三角形内角和定理及推论

三 角 形内 角和定理及推论

阅读下列文字，结合本章学过的数学知识，按要求在横线上补全内容。

一、三角形三个内角的关系

三角形三个内角的和等于_____.在小学，我们已通过下列三种实验，观察猜想得到。

⑴ 折叠 本册教材P 70图______示意。（填图序号。下同）

（2）剪拼 本册教材P 70图______示意或本册教材 P 75图______示意。

（3）度量

实际上，有可能：

折叠时，边缝不易平齐，难以拼成一个平角;

剪拼时，发现三个内角难以拼成一个平角，只是接近180°的某个角；

度量三个角，然后相加，有的接近179°，有的接近181°，不是很准确地都得180°。

以致于怀疑我们的猜想：三角形的内角的和等于180°。

事实上，它是真命题，并且曾多次运用它求三角形内角的度数。要判断它的“真“，必须进

行 _________。

二、证明三角形的内角的和等于180°

1、分析 要想求得三角形的内角的和等于180°，三角形纸片的折叠、剪拼过

程给我们这样的提示：

把三角形三个分散的角，全部或部分适当地集中起来，利用平角定义或两直

线平行，同旁内角互补来证明。这就需要在原来的图形上，添画一些线，转化为

易于证明的情况。

为了证明的需要，在原来的图形上添画的线，叫做__________.为了区别

于原图形中的线，辅助线一般画成____线。

由剪、拼角给我们的提示，得到辅助线的添法，如图（1）、（2）、（3）、（4） 所示。

（2） （1） 图（1）：剪掉三个角，拼接在它的一边BC 上，∠B 放在∠CDF 上，∠C 放在∠BDE

上

图（2）剪掉两个角（∠A 与∠B ），拼接在它的顶点C 处，其中∠A 放在∠1上

E

B

C A D

图（3）剪掉两个角（∠B 与∠C ）,拼接在它的顶点A 处，∠B 放在∠BAD 上

（3） （4）

图（4）剪掉∠C 放在∠DAC 上。

作辅助线是几何证明常用的方法，在书写几何证明时，首先应该写明辅助线的画法。上面四

个图辅助线的添法，可用下面的几何语言表达：

1、作BC 的延长线CD ，在△ABC 的外部，以CA 为一边，CE 为另一边，画∠1=∠A 。< >

2、作BC 的延长线CD ，过C 点作CE ∥AB 。 < >

3、过A 点作DE ∥BC 。 < >

4、过A 点作射线AD ∥BC 。 < >

5、在BC 上任取点D ，过D 作DE ∥AC 交AB 于E ，DF ∥AB 交AC 于F 。 < > 请在上面五句话后面的< >内填上对应的图号。

2.证明：

请你根据图（4）证明“三角形的内角的和等于180°”

至此，我们明白，“三角形的内角的和等于180°”是一个真命题，并且，常被选作解决其他

问题的依据，所以课本上，把它称之为_______。

三角形内角和定理

表达式： △ABC 中

∠A+∠B+∠C=180°（三角形内角和定理）

根据图（3），证明三角形内角和定理：______________________________________________.

三．

推论1：直角三角形的两个锐角互余。

表达式∵在Rt △ACB 中，∠C=90°（已知）

∴∠A+∠B=90°（直角三角形的两个锐角互余） 推论2：有两个角互余的三角形是直角三角形。

表达式：∵△ACB 中，∠A +∠B=90°

∴∠C=90°（即 △ACB 是直角三角形） 推论3：三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和。

表达式：△ACB 中，∠ACD=∠A +∠ B

推论4：三角形的一个外角大于任何一个和它不相邻的内角。

表达式：△ACB 中，∠ACD ＞∠A ，∠ACD ＞∠B

结合教材P 82内容，解决下列问题：

1._____________________________________________________________叫做三角形

的外角。注意：同一顶点处虽然有两个外角，但我们通常指一个。

在上图中，延长CA 到点E,得到内角∠BAC 相邻的外角∠BAE ，再根据推论3、

推论4，分别写出它们各自的几何表达式。

E B C B

推论3的：________________________________________________

推论4的：_________________________________________________

2证明上面四个推论：

推论1：_____________________________________________________

推论2：______________________________________________________

推论3：______________________________________________________

推论4：______________________________________________________

四三角形内角和定理及其推论的应用

1.三角形内角和定理及推论的作用

1）在三角形中，利用三角形内角和定理，已知两角求第三角或已知各角之间的关系求各角。

2）在直角三角形中，已知一个锐角利用推论1求另一个锐角或已知两个锐角的关系，求这两个锐角。另外，推论1常与同角（等角）的余角相等结合来证角相等。

3）利用推论4证三角形中角的不等关系。

2.阅读例题

例1.已知：如图02-13△ABC中，∠C=90°，∠BAC，∠ABC的平分线AD、BE交于点O，求：∠AOB的度数。

另解：同上可得到∠1+∠2=45°

∴∠3=∠1+∠2=45°（三角形外角等于和它不相邻的两个内角和）

∵∠AOB+∠3=180°（平角定义）

∴∠AOB=180°-∠3=180°-45°=135°

∴∠AOB=135°

例2．AB与CD相交于点O，求证：∠A+∠C=∠B+∠D

思路分析：在△AOC中，

∠A+∠C+∠AOC=180°（三角形内角定理）

在△BOD中，∠B+∠D+∠BOD=180°（三角形内角和定理）

∴∠A+∠C+∠AOC=∠B+∠D+∠BOD（等量代换）