2017年辽宁省丹东市高三总复习质量测试(一)理科数学试题及答案

丹东市高三总复习质量测试（一）数学（理科）本试卷分第I 卷(选择题)和第II 卷(非选择题)两部分，第I 卷1至3页，第II 卷4至6页．其中第II 卷第(22)题～第(24)题为选考题，其它题为必考题．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回．第I 卷一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．（1）在复平面内，复数11z i=-所对应的点在 （A ）第一象限 （B ）第二象限 （C ）第三象限（D ）第四象限（2）已知集合{|2}A x x =≥，2{|2}B x x m =≤，且A B ⊆R ð，那么m 的值可以是（A ）1 （B ）0 （C ）1- （D ）（3）已知向量(1,2)=a ,b (1,0)=,c (3,4)=,若()x ⊥b a c +，则实数x =（A ）311-（B ）113-（C ）12（D ）35（4）下列结论中正确的是（A ）若两个变量的线性相关性越强，则相关系数的绝对值越接近于0（B）在某项测量中，测量结果ξ服从正态分布2(1,)Nσ(0)σ>，若ξ位于区域(0,1)的概率为0.4，则ξ位于区域(1,)+∞内的概率为0.6（C）从匀速传递的产品生产流水线上，质检员每10分钟从中抽取一件产品进行某项指标检测，这样的抽样是分层抽样（D）利用随机变量2χ系”时，算出的2χ把握就越大（5）给出右面的程序框图则输出的y值是（A）2-（B）1-（C）0（D）1（6）某由圆柱切割获得的几何体的三视图如图所示，其中俯视图是中心角为60︒的扇形，则该几何体的侧面积为（A）10123π+（B）1063π+（C）122π+（D）64π+正视图侧视图俯视图（7）如图，从气球A 上测得正前方的河流的两岸B ，C 的俯角分别为75 ，30 ，此时气球的高是60m ，则河流的宽度BC 等于（A）1)m （B）1)m （C）1)m（D）1)m（8）设,x y 满足约束条件70310350x y x y x y +-≥⎧⎪-+≤⎨⎪--≥⎩，则2z x y =+的最小值为（A ）5 （B ）8（C ）10 （D ）12（9）在平面直角坐标系中，点(3,)M m 在角α的终边上，点(2,4)N m 在角4πα+的终边上，则m =（A ）6-或1 （B ）1-或6 （C ）6（D ）1（10）如图所示，函数()sin()(0,||)2f x x πωϕωϕ=+><的部分图象，已知12,(,)3x x ππ∈，且12()()f x f x =，则12()f x x +=（A ）1- （B）（C ）12（D）2（11）经过双曲线22221(0)x y a b a b-=>>的右焦点为F作该双曲线30° AB C75° 60m一条渐近线的垂线与两条渐近线相交于,M N 两点，若O 是坐标原点，△OMN 的面积是223a ，则该双曲线的离心率是（A ）2（B （C （D （12）关于函数2()(ln )f x x x a a =-+，给出以下4个结论：①0,0,()0a x f x ∃>∀>≥； ②0,0,()0a x f x ∃>∃>≤； ③0,0,()0a x f x ∀>∀>≥； ④0,0,()0a x f x ∀>∃>≤． 其中正确结论的个数是 （A ）0（B ）1（C ）2（D ）3第II 卷本卷包括必考题和选考题两部分，第（13）题~第（21）题为必考题，每个试题考生都必须做答．第（22）题～第（24）题为选考题，考生根据要求做答．二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分． （13）51(2)2x y -的展开式中23x y 的系数是 ．（14）已知()f x ，()g x 分别是R 上的奇函数和偶函数，若2()()log (12)x f x g x +=+，则(1)f = ．（15）已知抛物线C ：22(0)y px p =>的焦点是F ，点(0,2)M ，线段MF 与C 的交点是N ，过N 作C 准线的垂线，垂足是Q ，若90MQF ∠= ，则p = ．（16）四面体ABCD 的体积是16，△ABC 是斜边2AB =的等腰直角三角形，若点A ，B ，C ，DD 与AB 中点的距离是 ．三、解答题：本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． （17）（本小题满分12分）数列{}n a 满足11a =，22a =，2122n n n a a a ++=-+． （I ）设1n n n b a a +=-，证明{}n b 是等差数列； （II ）求{}n a 的通项公式．（18）（本小题满分12分）如图，正三棱柱111ABC A B C -中，底面边长为2， D 为11AC 中点．（I ）求证：1BC ∥平面1AB D ； （II ）求二面角11A AB D --的余弦值．（19）（本小题满分12分）某校理科实验班的100名学生期中考试的语文数学成绩都不低于100分，其中语文成绩的频率分布直方图如图所示，成绩分组区间是：[100,110），[110,120），[120,130），[130,140），[140,150]．ABCDA 1B 1C 1这100名学生语文成绩某些分数段的人数x 与数学成绩相应分数段的人数y 之比如下表所示：（I ）估计这100名学生数学成绩的中位数； （II ）从数学成绩在[130，150] 的学生中随机选取2人，该2人中数学成绩在[140，150]的人数为X ，求X 的数学期望EX ．（20）（本小题满分12分）已知椭圆22221(0)x y a b a b +=>>的右焦点为2(1,0)F ，点(2,3H 在椭圆上．（I ）求椭圆的方程；)（II ）点M 在圆222x y b +=上，且M 在第一象限，过M 作圆222x y b +=的切线交椭圆于P ,Q 两点，求证：△2PF Q 的周长是定值．（21）（本小题满分12分）已知1x =是函数()1(1)ln()f x x kx =+-的极值点，e 自然对数底数．（I ）求k 值，并讨论()f x 的单调性；（II ）是否存在(1,)m ∈+∞，使得当a m >时，不等式()ln()ln x a x a x ae a ++<对任意正实数x 都成立？请说明理由．请考生在第（22）、（23）、（24）三题中任选一题做答，如果多做，则按所做的第一题记分．做答时用2B 铅笔在答题卡上把所选题目对应题号右侧的方框涂黑． （22）（本小题满分10分）选修4-1：几何证明选讲已知A ，B ，C ，D 为圆O 上的四点，直线DE 为圆O 的切线，D 为切点，AC ∥DE ，AC与BD 相交于H 点．（I ）求证：BD 平分∠ABC ；（II ）若AB ＝4，AD ＝6，BD ＝8，求AH 的长．（23）（本小题满分10分）选修4-4：坐标系与参数方程在直角坐标系xOy 中，以坐标原点O 为极点，x 轴的正半轴为极轴，建立极坐标系，曲线C 的极坐标方程为2cos()604πρθ--+=．（I ）求C 的参数方程；（II ）若点(,)P x y 在曲线C 上，求x y +的最大值和最小值．（24）（本小题满分10分）选修4-5：不等式选讲已知关于x 的不等式|1|||1(0)ax ax a a -+-≥>． （I ）当1a =时，求此不等式的解集；（II ）若此不等式的解集为R ，求实数a 的取值范围．丹东市高三总复习质量测试（一） 数学（理科）试题参考答案与评分参考说明：一、本解答给出了一种或几种解法供参考，如果考生的解法与本解答不同，可根据试题的主要考查内容比照评分标准制订相应的评分细则。

二、对解答题，当考生的解答在某一步出现错误时，如果后继部分的解答末改变该题的内容和难度，可视影响的程度决定后继部分的给分，但不得超过该部分正确解答应得分数的一半；如果后继部分的解答有较严重的错误，就不再给分。

三、解答右端所注分数，表示考生正确做到这一步应得的累加分数。

四、只给整数分数，选择题和填空题不给中间分。

一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．（1）A （2）B （3）A （4）D （5）C （6）C（7）B （8）C （9）D （10）D （11）C （12）D（11）题引申：如果把题中的“0a b >>”改成“0,0a b >>”，（12）题①②④是正确的．二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．（13）20- （14）12（15 （16）三、解答题：本大题共6小题，共70分． （17）（本小题满分12分） 解：（I ）由2122n n n a a a ++=-+得1211122222n n n n n n n n n b b a a a a a a a +++++-=-+=-+-+=，∴{}n b 是首项为1，公差为2的等差数列； …………（6分）（II ）由（I ）得21n b n =-，于是121n n a a n +-=-，当2n ≥时，213211[()()()]n n n a a a a a a a a -=-+-++-+[(13(23)]1n =+++-+2(1)1n =-+而11a =，∴{}n a 的通项公式2(1)1n a n =-+． …………（12分）【注意】“累加”法，不要忘记验证1n =情形． （18）（本小题满分12分）（I ）证明：如图，连结A 1B 与AB 1交于E ，连结DE ，则E 为A 1B 的中点，∴BC 1∥DE ，DE ⊂平面1AB D ，1BC ⊄平面1AB D ， ∴1BC ∥平面1AB D ； …………（6分） （II ）方法1：过D 作DF ⊥A 1B 1于F ，由正三棱柱的性质，AA 1⊥DF ， ∴DF ⊥平面ABB 1A 1，连结EF ，DE ， ∴DE ⊥AB 1，∴可得EF ⊥AB 1，则∠DEF 为二面角A 1－AB 1－D 的平面角， …………（8分）在正三角形A 1B 1C 1中，∵D 是A 1C 1的中点，∴1112B D A B =＝ 又在直角三角形AA1D 中，∵AD ＝AA 21＋A 1D 2∴AD ＝B 1D，可求得2DF =，∵△B 1FE ∽△B 1AA 1，得2EF =， ∴cos ∠DEF ＝22，即二面角A 1－AB 1－D 的余弦值为22．…………（12分） 方法2：建立如图所示空间直角坐标系， 则(0,1,0)A -，1(0,1B ，1(C，1(0,1A -，1(2D -，∴1AB ＝（0，1，1BDa ，－32,0），设n 1＝（x ，y ，z ）是平面AB 1D 的一个法向量，则可得 ⎩⎪⎨⎪⎧n 1·AB 1＝0n 1·B 1D ＝0，即20,30.2y x y ⎧=⎪⎨-=⎪⎩． ∴n 1＝（－3，1，－2）．1(2D - ， 又平面ABB 1A 1的一个法向量n 2＝OC0,0）， 设n 1与n 2的夹角是θ，则 cos θ＝n 1·n 2|n 1|·|n 2|＝22，又可知二面角A 1－AB 1－D 是锐角，∴二面角A 1－AB 1－D 的余弦值为22．…………（12分） （19）（本小题满分12分）解：（I ）∵140.0520.40.30.70.523⨯+⨯+⨯=>，0.70.50.2-=，∴这100名学生数学成绩的中位数是0.21301012540.33-⨯=⨯；…………（6分）（II ）∵数学成绩在[100，140）之内的人数为14(20.050.40.30.2)1009023⨯+⨯+⨯+⨯=∴数学成绩在[140，150]的人数为1009010-=人， 而数学成绩在[130，140）的人数为0.210020⨯=人，X可取0,1,2，021********(0)87C C P X C ===，11102023040(1)87C C P X C ===，2010202303(2)29C C P X C ===， X分布列∴0128787293EX =⨯+⨯+⨯=．…………（12分）【引申】本题还可以这样设问：根据题中的数据，分析比较这个班级的语文成绩数学成绩． 可以从以下几个方面选择回答：①由直方图分别估计出语文成绩数学成绩的中位数，比较其大小，写出一个统计结论；②比较语文成绩数学成绩130或140以上人数的多少，写出一个统计结论；③由直方图分别估计出语文成绩数学成绩的众数（或从形成单峰处），比较其大小，写出一个统计结论；④由直方图分别估计出语文成绩数学成绩的平均分，比较其大小，写出一个统计结论；⑤由直方图分别估计出语文成绩数学成绩的方差，比较其大小，写出一个统计结论． （20）（本小题满分12分）解：（I ）根据已知，椭圆的左右焦点为分别是1(1,0)F -，2(1,0)F ，1c =，∵H 在椭圆上，∴1226a HF HF =+==，3a =，b =椭圆的方程是22198x y +=；…………（6分） （II ）方法1：设()1122,,(,)P x y Q x y ，则2211198x y +=，2PF ===∵103x <<，∴1233x PF =-， 在圆中，M 是切点，∴113 PM x==，∴211113333PF PM x x+=-+=，同理23QF QM+=，∴22336F P F Q PQ++=+=，因此△2PF Q的周长是定值6．…………（12分）方法2：设PQ的方程为(0,0)y kx m k m=+<>，由⎪⎩⎪⎨⎧=++=18922xxmkxy，得072918)98(222=-+++mkmxxk设),(),,(2211yxQyxP，则2219818kkmxx+-=+，222198729kmxx+-=，∴||1||212xxkPQ-+=2122124)(1xxxxk--+===∵PQ与圆822=+yx=，即2122km+=，∴26||89kmPQk=-+，∵2PF===∵103x<<，∴1233xPF=-，同理2221(9)333xQF x=-=-，∴12222226666663898989x x km km kmF P F Q PQk k k+++=--=+-=+++，因此△2PF Q的周长是定值6．…………（12分）（21）（本小题满分12分） 解：（I ）1()ln()x f x kx x-'=-+，由题意(1)0f '=，得1k =，…………（2分）此时()1(1)ln f x x x =+-，定义域是(0,)+∞， 令1()()ln x g x f x x x -'==-+，21()x g x x+'=- ∵()0g x '<，∴()g x 在(0,)+∞是减函数，且(1)0g =，因此当(0,1)x ∈时，()()0f x g x '=>，当(1,)x ∈+∞时，()()0f x g x '=<， ∴()f x 在(0,1)上是增函数，在(1,)+∞上是减函数； …………（6分） （II ）不等式()ln()ln x a x a x ae a++<可以化为()ln()ln a x a a x a x a ae e+++<，设ln ()x x xh x =，则()()h a x h a +<， 即判断是否存在(1,)m ∈+∞，使()h x 在(,)m +∞是减函数， …………（8分） ∵)1(1)ln (()x xx x x f h x ee +-=='， ∵22212()0e f e e-=<，(1)10f =>，()20f e e =-<， ∴()h x '在(0,1)和(1,)+∞上各有一个零点，分别设为1x 和2x ，列表：∴()h x 在12(,)x x 是增函数，在2(,)x +∞是减函数， ∵2x (1,)∈+∞，∴存在这样的m 值，且2m x =． …………（12分）【注意】“当a m >时，不等式()()h a x h a +<对任意正实数x 都成立”这句话符合必修1中函数单调性定义，说明()h x 在(,)m +∞是减函数．（22）（本小题满分10分）选修4-1：几何证明选讲 证明：（I ）ACD CDE AC DE ∠=∠∴,// ， 又DE 切圆O 于点D ，CBD CDE ∠=∠∴，CBD ACD ∠=∠∴，而ABD ACD ∠=∠， ABD CBD ∠=∠∴，即BD 平分∠ABC ；…………（5分）（II ）由（I ）知ABD CBD ∠=∠，又CAD CBD ∠=∠ ，CAD ABD ∠=∠∴又ADH∠ 为公共角，∴DBA ∆与DAH ∆相似，BDADABAH=∴，∵AB ＝4，AD ＝6，BD ＝8，∴AH =3． …………（10分）（23）（本小题满分10分）选修4-4：坐标系与参数方程 解：（I ）C 的极坐标方程化为24cos 4sin 60ρρθρθ--+=， ∴C 的直角坐标方程是224460x y x y +--+=， 即22(2)(2)2x y -+-=，C的参数方程是22x y ϕϕ⎧=+⎪⎨=⎪⎩，ϕ是参数；…………（5分）（II）由22x y ϕϕ⎧=+⎪⎨=+⎪⎩（ϕ是参数）得到42sin()4x y πϕ+=++∴x y +的最大值是6，最小值是2． …………（10分）（24）（本小题满分10分）选修4-5：不等式选讲 解：（I ）当1a =时，此不等式为112x -≥，解得1322x x ≤≥或，∴不等式的解集为13(,][,)22-∞+∞ ；…………（5分）（II ）∵11ax ax a a -+-≥-，∴原不等式解集为R 等价于11a -≥，∵0a >，∴2a ≥， ∴实数a 的取值范围为[2,)+∞． …………（10分）。