空间直角坐标系练习题
高考立体几何复习三部曲—空间直角坐标系的应用
高考立体几何复习三部曲—空间直角坐标系的应用-CAL-FENGHAI-(2020YEAR-YICAI)_JINGBIAN高考数学立体几何三部曲—空间之直角坐标系专项一、积及坐标运算1．两个向量的数量积(1)a·b＝|a||b|cos〈a，b〉；(2)a⊥b⇔a·b＝0(a，b为非零向量)；(3)|a|2＝a2，|a|＝x2＋y2＋z2.2．向量的坐标运算3、应用共线向量定理、共面向量定理证明点共线、点共面的方法比较：OP＝x OM＋y OAOP＝x OA＋(1－x)OB－一、空间向量的简单应用1．(课本习题改编)已知a＝(－2，－3,1)，b＝(2,0,4)，c＝(－4，－6,2)则下列结论正确的是() A．a∥c，b∥c B．a∥b，a⊥cC．a∥c，a⊥b D．以上都不对2．(2012·济宁一模)若{a，b，c}为空间的一组基底，则下列各项中，能构成基底的一组向量是() A．{a，a＋b，a－b} B．{b，a＋b，a－b}C．{c，a＋b，a－b} D．{a＋b，a－b，a＋2b}3．(教材习题改编)下列命题：①若A 、B 、C 、D 是空间任意四点，则有AB ＋BC ＋CD ＋DA ＝0； ②若MB ＝x MA ＋y MB ，则M 、P 、A 、B 共面； ③若p ＝x a ＋y b ，则p 与a ，b 共面． 其中正确的个数为( ) A ．0 B ．1 C ．2D ．34．在四面体O －ABC 中，OA ＝a ，OB ＝b ，OC ＝c ，D 为BC 的中点，E 为AD 的中点，则OE ＝________(用a ，b ，c 表示)．5．013·大同月考)若直线l 的方向向量为a ，平面α的法向量为n ，能使l ∥α的是( ) A ．a ＝(1,0,0)，n ＝(－2,0,0) B ．a ＝(1,3,5)，n ＝(1,0,1) C ．a ＝(0,2,1)，n ＝(－1,0，－1) D ．a ＝(1，－1,3)，n ＝(0,3,1)6已知a ＝(2，－1,3)，b ＝(－1,4，－2)，c ＝(7,5，λ)，若a ，b ，c 三向量共面，则实数λ等于( ) A.627 B.637 C.607D.657二、利用空间向量证明平行或垂直[例] 已知AB ⊥平面ACD ，DE ⊥平面ACD ，△ACD 为等边三角形，边长为2a ，AD ＝DE ＝2AB ，F 为CD 的中点．(1)求证：AF ∥平面BCE ； (2)求证：平面BCE ⊥平面CDE .8.如图，正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1的棱长为1，E 、F 分别是棱BC 、DD 1上的点，如果B 1E ⊥平面ABF ，则CE 与DF 的和的值为________．方法利用直线的方向向量与平面的法向量，可以判定直线与直线、直线与平面、平面与平面的平行和垂直．(1)设直线l1的方向向量v1＝(a1，b1，c1)，l2的方向向量v2＝(a2，b2，c2)．则l1∥l2⇔v1∥v2⇔(a1，b1，c1)＝k(a2，b2，c2)(k∈R)．l1⊥l2⇔v1⊥v2⇔a1a2＋b1b2＋c1c2＝0.(2)设直线l的方向向量为v＝(a1，b1，c1)，平面α的法向量为n＝(a2，b2，c2)，则l∥α⇔v⊥n⇔a1a2＋b1b2＋c1c2＝0.l⊥α⇔v∥n⇔(a1，b1，c1)＝k(a2，b2，c2)．(3)设平面α的法向量n1＝(a1，b1，c1)，β的法向量为n2＝(a2，b2，c2)，则α∥β⇔n1∥n2，α⊥β⇔n1⊥n2.1.2012·长春模拟)如图，在底面为直角梯形的四棱锥P－ABCD中，AD∥BC，∠ABC＝90°，PD⊥平面ABCD，AD＝1，AB＝3，BC＝4.(1)求证：BD⊥PC；(2)设点E在棱PC上，PE＝λPC，若DE∥平面P AB，求λ的值．2.如图所示，平行六面体ABCD－A1B1C1D1的底面ABCD是菱形，且∠C1CD＝∠C1CB＝∠BCD＝60°.(1)求证：C1C⊥BD；(2)当CDCC1的值是多少时，能使A1C⊥平面C1BD请给出证明．3.如图所示，平面P AD⊥平面ABCD，ABCD为正方形，△P AD是直角三角形，且P A＝AD＝2，E、F、G分别是线段P A、PD、CD的中点．求证：PB∥平面EFG.三、利用向量求空间角1．两条异面直线所成的角的求法设两条异面直线a，b的方向向量为a，b，其夹角为θ，则cos φ＝|cos θ|＝|a·b||a||b|(其中φ为异面直线a，b所成的角)．2．直线和平面所成角的求法如图所示，设直线l的方向向量为e，平面α的法向量为n，直线l与平面α所成的角为φ，两向量e与n的夹角为θ，则有sin φ＝|cos θ|＝|e·n| |e||n|.3．求二面角的大小(1)如图1，AB、CD是二面角α－l－β的两个面内与棱l垂直的直线，则二面角的大小θ＝〈AB，CD〉．(2)如图2、3，n1，n2分别是二面角α－l－β的两个半平面α，β的法向量，则二面角的大小θ＝〈n1，n2〉(或π－〈n1，n2〉)．1．(教材习题改编)已知向量m，n分别是直线l和平面α的方向向量、法向量，若cos〈m，n〉＝－12，则l与α所成的角为()A．30°B．60°C．120°D．150°2．(教材习题改编)已知两平面的法向量分别为m＝(0,1,0)，n＝(0,1,1)，则两平面所成的二面角的大小为()A．45°B．135°C．45°或135°D．90°3.在如图所示的正方体A 1B1C1D1－ABCD中，E是C1D1的中点，则异面直线DE与AC 夹角的余弦值为( )A ．－1010B ．－120C.120D.10104．已知点E 、F 分别在正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1的棱BB 1，CC 1上，且B 1E ＝2EB ，CF ＝2FC 1，则平面AEF 与平面ABC 所成的二面角的正切值为________．5．(教材习题改编)如图，在长方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，已知DA ＝DC ＝4，DD 1＝3，则异面直线A 1B 与B 1C 所成角的余弦值________．（一）异面直线所成的角[例1] (2012·陕西高考)如图，在空间直角坐标系中有直三棱柱ABC －A 1B 1C 1，CA ＝CC 1＝2CB ，则直线BC 1与直线AB 1夹角的余弦值为( )A.55B.53C.255D.35本例条件下，在线段OB 上，是否存在一点M ，使C 1M 与AB 1所成角的余弦为13若存在，求出M 点；不存在，说明理由．1．(2012·安徽模拟)如图所示，在多面体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，上、下两个底面A 1B 1C 1D 1和ABCD 互相平行，且都是正方形，DD 1⊥底面ABCD ，AB ＝2A 1B 1＝2DD 1＝2a .(1)求异面直线AB 1与DD 1所成角的余弦值； (2)已知F 是AD 的中点，求证：FB 1⊥平面BCC 1B 1. .（二）直线与平面所成角[例2] (2012·大纲全国卷)如图，四棱锥P －ABCD 中，底面ABCD 为菱形，P A ⊥底面ABCD ，AC ＝22，P A ＝2，E 是PC 上的一点，PE ＝2EC .(1)证明：PC ⊥平面BED ；(2)设二面角A-PB-C为90°，求PD与平面PBC所成角的大小．2.(2012·宝鸡模拟)如图，已知P A⊥平面ABC，且P A＝2，等腰直角三角形ABC中，AB＝BC＝1，AB⊥BC，AD⊥PB于D，AE⊥PC于E.(1)求证：PC⊥平面ADE；(2)求直线AB与平面ADE所成角的大小．（三）二面角[例3]在三棱柱ABC－A1B1C1中，已知AB＝AC＝AA1＝5，BC＝4，点A1在底面ABC的投影是线段BC的中点O.(1)证明在侧棱AA1上存在一点E，使得OE⊥平面BB1C1C，并求出AE的长；3．如图，四棱锥S－ABCD的底面是正方形，SD⊥平面ABCD，SD＝AD＝a，点E是SD上的点，且DE＝λa(0<λ≤1)．(1)求证：对任意的λ∈(0,1]，都有AC⊥BE；(2)若二面角C－AE－D的大小为60°，求λ的值．11A1如图，三棱柱111ABC A B C -中，点1A 在平面ABC 内的射影D 在AC 上，090ACB ∠=，11,2BC AC CC ===.（I ）证明：11AC A B ⊥；（II ）设直线1AA 与平面11BCC B 的距离为3，求二面角1A AB C --的大小.【课后练习题】1.如图所示，在三棱柱ABC －A 1B 1C 1中，AA 1⊥底面ABC ，AB ＝BC ＝AA 1，∠ABC ＝90°，点E 、F 分别是棱AB 、BB 1的中点，则直线EF 和BC 1所成的角为________．2．如图，在直三棱柱ABC －A 1B 1C 1中，∠ACB ＝90°，2AC ＝AA 1＝BC ＝2.若二面角B 1－DC －C 1的大小为60°，则AD 的长为________．3.如图，在正四棱锥S －ABCD 中，O 为顶点在底面上的射影，P 为侧棱SD 的中点，且SO ＝OD ，则直线BC 与平面P AC 所成角为________．4．(2012·山西模拟)如图，在底面为直角梯形的四棱锥P －ABCD 中，AD ∥BC ， ∠ABC ＝90°，P A ⊥平面ABCD ，P A ＝3，AD ＝2，AB ＝23，BC ＝6. (1)求证：BD ⊥平面P AC ； (2)求二面角P －BD －A 的大小．5．(2012·辽宁高考)如图，直三棱柱ABC－A′B′C′，∠BAC＝90°，AB＝AC＝λAA′，点M，N分别为A′B和B′C′的中点．(1)证明：MN∥平面A′ACC′；(2)若二面角A′－MN－C为直二面角，求λ的值．6．如图1，在Rt△ABC中，∠C＝90°，BC＝3，AC＝6，D，E分别是AC，AB上的点，且DE∥BC，DE＝2.将△ADE沿DE折起到△A1DE的位置，使A1C⊥CD，如图2.(1)求证：A1C⊥平面BCDE；(2)若M是A1D的中点，求CM与平面A1BE所成角的大小；(3)线段BC上是否存在点P，使平面A1DP与平面A1BE垂直说明理由．7．(2013·湖北模拟)如图所示，四棱锥P－ABCD中，底面ABCD为正方形，PD⊥平面ABCD，PD＝AB＝2，E、F、G分别为PC、PD、BC的中点．(1)求证：P A⊥EF；(2)求二面角D－FG－E的余弦值．8．(2012·北京西城模拟)如图，在直三棱柱ABC －A 1B 1C 1中，AB ＝BC ＝2AA 1，∠ABC ＝90°，D 是BC 的中点．(1)求证：A 1B ∥平面ADC 1； (2)求二面角C 1－AD －C 的余弦值；(3)试问线段A 1B 1上是否存在点E ，使AE 与DC 1成60°角若存在，确定E 点位置；若不存在，说明理由．9．(2012·北京东城模拟)如图，四边形ABCD 为正方形，PD ⊥平面ABCD ，PD ∥QA ，QA ＝AB ＝12PD .(1)证明：平面PQC ⊥平面DCQ ； (2)求二面角Q －BP －C 的余弦值．10．(2012·天津高考)如图，在四棱锥P －ABCD 中，P A ⊥平面ABCD ，AC ⊥AD ，AB ⊥BC ，∠BAC ＝45°，P A ＝AD ＝2，AC ＝1.(1)证明PC ⊥AD ；(2)求二面角A －PC －D 的正弦值；(3)设E 为棱P A 上的点，满足异面直线BE 与CD 所成的角为30°，求AE 的长．11.如图，在长方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，AD ＝AA 1＝1，AB ＝2. (1)证明：当点E 在棱AB 上移动时，D 1E ⊥A 1D ；(2)在棱AB 上是否存在点E ，使二面角D 1－EC －D 的平面角为π6若存在，求出AE的长；若不存在，请说明理由．12．(2012·湖北模拟)在直三棱柱ABC－A1B1C1中，AB＝AC＝1，∠BAC＝90°.(1)若异面直线A1B与B1C1所成的角为60°，求棱柱的高；(2)设D是BB1的中点，DC1与平面A1BC1所成的角为θ，当棱柱的高变化时，求sin θ的最大值．11。
空间直角坐标系与空间两点间距离(习题课)
例 7、 求证以 M1(4,3,1)、M2(7,1,2)、M3(5,2,3)
三点为顶点的三角形是一个等腰三角形.
解、M1M2 2 (7 4)2 (1 3)2 (2 1)2 14, M2M3 2 (5 7)2 (2 1)2 (3 2)2 6, M3M1 2 (4 5)2 (3 2)2 (1 3)2 6, M2M3 M3M1 , 原结论成立.
随堂练习
1、下列各点所在卦限分别是：
a、 1 , - 2, 3在 _____Ⅳ____； b、 2 , 3 , 4在 ___Ⅴ_____； c、 2, 3 ,4在 ___Ⅷ_____； d、 2 , 3 , 1在 __Ⅲ_____;
2、点 p (3 , 2 ,1) 关于平面 xoy 的对称点是 __(-_3_,2_,1_) __，关于平面 yoz 的对称点是 (_3_,2_,-_1)__, 关于平面 zox 的对称点是 _(_-3_,-_2,_-1_) __，关于 x 轴 的对称点是 __(-_3,_-2_,1_)___，关于 y 轴的对称点是 __(_3,_2_,1_) ___，关于 z 轴的对称点是 _(_3_,-2_,-_1_) ___.
（0，0，1），（1，0，1），（1，1，1），（0，1，
1），（ 1，1，1）。
z
22
y x
例4、在空间中，已知点A(1, 0, -1)，
B (4, 3, -1)，求A、B两点之间的距离.
例5、已知两点 A(-4, 1, 7)和B(3, 5,
-2)，点P在z轴上，若|PA|=|PB|，求点P的坐 标.
4.3 空间直角坐标系与空间 两点间的距离(习题课)
Ⅲ
yoz面
2019-2020学年人教A版数学必修2限时规范训练：4.3空间直角坐标系
第四章 4.3【基础练习】1．在空间直角坐标系中的点P (a ，b ，c )，有下列叙述：①点P (a ，b ，c )关于横轴(x 轴)的对称点为P 1(a ，－b ，c )；②点P (a ，b ，c )关于yOz 坐标平面的对称点为P 2(a ，－b ，－c )；③点P (a ，b ，c )关于纵轴(y 轴)的对称点为P 3(a ，－b ，c )；④点P (a ，b ，c )关于坐标原点的对称点为P 4(－a ，－b ，－c )．其中正确叙述的个数为( )A ．3 B ．2C ．1D ．0【答案】C【解析】对于①，点P (a ，b ，c )关于横轴的对称点为P 1(a ，－b ，－c )，故①错；对于②，点P (a ，b ，c )关于yOz 坐标平面的对称点为P 2(－a ，b ，c )，故②错；对于③，点P (a ，b ，c )关于纵轴的对称点为P 3(－a ，b ，－c )，故③错；④正确．故选C ．2．若点P (－4，－2,3)关于坐标平面xOy 及y 轴的对称点的坐标分别是(a ，b ，c )，(e ，f ，d )，则c 与e 的和为( )A ．7 B ．－7C ．－1D ．1【答案】D【解析】点P 关于坐标平面xOy 的对称点坐标是(－4，－2，－3)，关于y 轴的对称点坐标是(4，－2，－3)，从而知c ＝－3，e ＝4，c ＋e ＝1.3．在空间直角坐标系中，已知点P (1，，)，过P 点作平面xOy 的垂线PQ ，Q 为垂足，则Q 的23坐标为( )A ．(0，，0) B ．(0，，)223C ．(1,0，)D ．(1，，0)32【答案】D【解析】点Q 的横坐标、纵坐标都与点P 相同，竖坐标为0，所以点Q 的坐标为(1，，0)．故选2D ．4．设点A (3,3,1)，B (1,0,5)，C (0,1,0)，则线段AB 的中点与点C 的距离为( )A ． B ．134132C ． D ．534532【答案】D【解析】∵点A (3,3,1)，B (1,0,5)，∴线段AB 的中点为M .又C (0,1,0)，∴线段AB 的中点与(2，32，3)点C 的距离为|MC |＝＝.故选D ．(2－0)2＋(32－1)2＋(3－0)25325．空间点M (－1，－2,3)关于x 轴的对称点的坐标是________．【答案】(－1,2，－3)【解析】空间中，点P (x ，y ，z )关于x 轴对称点的坐标为(x ，－y ，－z )，故点M (－1，－2，3)关于x 轴的对称点为(－1,2，－3)．6．已知A (1－t,1－t ，t )，B (2，t ，t )，则|AB |的最小值为________．【答案】355【解析】由两点间的距离公式可得|AB |＝ ＝ ≥.(1－t －2)2＋(1－t －t )2＋(t －t )25(t －15)2＋953557．如图，在空间直角坐标系中，BC ＝2，原点O 是BC 的中点，点D 在平面yOz 内且∠BDC ＝90°，∠DCB ＝30°，求点D 的坐标．【解析】过点D 作DE ⊥BC ，垂足为E .在Rt △BDC 中，∠BDC ＝90°，∠DCB ＝30°，BC ＝2，得|BD |＝1，|CD |＝，∴|DE |＝|CD |sin 30°3＝，|OE |＝|OB |－|BE|＝|OB |－|BD |cos 60°＝1－＝.321212∴点D 的坐标为.(0，－12，32)8．如图所示，在长方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，AB ＝AD ＝2，AA 1＝4，点M 在A 1C 1上，|MC 1|＝2|A 1M |，N 在D 1C 上且为D 1C 的中点，求M ，N 两点间的距离．【解析】根据已知条件可得|A 1C 1|＝2，2由|MC 1|＝2|A 1M |，可得|A 1M |＝，223如图所示，以A 为原点，以AB ，AD ，AA 1所在直线为坐标轴建立空间直角坐标系，则M ，C (2，2,0)，D 1(0,2,4)，N 为CD 1的中点可得N (1,2,2)．(23，23，4)∴|MN |＝＝.(1－23)2＋(2－23)2＋(2－4)2533【能力提升】9．△ABC 在空间直角坐标系中的位置及坐标如图所示，则BC 边上的中线的长是( )A ． B ．2 2C ． D ．33【答案】C【解析】BC 的中点坐标为M (1,1,0)，又A (0,0,1)，∴|AM |＝＝.12＋12＋(－1)2310．在空间直角坐标系中，一定点P 到三个坐标轴的距离都是1，则该点到原点的距离是()A ． B ． 623C ． D ．3263【答案】A【解析】设P (x ，y ，z )，由题意可知Error!∴x 2＋y 2＋z 2＝.∴＝.32x 2＋y 2＋z 26211．若点(m ，n ，t )关于点(1,2,3)的对称点是(3－n,2＋t,2－m )，则m ＋n ＋t ＝________.【答案】12【解析】由题意得Error!即Error!解得m ＝－，n ＝－，t ＝.321252∴m ＋n ＋t ＝－＋＋＝.32(－12)521212．如图所示，直三棱柱ABC －A 1B 1C 1中，|C 1C |＝|CB |＝|CA |＝2，AC ⊥CB ，D ，E ，F 分别是棱AB ，B 1C 1，AC 的中点，求DE ，EF 的长度．【解析】以点C 为坐标原点，CA ，CB ，CC 1所在直线为x 轴，y 轴，z 轴，建立如图所示的空间直角坐标系．∵|C 1C |＝|CB |＝|CA |＝2，∴C (0，0,0)，A (2,0,0)，B (0,2,0)，C 1(0,0,2)，B 1(0,2,2)．由中点坐标公式可得，D (1,1,0)，E (0,1,2)，F (1,0,0)，∴|DE |＝＝，(1－0)2＋(1－1)2＋(0－2)25|EF |＝＝.(0－1)2＋(1－0)2＋(2－0)26。
空间直角坐标系学生版
1 / 1§2.4 空间直角坐标系2．4.1 空间直角坐标系一、基础过关1． 点P(0,0，－2)在空间直角坐标系中的位置是( ) A ．z 轴上 B ．xOy 平面上 C ．xOz 平面上D ．x 轴上 2． 设y ∈R ，则点P(1，y,2)的集合为( ) A ．垂直于xOz 平面的一条直线 B ．平行于xOz 平面的一条直线C ．垂直于y 轴的一个平面D ．平行于y 轴的一个平面3． 已知空间直角坐标系中有一点M(x ，y ，z)满足x>y>z ，且x ＋y ＋z ＝0，则M 点的位置是( )A ．一定在xOy 平面上B ．一定在yOz 平面上C ．一定在xOz 平面上D ．可能在xOz 平面上4． 在空间直角坐标系中，点P(3,4,5)关于yOz 平面的对称点的坐标为( ) A ．(－3,4,5) B ．(－3，－4,5) C ．(3，－4，－5) D ．(－3,4，－5)5． 在空间直角坐标系中，点A(1,2，－3)关于x 轴的对称点为________．6． 点P(1,4，－3)与点Q(3，－2,5)的中点坐标是________．7． 已知正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1，E 、F 、G 分别是DD 1、BD 、BB 1的中点，且正方体棱长为1.请建立适当坐标系，写出正方体各顶点及E 、F 、G 的坐标．8． 在棱长为1的正方体ABCD —A 1B 1C 1D 1中，E 、F 分别是D 1D 、BD 的中点，G 在棱CD 上，且CG ＝14CD ， H 为C 1G 的中点，试建立适当的坐标系，写出E 、F 、G 、H 的坐标．二、能力提升9． 在空间直角坐标系中，P(2,3,4)、Q(－2，－3，－4)两点的位置关系是( ) A ．关于x 轴对称 B ．关于yOz 平面对称 C ．关于坐标原点对称 D ．以上都不对10．如图，在正方体ABCD —A ′B ′C ′D ′中，棱长为1，|BP|＝13|BD ′|，则P 点的坐标为( ) A.⎝⎛⎭⎫13，13，13 B.⎝⎛⎭⎫23，23，23 C.⎝⎛⎭⎫13，23，13 D.⎝⎛⎭⎫23，23，1311．连接平面上两点P 1(x 1，y 1)、P 2(x 2，y 2)的线段P 1P 2的中点M 的坐标为⎝⎛⎭⎫x 1＋x 22，y 1＋y 22，那么，已知空间中两点P 1(x 1，y 1，z 1)、P 2(x 2，y 2，z 2)，线段P 1P 2的中点M 的坐标为__________．12．如图所示，AF 、DE 分别是⊙O 、⊙O 1的直径，AD 与两圆所在的平面均垂直，AD ＝8.BC 是⊙O 的直径，AB ＝AC ＝6，OE ∥AD ，试建立适当的空间直角坐标系，求出点A 、B 、C 、D 、E 、F 的坐标．三、探究与拓展13．如图所示，四棱锥P －ABCD 的底面ABCD 是边长为1的菱形，∠BCD ＝60°，E 是CD 的中点，PA ⊥底面ABCD ，PA ＝2.试建立适当的空间直角坐标系，求出A 、B 、C 、D 、P 、E 的坐标．。
2.4.1 空间直角坐标系
张喜林制2.4.1 空间直角坐标系教材知识检索考点知识清单空间直角坐标系1．为了确定空间点的位置，我们在平面直角坐标系xOy的基础上，通过原点O，再作一条数轴z，使之与x轴、y轴都垂直，这时，我们说在空间建立了一个空间直角坐标系，其中O叫做，x轴、y轴、z轴叫做____，通过每两个坐标轴的平面叫做____．2.我们建立的空间直角坐标系，称为________，空间中的任一点与有序数组（x，y，z）之间就建立了一一对应的关系：P （x，y，z）．这样，空间一点P就可以用有序数组（x，y，z）来表示，有序数组（x，y，z）叫做点P在此空间坐标系下的，其中x叫做点P的，y叫做点p的，叫做点P的．要点核心解读1．空间直角坐标系为了确定空间点的位置，我们在空间中取一点0作为原点，过0点作三条两两互相垂直的数轴，通常90能与用x、y、z表示，轴的方向通常这样选择：从z轴的正方向看，x轴的正半轴沿逆时针方向旋转oy轴的正半轴重合，这时，我们在空间建立了一个空间直角坐标系Oxyz.在这个过程中，三条坐标轴两两互相垂直是建立空间直角坐标系的基础．2．点P的坐标过点P作一个平面平行于平面yoz（这样构造的平面垂直于x轴），这个平面与x轴的交点记为p，它在x轴上的坐标为x，这个数x就叫做点P的x坐标，你能描述点P的y坐标和z坐标吗?3．坐标平面每两条坐标轴分别确定的平面yoz、xoz、xOy，叫做坐标平面．4．特殊点的坐标形式xOy平面是坐标形如（x，y ，0）的点构成的点集，其中x、y为任意实数；xoz平面是坐标形如（x，0，z）的点构成的点集，其中x、z为任意实数；yoz平面是坐标形如(O，y ，z)的点构成的点集，其中y 、z为任意实数；x轴是坐标形如（x，O，0）的点构成的点集，其中x为任意实数；y 轴是坐标形如(0，y，0)的点构成的点集，其中y为任意实数；z轴是坐标形如(0，0,z)的点构成的点集，其中z为任意实数．典例分类剖析考点1 建立适当的空问直角坐标系，求点的坐标命题规律给定几何体，要求建立空间直角坐标系后，写出点的坐标．[例1] 结晶体的基本单位称为晶胞，如图2 -4 -1 -1是食盐晶体的示意图f 可看作是8个棱长为21 的小正方体堆积成的正方体l ，其中白点代表钠原子，黑点代表氯原子，如图2 -4 -1 -1建立空间直角坐标系后，试写出全部钠原子所在位置的坐标．[答案]把图中的钠原子分成上、中、下三层来写出它们所在位置的坐标．下层的原子全部在xOy 平面上，故它们所在位置的z 坐标为O ；中层的原子所在的平面平行于xOy 平面，与z 轴交点的z 坐标为,21故它们所在位置的z 坐标为;21上层的原子所在的 平面平行于xOy 平面，与z 轴交点的：坐标为1,故它们所在位置的z 坐标为1．下层五个钠原予的坐标分别为);0,21,21(),0,1,0(),0,1,1(),0,0,1(),0,0,0(中层四个钠原子的坐标分别为);21,21,0(),21,1,21(),21,21,1(),21,0,21( 上层五个钠原子的坐标分别为⋅)1,21,21(),1,1,0(),1,1,1(),1,0,1(),1,0,0(母题迁移 1．在棱长都为2的正三棱柱111C B A ABC -中，建立恰当的直角坐标系，并写出三棱柱111C B A ABC -各顶点的坐标，考点2求对称点的坐标命题规律已知空间一点，求此点关于某点、线、面的对称点的坐标．[例2] 求点A(1，2，-1)关于坐标平面xOy 及x 轴对称的点的坐标．[答案] 如图2 -4 -1-2所示，过A 作AM ⊥平面xOy ，垂足为M ，延长AM 到C ，使AM= CM ，则A 与C 关于坐标平面xOy 对称且C 点的坐标为(1，2，1)，过A 作AN ⊥ x 轴于N 并延长到点B ，使AN = NB ，则A 与B 关于x 轴对称且B 点的坐标为（1，-2，1）．．．．A （1，2，-1）关于坐标平面xOy 的对称点为C(l ，2，1)；关于x 轴的对称点为B （1，-2，1）．[点拨] 一般地，点P （x ，y ，z ）关于坐标平面，坐标轴的对称点的坐标有如下关系：可以发现，对称点的坐标很有规律，可以简化为：“关于谁谁不变，其余的相反”，如：关于x 轴的对称点，横坐标不变，纵坐标、竖坐标变为原来的相反数；关于xOy 坐标平面对称的点，横、纵坐标不变，竖坐标相反．母题迁移 2．如图2 -4 -1-3所示，正方体1111D C B A ABCD -的棱长为1． （1）求1B 关于xOy 平面对称的点的坐标； (2)求1B 关于x 轴对称的点的坐标；(3)求1B 关于原点D 对称的点的坐标．考点3 建立适当的空闻直角坐标系，求出几何体所有顶点的坐标 命题规律给定几何体，如棱柱、棱锥等，考查建系能力和方法．[例3] 已知ABCD V -为正四棱锥，O 为底面中心，,3,2==VO AB 试建立空间直角坐标系，并求出各顶点坐标．[答案] 建立空间坐标系如图2 -4 -1-4所示，∵ 正方形ABCD 的边长B C AO AB 00,2==∴=,3D .2===VO OD 又∴ 各顶点坐标分别为：,0(A ),0,2,0(),0,0,2(),0,2C B -⋅-)3,0,0(),0,0,2(V D[点拨] 由于本题中所给几何体是正四棱锥，故建系方法比较灵活，除答案所给方案外，也可以正方形ABCD 的任一顶点为原点，交于这一顶点的两条边所在直线分别为x 轴、y 轴建系，如以A 为顶点，AB 、AD 所在直线分别为x 轴、y 轴建系等．母题迁移 3．建立适当的坐标系，写出底边长为2，高为3的正三棱柱111C B A ABC 的各顶点的坐标。
空间直角坐标系
典型例题
1 图（可看成是八个棱长为 的小正方体堆积成的正方体），其 2
例2 结晶体的基本单位称为晶胞，如图是食盐晶胞的示意
中色点代表钠原子，黑点代表氯原子．
典型例题
1 图（可看成是八个棱长为 的小正方体堆积成的正方体），其 2
例2 结晶体的基本单位称为晶胞，如图是食盐晶胞的示意
中色点代表钠原子，黑点代表氯原子． 如图建立空间直角坐标 系O-xyz后，试写出全部钠原子所在位置的坐标．
R
M
P
O
M’
Q
y
x
Ⅲ
z
yoz面
Ⅳ
zox 面
Ⅱ
xoy面
Ⅶ Ⅷ
o
y
Ⅵ Ⅴ
Ⅰ
x
空间直角坐标系共有三个坐标面、八个卦限
3、空间中点的坐标
对于空间任意一点P，要求它的坐标 方法一：过P点分别做三个平面垂直于
x,y,z轴，平面与三个坐标轴的交点分别为
P1、P2、P3，在其相应轴上的坐标依次为 x,y,z，那么(x,y,)就叫做点P的空间直角
空间直角坐标系
OABC—A’B’C’D’是单位正方体．以O为原点，分别以射 线OA,OC, OD’的方向为正方向，以线段OA,OC, OD’的长为单 位长，建立空间直角坐标系O—xyz．试说出正方体的各个顶点 的坐标．并指出哪些点在坐标轴上，哪些点在坐标平面上．
z
(0，0，1)
D
'
C
'(0，1，1)
(1，0，1)
A
'
B '(1，1，1)
O(0，0，0) C(0，1，0) y
B(1，1，0)
A (1，0，0)
x
典型例题
空间向量的坐标运算精选全文完整版
| AC | | BB1 | cos 900 0 AD1 DB1 AD1 DA AD1 AB AD1 BB1 | AD1 | | DA | cos1350 | AD1 | | AB | cos 900
| AD1 | | BB1 | cos 450 0 又AD1 AC A,
AD1 DB1, AC DB1. DB1 平面ACD1.
xA‘
y B(3,4,0)
与y轴垂直的坐标平面是___x_o__z___ A'(3, 4, 5)
与z 轴垂直的坐标平面是___x_o_y____
(2)点P(2,3,4)在 xoy平面内的射影是_(_2_,3_,_0_)
在 xoz 平面内的射影是_(2_,_0_,4_)_
在 yoz平面内的射影是_(0_,_3_,4_)_
(2)a 6b 8c _(2_,_-3_,_1_)_+_(_12,0,18)+(0,0,-16)
=(14,-3,3)
练习Ｐ39 8.判定下列各题中的向量是否平行: (1) (1,2,-2)和(-2,-4,4), (2) (-2,3,5)和(16,-24,40). 解: (1) (-2,-4,4) = -2 (1,2,-2)
数轴：x轴、y轴、z轴，它们都叫做坐标轴.这样
就建立了一个空间直角坐标系O — x y z .
点O叫做原点，向量 i, j, k
z k
都叫做坐标向量.通过每两个
y
i 坐标轴的平面叫做坐标平面。
O
j
x
三、向量的直角坐标系
给定一个空间坐标系和向量
a ,且设 i, j, k为坐标向量，由空z a
间向量基本定理，存在唯一的有
D1 A1
D
空间坐标系与空间坐标系在立体几何中的应用有答案
空间坐标系与空间坐标系在立体几何中的应用有答案TYYGROUP system office room 【TYYUA16H-TYY-TYYYUA8Q8-一．空间直角坐标系如图1，为了确定空间点的位置，我们建立空间直角坐标系：以正方体为载体，以O为原点，分别以射线OA，OC，OD′的方向为正方向，以线段OA，OC，OD′的长为单位长，建立三条数轴：x轴、y轴、z 轴，这时我们说建立了一个空间直角坐标系，其中点O叫做坐标原点，x轴、y 轴、z轴叫做坐标轴，通过每两个坐标轴的平面叫做坐标平面，分别称为xOy平面、zOx平面、yOz平面，通常建立的坐标系为右手直角坐标系，即右手拇指指向x 轴的正方向，食指指向y轴的正方向，中指指向z轴的正方向．二．空间直角坐标系中的坐标空间一点M的坐标可用有序实数组(x，y，z)来表示，有序实数组(x，y，z)叫做点M 在此空间直角坐标系中的坐标，记作M(x，y，z)，其中x叫做点M的横坐标，y叫做点M的纵坐标，z叫做点M的竖坐标[例1] 在空间直角坐标系中，作出点M(6，－2,4)．[例2] 长方体ABCD－A1B1C1D1中，|AB|＝a，|BC|＝b，|CC1|＝c，将此长方体放到空间直角坐标系中的不同位置(如图3)，分别写出长方体各顶点的坐标．变式1：棱长为2的正方体，将此正方体放到空间直角坐标系中的不同位置，分别写出几何体各顶点的坐标。
2.底面为边长为4的菱形，高为5的棱柱，将此几何体放到空间直角坐标系中的不同位置分别写出几何体各顶点的坐标。
3. 在棱长均为2a的正四棱锥P－ABCD中，建立恰当的空间直角坐标系，(1)写出正四棱锥P－ABCD各顶点坐标；(2)写出棱PB的中点M的坐标．解：连接AC，BD交于点O，连接PO，∵P－ABCD为正四棱锥，且棱长均为2a.∴四边形ABCD为正方形，且PO⊥平面ABCD.∴OA＝2＝PA2－OA2＝2a2－2a2＝2a.以O点为坐标原点，OA，OB，OP所在的直线分别为x轴、y轴、z轴，建立空间直角坐标系．（1）正四棱锥P－ABCD中各顶点坐标分别为A(2a,0,0)，B(0，2a,0)，C(－2 a,0,0)，D(0，－2a,0)，P(0,0，2a)．(2)∵M为棱PB的中点，∴由中点坐标公式，得M(0＋02，2a＋02，0＋2a2)，即M(0，22a，22a)．[例3] 在空间直角坐标系中，点P(－2,1,4)．(1)求点P关于x轴的对称点的坐标；(2)求点P关于xOy平面的对称点的坐标；(3)求点P关于点M(2，－1，－4)的对称点的坐标．[解](1)由于点P关于x轴对称后，它在x轴的分量不变，在y轴、z轴的分量变为原来的相反数，所以对称点为P1(－2，－1，－4)．(2)由于点P关于xOy平面对称后，它在x轴、y轴的分量不变，在z轴的分量变为原来的相反数，所以对称点为P2(－2,1，－4)．(3)设对称点为P3(x，y，z)，则点M为线段PP3的中点，由中点坐标公式，可得x ＝2×2－(－2)＝6，y＝2×(－1)－1＝－3，z＝2×(－4)－4＝－12，所以P3(6，－3，－12)．变式：1.写出点P(6，－2，－7)在xOy面，yOz面，xOz面上的投影的坐标以及点P 关于各坐标平面对称的点的坐标．解：设点P在xOy平面、yOz平面、xOz平面上的投影分别为点A，B，C，点P关于xOy平面、yOz平面、xOz平面的对称点分别为点A′，B′，C′，由PA⊥平面xOy，PB⊥平面yOz，PC⊥平面xOz及坐标平面的特征知，点A(6，－2,0)，点B(0，－2，－7)，点C(6,0，－7)；根据点P关于各坐标平面对称点的特征知，点A′(6，－2,7)，B′(－6，－2，－7)，C′(6,2，－7)．2.在棱长都为2的正三棱柱ABC－A1B1C1中，建立恰当的直角坐标系，并写出正三棱柱ABC－A1B1C1各顶点的坐标．[正解] 取BC ，B 1C 1的中点分别为O ，O 1，连线OA ，OO 1， 根据正三棱柱的几何性质，OA ，OB ，OO 1两两互相垂直，且 |OA |＝32×2＝3， 以OA ，OB ，OO 1所在的直线分别为x 轴、y 轴、z 轴建立直角坐标系，如图5所示，则正三棱柱ABC —A 1B 1C 1各顶点的坐标分别为A (3，0,0)，B (0,1,0)，C (0，－1,0)，A 1(3，0,2)，B 1(0,1,2)，C 1(0，－1,2)．三．空间向量在立体几何中的应用1. 直线的方向向量与平面的法向量(1) 直线l 上的向量e 以及与e 共线的向量叫做直线l 的方向向量．(2) 如果表示非零向量n 的有向线段所在直线垂直于平面α，那么称向量n 垂直于平面α，记作n ⊥α.此时把向量n 叫做平面α的法向量．2. 线面关系的判定直线l 1的方向向量为e 1＝(a 1，b 1，c 1)，直线l 2的方向向量为e 2＝(a 2，b 2，c 2)，平面α的法向量为n 1＝(x 1，y 1，z 1)，平面β的法向量为n 2＝(x 2，y 2，z 2)．(1) 如果l 1∥l 2，那么e 1∥e 2⇔e 2＝λe 1⇔a 2＝λa 1，b 2＝λb 1，c 2＝λc 1． (2) 如果l 1⊥l 2，那么e 1⊥e 2⇔e 1·e 2＝0⇔a 1a 2＋b 1b 2＋c 1c 2＝0． (3) 若l 1∥α，则e 1⊥n 1⇔e 1·n 1＝0⇔a 1x 1＋b 1y 1＋c 1z 1＝0．(4) 若l 1⊥α，则e 1∥n 1⇔e 1＝k n 1⇔a 1＝kx 1，b 1＝ky 1，c 1＝kz 1． (5) 若α∥β，则n 1∥n 2⇔n 1＝k n 2⇔x 1＝kx 2，y 1＝ky 2，z 1＝kz 2． (6) 若α⊥β，则n 1⊥n 2⇔n 1·n 2＝0⇔x 1x 2＋y 1y 2＋z 1z 2＝0． 3. 利用空间向量求空间角 (1) 两条异面直线所成的角①范围：两条异面直线所成的角θ的取值范围是⎝⎛⎦⎥⎤0，π2.②向量求法：设直线a 、b 的方向向量为a 、b ，其夹角为φ，则有cos θ＝|cos φ|.(2) 直线与平面所成的角①范围：直线和平面所成的角θ的取值范围是⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2. ②向量求法：设直线l 的方向向量为a ，平面的法向量为u ，直线与平面所成的角为θ，a 与u 的夹角为φ，则有sin θ＝|cos φ|(3) 二面角①二面角的取值范围是[0，π]． ②二面角的向量求法：(ⅰ) 若AB 、CD 分别是二面角α-l-β的两个面内与棱l 垂直的异面直线，则二面角的大小就是向量AB 与CD 的夹角(如图①)．(ⅱ) 设n 1、n 2分别是二面角α-l-β的两个面α、β的法向量，则向量n 1与n 2的夹角(或其补角)的大小就是二面角的平面角的大小(如图②③)．题型1 空间向量的基本运算[例1]已知空间三点A(－2，0，2)，B(－1，1，2)，C(－3，0，4)．设a ＝AB →，b ＝AC →.(1) 求a 和b 的夹角θ；(2)若向量k a ＋b 与k a －2b 互相垂直，求k 的值． 解：∵A (－2，0，2)，B(－1，1，2)，C(－3，0，4)，a ＝AB →，b ＝AC →， ∴a ＝(1，1，0)，b ＝(－1，0，2)．(1)∵cosθ＝a·b |a ||b |＝－1＋0＋02×5＝－1010，∴a 和b 的夹角为arccos ⎝ ⎛⎭⎪⎫－1010. (2)∵k a ＋b ＝k(1，1，0)＋(－1，0，2)＝(k －1，k ，2)，k a －2b ＝(k ＋2，k ，－4)，且(k a ＋b )⊥(k a －2b )，∴(k －1，k ，2)·(k ＋2，k ，－4)＝(k －1)(k ＋2)＋k 2－8＝2k 2＋k －10＝0，解得k ＝－52或2.题型2 空间中的平行与垂直例2 如图所示，已知正方形ABCD 和矩形ACEF 所在的平面互相垂直， AB ＝2，AF ＝1，M 是线段EF 的中点．求证：(1) AM∥平面BDE ；(2) AM⊥平面BDF.证明：(1) 建立如图所示的空间直角坐标系，设AC∩BD＝N ，连结NE.则N ⎝ ⎛⎭⎪⎫22，22，0，E(0，0，1)，A(2，2，0)，M ⎝ ⎛⎭⎪⎫22，22，1.∴ NE →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－22，－22，1，AM →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－22，－22，1.∴ NE →＝AM →且NE 与AM 不共线．∴ NE∥AM.∵ NE 平面BDE ，AM 平面BDE ，∴ AM ∥平面BDE.(2) 由(1)知AM →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－22，－22，1，∵ D(2，0，0)，F(2，2，1)，∴ DF→＝(0，2，1)，∴ AM →·DF →＝0，∴ AM ⊥DF.同理AM⊥BF. 又DF∩BF＝F ，∴ AM ⊥平面BDF. 题型3 空间的角的计算例3 (2013·苏锡常镇二模)如图，圆锥的高PO ＝4，底面半径OB ＝2，D 为PO 的中点，E 为母线PB 的中点，F 为底面圆周上一点，满足EF⊥DE.(1) 求异面直线EF 与BD 所成角的余弦值； (2) 求二面角F-OD-E 的正弦值．解：(1) 以O 为原点，底面上过O 点且垂直于OB 的直线为x 轴，OB 所在的线为y 轴，OP 所在的线为z 轴，建立空间直角坐标系，则B(0，2，0)，P(0，0，4)，D(0，0，2)，E(0，1，2)．设F(x 0，y 0，0)(x 0>0，y 0>0)，且x 20＋y 20＝4，则EF →＝(x 0，y 0－1，－2)，DE →＝(0，1，0)，∵ EF ⊥DE ，即EF →⊥DE →，则EF →·DE →＝y 0－1＝0，故y 0＝1.∴ F(3，1，0)，EF →＝(3，0，－2)，BD →＝(0，－2，2)．设异面直线EF 与BD 所成角为α，则cos α＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪EF →·BD →|EF →||BD →|＝47×22＝147. (2) 设平面ODF 的法向量为n 1＝(x 1，y 1，z 1)，则⎩⎪⎨⎪⎧n 1⊥OD →，n 1⊥OF →，即⎩⎨⎧z 1＝0，3x 1＋y 1＝0.令x 1＝1，得y 1＝－3，平面ODF 的一个法向量为n 1＝(1，－3，0)．设平面DEF 的法向量为n 2＝(x 2，y 2，z 2)，同理可得平面DEF 的一个法向量为n 2＝⎝⎛⎭⎪⎫1，0，32.设二面角F-OD-E 的平面角为β，则|cos β|＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪n 1·n 2|n 1||n 2|＝17＝77.∴ sin β＝427. （翻折问题）例4. (2013广东韶关第二次调研)如图甲，在平面四边形ABCD 中，已知∠A＝45°，∠C ＝90°，∠ADC ＝105°，AB ＝BD ，现将四边形ABCD 沿BD 折起，使平面ABD⊥平面BDC(如图乙)，设点E 、F 分别为棱AC 、AD 的中点．(1) 求证： DC⊥平面ABC ； (2) 求BF 与平面ABC 所成角的正弦值； (3) 求二面角B －EF －A 的余弦值．解：(1) ∵ 平面ABD⊥平面BDC ，又∵ AB⊥BD，∴ AB ⊥平面BDC ，故AB⊥DC，又∵ ∠C＝90°，∴ DC ⊥BC ，BC ABC 平面ABC ，DC 平面ABC ，故DC⊥平面ABC.(2) 如图，以B 为坐标原点，BD 所在的直线为x 轴建立空间直角坐标系如下图示，设CD ＝a ，则BD ＝AB ＝2a ，BC ＝3a ，AD ＝22a ，可得B(0，0，0)，D(2a ，0，0)，A(0，0，2a)，C ⎝ ⎛⎭⎪⎫32a ，32a ，0，F(a ，0，a)，∴ CD →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12a ，－32a ，0，BF →＝(a ，0，a)．设BF 与平面ABC 所成的角为θ，由(1)知DC⊥平面ABC ，∴ cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－θ＝CD →·BF →|CD →|·|BF →|＝12a 2a ·2a ＝24，∴ sin θ＝24.(3) 由(2)知 FE⊥平面ABC, 又∵ BE平面ABC ，AE平面ABC ，∴ FE⊥BE，FE⊥AE ，∴ ∠AEB 为二面角B －EF －A 的平面角 .在△AEB 中，AE ＝BE ＝12AC ＝12AB 2＋BC 2＝72a ， ∴ cos ∠AEB ＝AE 2＋BE 2－AB 22AE ·BE ＝－17，即所求二面角B －EF －A 的余弦为－17.课后巩固练习：1.(2013·江苏卷)如图所示，在直三棱柱A 1B 1C 1－ABC 中，AB ⊥AC ，AB ＝AC ＝2，A 1A ＝4，点D 是BC 的中点．(1) 求异面直线A 1B 与C 1D 所成角的余弦值；(2) 求平面ADC 1与平面ABA 1所成二面角的正弦值．解：(1) 以A 为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系A －xyz ，则A(0，0，0)，B(2，0，0)，C(0，2，0)，D(1，1，0)，A 1(0，0，4)，C 1(0，2，4)，所以A 1B →＝(2，0，－4)，C 1D →＝(1，－1，－4)．因为cos 〈A 1B →，C 1D →〉＝A 1B →·C 1D →|A 1B →||C 1D →|＝1820×18＝31010，所以异面直线A 1B 与C 1D 所成角的余弦值为31010.(2) 设平面ADC 1的法向量为n 1＝(x ，y ，z)，因为AD →＝(1，1，0)，AC 1→＝(0，2，4)，所以n 1·AD →＝0，n 1·AC1→＝0，即x ＋y ＝0且y ＋2z ＝0，取z ＝1，得x ＝2，y ＝－2，所以，n 1＝(2，－2，1)是平面ADC 1的一个法向量．取平面AA 1B 的一个法向量为n 2＝(0，1，0)， 设平面ADC 1与平面ABA 1所成二面角的大小为θ.由|cos θ|＝n 1·n 2|n 1||n 2|＝29×1＝23，得sin θ＝53.因此，平面ADC 1与平面ABA 1所成二面角的正弦值为53. 2. (2013·新课标全国卷Ⅱ)如图所示，直三棱柱ABCA 1B 1C 1中，D 、E 分别是AB 、BB 1的中点，AA 1＝AC ＝CB ＝22AB.(1) 证明：BC 1∥平面A 1CD ；(2) 求二面角DA 1CE 的正弦值． (1) 证明：连结AC 1交A 1C 于点F ，则F 为AC 1中点． 又D 是AB 中点，连结DF ，则BC 1∥DF. 因为DF 平面A1CD ，BC 1平面A 1CD ， 所以BC 1∥平面A 1CD.(2) 由AC ＝CB ＝22AB 得AC⊥BC. 以C 为坐标原点，CA →的方向为x 轴正方向，建立如图所示的空间直角坐标系Cxyz.设CA ＝2，则D(1，1，0)，E(0，2，1)，A 1(2，0，2)，CD →＝(1，1，0)，CE →＝(0，2，1)，CA 1→＝(2，0，2)． 设n ＝(x 1，y 1，z 1)是平面A 1CD 的法向量，则⎩⎪⎨⎪⎧n ·CD →＝0，n ·CA 1→＝0，即⎩⎨⎧x 1＋y 1＝0，2x 1＋2z 1＝0.可取n ＝(1，－1，－1)．同理，设m 为平面A 1CE 的法向量，则⎩⎪⎨⎪⎧m ·CE →＝0，m ·CA 1→＝0.可取m ＝(2，1，－2)．从而cos 〈n ，m 〉＝n·m |n||m|＝33，故sin 〈n ，m 〉＝63.即二面角D-A 1C-E 的正弦值为63. 3. (2013·重庆)如图所示，四棱锥PABCD 中，PA ⊥底面ABCD ，BC ＝CD ＝2，AC ＝4，∠ACB ＝∠ACD＝π3，F 为PC 的中点，AF ⊥PB.(1) 求PA 的长；(2) 求二面角B-AF-D 的正弦值．解：(1) 如图，连结BD 交AC 于O ，因为BC ＝CD ，即△BCD 为等腰三角形，又AC 平分∠BCD，故AC⊥BD.以O 为坐标原点，OB →、OC →、AP →的方向分别为x 轴、y 轴、z 轴的正方向，建立空间直角坐标系Oxyz ，则OC ＝CDcos π3＝1，而AC ＝4，得AO ＝AC －OC ＝3.又OD ＝CDsin π3＝3，故A(0，－3，0)，B(3，0，0)，C(0，1，0)，D(－3，0，0)．因为PA⊥底面ABCD ，可设P(0，－3，z)，由F 为PC 边中点，得F ⎝⎛⎭⎪⎫0，－1，z 2，又AF →＝⎝⎛⎭⎪⎫0，2，z 2，PB →＝(3，3，－z)，因AF⊥PB，故AF →·PB →＝0，即6－z 22＝0，z ＝23(舍去－23)，所以|PA→|＝2 3.(2) 由(1)知AD →＝(－3，3，0)，AB →＝(3，3，0)，AF →＝(0，2，3)．设平面FAD 的法向量为n 1＝(x 1，y 1，z 1)，平面FAB 的法向量为n 2＝(x 2，y 2，z 2)．由n 1·AD →＝0，n 1·AF →＝0，得⎩⎪⎨⎪⎧－3x 1＋3y 1＝0，2y 1＋3z 1＝0，因此可取n 1＝(3，3，－2)．由n 2·AB →＝0，n 2·AF →＝0， 得⎩⎪⎨⎪⎧3x 2＋3y 2＝0，2y 2＋3z 2＝0，故可取n 2＝(3，－3，2)．从而向量n 1，n 2的夹角的余弦值为cos 〈n 1，n 2〉＝n 1·n 2|n 1|·|n 2|＝18.故二面角B-AF-D 的正弦值为378.4. (2013·连云港调研)在三棱锥SABC 中，底面是边长为23的正三角形，点S 在底面ABC 上的射影O 恰是AC 的中点，侧棱SB 和底面成45°角．(1) 若D 为侧棱SB 上一点，当SDDB为何值时，CD ⊥AB ；(2) 求二面角S-BC-A 的余弦值大小．解：以O 点为原点，OB 为x 轴，OC 为y 轴，OS 为z 轴建立空间直角坐标系O-xyz.由题意知∠SBO＝45°，SO ＝(0，0，0)，C(0，3，0)，A(0，－3，0)，S(0，0，3)，B(3，0，0)．(1) 设BD →＝λBS →(0≤λ≤1)，则OD →＝(1＋λ)OB →＋λOS →＝(3(1＋λ)，0，3λ)，所以CD →＝(3(1－λ)，－3，3λ)． 因为AB →＝(3，3，0)，CD ⊥AB ，所以CD →·AB →＝9(1－λ)－3＝0，解得λ＝23.故SD DB ＝12时， CD ⊥AB. (2) 平面ACB 的法向量为n 1＝(0，0，1)，设平面SBC 的法向量n 2＝(x ，y ，z)，则n 2·SB →＝0，n 2·SC →＝0，则⎩⎨⎧3x －3z ＝0，3y －3z ＝0，解得⎩⎨⎧x ＝z ，y ＝3z ，取n 2＝(1，3，1)，所以cos 〈n 1，n 2〉＝3×0＋1×0＋1×112＋12＋（3）2·1＝55. 又显然所求二面角的平面角为锐角，故所求二面角的余弦值的大小为55. 5. 在直四棱柱ABCD-A 1B 1C 1D 1中，AA 1＝2，底面是边长为1的正方形，E 、F 分别是棱B 1B 、DA 的中点．(1) 求二面角D 1-AE-C 的大小； (2) 求证：直线BF∥平面AD 1E.(1) 解：以D 为坐标原点，DA 、DC 、DD 1分别为x 、y 、z 轴建立空间直角坐标系如图．则相应点的坐标分别为D 1(0，0，2)，A(1，0，0)，C(0，1，0)，E(1，1，1)，∴ED1→＝(0，0，2)－(1，1，1)＝(－1，－1，1)，AE →＝(1，1，1)－(1，0，0)＝(0，1，1)， AC →＝(0，1，0)－(1，0，0)＝(－1，1，0)．设平面AED 1、平面AEC 的法向量分别为m ＝(a ，b ，1)，n ＝(c ，d ，1)．由⎩⎪⎨⎪⎧ED 1→·m ＝0，AE →·m ＝0⎩⎨⎧－a －b ＋1＝0，b ＋1＝0⎩⎨⎧a ＝2，b ＝－1，由⎩⎪⎨⎪⎧AC →·n ＝0，AE →·n ＝0⎩⎨⎧－c ＋d ＝0，d ＋1＝0⎩⎨⎧c ＝－1，d ＝－1，∴m ＝(2，－1，1)，n ＝(－1，－1，1)，∴cos m ，n ＝m·n |m |·|n |＝－2＋1＋16×3＝0，∴二面角D 1AEC 的大小为90°.(2) 证明：取DD 1的中点G ，连结GB 、GF.∵E 、F 分别是棱BB 1、AD 的中点，∴GF ∥AD 1，BE ∥D 1G 且BE ＝D 1G ，∴四边形BED 1G 为平行四边形，∴D 1E ∥BG. 又D1E 、D 1A 平面AD 1E ，BG 、GF 平面AD 1E ， ∴BG ∥平面AD 1E ，GF ∥平面AD 1E.∵GF 、GB 平面BGF ，∴平面BGF∥平面AD 1E. ∵BF 平面AD 1E ，∴直线BF∥平面AD 1E.(或者：建立空间直角坐标系，用空间向量来证明直线BF∥平面AD 1E ，亦可)6. (2013·苏州调研)三棱柱ABC －A 1B 1C 1在如图所示的空间直角坐标系中，已知AB ＝2，AC ＝4，A 1A ＝是BC 的中点．(1) 求直线DB 1与平面A 1C 1D 所成角的正弦值； (2) 求二面角B 1-A 1D-C 1的正弦值．解：(1) 由题意，A(0，0，0)，B(2，0，0)，C(0，4，0)，D(1，2，0)，A 1(0，0，3)，B 1(2，0，3)，C 1(0，4，3).A 1D →＝(1，2，－3)，A 1C 1→＝(0，4，0).设平面A 1C 1D 的一个法向量为n ＝(x ，y ，z)．∵ n ·A 1D →＝x ＋2y －3z ＝0，n ·A 1C 1→＝4y ＝0.∴ x ＝3z ，y ＝0.令z ＝1，得x ＝＝(3，0，1)．设直线DB 1与平面A 1C 1D 所成角为θ，∵ DB 1→＝(1，－2，3)，∴ sin θ＝|cos 〈DB 1→·n 〉|＝3×1＋0×（－2）＋1×310×14＝33535. (2) 设平面A 1B 1D 的一个法向量为m ＝(a ，b ，c)． A 1B 1→＝(2，0，0)，∵ m ·A 1D →＝a ＋2b －3c ＝0，m ·A 1B 1→＝2a ＝0，∴ a ＝0，2b ＝3c.令c ＝2，得b ＝＝(0，3，2)．设二面角B 1A 1DC 1的大小为α，∴ |cos α|＝cos|〈m ，n 〉|＝|m·n||m|·|m|＝|0×3＋3×0＋2×1|13×10＝265，则sin α＝3765＝345565.∴ 二面角B 1A 1DC 1的正弦值为345565.7. (2013·南通二模)如图，在三棱柱ABCA 1B 1C 1中，A 1B ⊥平面ABC ，AB ⊥AC ，且AB ＝AC ＝A 1B ＝2.(1) 求棱AA 1与BC 所成的角的大小；(2) 在棱B 1C 1上确定一点P ，使二面角P －AB －A 1的平面角的余弦值为255.解：(1) 如图，以A 为原点建立空间直角坐标系，则C(2，0，0)，B(0，2，0)，A 1(0，2，2)，B 1(0，4，2)，AA 1→＝(0，2，2)，BC →＝B 1C 1→＝(2，－2，0)．cos 〈AA 1→，BC →〉＝AA 1→·BC →|AA 1→|·|BC →|＝－48·8＝－12，故AA 1与棱BC 所成的角是π3.(2) P 为棱B 1C 1中点，设B 1P →＝λB 1C 1→＝(2λ，－2λ，0)，则P(2λ，4－2λ，2)．设平面PAB 的法向量为n 1＝(x ，y ，z)，AP →＝(2λ，4－2λ，2)，则⎩⎪⎨⎪⎧n 1·AP →＝0，n 1·AB →＝0.⎩⎨⎧λx＋2y －λy＋z ＝0，2y ＝0.⎩⎨⎧z ＝－λx，y ＝0.故n 1＝(1，0，－λ)，而平面ABA1的法向量是n2＝(1，0，0)，则cos〈n1，n2〉＝n1·n2|n1|·|n2|＝11＋λ2＝255，解得λ＝12，即P为棱B1C1中点，其坐标为P(1，3，2)．近六年高考题1. 【2010高考北京理第16题】(14分)如图，正方形ABCD和四边形ACEF所在的平面互相垂直，CE⊥AC，EF∥AC，AB，CE＝EF＝1.(1)求证：AF∥平面BDE；(2)求证：CF⊥平面BDE；(3)求二面角A-BE-D的大小．【答案】设AC与BD交与点G。
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
空间直角坐标系练习一
班级 姓名 一、基础知识、 1、将空间直角坐标系画在纸上时，x轴与y轴、x轴与z轴均成 ，而z轴垂直于y轴，，y轴和z轴的长度单位 ，x轴上的单位长度为y轴（或z轴）的长度的 ， 2、坐标轴上的点与坐标平面上的点的坐标的特点： x轴上的点P的坐标的特点：Ｐ（ , , ），纵坐标和竖坐标都为零． y轴上的点的坐标的特点： Ｐ（ , , ），横坐标和竖坐标都为零． z轴上的点的坐标的特点： Ｐ（ , , ），横坐标和纵坐标都为零． xＯy坐标平面内的点的特点：Ｐ（ , , ），竖坐标为零． xＯz坐标平面内的点的特点：Ｐ（ , , ），纵坐标为零． yＯz坐标平面内的点的特点：Ｐ（ , , ），横坐标为零． 3、已知空间两点Ａ（1x，1y， 1z），Ｂ（2x，2y 2z），则AB中点的坐标为（ , , ）. 4、一个点关于坐标轴和坐标平面的对称点的坐标： 点P（x，y，ｚ）关于坐标原点的对称点为 1P（ , , ）； 点P（x，y，ｚ）关于坐标横轴（ｘ轴）的对称点为2P（ , , ）； 点P（x，y，ｚ）关于坐标纵轴（ｙ轴）的对称点为3P（ , , ）； 点P（x，y，ｚ）关于坐标竖轴（ｚ轴）的对称点为4P（ , , ）； 点P（x，y，ｚ）关于ｘＯｙ坐标平面的对称点为 5P（ , , ）； 点P（x，y，ｚ）关于ｙＯｚ坐标平面的对称点为 6P（ , , ） 点P（x，y，ｚ）关于ｚＯｘ坐标平面的对称点为 7P（ , , ）． 二、选择题
1、有下列叙述： ① 在空间直角坐标系中，在ox轴上的点的坐标一定是（0，b，c）； ②在空间直角坐标系中，在yoz平面上的点的坐标一定是（0，b，c）； ③在空间直角坐标系中，在oz轴上的点的坐标可记作（0，0，c）； ④在空间直角坐标系中，在xoz平面上的点的坐标是（a，0，c）。 其中正确的个数是（ ） A、1 B、2 C、3 D、4 2、已知点A（-3，1，4），则点A关于原点的对称点的坐标为（ ） A、（1，-3，-4） B、（-4，1，-3） C、（3，-1，-4） D、（4，-1，3） 3、已知点A（-3，1，-4），点A关于x轴的对称点的坐标为（ ） A、（-3，-1，4） B、（-3，-1，-4） C、（3，1，4） D、（3，-1，-4） 4、点（2，3，4）关于xoz平面的对称点为（ ） A、（2，3，-4） B、（-2，3，4） C、（2，-3，4） D、（-2，-3，4） 5、以正方体ABCD—A1B1C1D1的棱AB、AD、AA1所在的直线为坐标轴建立空间直角坐标系，且正方体的棱长为一个单位长度，则棱CC1中点坐标为（ ） A、（12，1，1） B、（1，12，1） C、（1，1，12） D、（12，12，1） 6、点（1，1，1）关于z轴的对称点为（ ） A、（-1，-1，1） B、（1，-1，-1） C、（-1，1，-1） D、（-1，-1，-1） 三、填空题 7、点（2，3，4）关于yoz平面的对称点为------------------。 8、设z为任意实数，相应的所有点P（1，2，z）的集合图形为-----------------。 9、以棱长为1的正方体ABCD—A1B1C1D1的棱AB、AD、AA1所在的直线为坐标轴，建立空间直角坐标系，则面AA1B1B对角线交点的坐标为----------------。 10、P（x0，y0，z0）关于y轴的对称点为-------------------。 四、解答题 11、在空间直角坐标系中，与x轴垂直的是 坐标平面； 与y轴垂直的是 坐标平面； 与z轴垂直的是 坐标平面； 12、在空间直角坐标系中，落在x轴上的点的坐标的特点是 。试写出三个点的坐标 ， ， 。 落在xoy坐标平面内的点的坐标特点是 。试写出三个点的坐标 ， ， 。 13、（1）写出点P（2，3，4）在三个坐标平面内的射影的坐标是 。 （2）写出点P（2，3，4）在三条坐标轴上的射影的坐标是 。 14、（1）写出点P（1，3，-5）关于原点成中心对称的点的坐标是 。 （2）写出点P（1，3，-5）关于ox轴对称的点的坐标是 。
15、如下图，在空间直角坐标系中BC=2，原点O是BC的中点，点A的坐标是（32，12，0），点D在平面yoz上，且BDC=900， DCB=300，求点D的坐标。 答案： 一、选择题 1、C；2、C；3、A；4、C；5、C；6、A 二、填空题 7、（-2，3，4） 8、过点（1，2，0）且平行于z轴的一条直线。
9、（12，0，12） 10、（-x0，y0，-z0） 三、解答题 11、解：在空间直角坐标系中，yoz坐标平面与x轴垂直，xoz坐标平面与y轴垂直，xoy坐标平面与z轴垂直。
12、解：在空间直角坐标系中，落在x轴上的点的纵坐标和竖坐标都是0，即（x，y，0）的形式，如（2，0，0），（-3，0，0），（12，0，0）。 13、解：（1）点P（2，3，4）在xoy坐标平面内的射影为（2，3，0）；在yoz坐标平面内的射影为（0，3，4）；在xoz坐标平面内的射影为（2，0，4） （2）P（2，3，4）在x轴上的射影是（2，0，0）；在y轴上的射影是（0，3，0）；在z轴上的射影为（0，0，4）。 14、解：（1）点P（1，3，-5）关于原点成中心对称的点的坐标为（-1，-3，5）； （2）点P（1，3，-5）关于ox轴对称的点的坐标（1，-3，5）。 15、解：过D作DEBC，垂足为E，在RtBDC中， BDC=900， DCB=300，BC=2，得BD=1，CD=3
∴DE=Cdsin300=32，OE=OB-BE =OB-BDcos600=1-12=12 ∴D点坐标为（0，-12，32）。 空间直角坐标系练习二
班级 姓名 一、 选择题 1、在空间直角坐标系中，点A（1，2，-3）关于x轴的对称点为（ ） A、A（1，-2，-3） B、（1，-2，3） C、（1，2，3） D、（-1，2，-3） 2、设yR，则点P（1，y，2）的集合为（ ） A、垂直于xoz平面的一条直线 B、平行于xoz平面的一条直线 C、垂直于y轴的一个平面 D、平行于y轴的一个平面 3、在空间直角坐标系中，方程x2-4（y-1）2=0表示的图形是（ ） A、两个点 B、两条直线 C、两个平面 D、一条直线和一个平面 4、在空间直角坐标系中，点P（3，4，5）关于yoz平面的对称点的坐标为（ ） A、（-3，4，5） B、（-3，-4，5） C、（3，-4，-5） D、（-3，4，-5） 5、在空间直角坐标系中，P（2，3，4）、Q（-2，-3，-4）两点的位置关系是（ ） A、关于x轴对称 B、关于yoz平面对称 C、关于坐标原点对称 D、以上都不对 6、点P(a,b,c)到坐标平面xOy的距离是（ ）
A、22ab B、|a| C、|b| D、|c| 7、A(1,-2,11),B(4,2,3),C(6,-1,4)为三角形的三个顶点，则ABC是 （ ） A、直角三角形 B、钝角三角形 C、锐角三角形 D、等腰三角形 二、填空题 8、在空间直角坐标系中，点P的坐标为（1，2，3），过点P作yoz平面的垂线PQ，则垂足Q的坐标是--------------------。 9、若点A(2,1,4)与点P(x,y,z)的距离为5，则x,y,z满足的关系式是_______________. 10、已知点A在x轴上，点B（1，2，0），且|AB|=5,则点A的坐标是_________________.
三、解答题 11、在直角坐标系O—xyz中作出以下各点的P（1，1，1）、Q（-1，1，-1）。 12、已知正方体ABCD—A1B1C1D1，E、F、G是DD1、BD、BB1之中点，且正方体棱长为1。请建立适当坐标系，写出正方体各顶点及E、F、G的坐标。
13、求点A（1，2，-1）关于坐标平面xoy及x轴对称点的坐标。
14、四面体P—ABC中，PA、PB、PC两两垂直，PA=PB=2，PC=1，E为AB的中点。建立空间直角坐标系并写出P、A、B、C、E的坐标。 15、试写出三个点使得它们分别满足下列条件（答案不唯一）： （1） 三点连线平行于x轴； （2） 三点所在平面平行于xoy坐标平面； 在空间任取两点，类比直线方程的两点式写出所在直线方程
答案： 一、选择题 1、B；2、A；3、C；4、A；5、C；6、D；7、A 二、填空题 8、（0，2，3） 9、222(2)(1)(4)25xyz 10、(0,0,0)或（2，0，0） 三、解答题 11、解:在直角坐标系O—xyz中，在坐标轴上分别作出点Px、Py、Pz，使它们在x轴、y轴、z轴上的坐标分别是1，1，1；再分别通过这些点作平面平行于平面yoz、xoz、xoy，这三个平面的交点即为所求的点P。（图略）
12、解：如右图，建立空间直角坐标系，则A（1，0，0）， B（1，1，0），C（0，1，0），D（0，0，0），A1（1，0，1），
B1（1，1，1），C1（0，1，1），D1（0，0，1），E（0，0，12），
F（12，12，0），G（1，1，12） 13、解：