2020高考数学复习 专题08 等差数列(教师版)

专题08 等差数列【一】【2019年江苏】已知数列*{}()n a n ∈N 是等差数列，n S 是其前n 项和.若2580,a a a +=927S =，则8S 的值是___________． 【答案】16【解析】由题意可得：()()()25811191470989272a a a a d a d a d S a d ⎧+=++++=⎪⎨⨯=+=⎪⎩， 解得：152a d =-⎧⎨=⎩，则8187840282162S a d ⨯=+=-+⨯=. 【名师点睛】等差数列、等比数列的基本计算问题，是高考必考内容，解题过程中要注意应用函数方程思想，灵活应用通项公式、求和公式等，构建方程（组），如本题，从已知出发，构建1a d ,的方程组.【命题意图】（1）理解等差数列的概念.（2）掌握等差数列的通项公式与前n 项和公式. 【命题规律】等差数列一直是高考的热点，尤其是等差数列的通项公式及其性质，等差数列的前n 项和等为考查重点，题型一般为填空题，解题时要注意性质的应用，充分结合函数与方程、分类讨论、化归与转化等数学思想求解.常见的命题角度有：（1）等差数列基本量的计算；（2）等差数列的通项及前n 项和的求解； （3）等差数列的判定与证明； （4）等差数列性质的应用； （5）等差数列的文化背景问题.【方法总结】（一）等差数列基本运算的解题思路： （1）设基本量a 1和公差d ．（2）列、解方程组：把条件转化为关于a 1和d 的方程(组)，然后求解，注意整体计算，以减少运算量． （二）求解等差数列通项公式的方法主要有两种： （1）定义法.（2）前n 项和法，即根据前n 项和n S 与n a 的关系求解. （三）等差数列前n 项和公式的应用方法：根据不同的已知条件选用不同的求和公式，若已知首项和公差，则使用1(1)=2n n n S na d -+； 若已知通项公式，则使用1()=2n n n a a S +，同时注意与性质“12132n n n a a a a a a --+=+=+=”的结合使用.（四）等差数列的判定与证明的方法：①定义法：1()n n a a d n +-=∈*N 或1(2,)n n a a d n n --=≥∈⇔*N {}n a 是等差数列； ②定义变形法：验证是否满足11(2,)n n n n a a a a n n +--=-≥∈*N ；③等差中项法：{}122()n n n n a a a n a ++=+∈⇔*N 为等差数列；④通项公式法：通项公式形如(,n a pn q p q =+为常数)⇔{}n a 为等差数列； ⑤前n 项和公式法：2(,n S pn qn p q =+为常数)⇔{}n a 为等差数列．（五）等差数列的性质是每年高考的热点之一，利用等差数列的性质进行求解可使题目减少运算量，题型以填空题为主，难度不大，属中低档题. 应用等差数列性质的注意点： （1）熟练掌握等差数列性质的实质等差数列的性质是等差数列的定义、通项公式以及前n 项和公式等基础知识的推广与变形，熟练掌握和灵活应用这些性质可以有效、方便、快捷地解决许多等差数列问题. （2）应用等差数列的性质解答问题的关键寻找项数之间的关系，但要注意性质运用的条件，如若m n p q +=+，则q p n m a a a a +=+(,m n,p,)q ∈*N ，需要当序号之和相等、项数相同时才成立，再比如只有当等差数列{a n }的前n 项和S n 中的n 为奇数时，才有S n =na 中成立.（六）等差数列的前n 项和的最值问题 （1）二次函数法：22211111()[()]()222222n a ad d d d S n a n n d d=+-=----，由二次函数的最大值、最小值的知识及n ∈*N 知，当n 取最接近112a d -的正整数时，n S 取得最大（小）值．但应注意，最接近112ad -的正整数有1个或2个．注意：自变量n 为正整数这一隐含条件. （2）通项公式法：求使0n a ≥(0n a ≤)成立时最大的n 值即可． 一般地，等差数列{}n a 中，若10a >，且()p q S S p q =≠，则①若p q +为偶数，则当2p qn +=时，n S 最大； ②若p q +为奇数，则当12p q n +-=或12p q n ++=时，n S 最大．（3）不等式法：由11(2,)n n n n S S n n S S -+≥⎧≥∈⎨≥⎩*N ，解不等式组确定n 的范围，进而确定n 的值和n S 的最大值．1．【南通市2019届高三适应性考试数学试题】已知等差数列{}n a 满足44a =，且1a ，2a ，4a 成等比数列，则3a 的所有值为____________. 【答案】3，4【解析】设等差数列{}n a 的公差为d ， 因为44a =，且1a ，2a ，4a 成等比数列，所以4122141344a a d a a a a =+=⎧⎨==⎩，即121134()4a d a d a +=⎧⎨+=⎩， 解得0d =或1d =. 所以434a d a =-=或3. 故答案为3，4.2．【南京市、盐城市2019届高三第二次模拟考试数学试题】等差数列{}n a 中，410a =，前12项的和1290S =，则18a 的值为____________. 【答案】4-【解析】由题得11181310,13,1,1317(1)4121112902a d a d a a d +=⎧⎪∴==-∴=+⨯-=-⎨⨯+=⎪⎩. 故答案为4-.3．【徐州市2019届高三上学期期中质量抽测数学试题】已知等差数列 的前 项和为 ， ， ，则 的值为____________. 【答案】24【解析】因为 ，所以＝132，即11 ＝132，所以 ＝12，又 ，所以 ＝18， 因为 ，所以 ＝24. 故答案为24.4．【徐州市（苏北三市（徐州、淮安、连云港））2019届高三年级第一次质量检测数学试题】在等差数列{}n a 中，若512a =，64282a a a +=，则{}n a 的前6项和 6S 的值为____________. 【答案】152【解析】依题意，得()()511111428523a a d a d a d a d ⎧=+=⎪⎨⎪+++=+⎩，化简，得1128150a d a d +=⎧⎨+=⎩，解得15212a d ⎧=⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩，所以6S ＝5115615222⎛⎫⨯+⨯-= ⎪⎝⎭. 故答案为152. 5．【南通市2019届高三年级阶段性学情联合调研数学试题】设等差数列 的公差为 ，其前 项和为 ，若 ， ，则 的值为____________. 【答案】【解析】由 ，2S 12=S 2+10，得111139012112122102a d a d a d a d +++=⨯⎛⎫⨯+=++ ⎪⎝⎭⎧⎪⎨⎪⎩，解得d =﹣10． 故答案为﹣10．6．【北京市人大附中2019届高三高考信息卷（三）数学试题】设等差数列 的前 项和为 .若 , ,则数列 的通项公式可以是____________. 【答案】 ＝【解析】设等差数列{a n }的公差为d ，由a 1＝1，S 2＞S 3，得2+d ＞3+3d ，即2d ＜﹣1，d ＜．不妨取d ＝﹣1，可得a n ＝1﹣（n ﹣1）＝﹣n +2． 故答案为a n ＝﹣n +2（答案不唯一）．7．【2019届高三第二学期联合调研测试数学试题】设n S 为等差数列{}n a 的前n 项和，若1357910a a a a a ++++=，228236a a -=，则10S 的值为____________.【答案】552【解析】因为135795510a a a a a a ++++==， 所以52a =，又因为()()()22828282582236a a a a a a a a a -=+-=-=，所以8269a a d -==， 所以32d =，1544a a d =-=-，所以10135540109222S =-+⨯⨯⨯=. 故答案为552. 8．【扬州中学2019届高三4月考试数学试题】已知数列{}n a 是等差数列，11a =，公差[]1,2d ∈，且4101615a a a λ++=，则实数λ的最大值为____________.【答案】12- 【解析】4101611115,3(9)1515a a a a d a d a d λλ++=∴+++++=，则15()219f d dλ==-+，∵[]1,2d ∈，∴令19,[10,19]t d t =+∈， 因此15()2f t tλ==-， 当[10,19]t ∈时，函数()f t λ=是减函数，故当10t =时，实数λ有最大值，最大值为1(10)2f =-. 故答案为12-. 9．【盐城市2019届高三年级第一学期期中模拟考试数学试题】若数列{}n a 的首项112a =，且()11n n n a a a +=+，则200300a a =____________. 【答案】301201【解析】由()11n n n a a a +=+， 得11n n n n a a a a ++-=且0n a ≠， 所以1111n na a +-=， 即1n a ⎧⎫⎨⎬⎩⎭是以2为首项，1为公差的等差数列， 则1n a =n +1，从而200300301201a a =.故答案为301201. 10．【无锡市锡山高级中学实验学校2019届高三12月月考数学试题】等差数列 的前 项和为 ，已知，且数列 也为等差数列，则 =____________. 【答案】19【解析】设等差数列 的公差为d ， 则，所以，又 也为等差数列，所以， 所以d =2，所以 . 故答案为19.11．【南京金陵中学、海安高级中学、南京外国语学校2019届高三第四次模拟考试数学试题】设数列{}n a 为等差数列，其前n 项和为n S ，已知14760a a a ++=，25851a a a ++=，若对任意n *∈N ，都有n S ≤k S 成立，则正整数k 的值为____________. 【答案】10【解析】因为数列{}n a 为等差数列，设公差为d ，14760a a a ++=，25851a a a ++=， 两式相减，得3d ＝－9，所以d ＝－3，由等差中项得14743=60a a a a ++=，即14=320a a d +=，解得：1a ＝29， 所以(1)29(3)2n n n S n -=+⨯-＝236122n n -+　， 当n ＝616时，n S 取得最大值，但n 是正整数， 所以，当n ＝10时，n S 取得最大值， 对任意n *∈N ，都有n S ≤k S 成立，显然k ＝10. 故答案为10.12．【河南省焦作市2019届高三第四次模拟考试数学】记首项为11(0)a a >，公差为d 的等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，若1212a d =-，且1n n n S a S λ+≤+，则实数λ的取值范围为____________.【答案】19,121⎡⎤⎢⎥⎣⎦【解析】由1n n n S a S λ+≤+，得11n n n n S S a a λ++-=≤.因为10a >，所以0d <，()12312n a a n d n d ⎛⎫=+-=- ⎪⎝⎭.所以当111n ≤≤时，0n a >，当12n ≥时，0n a <. （1）当111n ≤≤时，由1n n a a λ+≥得1211223n n n n n a a d d a a a n λ++≥==+=+-. 因为221911223212321n +≤+=-⨯-，所以1921λ≥.（2）当12n ≥时，由1n n a a λ+≥得121223n n a a n λ+≤=+-. 因为211223n +>-，所以1λ≤.综上所述，λ的取值范围是19,121⎡⎤⎢⎥⎣⎦.。