2.10 导数的概念及其运算(课时测试)-2017届高三数学(文)一轮复习(原卷版)
专题13 导数的概念及其意义、导数的运算(原卷版)
基础知识：
导数的几何意义：函数y＝f(x)在x＝x0处的导数f′(x0)就是曲线y＝f(x)在点P(x0，f(x0))处的切线的斜率k0，即k0＝f′(x0)，切线方程为y－f(x0)＝f′(x0)·(x－x0)．
基本题型：
1、（过某点处切线的方程）若经过点P(2,8)作曲线y＝x3的切线，则切线方程为( )
基本题型：
1．设 ， ， ，…， ， ，则 （）
A． B．
C． D．
2．已知函数 ，其导函数记为 ，则 （）
A．2B． C．3D．
3．求下列函数的导数．
（1） ；（2） ；（3） ；
（4） ；（5） ；（6） ．
基本方法：
复合函数的求导：先确定复合关系，由外向内逐层求导，必要时可换元。
类型四、解析式中含有导数值的函数
3．（多选）设函数 ，则下列说法正确的是（）
A． B．
C． 在 处的切线方程为 D．
基本方法：
1．求函数导数的总原则：先化简解析式，再求导．
2．常见形式及具体求导的几种方法
连乘形式：先展开化为多项式形式，再求导
三角形式：先利用三角函数公式转化为和或差的形式，再求导
分式形式：先化为整式函数或较为简单的分式函数，再求导
①直线 在点 处“切过”曲线 ：
②直线 在点 处“切过”曲线 ：
③直线 在点 处“切过”曲线 ：
④直线 在点 处“切过”曲线 ：
⑤直线 在点 处“切过”曲线 ： ．
5．(2020年高考数学课标Ⅰ卷理科)函数 的图像在点 处的切线方程为( )
A． B． C． D．
6．(2020年高考数学课标Ⅲ卷理科)若直线l与曲线y= 和x2+y2= 都相切，则l的方程为( )
天津市数学高考一轮复习 第十讲 导数的概念及运算
天津市数学高考一轮复习第十讲导数的概念及运算姓名:________ 班级:________ 成绩:________一、单选题 (共12题；共24分)1. （2分）一质点做直线运动，若它所经过的路程与时间的关系为（的单位：m，t的单位：s），则t=5时的瞬时速度（单位：m/s）为（）A . 37B . 38C . 39D . 402. （2分） (2017高二上·定州期末) 如图，一个正六角星薄片（其对称轴与水面垂直）匀速地升出水面，直到全部露出水面为止，记时刻薄片露出水面部分的图形面积为，则导函数的图象大致为（）A .B .C .D .3. （2分）下列导数运算正确的是（）A . （x+）′=1+B . （2x）′=x2x﹣1C . （cosx）′=sinxD . （xlnx）′=lnx+14. （2分）已知函数，则（）A . -1B . -3C . 2D . -25. （2分） (2019高三上·山西月考) 曲线在处的切线与两坐标轴成的三角形的面积为4，则a的值为（）A .B . 2C . 4D . 86. （2分）(2018·绵阳模拟) 已知，直线与直线互相垂直，则的最小值为（）A . 1B . 2C .D .7. （2分） (2017高二下·双鸭山期末) 下列函数，在其定义域中，既是奇函数又是减函数的是（）A .B .C .D .8. （2分）设，函数的导函数是，且是奇函数，若曲线的一条切线的斜率是，则切点的横坐标为（）A .B .C .D .9. （2分） (2016高二下·晋中期中) 已知对任意x∈R，恒有f（﹣x）=﹣f（x），g（﹣x）=g（x），且当x ＞0时，f′（x）＞0，g′（x）＞0，则当x＜0时有（）A . f′（x）＞0，g′（x）＞0B . f′（x）＞0，g′（x）＜0C . f′（x）＜0，g′（x）＞0D . f′（x）＜0，g′（x）＜010. （2分） (2019高二下·绍兴期末) 已知函数，则（）A . 6B . 12C . 18D . 2711. （2分）曲线y=x3-x-1的一条切线垂直于直线x+2y-1=0, 则切点P0的坐标为（）A . (1,-1)B . (-1,-1)或(1,-1)C . 或D . (-1,-1)12. （2分）(2020·肇庆模拟) 已知e为自然对数的底数，过原点与函数图像相切的直线方程为（）A .B .C .D .二、填空题 (共5题；共5分)13. （1分） (2016高二下·民勤期中) 一个物体的运动方程为s=1﹣t+t2其中s的单位是米，t的单位是秒，那么物体在3秒末的瞬时速度是________米/秒．14. （1分）函数f（x）=x2cosx 导数为f′（x），则f′（x）=________．15. （1分）(2017·天津) 已知a∈R，设函数f（x）=ax﹣lnx的图象在点（1，f（1））处的切线为l，则l 在y轴上的截距为________．16. （1分）已知曲线y=x+lnx在点（1，1）处的切线与曲线y=ax2+（a+2）x+1相切，则a= ________ 。
北京市2017届高三数学(理)一轮复习 2.10 导数的概念及其运算(教学设计)
高三一轮（理） 2。
10导数的概念及其运算
【教学目标】
1．了解导数概念的实际背景．
2．通过函数图象直观理解导数的几何意义．
3．能根据导数的定义求函数y＝c（c为常数）,y＝x,y＝x2，y＝x2，y＝x3，y＝错误!的导数．
4．能利用基本初等函数的导数公式和导数的四则运算法则求简单函数的导数，并了解复合函数求导法则,能求简单复合函数(仅限于形如f（ax＋b）的复合函数）的导数．
【重点难点】
1.教学重点:能利用基本初等函数的导数公式和导数的四则运算法
则求简单函数的导数；
求函数y＝c(c为常数），y＝x,y＝x2，y＝x2，y＝x3,y＝错误!的导数；
2。
教学难点：理解导数的几何意义;
【教学策略与方法】
自主学习、小组讨论法、师生互动法
【教学过程】
教师活动学生活动设计意图
教学
流程。
高三数学第一轮复习讲义导数的概念及运算
4．假设函数 的图象的顶点在第四象限，那么函数 的图象是〔 〕
5．曲线 在 处的切线的倾斜角为 ，那么 ， ．
6．曲线 与 在交点处的切线的夹角是 ．
四．例题分析：
例1．〔1〕设函数 ，求 ；
〔2〕设函数 ，假设 ，求 的值．
，∵过点 ，∴
解得： 或者者 ，当 时，切点为 ，切线方程为：
当 时，切点为 ，切线方程为：
例4．设函数 (1)证明：当 且 时， ；
(2)点 〔0<x0<1〕在曲线 上，求曲线上在点 处的切线与 轴， 轴正向所围成的三角形面积的表达式．〔用 表示〕
解：〔1〕∵ ，∴ ，两边平方得：
即： ，∵ ，∴ ，∴
2．质点运动的方程为 ，那么该质点在 时的瞬时速度为〔〕
120 80 50
3．设点 是曲线 上的任意一点，点 处切线的倾斜角为 ，那么角 的取值范围是〔〕
4．假设 ，那么
5．设函数 的导数为 ，且 ，那么
曲线
〔1〕求曲线 在点 处的切线方程；〔2〕求过点 并与曲线 相切的直线方程．
7.设曲线 ： ， 在哪一点处的切线斜率最小？设此点为
芯衣州星海市涌泉学校高三数学第一轮复习讲义〔74〕
导数的概念及运算
一．复习目的：
理解导数的概念和导数的几何意义，会求简单的函数的导数和曲线在一点处的切线方程．
二．知识要点：
1．导数的概念： ；
．
2．求导数的步骤是
．
3．导数的几何意义是．
三．课前预习：
1．函数 的导数是〔 〕
2．函数 的解析式可〔 〕
假设△t＜0，那么 是1+△ts～1时段的速率．
高考数学一轮复习 2.11导数的概念及运算课件 文
精品
11
1．(2014·郑州质量预测)已知函数 f(x)的导函数为 f′(x)，且
满足 f(x)＝2xf′(e)＋ln x，则 f′(e)＝( )
A．1
B．－1
C．－e－1
D．－e
解析：f′(x)＝2f′(e)＋1x，∴f′(e)＝2f′(e)＋1e，
精品
5
(2)f(x)在x＝x0处的导数
函数y＝f(x)在x＝x0处的瞬时变化率是
lim
Δx→0
fx0＋Δx－fx0 Δx
＝
Δy
lim
Δx→0
Δx
，称其为函数y＝f(x)
在x＝x0处的导数，记作f ′(x0)或 y′|x＝x0 ，
即f ′(x0)＝
lim
Δx→0
fx0＋Δx－fx0 Δx
.
精品
6
(3)导函数
∴f′(e)＝－1e＝－e－1，选 C.
答案：C
精品
12
2．曲线 y＝x＋x 2在点(－1，－1)处的切线方程为(
)
A．y＝2x＋1
B．y＝2x－1
C．y＝－2x－3 D．y＝－2x－2
精品
13
解析：∵y′＝x＋x＋2－22x＝x＋2 22， ∴在点(－1，－1)处的切线方程的斜率为－12＋22＝2. ∴切线方程为 y＋1＝2(x＋1)，即 y＝2x＋1.
求函数的导数时，要准确地把函数分割为基本函数的和、差、 积、商及其复合运算的形式，再利用运算法则求导数．对于不具 备求导法则结构形式的要适当恒等变形；对于比较复杂的函数， 如果直接套用求导法则，会使求导过程繁琐冗长，且易出错，此 时，可将解析式进行合理变形，转化为较易求导的结构形式，再 求导数．但必须注意变形的等价性，避免不必要的运算失误．
导数的概念及运算课件-2025届高三数学一轮复习
；
（ⅱ）[f（x）g（x）]'＝ f'（x）g（x）＋f（x）g'（x） ；
（ⅲ）
()
()
′()()−()′()
'＝
（g（x）≠0）.
[()]2
②简单复合函数的导数：由函数y＝f（u）和u＝g（x）复合而成的函数y＝f（g
f'（x）＝ －sin x
目录
基本初等函数
f（x）＝ex
f（x）＝ax（a＞0，且a≠1）
f（x）＝ln x
f（x）＝logax（a＞0，且a≠1）
导数
f'（x）＝
ex
f'（x）＝
axln a
f'（x）＝
1
f'（x）＝
1
ln
目录
（2）导数的运算法则
①函数和、差、积、商的导数：若f'（x），g'（x）存在，则有：
P（x0，y0）的切线”的区别：前者P（x0，y0）为切点，而后者P（x0，y0）不一
定为切点.
目录
｜解题技法｜
求切点坐标的思路
已知切线方程（或斜率）求切点的一般思路是先函数的导数，再让导数
等于切线的斜率，从而求出切点的横坐标，将横坐标代入函数解析式求出切点
的纵坐标.
目录
当堂检测
在平面直角坐标系xOy中，点A在曲线y＝ln x上，且该曲线在点A处的切线经过点
目录
二、导数的几何意义及应用
目录
二、导数的几何意义及应用
高三数学一轮复习-导数
题型一 导数的概念1、已知函数f (x )＝2ln 3x ＋8x ，求0Δlim →x f (1－2Δx )－f (1)Δx 的值.题型二 求导函数2、（1）y ＝ln(x ＋1＋x 2)； (2)y ＝(x 2－2x ＋3)e 2x；(3)y ＝3x1－x.变式训练2： 如下图，函数f (x )的图象是折线段ABC ，其中A 、B 、C 的坐标分别为(0,4)，(2,0)，(6,4)，则f (f (0))＝ ；0Δlim→x f (1＋Δx )－f (1)Δx ＝题型三 利用导数求切线的斜率3、已知曲线C ：y ＝x 3－3x 2＋2x ， 直线l ：y ＝kx ，且l 与C 切于点P (x 0，y 0) (x 0≠0)，求直线l 的方程及切点坐标.4、若函数y ＝x 3－3x ＋4的切线经过点(－2，2)，求此切线方程. 题型四 求函数f (x )的单调区间5、已知函数f (x )＝x 2－ax －a ln(x －1)(a ∈R )，求函数f (x )的单调区间.变式训练5：已知函数f (x )＝x 2＋ln x －ax 在(0,1)上是增函数，求a 的取值范围.题型五 求函数的极值6、已知f (x )＝ax 3＋bx 2＋cx (a ≠0)在x ＝±1时取得极值，且f (1)＝－1. (1)试求常数a ，b ，c 的值；(2)试判断x ＝±1是函数的极小值点还是极大值点，并说明理由.题型六 求函数的最值7、求函数f (x )＝ln(1＋x )－14x 2在区间[0,2]上的最大值和最小值.变式训练7：f (x )＝ax 3－3x ＋1对x ∈[－1,1]总有f (x )≥0成立，则a ＝ .题型七 利用导数证明不等式 8、已知函数f (x )＝12x 2＋ln x .(1)求函数f (x )在区间[1，e]上的值域；(2)求证：x ＞1时，f (x )＜23x 3.题型八 导数与函数零点问题9、 设函数f (x )＝13x 3－mx 2＋(m 2－4)x ，x ∈R .(1)当m ＝3时，求曲线y ＝f (x )在点(2，f (2))处的切线方程；(2)已知函数f (x )有三个互不相同的零点0，α，β，且α＜β.若对任意的x ∈[α，β]，都有f (x )≥f (1)恒成立，求实数m 的取值范围.变式训练9：已知f (x )＝ax 2(a ∈R )，g (x )＝2ln x . (1)讨论函数F (x )＝f (x )－g (x )的单调性；(2)若方程f (x )＝g (x )在区间[2，e]上有两个不等解，求a 的取值范围. 定积分 1、(1)⎰21(x －1)5d x ； (2) ⎰2π0(x ＋sin x )d x .2、求抛物线y 2＝2x 与直线y ＝4－x 所围成的平面图形的面积. 巩固训练1． 三次函数f (x )＝mx 3－x 在(－∞，＋∞)上是减函数，则m 的取值范围是( )A ．m <0B ．m <1C ．m ≤0D ．m ≤12． 由曲线xy ＝1，直线y ＝x ，y ＝3所围成的平面图形的面积为( )A.329B ．2－ln3C ．4＋ln3D ．4－ln33． 定义方程'()()f x f x =的实数根0x 叫做函数()f x 的“新驻点”，若函数3()1g x x =-()2h x x =，()ln(1)x x ϕ=+的“新驻点”分别为α，β，γ，则α，β，γ的大小关系为【 】 A ．αβγ>> B ．βαγ>> C ．γαβ>> D ．βγα>> 4． 求曲线y ＝x 2与y ＝x 所围成图形的面积，其中正确的是( ) A ．S ＝⎰(x 2－x )d x B ．S ＝⎰(x －x 2)d x C ．S ＝⎰(y 2－y )d yD ．S ＝⎰(y －y )d y5． 已知实数a 、b 、c 、d 成等比数列，且函数y ＝ln(x ＋2)－x 当x ＝b 时取到极大值c ，则ad 等于( )A ．－1 B ．0 C ．1 D ．26． 设a ∈R ，函数f (x )＝e x ＋a ·e －x 的导函数是f ′(x )，且f ′(x )是奇函数，若曲线y ＝f (x )的一条切线的斜率是32，则切点的横坐标为( )A ．－ln22 B ．－ln2 C ．ln2 D.ln227． 下列图象中，有一个是函数f (x )＝13x 3＋ax 2＋(a 2－1)x ＋1(a ∈R ，a ≠0)的导数f ′(x )的图象，则f (－1)的值为( )A.13 B ．－13 C.73 D ．－13或538． 设f ′(x )是函数f (x )的导函数，将y ＝f (x )和y ＝f ′(x )的图象画在同一个直角坐标系中，不可能正确的是( )9． 若函数f (x )＝2x 2－ln x 在其定义域内的一个子区间(k －1，k ＋1)内不是．．单调函数，则实数k 的取值范围是( ) A ．[1，＋∞) B ．[1，32) C ．[1,2)D ．[32，2)10． 已知曲线方程f (x )＝sin 2x ＋2ax (a ∈R )，若对任意实数m ，直线l ：x ＋y ＋m ＝0都不是曲线y ＝f (x )的切线，则a 的取值范围是( )A ．(－∞，－1)∪(－1,0)B ．(－∞，－1)∪(0，＋∞)C ．(－1,0)∪(0，＋∞)D ．a ∈R 且a ≠0，a ≠－111． 若关于x 的不等式x 3－3x 2－9x ＋2≥m 对任意x ∈[－2,2]恒成立，则m 的取值范围是( ) A ．(－∞，7] B ．(－∞，－20] C ．(－∞，0] D ．[－12,7]12． 定义在R 上的函数f (x )满足f (4)＝1，f ′(x )为f (x )的导函数，已知函数y ＝f ′(x )的图象如图所示．若两正数a ，b 满足f (2a ＋b )<1，则b ＋2a ＋2的取值范围是( )A.⎝⎛⎭⎫13，12B.⎝⎛⎭⎫－∞，12∪(3，＋∞)C.⎝⎛⎭⎫12，3 D ．(－∞，－3)13．若函数21()ln(2)2f x x b x =++在[1,)+∞上是增函数，则b 的取值范围为【 】A ．(,3]-∞-B ．[3,)-+∞C ．(,3]-∞D ．[3,)+∞ 14. 已知函数1()ln(1)f x x x=+-；则()y f x =的图像大致为（）15．曲线y ＝xe x ＋2x ＋1在点(0,1)处的切线方程为________． 16．如图，函数y ＝f (x )的图象在点P 处的切线方程是y ＝－x ＋8，则f (5)＋f ′(5)＝________.17．已知21()ln (0)2f x a x x a =+>，若对任意两个不等的正实数21,x x 都有1212()()f x f x x x --2>恒成立，则a 的取值范围是18．对于三次函数f (x )＝ax 3＋bx 2＋cx ＋d (a ≠0)，定义：设f ″(x )是函数y ＝f (x )的导数y ＝f ′(x )的导数，若方程f ″(x )＝0有实数解x 0，则称点(x 0，f (x 0))为函数y ＝f (x )的“拐点”．有同学发现“任何一个三次函数都有‘拐点’；任何一个三次函数都有对称中心；且‘拐点’就是对称中心．”请你将这一发现为条件，求 (1)函数f (x )＝x 3－3x 2＋3x 对称中心为________．(2)若函数g (x )＝13x 3－12x 2＋3x －512＋1x －12，则g ⎝⎛⎭⎫12011＋g ⎝⎛⎭⎫22011＋g ⎝⎛⎭⎫32011＋g ⎝⎛⎭⎫42011＋…＋g ⎝⎛⎭⎫20102011＝________.19．函数f (x )＝ax 3－6ax 2＋3bx ＋b ，其图象在x ＝2处的切线方程为3x ＋y －11＝0.(1)求函数f (x )的解析式；(2)若函数y ＝f (x )的图象与y ＝13f ′(x )＋5x ＋m 的图象有三个不同的交点，求实数m 的取值范围；20．已知函数f (x )＝x 4－4x 3＋ax 2－1在区间[0,1]上单调递增，在区间[1,2]上单调递减.(1)求a 的值；(2)记g (x )＝bx 2－1，若方程f (x )＝g (x )的解集恰有3个元素，求b 的取值范围.21．已知函数f (x )＝ax 3＋bx 2的图象经过点M (1,4)，曲线在点M 处的切线恰好与直线x ＋9y ＝0垂直，(1)求实数a 、b 的值；(2)若函数f (x )在区间[m ，m ＋1]上单调递增，求m 的取值范围．22．已知函数()ln ()1a f x x a R x =+∈+ （1）当92a =时如果函数()()g x f x k =-仅有一个零点，求实数k 的取值范围 （2）当2a =时，试比较()f x 与1的大小（3）求证*1111ln(1)()35721n n N n +>+++⋅⋅⋅+∈+ 23．已知函数)(x f 是在),0(+∞上处处可导的函数,若)()('x f x f x >⋅在0>x 上恒成立.(I)求证：函数),0()()(+∞=在xx f x g 上是增函数； (II)当)()()(:,0,0212121x x f x f x f x x +<+>>证明时；24. 已知函数x axxx f ln 1)(+-=（其中a 0>，7.2≈e ）. （Ⅰ）若函数)(x f 在),1[+∞上为增函数，求实数a 的取值范围；（Ⅱ）当1=a 时，求函数)(x f 在]2,21[上的最大值和最小值；（Ⅲ）当1=a 时，求证：对于任意大于1的正整数n ，都有nn 13121ln +++> 在区间[m ，n ]上存在零点，求实数a 的取值范围．。
三维设计江苏专用2017届高三数学一轮总复习第三章导数及其应用第一节导数的概念与计算课件文
答案：3
1．利用公式求导时要特别注意除法公式中分子的符号，防止 与乘法公式混淆．
2．求曲线切线时，要分清在点 P 处的切线与过 P 点的切线的 区别，前者只有一条，而后者包括了前者．
3．曲线的切线与曲线的交点个数不一定只有一个，这和研究 直线与二次曲线相切时有差别．
[小题纠偏] 1．已知函数 f(x)的导函数为 f′(x)，且满足 f(x)＝2xf′(e)
② 根据自己预习时理解过的逻辑结构抓住老师的思路。老师讲课在多数情况下是根据教材本身的知识结构展开的，若把自己预习时所理解过的知识 逻辑结构与老师的讲解过程进行比较，便可以抓住老师的思路。
③ 根据老师的提示抓住老师的思路。老师在教学中经常有一些提示用语，如“请注意”、“我再重复一遍”、“这个问题的关键是····”等等，这些 用语往往体现了老师的思路。来自：学习方法网
f′xgx－fxg′x
(3)gfxx′＝
[gx]2
(g(x)≠0)．
[小题体验]
1．(教材习题改编)一次函数 f(x)＝kx＋b 在区间[m，n]上的 平均变化率为________． 解析：由题意得函数 f(x)＝kx＋b 在区间[m，n]上的平 均变化率为fnn－ －mfm＝k. 答案：k
[方法归纳] 导数几何意义的应用的 2 个注意点 (1)当曲线 y＝f(x)在点(x0，f(x0))处的切线垂直于 x 轴时， 函数在该点处的导数不存在，切线方程是 x＝x0； (2)注意区分曲线在某点处的切线和曲线过某点的切线．曲 线 y＝f(x)在点 P(x0，f(x0))处的切线方程是 y－f(x0)＝f′(x0)(x －x0)；求过某点的切线方程，需先设出切点坐标，再依据已知 点在切线上求解．
角度三：求参数的值 3．(2016·南京外国语学校检测)已知函数 f(x)＝x4＋ax2－bx，
高考数学一轮复习课时过关检测(十四) 导数的概念及运算
课时过关检测（十四） 导数的概念及运算A 级——基础达标1．曲线y ＝e x －ln x 在点(1，e)处的切线方程为( ) A ．(1－e)x －y ＋1＝0 B ．(1－e)x －y －1＝0 C ．(e －1)x －y ＋1＝0D ．(e －1)x －y －1＝0解析：选C 由于y ′＝e －1x ，所以y ′|x ＝1＝e －1，故曲线y ＝e x －ln x 在点(1，e)处的切线方程为y －e ＝(e －1)·(x －1)，即(e －1)x －y ＋1＝0.2．已知函数f (x )的导函数为f ′(x )，且满足关系式f (x )＝x 2＋3xf ′(2)＋ln x ，则f ′(2)的值等于( )A ．－2B ．2C ．－94D ．94解析：选C 因为f (x )＝x 2＋3xf ′(2)＋ln x ，所以f ′(x )＝2x ＋3f ′(2)＋1x，所以f ′(2)＝2×2＋3f ′(2)＋12，解得f ′(2)＝－94.3.(2021·益阳、湘潭调研)已知函数f (x )在R 上可导，其部分图象如图所示，设错误!＝a ，则下列不等式正确的是( )A ．f ′(1)<f ′(2)<aB ．f ′(1)<a <f ′(2)C ．f ′(2)<f ′(1)<aD ．a <f ′(1)<f ′(2)解析：选B 由图象可知，在(0，＋∞)上，函数f (x )单调递增，且曲线切线的斜率越来越大， ∵错误!＝a ，∴易知f ′(1)<a <f ′(2)．4．(2021·湖北八校第一次联考)已知曲线C ：f (x )＝x 3－3x ，直线l ：y ＝ax －3a ，则a ＝6是直线l 与曲线C 相切的( )A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件解析：选A 因为曲线C ：f (x )＝x 3－3x ，所以f ′(x )＝3x 2－3.设直线l 与曲线C 相切，且切点的横坐标为x 0，则切线方程为y ＝(3x 20－3)x －2x 30，所以⎩⎪⎨⎪⎧3x20－3＝a ，2x30＝3a ，解得⎩⎪⎨⎪⎧x0＝3，a ＝6或⎩⎪⎨⎪⎧x0＝－32，a ＝－34，所以a ＝6是直线l 与曲线C 相切的充分不必要条件，故选A ．5．(多选)如图所示的是物体甲、乙在时间0到t 1范围内路程的变化情况，下列说法不正确的是( )A ．在0到t 0范围内，甲的平均速度大于乙的平均速度B ．在0到t 0范围内，甲的平均速度小于乙的平均速度C ．在t 0到t 1范围内，甲的平均速度大于乙的平均速度D ．在t 0到t 1范围内，甲的平均速度小于乙的平均速度解析：选ABD 在0到t 0范围内，甲、乙的平均速度都为v ＝s0t0，故A 、B 错误；在t 0到t 1范围内，甲的平均速度为s2－s0t1－t0，乙的平均速度为s1－s0t1－t0.因为s 2－s 0>s 1－s 0，t 1－t 0>0，所以s2－s0t1－t0>s1－s0t1－t0，故C 正确，D 错误．6．(多选)若函数f (x )的导函数f ′(x )的图象关于y 轴对称，则f (x )的解析式可能为( ) A ．f (x )＝3cos x B ．f (x )＝x 3＋x C ．f (x )＝x ＋1xD ．f (x )＝e x ＋x解析：选BC 对于A ，f (x )＝3cos x ，其导数f ′(x )＝－3sin x ，其导函数为奇函数，图象不关于y 轴对称，不符合题意；对于B ，f (x )＝x 3＋x ，其导数f ′(x )＝3x 2＋1，其导函数为偶函数，图象关于y 轴对称，符合题意；对于C ，f (x )＝x ＋1x ，其导数f ′(x )＝1－1x2，其导函数为偶函数，图象关于y 轴对称，符合题意；对于D ，f (x )＝e x ＋x ，其导数f ′(x )＝e x ＋1，其导函数不是偶函数，图象不关于y 轴对称，不符合题意．7．(2021·江西南昌一模)设函数f (x )在(0，＋∞)内可导，其导函数为f ′(x )，且f (ln x )＝x ＋ln x ，则f ′(1)＝ .解析：因为f (ln x )＝x ＋ln x ，所以f (x )＝x ＋e x ， 所以f ′(x )＝1＋e x ，所以f ′(1)＝1＋e 1＝1＋e. 答案：1＋e8.如图，y ＝f (x )是可导函数，直线l ：y ＝kx ＋2是曲线y ＝f (x )在x ＝3处的切线，令g (x )＝xf (x )，则曲线g (x )在x ＝3处的切线方程为 ．解析：由题图可知曲线y ＝f (x )在x ＝3处的切线斜率等于－13，即f ′(3)＝－13.又g (x )＝xf (x )，所以g ′(x )＝f (x )＋xf ′(x )，g ′(3)＝f (3)＋3f ′(3)，由题图可知f (3)＝1，所以g (3)＝3f (3)＝3，g ′(3)＝1＋3×⎝ ⎛⎭⎪⎫－13＝0，则曲线g (x )在x ＝3处的切线方程为y －3＝0.答案：y －3＝09．(2021·开封市模拟考试)已知函数f (x )＝mx 3＋6mx －2e x ，若曲线y ＝f (x )在点(0，f (0))处的切线与直线4x ＋y －2＝0平行，则m ＝ .解析：f ′(x )＝3mx 2＋6m －2e x，则f ′(0)＝6m －2＝－4，解得m ＝－13.答案：－1310．若函数y ＝2x 3＋1与y ＝3x 2－b 的图象在一个公共点处的切线相同，则实数b ＝ . 解析：设公共切点的横坐标为x 0，函数y ＝2x 3＋1的导函数为y ′＝6x 2，y ＝3x 2－b 的导函数为y ′＝6x ，由图象在一个公共点处的切线相同，可得6x 20＝6x 0且1＋2x 30＝3x 20－b ，解得x 0＝0，b ＝－1或x 0＝1，b ＝0.故实数b ＝0或－1.答案：0或－111．已知曲线y ＝x 3＋x －2在点P 0处的切线l 1平行于直线4x －y －1＝0，且点P 0在第三象限．(1)求P 0的坐标；(2)若直线l ⊥l 1，且l 也过切点P 0，求直线l 的方程． 解：(1)由y ＝x 3＋x －2，得y ′＝3x 2＋1， 由已知令3x 2＋1＝4，解得x ＝±1. 当x ＝1时，y ＝0；当x ＝－1时，y ＝－4. 又∵点P 0在第三象限， ∴切点P 0的坐标为(－1，－4)． (2)∵直线l ⊥l 1，l 1的斜率为4， ∴直线l 的斜率为－14.∵l 过切点P 0，点P 0的坐标为(－1，－4)， ∴直线l 的方程为y ＋4＝－14(x ＋1)，即x ＋4y ＋17＝0.12．设函数f (x )＝ax －bx ，曲线y ＝f (x )在点(2，f (2))处的切线方程为7x －4y －12＝0.(1)求f (x )的解析式；(2)证明：曲线y ＝f (x )上任一点处的切线与直线x ＝0和直线y ＝x 所围成的三角形的面积为定值，并求此定值．解：(1)方程7x －4y －12＝0可化为y ＝74x －3.当x ＝2时，y ＝12.又f ′(x )＝a ＋bx2，于是⎩⎪⎨⎪⎧2a －b 2＝12，a ＋b 4＝74，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝1，b ＝3.故f (x )＝x －3x .(2)设P (x 0，y 0)为曲线上任一点，由y ′＝1＋3x2，知曲线在点P (x 0，y 0)处的切线方程为y －y 0＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋3x20(x －x 0)，即y －⎝⎛⎭⎪⎫x0－3x0＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋3x20(x －x 0)．令x ＝0，得y ＝－6x0，从而得切线与直线x ＝0的交点坐标为⎝⎛⎭⎪⎫0，－6x0.令y ＝x ，得y ＝x ＝2x 0，从而得切线与直线y ＝x 的交点坐标为(2x 0,2x 0)．所以在点P (x 0，y 0)处的切线与直线x ＝0，y ＝x 所围成的三角形的面积为S ＝12⎪⎪⎪⎪⎪⎪－6x0·|2x 0|＝6.故曲线y ＝f (x )上任一点处的切线与直线x ＝0，y ＝x 所围成的三角形的面积为定值，且此定值为6.B 级——综合应用13．(2021·甘肃、青海、宁夏联考)过点M (－1,0)引曲线C ：y ＝2x 3＋ax ＋a 的两条切线，这两条切线与y 轴分别交于A 、B 两点，若|MA |＝|MB |，则a ＝ .解析：设切点坐标为(t,2t 3＋at ＋a )，∵y ′＝6x 2＋a ，∴6t 2＋a ＝2t3＋at ＋at ＋1，即4t 3＋6t 2＝0，解得t ＝0或t ＝－32，∵|MA |＝|MB |，∴两切线的斜率互为相反数，即2a ＋6×⎝ ⎛⎭⎪⎫－322＝0，解得a ＝－274. 答案：－27414．(2021·江西五校联考)已知函数f (x )＝x ＋a2x，若曲线y ＝f (x )存在两条过(1,0)点的切线，则a 的取值范围是 ．解析：f ′(x )＝1－a2x2，设切点坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫x0，x0＋a 2x0，则切线方程为y －x 0－a2x0＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1－a 2x20(x －x 0)，又切线过点(1,0)，所以－x 0－a2x0＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1－a 2x20(1－x 0)，整理得2x 20＋2ax 0－a ＝0，又曲线y ＝f (x )存在两条过(1,0)点的切线，故方程有两个不等实根，即满足Δ＝4a 2－8(－a )＞0，解得a ＞0或a ＜－2.答案：(－∞，－2)∪(0，＋∞)15．已知函数f (x )＝ax 3＋3x 2－6ax －11，g (x )＝3x 2＋6x ＋12和直线m ：y ＝kx ＋9，且f ′(－1)＝0.(1)求a 的值；(2)是否存在k ，使直线m 既是曲线y ＝f (x )的切线，又是曲线y ＝g (x )的切线？如果存在，求出k 的值；如果不存在，请说明理由．解：(1)由已知得f ′(x )＝3ax 2＋6x －6a ，因为f ′(－1)＝0，所以3a －6－6a ＝0，所以a ＝－2.(2)存在．由已知得，直线m 恒过定点(0,9)，若直线m 是曲线y ＝g (x )的切线，则设切点为(x 0,3x 20＋6x 0＋12)．因为g ′(x 0)＝6x 0＋6，所以切线方程为y －(3x 20＋6x 0＋12)＝(6x 0＋6)(x －x 0)， 将(0,9)代入切线方程，解得x 0＝±1.当x0＝－1时，切线方程为y＝9；当x0＝1时，切线方程为y＝12x＋9.由(1)知f(x)＝－2x3＋3x2＋12x－11，①由f′(x)＝0得－6x2＋6x＋12＝0，解得x＝－1或x＝2.在x＝－1处，y＝f(x)的切线方程为y＝－18；在x＝2处，y＝f(x)的切线方程为y＝9，所以y＝f(x)与y＝g(x)的公切线是y＝9.②由f′(x)＝12得－6x2＋6x＋12＝12，解得x＝0或x＝1.在x＝0处，y＝f(x)的切线方程为y＝12x－11；在x＝1处，y＝f(x)的切线方程为y＝12x－10，所以y＝f(x)与y＝g(x)的公切线不是y＝12x＋9.综上所述，y＝f(x)与y＝g(x)的公切线是y＝9，此时k＝0.。
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高三一轮复习 2.10导数的概念及其运算（检测学生版）
时间:50分钟 总分：70分
班级： 姓名：
一、 选择题（共6小题，每题5分，共30分）
1．(北京市丰台区2016届高三第一学期期末)若曲线y＝x3＋ax在坐标原点处的切线方程是2x－y＝0，则实
数a＝( )
A．1 B．－1
C．2 D．－1
2．已知函数ln,0,fxaxxx ,其中a为实数,fx为fx的导函数,若13f ,则a的
值为 ．
3.2.3.1.DCBA
3.已知曲线y1＝2－1x与y2＝x3－x2＋2x在x＝x0处切线的斜率的乘积为3，则x0的值为( )
A．－2 B．2
C.12 D．1
4.函数2ln2)(xxxf在1x处的切线方程是 ．
034.034.034.034.yxDyxC
yxByxA
5．若1201xx，则（ ）
A.2121lnlnxxeexx B.2121lnlnxxeexx C.1221xxxexe D.1221xxxexe
6．【海淀区2016二模文2】设函数f(x)＝g(x)＋x2，曲线y＝g(x)在点(1，g(1))处的切线方程为y＝2x＋1，则
曲线y＝f(x)在点(1，f(1))处的切线的斜率为( )
A．2 B.14
C．4 D．－12
二、填空题（共4小题，每题5分，共20分）
7.已知曲线 4yx在点 P(1, 4) 处的切线与直线 l 平行且距离为17，则直线 l 的方程为
____________________.
8.【西城区2016一模】已知函数fx满足22xxeefxfx，则1f _______________．
9.曲线y＝ln(2x)上任意一点P到直线y＝2x的距离的最小值是________．
10.若函数sin()cosaxfxx在区间ππ(,)63上单调递增，则实数a的取值范围是 .
三、 解答题（共2小题，每题10分，共20分）
11．已知函数325()2fxxxaxb ,327()ln2gxxxxb，（a，b为常数）．
（Ⅰ）若()gx在1x处的切线过点(0,5)，求b的值；
（Ⅱ）设函数()fx的导函数为()fx，若关于x的方程()()fxxxfx有唯一解，求实数b的取值范围；
（Ⅲ）令()()()Fxfxgx，若函数()Fx存在极值，且所有极值之和大于5ln2，求实数a的取值范
围．
12． (北京市朝阳区2016届高三第一学期期末)已知函数()lnfxaxx，其中aR.
（1）若()fx在区间[1,2]上为增函数，求a的取值范围；
（2）当ae时，（ⅰ）证明：()20fx；（ⅱ）试判断方程ln3()2xfxx是否有实数解，并说明
理由．