计算机科学导论 第二章 数字系统

• 十进制小数转二进制小数
–例2-4 求(0.323)10的二进制数值。（保留4位小 数） 解:
0.3 × 0.6 × 1.2 × 0.5 × 1.1 × 0.3 2 3 2 4 6 2 9 2 2 8 4 2 6 8 2 3 6
高位
低位
因此，(0.323)10 = (0.0101)2
• 十进制数转二进制数
十进制数 0 1 2 3 4 5 6 7 二进制数 0 1 10 11 100 101 110 111 八进制数 0 1 2 3 4 5 6 7 十六进制数 0 1 2 3 4 5 6 7
• 二进制与十进制、八进制、十六进制之间的转换
十进制数 8 9 10 11 12 13 14 15 二进制数 1000 1001 1010 1011 1100 1101 1110 1111 八进制数 10 11 12 13 14 15 16 17 十六进制数 8 9 A（10） B（11） C（12） D（13） E（14） F（15）
• 字母法
–在计算机中，在数字后加字母表示不同进制数据。 –其中：B—二进制 D—十进制 O—八进制 H—十六进制 –如： 1011.01B，678H，156D
⒈ R＝2 二进制
数码个数:2个 0,1
计数规律: 逢二进 1,借一当 2
例：
(11011.01)2 = 124+123 +022+121+120 +02-1 +12-2
• 十进制转二进制
方法: –整数部分：除以2取余，至商为零；所得的余数 倒序排列。 –小数部分：乘以2取整，达到精度为止；乘积的 整数部分顺序排列。
求(19)10的二进制数值。 解:
2 19 9 4 2 1 余数 ........ 1 ........ ........ ........ ........ 1 0 0 1 高位
–例2-5 将(237.625)10转换成二进制数。 解: 整数除2取余
2 237 2 118 2 59 2 29 2 14 2 7 2 3 2 1 0 1 0 1 1 0 1 1 1
小数乘2取整 0.625 × 2 1 1.250 0.25 × 2 0.50 0 × 2 1 1.0
则，(237.625)10 = (11101101.101)2
i m

n 1
ai 10i
二、 其他进制
其它进制的计数规律可看成是十进制计数制的推广，
对任意进制 R，数N可以表示成按权展开式。
(N) R=(an-1 an-2 … a1 a0. a-1 a-2… a-m)R
按权展开式：
(N)R = an-1R n-1+an-2R n-2 +…+ a1R1+a0R0 +a-1 R-1+a-2R-2+…+a-mR-m
• 十进制小数转二进制小数
–十进制小数转换为二进制小数过程中，有时会出 现乘积的小数部分总不等于0的情况，或者出现 循环小数的情况 –如：(0.2)10 =( 0.001100110011…)2 –这样的情况下，乘2过程的结束由所要求的转换 精度确定。 –一般当要求二进制数取m位小数时，可求出m+1位， 然后对最低位作0舍1入处理。
• R进制转十进制
–方法：用十进制计数制把R进制数各位置的数按 权展开后相加。
• 练:将下列数转换成十进制数。 (1011)2 (237)8 (AB2)16
• 十进制数转R进制数
–整数部分：除以R取余，至商为零；所得的余 数倒序排列。 –小数部分：乘以R取整，达到精度为止；乘积 的整数部分顺序排列。
第二章 数字系统
2.1 引言 2.2 位置化数字系统
2.1 引言
数字系统： 定义了如何用独特的符号来表示一个数字。
不同的系统中，数字有不同的表示方法 位置化系统
数字系统
非位置化系统
主要讨论位置化系统。
2.2 位置化数字系统
• 数制
–数制也称为进位计数制。是指用一组固定的符号 和统一的规则来表示数值的方法。该数制系统中 的符号被称为数码。
课堂练习：
1. （1101101.01）2=（ ？）8 2. （1101101.01）2 =（ ？）16 3. (54A.69) 16 = ( ? ) 2 4. (54A.69) 16 = ( ? ) 8
本章小结
理解数字系统的概念
重点掌握数制及数制之间的转换
3. R＝16 十六进制 数码个数:16个 0,1,2,3,4,5,6,7,8,9,A,B,C,D,E,F
(0 ……… 10 ……
15)
计数规律: 逢十六进 1,借一当 16
例：
(FA1.C)16 = F162+A161 +1160 +C16-1
• 二进制与十进制、八进制、十六进制之间的转换
• 常用的数制
–十进制——符合人们习惯。 –二进制——计算机内部表示和存储数据，便于物 理实现。 –十六进制、八进制——便于书写，与二进制转换。
• 常用的数制表示方法
–下标法 –字母法
• 下标法
–用小括号将要表示的数括起来，然后在右括号外的 右下角写上数制的基数R。 –一般我们用（ ）角标表示不同进制的数据。 –如：十进制数用（ ）10表示， 二进制数用（ ）2表示 （1056.78）10 表示1056.78是十进制数 （756）8 表示756是八进制数 （1101.0101）2 表示1101.0101是二进制数
2. 采用二进制的原因 • （1）易于物理实现
–电子元件双稳工作的特点 –只有两个数字0和1，可表示两个不同的稳定的 物理状态。
• （2）二进制数运算简单
–二进制数的运算规则简单，使计算机运算器的 结构、逻辑线路的设计大大简化。
• （3）机器可靠性高
–使用二进制数只有两个状态，数字的传输和处 理不容易出错，计算机工作可靠性高。
0010 0101 0111.1101 1011 1000 2 5 7 . D B 8
则（1001010111.110110111）2＝（257.DB8）16
• 十六进制转二进制
–例2-9 将（3CB.61）16转换为二进制数。
3
C
B . 6
1
0011 1100 1011.0110 0001
则（3CB.61）16＝（1111001011.01100001）2
• 基数
–数制所用到的数字符号个数。 –基数简称“基”或“底”。常用字母R表示。 –如十进制数制，可用“0，1，2，…，9”，10个 符号来表示，基数为10，即R=10。
• 位权
–一个数码处在不同位置所代表的值不同。每个数 码所表示的数值等于该数码乘以一个与数码所在 位置相关的常数，这个常数叫做位权。 –位权的大小：以基数为底、数码所在位置的序号 为指数的整数次幂。 –例如：219=2×102+1×101+9×100

i m
a R
i
n 1
i
2.2.6 数制之间的转换
• 二进制转十进制
–方法：用十进制计数制把二进制数各位置的数按 权展开后相加。 –例2-1 求(1001.101)2的十进制数值。 解：(1001.101)2 = 1×23+0×22+0×21+ 1×20+1×2-1+0×2-2+1×2-3 = 8+1+0.5+0.125=(9.625)10
• 几种进位计数制的表示和运算规则
• 进位计数制的表示方法
对于任意的 R 进制数 –位置计数法
（N）R=an-1an-2 … a1a0.a-1 … a-m
–按权展开法
（N）R=an-1×Rn-1+an-2×Rn-2+ … +a1×R1+a0×R0+a-1×R-1+ … +a-m×R-m
(其中n为整数位数，m为小数位数，R为基数 )
低位
2 2 2 2
因此，(19)10 = (10011)2
0
十进制小数转二进制小数 例2-3 求(0.6875)10的二进制数值。
整数部分 高位 1(K-1)…… 0(K-2)…… 1(K-3)…… 低位 1(K-4)…… 0.6 8 7 5 × 2 1.3 7 5 0 × 2 0.7 5 0 0 × 2 1.5 0 0 0 × 2 1.0 0 0 0
• 八进制转二进制
–“一分为三”法 –方法：每位八进制数用三位二进制数代替。
• 二进制转八进制
–例2-6 将（10110101110.11011）2转换为八进制 数。
010 110 101 110.110 110 2 6 5 6 . 6 6
则（10110101110.11011）2＝（2656.66）8
• 练:(保留４位小数) (12.5)10=( )2 (72.8)10=( )8 (12.13)10=( )16
• 二进制和八进制转换
–转换原则：每三位二进制对应一位八进制数。
• 二进制转八进制
–“三位一并”法 –方法：从小数点开始分别往两边，整数部分自右 向左，小数部分自左向右，按每三位为一组，不 足三位用0补齐，每组用相应的八进制数写出。
• （4）通用性强
–由于二进制数只有0和1两个数，可以代表逻辑 代数中的“真”和“假”，因而，逻辑代数能 够成为计算机设计的数学基础。
2. R＝8 八进制 数码个数:8个 0,1,2,3,4,5,6,7
计数规律: 逢八进 1,借一当 八
例：
(176.5)8 = 182+781 +680 +58-1
–“四位一并”法 –方法：从小数点开始分别往两边，整数部分自右 向左，小数部分自左向右，按每四位为一组，不 足四位用0补齐，每组用相应的十六进制数写出。