培优训练三答案

培优班训练三答案1．若xy ≠0，那么等式4x 2y 3＝－2xy y 成立的条件是( )A ．x >0，y >0B ．x >0，y <0C ．x <0，y >0D ．x <0，y <0 解析： 由－2xy y ≥0得xy ≤0，又∵xy ≠0，∴xy <0.由4x 2y 3有意义得y >0∴x <0，故选C.2．求使等式(x －2)(x 2－4)＝(2－x )x ＋2成立的x 的取值范围． 解析(x －2)(x 2－4)＝(x －2)2(x ＋2)＝(2－x )x ＋2∴⎩⎨⎧2－x ≥0x ＋2≥0，∴－2≤x ≤2.3．在M ＝log (x －3)(x ＋1)中，要使式子有意义，x 的取值范围为( )A ．(－∞，3]B ．(3,4)∪(4，＋∞)C ．(4，＋∞)D ．(3,4)4．设a ＝log 3 10，b ＝log 37，则3a －b ＝( )A.107B.710C.1049D.4910 解析：由a ＝log 310，b ＝log 37得3a＝10,3b＝7，∴3a －b＝3a÷3b＝107. 答案： A5．若f (x )、g (x )分别是R 上的奇函数、偶函数，且满足f (x )－g (x )＝e x ，则有( ) A.f (2)<f (3)<g (0) B ．g (0)<f (3)<f (2) C ．f (2)<g (0)<f (3) D ．g (0)<f (2)<f (3) 解析：用－x 代入x ，则有：f (－x )－g (－x )＝e －x ，即－f (x )－g (x )＝e －x ，结合 f (x )－g (x )＝e x，可得f (x )＝e x －e －x 2，g (x )＝－e －x ＋e x2. 所以f (x )在R 上为增函数，因此f (0)＝0，g (0)＝－1，f (3)>f (2)>f (0)＝0，所以f (3)>f (2)>g (0)，故选D 6．设log 34·log 48·log 8m ＝log 416，则m 的值为( )A.12B ．9C ．18D ．27 解析： 由题意得lg 4lg 3·lg 8lg 4·lg m lg 8＝log 416＝log 442＝2，∴lg mlg 3＝2，即lg m ＝2lg 3＝lg 9.∴m ＝9.7．若函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧a x，x >1⎝ ⎛⎭⎪⎫4－a 2x ＋2，x ≤1是R 上的增函数，则a 的取值范围为( )A ．(1，＋∞)B ．(1,8)C ．[4,8)D ．(4,8)解:函数f (x )是R 上的增函数；则⎩⎪⎨⎪⎧a >1⎝ ⎛⎭4－a 2·1＋2≤a4－a 2>0∴4≤a <8，8．已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧|lg x |， 0<x ≤10，－12x ＋6， x >10.若a ，b ，c 互不相等，且f (a )＝f (b )＝f (c )，则abc 的取值范围是( )A ．(1,10)B ．(5,6)C ．(10,12)D ．(20,24)解析：函数f (x )的图象如图所示：不妨设a ＜b ＜c ，则10＜c ＜12.∵f (a )＝f (b )， ∴－lg a ＝lg b .即lg a ＋lg b ＝0 即lg ab ＝0 ∴ab ＝1又∵10＜c ＜12，∴10＜abc ＜12. 故选C.9．计算7－43＋7＋43＝________.解析： 原式＝(3－2)2＋(3＋2)2＝2－3＋2＋3＝4 10．已知log 63＝0.613 1，log 6x ＝0.386 9，则x ＝________.解析： 由log 63＋log 6x ＝0.613 1＋0.386 9＝1.得log 6(3x )＝1.故3x ＝6，x ＝2.11．设g (x )＝⎩⎨⎧e x(x ≤0)ln x (x >0)，则g ⎝ ⎛⎭⎪⎫g ⎝ ⎛⎭⎪⎫12＝________. 解析： g ⎝ ⎛⎭⎪⎫12＝ln 12<0，g ⎝ ⎛⎭⎪⎫ln 12＝1ln 2e ⎛⎫⎪⎝⎭＝12， ∴g ⎝ ⎛⎭⎪⎫g ⎝ ⎛⎭⎪⎫12＝12. 12.已知log m 7<log n 7<0，则m ，n,0,1间的大小关系是________．解∵log m 7<log n 7<0，∴0>log 7m >log 7n . 又y ＝log 7x 在(0,1)内递增且函数值小于0，∴0<n <m <1.13．求方程9x －6·3x －7＝0的解．解析： 设3x ＝t (t >0)，则原方程可化为t 2－6t －7＝0，解得t ＝7或t ＝－1(舍去)， ∴t ＝7，即3x ＝7.∴x ＝log 37.14．已知函数f (x )＝a x (a >0且a ≠1)在x ∈[－2,2]上恒有f (x )<2，则实数a 的取值范围为________．解析： 当a >1时，f (x )＝a x 在[－2,2]上为增函数，∴f (x )max ＝f (2)，又∵x ∈[－2,2]时，f (x )<2恒成立，∴⎩⎨⎧a >1f (2)<2，即⎩⎪⎨⎪⎧a >1a 2<2，解得1<a < 2. 同理，当0<a <1时，⎩⎨⎧0<a <1f (x )max ＝f (－2)<2，解得22<a <1.综上所述，a ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫22，1∪(1，2)．15．已知幂函数y ＝f (x )＝21mmx + (m ∈N *)．若该函数还经过点(2，2)，试确定m的值，并求满足条件f (2－a )＞f (a －1)的实数a 的取值范围． 解:∵函数f (x )经过点(2,2)，∴2＝12mm+，即11222mm+=，∴m 2＋m ＝2，即m 2＋m －2＝0.∴m ＝1或m ＝－2.又∵m ∈N *，∴m ＝1.∴f (x )＝12x 由f (2－a )＞f (a－1)，得⎩⎨⎧2－a ≥0a －1≥02－a ＞a －1，解得1≤a ＜32.故m 的值为1，满足条件f (2－a )＞f (a－1)的实数a 的取值范围为⎣⎢⎡⎭⎪⎫1，32.16．已知a >0且a ≠1，讨论f (x )＝232x x a -++ 的单调性．解析： 设u ＝－x 2＋3x ＋2＝－⎝ ⎛⎭⎪⎫x －322＋174，则当x ≥32时，u 是减函数，当x ≤32时，u 是增函数．又当a >1时，y ＝a u 是增函数，当0<a <1时，y ＝a u 是减函数，所以当a >1时，原函数f (x )＝a －x 2＋3x ＋2在⎣⎢⎡⎭⎪⎫32，＋∞上是减函数，在⎝ ⎛⎦⎥⎤－∞，32上是增函数．当0<a <1时，原函数f (x )＝232x x a -++在⎣⎢⎡⎭⎪⎫32，＋∞上是增函数，在⎝ ⎛⎦⎥⎤－∞，32上是减函数． 17．已知幂函数y ＝223mm x --(m ∈Z )的图象与x 、y 轴都无公共点，且关于y 轴对称，求出m 的值，并画出它的图象．解析： (1)由已知，得m 2－2m －3≤0，∴－1≤m ≤3. 又∵m ∈Z ，∴m ＝－1,0,1,2,3.当m ＝0或m ＝2时，y ＝x －3为奇函数，其图象不关于y 轴对称，不合题意； 当m ＝－1或m ＝3时，有y ＝x 0，适合题意；当m ＝1时，y ＝x －4，适合题意．∴所求m 的值为－1,3或1. (2)画出函数y ＝x 0及y ＝x －4的图象，函数y ＝x 0的定义域为{x |x ∈R ，且x ≠0}，其图象是一条直线，故取点A (－1,1)，B (1,1)，过A ，B 作直线(除去(0,1)点)即为所求．如图①所示． 函数y ＝x －4的定义域为{x |x ∈R ，且x ≠0}，列出x ，y 的对应值.18．已知f (x )＝ax 3＋b (a ≠0)是R 上的奇函数，(1)试比较f (π)与f (3)的大小；(2)用单调性的定义证明：当a <0时，f (x )在(－∞，0)上是减函数(提示：x 3－y 3＝(x －y )(x 2＋xy ＋y 2))．解:(1)f (x )是R 上的奇函数，则有f (－x )＋f (x )＝0在R 上恒成立，即(－ax 3＋b )＋(ax 3＋b )＝0，∴b ＝0.∴f (x )＝ax 3.又f (π)－f (3)＝33a ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦．∵幂函数y ＝x 3递增，∴33> ，故当a >0时，f (π)>f (3)，当a <0时，f (π)<f (3)．(2)任取x 1<x 2<0，f (x 1)－f (x 2)＝ax 31－ax 32＝a (x 1－x 2)(x 21＋x 1x 2＋x 22)．∵x 1<x 2<0，∴x 1x 2>0，x 21＋x 1x 2＋x 22>0.又∵x 1<x 2，∴x 1－x 2<0.∵a <0，∴f (x 1)－f (x 2)>0，即f (x 1)>f (x 2)，∴当a <0时，f (x )在(－∞，0)上是减函数．。