高中数学第二单元平面向量2.3.1向量数量积的物理背景与定义课件新人教b必修4
平面向量数量积的物理背景及其含义
说明： 说明：
即 （1） 规定：零向量与任意向量的数量积为 ） 规定：零向量与任意向量的数量积为0，即
a ⋅0 =
0．
在向量的运算中不能省略， （2） a · b中间的“ · ”在向量的运算中不能省略，也不能写 ） 中间的 在向量的运算中不能省略 成a×b ，a×b 表示向量的另一种运算（外积）． × × 表示向量的另一种运算（外积）
a ⋅b
已知｜ ｜＝３ ｜＝６ 例1 . 已知｜ａ｜＝３，｜ｂ｜＝６，当①ａ∥ｂ，②ａ⊥ ｂ，③ａ与ｂ的夹角是60°时，分别求ａ·ｂ. 的夹角是60 60° 解：①当ａ∥ｂ时，若ａ与ｂ同向，则它们的夹角θ ＝０°， ∴ａ·ｂ＝｜ａ｜·｜ｂ｜cos0°＝3×6×1＝18； 若ａ与ｂ反向，则它们的夹角θ＝180°， ∴ａ·ｂ＝｜ａ｜｜ｂ｜cos180°＝3×6×（-1） ＝－18； ②当ａ⊥ｂ时，它们的夹角θ＝90°， ∴ａ·ｂ＝０； ③当ａ与ｂ的夹角是60°时，有 1 ａ·ｂ＝｜ａ｜｜ｂ｜cos60°＝3×6× ＝9 2
2
− k
2
b
2
= 0
∵ a 2＝ 3 2 ＝ 9 , b ＝ 4 2 ＝ 1 6 . ∴ 9－ 1 6 k 3 ∴ k = ± 4
2
= 0
2.4.1 平面向量的数量积的物理背景及其含义
小
结
1. 向量的数量积是一种向量的乘法运算，它与向量的加 向量的数量积是一种向量的乘法运算， 减法、数乘运算一样， 法、减法、数乘运算一样，也有明显的物理背景和几何 意义，同时还有一系列的运算性质， 意义，同时还有一系列的运算性质，但与向量的线性运 算不同的是，数量积的运算结果是数量而不是向量. 数量而不是向量 算不同的是，数量积的运算结果是数量而不是向量 2. 实数的运算性质与向量的运算性质不完全一致，应用 实数的运算性质与向量的运算性质 完全一致， 运算性质不 时不要似是而非. 时不要似是而非 求向量的模 3. 常用︱a︱＝ a ⋅ a求向量的模. 常用︱ ︱
向量数量积的物理背景与定义向量数量积的运算律讲课文档
2．(变条件)将本例中“a 与 b 的夹角 θ 为 120°”改为“|a·b|＝3”．如何求 a 与 b 的夹角 θ？ [解] 易求|a|＝2，|b|＝3. 因为 a·b＝|a||b|cos θ， 所以|a·b|＝|a||b||cos θ|＝3， 所以|cos θ|＝12，故 cos θ＝±12. 又因为 θ∈[0，π]，所以 θ＝π3或23π.
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2．已知|a|＝3，向量 a 与 b 的夹角为π3，则 a 在 b 方向上的投影为( )
【导学号：79402090】
33 A. 2
32 B. 2
1
3
C.2
D.2
D [向量 a 在 b 方向上的投影为|a|cos θ＝3×cos π3＝32.故选 D.]
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3．在△ABC 中，A→B＝a，B→C＝b，且 b·a＝0，则△ABC 是( )
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(2)若 a⊥b，则 a·b＝0；反之，若 a·b＝00，则 a⊥b，通常记作 a⊥b⇔a··bb＝＝00. 思考 3：a·b＝0 与 ab＝0 的区别是什么？ [提示] (1)意义和表达方式不同． a·b 表示两个向量的数量积，中间的“·”不能省略，也不能写成“×”． (2)推出的结果不同．由 a·b＝0 可推出以下四种可能 ①a＝0，b＝0，②a＝0，b≠0，③a≠0，b＝0，④a≠0，b≠0，但 a⊥b.而 ab ＝0 可推出 a 与 b 中至少有一个为 0.
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[解] 设向量 a 与 b 的夹角为 θ，
(1)a∥b 时，有两种情况： ①若 a 和 b 同向，则 θ＝0°，a·b＝|a||b|＝20；
②若 a 与 b 反向，则 θ＝180°，a·b＝－|a||b|＝－20. (2)当 a⊥b 时，θ＝90°， ∴a·b＝0. (3)当 a 与 b 夹角为 135°时， a·b＝|a||b|cos 135°＝－10 2.
高中数学第二章 2.3.1向量数量积的物理背景与定义
(2)当 a⊥b 时，θ＝90° ，∴a· b＝|a|· |b|cos 90° ＝0.
(3)当 a 与 b 的夹角为 30° 时，a· b＝|a|· |b|cos 30° 3 ＝4×5× 2 ＝10 3. 小结 求平面向量数量积的步骤是：①求a与b的夹角θ，
θ∈[0° ，180° ]；②分别求|a|和|b|；③求数量积，即a· b＝ |a|· cos θ，要特别注意书写时a与b之间用实心圆点“· |b|· ”连结， 而不能用“×”连结，也不能省去．
2.3.1
2． 向量的数量积与实数的乘积既有区别又有联系， 概念内涵更 丰富， 计算更复杂， 实数乘法中的一些运算律在向量的数量
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积中已经不再成立，不宜作简单类比，照搬照抄．书写格式 也要严格区分，a· 中的“· b ”不能省略． 3．由 a· 的定义，不难发现 a 与 b 的数量积是一个数量，其中 b 决定整个式子的正负符号的关键是 θ 的值.
4． 已知正三角形 ABC 的边长为 1，求： → → → → (1)AB· ；(2)AB· ； AC BC → → (3)BC· . AC → → 解 (1)∵AB与AC的夹角为 60° . 1 1 → → → → ∴AB· ＝|AB||AC|cos 60° AC ＝1×1×2＝2. → → (2)∵AB与BC的夹角为 120° .
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C＝90° . 5 cos B＝ ， 13 → → ∴cos〈AB，BC〉＝cos(180° －B) 5 ＝－cos B＝－13. → → → → ∴AB· ＝|AB|· |cos(180° BC |BC －B) 5 ＝13×5×－13＝－25.
练一练·当堂检测、目标达成落实处
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高一数学必修4课件：2-4-1平面向量数量积的物理背景及其含义
第二章
2.4 2.4.1
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[破疑点](1)已知实数 a，b，c(b≠0)，则 ab＝bc⇒a＝c.但 对向量的数量积，该推理不正确，即 a· b＝b· a＝c. c⇒/ (2)对于实数 a，b，c 有(ab)c＝a(bc)；但对于向量 a，b，c， (a· b)c＝a(b· c)未必成立． 这是因为(a· 表示一个与 c 共线的向 b)c 量，而 a(b· c)表示一个与 a 共线的向量，而 c 与 a 不一定共线， 所以(a· b)c＝a(b· c)未必成立．
2
∴|a＋b|＝ 3|a|. 设a与a＋b的夹角为θ， 1 2 a· a＋b |a| ＋2|a| 3 则cosθ＝ ＝ ＝2. |a||a＋b| 3|a||a|
2
第二章
2.4 2.4.1
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∵0° ≤θ≤180° ，∴θ＝30° .
第二章
2.4 2.4.1
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a· b＝|a||b|cos150° ＝－6 3.
∵(a－b)2＝|a|2－2a· b＋|b|2＝25＋12 3. ∴|a＋b|＝ a＋b2＝ |a|2＋2a· b＋|b|2 ＝ 25－12 3， 即|a＋b|＝ 25－12 3.
第二章
2.4 2.4.1
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已知|a|＝8，|b|＝1，a· b＝8，则a与b的夹角θ＝________.
[答案]
[解析]
0
a· b cosθ＝|a||b|＝1，又θ∈[0，π]，则θ＝0.
第二章
2.4 2.4.1
平面向量数量积的物理背景及其含义
平面向量数量积的物理背景及其含义在我们的日常生活中，有些东西就像水和空气，虽然看不见，但却无时无刻不在影响着我们。
就拿平面向量的数量积来说吧，听起来可能有点儿复杂，其实它就是一种简单又有趣的概念，来，咱们一起聊聊这件事。
想象一下，你在操场上跟朋友打篮球。
你投篮的时候，用力的角度、力量的大小，都会影响到篮球的飞行轨迹。
数量积就像是你在这场游戏里的秘密武器，能帮助你理解这股力量和方向的结合。
简单点说，数量积就是把两个向量结合在一起，得出一个数值，告诉你这两个向量之间的关系。
比如，力的方向和移动的方向，如果你力气大但方向错了，那球就算飞得再快，也未必能进篮。
这就好比你走路的时候，前面有个障碍，你必须调整自己的方向，不然就撞上去了。
再举个例子，你在海边晒太阳，风在吹，你的沙滩椅子被风推得摇摇晃晃。
这个时候，你得考虑风的方向和力量，才能舒服地躺在那里。
如果你朝着风的方向靠，就算风再大，也不会把你推倒。
数量积就像是这个时候的指南针，告诉你该如何调整自己，才能迎风而行。
这种感觉真的是妙不可言，恰如其分。
说到这里，你可能会想，这个数量积到底有什么用呢？嘿，别小看它。
它在物理学、工程学和计算机科学中，都起着至关重要的作用。
拿物理来说，力和位移的数量积，能直接帮我们算出做功的大小。
这就意味着，咱们可以通过简单的计算，明白做事情的效率。
想想看，如果你在搬家，要搬一个重重的箱子，你使出的力气和箱子移动的方向正好一致，结果就是一口气就能把它搬上车。
但要是你使力的方向偏了，可能搬半天也没动，这可就太尴尬了。
再看看工程领域，设计师们在绘制建筑图纸的时候，数量积也能大显身手。
想要确保建筑的稳定性和安全性，设计师得考虑每一个结构的受力情况。
而数量积恰好能帮助他们判断，哪个方向的力量最大，从而做出最好的设计选择。
这就像是在搭积木，搭得越稳，玩得越开心。
再说计算机科学，这可是个神奇的领域。
机器学习、计算机图形学中，数量积用得相当频繁。
平面向量的数量积及其物理背景
| b | cosθ＞0
B1 O
aA
θ为钝角时，
| b | cosθ＜0
O(B1 ) a
A
θ为直角时， | b | cosθ=0
讨论总结性质
（１）a⊥b a ·b=0 (.判断两向量垂直的依据) （２）当a与b同向时，a·b ＝ | a | ·| b |；
当a与b反向时，a·b＝ －| a | ·| b |.
写成a×b ，a×b 表示向量的另一种运算．
几何意义
物理上力所做的功实际上是将力正交分解，只有在位移方
向上的力做功．
F
θ
作OA a，OB b ，过点B作 BB1
s
垂直于| 直b |线coOsθA叫，向垂量足b为在Ba1方，向则上O的B1投影| b．| cosθ B
B
B
b
b
b
O
a B1 A
θ为锐角时，
，把数量| a || b | cos 叫做a 与b 的数量积
（或内积），记作a ·b ，即
a b | a || b | cos
a b | a || b | cos
规定：零向量与任意向量的数量积为0，即a 0 0．
（1）两向量的数量积是一个数量，而不 是向量，符号由夹角决定；
（2） a ·b中间的“ · ”不能省略，也不能
√
例4 . 已知︱a︱＝3，︱b︱＝4，且a与b不共线。求 当k为何值时，向量a＋kb与a－kb互相垂直？
特别地， a a | a |2 或 | a | a a.
（３）a ·b ≤| a | ·| b |.
（４） cos a b .
a b
运算律
类比实数的乘法运算律：
交换律：a b b a 结合律：a (b c) (a b)c 分配律：a (b c) a b a c
2.3.1 平面向量数量积的物理背景及其含义—说课稿
人教B 版 高一数学 必修四2.3.1节 《向量数量积的物理背景及其含义》 优质课学案授课教师：邱文鹏 单位：辽宁省黑山县第一高级中学课 题： 向量数量积的物理背景及其含义 课型：新授课 课时：1课时学 情 分 析学生在学习本节内容之前，已熟知了实数的运算体系，掌握了向量的概念及其线性运算，具备了功等物理知识，并且初步体会了研究向量运算的一般方法：即先由特殊模型（主要是物理模型）抽象出概念，然后再从概念出发，再与实数运算类比的基础上研究性质和运算律。
这为学生学习数量积做了很好的铺垫，使学生倍感亲切。
鉴于上述分析我制定了本节课的教学目标。
三 维 目 标知识与技能 （1）理解平面向量数量积的几何意义及其物理意义；（2）掌握平面向量的数量积及其几何意义；掌握平面向量数量积的重要性质及运算律；过程与方法 体会类比的数学思想和方法情感态度与价值观进一步培养学生抽象概括、推理论证的能力。
教学重点 平面向量的数量积定义及应用(能利用数量积解决求平行、垂直、夹角等问题) 教学难点 平面向量的数量积与向量投影的关系； 运算律的理解和平面向量数量积的应用。
教学方法启发引导法，自主探究和共同探究相结合教 学 过 程师 生 活 动设 计 意 图一、 复习引入：问题1：我们研究了向量的哪些运算？ 问题2：这些运算的结果是什么？问题3：如何进行向量的加法、减法的运算？ 问题4：数乘向量的几何意义是什么?问题5：平行向量的基本定理内容是什么？ 明白新旧知识 的联系性。
二、情景导入、引出新课提出问题：请同学们继续回忆，我们是怎么引入向量的加法运算的？我们又是按照怎样的顺序研究了这种运算的？期望学生回答：物理模型→概念→性质→运算律→应用新课引入：本节课我们仍然按照这种研究思路来研究向量的另外一种运算：平面向量数量积的物理背景及其含义明确研究向量的数量积这种运算的途径。
三、合作探究，精讲点拨探究一： 平面向量数量积的概念1、给出有关材料并提出问题：（1）如图所示，一物体在力F 的作用下产生位移S ，那么力F 所做的功：cos W F S θ=.1.认识向量的数量积的实际背景。
人教版高中数学必修4A版平面向量数量积的物理背景及其含义
本节作业
P 108习题2.4 A组2.5.6
1.投影,如右图
a
A
b cos
a
A
o
a cos b
B
o
a cos ( b cosθ)叫做a在b方向上(b在a方向上)
b
B
2.数量积的几何意义 数量积a b 等于a的长度a 与b 在a的方向上的 投影b cos的乘积
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的投影.
随堂练习
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课堂小结
①本节知识要点: 数量积的定义,几何意义,重要性质. ②本节学习的数学方法: 归纳类比,定义法,数形结合等.
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巩固练习
(1)若 m 4, n 6, m与n的夹角是 135, 则m n等于(
C)
( A)12( B)12 2 (C ) 12 2 ( D) 12 1 (2)已知 a 10, b 12, 且(3a) ( b) 36, 则a与b的 5 夹角是( ) ( A)60( B)120(C )135( D)150 (3)当a b 0时, 有下列结论: (1)a 0(2)b 0(3)a b(4)a // b(5)a 与b反向, 其中可能正确的是 (
2 2
3 a b a b
4 cos
a b ab
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随堂练习
1.判断下列命题是否正确,并说明为什么?
(1)若a b 0, 则a b.(× ) ( 2) a a
2
a.( ×)
(3)在C中, 若 AB BC 0, 则C为 钝角三角形 .( ×) ( 4)在C中, 若 AB BC 0, 则C为 钝角三角形 .( )
数学：2.3.3《向量数量积的坐标运算与度量公式》课件(1)(新人教B版必修4)
∴ AB ⋅ AC = 1× (−3) + 1× 3 = 0
△ABC是直角三角形 是直角三角形
变形：在∆ABC中，设 AB = (2,3), AC = (1, k ), 且 ∆ABC是直角三角形，求k的值。
解 : BC = AC − AB = ( − 1, k − 3) ∵ 又 ∆ ABC 是直角三角形 即( − 2, − 3) i ( − 1, k − 3) = 0 ∴ 2 − 3( k − 3) = 0 11 k = 3
1 ∴n = 2
变形： .已知 a = 4, b = 3, a与b的夹角为90 , 且 c = a + 2b, d = 2 a + k b,问 k 为何值时 (1) c ⊥ d (2) c∥d (3) c与 d的 夹角为锐角 ? 的夹角为锐角
°
a b . 注: a ⋅ b > 0不能保证向量与 的夹角为锐角
解: ∵ c ⊥d ,∴ c⋅ d =0, ∴ 即 a+(sinα−3)b⋅−ka+(sinα)b =0 也即 −ka +a⋅b⋅sinα
2
−k(sinα−3)a⋅b+ sinα(sinα−3b =0, )
2
2 2 1 3 又∵ a = ( 3, −1) , b =( , ),∴ a⋅ b =0,且 a = a = 4, 2 2
∴ a ⋅ b = x 1 i + y1 j （ x 2 i + y 2 j （ ） ⋅ ）
= x1 x 2 i + x1 y2 i ⋅ j + x 2 y1 j ⋅ i + y1 y2 j
∵ i = 1， j = 1， i ⋅ j = j ⋅ i = 0
高中数学(人教B版)必修第三册：向量数量积的概念【精品课件】
当0 ≤ a，b π 时，a b 0； 2
b a 图4
b
a
当0 ≤ a，b π 时，a b 0；
图4
当a，b
π
2
，cosa，b
0，此时a
b
a
|b
cosa，b
0；
2
b a
图4 当 π < a，b < π, cosa，b < 0，此时a b a b cosa，b < 0；
2
b
所以1≤ cosa，b ≤ 1，
所以 cosa，b ≤ 1，
3.向量数量积的性质
设a和b都是非零向量.
由向量的数量积可知
a b a b cosa，b
a b a b cosa，b，
a b cosa，b
因为0≤ a, b ≤ π，
所以1≤ cosa，b ≤ 1，
所以 cosa，b ≤ 1，
1.两个向量的夹角
给定两个非零向量 a，b，在平面内任选一点O，作
OA a，OB b，则称[0，π]内的 AOB为向量a与向量b的
夹角，记作 a，b.
注意：判断两个非零向量的夹角必须将其平移到同一个起点. 规定：在讨论垂直问题时，零向量和任意向量垂直.
结论： (1) 0≤ a，b≤π；
(2) a，b b，a.
当 π a，b≤π时，a b 0. 2
b
a
图4
2.向量数量积的定义
(3)两个非零向量的数量积既可以 是正数，也可以是零，还可以是
b
a
负数，符号由两个向量夹角决定.
图4
当0 ≤ a，b π 时，a b 0；
2
当a，b π 时，a b 0；
规定：零向量与任意向量的数量积为0.