等腰三角形和等边三角形
等边三角形和等腰三角形的性质
等边三角形和等腰三角形的性质等边三角形是指三条边长度相等的三角形，而等腰三角形则是指两条边长度相等的三角形。
这两种特殊的三角形在几何学中具有一些独特的性质和特点。
本文将分别探讨等边三角形和等腰三角形的性质，从而帮助读者更好地理解和运用它们。
一、等边三角形的性质1.等边三角形的边相等等边三角形的三条边长度相等，即AB=BC=AC。
这是等边三角形最基本的性质。
2.等边三角形的角度相等等边三角形的三个内角均相等，都是60度。
这是由于等边三角形的三条边长度相等，从而使得每条边对应的两个角度也相等。
3.等边三角形的高、中线、角平分线重合在等边三角形ABC中，等边三角形的高、中线、角平分线在垂直平分三角形的直径上重合。
垂直平分三角形的直径是由一个顶点到对边的中点的直线段。
4.等边三角形的外接圆和内切圆等边三角形的外接圆是过三个顶点的圆，而内切圆是与三条边相切的圆。
这两个圆均有特殊的性质，例如等边三角形的外接圆半径等于边长，内切圆的半径等于边长的三分之根号3。
二、等腰三角形的性质1.等腰三角形的两边相等等腰三角形的两条边长度相等，即AB=AC。
这是等腰三角形最基本的性质。
2.等腰三角形的顶角和底角相等等腰三角形的两个顶角相等，即∠A=∠C。
这是由于等腰三角形的两条边长度相等，从而使得对边上的角度也相等。
3.等腰三角形的高和中线相等在等腰三角形ABC中，等腰三角形的高和中线都相等，且垂直平分底边AC。
这是由于等腰三角形的两条边长度相等，从而使得对边上的高和中线长度也相等。
4.等腰三角形的外接圆和内切圆等腰三角形的外接圆是过三个顶点的圆，而内切圆是与底边AC相切的圆。
这两个圆均有特殊的性质，例如等腰三角形的外接圆圆心位于底边上的中点，内切圆的半径等于高的两倍。
结语通过对等边三角形和等腰三角形的性质的讨论，我们可以看到它们在形状和角度上都具有一定的相似性。
同时，这些性质也为我们解题和推导提供了一定的便利。
无论是在数学学习还是实际应用中，对等边三角形和等腰三角形的性质的理解都是十分重要的。
等腰三角形和等边三角形
35°× 2 =70° 180°- 70°=110°
等边三角形的三条边相等， 三个内角也相等，都是60度。
算一算：
用一根18厘米长的线，可以围 成边长是几厘米的等边三角形？
18÷3＝6(厘米) 要围一个边长是8厘米的等边 三角形需要多少长的铁丝？
8×3＝24（厘米）
等腰直角三角形
等腰锐角三角形
顶角
Байду номын сангаас
腰
腰
底角 底角 底
底角 底
腰
顶角 底角 腰
腰 底角
顶角 底 腰
底角
等腰三角形的两条边相等， 两个底角也相等。
一个等腰三角形的顶角是70度， 它的一个底角是多少度？
700 55° 55°
180°70°=110°
110°÷ 2 =55°
等腰三角形的一个底角是35 度，求顶角的度数。
110
350 °
等腰钝角三角形
每天都有收获， 每天都有进步！
等腰三角形和等边三角形 教案
等腰三角形和等边三角形教案1. 教学目标•了解等腰三角形和等边三角形的定义和特点；•能够通过观察和推理判断一个三角形是否是等腰三角形或等边三角形；•掌握判断等腰三角形和等边三角形的简便方法。
2. 教学内容1.等腰三角形的定义和特点；2.等边三角形的定义和特点；3.判断等腰三角形和等边三角形的方法。
3. 教学过程3.1 概念讲解1.等腰三角形的定义：一个三角形的两边长度相等，那么这个三角形就是等腰三角形。
等腰三角形的特点是底边两侧的两条边长度相等，也就是底边两侧的两个角度是相等的。
2.等边三角形的定义：一个三角形的三条边长度都相等，那么这个三角形就是等边三角形。
等边三角形的特点是三个内角度都是相等的，每个角都是60度。
3.2 观察实验让学生拿出尺子和图形纸，在图形纸上随意画一些三角形，并通过测量边长和角度来观察这些三角形是否是等腰三角形或等边三角形。
3.3 判断方法1.判断等腰三角形：观察三角形的两侧边长，如果两条边的长度相等，则可以判断这个三角形是等腰三角形。
2.判断等边三角形：观察三角形的三条边长，如果三条边的长度都相等，则可以判断这个三角形是等边三角形。
3.4 练习与讨论给学生一些练习题，让他们判断给定的三角形是等腰三角形还是等边三角形。
然后进行讨论，解释不同的判断方法和答案的合理性。
4. 教学评价通过观察实验和练习题，可以评价学生是否掌握了判断等腰三角形和等边三角形的方法，以及对概念的理解程度。
5. 教学延伸引导学生进一步思考等腰三角形和等边三角形与其他几何图形的关系，例如正方形、矩形等。
可以通过讨论和实例分析加深学生对几何形状的理解和几何判断的能力。
6. 总结本节课主要介绍了等腰三角形和等边三角形的定义和特点，以及判断方法。
通过观察实验和练习题，帮助学生深刻理解这两种特殊的三角形，提高他们的几何判断能力和思维逻辑能力。
等腰三角形与等边三角形的性质
等腰三角形与等边三角形的性质三角形是几何学中的重要概念之一，常见的三角形包括普通三角形、等边三角形和等腰三角形。
在本文中，我们将探讨等腰三角形和等边三角形的性质，并分析它们之间的共同点与区别。
一、等腰三角形的定义和特点等腰三角形是指两条边长度相等的三角形。
以下是等腰三角形的一些定义和特点：1. 两边相等：等腰三角形的两条边的长度相等，即两条边是同一长度的线段。
2. 两底角相等：等腰三角形的两个底角（即底边两侧与其他边的夹角）的大小相等。
3. 顶角：等腰三角形的顶角（即顶点所在角）与底边呈对角线关系，即顶角的度数为180°减去底角的度数之和。
4. 对称性：等腰三角形具有对称性，即等腰三角形的两条边相等，两个底角相等，可以通过对称轴将等腰三角形分成两个完全相同的部分。
二、等边三角形的定义和特点等边三角形是指三条边的长度都相等的三角形。
以下是等边三角形的一些定义和特点：1. 三边相等：等边三角形的三条边的长度都相等，即三条边是同一长度的线段。
2. 三个内角相等：等边三角形的三个内角的大小都相等，每个内角的度数为60°。
3. 对称性：等边三角形具有对称性，即等边三角形的三条边、三个内角的位置可以通过对称轴来相互对应。
三、等腰三角形和等边三角形的共同点等腰三角形和等边三角形虽然在定义和特点上有一定的差异，但它们也有一些共同点，包括：1. 对称性：等腰三角形和等边三角形都具有对称性，可以通过对称轴将其分成两个完全相同的部分。
2. 外角：等腰三角形和等边三角形的任意一个外角的度数等于其余两个内角的度数之和。
3. 角平分线：等腰三角形和等边三角形的顶角的角平分线是底边上的中垂线。
四、等腰三角形和等边三角形的区别尽管等腰三角形和等边三角形有一些共同点，但它们也有区别，主要体现在以下几个方面：1. 边长：等腰三角形的两条边相等，而等边三角形的三条边都相等。
2. 角度：等腰三角形的两个底角相等，而等边三角形的三个内角都相等。
认识三角形等边等腰和普通三角形
认识三角形等边等腰和普通三角形认识三角形——等边、等腰和普通三角形三角形是几何学中最基本的形状之一，它由三条线段组成，连接了三个非共线的点。
根据三角形的边长和角度特征，可以将三角形分为等边三角形、等腰三角形和普通三角形。
一、等边三角形等边三角形是指三条边的长度相等的三角形。
它是一种特殊的等腰三角形，同时也是一种特殊的等角三角形。
等边三角形的特点如下：1. 三条边的长度相等，因此它的三个内角也相等，每个内角都是60度。
2. 等边三角形的三条高（垂直于底边的线段）相等，也等于边长的一半。
等边三角形常见的例子是正三角形，也就是每个内角都是60度的三角形。
正三角形在我们周围很常见，比如六边形的内部就包含了6个等边三角形。
二、等腰三角形等腰三角形是指两条边的长度相等的三角形。
它的特点如下：1. 两个底角（底边两边对应的角）相等。
2. 两个底角的角平分线与底边垂直且相等长。
3. 等腰三角形的顶角（顶点所对应的角）等于180度减去两个底角的角度之和。
等腰三角形通常用来描述一些对称性较强的形状，比如一些金字塔或山峰的侧面。
在建筑设计和数学几何中，等腰三角形也经常被使用。
三、普通三角形普通三角形是指三条边的长度都不相等的三角形。
它的特点如下：1. 三个内角的大小不相等。
2. 对于一个普通三角形，不存在边长相等的两条边，内角也不能互相相等。
普通三角形是最常见的三角形，我们在日常生活和学习中经常接触到。
举个例子，大部分道路的交叉口就可以看作是由三条相互连接的普通三角形构成的。
综上所述，等边三角形、等腰三角形和普通三角形是三角形的几种常见分类。
它们在几何学和实际应用中都有着重要的地位和作用。
通过了解和认识三角形的不同类型，我们可以更好地理解它们的性质和特点，并在应用问题中灵活运用，提升我们的数学思维与推理能力。
让我们一起深入研究和认识三角形的不同分类，拓宽我们的数学知识，培养我们的逻辑思维和几何直观。
等边三角形与等腰三角形的性质
等边三角形与等腰三角形的性质等边三角形与等腰三角形是初中数学中的基本概念，它们具有一些特殊的性质和关系。
本文将详细介绍等边三角形和等腰三角形的性质，并探讨它们之间的联系和区别。
一、等边三角形的性质等边三角形是指三条边相等的三角形。
我们可以从以下几个方面来了解等边三角形的性质。
1. 三个内角相等等边三角形的三个内角都是60°，因为等边三角形的三条边相等，而三角形的三个内角的和是180°，所以每个角都是60°。
2. 高度、中线、角平分线相重合等边三角形的高度、中线和角平分线在三个顶点处相交，且重合于一个点。
这个点被称为等边三角形的垂心、重心和内心，它们均位于三角形的重心。
3. 三个角的正弦、余弦、正切值相等等边三角形的三个角的正弦、余弦、正切值都相等，即sin60°=cos60°=tan60°=√3/2。
二、等腰三角形的性质等腰三角形是指两条边相等的三角形。
接下来我们来看等腰三角形的一些性质。
1. 两个底角相等等腰三角形的两个底角相等，因为两边相等的两个角的对边也相等，根据等边三角形的性质，这两个角都是60°。
2. 高度、中线、角平分线重合或平行于底边等腰三角形的高度、中线和角平分线有两种情况：当顶角大于底角时，这些线段将重合于顶角的顶点；当顶角等于底角时，这些线段将平行于底边。
3. 底角的正弦、余弦、正切值相等等腰三角形的底角的正弦、余弦、正切值都相等，即sinθ=cosθ=tanθ，其中θ表示底角的大小。
三、等边三角形与等腰三角形之间的关系与区别等边三角形与等腰三角形都具有一些共同的性质，但也有一些不同之处。
1. 共同点等边三角形和等腰三角形的顶角都是60°，都具有高度、中线和角平分线重合或平行于底边的性质。
2. 不同点等边三角形的三边相等，而等腰三角形只有两边相等；等边三角形的高度、中线和角平分线都重合于顶点，而等腰三角形的这些线段只有当顶角大于底角时才重合，当顶角等于底角时平行于底边。
三角形中的等边与等腰关系
三角形中的等边与等腰关系三角形是几何学中最基本的图形之一，它由三条线段组成，每两条线段之间形成一个角。
在三角形中，等边和等腰是两种特殊的关系，它们在几何学中具有重要的意义。
本文将探讨三角形中的等边与等腰关系，并分析它们的性质和应用。
一、等边三角形等边三角形是指三条边的长度相等的三角形。
在等边三角形中，每个角的度数都是60度，因为三个角的和等于180度，所以每个角都是180度除以3，即60度。
等边三角形具有以下性质：1. 等边三角形的三个角都是60度，即等边三角形是等角三角形。
2. 等边三角形的三个边长相等，即等边三角形是等腰三角形。
3. 等边三角形的高线、中线和角平分线重合。
等边三角形在实际生活中有很多应用，例如在建筑设计中，等边三角形可以用来构造稳定的结构；在地理测量中，等边三角形可以用来测量不可达地点的距离等。
二、等腰三角形等腰三角形是指两条边的长度相等的三角形。
在等腰三角形中，两个底角（底边两侧的角）的度数相等，而顶角（底边上的角）的度数则不一定相等。
等腰三角形具有以下性质：1. 等腰三角形的两个底角相等。
2. 等腰三角形的两条边长相等。
3. 等腰三角形的顶角可以是锐角、直角或钝角。
等腰三角形在几何学中有很多重要应用，例如在三角函数中，等腰三角形可以用来推导正弦、余弦和正切等函数的性质；在计算几何中，等腰三角形可以用来求解各种三角形的面积和周长等。
三、等边与等腰的关系在三角形中，等边和等腰并不是互相包含的关系，即等边三角形不一定是等腰三角形，等腰三角形也不一定是等边三角形。
然而，等边和等腰之间存在一定的联系。
首先，等边三角形一定是等腰三角形，因为等边三角形的三条边都相等，所以两个底角的度数也相等。
其次，等腰三角形不一定是等边三角形，因为等腰三角形只要求两条边相等，而不要求第三条边与前两条边相等。
因此，等边和等腰是两种独立的关系，它们在三角形中具有不同的性质和应用。
结论三角形中的等边和等腰是两种重要的关系，它们在几何学中有着广泛的应用。
小学数学知识点等边三角形与等腰三角形的特征
小学数学知识点等边三角形与等腰三角形的特征等边三角形与等腰三角形是小学数学中的重要知识点。
它们都是三角形的特殊形式，具有各自独特的特征和性质。
一、等边三角形的定义和特征等边三角形是指三条边都相等的三角形。
根据其定义，我们可以得到等边三角形的以下特征：1. 三条边的边长相等，即a = b = c。
2. 三个角度均为60度，即∠A = ∠B = ∠C = 60°。
3. 三条高线、三条中线、三条角平分线和三条垂直平分线重合，即等边三角形的高线、中线、角平分线和垂直平分线都是同一条线段。
4. 等边三角形的内角和为180度，即∠A + ∠B + ∠C = 180°。
二、等腰三角形的定义和特征等腰三角形是指两条边相等的三角形。
根据其定义，我们可以得到等腰三角形的以下特征：1. 两条边的边长相等，即a = b。
2. 两个底角（等边的两个角）相等，即∠A = ∠B。
3. 等腰三角形的顶角（不等边的角）可以任意，即∠C可为任意值。
4. 等腰三角形的内角和为180度，即∠A + ∠B + ∠C = 180°。
三、等边三角形与等腰三角形的关系等边三角形是等腰三角形的特殊情况，即所有的等边三角形也是等腰三角形。
在等边三角形中，两条等边就是等腰三角形的两条边，同时，等腰三角形还可以有不等的顶角。
举个例子来说明：假设有一个等腰三角形ABC，其中AB = AC。
如果我们再假设BC = AB = AC，我们就得到了一个等边三角形ABC。
所以，等边三角形是等腰三角形的特殊情况。
另外，等边三角形和等腰三角形都具有对称性。
等边三角形的三条边互相对称，等腰三角形的两条边和两个底角也是相互对称的。
总结：等边三角形和等腰三角形是小学数学中的常见知识点。
等边三角形的特征是三条边都相等，等腰三角形的特征是两条边相等。
等边三角形包括等腰三角形作为特殊情况。
等腰三角形的两个底角相等，顶角可以任意。
等边三角形的三个角度均为60度。
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等腰三角形和等边三角形
基础知识
1、等腰三角形的定义：
等边三角形的定义：
2、等腰三角形的性质：1.
2.
3、等腰三角形的判定：1.
2.
4、等边三角形的性质：
5、等边三角形的判定：1.
2.
3.
6、等腰直角三角形的性质：
7、等腰直角三角形的判定：1.
2.
8、含30°角的直角三角形的重要结论：
9、常做辅助线的方法：“遇到等腰常做高”
等腰三角形的性质应用及判定
【例1】（扬州中考）如图，△ABC中，D、E分别是AC、AB上的点，BD与CE交于点
O.给出下列三个条件：①∠EBO=∠DCO;②∠BEO=∠CDO;③BE=CD.
上述三个条件中，哪两个条件可判定△ABC是等腰三角形（用序号写出所有情形）
【例2】如图，△ABC为等边三角形，延长BC到D,又延长BA到E，使AE=BD,连接CE,DE,
求证：△CDE为等腰三角形
【例3】（福建中考）如图，将一个等腰直角三角形按图示方式依次翻折，若DE=a,则下列
说法正确的个数有（ ）①DC'平分∠BDE ②BC长为(22)a
③△BC'D是等腰三角形 ④△CED的周长等于BC的长
A.1个 B.2个 C.3个 D.4个
A
E
B
C
O D
E
A
B C D
E
A
B C D F
D B E C D B C'. E A
C
B
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【例4】如图，△ABC是边长为1的正三角形，△BDC是顶角为120°的等腰三角形，以D
为顶点作一个60°的∠MDN，点M,N分别在AB,AC上，则△AMN的周长是
【例5】（重庆中考）已知一个等腰三角形两内角的度数比为1:4，则这个等腰三角形顶角的
度数为（ ）
A.20° B.120° C.20°或120° D.36°
【例6】（双柏中考）等腰三角形两边长分别为4和9，则第三边长为：
【例7】如图，点O事等边△ABC内一点，∠AOB=110°，∠BOC=α，将△BOC绕点C
按顺时针方向旋转60°得△ADC,连接OD,则△COD是等边三角形；(1)当α为多少度时，
△AOD是等腰三角形？(2)求证：△COD是等边三角形（3）当α=150°时，试判断△AOD
的形状，并说明理由
【例8】（乐山中考）如图，在等边△ABC中，点D,E分别在边BC,AB上，BD=AE,AD与
CE交于点F.(1)求证：AD=CE;(2)求∠DFC的度数。
【例9】（黄冈中考）如图，分别以Rt△ABC的直角边AC,BC为边，在Rt△ABC外作两个
等边三角形△ACE和△BCF，连接BE,AF。求证：BE=AF
【例10】（天津中考）如图，△DAC和△EBC均是等边三角形，
AE、BD分别与CD、CE交于点M、N,有如下结论：①△ACD
≌△DCB; ②CM=CN; ③AC=DN.其中正确结论的个数是
A.3个 B.2个 C.1个 D.0个
【例11】（常州中考）如图，已知△ABC为等边三角形，D、E、
F分别在边BC、AC、AB上，且△DEF也是等边三角形。除已知
相等的边以外，请你猜想还有哪些相等线段，并证明你的猜想是
正确的。
【例12】右图是由9个等边三角形拼成的六边形，若已知中间的
小等边三角形的边长是a,则六边形的周长是
A
M
N
D
B C
A
M
N
D
B C P Q
B
C
A
O
D
A
F
B
C
E
D
B
A
F
C
E
N
M
D
A
C
B
E
A
B
C
E
F
D
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【例13】如图，点C在线段AB上，在AB的同侧作等边三角形ACM和BCN，连接AN，
BN，若∠MBN=38°，则∠ANB的大小等于 。
【例14】（常州中考）已知，如图，延长△ABC的各边，使得BF=AC,AE=CD=AB,顺次连
接D,E,F，得到△DEF为等边三角形，求证：（1）△AEF≌△CDE;(2)△ABC为等边三角形
【例15】如图，在Rt△ABC中，∠B=90°，∠ACB=60°，D是BC
延长线上一点，且AC=CD,则BC:CD=
【例16】已知，如图，AB是等腰直角三角形ABC的斜边，AD是
∠A的平分线，求证：AC+CD=AB
【例17】（枣庄中考）两个全等的含30°，60°的三角板ADE和三
角板ABC，如图所示放置，E,A,C三点在一条直线上，连接BD,取
BD的中点M,连接ME,MC,试判断△EMC的形状，并说明理由
【例18】如图，Rt△ABC中，AB=AC, ∠A=90°，D为BC上
任意一点，且DF⊥AB于F,DE⊥AC于E,M为BC的中点，试
判断△MEF是什么形状的三角形，并证明你的结论。
N
M
A
C
B
F
E
D
A
C
B
B
A
D
C
A
BCD
D
ECBMA
BC
A
F
E
MD
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练习：
1、下列两个命题：①如果两个角是对顶角，那么这两个角相等；②如果一个等腰三角形有
一个内角是60°，那么这个等腰三角形一定是等边三角形，则以下结论正确的是（ ）
A.只有命题①正确 B.只有命题②正确
C.命题①、②都正确 D.命题①、②都不正确
2、 (四川中考)若等腰三角形一腰上的高和另一腰的夹角为25°，则该三角形的一个底角为
（ ）
A.32.5° B.57.5° C.65°或57.5° D.32.5°或57.5°
3、如图，在△ABC中，AD⊥BC于D,请你再添加一个条件，就可以确定△ABC
是等腰三角形。你添加的条件是：
4、已知：等边△ABC中，如图，E为AB上任意一点，以CE为斜边
作等边△CDE,连结AD,则有AD∥BC,上述结论还成立吗？
5．已知：如图8－10，四边形ABCD中，∠A＝∠B＝90°，∠C＝60°，CD＝2AD，AB＝
4．
（1）在AB边上求作点P，使PC＋PD最小；
（2）求出（1）中PC＋PD的最小值．
A
BC
D
AD
C
B
E