陕西省汉中中学2019届高三上学期第二次月考数学(理)试卷含答案

汉中中学2019届高三第二次模拟考试数学（理科）试题（卷）1．答题前，考生在答题纸上务必用直径0.5毫米黑色签字笔将自己的姓名、准考证号填写清楚，并贴好条形码．请认真核准条形码的准考证号、姓名和科目；2．每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题纸上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．在试题卷上作答无效．第Ⅰ卷（选择题 共60分）一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求）1．已知集合{}{}2230,A x x x B x x a =--≤=<，若A B ⊆，则实数a 的取值范围是（）A.()1,-+∞B.[)1,-+∞C.()3,+∞D. [)3,+∞ 2．下列说法正确的是( )A .命题p ：“,sin cos x R x x ∀∈+≤，则p ⌝是真命题 B .“1x =-”是“2320x x ++=”的必要不充分条件C .命题“x R ∃∈,使得2230x x ++<”的否定是：“2,230x R x x ∀∈++>”D .“1a >”是“()()log 0,1a f x x a a =>≠在()0,+∞上为增函数”的充要条件 3．若向量()21,m k k =- 与向量()4,1n =共线，则k =（）A ．49B ．21-C ．12D ．49- 4．已知函数()()cos 2f x x ϕ=+（为常数）为奇函数，那么cos ϕ=（）A .0B.2-C. 2D . 1 5．如图，点A 为单位圆上一点，4xOA π∠=，已知点A 沿单位圆按逆时针方向旋转到点34,55B ⎛⎫⎪⎝⎭，则sin 2α的值为（）A ．2425 B ．725 C ．1225 D ．1425ϕ6．已知向量,a b满足a b +==，则向量,a a b +夹角的余弦值为（）A.B. C.D.7．若函数()ln f x kx x =-在区间上单调递增，则的取值范围是( )A ．B ．C ．D ．8．在ABC ∆中，12AN NC = ，P 是BN 上的一点，若29AP mAB AC =+，则实数m 的值为（）A ．3B ．1C ．13D ．199．将函数的图像向右平移（）个单位长度，再将图像上每一点的横坐标缩短到原来的倍（纵坐标不变），所得图像关于直线对称，则的最小值为（） A.B.C.D.10．已知函数()y f x =在区间(),0-∞内单调递增，且()()f x f x -=，若12l o g 3a f ⎛⎫= ⎪⎝⎭，()1.22b f -=，12c f ⎛⎫= ⎪⎝⎭，则,,a b c 的大小关系为（ ）A ．a c b >>B ．b c a >>C ．b a c >>D ．a b c >> 11．已知函数()()f x x R ∈满足()()4f x f x -=-，若函数21x y x+=与()y f x =图像的交点为()()()11221010,,,,,,x y x y x y ，则()101iii x y =-=∑（）A ．10B ． 20C ．10-D ．20-12. 设函数的定义域为D ，若满足条件：存在[],a b D ⊆，使()f x 在[],a b 上的值域为,22a b ⎡⎤⎢⎥⎣⎦，则称()f x 为“倍缩函数”.若函数()=xf x e t +为“倍缩函数”，则实数t 的取值范围是( ) A. 1ln 2,2+⎛⎤-∞-⎥⎝⎦B. 1ln 2,2+⎛⎫-∞- ⎪⎝⎭C. 1ln 2,2+⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭D. 1ln 2,2+⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭01()1,+∞k (],2-∞-(],1-∞-[)2,+∞[)1,+∞()2sin 24f x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭φ0φ>124x π=φ34π2π8π38π第Ⅱ卷（非选择题共90分）二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分，把答案填在答题纸的相应位置上）13．)102x dx =⎰ __________．14．设函数()()sin ,0,0,2f x A x x R πωϕωϕ⎛⎫⎛⎫=+∈>∈ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭的部分图像如下图所示，则函数()f x 的表达式是．15．如图是抛物线形拱桥，当水面在l 时，拱顶离水面2米，水面宽4米．水位下降1米后，水面宽为_______米．16．设函数()33,2,x x x af x x x a⎧-≤=⎨->⎩，①若a ＝0，则()f x 的最大值为________；②若()f x 无最大值，则实数a 的取值范围是________．三、解答题：共70分. 解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 17．（本题满分10分）已知函数()()2sin cos 0f x x x x ωωωω=⋅>的最小正周期为π. （Ⅰ）求ω的值；（Ⅱ）求函数()f x 在区间20,3π⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的最值，并求出取到最值时的x 的集合.18．（本题满分12分）在ABC ∆中，角,,A B C 所对的边分别是,,a b c ，已知()cos23cos 1A B C -+=. （Ⅰ）求角A 的大小；（Ⅱ）若ABC ∆的面积S =5b =，求sin sin B C ⋅的值．19.（本题满分12分）一缉私艇发现在北偏东方向，距离12 nmile 的海面上有一走私船正以10 nmile/h 的速度沿东偏南方向逃窜. 缉私艇的速度为14 nmile/h ，若要在最短的时间内追上该走私船，缉私艇应沿北偏东45α+ 的方向去追，求追及所需的时间和α角的正弦值.20．（本题满分12分）已知函数()23ln 4--+=x x a x x f (其中a ∈R )，且曲线()x f y =在点()()11f ，处的切线垂直于直线x y 21=. （Ⅰ）求a 的值及此时的切线方程； （Ⅱ）求函数()f x 的单调区间与极值．21. （本题满分12分）已知函数()23f x x ax =++．（Ⅰ）当4a =-时，求函数()f x 的零点；（Ⅱ）若函数()f x 对任意实数x R ∈都有()()11f x f x +=-成立，求函数()f x 的解析式；（Ⅲ）若函数()f x 在区间[]1,1-上的最小值为3-，求实数的值．22. (本题满分12分)已知函数()ln ,()()f x x h x ax a R ==∈.（Ⅰ）函数()f x 与()h x 的图像无公共点，求实数a 的取值范围； （Ⅱ）是否存在实数m ，使得对任意的1,2x ⎛⎫∈+∞⎪⎝⎭，都有函数()m y f x x =+的图像在函数()xe g x x=的图像的下方？若存在，请求出最大整数m 的值；若不存在，请说理由.（参考数据：ln20.6931,ln3 1.0986, 1.6487, 1.3956===）.汉中中学2019届高三第二次模拟考试数学（理科）参考答案13.14π+； 14.()sin 24f x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭； 15.26； 16.①2②(－∞，－1)三、解答题17. 解：（Ⅰ）由于()1sin(2)62f x x πω=-+，所以2=2ππω，解得ω=1.…………………4分 （Ⅱ）由（Ⅰ）得()1=sin(2)62f x x π-+，因为203x π≤≤，所以72666x πππ-≤-≤，.…………………6分所以当2=66x ππ--或72=66x ππ-，即0x =或23x π=时，函数()f x 有最小值0；……8分当2=62x ππ-，即3x π=时，函数()f x 有最大值32. . …………………10分 18. 解：(Ⅰ)由()cos23cos 1A B C -+=，得22cos 3cos 20A A =+-，…………………3分解得1cos 2A =或cos 2A =- (舍去)．因为0A π<<，所以3A π=.…………………6分（Ⅱ）由11sin 22S bc A ====20bc =. 又5b =，所以4c =. …………………8分由余弦定理得2222c o s 2516202a b c b c A =+-=+-=，故a = .…………………10分又由正弦定理得225s ins i n s i7b c b cB C A A A aa a⋅=⋅==. .…………………12分 19. 解：设,A C 分别表示缉私艇、走私船的位置，设经过x 小时后在B 处追上走私船，则有14,10,120AB x BC x ACB ==∠= ，………4分所以()()222141210240cos120x x x =+-，………6分解得2x =或34x =-（舍），则28,20AB BC ==. ………8分由正弦定理得：20sin120sin 28α==.………11分答：所需时间2小时, 且sin α= .…………12分 20. 解：（Ⅰ）由于()2114a f x x x '=--，所以()131144f a a '=--=--，………2分 由于()y f x =在点()1(1)f ，处的切线垂直于直线y ＝12x ，则324a --=-，解得a ＝54. ……………4分 此时()53ln 442x f x x x =+--， 切点为()10，，所以切线方程为220x y +-=. ……………6分（Ⅱ）由（Ⅰ）知()53ln 0442x f x x x x =+-->（），则()22454x x f x x --'=,令()0f x '=，解得5x =或1x =-（舍）， ……………8分则()(),,x f x f x '的变化情况如下表，分所以函数()y f x =的减区间为()0,5，增区间为()5+∞，. 函数()y f x =的极小值为ln 5-，无极大值. (12)分21.解：（Ⅰ）当时，()()()24313f x x x x x =-+=--，由()0f x =可得1x =或3x =，所以函数()f x 的零点为和．………3分（Ⅱ）由于()()11f x f x +=-对任意实数x R ∈恒成立， 所以函数()f x 图像的对称轴为1x =，即12a-=，解得2a =-． 故函数的解析式为()223f x x x =-+．………6分（Ⅲ）由题意得函数()23f x x ax =++图像的对称轴为2a x =-． ①当12a-≥，即2a ≤-时，()f x 在[]1,1-上单调递减， 所以()()min 143f x f a ==+=-，解得7a =-．符合题意．………8分 ②当112a -<-<，即22a -<<时，()f x 在1,2a ⎡⎤--⎢⎥⎣⎦上单调递减，在,12a ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上单调递增，所以()2mi n 43324a af x f ⨯-⎛⎫=-==- ⎪⎝⎭，解得a =±，与22a -<<矛盾，舍去．…10分③当12a-≤-，即2a ≥时，()f x 在[]1,1-上单调递增， 所以()()min 143f x f a =-=-=-，解得7a =．符合题意． 所以7a =-或7a =．………12分22.解：(Ⅰ)函数()f x 与()h x 无公共点，等价于方程ln xa x =在(0,)+∞无解. 令ln ()x t x x=，则21ln'(),x t x x-=令'()0,t x =得x e =. .…………2分因为x e =是唯一的极大值点，故max ()t t e e==………………4分 故要使方程ln x a x =在(0,)+∞无解，当且仅当1a e>时成立， 故实数a 的取值范围为1(,)e+∞. …………………6分（Ⅱ）假设存在实数m 满足题意，则不等式ln xm e x x x+<对1(,)2x ∈+∞恒成立. 即ln x m e x x <-在1(,)2x ∈+∞上恒成立. ………………7分 令()ln x r x e x x =-，则'()ln 1x r x e x =--， 令()ln 1x x e x ϕ=--，则1'()x x e xϕ=-， 因为'()x ϕ在1(,)2+∞上单调递增，121'()202e ϕ=-<，'(1)10e ϕ=->，且'()x ϕ的图像在1(,1)2上连续，所以存在01(,1)2x ∈，使得0'()0x ϕ=，即0010xe x -=，则00ln x x =-.…………………9分所以当01(,)2x x ∈时，()0x ϕ'<，则()x ϕ单调递减， 当0(,)x x ∈+∞时，()0x ϕ'>，则()x ϕ单调递增. 则()x ϕ的最小值为000001()ln 11x x ex x x ϕ=--=+-110≥=>， 所以'()0r x >恒成立，即()r x 在区间1(,)2+∞内单调递增.故11221111()ln ln2 1.995252222m r e e ≤=-=+=，所以存在实数m 满足题意，且最大整数m 的值为1. …………………12分。