2020年华杯赛试题解析
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2020年华杯赛试题解析
1.解答题（25分）
.
________421
3011612.03266
142.14.27
8
875.05222126.1625.0=++÷⨯+⨯⨯⨯
+⨯⨯【答案】
14
5【知识点】计算，分数裂项【解析】
14
57161615151414131312142
130120112161421301161253320625565127887512255885=-+-+-+-+-=++++=+
+⨯⨯+⨯⨯⨯
+⨯⨯=原式2.2020年鼠年的一次在线趣味课堂上，老师组织六年级一班同学（不到100人）做“微信传数”游戏，游戏规则是：
A 同学心里先想好一个自然数，将这个数乘以2020再加1后微信传给
B 同学；B 同学将A 同学告诉他的数除以2020再加1，将结果微信传给
C 同学；C 同学将B 同学告诉他的数乘以2020再加1，将结果微信传给
D 同学；D 同学将C 同学告诉他的数除以2020再加1，将结果微信传给
E 同学；E 同学将D 同学告诉他的数乘以2020再加1，将结果微信传给
F 同学；……
按照上述规律，序号排在前面的同学继续依次传数给后面的同学，最后一位同学将数传给A 同学，此时游戏结束.如果最后传给A 同学的数是58604，那么参加“微信传数”
的同学共有多少位？A 同学最初想好的自然数是多少？【答案】47；6
【知识点】归纳递推，周期问题【解析】
设A 同学最初所想的数是x ；
B 同学得到的数可以表示为：12020+x ；
C 同学得到的数可以表示为：2020
1
112020)12020(+=+÷+x x ；D 同学得到的数可以表示为：2202012020120202020
1
1
(+⨯+=+⨯+x x ；E 同学得到的数可以表示为：2020
2
212020)20222020(+=+÷+x x ；
F 同学得到的数可以表示为：320202202012020)2020
2
2
(+⨯+=+⨯+x x ；G 同学得到的数可以表示为：2020
3
312020)40432020(+=+÷+x x ；H 同学得到的数可以表示为：420203202012020)2020
3
3(+⨯+=+⨯+x x ；……
令58604)1(20202020=++⨯+n n x ，1+n 个位数字是4，考虑=n 13、23、33、43、53…尝试发现当23=n 时，6=x ，那么A 同学最初所想的数是6，总共有47名同学.3.甲、乙、丙三人分苹果，分法如下：先在三张卡片上写上自然数c b a 、、，其中c b a <<，每一轮分苹果时，每人抽一张卡片，然后把卡片上的数减去a ，得数就是他这一轮分得的苹果数.经过若干轮这种分法后，甲总共分得12个苹果，乙分得9个苹果，丙分得6个苹果，又知丙在各轮中抽到的卡片上写的数字的和是18，问：c b a 、、是哪三个数？为什么？
【答案】10
74===c b a ，，
【知识点】计数，组合
【解析】
每一轮分苹果，三人得到的总数为a
-
+
+
-；
-
+
-
=
a
a2
c
c
b
a
b
a
设总共分苹果n轮，则27
-
⋅
+n
b；
=
c
a
12
9
+
6
)
+
(=
2
考虑n
、都是正整数，则有如下四种可能：
、
c
b
a、
①27
+n
c
b，；
a
1
2=
=
-
②1
a
c
+n
b，；
2=
27
=
-
③9
a
3
b，；
+n
c
2=
=
-
④3
a
c
+n
b，；
2=
-
9
=
丙分到6个苹果，且抽到的数字和是18，则6
na；
=
-na，那么12
18=
n是12的因数，只能取1或3，分类讨论；
当1=n时，12
a，矛盾，舍去；
-a
=
a，这样丙得到的苹果数是0=
当3=n时，4=a，17
c
b，考虑17的分拆方式，分类讨论；
+a
+
2
9=
=
①9
c
-a
=
-
b
a
8
，，凑不出12、9、6；
a，
=
a
b
=c
=
a，
4=
0=
4
，，则5
-
②10
c
-a
=
-
a
b
，，可以凑出12、9、6；
a，
a
=
，，则6
=c
=
4=
-
b
0=
a，
3
7
甲乙丙第一轮630
第二轮360
第三轮306
③11
-a
c
=
-
a
a
，，凑不出12、9、6；
=
a，
b
4=
=c
=
6
b
a，
0=
2
，，则7
-
④12
-a
=
-
=
c
a
a，
a
b
，，凑不出12、9、6；
-
=
4=
0=
=c
5
b
，，则8
1
a，
综上，10
a，
，.
b
4=
7
=
=c
4.在梯形ABCD的底边AD（或其延长线）上任取一点N，过N作平行于对角线