课堂新坐标2016_2017学年高中数学第2章圆锥曲线2.5圆锥曲线的几何性质学案
圆锥曲线高中数学解读教案
圆锥曲线高中数学解读教案教学内容：圆锥曲线
课时安排：2课时
教学目标：
1. 理解圆锥曲线的定义以及各种形式的表达；
2. 掌握圆锥曲线的性质和特点；
3. 能够应用所学知识解决相关问题。
教学重点：
1. 圆锥曲线的定义和性质；
2. 椭圆、双曲线、抛物线的特点与区别；
3. 圆锥曲线的图像及方程。
教学内容和步骤：
第一课时：
1. 引入学习，了解学生对圆锥曲线的理解和认识；
2. 讲述圆锥曲线的定义及一般方程；
3. 分别介绍椭圆、双曲线和抛物线的定义和特点；
4. 指导学生做相关习题，巩固所学知识。
第二课时：
1. 复习前一节课的内容，解答学生提出的问题；
2. 讲解圆锥曲线的图像和方程的变化规律；
3. 继续指导学生进行练习和讨论；
4. 小结本节课的学习内容，布置相关作业。
教学方法：
1. 教师讲授与学生互动相结合，注重启发式教学方法；
2. 多媒体教学辅助，展示圆锥曲线的图像和方程；
3. 组织学生进行讨论和小组合作，促进彼此之间的交流和学习。
教学评价：
1. 课后布置相关练习和作业，及时进行批改和评价；
2. 观察学生学习情况，及时调整教学进度和方法；
3. 定期进行测试和考查，全面评估学生对圆锥曲线的掌握情况。
圆锥曲线高中数学讲解教案
圆锥曲线高中数学讲解教案
一、教学目标：
1. 了解圆锥曲线的定义和基本性质；
2. 掌握圆锥曲线的标准方程和性质；
3. 能够根据给定的条件求解圆锥曲线的方程；
4. 能够利用圆锥曲线解决实际问题。
二、教学重点：
1. 圆锥曲线的定义；
2. 圆锥曲线的标准方程；
3. 圆锥曲线的性质。
三、教学难点：
1. 圆锥曲线的方程求解；
2. 圆锥曲线的性质证明。
四、教学过程：
1. 圆锥曲线的定义和基本概念（15分钟）
- 圆锥曲线的定义；
- 圆锥曲线的类别；
- 圆锥曲线的几何性质。
2. 圆锥曲线的标准方程和性质（20分钟）
- 圆的标准方程和性质；
- 椭圆的标准方程和性质；
- 双曲线的标准方程和性质；
- 抛物线的标准方程和性质。
3. 圆锥曲线的方程求解（30分钟）
- 根据给定的条件求解圆锥曲线的方程；
- 利用圆锥曲线求解实际问题。
4. 圆锥曲线的性质证明（15分钟）
- 圆锥曲线的对称性证明；
- 圆锥曲线的焦点、准线和直径关系证明。
五、教学总结：
通过本节课的学习，我们对圆锥曲线的定义、标准方程和性质有了更深入的了解，掌握了圆锥曲线的求解方法和应用能力。
希望同学们能够认真复习，做好练习，提高对圆锥曲线的理解和应用能力。
下节课将继续深入学习圆锥曲线的相关内容，敬请期待。
【课堂新坐标】2016-2017学年高中数学苏教版必修二课件：第二章 平面解析几何初步-2.1-2.1.3
[ 再练一题] 3．(1)已知四点 A(5,3)，B(10,6)，C(3，－4)，D(－6，11)，求证：AB⊥CD. 3 (2)已知直线 l1 的斜率 k1＝4，直线 l2 经过点 A(3a，－2)，B(0，a2＋1)，且 l1 ⊥l2，求实数 a 的值．
【解】
(1)证明：由斜率公式得：
6－3 3 kAB＝ ＝ ， 10－5 5 11－－4 5 kCD＝ ＝－3， －6－3 则 kAB· kCD＝－1，∴AB⊥CD. (2)∵l1⊥l2，∴k1· k2＝－1，
[ 探究共研型]
两直线平行与垂直的应用
探究 如图 218，设直线 l1 与 l2 的倾斜角分别为 α1 与 α2，且 α1<α2，斜率
分别为 k1，k2，若 l1⊥l2，α1 与 α2 之间有什么关系？为什么？
图 218 【提示】 α2＝90° ＋α1.因为三角形任意一外角等于不相邻两内角之和．
(2016· 无锡月考)已知点 A(2,2)和直线 l：3x＋4y－20＝0，求： (1)过点 A 和直线 l 平行的直线方程； (2)过点 A 和直线 l 垂直的直线方程．
－A2B1＝0 且 B1C2－B2C1≠0(或 A1C2－A2C1≠0)
1．判断(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)若直线 l1 与 l2 斜率相等，则 l1∥l2.(×) (2)若直线 l1∥l2(两条直线的斜率分别为 k1，k2)，则 k1＝k2.(√) (3)若两条直线的斜率不相等，则两直线不平行．(√) 2．已知 A(2,0)，B(3,3)，直线 l∥AB，则直线 l 的斜率 k＝________.
我还有这些不足： (1) (2) 我的课下提升方案： (1) (2)
【解析】 ①中，当 k1＝k2 时，l1 与 l2 平行或重合，错误；②中，斜率不存 在时，错误；④错误．只有③正确．
(新)高中数学第二章圆锥曲线与方程2_4_2抛物线的几何性质学案新人教B版选修2-1
2.4.2 抛物线的几何性质学习目标 1.了解抛物线的范围、对称性、顶点、焦点、准线等几何性质.2.会利用抛物线的性质解决一些简单的抛物线问题．知识点一抛物线的范围思考观察下列图形，思考以下问题：(1)观察焦点在x轴的抛物线与双曲线及椭圆的图形，分析其几何图形存在哪些区别？(2)根据图形及抛物线方程y2＝2px(p>0)如何确定横坐标x的范围？梳理抛物线y2＝2px(p>0)中，x∈__________，y∈__________.抛物线y2＝－2px(p>0)中，x∈__________，y∈__________.抛物线x2＝2py(p>0)中，x∈__________，y∈__________.抛物线x2＝－2py(p>0)中，x∈__________，y∈__________.知识点二四种形式的抛物线的几何性质标准方程y2＝2px(p>0) y2＝－2px(p>0) x2＝2py(p>0) x2＝－2py(p>0) 图形范围x≥0，y∈R x≤0，y∈R y≥0，x∈R y≤0，x∈R 对称轴x轴x轴y轴y轴焦点F(p2，0)F(－p2，0)F(0，p2)F(0，－p2)准线方程 x ＝－p 2x ＝p 2y ＝－p 2y ＝p 2顶点坐标 O (0，0) 离心率 e ＝1通径长 2p知识点三 直线与抛物线的位置关系直线y ＝kx ＋b 与抛物线y 2＝2px (p >0)的交点个数决定于关于x 的方程组⎩⎪⎨⎪⎧y ＝kx ＋b ，y 2＝2px解的个数，即二次方程k 2x 2＋2(kb －p )x ＋b 2＝0解的个数．当k ≠0时，若Δ>0，则直线与抛物线有______个不同的公共点；若Δ＝0时，直线与抛物线有______个公共点；若Δ<0时，直线与抛物线________公共点．当k ＝0时，直线与抛物线的轴__________，此时直线与抛物线有______个公共点．类型一 依据抛物线的几何性质求标准方程例1 抛物线的顶点在原点，对称轴重合于椭圆9x 2＋4y 2＝36短轴所在的直线，抛物线焦点到顶点的距离为3，求抛物线的方程及抛物线的准线方程． 引申探究将本例改为“若抛物线的焦点F 在x 轴上，直线l 过F 且垂直于x 轴，l 与抛物线交于A ，B 两点，O 为坐标原点，若△OAB 的面积等于4”，求此抛物线的标准方程．反思与感悟 用待定系数法求抛物线方程的步骤跟踪训练1 已知抛物线的顶点在坐标原点，对称轴为x 轴，且与圆x 2＋y 2＝4相交于A ，B 两点，|AB |＝23，求抛物线方程．类型二 抛物线的焦半径和焦点弦问题例2 (1)过抛物线y 2＝8x 的焦点，倾斜角为45°的直线被抛物线截得的弦长为________． (2) 直线l 过抛物线y 2＝4x 的焦点，与抛物线交于A ，B 两点，若|AB |＝8，则直线l 的方程为________________．(3)过抛物线y 2＝4x 的焦点作直线交抛物线于点A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，若|AB |＝7，则AB 的中点M 到抛物线准线的距离为________________．反思与感悟 (1)抛物线上任一点P (x 0，y 0)与焦点F 的连线得到的线段叫做抛物线的焦半径，对于四种形式的抛物线来说其焦半径的长分别为： ①抛物线y 2＝2px (p >0)，|PF |＝|x 0＋p 2|＝p2＋x 0；②抛物线y 2＝－2px (p >0)，|PF |＝|x 0－p 2|＝p2－x 0；③抛物线x 2＝2py (p >0)，|PF |＝|y 0＋p 2|＝p2＋y 0；④抛物线x 2＝－2py (p >0)，|PF |＝|y 0－p2|＝p2－y 0.(2)已知AB 是过抛物线y 2＝2px (p >0)的焦点的弦，F 为抛物线的焦点，A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则：①y 1·y 2＝－p 2，x 1·x 2＝p 24；②|AB |＝x 1＋x 2＋p ＝2psin 2θ(θ为直线AB 的倾斜角)； ③S △ABO ＝p 22sin θ(θ为直线AB 的倾斜角)；④1|AF |＋1|BF |＝2p ； ⑤以AB 为直径的圆与抛物线的准线相切．(3)当直线经过抛物线的焦点，且与抛物线的对称轴垂直时，直线被抛物线截得的线段称为抛物线的通径，显然通径长等于2p .跟踪训练2 已知直线l 经过抛物线y 2＝6x 的焦点F ，且与抛物线相交于A ，B 两点． (1)若直线l 的倾斜角为60°，求|AB |的值； (2)若|AB |＝9，求线段AB 的中点M 到准线的距离．类型三 抛物线综合问题命题角度1 与抛物线有关的最值问题例3 抛物线y 2＝4x 的焦点为F ，点P (x ，y )为该抛物线上的动点，若点A (－1，0)，求|PF ||PA |的最小值．反思与感悟 (1)若曲线和直线相离，在曲线上求一点到直线的距离最小问题，可找到与已知直线平行的直线，使其与曲线相切，则切点为所要求的点．(2)以上问题一般转化为“两点之间线段最短”或“点到直线的垂线段最短”来解决． 跟踪训练3 已知直线l 1：4x －3y ＋6＝0和直线l 2：x ＝－1，抛物线y 2＝4x 上一动点P 到直线l 1和直线l 2的距离之和的最小值是( ) A ．2 B ．3 C.115 D.3716命题角度2 定值或定点问题例4 抛物线y 2＝2px (p >0)上有两动点A ，B 及一个定点M ，F 为抛物线的焦点，若|AF |，|MF |，|BF |成等差数列．(1)求证：线段AB 的垂直平分线过定点Q ；(2)若|MF |＝4，|OQ |＝6(O 为坐标原点)，求抛物线的方程．反思与感悟 在抛物线的综合性问题中，存在着许多定值问题，我们不需要记忆关于这些定值的结论，但必须牢牢掌握研究这些定值问题的基本方法，如设直线的点斜式方程、根与系数关系的利用、焦半径的转化等．跟踪训练4 在平面直角坐标系xOy 中，直线l 与抛物线y 2＝4x 相交于不同的A ，B 两点，OA →·OB →＝－4，求证：直线l 必过一定点．1．已知点A (－2，3)在抛物线C ：y 2＝2px 的准线上，记C 的焦点为F ，则直线AF 的斜率为( )A ．－43B ．－1C ．－34D ．－122．已知点P 是抛物线y 2＝2x 上的一个动点，则点P 到点(0，2)的距离与点P 到该抛物线准线的距离之和的最小值为( ) A.172 B ．3 C. 5 D.923．过抛物线y 2＝4x 的焦点作直线l 交抛物线于A ，B 两点，若线段AB 的中点的横坐标为3，则|AB |＝________.4．已知过抛物线y 2＝2px (p >0)的焦点F 作倾斜角为45°的直线交抛物线于A ，B 两点，若线段AB 的长为8，则p ＝________.5．已知抛物线C ：y 2＝8x 的焦点为F ，准线与x 轴的交点为K ，点A 在抛物线C 上，且|AK |＝2|AF |，则△AFK 的面积为________.1．抛物线的中点弦问题用点差法较简便．2．轴对称问题，一是抓住对称两点的中点在对称轴上，二是抓住两点连线的斜率与对称轴所在直线斜率的关系．3．在直线和抛物线的综合问题中，经常遇到求定值、过定点问题．解决这类问题的方法很多，如斜率法、方程法、向量法、参数法等．解决这些问题的关键是代换和转化．提醒：完成作业 第二章 2.4.2答案精析问题导学 知识点一思考 (1)抛物线与另两种曲线相比较，有明显的不同，椭圆是封闭曲线，有四个顶点，有两个焦点，有中心；双曲线虽然不是封闭曲线，但是有两支，有两个顶点，两个焦点，有中心；抛物线只有一条曲线，一个顶点，一个焦点，无中心．(2)由抛物线y 2＝2px (p >0)有⎩⎪⎨⎪⎧2px ＝y 2≥0，p >0，所以x ≥0.所以抛物线x 的范围为x ≥0.抛物线在y 轴的右侧，当x 的值增大时，︱y ︱也增大，这说明抛物线向右上方和右下方无限延伸．梳理 [0，＋∞) (－∞，＋∞) (－∞，0] (－∞，＋∞) (－∞，＋∞) [0，＋∞) (－∞，＋∞) (－∞，0] 知识点三两 一 没有 平行或重合 一 题型探究例1 解 椭圆的方程可化为x 24＋y 29＝1，其短轴在x 轴上，∴抛物线的对称轴为x 轴，∴设抛物线的方程为y 2＝2px 或y 2＝－2px (p >0)． ∵抛物线的焦点到顶点的距离为3， 即p2＝3，∴p ＝6. ∴抛物线的标准方程为y 2＝12x 或y 2＝－12x ， 其准线方程分别为x ＝－3或x ＝3. 引申探究解 由题意，设抛物线方程为y 2＝2mx (m ≠0)，焦点F (m 2，0)，直线l ：x ＝m2，所以A ，B 两点坐标为(m 2，m )，(m2，－m )，所以|AB |＝2|m |. 因为△OAB 的面积为4，所以12·|m2|·2|m |＝4，所以m ＝±2 2.所以抛物线的标准方程为y 2＝±42x .跟踪训练1 解 由已知，抛物线的焦点可能在x 轴正半轴上，也可能在负半轴上． 故可设抛物线方程为y 2＝ax (a ≠0)．设抛物线与圆x 2＋y 2＝4的交点A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)． ∵抛物线y 2＝ax (a ≠0)与圆x 2＋y 2＝4都关于x 轴对称， ∴点A 与B 关于x 轴对称， ∴|y 1|＝|y 2|且|y 1|＋|y 2|＝23， ∴|y 1|＝|y 2|＝3，代入圆x 2＋y 2＝4， 得x 2＋3＝4，∴x ＝±1，∴A (±1，3)或A (±1，－3)，代入抛物线方程，得(3)2＝±a ，∴a ＝±3. ∴所求抛物线方程是y 2＝3x 或y 2＝－3x .例2 (1)16 (2)x ＋y －1＝0或x －y －1＝0 (3)72跟踪训练2 解 (1)因为直线l 的倾斜角为60°，所以其斜率k ＝tan 60°＝ 3.又F ⎝ ⎛⎭⎪⎫32，0，所以直线l 的方程为y ＝3⎝ ⎛⎭⎪⎫x －32. 联立⎩⎪⎨⎪⎧y 2＝6x ，y ＝3⎝ ⎛⎭⎪⎫x －32，消去y 得x 2－5x ＋94＝0.若设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则x 1＋x 2＝5， 而|AB |＝|AF |＋|BF |＝x 1＋p 2＋x 2＋p2＝x 1＋x 2＋p ，所以|AB |＝5＋3＝8.(2)设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，由抛物线定义知|AB |＝|AF |＋|BF |＝x 1＋p 2＋x 2＋p2＝x 1＋x 2＋p＝x 1＋x 2＋3，所以x 1＋x 2＝6.于是线段AB 的中点M 的横坐标是3，又准线方程是x ＝－32，所以M 到准线的距离等于3＋32＝92.例3 解 抛物线y 2＝4x 的准线方程为x ＝－1，如图，过点P 作PN 垂直x ＝－1于点N ，由抛物线的定义可知|PF |＝|PN |， 连接PA ， 在Rt△PAN 中，sin∠PAN ＝|PN ||PA |，当|PN ||PA |＝|PF ||PA |最小时，sin∠PAN 最小，即∠PAN 最小，即∠PAF 最大，此时，PA 为抛物线的切线， 设PA 的方程为y ＝k (x ＋1)， 联立⎩⎪⎨⎪⎧y ＝k x ＋1，y 2＝4x ，得k 2x 2＋(2k 2－4)x ＋k 2＝0， 所以Δ＝(2k 2－4)2－4k 4＝0， 解得k ＝±1，所以∠PAF ＝∠NPA ＝45°， |PF ||PA |＝|PN ||PA |＝cos∠NPA ＝22. 跟踪训练3 A例4 (1)证明 设点A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，M (x 0，y 0)， 则|AF |＝x 1＋p 2，|BF |＝x 2＋p2，|MF |＝x 0＋p2，x 0为已知值． 由题意得x 0＝x 1＋x 22，∴线段AB 的中点坐标可设为(x 0，t )， 其中t ＝y 1＋y 22≠0(否则|AF |＝|MF |＝|BF |⇒p ＝0)．而k AB ＝y 1－y 2x 1－x 2＝y 1－y 212py 21－y 22＝2p y 1＋y 2＝pt ， 故线段AB 的垂直平分线的方程为y －t ＝－t p(x －x 0)，即t (x －x 0－p )＋yp ＝0，可知线段AB 的垂直平分线过定点Q (x 0＋p ，0)．(2)解 由|MF |＝4，|OQ |＝6，得x 0＋p2＝4，x 0＋p ＝6，联立解得p ＝4，x 0＝2.∴抛物线方程为y 2＝8x .跟踪训练4 证明 设l ：x ＝ty ＋b ，代入抛物线y 2＝4x ， 消去x 得y 2－4ty －4b ＝0，设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则y 1＋y 2＝4t ，y 1y 2＝－4b . 又∵OA →·OB →＝x 1x 2＋y 1y 2 ＝(ty 1＋b )(ty 2＋b )＋y 1y 2 ＝t 2y 1y 2＋bt (y 1＋y 2)＋b 2＋y 1y 2 ＝－4bt 2＋4bt 2＋b 2－4b ＝b 2－4b ， 又∵OA →·OB →＝－4，∴b 2－4b ＝－4， 解得b ＝2，故直线过定点(2，0)． 当堂训练1．C 2.A 3.8 4.2 5.8。
【课堂新坐标】高中数学配套课件第二章 圆锥曲线与方程 第2章2.1.2第2课时 选修1-1
直线与椭圆的位置关系
【问题导思】 1．直线与椭圆有几种位置关系？
【提示】 三种位置关系：相离、相切、相交．
2．我们知道，可以用圆心到直线的距离 d 与圆的半径 r 的大小关系判断直线与圆的位置关系， 这种方法称为几何法， 能否用几何法判断直线与椭圆的位置关系？ 【提示】 不能．
3．用什么方法判断直线与椭圆的位置关系？ 【提示】 代数法．
当 Δ＞0，即－ 5＜m＜ 5时，方程③有两个不同的实数 根，代入①可得到两个不同的公共点坐标，此时直线与椭圆 相交；当 Δ＝0，即 m＝－ 5或 m＝ 5时，方程③有两个相等 的实数根，代入①可得到一个公共点坐标，此时直线与椭圆 相切； 当 Δ＜0， 即 m＜－ 5或 m＞ 5时， 方程③没有实数根， 直线与椭圆相离．
若设 A(x1，y1)，B(x2，y2)， 32k2－16k 则 x1＋x2＝ 2 ， 1＋4k 由于 AB 的中点恰好为 P(4,2)， x1＋x2 16k2－8k 1 所以 2 ＝ 2 ＝4，解得 k＝－ . 2 1＋4k 1 这时直线 l 的方程为 y－2＝－ (x－4)， 2 1 即 y＝－2x＋4.
点与椭圆的位置关系
【问题导思】 点与椭圆有几种位置关系？ 【提示】 点在椭圆外． 三种位置关系：点在椭圆上，点在椭圆内，
x2 y2 设点 P(x0，y0)，椭圆 2＋ 2＝1(a＞b＞0)． a b
2 x2 y 0 0 (1)点 P 在椭圆上⇔ 2＋ 2 ＝ 1； a b 2 x2 y 0 0 (2)点 P 在椭圆内⇔ 2＋ 2 ＜ 1； a b 2 x2 y 0 0 (3)点 P 在椭圆外⇔ 2＋ 2 ＞ 1. a b
●重点、难点 重点：掌握直线与椭圆位置关系的判断方法，注意数形 结合思想的渗透． 难点：应用直线与椭圆位置关系的知识解决一些简单几 何问题和实际问题． 教学内容是在熟练椭圆方程与性质的基础上的习题课， 涉及直线与椭圆的位置关系、椭圆的实际应用问题，掌握好 椭圆方程与性质，类比直线与圆的位置关系的研究方法是突 破重点与难点的关键．
《课堂新坐标》2017高考数学(浙江专版)二轮复习与策略专题13圆锥曲线中的综合问题专题限时集训Word版含答
专题限时集训(十三) 圆锥曲线中的综合问题[建议用时：45分钟]1．(2016·哈尔滨一模)已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)的离心率为32，右顶点A (2,0)．(1)求椭圆C 的方程；(2)过点M ⎝ ⎛⎭⎪⎫32，0的直线l 交椭圆于B ，D 两点，设直线AB 的斜率为k 1，直线AD 的斜率为k 2，求证：k 1k 2为定值，并求此定值．[解](1)由题意得⎩⎪⎨⎪⎧a 2＝b 2＋c 2，c a ＝32，a ＝2，解得⎩⎨⎧a ＝2，b ＝1，c ＝3，所以C 的方程为x 24＋y2＝1. 4分(2)证明：由题意知直线l 的斜率不为0，可设直线l 的方程为x ＝my ＋32，与x 24＋y 2＝1联立得(m 2＋4)y 2＋3my －74＝0，6分由Δ＞0，设B (x 1，y 1)，D (x 2，y 2)， 则y 1＋y 2＝－3mm 2＋4，y 1y 2＝－74m 2＋4，8分k 1k 2＝y 1y 2(x 1－2)(x 2－2)＝y 1y 2⎝ ⎛⎭⎪⎫my 1－12⎝ ⎛⎭⎪⎫my 2－12＝y 1y 2m 2y 1y 2－12m (y 1＋y 2)＋14 ＝－74－74m 2＋32m 2＋14(m 2＋4)＝－74， ∴k 1k 2为定值，定值为－74.15分2．(2016·衡水二模)已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)的离心率为12，以原点为圆心，椭圆的短半轴长为半径的圆与直线7x －5y ＋12＝0相切．(1)求椭圆C 的方程；(2)设A (－4,0)，过点R (3,0)作与x 轴不重合的直线l 交椭圆C 于P ，Q 两点，连接AP ，AQ 分别交直线x ＝163于M ，N 两点，若直线MR ，NR 的斜率分别为k 1，k 2，试问：k 1k 2是否为定值？若是，求出该定值，若不是，请说明理由.【导学号：58962057】[解] (1)由题意得⎩⎪⎨⎪⎧c a ＝12，127＋5＝b ，a 2＝b 2＋c 2，∴⎩⎨⎧a ＝4，b ＝23，c ＝2，故椭圆C 的方程为x 216＋y 212＝1.4分(2)设P (x 1，y 1)，Q (x 2，y 2)，直线PQ 的方程为x ＝my ＋3，由⎩⎪⎨⎪⎧x 216＋y 212＝1，x ＝my ＋3，∴(3m 2＋4)y 2＋18my －21＝0，∴y 1＋y 2＝－18m 3m 2＋4，y 1y 2＝－213m 2＋4.6分 由A ，P ，M 三点共线可知y M 163＋4＝y 1x 1＋4，∴y M ＝28y 13(x 1＋4).8分同理可得y N ＝28y 23(x 2＋4)，∴k 1k 2＝y M 163－3×y N 163－3＝9y M y N 49＝16y 1y 2(x 1＋4)(x 2＋4). 10分∵(x 1＋4)(x 2＋4)＝(my 1＋7)(my 2＋7)＝m 2y 1y 2＋7m (y 1＋y 2)＋49，∴k 1k 2＝16y 1y 2m 2y 1y 2＋7m (y 1＋y 2)＋49＝－127.14分 ∴k 1k 2为定值－127.15分3．已知椭圆M ：x 2a 2＋y 23＝1(a ＞0)的一个焦点为F (－1,0)，左、右顶点分别为A ，B .经过点F 的直线l 与椭圆M 交于C ，D 两点．(1)求椭圆方程；(2)当直线l 的倾斜角为45°时，求线段CD 的长；(3)记△ABD 与△ABC 的面积分别为S 1和S 2，求|S 1－S 2|的最大值． [解] (1)因为F (－1,0)为椭圆的焦点，所以c ＝1，又b 2＝3， 所以a 2＝4，所以椭圆方程为x 24＋y 23＝1.3分(2)因为直线的倾斜角为45°，所以直线的斜率为1， 所以直线方程为y ＝x ＋1，和椭圆方程联立得到⎩⎪⎨⎪⎧x 24＋y 23＝1，y ＝x ＋1，消掉y ，得到7x 2＋8x －8＝0，4分 所以Δ＝288，x 1＋x 2＝－87，x 1x 2＝－87，5分 所以|CD |＝1＋k 2|x 1－x 2|＝2×(x 1＋x 2)2－4x 1x 2＝247. 6分(3)当直线l 斜率不存在时，直线方程为x ＝－1，此时D ⎝ ⎛⎭⎪⎫－1，32，C ⎝ ⎛⎭⎪⎫－1，－32，△ABD ，△ABC 面积相等，|S 1－S 2|＝0，7分当直线l 斜率存在(显然k ≠0)时，设直线方程为y ＝k (x ＋1)(k ≠0)． 设C (x 1，y 1)，D (x 2，y 2)， 和椭圆方程联立得到⎩⎪⎨⎪⎧x 24＋y 23＝1，y ＝k (x ＋1)，消掉y 得(3＋4k 2)x 2＋8k 2x ＋4k 2－12＝0，8分 显然Δ＞0，方程有根，且x 1＋x 2＝－8k 23＋4k 2，x 1x 2＝4k 2－123＋4k 2，9分此时|S 1－S 2|＝2||y 1|－|y 2||＝2|y 1＋y 2|＝2|k (x 2＋1)＋k (x 1＋1)| ＝2|k (x 2＋x 1)＋2k |＝12|k |3＋4k 2＝123|k |＋4|k |≤1223|k |×4|k |＝12212＝3(k ＝±32时等号成立)，所以|S 1－S 2|的最大值为 3. 15分4．(2016·开封二模)已知中心在原点O ，焦点在x 轴上，离心率为32的椭圆过点⎝⎛⎭⎪⎫2，22.图13-5(1)求椭圆的方程；(2)设不过原点O 的直线l 与该椭圆交于P ，Q 两点，满足直线OP ，PQ ，OQ 的斜率依次成等比数列，求△OPQ 面积的取值范围．[解] (1)由题意可设椭圆方程为 x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)，则c a ＝32(其中c 2＝a 2－b 2，c ＞0)，且2a 2＋12b 2＝1，故a ＝2，b ＝1. 所以椭圆的方程为x 24＋y 2＝1.4分(2)由题意可知，直线l 的斜率存在且不为0.故可设直线l ：y ＝kx ＋m (m ≠0)，设P (x 1，y 1)，Q (x 2，y 2)，由⎩⎨⎧y ＝kx ＋m ，x 2＋4y 2＝4，消去y 得(1＋4k 2)x 2＋8kmx ＋4(m 2－1)＝0， 5分则Δ＝64k 2m 2－16(1＋4k 2)(m 2－1)＝16(4k 2－m 2＋1)＞0， 且x 1＋x 2＝－8km1＋4k 2，x 1x 2＝4(m 2－1)1＋4k 2.6分 故y 1y 2＝(kx 1＋m )(kx 2＋m )＝k 2x 1x 2＋km (x 1＋x 2)＋m 2， 7分因为直线OP ，PQ ，OQ 的斜率依次成等比数列，所以y 1x 1·y 2x 2＝k 2x 1x 2＋km (x 1＋x 2)＋m 2x 1x 2＝k 2，即－8k 2m 21＋4k2＋m 2＝0. 8分 又m ≠0，所以k 2＝14，即k ＝±12.9分由于直线OP ，OQ 的斜率存在，且Δ＞0，得0＜m 2＜2，且m 2≠1.设d为点O到直线l的距离，则d＝|2m|5，10分|PQ|＝(1＋k2)[(x1＋x2)2－4x1x2]＝5(2－m2)，11分所以S＝12|PQ|d＝m2(2－m2)＜m2＋2－m22＝1(m2≠1)，故△OPQ面积的取值范围为(0,1). 15分。
2016-2017学年高中数学选修1-1课件：第二章圆锥曲线与方程 2.2-2.2.2双曲线的简单几
把 m＝± 2310代入上式，得Δ＞0，
所以
m 的值为±
210 3.
所以
所求 l 的方程为 y＝2x±
210 3.
第三十五页，编辑于星期五：十七点 五分。
第三十六页，编辑于星期五：十七点 五分。
第十七页，编辑于星期五：十七点 五分。
[变式训练] 求双曲线 9x2－y2＝81 的实轴长、虚轴 长、顶点坐标、焦点坐标、离心率和渐近线方程．
解：将 9x2－y2＝81 变形为x92－8y12 ＝1，即x322－9y22＝1. 所以 实轴长 2a＝6，虚轴长 2b＝18；顶点坐标为(3， 0)，(－3，0)；焦点坐标为(3 10，0)，(－3 10，0)，离 心率 e＝ 10；渐近线方程为 y＝±3x.
焦距为 2 3，则双曲线的渐近线方程为( )
A．y＝± 2x B．y＝±2x
C．y＝±
2 2x
D．y＝±12x
第十一页，编辑于星期五：十七点 五分。
解析：由已知，得 b＝1，c＝ 3，a＝ c2为 y＝±bax
＝±
2 2 x.
答案：C
第十二页，编辑于星期五：十七点 五分。
4. 若双曲线x42－by22＝1(b＞0)的渐近线方程为 y＝±12 x，则 b＝________．
解析：x42－yb22＝1 的渐近线方程为 y＝±12bx.因为渐近 线方程为 y＝±12x，故 b＝1.
答案：1
第十三页，编辑于星期五：十七点 五分。
5．若双曲线1y62 －xm2＝1 的离心率 e＝2，则 m＝______． 解析：由题意，知 a2＝16，即 a＝4.因为 e＝2，所以 c＝2a＝8，所以 m＝c2－a2＝48. 答案： 48
[思考尝试·夯基]
2016-2017学年高中数学选修2-1课件：第2章 圆锥曲线与方程2.4.2 第1课时
第十二页，编辑于星期五：十七点 十一分。
数学 选修2-1
第二章 圆锥曲线与方程
自主学习 新知突破
合作探究 课堂互动
高效测评 知能提升
4．已知A，B是抛物线y2＝2px(p>0)上两点，O为坐标原点， 若|OA|＝|OB|，且△ABO的垂心恰是此抛物线的焦点F，求直线 AB的方程．
解析： 抛物线的焦点 Fp2，0. ∵抛物线关于 x 轴对称，|OA|＝|OB|， ∴△ABO 为等腰三角形． ∴A，B 两点关于 x 轴对称． 设 A(x0，y0)，则 B(x0，－y0)．
_向_下____
第六页，编辑于星期五：十七点 十一分。
数学 选修2-1
第二章 圆锥曲线与方程
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合作探究 课堂互动高效测评 Nhomakorabea能提升抛物线的性质特点 (1)抛物线只有一个焦点，一个顶点，一条对称轴，一条准 线，无对称中心，因此，抛物线又称为无心圆锥曲线． (2)抛物线只位于半个坐标平面内，虽然它可以无限延伸， 但它没有渐近线． (3)抛物线的离心率定义为抛物线上的点到焦点的距离和该 点到准线的距离的比，所以抛物线的离心率是确定的，为1.
第二章 圆锥曲线与方程
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2．顶点在原点，对称轴为y轴，顶点到准线的距离为4的抛
物线方程是( )
A．x2＝16y
B．x2＝8y
C．x2＝±8y
D．x2＝±16y
解析： 顶点在原点，对称轴为y轴的抛物线方程有两个：
x2＝－2py，x2＝2py(p>0)．由顶点到准线的距离为4知p＝8，故
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数学 选修2-1
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- 1 - §5 圆锥曲线的几何性质 1.了解圆锥曲线的形成过程. 2.理解圆锥曲线的统一定义. 3.能用圆锥曲线的几何性质解决问题.
[基础²初探] 教材整理 圆锥曲线的统一定义 抛物线、椭圆、双曲线都是平面上到定点的距离与到定直线的距离之比为常数e(离心率)的动点的轨迹，此时定点称为焦点，定直线称为准线. 当e＝1时，轨迹为抛物线； 当0＜e＜1时，轨迹为椭圆； 当e＞1时，轨迹为双曲线.
1.平面内若动点M到两定点F1，F2的距离和为定值m(m＞0)，则动点M的轨迹是( ) 【导学号：96990050】 A.椭圆 B.线段 C.不存在 D.以上都有可能 【解析】 当m＞|F1F2|时，轨迹为椭圆； 当m＝|F1F2|时，轨迹为线段； 当m＜|F1F2|时，轨迹不存在. 【答案】 D 2.双曲线的两条准线把两焦点所连线段三等分，则它的离心率为( ) A.2 B.3
C.62 D.23 【解析】 由题意知2a2c＝2c3，∴c2a2＝3， - 2 -
∴e＝ca＝3. 【答案】 B [质疑²手记] 预习完成后，请将你的疑问记录，并与“小伙伴们”探讨交流： 疑问1： 解惑： 疑问2： 解惑： 疑问3： 解惑：
[小组合作型] 圆锥曲线的几何性质 如图251所示，椭圆的左、右焦点分别为F1，F2，A为椭圆内部一点，且F1A⊥F1F2，椭圆的长轴长为8，焦距为4，M为椭圆上任意一点，求AM＋2MF2的最小值.
图251 【精彩点拨】 设法将AM,2MF2转化到一条直线上，才能利用所学的求最值的基本思路，否则不易求. 【自主解答】 如图所示，l1，l2为椭圆的准线，过M作MN⊥l2于N.
∵e＝ca＝2c2a＝48＝12，∴MF2＝eMN＝12MN， ∴AM＋2MF2＝AM＋MN， 故AM＋2MF2的最小值为A到l2的距离， ∵AF1⊥F1F2， ∴即求F1到l2的距离.
延长F1F2交l2于Q，F1Q＝c＋a2c＝2＋422＝10， 故AM＋2MF2的最小值为10. - 3 -
1.本题求解的关键是把到焦点的距离转化为到定直线的距离，而转化的依据是圆锥曲线的统一定义. 2.两线段和或差的最值问题一般转化成直线上的线段和、差的最值问题；曲面上(球面除外)的最值问题也是转化为平面上的最值问题.
[再练一题] 1.已知双曲线左右两个焦点分别为F1，F2，P是双曲线左支上一点，P点到左准线的距离为d，若d，PF1，PF2成等比数列，求双曲线离心率e的取值范围. 【解】 如图所示，
由题知PF1d＝PF2PF1＝e， ∴PF2＝ePF1， 由PF2－PF1＝2a，
∴PF1＝2ae－1， 根据PF1≥F1A， ∴2ae－1≥c－a， ∴(e－1)2≤2,1－2≤e≤1＋2， 又∵e＞1， ∴1＜e≤1＋2， 即双曲线的离心率e的取值范围是1＜e≤1＋2. 圆锥曲线方程
点M(x，n)与定点F(c,0)的距离和它到定直线l：x＝a2c的距离的比是常数ca(c＞a＞0)，求点M的轨迹方程.
【精彩点拨】 表示出点M到定点F和定直线l的距离，直接列关系式求解. 【自主解答】 设d是点M到直线l的距离. 根据题意，所求轨迹就是集合
P＝M||MF|d＝ca，
由此得x－c2＋y2x－a2c＝ca. - 4 -
化简，得(c2－a2)x2－a2y2＝a2(c2－a2). 设c2－a2＝b2，就可化为x2a2－y2b2＝1(a＞0，b＞0).
1.解答本题时化简是关键. 2.平面直角坐标系也是解决几何问题的重要工具.通过平面直角坐标系可对几何元素进行定量的分析.
[再练一题] 2.在平面内，两个定点的距离为8，动点M到两个定点的距离的和为10，求动点M的轨迹方程. 【解】 以两点的连线段所在的直线为x轴，线段的中垂线为y轴建立直角坐标系. 则由椭圆的定义知，所求动点的轨迹为椭圆.
设所求椭圆方程为x2a2＋y2b2＝1， ∵2a＝10,2c＝8，∴a＝5，c＝4，则b2＝9， 故所求椭圆的方程为x225＋y29＝1. 利用Dandelin双球研究圆锥曲线问题 一个顶角为60°的圆锥面被一个平面π所截，如图252所示，Dandelin双球均在顶点S的下方，且一个半径为1，另一个半径为5，则截线的形状是什么曲线？其离心率是多少？
图252 【精彩点拨】 解答本题可先在所给的几何图形中找到椭圆的元素，再利用相应关系研究截线的性质. 【自主解答】 Dandelin双球均在顶点S的同侧，所以截线为椭圆. 设A，B分别是该椭圆的长轴的两个端点，F1，F2分别是其焦点，O1，O2分别为Dandelin双球中小、大球的球心，C，D分别为截面圆与母线的切点. ∵∠CSO1＝30°，O1C＝1，∴SC＝3. - 5 -
同理SD＝53，则CD＝43. 又∵BF1＋BF2＝BC＋BD＝CD， ∴2a＝BF1＋BF2＝43，即a＝23. 再延长O1F1交O2D于点G，过O2作O2F⊥F1G交F1G于点F， 则O1F＝r1＋r2＝6. 又∵CD＝43，∠DSO2＝30°，∴O1O2＝8， 在Rt△O1O2F中，FO2＝82－62＝27. 即2c＝F1F2＝FO2＝27， 故c＝7.
所以，离心率e＝ca＝723＝216.
1.解答本题时，先在图形中找出长轴与焦点，然后再求值. 2.解决此类问题可先把空间图形转化为平面图形，然后利用圆锥曲线的定义及性质来解决.
[再练一题] 3.已知圆锥面S，其母线与轴线所成的角为30°，在轴线上取一点C，使SC＝5，通过点C作一截面δ使它与轴线所成的角为45°，截出的圆锥曲线是什么样的图形？求它的离心率
及圆锥曲线上任一点到两个焦点的距离之和. 【解】 截得的曲线是椭圆.
e＝cos 45°cos 30°＝2232＝63.
设圆锥曲线上任意一点为M，其两焦点分别为F1，F2，如图所示，MF1＋MF2＝AB. 设圆锥面内切球O1的半径为R1，内切球O2的半径为R2. ∵SO1＝2R1，CO1＝2R1， ∴SC＝(2＋2)R1＝5，
即R1＝52－22. ∵SO2＝2R2，CO2＝2R2， - 6 -
∴SC＝(2－2)R2＝5，即R2＝52＋22. ∵O1O2＝CO1＋CO2＝2(R1＋R2)＝102， ∴AB＝O1O2cos 30°＝O1O2²32＝56， 即MF1＋MF2＝56. [探究共研型] 圆锥曲线的几何性质 探究1 你能列举几条椭圆的几何性质吗？ 【提示】 (1)椭圆中有“四线”(两条对称轴、两条准线)，“六点”(两个焦点、四个顶点).注意它们之间的位置关系(如准线垂直于长轴所在的直线、焦点在长轴上等)及相互间
的距离(如焦点到相应顶点的距离为a－c，到相应准线的距离为a2c－c等).
(2)设椭圆方程x2a2＋y2b2＝1(a＞b＞0)上任意一点为P(x，y)， 则|OP|＝x2＋y2＝x2＋b2a2a2－x2＝ c2x2＋a2b2a2. ∵－a≤x≤a，∴x＝0时，|OP|有最小值b，这时，P在短轴端点处；当x＝±a时，|OP|有最大值a，这时P在长轴端点处. (3)椭圆上任意一点P(x，y)(y≠0)与两焦点F1(－c,0)，F2(c,0)构成△PF1F2称之为焦点三角形，周长为2(a＋c). (4)椭圆的一个焦点、中心和短轴的一个端点构成直角三角形的边长有a2＝b2＋c2. 探究2 由双曲线的特征三角形我们可得到什么？ 【提示】 双曲线的特征三角形和椭圆类似，如图中△OAB称为双曲线的特征三角形，它
几乎包含了双曲线的所有基本特征量：|OA|＝a，|AB|＝b，|OB|＝|OF2|＝c，cos∠AOB＝ac＝1e，
OB所在的直线即为双曲线的渐近线y＝bax，
又F2在OB上的射影记作G，则|OG|＝a，|F2G|＝b(注意：△OAB≌△OGF2).G的横坐标记作xG，则xG＝a2c(由射影定理可得)，那么过G作y轴的平行线l，显然l为双曲线右焦点F2对应的准线. 已知双曲线x29－y216＝1的右焦点为F1，点A(9,2)不在双曲线上，试在这个曲线上
求一点M，使|MA|＋35|MF1|的值最小，并求出最小值. - 7 -
【精彩点拨】 根据双曲线的定义，结合化曲为直的思想，把|MA|与35|MF1|的折线之和转化为共直线的两线段之和. 【自主解答】 如图所示，l为双曲线的右准线，M为双曲线上任意一点，作
MN⊥l于N，根据双曲线的定义，e＝|MF1||MN|＝53.
则|MN|＝35|MF1|， 因此|MA|＋35|MF1|＝|MA|＋|MN|，当A，M，N三点共线时，即点M坐标为352，2时，|MA|＋35|MF1|取最小值为|AN|＝9－95＝365.
[构建²体系]
1.如果方程x2＋ky2＝2表示焦点在y轴上的椭圆，那么实数k的取值范围是( ) A.(0，＋∞) B.(0,2) C.(1，＋∞) D.(0,1)
【解析】 将所给方程x2＋ky2＝2转化为标准形式，即x22＋y22k＝1，
因为焦点在y轴上，所以有2k＞2， 于是0＜k＜1. 【答案】 D 2.平面内与圆C：(x＋2)2＋y2＝1外切，且与直线x＝1相切的动圆圆心M的轨迹是( )