等腰三角形性质

等腰三角形性质

【基础知识精讲】

等腰三角形是一种特殊的三角形,是我们重点研究的几种三角形之一.它具有一些特殊性质:

1.两个底角相等(简写为“等边对等角”)

2.底边的中线、高及顶角平分线三线合一.

3.等边三角形各内角都等于60°.

利用这些性质，可以解决有关三角形的边、角的证明及计算问题，也可以利用性质来进行有关线段、角的证明及计算问题.

【重难点解析】

本节重难点均在对等腰三角形性质的掌握与灵活应用上，利用性质，结合三角形有关知识及全等三角形判定及性质解决相关问题是本节研究的重点.

例1 求证：等腰三角形两腰的中线相等.

已知△ABC 中AB=AC ，BD 、CE 为中线，求证BD=CE.

分析 要证BD=CE ，可考虑证△ABD ≌△ACE ，而∠A 为公共角，

AB=AC ，所以只需证明AD=AE 即能达到证明目的.

证 ∵AB=AC, AE=EB, AD=DC

∴AE=AD.在△ABD 和△ACE 中，AB=AC ，∠A=∠A AD=AE

∴△ABD ≌△ACE ∴BD=CE.

例2 等腰三角形一个外角为100°,求三内角度数.

分析 本题利用三角形内角和及等腰三角形性质等边对等角，但要注意本题中外角是顶角的外角，还是底角的外角，在两种不同位置时，求得的结果不一样，本题有两解. 解 ∵等腰三角形

∴两底角相等，设顶角为x ，底角为y ，则x+2y=180°

(1)当顶角的外角为100°时，顶角的外角等于两底角之和

∴2y=100°求得⎩

⎨⎧︒=︒=5080y x (2)当底角的外角为100°时，底角y=180°-100°=80°求得⎩⎨⎧︒

=︒=8020y x

∴三内角为80°,50°,50°或20°，80°，80°

* 例3△ABC中，AC＞AB.求证：∠B＞∠C.

证∵AC＞AB ∴在AC上取AD=AB，连BD，

∵∠ADB＞∠C.

且∠ABD=∠ADB

又∵∠ABC＞∠ABD

∴∠ABC＞∠C.

注意：本例是三角形中边角之间不等关系的一个重要结论：三角形中，若边不相等，则较大的边所对的角也较大，(简写为“大边对大角”)这一结论可帮助我们利用边的不等关系，证明角的不等关系.

例4 △ABC中，∠B=2∠C，AD为角平分线.

求证 AB+BD=AC.

分析对于要证的结论，可采用补短法来完成，即延

长AB至E，使BD=BE下只需证AE=AC即可.

∴AB+BD=AB+BE=AE.

证一延长AB至E，使BE=BD

∴AB+BD=AE. ∵BE=BD

∴∠E=∠EBD ∠ABC=∠E+∠BDE=2∠E=2∠C.

∴∠E=∠C,在△ABE的△ACD中，∠EAD=∠CAD. ∠E=∠C AD=AD

∴△AED≌△ACD ∴AE=AC ∴AB+BD=AC.

证二分析：本题也可用“截长”的方法来证明

∵∠B=2∠C＞∠C.

∴可在AC上取AF=AB，下面只需证FC=BD即可，再利用DF作桥梁，证明BD=DF=FC.

证∵∠B=2∠C＞∠C ∴AC＞AB,在AC上取AF=AB.

又∵∠1=∠2.AD=AD

∴△ABD≌△AFD. ∴BD=FD. ∠AFD=∠B=2∠C.

∴∠FDC=∠C. ∴AB+BD=AF+FC=AC.

【难题点拨】

例1 D为等边三角形△ABC内一点，DA=DB，∠DBP=∠=BC，求∠P的度数.

分析 正三角形内角为60°，可考虑将∠P 与三角形内角进行联系，借用内角60°以达解题目的，连DC 后易得△PBD ≌△CBD ，从而将求∠P 转

化为求∠DCB.

解 连DC ∵BP=BC ∠PBD=∠CBD BD=BD

∴△PBD ≌△CBD.

∴∠P=∠DCB. 又BD=AD CD=CD AC=BC

∴△BCD ≌△ACD

∴∠BCD=∠ACD=21∠ACB=2

1×60°=30° ∴ ∠P=30°

* 例2 △ABC 中AB=AC ，P 为形内一点，且PB ＞PC.

如图,求证∠APC ＞∠APB.

分析 这一类在等腰三角形、等边三角形等图形中出现的与

形内一点相关的问题.常利用适当的旋转.使等边重合.将该点与

三顶点的连线段相对集中到一个三角形内，再设法利用已知来解

决问题.

证 ∵AB=AC ∴将△ABP 绕A 点逆时针旋转，使AB 与AC 重合得△AP ′C ，连PP ′由作图△ABP ≌△ACP ′

∴AP=AP ′，BP=CP ′

∴∠1=∠2 ∠APB=∠AP ′C ，P ′C=BP ＞PC.

在△PP ′C 中，P ′C ＞PC

∴∠3＞∠4 ∠1+∠3＞∠4+∠2.

∴∠APC ＞∠AP ′C ∴∠APC ＞∠APB.

本题利用了“大边对大角”这一结论。

【难题解答】

求证：等腰三角形两腰上的高的交点，与底边两端点距离相等.

已知△ABC 中AB=AC ，高BE ，CF 交于D(或延长线交于D)，求证：DB=DC.

甲 乙 丙

分析 本题应考虑∠A 的各种情况.

①∠A=90°时(图丙)，两高各与边重合，显然结论成立.

②∠A ＜90°时(图甲)，D 在形内，此时先证△BFC ≌△CEB(AB=AC ，∠ABC=∠ACB ，∠CEB=∠BFC=90°，BC 为公共边)得BF=CE ，再证△BFD ≌△CED ，得DB=DC.

③当∠A ＞90°时(图乙)，D 在形外，证法步骤②一样，但图形中相关线段位置发生了变化.

【典型考题】

例1 周长为21，边长都为整数的等腰三角形共有( )

A.4个

B.5个

C.8个

D.10个

分析 设底边为x,腰长为y ，∴x+2y=21.

∵2y 为偶数，21为奇数 ∴x 为奇数.

又三角形两边之和大于第三边 ∴x ＜2y.

x+2y ＞2x 2x ＜21 x ＜10.5.

x 为奇数 ∴x=1，3，5，7，8 共5个 答案B.

注 x=7时，y=7为等边三角形，属特殊等腰三角形.

例2 如图， D 、E 在△ABC 的边BC 上，且AD=AE=BD=DE=EC.

则∠BAC 是∠EAC 的几倍？

分析 从等边△ADE 入手，得∠ADE=∠AED=60°,再

利用△ABD 和△AEC 为等腰三角形，且顶角的外角∠ADE=

∠AED=60°.求出∠EAC 再求∠BAC.

解 ∵AD=AE=DE ∴△ADE 为等边三角形

∴∠ADE=∠AED=∠DAE=60°又AE=EC ，AD=DB

∴∠BAD=∠B=21∠ADE=30°∠EAC=∠C=2

1∠AED=30° ∴∠BAC=120° ∴∠BAC 是∠EAC 的4倍.