离散数学(大作业)与答案

一、请给出一个集合A ，并给出A 上既具有对称性，又具有反对称性的关系。（10分） 解：A={1,2} R={（1,1），（2,2）}

二、请给出一个集合A ，并给出A 上既不具有对称性，又不具有反对称性的关系。（10分）

三、设A={1，2}，请给出A 上的所有关系。（10分）

答：

四、设A={1，2，3}，问A 上一共有多少个不同的关系。（10分）

五、证明： 命题公式G 是恒真的当且仅当在等价于它的合取范式中，每个子句均至少包含一个原子及其否定。（10分）

证明：设公式G 的合取范式为：G ’=G1∧G2∧…∧Gn

若公式G 恒真，则G ’恒真，即子句Gi ；i=1,2,…n 恒真 为其充要条件。

Gi 恒真则其必然有一个原子和它的否定同时出现在Gi 中，也就是说无论一个解释I 使这个原子为1或0 ，Gi 都取1值。

若不然，假设Gi 恒真，但每个原子和其否定都不同时出现在Gi 中。则可以给定一个解释I ，使带否定号的原子为1，不带否定号的原子为0，那么Gi 在解释I 下的取值为0。这与Gi 恒真矛盾。

因此，公式G 是恒真的当且仅当在等价于它的合取范式中，每个子句均至少包含一个原子及其否定。

六、若G=(P ，L)是有限图，设P(G)，L(G)的元数分别为m ，n 。证明：n ≤2m C ，其中2m C 表

示m 中取2的组合数。（10分）

证明：如果G=(P,L)为完全图，即对于任意的两点u 、v （u ≠v ）,都有一条边uv ，则此时对于元数为m 的P(G)，L(G)的元数取值最大为C m 2。因此，若G=(P,L)为一有限图，设P(G)的元数为m ，则有L(G)

的元数n ≤C m

2 ，其中C m 2

表示m 中取2的组合数。

七、设G 是有限图，P(G)，L(G)的元数分别为m ，n 。δ，∆分别是G 中点的最小度和最大度。证明：δ≤2n/m ≤∆。（10分）

证明：因为 m δ≤∑∈)(P v G (v)d G ≤m ∆

同时由定理1知∑∈)

(P v G (v)d G =2n

则有 m δ≤2n ≤m ∆ 由m>0有：δ≤2n/m ≤∆

八、设G=(P ，L)是有限图，P(G)，L(G)的元数分别为m ，n 。证明：如果n>

，则G 是

连通的。（10分） 证明：反证法，假设此时G 不是连通的，则将G 中的一个连通分支作为一个子图记为G1，剩余的部分记为G2。可设P(G1)的元数为m1，P(G2) 的元数为m2，其中1≤m1，m2

=1/2(m12+m22- m1- m2)

=1/2(m12+(m-m1)2- m)

=1/2(m2-m-2mm1+2m12)

=1/2(m2-m-2m1(m-m1))

=1/2(m2-m-2m1m2)

由于(m1-1) (m2-1) ≥0所以有：

m1 m2- (m1+m2)+1≥0 即m1 m2≥m-1

则有：n ≤1/2(m2-m-2m1m2)

≤1/2(m2-m-2(m-1))

=1/2(m2-3m+2)

=1/2(m-1)(m-2)

=21-m C

显然这与已知n>C m-12矛盾，命题得证。

九、设G为图（可能无限），无回路，但若任意外加一边于G后就形成一回路，试证G必为

树。（10分）

证明：从树的定义出发，

1）由已知有G中无回路

2）要证G连通，反证法，假设G不连通，则一定存在点u和v，满足在G中没有从u到v的路，现在连接u、v，即在G中添加一条边uv，由已知G中加一条边后形成一回路可知，G中u、v两点间有一回路，即若G中删除边uv后，点u、v仍然连通，矛盾。所以G连通。

因此，G必为树

十、证明：一个有限连通图G是一条非回路的简单路，当且仅当G中有两个点的度为1，且

其余点的度均为2。（10分）

证明：必要性，设P(G)的元数为n，k=3时显然成立。假设k=n-1时，G中有两个点的度为1，且其余点的度均为2。则当k=n时，设v1是路G的起点v2是与v1相邻的另一点，把点v1及边v1v2从G 中删去得G'。显然G'仍是非回路的简单路且有n-1个节点，有归纳假设知G'中有两个点的度为1，且其余点的度均为2。把点v1及边v1v2加入到G'中得G，显然G中有两个点的度为1，且其余点的度均为2，归纳法完成。

充分性，k=3时显然成立，假设k=n-1时，G是一条非回路的简单路。则当k=n时，设v1是路G中度为1的一点，v2是与v1相邻的另一点，把点v1及边v1v2从G中删去得G'，此时v2的度必为1（若为0则与G是连通图矛盾；若为2则在G中v2的度为3，矛盾），有假设知G'是一条非回路的简单路。把点v1及边v1v2加入到G'中得G显然仍成立，归纳法完成。