高中“解析几何”常用的数学思想方法
高中数学中的思想方法(通用2篇)
高中数学中的思想方法（通用2篇）高中数学中的思想方法篇一（一）引导学生做到数形有机结合数形结合是将抽象与具体相融合的过程，在这一过程中能够有效实现数与形的优势互补，将二者之间的本质联系凸显出来。
如在学习《圆的面积》一节时，之前学生已对圆有了基本认识，因此，在教学如何计算圆的面积时，教师可先引导学生猜想圆的面积同什么要素有关。
为了让学生有更为直观的感受，教师还可要求学生自己在练习本上分别画出半径是3cm、4cm和5cm的圆。
然后，再询问学生，这三个圆的大小不一样，那它们的面积大小是什么关系呢？是等于还是半径越小的面积越大，或是半径越大圆的面积越大？学生在思考了一下后大都认为半径为5cm的那个圆最大，半径是3cm的圆的面积最小。
在有了这样的认识后，学生就会在头脑中形成圆的面积同半径有关这样一个认识，之后教师就可据此引导学生如何求得圆的面积。
综上所述，在引入圆的面积之前，我先让学生对圆同半径之间的关系有了一个清晰的了解，为了达到这个目的采取的是让学生自己动手将头脑中抽象的东西通过图形展示出来并结合具体的数字印证出来的方法。
这种数形结合的思想方法能够使问题直观化，将学生学习的积极性和主动性调动起来，提高了课堂教学质量。
（二）学会转化，化难为易转化的思想就是用联系、运动和发展的观点去看问题，通过变换问题的形式，把未解决的或复杂的问题归结到已经能解决的或简单的问题中，从而获得对原问题的解决，因此转化的思想方法也叫划归的思想方法。
在数学教学中转化的思想方法随处可见，特别是在解题时，我们可根据已知条件将问题转化，从另一个角度进行思考将难化易。
如在讲完《圆的周长》这一节后，课后习题中有一道题是将长方形和正方形同圆结合起来，让学生在已知半径的情况下分别求出圆、长方形和正方形的周长。
我将这道题中的一个小题做了改编，让学生在已知正方形周长的情况下去求圆的周长。
圆位于正方形内，二者是相切的关系，这就要求学生能够根据正方形的周长求出正方形的边长，而正方形的边长就是圆的直径，再套用周长C=d的公式就能求得圆的周长。
高一数学必修课程中的数学思想方法总结
高一数学必修课程中的数学思想方法总结在高一数学必修课程的学习中，我们接触到了许多重要的数学思想方法。
这些思想方法不仅是解决数学问题的有力工具，更是培养我们数学思维和能力的关键。
下面，让我们一起来总结一下这些宝贵的数学思想方法。
一、函数与方程的思想函数与方程的思想是高中数学中极为重要的思想方法之一。
函数描述了两个变量之间的对应关系，而方程则是含有未知数的等式。
在解决问题时，我们常常将问题中的数量关系构建为函数模型，通过研究函数的性质来找到问题的答案。
例如，对于一个实际问题，我们可以设出相关的变量，建立函数关系式，然后利用函数的单调性、最值等性质来求解。
方程思想则体现在将问题中的等量关系用方程表示出来，通过解方程来求得未知量。
比如，在求解几何问题时，常常可以根据图形的性质列出方程。
函数与方程的思想相互联系、相互渗透。
例如，求函数的零点，就是求解相应方程的根；而利用方程的根的存在性定理，也可以判断函数零点的存在情况。
二、分类讨论的思想分类讨论思想在数学中应用广泛。
当一个问题包含多种情况，不能用统一的方法解决时，就需要进行分类讨论。
比如，在研究函数的单调性时，可能需要根据函数的定义域、参数的取值范围等进行分类讨论。
又如，在解含参数的不等式时，需要根据参数的不同取值范围，分别讨论不等式的解集。
进行分类讨论时，要做到不重不漏。
首先要明确分类的标准，然后对每一类分别进行讨论，最后将结果综合起来。
三、数形结合的思想数形结合就是将抽象的数学语言与直观的图形结合起来，使抽象思维和形象思维相结合。
例如，函数的图象可以直观地反映函数的性质，通过观察函数图象，我们可以很容易地判断函数的单调性、奇偶性、最值等。
在解决方程和不等式问题时，我们也可以将其转化为对应的函数图象，通过图象的交点、位置关系来求解。
另外，在平面几何和解析几何中，数形结合的思想更是体现得淋漓尽致。
通过建立坐标系，将几何问题转化为代数问题，或者利用几何图形的性质来解决代数问题。
常见的数学思想方法
常见的数学思想方法在数学的学习过程中，有哪些常见的思想方法呢?下面是店铺网络整理的常见的数学思想方法以供大家学习。
常见的数学思想方法：分类与整合解题时，我们常常遇到这样一种情况，解到某一步之后，不能再以统一方法，统一的式子继续进行了，因为这时被研究的问题包含了多种情况，这就必须在条件所给出的总区域内，正确划分若干个子区域，然后分别在各个子区域内进行解题，当分类解决完这个问题后，还必须把它们总合在一起，因为我们研究的毕竟是这个问题的全体，这就是分类与整合的思想。
有分有合，先分后合，不仅是分类与整合的思想解决问题的主要过程，也是这种思想方法的本质属性。
高考将分类与整合的思想放在比较重要的位置，并以解答题为主进行考查，考查时要求考生理解什么样的问题需要分类研究，为什么要分类，如何分类以及分类后如何研究与最后如何整合。
特别注意引起分类的原因，我们必须相当熟悉，有些概念就是分类定义的，如绝对值的概念、整数分为奇数偶数等，有些运算法则和公式是分类给出的，例如等比数列的求和公式就分为q=1和q≠1两种情况，对数函数的单调性就分为a>1，0高考对分类与整合的思想的考查往往集中在含有参数的解析式，包括函数问题，数列问题和解析几何问题等。
此外，排列组合的问题，概率统计的问题也考查分类与整合的思想。
随着新课程高考在全国的实施，在新增内容中考查分类与整合的思想，窃以为，是今后几年高考命题的重点之一。
常见的数学思想方法：函数与方程著名数学家克莱因说“一般受教育者在数学课上应该学会的重要事情是用变量和函数来思考”。
一个学生仅仅学习了函数的知识，他在解决问题时往往是被动的，而建立了函数思想，才能主动地去思考一些问题。
函数是高中代数内容的主干，函数思想贯穿于高中代数的全部内容，函数思想是对函数内容在更高层次上的抽象、概括与提炼，是从函数各部分内容的内在联系和整体角度来考虑问题，研究问题和解决问题。
所谓方程的思想就是突出研究已知量与未知量之间的等量关系，通过设未知数、列方程或方程组，解方程或方程组等步骤，达到求值目的解题思路和策略，它是解决各类计算问题的基本思想，是运算能力的基础。
【高中数学】高中数学七大基本思想方法讲解
【高中数学】高中数学七大基本思想方法讲解作者：佚名第一：函数与方程思想(1)函数思想是对函数内容在更高层次上的抽象，概括与提炼，在研究方程、不等式、数列、解析几何等其他内容时，起着重要作用（2）方程思想是解决各种计算问题的基本思想，是计算能力的基础高考把函数与方程思想作为七种重要思想方法重点来考查第二：数形结合的理念：(1)数学研究的对象是数量关系和空间形式，即数与形两个方面（2）在一维空间中，实数与数轴上的点建立一对一的对应关系在二维空间，实数对与坐标平面上的点建立一一对应关系在数与形的结合中，空格的选择和填空侧重于数与形的转换。
在解决问题时，考虑到推理和论证的严格性，以强调从形式到数字的转换第三：分类与整合思想（1）分类是自然科学乃至社会科学研究的基本逻辑方法(2)从具体出发，选取适当的分类标准（3）划分只是一种手段，分类研究是目的(4)有分有合，先分后合，是分类整合思想的本质属性（5）研究具有字母参数的数学问题的分类和整合，注重学生思维的严谨性和彻底性第四：化归与转化思想（1）把复杂的问题变成简单的问题，把更难的问题变成更容易的问题，把未解决的问题变成已解决的问题(2)灵活性、多样性，无统一模式，利用动态思维，去寻找有利于问题解决的变换途径与方法（3）高考注重常见的转换方法：一般与特殊转换、复杂与简单转换、结构转换和命题等价转换第五：特殊与一般思想（1）通过对个案的理解和研究，形成对事物的理解(2)由浅入深，由现象到本质、由局部到整体、由实践到理论（3）从特殊到一般，然后从一般到特殊(4)构造特殊函数、特殊数列，寻找特殊点、确立特殊位置，利用特殊值、特殊方程（5）高考以新的内容为素材，突出考试的特殊性和概括性，必须成为命题改革的方向第六：有限与无限的思想：（1）解决无限问题的唯一途径是把对无限的研究转化为对有限性的研究(2)积累的解决无限问题的经验，将有限问题转化为无限问题来解决是解决的方向（3）在三维几何中，球的表面积和体积是通过分割的方法来求解的。
高中数学常见解题思想方法——思想篇(高三适用)九、分类讨论思想 含解析
分类讨论思想是高中重要数学思想之一,是历年高考数学的重点与难点.突出考察思维的逻辑性、全面严谨性，比如在不等式、数列、导数应用相关的习题中，分类讨论思想很常见。
一、什么是分类讨论思想：每个数学结论都有其成立的条件，每一种数学方法的使用也往往有其适用范围，在我们所遇到的数学问题中，有些问题的结果不能唯一确定,有些问题的结论不能以统一的形式进行研究，还有些含参数的问题,参数的取值不同也会影响问题的结果，那么就要根据题目的要求，将题目分成若干类型，转化成若干个小问题来解决，这种按不同情况分类，然后再对分好的每类逐一研究、解决问题的数学思想，就是分类讨论思想。
二、分类讨论的一般步骤：第一，明确讨论对象，确定对象的取值范围；第二,确定分类标准，进行合理分类，不重不漏;第三，对分好的每类进行讨论,获得阶段性结果；第四,归纳总结，得出结论。
三、分类讨论的常见情形：1.由数学概念引起的分类：有的概念本身就是分类给出的,在不同条件下有不同结论，则必须进行分类讨论求解，如绝对值、指数与对数函数、直线和平面所成的角等。
2.由性质、定理、公式的限制引起的分类：有的数学定理、公式、性质是分类给出的，在不同条件下结论不一致，如二次函数y=ax2+bx+c(a≠0）,由a的正负而导致开口方向不确定；等比数列前n项和公式因公比q是否为1而导致公式的表达式不确定等.3。
由某些数学运算要求引起的分类讨论：如解不等式ax2+bx+c ＞0，a=0，a＜0,a＞0解法是不同的；除法运算中除数不为零，偶次方根为非负，对数真数与底数的要求，指数中底数的要求，不等式两边同乘以一个正数、负数时不等号的方向，三角函数的定义域等．4。
由图形引的不确定性起的分类：有的图形的类型、位置需要分类，比如角的终边所在象限;立体几何中点、线、面的位置关系等。
5.由实际意义引起的分类：此类问题在实际应用题中常见.特别是在解决排列、组合中的计数问题时常用．6。
由参数变化引起的分类:如含参数的方程、不等式,由于参数的取值不同会导致所得结果不同，所以必须对参数的不同取值进行分类讨论；或对于不同的参数值运用不同的求解或证明方法．四、下面我们通过几种具体问题来看看常见的分类讨论情形：1。
空间解析几何的证明方法与技巧
空间解析几何的证明方法与技巧空间解析几何是数学中的一个重要分支，用于研究空间内点、线、面之间的位置关系以及它们之间的运动规律。
在解析几何的证明中，方法与技巧的选择至关重要，它们可以帮助我们更加准确、简洁地表达出数学思想。
本文将介绍一些常用的空间解析几何的证明方法与技巧，帮助读者更好地理解和运用空间解析几何。
一、向量法向量法是空间解析几何中常用的证明方法之一。
利用向量的性质和运算规则，可以简洁地表达出点、线、面之间的关系。
在证明过程中，可以通过引入合适的参照系，将几何问题转化为代数问题，从而利用向量的运算性质进行推导。
例如，在证明空间中两直线垂直时，可以通过求两条直线上的向量的点乘为零来得出结论。
二、参数方程法参数方程法是另一种常用的证明方法。
对于平面或曲线，我们可以通过引入参数来表示其上的任意一点。
通过选择合适的参数范围和参数变化规律，可以简化几何问题的证明过程。
例如，在证明平面上的两条直线平行时，可以通过设定两条直线上的点在参数方程中的对应关系，从而推导出它们的斜率相等。
三、平面解析几何的应用空间解析几何中的很多问题可以转化为平面上的问题进行证明。
例如，在证明两条直线垂直时，可以将问题投影到某个平面上，然后利用平面解析几何的方法进行证明。
这种方法在处理平行问题、共线问题等方面也非常有用。
通过将空间问题转化为平面问题，可以更加直观地理解几何关系，简化证明过程。
四、几何推理与等式转化在空间解析几何的证明中，几何推理和等式转化是常用的技巧。
通过运用几何推理，比如利用角的性质、线段的长度关系等，可以得出结论。
同时，巧妙地利用等式转化的方法，可以简化运算过程，减少繁琐的计算。
例如，在证明两个向量平行时，可以将向量相等的条件转化为向量的分量相等的等式，从而得出结论。
五、利用几何图形与特殊点在证明过程中，可以通过绘制几何图形，或者利用特殊点的性质来简化问题。
通过观察几何图形的特点，可以找到一些隐藏的规律，并且利用这些规律进行证明。
高中数学必修2解析几何初步教材分析及教学建议之一
高中数学必修2《解析几何初步》教材分析及教学建议之一三明九中李宇宙一、解析几何内容的设计：1. 几何的内容按三个层次设计（1）必修课程中的几何，主要包括：立体几何初步、解析几何初步、平面向量、解三角形等。
（2）选修系列1、系列2中的几何，主要包括：圆锥曲线与方程、空间向量与立体几何。
（3）选修系列3、系列4（专题）中的几何．主要包括：球面上的几何、坐标系与参数方程、几何证明选讲等。
2．解析几何内容的变化突出了用代数方法解决几何问题的过程，同时也强调代数关系的几何意义。
解析几何的内容也是分层次设计的：在必修课程中，主要是直线与方程、圆与方程；圆锥曲线与方程的内容则放在选修系列1、系列2中。
3．必修2削弱的内容两条直线的位置关系（删除了两条直线的夹角）等。
4．必修2增删的内容(1) 解析几何增加的内容：直线与圆、圆与圆的位置关系；空间直角坐标系(2) 解析几何删除的内容：曲线与方程；圆的参数方程；圆锥曲线；线性规划移至必修5(第三章)不等式部分二、数学必修2《解析几何初步》的教学建议认真把握教学要求教学中，注意控制教学的难度，避免进行综合性强、难度较大的数学题的训练，避免在解题技巧上做文章。
关注重要数学思想方法的教学重要的数学思想方法不怕重复。
《标准》要求“坐标法”应贯穿平面解析几何教学的始终，帮助学生不断地体会“数形结合”的思想方法。
在教学中应自始至终强化这一思想方法，这是解析几何的特点。
教学中注意“数”与“形”的结合，在通过代数方法研究几何对象的位置关系以后，还可以画出其图形，验证代数结果；同时，通过观察几何图形得到的数学结论，对结论进行代数证明，即用解析方法解决某些代数问题，不应割断它们之间的联系，应避免只强调“形”到“数”的方面，而忽视“数”到“形”的方面。
关注学生的动手操作和主动参与学习方式的转变是课程改革的重要目标之一。
教学中，注意适当给学生数学活动和交流的机会，引导他们在自主探索的过程中获得知识、增强技能、掌握基本的数学思想方法。
中学数学中几种常用的数学思想方法
中学数学中几种常用的数学思想方法发表时间：2010-12-20T13:33:55.217Z 来源：《少年智力开发报》2010年第6期供稿作者：刘娟娟[导读] 随着科学技术的不断发展，数学也从原始形态的数量关系向抽象化的数量关系发展。
山西省朔州市平鲁区李林中学刘娟娟数学是研究现实世界中数量关系和空间形成的一门科学。
随着科学技术的不断发展，数学也从原始形态的数量关系向抽象化的数量关系发展。
在发展的过程中，不仅建立了严密的理论体系，而且形成了一整套的数学思想方法。
本文结合有关的例题，对数学中常用的几种思想方法作一番探讨。
一、数形结合的思想方法数形结合思想方法就是把抽象的数学符号语言和直观的几何图形联系起来，把抽象思维与形象思维相结合，通过“以形助数” 、“以数解形” ，使抽象问题具体化，复杂问题简单化，从而达到解答目的。
数形结合应用甚广，不仅在解选择题、填空题中显示它的优越性，而且在解某些抽象数学问题时也起到事半功倍的效果。
“以数解形”是解析几何的主线，“以形助数” 是数形结合的研究重点。
如何“以数转形”是数形结合的关键，图解法是数形结合的具体体现。
数形结合是近年中、高考重点考查的思想方法之一。
下面我们结合下面的例子作简单的分析：例1. 已知 0<a<1，则方程的实根个数为( )A. 1个B. 2个C. 3个D. 1个或2个或3个分析：判断方程根的个数就是判断图像两个函数图像，易知两图象只有两个交点，故方程有2个实根，选（B）。
二、函数思想方法函数思想是数学思想的重要组成部分，在高中数学中起到横向联系和纽带连结的主干作用。
用变量和函数来思考问题的方法就是函数思想。
这是一种运动变化和相依关系，以一种状态确定地刻划另一种状态，把它们过渡到研究变化过程的思想方法。
函数思想是函数概念、性质等知识更高层次的提炼和概括，是知识和方法在反复学习与运用中抽象出来的，且带有观念性的指导方法。
函数的思想就是用运动和变化的观点，分析和研究数学问题。
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“解析几何”中常用的数学思想方法”
数学思想是数学的灵魂，是将知识转化为能力的桥梁，也是解决问题的思维策略．《解
析几何》内容中蕴含着丰富的数学思想，例谈如下：
1.数形结合的思想
数形结合是研究曲线与方程的最重要的思想方法．应用数形结合思想，就是充分考查
数学问题的条件和结论之间的内在联系，既分析其代数意义又揭示其几何意义，将数量关
系和空间形式巧妙结合，来寻找解题思路，使问题得到解决.
例1．如图,圆O1与圆O2的半径都是1,O1O2=4,过动点P分别作圆O1、圆O2的切线PM、
PN（M、N分别为切点），使得2PMPN,试建立适当的坐标系，并求动点 P的轨迹
方程．
思路分析：本题是解析几何中求轨迹方
程问题，由题意建立坐标系，写出相关点
的坐标，由几何关系式：ＰＭ＝PN2,
即 ＰＭ２＝２ＰＮ２，结合图形由勾股定
理转化为：)1(212221POPO,设
P(x,y),由距离公式写出代数关系式,化简整理得出所求轨迹方程
解：以O1O2的中点O为原点，O1O2所在直线为x轴，建立如图所示平面直角坐标
系，则O1（-2，0），O2（2，0），由已知：ＰＭ＝PN2,即ＰＭ２＝２ＰＮ２，因为两圆的
半径都为1,所以有：)1(212221POPO，设P（x,y）则（x+2）2+y2-1=2[(x-2)2+y2-1]，
即33)6(22yx
综上所述，所求轨迹方程为：33)6(22yx（或031222xyx）．
2.分类讨论的思想
所谓分类讨论，就是当问题所给的对象不能进行统一研究时，就需要对研究对象按某
个标准分类，然后对每一类分别研究得出每一类的结论，最后综合各类结果得到整个问题
的解答。实质上，分类讨论是“化整为零，各个击破，再积零为整”的数学策略。
例2．在平面直角坐标系中，已知矩形ＡＢＣＤ的长为２，宽为１，ＡＢ、ＡＤ边分别在
ｘ轴、ｙ轴的正半轴上，Ａ点与坐标原点重合（如图５所示）．将矩形折叠，使Ａ点落在
线段ＤＣ上．
（Ⅰ）若折痕所在直线的斜率为ｋ，试写出折痕所在直线的方程；
（Ⅱ）求折痕的长的最大值。
P M N O1 O2 O y
x
2
解(I) （1）当0k时,此时A点与D点重合, 折痕所在的直线方程21y.
（2）当0k时，将矩形折叠后A点落在线段CD上的点为G(a,1)
所以A与G关于折痕所在的直线对称，有kakakkOG11,1
故G点坐标为)1,(kG，从而折痕所在的直线与OG的交点坐标（线段OG的中点）为
)21,2(kM，折痕所在的直线方程)2(21kxky
，即222kkkxy
由（1）（2）得折痕所在的直线方程为：k=0时，21y；0k时222kkkxy
（II）(1)当0k时，折痕的长为2;
(1) 当0k时, 折痕所在的直线与坐标轴的交点坐标为)0,21(),21,0(22kkPkN
2
32222
2
4)1()21()21(k
kkkkPNy
4
32222
/
168)1(42)1(3k
kkkkky
令0/y解得22k ∴21627maxPN
所以折痕的长度的最大值2。
3.参数思想
参数法解题的关键是恰到好处地利用或引进参数，沟通已知和未知之间的内在联系，
利用参数提供的信息，顺利地解答问题。
例3．已知直线(a-2)y=(3a-1)x-1 (1)求证无论a为何值，直线总过第一象限．(2)
为使这直线不过第二象限，求a的范围．
解：(1)将方程整理得为a(3x-y)+(-x+2y-1)=O
对任意实数a，所给直线恒过直线3x-y=O与x-2y+1=0的交点(51，53)，
∴直线系恒过第一象限内的定点(51，53)；
(2)当a=2时，直线为x=51不过第二象限；当a≠2时，直线方程化为：
y=213aax-21a，不过第二象限的充要条件为0210213aaa 或 0210213aaa a>2，总
之，a≥2时直线不过第二象限．
4.待定系数法的思想：根据给定条件求直线和圆方程时，待定系数法和代点法是常用
的方法．
例4．条件：(1)截y轴弦长为2.(2)被x轴分成两段圆弧，其弧长之比为3:1.
在满足(1)(2)的所有圆中，求圆心到直线02:yxl距离最小时圆的方程.
解：设所求圆的方程为：222)()(byax，则由截y轴的弦长为2得
22
a
由被x轴分成两段圆弦，其弧长之比为22)2(21:3b，∴1222ab
圆心)(ba、到直线02yx的距离52bad
即12)(2444)2(52222222222abbabaabbabad
2
ba
1a 1a
当且仅当 即 或 时，取“=”
1222ab 1b 1b
∴55mina ， 此时22b
所以，所求圆的方程为2)1()1(22yx或2)1()1(22yx
5.函数、方程、不等式思想
函数与方程思想是最重要的一种数学思想，高考中所占比重较大，综合知识多、题型
多、应用技巧多.函数思想即将所研究的问题借助建立函数关系式或构造中间函数，结合
初等函数的图象与性质，加以分析、转化、解决有关求值、解方程以及讨论参数的取值范
围等问题；方程思想即将问题中的数量关系运用数学语言转化为方程模型加以解决.
例5. 两条平行直线分别过点P(-2，-2)，Q(1，3)，它们之间的距离为d，如果这两
条直线各自绕点P、Q旋转并互相保持平行．
(1)求d的变化范围．
(2)用d表示这两条直线的斜率．
(3)当d取最大值时，求这两条直线的方程．
解 当过P、Q的两条直线的斜率为O时， d=5；当这两直线斜率不存在，即与x轴
垂直时， d=3． 设l1：y+2=k(x+2)；l2：y-3=k(x-1)
(1)由平行线间的距离公式得d=1|53|2kk
即(d2-9)k2+30k+d2-25=O „„① 由△=900-4(d2-9)(d2-25)≥O，得O
(3)当d=34时,k=-53
∴l1：y+2=-53(x+2)， l2：y-3=-53(x-1)。
长期以来，中学师生
身处应试教育的怪圈，教师和学生会不由自主地陷入"题海"之
中，教师担心某种题型没讲，高考时做不出，学生怕少做一道题，万一考了损失太惨
重，在这样一种氛围中，往往忽视了数学思想方法的培养。在数学学习中，如果有了
正确的数学思想方法，采取了恰当的数学思维策略，能有效地帮助学生理解数学的本
质，掌握好高中数学。
徐贻林，邮编215011，身份证号320821196307280113