切线长定理(用)
初中数学第六册切线长定理应用教案
初中数学第六册切线长定理应用教案是数学教学中比较重要的一部分，也是初中数学中比较难理解的一些知识点之一。
本篇文章将介绍有关切线长定理应用的教案，以帮助初中学生更好地理解并掌握这一知识点。
一、教学目标1、掌握切线长定理的基本概念和性质。
2、理解切线长定理的应用。
3、通过教学案例，让学生掌握切线长定理在实际问题中的运用方法。
二、教学内容本文的教学内容是初中数学第六册中有关切线长定理应用教案。
1、基本概念（1）圆的切线以点P为圆心，以PA（A为圆上任意一点）为半径作圆，与圆交于点B、C，则线段BC称为圆的切线。
（2）切线长定理切点P与切线上的两点A、B连线所组成的线段AB的长度相等，即PA=PB。
2、应用（1）两圆内切或外切若两圆内切或外切，则连接两圆切点，该线段即为两圆的外公切线或内公切线，其长度为两圆半径之差或之和。
（2）直线和圆的位置关系当一条直线与一个圆相交时，其切点到该圆心的距离等于该切点到该直线的距离。
（3）切线及切点的坐标在平面直角坐标系内，圆的标准方程为(x-a)²+(y-b)²=r²，其中（a,b）为圆心坐标，r 为半径。
则此圆上定点 M(x1, y1) 与圆上某点 P 的切线方程为：x1(x-x2)+y1(y-y2)=r²。
点P的坐标可用切线方程解得。
三、教学方法1、讲授法通过讲解切线长定理的基本概念和性质，配合实例让学生掌握切线长定理的应用方法和应用场景。
2、练习法通过练习题让学生进行切线长定理的应用练习，加深他们对该知识点的理解和掌握程度。
3、自学法给学生自学材料，有选择性地进行答疑和提问，组织学生讨论，使学生掌握切线长定理的应用方案。
四、教学重点难点1、切线长定理的基本概念和性质。
2、切线长定理在实际应用中的应用方式和技巧。
五、教学效果评估1、测验法对学生进行课后测验，测试他们对该知识点的掌握水平。
2、回顾法在下一次课堂上，让学生回顾切线长定理的应用情况，巩固他们的应用能力。
切线长定理及
点到圆的切线长。 4、什么叫三角形的外接圆和外心？外心是三角形什么的交点？
外切圆的半径：交点到三角形任意一个顶点的距离。
A
O
P
B
• 切线是直线，不能度量； • 切线长是线段的长，这条线段的两个端
切线长是线段的长，这条线段的两个端点分别是圆外一点和切点，可以度量。
内切圆圆心：三角形三个内角平分线的交点。
∴PA = PB ,∠OPA=∠OPB
2、如图，PA，PB是⊙O的切线，A，B为切点，∠OAB=30°．
O 如图，四边形ABCD的边 AB、BC、CD、DA和⊙O分别相切于L、M、N、P。
外切圆圆心：三角形三边垂直平分线的交点。 PA、PB分别切⊙O于A、B
点分别是圆外一点和切点，可以度量。
探究： 从⊙O外的一点引两条切线PA，PB，切点 分别是A、B，连结OA、OB、OP，你能发现什么结 论？并证明你所发现的结论。
B
PA = PB
∠OPA=∠OPB
。
O
P
A 证明：∵PA，PB与⊙O相切，点A，B是切点
∴OA⊥PA，OB⊥PB 即∠OAP=∠OBP=90°
c b
r.
练习：直角三角形的两直角边分 别是5cm，12cm 则其内切圆的 半径为2_c_m____。
C aB
小 结：
1、切线长的定义
2、切线长定理 从圆外一点引圆的两条切线，它们的切线长相等，圆心和 这一点的连线平分两条切线的夹角。
B
∵PA、PB分别切⊙O于A、B
E
。
OC
D
∴PA = PB ,∠OPA=∠OPB
山东专用人教版九年级数学《切线长定理》课件
2、如图，已知∠AOB＝30°，M为OB上一点，
且OM＝5cm，以M为圆心，r为半径的圆与 直线OA有怎样的位置关系？为什么？
N
A
①r＝2cm；②r＝4cm；③r＝2.5cm。
相离
相交
相切 O
MB
3、直线L 和⊙O有公共点，则直线L与⊙O（ D ）.
A、相离；B、相切；C、相交；D、相切或相交。
问题1、经过平面上一个已知点，作已知 圆的切线会有怎样的情形？
C
．o
A
B
外接圆圆心（外心）：三 角形三边垂直平分线的交 点。到三角形三个顶点的 距离相等。 外切圆的半径：交点到三 角形任意一个定点的距离。
三角形内切圆
C
．o
A
B
内切圆圆心（内心）： 三角形三个内角平分 线的交点。到三角形 三边的距离相等。
内切圆的半径：交点 到三角形任意一边的 垂直距离。
例2 已知：如图, △ABC的内切圆⊙O与 BC 、CA、 AB 分别相交于点D 、 E 、 F ，且AB＝9厘米，BC ＝14厘米,CA ＝ 13厘米,求AF、BD、CE的长。
（3）写出图中所有的全等三角形
△AOP≌ △BOP， △AOC≌ △BOC， △ACP≌ △BCP
（4）写出图中所有的相似三角形 △AOC∽ △BOC∽ △POA∽△POB∽ △PAC∽PBC
（5）写出图中所有的等腰三角形 △ABP △AOB
（6）若PA=4、PD=2，求半径OA
o．
o．
．
三角形外接圆
∵ OA=OB，OP=OP ∴Rt△AOP≌Rt△BOP(HL)
试用文字语言 叙述你所发现 的结论
∴ PA = PB ∠OPA=∠OPB
关于切线长定理应用的教学反思
关于切线长定理应用的教学反思
赵玲智
中学课本的切线长定理的内容是：从圆外一点引圆的两条切线，它们
的切线长相等，并且这点和圆心的连线平分两条切线的夹角。
基本图形是：它的应用形式：
∵PA、PB分别切圆O于A、B
∴PA=PB∠BPO=∠APO
在初中数学教材上，这是一个综合性比较强的图形，它贯穿了很多的
初中几何知识点，包括
①等腰三角形的性质
∵PA=PB∠BPO=∠APO
∴BE=AEOP⊥AB
这其实就是等腰三角形“三线合一”
②三对全等三角形Rt△OBP≌Rt△OAP,
Rt△OBE≌Rt△OAERt△EBP≌Rt△EAP
利用切线长定理或三角形全等可以得：
∠BOP=∠AOP∠EBP=∠EAP∠OBP=∠OAP
以及线段BE=BAOA=OBPA=PB
③实际上这六个直角三角形连起来相似
Rt△OBP∽Rt△OAP∽Rt△OBE∽Rt△OAE∽Rt△EBP∽Rt△EAP
④有射影定理的基本图形，所以又出现了一些相等关系的等式
OB2=OE•OP=OAEB2=OE•EP=EB2
⑤有OP⊥AB以及切线的性质OA⊥AP,OB⊥BP这就引出了更重要的知识点:三个垂直关系
OA⊥AP,OB⊥BP，OP⊥AB
可以列出图形的面积关系。
即SAPBO=OA•AP=OB•BP=OP•AB
⑥在圆O中有OP⊥AB这就引出了圆中更重要的定理出现了垂径定理
∵在圆O中OP⊥AB
∴NB=NABM=MA
⑦事实上利用切线的性质OA⊥AP,OB⊥BP可以得到四边形OAPB四点共圆
⑨当然过AB任意点做切线后图中又出现两组切线长MB=MT,NT=NA，于是有△PMN的周长=PA+PB=2PA。
切线长定理(说课课件)
2.教育教学目标
2.现状与研究目标 知识与能力 目标
过程与方法 目标
教学 目标
情感态度与价 值观目标
2.教育教学目标
（1）知识与能力目标：1. 理解切线长的定义 2.掌握切线
长定理 3.区别切线长和切线
（2）过程与方法目标：课前回顾切线的定义并引导同学 们一起画圆的切线，之后通过一个提问，让同学们通过猜 想、探究、合作的方式进行学习证明，并利用前面学到的 知识点进行数学证明。
切线长定理的运用二学情分析思维活跃易接受新知识三教学方法任务引入任务分析知识讲解分配任务执行任务点评22师生互问课堂讨注重与学生交流教与学融为一体pptpptpptppt11看看问老师问同学问老师问同学
试题讲解说课 说课
说课时间：2020年3月 说课人：黄玉颖
说课内容
1
2
3
教 材 分 析
学 情 分 析
分别是A、B，若直径AC=12, P=60°，
求弦AB的长。
5、布置作业
课后习题业、练习本固定作业
五、板书设计
§切线长定理
一、切线长的定义
二、切线长 切线 三、切线长定理定义
1.几何表达
PA、PB分别切O于A、B
PA=PO APO=BPO
1.教学效果较 2.以学生为 3.重难点突出，
六 说
2.导入新课
动手画一画圆的切线：画完切
三
线连接0A、OB、AB、OP。
分
钟
3.讲授新课
O
通过画图，引出切线长的定义： 在经过圆外的一点的圆的切线上， 这个点和切点间的线段的长，叫 做圆的切线长。
？ 切线长
切线
3.讲授新课
师：提问
生：猜想
28.2 切线长定理及应用
28.2 切线长定理及应用班级 姓名 档次 学习目标：掌握切线长定理及推论知识回顾：1、如何判断一条直线是圆的切线？2、圆的切线有哪些性质？自学导航：认真看课本49-50页，思考并完成下列问题1、切线长的定义：把图的切线上某一点与 之间的线段的长，叫做这点到圆的 ，从圆外一点可以引圆的 条切线。
2、切线长定理：从圆外一点可以引圆的 条切线，它们的切线长 这一点和圆心的连线 这两条切线的夹角。
启示：见切线想过切点的半径如何证明这个定理？课本是通过连结圆心与切点的半径。
利用切线的性质，证两Rt △全等从而得到结论。
自学检测：1、如图，PA 、PB 是⊙O 的两条切线，切点分别为A 、B ，若OP ＝4，PA ＝32，那么∠AOB ＝ 。
2、如图，PA 、PB 是⊙O 的切线，且∠APB ＝40°，则下列说法不正确的是（ ）A 、PA ＝PB B 、∠APO ＝20°C 、∠OBP ＝70°D 、∠AOP ＝70°3、如图3，PA 、PB 是⊙O 的切线，下列说法错误的是 （ ）A 、PA ＝PBB 、AB ⊥POC 、AM ＝BMD 、△PAB 是等边三角形4、如图4，PA 、PB 是⊙O 的切线，A 、B 为切点，若∠P ＝60°，那么∠AOB ＝ 。
5、如图5，PA 、PB 分别与⊙O 相切于A 、B ⊙O 的切线分别交PA 、PB 于点E 、F ，切点C 在弧AB 上，若PA ＝2，则=∆PEF C 。
课堂检测1、如图6，PA 、PB 是⊙O 的切线，A 、B 为切点，AC 为直径∠P ＝40°，则∠BAC ＝ 。
1、2图 图3 图4 图5主备人：2、从圆外一点向半径为9的圆作切线，已知切线长为18，从这点到圆的最短距离为 。
3、如图7，PA 、PB 分别切⊙O 于A 、B 两点，C 为劣弧AB 上一点，∠APB ＝30°，则∠ACB ＝ 。
切线长定理和三角形的内切圆(讲义和练习)
【点知讲解】
1. 切线长定理
对于切线长定理，应明确：①若已知圆的两条切线相交，则切线长相等；②若已知两条切线平行，则
圆上两个切点的连线为直径；③经过圆外一点引圆的两条切线，连接两个切点可得到一个等腰三角形；④
经过圆外一点引圆的两条切线，切线的夹角与过切点的两个
A
半径的夹角互补；⑤圆外一点与圆心的连线，平分过这点向圆引的两条切
A. 3 A
E
F
O
B
DC
第 2 题图
B. 4 AE D
O
F
B
C
第 3 题图
C. 2 + 2
A
D
F E
BO C 第 4 题图
D. 2 2
AE
D
PH
G
O
F
B
C
第 5 题图
4. 如图，以正方形 ABCD 的 BC 边为直径作半圆 O，过点 D 作直线切半圆于点 F，交 AB 边于点 E，则
△ADE 和直角梯形 EBCD 周长之比为（ ）
.
9. 如图，在△ABC 中，∠C＝90°，∠A 和∠B 的平分线相交于 P 点，又 PE⊥AB 于点 E，若 BC＝2，AC
＝3，则 AE·EB＝
.
AD
10. 如图，在梯形 ABCD 中，AD∥BC，∠ABC＝90°，以 AB 为直径的半圆 O 切
M
CD 于点 M，若这个梯形的面积是 10cm2，周长是 14cm，则半圆 O 的半径等 O
于
cm.
B
C
11. 已知⊙O 中，AC 为直径，MA，MB 分别切⊙O 于点 A，B. （1）如图 1，若∠BAC＝25°，求∠AMB 的大小； （2）如图 2，过点 B 作 BD⊥AC 于点 E，交⊙O 于点 D，若 BD＝MA，求∠AMB 的大小.
小专题(十四) 切线长定理的变式与应用
小专题(十四) 切线长定理的变式与应用类型1 “单个”切线长定理方法归纳：通常利用切线长相等以及圆外这点与圆心的连线平分两切线的夹角解决问题．1．如图，PA ，PB 是⊙O 的切线，切点为A 、B ，若OP ＝4，PA ＝23，则∠APB 的度数为(A )A ．60°B ．90°C ．120°D ．无法确定类型2 “两个”切线长定理方法归纳：常常利用圆心与圆外两点构成直角三角形解决问题．2．已知：如图，AB ，BC ，CD 分别与⊙O 相切于E ，F ，G ，且AB ∥CD ，BO ＝6，CO ＝8，求OF 的长．解：∵AB ，BC ，CD 分别与⊙O 相切于E ，F ，G ，∴∠EOB ＝∠BOF ，∠COF ＝∠COG ，OF ⊥BC.∵AB ∥CD ，∴∠BOF ＋∠COF ＝90°.又∵BO ＝6，CO ＝8，∴BC ＝10.∵S △BOC ＝12OB·OC ＝12BC·OF ， ∴OF ＝245.类型3 “三个”切线长定理方法归纳：如图1中，有结论△PDE 的周长＝2PA ＝2PB.如图2中，有结论AE ＝AF ＝b ＋c －a 2；BF ＝BD ＝a ＋c －b 2；CD ＝CE ＝a ＋b －c 2. 特殊的，如图3，当∠C ＝90°时，r ＝a ＋b －c 2(或ab a ＋b ＋c)．3．如图，AD，AE分别是⊙O的切线，D，E为切点，BC切⊙O于F，交AD，AE于点B，C.若AD＝8，则△ABC的周长是(C)A．8 B．10C．16 D．不能确定4．如图，Rt△ABC的内切圆⊙O与两直角边AB，BC分别相切于点D、E，过劣弧DE(不包括端点D，E)上任一点P作⊙O的切线MN与AB，BC分别交于点M，N，若⊙O的半径为4 cm，则Rt△MBN的周长为8_cm．5．如图，Rt△ABC的内切圆⊙O与AB，BC，AC分别切于点D，E，F，且AC＝13，AB＝12，∠ABC＝90°，求⊙O的半径长．解：在Rt△ABC中，∵AC＝13，AB＝12，∴BC＝132－122＝5.∵Rt△ABC的内切圆⊙O与AB，BC分别切于点D，E，∴OD⊥AB，OE⊥BC，OD＝OE.又∵∠ABC＝90°，∴四边形BEOD为正方形．∴BD＝BE＝OD.设⊙O的半径长为r，则BE＝BD＝r，AD＝AB－BD＝12－r，CE＝BC－BE＝5－r，∵Rt△ABC的内切圆⊙O与AB，BC，AC分别切于点D，E，F，∴AF＝AD＝12－r，CF＝CE＝5－r.∴12－r＋5－r＝13.解得r＝2.即⊙O的半径长为2.类型4“四个”切线长定理方法归纳：圆的外切四边形的两组对边的和相等．6．如图，⊙O内切于四边形ABCD，AB＝10，BC＝7，CD＝8，则AD的长度为(D)A．8 B．9 C．10 D．11。
切线长定理及其应用
【本讲教育信息】一. 教学内容：切线长定理及其应用二. 重点、难点：重点：切线长定理以及应用难点：切线长定理的题设、结论三. 具体内容：1. 切线长：经过圆外一点向圆引两条切线，在经过圆外一点的圆的切线上，这点和切点之间线段的长。
2. 切线长定理：从圆外一点引圆的两条切线，它们的切线长相等，圆心和这点的连线平分两切线的夹角。
【典型例题】[例1] 如图，⊙O分别切△ABC三边AB、BC、CA于点D、E、F，若BC=a，CA=b，AB=c，（1）求AD、BE、CF的长；（2）若∠C=90°，求△ABC内切圆半径r。
解：（1）∵⊙O切△ABC三边AB、BC、CA于D、E、F∴AD=AF，BD=BE，CE=CF∴∵BC=a，CA=b，AB=c∴同理（2）连结OE、OF∵⊙O与AB、BC切于D、E ∴OE⊥BC，OF⊥AC∵∠C=90°∴四边形OECF为矩形又∵OE=OF ∴四边形OECF为正方形∴OE=OF=CE=CF由（1）知∴内切圆半径[例2] 如图，⊙O切△ABC的边BC于D，切AB、AC延长线于E、F，△ABC的周长为18，求AE。
解：由已知得CF=CD，BD=BE，AE=AF∴AB+AC+BC=AB+AC+CD+BD=AB+AC+CF+BE=AE+AF=2AE∵△ABC周长为18 ∴[例3] 如图，在中，∠B=90°，∠A的平分线交BC于D，E为AB上一点，DE=DC，以D为圆心，DB为半径作⊙D，求证：（1）AC是⊙O切线；（2）AB+EB=AC。
证明：（1）作DF⊥AC于F∵AD平分∠BAC ∴DB=DF∴AC切⊙D于F（2）由（1）知，AC切⊙D于F又∵∠B=90°∴AB切⊙D于B ∴AB=AF又在和中∴∴CF=BE ∴AC=AF+CF=AB+EB[例4] 如图，CB、CD与⊙O切于B、D，AB为⊙O直径，⊙O半径为r。
求证：AD//OC。
证明：连结OD∵CB、CD切⊙O于B、D∴OD⊥CD，OB⊥CB，∠1=∠2∴∠3=∠4∵OA=OD ∴∠A=∠5∵∠BOD=∠3+∠4=∠A+∠5∴2∠3=2∠5 ∴∠3=∠5∴AD//OC[例5] 如图，两同心圆O，PA、PB是大圆的两条切线，PC、PD是小圆的两条切线，A、B、C、D为切点，求证：AC=BD。
切线长、正多边形、弧长扇形培优用
1.切线长定理 济宁李涛 1、 如图PA、PB是⊙O的切线，切点分别为A、B、C是⊙O上一点， 若∠APB＝40°，求∠ACB的度数 。 2．如图，从⊙O外一点P引⊙O的两条切线PA、PB，切点分别是A、B，若PA=5cm，C是 弧AB上的一个动点（点C与A、B两点不重合），过点C作⊙O的切线，分别交PA、PB于点D、E，求△PED的周长是 3．如图，PA，PB是⊙O的切线，A、B为切点，AC是⊙O的直径，∠P=60°． （1）求∠BAC的度数；（2）当OA=2时，求AB的长．
4. 已知在△ABC中，∠C=90°，AC=8,AB=10,P在AC上，AP=2,若⊙O的圆心在BP上，且⊙O与AB,AC相切，求⊙O的半径 。 5、已知三角形的三边分别为3、4、5，则这个三角形的内切圆半径是 。 6、三角形的周长是12，面积是18，那么这个三角形的内切圆半径是 。 2、正多边形 1. 下列图形中既是中心对称图形，又是轴对称图形的是（ ）
（A）正三角形．（B）正五边形．（C）正六边形．（D）正七边形．
2、已知正六边形的边心距为，则它的周长是（ ）A．6 B．12 C． D． 3．圆内接正三角形的边心距与半径的比是（ ）. （A）2：1 （B）1：2 （C）4:3 （D）2:3 4. 若一个正多边形的每个内角的度数是中心角的3倍，则正多边形的边数是（ ） （A）4．（B）6．（C）8．（D）12． 5．如图，有一个边长为1.5cm的正六边形，如果要剪一张圆形纸片完全盖住这个图形，那么这张圆形纸片的最小半径为___________cm． 6. 如图，将一块正六边形硬纸片，做成一个底面仍为正六边形且高相等的无盖的纸盒（侧面均垂直于底面），需在每一个顶点处剪去一个四边形，则∠GA/H为_____度． 7．已知圆内接正六边形的边长是1，则这个圆的内接正方形的边长是____________． 8．如图①、②、③、④分别是⊙O的内接正三角形、正四边形、正五边形、…、正n边形，点M、N分别从点B、C开始以相同的速度在⊙O上逆时针运动． （1）求图①中∠APN的度数； （2）图②中，∠APN的度数是___________，图③中，∠APN的度数是___________； （3）试探索∠APN的度数与正多边形边数n的关系（直接写答案）．