 在此抛物线上，若F A →＋FB →＋FC →＝0，则|F A →|＋|FB→|＋|FC →|＝________.11．已知非零向量e 1，e 2不共线，如果AB →＝e 1＋e 2，BC →＝2e 1＋λe 2，CD →＝6e 1－2e 2，当A ，C ，D三点共线时，λ＝________. 12.在正方体ABCD —A 1B 1C 1D 1中，棱长为a ，M ，N 分别为A 1B 和AC 上的点，A 1M ＝AN ＝22a ，则MN 与平面BB 1C 1C 的位置关系是________．13．已知OA →＝(1,1,0)，OB →＝(4,1,0)，OC →＝(4,5，－1)，则向量AB →和AC →的夹角的余弦值为________． 14.如图，直三棱柱ABC —A 1B 1C 1中，AB ＝1，AC ＝AA 1＝3，∠ABC ＝60°，则二面角A —A 1C —B 的余弦值是________．二、解答题(本大题共6小题，共90分)15．(14分)已知命题p ：⎩⎪⎨⎪⎧x ＋2≥0，x －10≤0， 命题q ：1－m ≤x ≤1＋m ，m >0，若p 是q 的必要不充分条件，求实数m 的取值范围．16.(14分)椭圆x 24＋y 23＝1的左、右焦点分别为F 1，F 2，一条直线l 经过点F 1与椭圆交于A ，B 两点．(1)求△ABF 2的周长；(2)若l 的倾斜角为π4，求△ABF 2的面积．17.(14分)如图所示，在平行六面体ABCD —A 1B 1C 1D 1中，面ABCD 与面D 1C 1CD 垂直，且∠D 1DC ＝π3，DC ＝DD 1＝2，DA ＝3，∠ADC ＝π2，求异面直线A 1C 与AD 所成角余弦值．18.(16分)已知命题p ：方程ax 2＋ax －2＝0在[－1,1]上只有一个解；命题q ：只有一个实数x 满足x 2＋2ax ＋2a ≤0.若命题“p ∨q ”为假命题，求实数a 的取值范围．19．(16分)在如图所示的几何体中，EA⊥平面ABC，DB⊥平面ABC，AC⊥BC，AC＝BC＝BD＝2AE，M(1)求证：CM ⊥EM ；(2)求CM 与平面CDE 所成角的大小．20.(16分)已知直线(1＋4k )x －(2－3k )y －(3＋12k )＝0 (k ∈R )所经过的定点F 恰好是椭圆C 的一个焦点，且椭圆C 的长轴长为10.(1)求椭圆C 的标准方程；(2)已知圆O ：x 2＋y 2＝1，直线l ：mx ＋ny ＝1，当点P (m ，n )在椭圆C 上运动时，求直线l 被圆O 所截得的弦长的取值范围．模块综合检测(B)1．p 或q 綈p解析 a 2＋1≥1，即a 2＋1>1或a 2＋1＝1是p 或q 形式，奇数的平方不是偶数为綈p 形式．2．－1≤a ≤6解析 由已知q ⇒p ，∴(2,3)⊆(a －4，a ＋4)．∴⎩⎪⎨⎪⎧a －4≤2a ＋4≥3，∴－1≤a ≤6. 3．14. 2 解析 设P 点在第一象限，由⎩⎨⎧ x 26＋y 22＝1x 23－y 2＝1，得P 点坐标为⎝⎛⎭⎫322，22.∴S △PF1F2＝12F 1F 2·y p ＝12×4×22＝ 2. 5．x 2＝12y解析 点P 到直线y ＝－3的距离和它到点(0,3)的距离相等．6．5解析 设M 关于x 轴的对称点为M ′，则M ′(－1，－3)，所求最小值为M ′N ＝(2＋1)2＋(1＋3)2＝5.7．②④8．m ＝1713解析 由(m a ＋b )·(2a －3b )＝0，可得(－2m ＋1,3m －5,2m －1)·(－7,21,7)＝0.∴14m －7＋63m －105＋14m －7＝0.∴91m ＝119，∴m ＝1713. 9.12解析 由已知得2b 2a ＝a 2c －c ＝b 2c， ∴a ＝2c ，∴椭圆的离心率e ＝c a ＝12. 10．1211．－2解析 设AB →＋BC →＝kCD →，即有3e 1＋(1＋λ)e 2＝6k e 1－2k e 2，所以k ＝12，λ＝－2. 12．平行解析 MN →＝MB →＋BC →＋CN →＝12(A 1A →＋A 1B 1→)＋BC →＋12(CB →＋CD →)＝12(A 1A →＋CB →)＋BC → ＝12B 1B →＋12BC →＝12B 1C →. 所以MN ∥平面BCC 1B 1. 13.32626解析 AB →＝(3,0,0)，AC →＝(3,4，－1)，cos 〈AB →，AC →〉＝32626. 14.15515．解 p ：x ∈[－2,10]，q ：x ∈[1－m,1＋m ]，m >0，∵綈p 是綈q 的必要不充分条件，∴p ⇒q 且qp .∴[－2,10] [1－m,1＋m ]．∴⎩⎪⎨⎪⎧ m >0，1－m ≤－2，1＋m ≥10. ∴m ≥9.16．解 (1)由椭圆的定义，得AF 1＋AF 2＝2a ，BF 1＋BF 2＝2a ，又AF 1＋BF 1＝AB ，又因为a 2＝4，所以a ＝2，故△ABF 2点周长为8.(2)由条件，得F 1(－1,0)，因为AB 的倾斜角为π4，所以AB 斜率为1， 故直线AB 的方程为y ＝x ＋1.由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝x ＋1，x 24＋y 23＝1，消去x ，得7y 2－6y －9＝0，设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，解得y 1＝3＋627，y 2＝3－627， 所以，S △ABF 2＝12F 1F 2·|y 1－y 2| ＝12×2×1227＝1227. 17．解 建立如图所示的空间直角坐标系，则A (3，0,0)，D 1(0,1，3)，C (0,2,0)，D (0,0,0)，由AA 1→＝DD 1→得A 1(3，1，3)．∴A 1C →＝(－3，1，－3)．D 1A →＝(3，－1，－3)．∴cos 〈A 1C →，D 1A →〉＝A 1C →·D 1A →|A 1C →|·|D 1A →|＝(－3，1，－3)·(3，－1，－3)7·7＝－17. ∴异面直线A 1C 与AD 1所成角的余弦值为17. 18．解 p ：方程ax 2＋ax －2＝0在[－1,1]上只有一个解，令f (x )＝ax 2＋ax －2，则f (－1)·f (1)<0或f (1)＝0或Δ＝0⇒a ≥1或a ＝－8；q ：x 2＋2ax ＋2a ≤0，只有一个x 满足，则Δ＝4a 2－8a ＝0⇒a ＝0或a ＝2.若p ∨q 为假命题，则p 假，且q 假．p 为假，则a <1，且a ≠－8，而q 为假，则a ≠0且a ≠2. 综合得a <1且a ≠0，a ≠－8.19．(1)证明 分别以CB ，CA 所在直线为x ，y 轴，过点C 且与平面ABC 垂直的直线为z 轴，建立如图所示的空间直角坐标系C —xyz .设AE ＝a ，则M (a ，－a,0)，E (0，－2a ，a )，所以CM →＝(a ，－a,0)，EM →＝(a ，a ，－a )，所以CM →·EM →＝a ×a ＋(－a )×a ＋0×(－a )＝0，所以CM ⊥EM .(2)解 CE →＝(0，－2a ，a )，CD →＝(2a,0,2a )，设平面CDE 的法向量n ＝(x ，y ，z )，则有⎩⎪⎨⎪⎧ －2ay ＋az ＝0，2ax ＋2az ＝0，即⎩⎪⎨⎪⎧z ＝2y ，x ＝－z ，令y ＝1，则n ＝(－2,1,2)，cos 〈CM →，n 〉＝CM →·n |CM →||n |＝a ×(－2)＋(－a )×1＋0×22a ×3＝－22， 所以，直线CM 与平面CDE 所成的角为45°.20．解 (1)由(1＋4k )x －(2－3k )y －(3＋12k )＝0 (k ∈R )，得(x －2y －3)＋k (4x ＋3y －12)＝0， 则由⎩⎪⎨⎪⎧x －2y －3＝04x ＋3y －12＝0，解得F (3,0)， 设椭圆C 的方程为x 2a 2＋y 2b 2＝1 (a >b >0)， 则⎩⎪⎨⎪⎧ c ＝3a ＝5，所以椭圆C 的方程为x 225＋y 216＝1. (2)因为点P (m ，n )在椭圆C 上运动，所以1＝m 225＋n 216<m 2＋n 2， 从而圆心O 到直线l ：mx ＋ny ＝1的距离d ＝1m 2＋n2<1＝r . 所以直线l 与圆O 恒相交．又直线l 被圆O 截得的弦长为L ＝2r 2－d 2＝21－1m 2＋n 2 ＝21－1925m 2＋16 由于0≤m 2≤25，所以16≤92＋16≤25，则L ∈⎣⎡⎦⎤152，465， 即直线l 被圆O 截得的弦长的取值范围是L ∈⎣⎡⎦⎤152，465.。
高中数学 第2章 圆锥曲线与方程 2.1椭圆的标准方程 苏教版选修21
§2.2椭圆2.2.1 椭圆的标准方程课时目标1.经历从具体情境中抽象出椭圆模型的过程.2.理解椭圆的定义，明确焦点、焦距的概念.3.能由椭圆定义推导椭圆的方程，初步学会求简单的椭圆的标准方程.4.会求与椭圆有关的点的轨迹和方程．椭圆的标准方程：焦点在x 轴上的椭圆的标准方程为________________ (a>b>0)，焦点坐标为________________，焦距为________；焦点在y 轴上的椭圆的标准方程为________________ (a>b>0)．注：(1)以上方程中a ，b 的大小为a>b>0，其中c 2＝________；(2)椭圆x 2m ＋y2n＝1 (m>0，n>0，m ≠n)，当m>n 时表示焦点在______轴上的椭圆；当m<n时表示焦点在______轴上的椭圆．一、填空题1．设F 1，F 2为定点，F 1F 2＝6，动点M 满足MF 1＋MF 2＝6，则动点M 的轨迹是________．2．椭圆x 216＋y27＝1的左右焦点为F 1，F 2，一直线过F 1交椭圆于A 、B 两点，则△ABF 2的周长为________．3．平面内一动点M 到两定点F 1、F 2距离之和为常数2a ，则点M 的轨迹为____________________．4．设α∈⎝⎛⎭⎪⎫0，π2，方程x 2sin α＋y 2cos α＝1表示焦点在x 轴上的椭圆，则α的取值范围是________．5．方程x 22m －y2m －1＝1表示焦点在y 轴上的椭圆，则m 的取值范围是________．6．“神舟六号”载人航天飞船的运行轨道是以地球中心为一个焦点的椭圆，设其近地点距地面n 千米，远地点距地面m 千米，地球半径为R ，那么这个椭圆的焦距为________千米．7．椭圆x 29＋y22＝1的焦点为F 1、F 2，点P 在椭圆上．若PF 1＝4，则PF 2＝________，∠F 1PF 2的大小为________．8．P 是椭圆x 24＋y23＝1上的点，F 1和F 2是该椭圆的焦点，则k ＝PF 1·PF 2的最大值是________，最小值是________． 二、解答题9．根据下列条件，求椭圆的标准方程．(1)两个焦点的坐标分别是(－4,0)，(4,0)，椭圆上任意一点P 到两焦点的距离之和等于10；(2)两个焦点的坐标分别是(0，－2)，(0,2)，并且椭圆经过点⎝ ⎛⎭⎪⎫－32，52.10.已知点A(0，3)和圆O 1：x 2＋(y ＋3)2＝16，点M 在圆O 1上运动，点P 在半径O 1M 上，且PM ＝PA ，求动点P 的轨迹方程．能力提升11.若点O和点F分别为椭圆22143x y+=的中心和左焦点，点P为椭圆上的任意一点则OP→·FP→的最大值为________．12.如图△ABC中底边BC＝12，其它两边AB和AC上中线的和为30，求此三角形重心G的轨迹方程，并求顶点A的轨迹方程．1．椭圆的定义中只有当距离之和2a>F 1F 2时轨迹才是椭圆，如果2a ＝F 1F 2，轨迹是线段F 1F 2，如果2a<F 1F 2，则形不成轨迹．2．椭圆的标准方程有两种表达式，但总有a>b>0，因此判断椭圆的焦点所在的坐标轴要看方程中的分母，焦点在分母大的对应轴上．3．求椭圆的标准方程常用待定系数法，一般是先判断焦点所在的坐标轴进而设出相应的标准方程，然后再计算；如果不能确定焦点的位置，有两种方法求解，一是分类讨论，二是设椭圆方程的一般形式，即mx 2＋ny 2＝1 (m ，n 为不相等的正数)． 4．在与椭圆有关的求轨迹方程的问题中要注意挖掘几何中的等量关系．§2.2 椭 圆2．2.1 椭圆的标准方程知识梳理 x 2a 2＋y 2b 2＝1 F 1(－c ，0)，F 2(c,0) 2c y 2a 2＋x 2b2＝1 (1)a 2－b 2(2)x y 作业设计 1．线段解析 ∵MF 1＋MF 2＝6＝F 1F 2，∴动点M 的轨迹是线段． 2．16解析 由椭圆方程知2a ＝8，由椭圆的定义知AF 1＋AF 2＝2a ＝8， BF 1＋BF 2＝2a ＝8，所以△ABF 2的周长为16. 3．椭圆或线段或无轨迹解析 当2a>F 1F 2时，点M 的轨迹是椭圆，当2a ＝F 1F 2时，点M 的轨迹是线段， 当2a<F 1F 2时无轨迹. 4.⎝⎛⎭⎪⎫π4，π2解析 因椭圆的焦点在x 轴上， 所以sin α>cos α>0，又因为α∈⎝⎛⎭⎪⎫0，π2，所以π4<α<π2.5.⎝ ⎛⎭⎪⎫0，13解析 据题意⎩⎪⎨⎪⎧m －1<02m>0－(m －1)>2m ，解之得0<m<13.6．m －n解析 设a ，c 分别是椭圆的长半轴长和半焦距，则⎩⎪⎨⎪⎧a ＋c ＝m ＋Ra －c ＝n ＋R ，则2c ＝m －n.7．2 120°解析∵PF 1＋PF 2＝2a ＝6， ∴PF 2＝6－PF 1＝2. 在△F 1PF 2中， cos ∠F 1PF 2＝ PF 21＋PF 22－F 1F 222PF 1·PF 2＝16＋4－282×4×2＝－12，∴∠F 1PF 2＝120°. 8．4 3解析 设PF 1＝x ，则k ＝x(2a －x)， 因a －c ≤PF 1≤a ＋c ，即1≤x ≤3.∴k ＝－x 2＋2ax ＝－x 2＋4x ＝－(x －2)2＋4， ∴k max ＝4，k min ＝3.9．解 (1)∵椭圆的焦点在x 轴上，∴设椭圆的标准方程为x 2a 2＋y2b2＝1 (a>b>0)．∵2a ＝10，∴a ＝5，又∵c ＝4.∴b 2＝a 2－c 2＝52－42＝9.故所求椭圆的标准方程为x 225＋y29＝1.(2)∵椭圆的焦点在y 轴上，∴设椭圆的标准方程为y 2a 2＋x2b2＝1 (a>b>0)．由椭圆的定义知，2a ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－322＋⎝ ⎛⎭⎪⎫52＋22＋ ⎝ ⎛⎭⎪⎫－322＋⎝ ⎛⎭⎪⎫52－22＝3102＋102＝210，∴a ＝10.又∵c ＝2，∴b 2＝a 2－c 2＝10－4＝6.故所求椭圆的标准方程为y 210＋x26＝1.10．解 ∵PM ＝PA ，PM ＋PO 1＝4， ∴PO 1＋PA ＝4，又∵O 1A ＝23<4，∴点P 的轨迹是以A 、O 1为焦点的椭圆， ∴c ＝3，a ＝2，b ＝1，∴动点P 的轨迹方程为x 2＋y 24＝1.11．6解析 由椭圆方程得F(－1,0)，设P(x 0，y 0)， 则OP →·FP →＝(x 0，y 0)·(x 0＋1，y 0) ＝x 20＋x 0＋y 20.∵P 为椭圆上一点，∴x 204＋y 203＝1.∴OP →·FP →＝x 20＋x 0＋3(1－x 204)＝x 204＋x 0＋3＝14(x 0＋2)2＋2. ∵－2≤x 0≤2， ∴OP →·FP →的最大值在x 0＝2时取得，且最大值等于6.12．解 以BC 边所在直线为x 轴，BC 边中点为原点，建立如图所示坐标系， 则B(6,0)，C(－6,0)，CE 、BD 为AB 、AC 边上的中线， 则BD ＋CE ＝30. 由重心性质可知GB ＋GC ＝23(BD ＋CE)＝20.∵B 、C 是两个定点，G 点到B 、C 距离和等于定值20，且20>12， ∴G 点的轨迹是椭圆，B 、C 是椭圆焦点． ∴2c ＝BC ＝12，c ＝6,2a ＝20，a ＝10， b 2＝a 2－c 2＝102－62＝64，故G 点的轨迹方程为x 2100＋y264＝1 (x ≠±10)．又设G(x ′，y ′)，A(x ，y)，则有x ′2100＋y ′264＝1.由重心坐标公式知⎩⎪⎨⎪⎧x ′＝x3，y ′＝y3.故A 点轨迹方程为(x 3)2100＋(y 3)264＝1.即x 2900＋y2576＝1 (x ≠±30)．。
高中数学第2章圆锥曲线与方程2.1圆锥曲线学案苏教版选修2-1(2021学年)
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２.1 圆锥曲线[学习目标] 1．了解圆锥曲线的实际背景.２。
经历从具体情境中抽象出圆锥曲线的过程．3．掌握椭圆、抛物线的定义和几何图形.4。
了解双曲线的定义和几何图形．知识点一椭圆的定义平面内到两个定点F1，F2的距离的和等于常数(大于F1F2）的点的轨迹叫做椭圆,两个定点F1,Ｆ叫做椭圆的焦点．两焦点间的距离叫做椭圆的焦距.２知识点二双曲线的定义平面内到两个定点Ｆ1,Ｆ2的距离的差的绝对值等于常数(小于F1Ｆ２的正数)的点的轨迹叫做双曲线,两个定点F1,F２叫做双曲线的焦点,两焦点间的距离叫做双曲线的焦距．知识点三抛物线的定义平面内到一个定点F和一条定直线ｌ(F不在l上)的距离相等的点的轨迹叫做抛物线,定点F 叫做抛物线的焦点，定直线l叫做抛物线的准线．思考1．若动点M到两个定点Ｆ1、F２距离之和满足MＦ１+MF2＝F1F2，则动点M轨迹是椭圆吗？答案不是,是线段F１Ｆ2。
２．若动点M到两个定点Ｆ1、F2距离之差满足MＦ1-MF2＝2a(2a＜F１F2),则动点M轨迹是什么？答案是双曲线一支.题型一椭圆定义的应用例1 在△AＢC中，B（－６，０），C(0，8），且sｉnＢ，ｓin A，sin C成等差数列.(1)顶点A的轨迹是什么？（2)指出轨迹的焦点和焦距.解 (1)由sｉnＢ,sｉn A,sinＣ成等差数列,得sinＢ＋ｓｉn C=2sｉｎA.由正弦定理可得AＢ+AC＝2BC.又BC=1０，所以ＡＢ＋AＣ＝2０，且20〉ＢＣ，所以点A的轨迹是椭圆(除去直线BC与椭圆的交点)．(2)椭圆的焦点为B、C,焦距为１0。
高中数学 第2章 圆锥曲线与方程 2.3.1 双曲线的标准方程学业分层测评 苏教版选修21
【课堂新坐标】2016-2017学年高中数学 第2章 圆锥曲线与方程2.3.1 双曲线的标准方程学业分层测评 苏教版选修2-1(建议用时：45分钟)学业达标]一、填空题1．(2016·徐州高二检测)双曲线y 216－x 29＝1上一点P 到一个焦点的距离是10，那么点P到另一个焦点的距离是________．【解析】 据题意知|PF 1－PF 2|＝|PF 1－10|＝8，∴PF 1＝18或2. 【答案】 18或2 2．双曲线x 2m 2＋12－y 24－m 2＝1的焦距是________．【解析】 由题意，得c ＝m 2＋＋－m2＝4，∴焦距为2c ＝8.【答案】 83．已知双曲线x 216－y 225＝1的左焦点为F ，点P 为双曲线右支上的一点，且PF 与圆x 2＋y 2＝16相切于点N ，M 为线段PF 的中点，O 为坐标原点，则|MN |－|MO |＝________.【解析】 设F ′是双曲线的右焦点，连接PF ′(图略)，因为M ，O 分别是FP ，FF ′的中点，所以|MO |＝12|PF ′|.又|FN |＝|OF |2－|ON |2＝5，且由双曲线的定义知|PF |－|PF ′|＝8，故|MN |－|MO |＝|MF |－|FN |－12|PF ′|＝12(|PF |－|PF ′|)－|FN |＝12×8－5＝－1.【答案】 －14．焦点分别是(0，－2)，(0,2)，且经过点P (－3,2)的双曲线的标准方程是________．【解析】 由题意，焦点在y 轴上，且c ＝2，可设双曲线方程为y 2m －x 24－m＝1(0<m <4)，将P (－3,2)代入，解得m ＝1.因此所求双曲线标准方程为y 2－x 23＝1.【答案】 y 2－x 23＝15．已知双曲线x 2－y 2＝1，点F 1，F 2为其两个焦点，点P 为双曲线上一点，若PF 1⊥PF 2，则PF 1＋PF 2的值为________．【解析】 不妨设P 在双曲线的右支上，因为PF 1⊥PF 2，所以(22)2＝PF 21＋PF 22，又因为|PF 1－PF 2|＝2，所以(PF 1－PF 2)2＝4，可得2PF 1·PF 2＝4，则(PF 1＋PF 2)2＝PF 21＋PF 22＋2PF 1·PF 2＝12，所以PF 1＋PF 2＝2 3.【答案】 2 36．已知双曲线x 29－y 216＝1上一点M 的横坐标为5，则点M 到左焦点的距离是________. 【导学号：09390032】【解析】 由于双曲线x 29－y 216＝1的右焦点为F (5,0)，将x M ＝5代入双曲线可得|y M |＝163，即双曲线上一点M 到右焦点的距离为163，故利用双曲线的定义可求得点M 到左焦点的距离为2a ＋|y M |＝6＋163＝343.【答案】3437．(2016·江西九江模拟)已知F 1，F 2是双曲线x 216－y 29＝1的左，右焦点，P 是双曲线右支上一点，M 是PF 1的中点，若OM ＝1，则PF 1的值为________．【解析】 因为M 是PF 1的中点，所以PF 2＝2OM ＝2，又由双曲线的定义知：PF 1－PF 2＝2a ＝8，所以PF 1＝10.【答案】 108．(2016·云南玉溪模拟)若圆x 2＋y 2－4x －9＝0与y 轴的两个交点A ，B 都在双曲线上，且A ，B 两点恰好将此双曲线的焦距三等分，则此双曲线的标准方程为________. 【导学号：09390033】【解析】 解方程组⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋y 2－4x －9＝0，x ＝0，得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝0，y ＝3或⎩⎪⎨⎪⎧x ＝0，y ＝－3.∵圆x 2＋y 2－4x －9＝0与y 轴的两个交点A ，B 都在双曲线上，且A ，B 两点恰好将此双曲线的焦距三等分，∴A (0，－3)，B (0,3)，且a ＝3,2c ＝18，∴b 2＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1822－32＝72，∴双曲线方程为y 29－x 272＝1.【答案】y 29－x 272＝1 二、解答题9．求适合下列条件的双曲线的标准方程．(1)a ＝4，经过点A ⎝ ⎛⎭⎪⎫1，－4103；(2)经过点(3,0)，(－6，－3)． 【解】 (1)当焦点在x 轴上时，设所求标准方程为x 216－y 2b2＝1(b ＞0)，把A 点的坐标代入，得b 2＝－1615×1609＜0，不符合题意；当焦点在y 轴上时，设所求标准方程为y 216－x 2b2＝1(b ＞0)，把A 点的坐标代入，得b 2＝9， ∴所求双曲线的标准方程为y 216－x 29＝1. (2)设双曲线的方程为mx 2＋ny 2＝1(mn ＜0)， ∵双曲线经过点(3,0)，(－6，－3)，∴⎩⎪⎨⎪⎧9m ＋0＝1，36m ＋9n ＝1，解得⎩⎪⎨⎪⎧m ＝19，n ＝－13，∴所求双曲线的标准方程为x 29－y 23＝1. 10．已知F 1，F 2是双曲线x 29－y 216＝1的两个焦点，P 是双曲线左支上的点，且PF 1·PF 2＝32，试求△F 1PF 2的面积．【解】 双曲线的标准方程为x 29－y 216＝1，可知a ＝3，b ＝4，c ＝a 2＋b 2＝5.由双曲线的定义，得|PF 2－PF 1|＝2a ＝6，将此式两边平方，得PF 21＋PF 22－2PF 1·PF 2＝36， ∴PF 21＋PF 22＝36＋2PF 1·PF 2＝36＋2×32＝100. 在△F 1PF 2中，由余弦定理，得cos ∠F 1PF 2＝PF 21＋PF 22－F 1F 222PF 1·PF 2＝100－1002PF 1·PF 2＝0，∴∠F 1PF 2＝90°，∴S △F 1PF 2＝12PF 1·PF 2＝12×32＝16.能力提升]1．设F 1，F 2是双曲线x 2－y 224＝1的两个焦点，P 是双曲线上一点，且3PF 1＝4PF 2，则△PF 1F 2的面积为________．【解析】 由题意知PF 1－PF 2＝2a ＝2， ∴43PF 2－PF 2＝2， ∴PF 2＝6，PF 1＝8. 又F 1F 2＝10，∴△PF 1F 2为直角三角形，且∠F 1PF 2＝90°， ∴S △PF 1F 2＝12×6×8＝24.【答案】 242．设椭圆C 1的离心率为513，焦点在x 轴上且长轴长为26.若曲线C 2上的点到椭圆C 1的两个焦点的距离的差的绝对值等于8，则曲线C 2的标准方程为_____．【解析】 对于椭圆C 1，∵长轴长2a 1＝26，∴a 1＝13， 又离心率e 1＝c 1a 1＝513，∴c 1＝5. 由题意知曲线C 2为双曲线，且与椭圆C 1共焦点， ∴c 2＝5.又2a 2＝8，∴a 2＝4，b 2＝c 22－a 22＝3，又焦点在x 轴上， 故曲线C 2的标准方程为x 216－y 29＝1.【答案】x 216－y 29＝1 3．已知双曲线的两个焦点F 1(－5，0)，F 2(5，0)，P 是双曲线上一点，且PF 1→·PF 2→＝0，PF 1·PF 2＝2，则双曲线的标准方程为________．【解析】 由题意可设双曲线方程为x 2a 2－y 2b2＝1(a ＞0，b ＞0)．由PF 1→·PF 2→＝0，得PF 1⊥PF 2. 根据勾股定理得PF 21＋PF 22＝(2c )2，即PF 21＋PF 22＝20.根据双曲线定义，有PF 1－PF 2＝±2a . 两边平方并代入PF 1·PF 2＝2，得20－2×2＝4a 2，解得a 2＝4，从而b 2＝5－4＝1.故双曲线的标准方程是x 24－y 2＝1.【答案】x 24－y 2＝14．2008年5月12日，四川汶川发生里氏8.0级地震，为了援救灾民，某部队在如图231所示的P 处空降了一批救灾药品，今要把这批药品沿道路PA ，PB 送到矩形灾民区ABCD 中去，已知PA ＝100 km ，PB ＝150 km ，BC ＝60 km ，∠APB ＝60°，试在灾民区中确定一条界线，使位于界线一侧的点沿道路PA 送药较近，而另一侧的点沿道路PB 送药较近，请说明这一界线是一条什么曲线？并求出其方程．图231【解】 矩形灾民区ABCD 中的点可分为三类，第一类沿道路PA 送药较近，第二类沿道路PB 送药较近，第三类沿道路PA 和PB 送药一样远近．依题意，界线是第三类点的轨迹．设M 为界线上的任一点，则PA ＋MA ＝PB ＋MB ，MA －MB ＝PB －PA ＝50(定值)，∴界线是以A ，B 为焦点的双曲线的右支的一部分．如图，以AB 所在直线为x 轴，线段AB 的垂直平分线为y 轴，建立平面直角坐标系，设所求双曲线方程的标准形式为x 2a 2－y 2b2＝1(a >0，b >0)，∵a ＝25,2c ＝|AB |＝1002＋1502－2×100×150×cos 60°＝507， ∴c ＝257，b 2＝c 2－a 2＝3 750， 故双曲线的标准方程为x 2625－y 23 750＝1.注意到点C 的坐标为(257，60)，故y 的最大值为60，此时x ＝35，故界线的曲线方程为x 2625－y 23 750＝1(25≤x ≤35，y >0)．。
苏教版高中数学(选修2-1)单元测试-第二章圆锥曲线与方程
圆锥曲线与方程综合练习一、选择题：1.已知A(－1,0)，B(1,0)，点C(x,y)12=，则=+BC AC （ ）A ．6B ．4C ．2D ．不能确定2. 抛物线px y 22=与直线04=-+y ax 交于A 、B 两点，其中点A 的坐标为 （1，2），设抛物线的焦点为F ，则|FA|+|FB|等于（ ） A ．7 B ．53 C ．6 D ．53.双曲线22221(,0)x y a b a b-=>的左、右焦点分别为F 1、F 2，过焦点F 2且垂直于x轴的弦为AB ，若︒=∠901B AF ，则双曲线的离心率为 （ ）A ．)22(21- B ．12- C ．12+ D ．)22(21+4.若椭圆22221(0)x y a b a b +=>>和双曲线221(,0)x y m n m n-=>有相同的焦点F 1、F 2，P 是两曲线的交点，则21PF PF ⋅的值是（ ） A ．n b -B ．m a - C ． n b -D ． 2a m -5.已知F 是抛物线241x y ＝的焦点，P 是该抛物线上的动点，则线段PF 中点的轨迹 方程是（ ） A ．122－＝y x B ．16122－＝y x C ．212－＝y xD ．222－＝y x6. 给出下列结论,其中正确的是 （ ）A ．渐近线方程为()0,0>>±=b a x a b y 的双曲线的标准方程一定是12222=-b y a xB ．抛物线221x y -=的准线方程是21=xC ．等轴双曲线的离心率是2 D．椭圆()0,012222>>=+n m ny m x 的焦点坐标是()(),,0,222221n mF n m F ---7.已知圆22670x y x +--=与抛物线22(0)y px p =>的准线相切，则p 为（ ） A 、1 B 、2 C 、3 D 、48.一个椭圆中心在原点，焦点12,F F 在x 轴上，P （2）是椭圆上一点，且1122||||||PF F F PF 、、成等差数列，则椭圆方程为 （ ）22222222.1.1.1.18616684164x y x y x y x y A B C D +=+=+=+=9.双曲线2214x y k +=的离心率(1,2)e ∈，则k 的取值范围是（ ） .(,0).(12,0).(3,0).(60,12)A B C D -∞----10. 方程02=+ny mx 与)0(122>>=+n m ny mx 的曲线在同一坐标系中的示意图应11. 12,F F 是椭圆2214x y +=的左、右焦点，点P 在椭圆上运动，则12||||PF PF 的最大值是 ．12.已知抛物线21y ax =-的焦点是坐标原点，则以抛物线与两坐标轴的三个交点为顶点的三角形面积为 ．13.在△ABC 中，AB=BC ，7cos 18B =-．若以A 、B 为焦点的椭圆经过点C ，则该椭圆的离心率e= ．14.已知F 是抛物线24C y x =：的焦点，过F 且斜率为1的直线交C 于A B ，两点．设FA FB>，则FA与FB的比值等于 ．三、解答题：15．(1)已知双曲线的渐近线方程为12y x =±，焦距为10，求双曲线的标准方程。
江苏省宿迁市高中数学 第二章 圆锥曲线与方程 第9课时 双曲线的几何性质1导学案(无答案)苏教版选修21
第9课时双曲线的几何性质（1）【学习目标】1．了解双曲线的简单几何性质，如范围．对称性．顶点．渐近线和离心率等．2．能用双曲线的简单几何性质解决一些简单问题．【问题情境】1．椭圆有哪些几何性质，是如何探讨的？2．双曲线的两种标准方程是什么？【合作探究】双曲线的几何性质【展示点拨】例1．求双曲线22143x y-=的实轴长和虚轴长．焦点的坐标．离心率．渐近线方程．例2．已知双曲线的中心在原点,焦点在y 轴上,焦距为16,离心率为34,求双曲线的方程．变式：“焦点在y 轴上”变为“焦点在坐标轴上”．例3．求与椭圆18522=+y x 有相同焦点且经过点)1,0(的双曲线的标准方程．例4．过双曲线)0,0(12222>>=-b a by a x 的左焦点且垂直于x 轴的直线与双曲线相交于,M N 两点，以MN 为直径的圆恰好过双曲线的右顶点，求该双曲线的离心率．【学以致用】1．说出下列双曲线的顶点,焦点,焦距,实轴长,虚轴长,离心率和渐近线方程：（1）221916x y -=；（2）22145y x -=.2．求适合下列条件的双曲线的标准方程： （1）实轴的长是10，虚轴长是8，焦点在x 轴上； （2）焦距是10，虚轴长是8，焦点在y 轴上．3．已知双曲线的两条渐近线的方程是x y 34±=，焦点为)0,5(),0,5(-，求此双曲线的标准方程．4．双曲线的离心率为53，且与椭圆2214015x y +=有公共焦点，求此双曲线的标准方程．5．已知1F ,2F 是双曲线的两个焦点，以线段12F F 为边作正12MF F ∆，若边1MF 的中点在此双曲线上,求此双曲线的离心率．第9课时 双曲线的几何性质（1）【基础训练】1．双曲线1254922=-y x 的焦点坐标为 ． 2．双曲线191622=-y x 的两条渐近线的方程为 ． 3．等轴双曲线的中心在原点，它的一个焦点为F(0，22)则双曲线的标准方程是________． 4．双曲线的两条渐近线线互相垂直，那么它的离心率是 ．5．双曲线1322=-y x 的两条渐近线所成的锐角是 ． 6．已知双曲线1422=-ky x 的离心率)2,1(∈e ，实数k 的取值范围是 ． 【思考应用】7．求满足下列条件的双曲线的标准方程． （1）两焦点的距离为14，两顶点间的距离为12； （2）一焦点坐标为（0，-4），一条渐近线为320y x -=．8．过双曲线)0,0(12222>>=-b a by a x 的焦点且垂直于实轴的弦与另一焦点的连线所成角为90o ，求此双曲线的离心率．9．已知双曲线的离心率为53，且与椭圆2214015x y +=有公共焦点，求此双曲线的标准方程．10．已知双曲线)0,0(12222>>=-b a by a x 的左．右焦点分别为F 1，F 2，点P 在双曲线的右支上，且PF 1=4PF 2，则此双曲线的离心率e 的最大值．【拓展提升】11．焦点在坐标轴上的双曲线，它的两条渐近线方程为03=±y x ，焦点到渐近线的距离为3，求此双曲线的方程．12．已知双曲线2212515x y -=，焦点为1F ,2F ,P 为双曲线上一点，,且012120F PF ∠=，求12F PF ∆的面积．。
高中数学 第2章 圆锥曲线与方程 2.1 圆锥曲线学业分层
【课堂新坐标】2016-2017学年高中数学 第2章 圆锥曲线与方程2.1 圆锥曲线学业分层测评 苏教版选修2-1(建议用时：45分钟)学业达标]一、填空题1．抛物线上一点P 到焦点的距离与到准线的距离之和为8，则P 到准线的距离为________．【解析】 由抛物线的定义可知点P 到焦点与准线的距离相等，又因为二者之和为8，故P 到准线的距离为4.【答案】 42．下列说法中正确的是________(填序号)．①已知F 1(－6,0)，F 2(6,0)，到F 1，F 2两点的距离之和等于12的点的轨迹是椭圆； ②已知F 1(－6,0)，F 2(6,0)，到F 1，F 2两点的距离之和等于8的点的轨迹是椭圆； ③到点F 1(－6,0)，F 2(6,0)两点的距离之和等于点M (10,0)到F 1，F 2的距离之和的点的轨迹是椭圆；④到点F 1(－6,0)，F 2(6,0)距离相等的点的轨迹是椭圆．【解析】 根据椭圆的定义PF 1＋PF 2>F 1F 2可知选③.【答案】 ③3．已知A (1,0)，B (3,0)，动点P 满足|PA －PB |＝a ，且点P 的轨迹是双曲线，则实数a 的取值范围是________．【解析】 因为AB ＝2，且点P 的轨迹是双曲线，则|PA －PB |＝a ＜2，即0＜a ＜2.【答案】 (0,2)4．已知双曲线的焦点为F 1，F 2，双曲线上一点P 满足|PF 1－PF 2|＝2.若点M 也在双曲线上，且MF 1＝4，则MF 2＝________.【解析】 由双曲线的定义可知，|MF 1－MF 2|＝2.又MF 1＝4，∴|4－MF 2|＝2，解得MF 2＝2或6.【答案】 2或65．已知点A (－1,0)，B (1,0)．曲线C 上任意一点P 满足PA →2－PB →2＝4(|PA →|－|PB →|)≠0.则动点P 的轨迹是________. 【导学号：09390020】【解析】 由条件可化简为PA ＋PB ＝4，因为4>2＝AB ，所以曲线C 是椭圆．【答案】 椭圆6．若点P 到直线x ＝－1的距离比它到点(2,0)的距离小1，则点P 的轨迹为______．(填“椭圆”、“双曲线”、“抛物线”)【解析】 由题意P 到直线x ＝－2的距离等于它到点(2,0)的距离，故点P 的轨迹为一条抛物线．【答案】 抛物线7．已知平面上定点F 1，F 2及动点M ，命题甲：|MF 1－MF 2|＝2a (a 为常数)，命题乙：点M 的轨迹是以F 1，F 2为焦点的双曲线，则甲是乙的________条件．【解析】 根据双曲线的定义，乙⇒甲，但甲D乙，只有当0<2a <|F 1F 2|时，其轨迹才是双曲线．故甲是乙的必要不充分条件．【答案】 必要不充分8．△ABC 的顶点A (0，－4)，B (0,4)，且4(sin B －sin A )＝3sin C ，则顶点C 的轨迹是________．【解析】 运用正弦定理，将4(sin B －sin A )＝3sin C 转化为边的关系，即4⎝ ⎛⎭⎪⎫b 2R －a 2R ＝3×c 2R ，则AC －BC ＝34AB ＝6<AB .显然，顶点C 的轨迹是以A ，B 为焦点的双曲线的上支去掉点(0,3)．【答案】 以A ，B 为焦点的双曲线的上支去掉点(0,3)二、解答题9．已知动点M 的坐标(x ，y )满足方程2(x －1)2＋2(y －1)2＝(x ＋y ＋6)2，试确定动点M 的轨迹．【解】 方程可变形为x －2＋y －2|x ＋y ＋6|2＝1，∵x －2＋y －2表示点M 到点(1,1)的距离，|x ＋y ＋6|2表示点M 到直线x ＋y ＋6＝0的距离． 又由x －2＋y －2|x ＋y ＋6|2＝1知点M 到定点(1,1)的距离等于点M 到直线x ＋y ＋6＝0的距离．由抛物线的定义知点M 的轨迹是抛物线．10．一炮弹在某处爆炸，在F 1(－5 000,0)处听到爆炸声的时间比在F 2(5 000,0)处晚30017s ，已知坐标轴的单位长度为1 m ，声速为340 m/s ，爆炸点应在什么样的曲线上？【解】 由声速为340 m/s ，可知F 1，F 2两处与爆炸点的距离差为340×30017＝6 000(m)，且小于F 1F 2＝10 000(m)，因此爆炸点在以F 1，F 2为焦点的双曲线上，又因为爆炸点离F 1处比F 2处更远，所以爆炸点应在靠近F 2处的一支双曲线上．能力提升]1．已知点P (x ，y )的坐标满足x －2＋y －2－x ＋2＋y ＋2＝±4，则动点P 的轨迹是________．【解析】 方程表示点到(1,1)和(－3，－3)两点的距离差，∵4<＋2＋＋2，∴点P 的轨迹是双曲线．【答案】 双曲线2．已知椭圆上一点P 到两焦点F 1，F 2的距离之和为20，则PF 1·PF 2的最大值为________.【导学号：09390021】【解析】 由条件知PF 1＋PF 2＝20，∴PF 1·PF 2≤⎝⎛⎭⎪⎫PF 1＋PF 222＝⎝ ⎛⎭⎪⎫2022＝100.当且仅当PF 1＝PF 2时取得等号．【答案】 1003．如图211，一圆形纸片的圆心为O ，F 是圆内一定点，M 是圆周上一动点，把纸片折叠使M 与F 重合，然后抹平纸片，折痕为CD ，设CD 与OM 交于点P ，则点P 的轨迹是________．图211【解析】 连结FP ，∵M ，F 关于直线CD 对称，∴PF ＝PM ，∴PF ＋PO ＝OP ＋PM ＝OM (定值)．∵OM >OF ，∴点P 的轨迹是以F ，O 为焦点的椭圆．【答案】 以F ，O 为焦点的椭圆4．在△ABC 中，B (－6,0)，C (0,8)，且sin B ，sin A ，sin C 成等差数列．(1)顶点A 的轨迹是什么？(2)指出轨迹的焦点和焦距．【解】 (1)由sin B ，sin A ，sin C 成等差数列，得sin B ＋sin C ＝2sin A ．由正弦定理可得AB ＋AC ＝2BC .又因为BC ＝10，所以AB ＋AC ＝20，且20>BC ，所以点A 的轨迹是椭圆(除去直线BC 与椭圆的交点)．(2)椭圆的焦点为B ，C ，焦距为10.。
高中数学选修2-1 第二章《圆锥曲线与方程》单元测试题(含答案)
12PF F S ＝解析：设P (x 0，y 0)，PF 的中点为(x ，y )，则y 0＝14x 20，又F (0,1)，∴⎩⎪⎨⎪⎧x ＝x 02y ＝y 0＋12，∴⎩⎨⎧x 0＝2xy 0＝2y －1，代入y 0＝14x 20得2y －1＝14(2x )2，化简得x 2＝2y －1，故选A. 答案：A7．抛物线y 2＝4x 的焦点到双曲线x 2－y 23＝1的渐近线的距离是( )A.12B.32C ．1 D. 3 解析：由已知解出抛物线的焦点坐标和双曲线的渐近线方程，利用点到直线的距离公式求解．由题意可得抛物线的焦点坐标为(1,0)，双曲线的渐近线方程为3x －y ＝0或3x ＋y ＝0， 则焦点到渐近线的距离d 1＝|3×1－0|32＋－12＝32或d 2＝|3×1＋0|32＋12＝32. 答案：B8．直线y ＝x ＋b 与抛物线x 2＝2y 交于A 、B 两点，O 为坐标原点，且OA ⊥OB ，则b ＝( )A ．2B ．－2C ．1D ．－1解析：设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)， 联立方程组⎩⎨⎧y ＝x ＋b ，x 2＝2y ，消去y ，得x 2－2x －2b ＝0，所以x 1＋x 2＝2，x 1x 2＝－2b ，y 1y 2＝(x 1＋b )(x 2＋b )＝x 1x 2＋b (x 1＋x 2)＋b 2＝b 2，∴点C 的轨迹是以F 为焦点，l 1为准线的抛物线， ∴所求轨迹的方程为x 2＝4y . (2)由题意易知直线l 2的斜率存在，又抛物线方程为x 2＝4y ，当直线AB 斜率为0时|PQ |＝4 2.当直线AB 斜率k 不为0时，设中点坐标为(t,2)，P (x 1，y 1)，Q (x 2，y 2)，则有x 21＝4y 1，x 22＝4y 2，两式作差得x 21－x 22＝4(y 1－y 2)，即得k ＝x 1＋x 24＝t 2，则直线方程为y －2＝t2(x －t )，与x 2＝4y 联立得x 2－2tx ＋2t 2－8＝0.由根与系数的关系得x 1＋x 2＝2t ，x 1x 2＝2t 2－8， |PQ |＝x 1－x 22＋y 1－y 22＝1＋k 2[x 1＋x 22－4x 1x 2]＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋t 24[4t 2－42t 2－8]＝8－t 24＋t 2≤6，即|PQ |的最大值为6.19．(本小题满分12分)已知双曲线的焦点在x 轴上，离心率为2，F 1，F 2为左、右焦点，P 为双曲线上一点，且∠F 1PF 2＝60°，12PF F S ＝123，求双曲线的标准方程．解析：如图所示，设双曲线方程为x 2a 2－y 2b2＝1(a ＞0，b ＞0)．∴所求k 的值为2.21．(本小题满分12分)已知椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)的一个顶点为A (0,1)，离心率为22，过点B (0，－2)及左焦点F 1的直线交椭圆于C ，D 两点，右焦点设为F 2.(1)求椭圆的方程； (2)求△CDF 2的面积． 解析：(1)由题意知b ＝1，c a ＝22，且c 2＝a 2＋b 2，解得a ＝2，c ＝1. 易得椭圆方程为x 22＋y 2＝1.(2)∵F 1(－1,0)，∴直线BF 1的方程为y ＝－2x －2，由⎩⎨⎧y ＝－2x －2x22＋y 2＝1得9x 2＋16x ＋6＝0.∵Δ＝162－4×9×6＝40＞0， 所以直线与椭圆有两个公共点，设为C (x 1，y 1)，D (x 2，y 2)，则⎩⎪⎨⎪⎧x 1＋x 2＝－169x 1·x 2＝23∴|CD |＝1＋－22|x 1－x 2|＝5·x 1＋x 22－4x 1x 2＝5·⎝ ⎛⎭⎪⎫－1692－4×23＝1092，又点F 2到直线BF 1的距离d ＝455， 故CDF S2＝12|CD |·d ＝4910. 22．(本小题满分12分)过点C (0,1)的椭圆x 2a 2＋y 2b2＝1(a ＞b ＞0)的离心率为。
苏教版高中数学选修2-1第2章圆锥曲线与方程本章练测.docx
高中数学学习材料鼎尚图文*整理制作第2章 圆锥曲线与方程（苏教版选修2-1）建议用时 实际用时满分 实际得分120分钟160分一、填空题(每小题5分，共70分)1.若椭圆22221(0)x y a b a b +=>>的离心率是32，则曲线22221x y a b -=的离心率是 ． 2.方程213x y =-表示的曲线是 ．①双曲线； ②椭圆；③双曲线的一部分； ④椭圆的一部分.3.已知对k ∈R ，直线y =kx +1与椭圆恒有公共点，则实数m 的取值范围是 ．4.以椭圆的左焦点为焦点的抛物线的标准方程是 ．5. 直线y ＝kx －2与抛物线y 2＝8x 交于不同的两点P 、Q ，若线段PQ 中点的横坐标为2，则PQ ＝ ．6.已知点A （3，2），B （－4，0），P 是椭圆 上一点，则P A +PB 的最大值为 ．7. 直线y ＝2k 与曲线（k ∈R 且k ≠0)的公共点的个数是 ．8.以椭圆的右焦点为圆心的圆恰好过椭圆的中心，交椭圆于点，椭圆的左焦点为，且直线与此圆相切，则椭圆的离心率为 ．9.若点O 和点F 分别为椭圆的中心和左焦点，点P 为椭圆上的任意一点，则的最大值为 . 10.已知方程22ax by ab +=和0ax by c ++=，其中0,,0ab a b c 构>,它们所表示的曲线可能是下列图象中的 ．① ②③ ④11.已知抛物线上一点0到其焦点的距离为5，双曲线的左顶点为，若双曲线的一条渐近线与直线平行，则实数的值是 ．12.椭圆的左、右焦点分别为，为椭圆上任一点，且的最大值的取值范围是，其中，则椭圆的离心率的取值范围是 ．13.已知椭圆221x y m n+=与双曲线2x p －2y q 有共同的焦点，是椭圆和双曲线的一个交点，则 ．14.双曲线的一条准线是，则的值为 ． 二、解答题（共90分）15.(14分)已知抛物线方程为y px p 22(0)=>，直线l x y m +=：过抛物线的焦点且被抛物线截得的弦长为3，求的值16.(14分)已知椭圆22221x y a b +=(0)a b >>的离心率63e =，过点和的直线与原点的距离为32． （1）求椭圆的方程．（2）已知定点，若直线 与椭圆交于两点．问：是否存在，使以为直径的圆过点?请说明理由．17.(14分)设双曲线22221x ya b-=的离心率为，若右准线与两条渐近线相交于两点，为右焦点，△为等边三角形．（1）求双曲线的离心率的值；（2）若双曲线被直线截得的弦长为22b ea，求双曲线的方程18．（16分）已知椭圆的离心率，短轴长为2.设是椭圆上的两点，向量m＝，n= ，且m·n=0，O为坐标原点.（1）求椭圆的方程.（2）试问：△AOB的面积是否为定值？如果是，请给予证明；如果不是，请说明理由.19．（16分）已知椭圆C的中心在原点，焦点在x轴上，离心率等于，它的一个顶点恰好是抛物线的焦点.（1）求椭圆C的方程.（2）点P（2，3），Q（2，－3）在椭圆上，A，B是椭圆上位于直线PQ两侧的动点.(ⅰ)若直线AB的斜率为，求四边形APBQ面积的最大值；(ⅱ)当A，B运动时，满足∠APQ=∠BPQ，试问直线AB的斜率是否为定值？并说明理由.20.(16分)设分别为椭圆：22221x ya b+=(0)a b>>的左、右两个焦点.（1）若椭圆上的点到两点的距离之和等于，写出椭圆的方程和焦点坐标.（2）设点是（1）中所得椭圆上的动点，求线段的中点的轨迹方程.（3）已知椭圆具有性质：若是椭圆上关于原点对称的两个点，点是椭圆上任意一点，当直线、的斜率都存在，并记为、时，那么与之积是与点位置无关的定值.试对双曲线22221x ya b-=写出类似的性质，并加以证明一、填空题1.52 解析：由椭圆22221(0)x y a b a b +=>>的离心率为，得.设,则,.又双曲线中，.2.④ 解析：方程可化为．3.m 1且m ≠5 解析：∵直线y =kx +1过定点(0，1)，则∴ m ≥1且m ≠5.4. 解析：由椭圆的方程知，，∴，∴ 抛物线的焦点为（－2，0），∴ 抛物线的标准方程是．5. 215 解析：将y ＝kx －2代入y 2＝8x 得k 2x 2－4(k ＋2)x ＋4＝0,(*)易知k ≠0，Δ＝16(k ＋2)2－16k 2＝64(k ＋1)＞0，∴ k ＞－1，且k ≠0. 由根与系数的关系，得22(2)k k +＝2，∴ k 2－k －2＝0，即(k －2)(k ＋1)＝0，∴ k ＝2或k ＝－1(舍)．此时方程(*)化为x 2－4x ＋1＝0，∴ x 1＋x 2＝4，x 1·x 2＝1，∴ PQ ＝21k +∙|x 1－x 2|＝2212121()4k x x x x +∙+-＝5·16－4＝215.6. 10+ 解析：易知B 为椭圆的左焦点，因为 ＜1，所以点A 在椭圆内. 设椭圆的右焦点为E (4，0)，根据椭圆的定义可得，PB +PE ＝2a =10， 故有PA +PB ＝PA +10-PE ＝10+(PA -PE ). 当P 、A 、E 三点不共线时，有PA -PE ＜AE ；当P 位于射线AE 与椭圆的交点处时，有PA -PE ＝AE ； 当P 位于射线EA 与椭圆的交点处时，有PA -PE ＝-AE ； 故有-AE ≤PA -PE ≤AE . 而AE ＝ = ，所以PA +PB ＝10+(PA -PE )∈［10- ，10+ ］. 7. 4 解析：由题意得 k ∈R 且 k ≠0， 消去y 得解得｜x ｜=1± ＞0，故有4个解. 8.3－１ 解析：由题意得，，. 在直角三角形中,,即,整理得.等式两边同除以，得,即，解得或（舍去）. 故9.6 解析：由题意，得F (-1，0)， 设点，，则有 =1，解得. 因为＝，，=，， 所以此二次函数对应的抛物线的对称轴为直线=-2， 因为-2≤≤2，所以当=2时，取得最大值 +2+3＝6. 10.② 解析：方程化成，可化成.对于①：由双曲线图象可知：，，∴，即直线的斜率应大于0，故错； 对于②：由双曲线图象可知：，，∴ ，即直线的斜率应大于0， 又，即直线在轴上的截距为正，故②正确；对于③④：由椭圆图象可知：，，∴，即直线的斜率应小于0，故③④错. 11. 解析：依题意知，所以，所以，所以，点的坐标为. 又，所以直线的斜率为.由题意得，解得.12. ⎣⎡⎦⎤12，22 解析：设，，，则，，.又可看做点到原点的距离的平方，所以，所以＝. 由题意知，即，则.13. 解析：因为椭圆221x y m n+=与双曲线221x y p q -=有共同的焦点， 所以其焦点位于轴上，由其对称性可设在双曲线的右支上，左、右焦点分别为, 由椭圆以及双曲线的定义可得， ， 由①②得，．所以．14. 解析：由题意可知双曲线的焦点在轴上，所以.双曲线方程可化为， 因此，，.因为准线是直线，所以，即， 解得. 二、解答题15. 解：由直线l 过抛物线的焦点，得直线l 的方程为由消去，得2220y py p +-=.由题意得22(2)40p p D =+> ，212122,y y p y y p +=-=-.设直线与抛物线交于A x y B x y ，1122(,),(,)则AB 3=. ，解得.16.解：（1）直线的方程为．依题意得解得所以椭圆方程为2213x y +=．（2）假若存在这样的值，由得22(13)1290k x kx +++=,所以22(12)36(13)0k k D =-+>． ① 设11()C x y ，、22()D x y ，，则 ②而212121212(2)(2)2()4y y kx kx k x x k x x =++=+++×．当且仅当时，以为直径的圆过点，则1212111y y x x =-++×， 即1212(1)(1)0y y x x +++=，所以21212(1)(21)()50k x x k x x +++++=． ③将②式代入③式整理解得76k =．经验证，76k =使①成立． 综上可知，存在76k =，使得以为直径的圆过点．17.解：（1）双曲线的右准线的方程为2a c ，两条渐近线方程为by x a=?．所以两交点坐标为2a ab P c c 骣÷ç÷ç÷ç÷ç桫，、2a ab Q c c 骣÷ç÷ç-÷ç÷ç桫，． 设直线与轴的交点为,因为△为等边三角形，则有MF PQ 32=, 所以232a ab ab c c c c 骣÷ç÷-=+ç÷ç÷桫×，即223c a abc c-=, 解得3b a =，．所以2ce a==． （2）由（1）得双曲线的方程为222213x y a a -=．把3y ax a =+代入得2222(3)2360a x a x a -++=．设直线与双曲线的交点坐标为（x 1，y 1）、（x 2，y 2）, 依题意所以26a <，且23a ¹． 所以双曲线被直线截得的弦长为x x y y a x x a x x x x 2222221212121212()()(1)()(1)[()4]=-+-=+-=++-d4222221224(3)(1)(3)a a a a a --=+-g . 因为b e a a 2212==d ，所以2422227212144(1)(3)a a a a a -=+-×, 整理得4213771020a a -+=, 所以22a =或25113a =． 所以双曲线的方程为22126x y -=或221313151153x y -=． 18.解：(1)由题意知解得 ∴椭圆的方程为=1. (2)∵≠，设AB 所在直线的方程为y =kx +b .由即=0， ∴∴∵，.∵ m ·n =0，∴=0， ∴)=0，代入整理得=4， ∴ S ＝ =1.∴△AOB 的面积为定值1.19. 解：(1)设椭圆C 的方程为=1(a ＞b ＞0)， 由椭圆的一个顶点为抛物线=8 y 的焦点，则b =2 . 由 = ，，得a =4，∴椭圆C 的方程为 =1. (2)(ⅰ)设，，，，直线AB 的方程为y = x +t ，代入 ＝1，得 由解得-4＜t ＜4.由根与系数的关系得=-t ，.四边形APBQ 的面积S = ×6×||=3 ， ∴当t =0时，=12 .(ⅱ)若∠APQ =∠BPQ ，则PA ，PB 的斜率之和为0，设直线PA 的斜率为k ，则直线PB 的斜率为-k ，PA 的直线方程为y -3=k (x -2)， 由将代入②整理得，同理PB 的直线方程为y -3=-k (x -2)，可得==， ∴，， = = = ，∴直线 AB 的斜率为定值 .20.解：（1）椭圆的焦点在轴上，由椭圆上的点到两点的距离之和是4，得，即.又点312A 骣÷ç÷ç÷ç÷桫，在椭圆上，因此22232112b 骣÷ç÷ç÷ç÷桫+=，得，于是. 所以椭圆的方程为22143x y +=，焦点，. （2）设椭圆上的动点，线段的中点为，则其满足111,22x y x y -+==，即，，因此=22(21)(2)143x y ++，即2214123y x 骣÷ç÷++=ç÷ç÷桫为所求的轨迹方程. （3）类似的性质为：若是双曲线22221x y a b -=上关于原点对称的两个点，点是双曲线上任意一点，当直线的斜率都存在，并记为时，那么与之积是与点位置无关的定值. 证明如下：设点的坐标为，则点的坐标为，其中22221m n a b -=.又设点的坐标为，由,PM PN y n y n k k x m x m -+==-+，得2222y n y ny n x m x mx m-+-?-+-.将22222222,b b y x b n a a =-=代入得22b a .。
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第2章 单元检测(B 卷)(时间：120分钟 满分：160分)一、填空题(本大题共14小题，每小题5分，共70分)1．以x 轴为对称轴，抛物线通径长为8，顶点在坐标原点的抛物线的方程为__________．2．双曲线9x 2－4y 2＝－36的渐近线方程是__________．3．若抛物线y 2＝2px 上的一点A (6，y )到焦点F 的距离为10，则p ＝________.4．已知双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1 (a >b >0)的离心率为62，椭圆x 2a 2＋y 2b2＝1的离心率为________． 5．设F 1、F 2是双曲线x 24－y 2＝1的两个焦点，点P 在双曲线上，∠F 1PF 2＝90°，则△F 1PF 2的面积是________．6．过双曲线M ：x 2－y 2h 2＝1的左顶点A 作斜率为1的直线l ，若l 与双曲线M 的两条渐近线分别相交于点B 、C ，且AB ＝BC ，则双曲线M 的离心率是________．7．双曲线x 2a 2－y 2b2＝1 (a >0，b >0)的左、右焦点分别是F 1，F 2，过F 1作倾斜角为30°的直线交双曲线右支于M 点，若MF 2垂直于x 轴，则双曲线的离心率为________．8．椭圆x 29＋y 24＋k ＝1的离心率为45，则k 的值为________． 9．双曲线mx 2＋y 2＝1的虚轴长是实轴长的2倍，则m ＝________.10．曲线y ＝1＋4－x 2与直线y ＝k (x －2)＋4有两个交点时，实数k 的取值范围是__________．11．在平面直角坐标系中，椭圆x 2a 2＋y 2b2＝1 (a >b >0)的焦距为2，以O 为圆心，a 为半径作圆，过点⎝⎛⎭⎫a 2c ，0作圆的两切线互相垂直，则离心率e ＝________.12．椭圆x 2a 2＋y 2b2＝1 (a >b >0)的焦点为F 1，F 2，两条准线与x 轴的交点分别为M ，N ，若MN ≤2F 1F 2，则该椭圆离心率的取值范围是________．13．若点M 是抛物线y 2＝4x 到直线2x －y ＋3＝0的距离最小的一点，那么点M 的坐标是__________．14．过双曲线x 29－y 218＝1的焦点作弦MN ，若MN ＝48，则此弦的倾斜角为________． 二、解答题(本大题共6小题，共90分)15．(14分)已知双曲线与椭圆x 29＋y 225＝1共焦点，它们的离心率之和为145，求双曲线方程．16.(14分)抛物线y2＝2px(p>0)有一内接直角三角形，直角的顶点在原点，一直角边的方程是y ＝2x，斜边长是53，求此抛物线方程．17．(14分)设P是椭圆x2a2＋y2＝1 (a>1)短轴的一个端点，Q为椭圆上的一个动点，求PQ的最大值．18.(16分)点A、B分别是椭圆x236＋y220＝1长轴的左、右端点，点F是椭圆的右焦点，点P在椭圆上，且位于x轴上方，P A⊥PF.求点P的坐标．19．(16分)已知抛物线y 2＝2x ，直线l 过点(0,2)与抛物线交于M ，N 两点，以线段MN 的长为直径的圆过坐标原点O ，求直线l 的方程．20.(16分)已知抛物线C ：y ＝2x 2，直线y ＝kx ＋2交C 于A ，B 两点，M 是线段AB 的中点，过M 作x 轴的垂线交C 于点N .(1)证明：抛物线C 在点N 处的切线与AB 平行；(2)是否存在实数k 使NA →·NB →＝0，若存在，求k 的值；若不存在，说明理由．第2章 圆锥曲线与方程(B)1．y 2＝±8x解析 2p ＝8，抛物线开口向左或向右．2．y ＝±32x 3．8解析 ∵6＋p 2＝10，∴p ＝8. 4.22解析 ∵a 2＋b 2a 2＝⎝⎛⎭⎫622＝64＝32，∴a 2－b 2a 2＝12. ∴椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1的离心率为22. 5．1解析 由题意，得PF 1－PF 2＝±4，PF 21＋PF 22＝5×4＝20.∴2PF 1·PF 2＝20－16＝4，∴S △F1PF2＝12PF 1·PF 2＝1. 6.10解析 直线l 的方程是y ＝x ＋1，两条渐近线方程为y ＝±hx ，由AB ＝BC ，可得B 是A 、C 的中点，－2h ＋1＝－1＋1h －1，解得h ＝0(舍去)或h ＝3，故e ＝1＋h 21＝10. 7.3 8.－1925或21 9．－14解析 y 2－x 2－1m＝1，∴－1m ＝4，∴m ＝－14. 10.⎝⎛⎦⎤512，34解析 y ＝1＋4－x 2即为x 2＋(y －1)2＝4(y ≥1)表示上半圆．直线过(－2,1)时k ＝34；直线与半圆相切时，|3－2k|k 2＋1＝2，得k ＝512.所以k ∈⎝⎛⎦⎤512，34. 11.22 解析 由2c ＝2，所以c ＝1.因为两条切线互相垂直，所以a 2c ＝2R ＝2a ，所以c a ＝22. 12.⎣⎡⎭⎫22，1 解析 MN ＝2a 2c，F 1F 2＝2c ，MN ≤2F 1F 2， 则a 2c ≤2c ，该椭圆离心率e 的取值范围是⎣⎡⎭⎫22，1. 13.⎝⎛⎭⎫14，1解析 由⎩⎪⎨⎪⎧y 2＝4x ，2x －y ＋m ＝0，得y 2－2y ＋2m ＝0.因为Δ＝0得m ＝12，所以y ＝1，x ＝14， 所以M ⎝⎛⎭⎫14，1.14．60°或120°解析 设弦的方程为y ＝k(x －33)，代入2x 2－y 2＝18得(2－k 2)x 2＋63k 2x －27k 2－18＝0，所以x 1＋x 2＝63k 2k 2－2，x 1x 2＝27k 2＋18k 2－2. ∴MN ＝1＋k 2·(x 1＋x 2)2－4x 1x 2＝48，∴k ＝±3.故倾斜角为60°或120°.15．解 由于椭圆焦点为F(0，±4)，离心率为e ＝45， 所以双曲线的焦点为F(0，±4)，离心率为2，从而c ＝4，a ＝2，b ＝2 3.所以所求双曲线方程为：y 24－x 212＝1. 16．解 设△AOB 为抛物线的内接直角三角形，直角顶点为O ，AO 边的方程是y ＝2x ，则OB边方程为y ＝－12x. 由⎩⎪⎨⎪⎧ y ＝2x y 2＝2px，可得A 点坐标为⎝⎛⎭⎫p 2，p . 由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝－12x y 2＝2px，可得B 点坐标为(8p ，－4p)．∵AB ＝53，∴ (p ＋4p )2＋⎝⎛⎭⎫p 2－8p 2＝5 3. ∵p>0，解得p ＝23913， ∴所求的抛物线方程为y 2＝43913x. 17．解 依题意可设P(0,1)，Q(x ，y)，则PQ ＝x 2＋(y －1)2，又因为Q 在椭圆上，所以，x 2＝a 2(1－y 2)，PQ 2＝a 2(1－y 2)＋y 2－2y ＋1＝(1－a 2)y 2－2y ＋1＋a 2＝(1－a 2)⎝ ⎛⎭⎪⎫y －11－a 22－11－a2＋1＋a 2. 因为|y|≤1，a>1，若a ≥2，则⎪⎪⎪⎪⎪⎪11－a 2≤1， 当y ＝11－a 2时，PQ 取最大值a 2a 2－1a 2－1. 18．解 由已知可得点A(－6,0)，F(4,0)，设点P 的坐标是(x ，y)，则AP →＝(x ＋6，y)，FP →＝(x －4，y)，由已知得⎩⎪⎨⎪⎧x 236＋y 220＝1(x ＋6)(x －4)＋y 2＝0，则2x 2＋9x －18＝0，x ＝32或x ＝－6. 由于y>0，只能x ＝32，于是y ＝523， ∴点P 的坐标是⎝⎛⎭⎫32，523.19．解 由题意知直线l 的斜率存在， 设为k ，则直线l 的方程为y ＝kx ＋2， 解方程组⎩⎪⎨⎪⎧ y ＝kx ＋2y 2＝2x， 消去x 得ky 2－2y ＋4＝0，Δ＝4－16k>0⇒k<14(k ≠0)， 设M(x 1，y 1)，N(x 2，y 2)，则y 1＋y 2＝2k ，y 1y 2＝4k， ⎩⎨⎧x 1＝12y 21x 2＝12y 22⇒x 1x 2＝14(y 1y 2)2＝4k 2. OM ⊥ON ⇒k OM ·k ON ＝－1， ∴x 1x 2＋y 1y 2＝0，∴4k 2＋4k＝0，解得k ＝－1. 所以所求直线方程为y ＝－x ＋2， 即x ＋y －2＝0.20．(1)证明如图，设A(x 1,2x 21)，B(x 2，2x 22)，把y ＝kx ＋2代入y ＝2x 2得2x 2－kx －2＝0，由韦达定理得x 1＋x 2＝k 2，x 1x 2＝－1， ∴x N ＝x M ＝x 1＋x 22＝k 4， ∴N 点的坐标为⎝⎛⎭⎫k 4，k 28.设抛物线在点N 处的切线l 的方程为y －k 28＝m ⎝⎛⎭⎫x －k 4， 将y ＝2x 2代入上式得2x 2－mx ＋mk 4－k 28＝0， ∵直线l 与抛物线C 相切，∴Δ＝m 2－8⎝⎛⎭⎫mk 4－k 28＝m 2－2mk ＋k 2＝(m －k)2＝0，∴m ＝k. 即l ∥AB.(2)假设存在实数k ，使NA →·NB →＝0，则NA ⊥NB ，又∵M 是AB 的中点，∴MN ＝12AB. 由(1)知y M ＝12(y 1＋y 2) ＝12(kx 1＋2＋kx 2＋2) ＝12[k(x 1＋x 2)＋4] ＝12⎝⎛⎭⎫k 22＋4＝k 24＋2. ∵MN ⊥x 轴，∴MN ＝|y M －y N |＝k 24＋2－k 28＝k 2＋168. 又AB ＝1＋k 2|x 1－x 2| ＝1＋k 2(x 1＋x 2)2－4x 1x 2 ＝1＋k 2⎝⎛⎭⎫k 22－4×(－1) ＝12k 2＋1k 2＋16.∴k 2＋168＝14k 2＋1k 2＋16， 解得k ＝±2.即存在k ＝±2，使NA →·NB →＝0.。