高二数学 《数学归纳法的应用》教案 沪教版

7.5数学归纳法的应用一、教学内容分析1． 本小节的重点是用数学归纳法证明等式、证明数或式的整除.教学时应对书写与表达提出严格的要求.尤其是在证明数或式的整除性时，更要注意说理清楚，并以此作为培养学生逻辑推理能力的一个抓手.2． 本小节的难点是用数学归纳法证明数或式的整除性.突破难点的关键是在授课时要重点分析“补项法”的证明思路：通过补项为运用归纳假设创造条件.不要让学生单纯机械地模仿.另外还常用作差方法，通过相减后，证明差能被某数（或某式）整除,再利用归纳假设可得当n=k+1时命题成立.二、教学目标设计1．会用数学归纳法证明等式；2．会用数学归纳法证明数或式的整除；3．进一步掌握数学归纳法的证明步骤与数学归纳法的实质.三、教学重点及难点：用数学归纳法证明等式、证明数或式的整除.四、教学流程设计五、教学过程设计1．复习回顾：用数学归纳法证明命题的两个步骤，是缺一不可的.如果只完成步骤（i ）而缺少步骤（ii ）不能说明命题对从n 0开始的一切正整数n 都成立.如(2)2n +1，当n=0、1、2、3、4时都是素数，而n=5时，(2)2n +1=641×6700417不是素数.同样只有步骤（ii ）而缺少步骤（i ），步骤（ii ）的归纳假设就没有根据，递推就没有基础，就可能得出不正确的结论.如2+4+6+…+2k=k 2+k+a （a 为任何数）2．讲授新课:用数学归纳证明等式例1:用数学归纳法证明:1×4+2×7+3×10+…+n （3n+1）=n （n+1）2例2：用数学归纳法证明：12+22+32+…+n 2=16n （n+1）（2n+1） [说明]上述两例师生共同讨论完成.完成两例讨论后向学生指出：(1)由于证明当n=k+1等式成立时，需证明的结论形式是已知的，只要将原等式中的n 换成k+1即得，因此学生在证明过程中，证明步骤必须完整，不能跳步骤；（2）有些等式证明题在证明当n=k+1正确时，需用恒等变形，技巧较高，对基础较差的学生来说完成很困难，这时可通过左、右边的多项式乘法来完成.如 求证：2213++…221(21)(41)3n n n +-=- （n ∈N *）. 证明： （1） 当n=1时，左边=1，右边=13×1×（4-1）=1等式成立. （2） 假设当n=k （k ∈N *）时等式成立，即2222113(21)(41)3k k k +++-=-, 则n=k+1时， 222222232135(21)(21)1(41)(21)31(412113)3k k k k k k k k ++++-++=-++=+++ 又21(1)[4(1)1]3k k ++-2321(1)[2(1)1][2(1)1]311(23)(21)(1)(483)(1)331(412113)3k k k k k k k k k k k k =++++-=+++=+++=+++ 即2222221135(21)(21)(1)[4(1)1]3k k k k ++++-++=++-等式成立. 由（1）（2）知，等式对任何n ∈N*都成立.(3) 用数学归纳法证明恒等式成立时，在逆推过程中应注意等式左右的项数的变化.由当n=k 到n=k+1时项数的增加量可能多于一项，各项也因n 的变化而变化,因此要根据等式的特点仔细分析项数及各项的变化情况.例如：求证：111111111234212122n n n n n-+-++-=+++-++…………（n N ∈*）. 例3 （补充）在1与9之间插入2n-1个正数数1221,n a a a -……，使1，1221,n a a a -……，9成等比数列，在1与9之间又插入2n-1个正数1221,n b b -……b ，使1，1221,n b b -……b ，9成等差数列.设1232-1()n f n a a a a =……，1232-1(),*n g n b b b b n N =∈……,（1） 求()f n 、()g n（2） 设()9()4()17F n f n g n =++，是否存在最大自然数m ，使对于n ∈N *都有()F n 被m 整除，试说明理由.解：（1）123232221()n n n f n a a a a a a ---=12122232311()()()()n n n n n n a a a a a a a a a ----+= 121(1)9993393n n n ---=⨯⨯⨯⨯=⨯=个123232221()n n n g n b b b b b b ---=++++++12122232311()()()()n n n n n n b b b b b b b b b ----+=+++++++++ (1)101010510(1)5105n n n -++++=-+=-个（2）2121()9()4()17934(105)173403n n F n f n g n n n -+=++=⋅+-+=+-当n=1时，(1)F =64当n=2时，(2)F =320=5×64当n=3时，(3)F =36×64由此猜想：最大自然数m=64用数学归纳法证明上述猜想：1.当n=1时，猜想显然成立;2.假设当n=k （k ∈N *）时成立，即21()3403k F k k +=+-能被64整除， 则当n=k+1时，2321(1)340(1)39(3403)64(51)k k F k k k k +++=++-=+---+ 由归纳假设知213403k k ++-能被64整除，又64(51)k -+也能被64整除，所以(1)F k +也能被64整除.由1、2知，21()3403n F n n +=+-能被64整除（n ∈N *）. 又因为(1)64F =，所以存在最大自然数64，使()F n 能被64整除（n ∈N *）. [说明]本例是较难的数列与数学归纳法的综合题.在第（1）小题的解题过程中充分利用了等差、等比数列的性质，起到了对等差、等比数列知识的复习作用.本例也可以先将等差、等比数列的公差d 、公比q 用n 表示，然后求出()f n 、()g n （可让学生完成），同时本例的第（2）小题既复习了用数学归纳法证明数式的整除性，又为进一步掌握归纳—猜测—论证的问题提供了保证，是否选用本题教师可根据学校学生的实际数学学习水平决定.3.巩固练习:练习7.6(2)1,2,34．课后习题：习题7.5 A 组 习题7.5 B 组5.课堂小结:（1）本节中心内容是数学归纳法的应用，数学归纳法适用的范围是：证明某些与连续自然数有关的命题；（2）归纳法是一种由特殊到一般的推理方法，分类是完全归纳法和不完全归纳法二种，完全归纳法只局限于有限个元素，而不完全归纳法得出的结论不具有可靠性，必须用数学归纳法进行严格证明; 归纳法是有一系列特殊事例得出一边结论的推理方法，它属于归纳推理.而数学归纳法它是一种演绎推理方法，是一种证明命题的方法！因此，它不属于“不完全归纳法”！甚至连“归纳法”都不是！(3)学归纳法作为一种证明方法，它的基本思想是递推(递归)思想，它的证明步骤必须是两步，最后还要总结；数学归纳法证题的步骤：①验证P(0n )成立.②假设P(k)成立(k∈N *且k≥0n )，推证P(k+1)成立. 数学归纳法的核心，是在验证P(0n )正确的基础上，证明P(n)的正确具有递推性(n≥0n ).第一步是递推的基础或起点，第二步是递推的依据.因此，两步缺一不可，证明中，恰当地运用归纳假设是关键.(4)本节课所涉及到的数学思想方法有：递推思想、分类讨论思想、函数与方程思想从这节课的学习中你有何感想？你能否体会到数学归纳法的魅力？六．教学设计说明1．数学归纳法是一种用于证明与自然数n 有关的命题的正确性的证明方法．它的操作步骤简单、明确，教学重点应该是方法的应用．但是我们认为不能把教学过程当作方法的灌输，技能的操练．对方法作简单的灌输，学生必然疑虑重重．为什么必须是二步呢？于是教师反复举例，说明二步缺一不可．你怎么知道n=k 时命题成立呢？教师又不得不作出解释，可学生仍未完全接受．学完了数学归纳法的学生又往往有应该用时但想不起来的问题，等等．为此，我们设想强化数学归纳法产生过程的教学，把数学归纳法的产生寓于对归纳法的分析、认识当中，把数学归纳法的产生与不完全归纳法的完善结合起来．这样不仅使学生可以看到数学归纳法产生的背景，从一开始就注意它的功能，为使用它打下良好的基础，而且可以强化归纳思想的教学，这不仅是对中学数学中以演绎思想为主的教学的重要补充，也是引导学生发展创新能力的良机．数学归纳法产生的过程分二个阶段，第一阶段从对归纳法的认识开始，到对不完全归纳法的认识，再到不完全归纳法可靠性的认识，直到怎么办结束．第二阶段是对策酝酿，从介绍递推思想开始，到认识递推思想，运用递推思想，直到归纳出二个步骤结束把递推思想的介绍、理解、运用放在主要位置，必然对理解数学归纳法的实质带来指导意义，也是在教学过程中努力挖掘、渗透隐含于教学内容中的数学思想的一种尝试．2．在教学方法上，这里运用了在教师指导下的师生共同讨论、探索的方法．目的是在于加强学生对教学过程的参与程度．为了使这种参与有一定的智能度，教师应做好发动、组织、引导和点拨．学生的思维参与往往是从问题开始的，尽快提出适当的问题，并提出思维要求，让学生尽快投入到思维活动中来，是十分重要的．这就要求教师把每节课的课题作出层次分明的分解，并选择适当的问题，把课题的研究内容落于问题中，在逐渐展开中，引导学生用已学的知识、方法予以解决，并获得新的发展．本节课的教学设计也想在这方面作些研究．3．理解数学归纳法中的递推思想，还要注意其中第二步，证明n=k+1命题成立时必须用到n=k时命题成立这个条件．即n=k+1时等式也成立．这是不正确的．因为递推思想要求的不是n=k，n=k+1时命题到底成立不成立，而是n=k 时命题成立作为条件能否保证n=k+1时命题成立这个结论正确，即要求的这种逻辑关系是否成立．证明的主要部分应改为以上理解不仅是正确认识数学归纳法的需要，也为第二步证明过程的设计指明了正确的思维方向．。