人口指数增长模型和Logistic模型

根据美国人口从1790年到1990年间的人口数据（如下表），确定人口指数增长模型和Logistic 模型中的待定参数，估计出美国2010年的人口，同时画出拟合效果的图形。

指数增长模型：rt e x t x 0)(=

Logistic 模型：()011m

rt

m x x t x e x -=

⎛⎫

+- ⎪⎝⎭

解：模型一:指数增长模型。Malthus 模型的基本假设下，人口的增长率为常数，记为r ，记时刻t 的人口为 )(t x ，（即)(t x 为模型的状态变量）且初始时刻的人

口为0x ，因为⎪⎩⎪⎨⎧==0

)0(x x rx

dt dx

由假设可知0()rt x t x e = 经拟合得到：

}2

120010120

()ln ()ln ,ln (),,ln rt a y a t a x t x e x t x rt r a x e

y x t a r a x =+=⇒=+⇒

=====

程序：

t=1790:10:1980;

x(t)=[3.9 5.3 7.2 9.6 12.9 17.1 23.2 31.4 38.6 50.2 62.9 76.0 92.0 106.5

123.2 131.7 150.7 179.3 204.0 226.5 ]; y=log(x(t));a=polyfit(t,y,1) r=a(1),x0=exp(a(2)) x1=x0.*exp(r.*t);

plot(t,x(t),'r',t,x1,'b') 结果：a = 0.0214 -36.6198

r= 0.0214

x0= 1.2480e-016 所以得到人口关于时间的函数为：0.02140()t x t x e =，其中x0 = 1.2480e-016， 输入：t=2010;

x0 = 1.2480e-016; x(t)=x0*exp(0.0214*t)

得到x(t)= 598.3529。即在此模型下到2010年人口大约为598.3529 610⨯。

模型二：阻滞增长模型（或 Logistic 模型） 由于资源、环境等因素对人口增长的阻滞作用，人口增长到一定数量后，增长率会下降，假设人口的增长率为 x 的减函数，如设)/1()(m x x r x r -=，其中 r 为固有增长率 (x 很小时 ) ，m x 为人口容量（资源、环境能容纳的最大数量）， 于是得到如下微分方程：

⎪⎩

⎪

⎨⎧=-=0)0()1(x

x x x rx dt

dx

m 建立函数文件curvefit_fun2.m

function f=curvefit_fun2 (a,t)

f=a(1)./(1+(a(1)/3.9-1)*exp(-a(2)*(t-1790))); 在命令文件main.m 中调用函数文件curvefit_fun2.m % 定义向量（数组） x=1790:10:1990;

y=[3.9 5.3 7.2 9.6 12.9 17.1 23.2 31.4 38.6 50.2 62.9 76 ... 92 106.5 123.2 131.7 150.7 179.3 204 226.5 251.4]; plot(x,y,'*',x,y); % 画点，并且画一直线把各点连起来 hold on;

a0=[0.001,1]; % 初值

1780

1800182018401860188019001920194019601980

050

100

150

200

250

300

350

% 最重要的函数，第1个参数是函数名（一个同名的m 文件定义），第2个参数是初值，第3、4个参数是已知数据点 a=lsqcurvefit('curvefit_fun2',a0,x,y); disp(['a=' num2str(a)]); % 显示结果 % 画图检验结果 xi=1790:5:2020;

yi=curvefit_fun2(a,xi); plot(xi,yi,'r'); % 预测2010年的数据 x1=2010;

y1=curvefit_fun2(a,x1) hold off 运行结果：

a=311.9531 0.02798178 y1 =267.1947

其中a(1)、a(2)分别表示()011m

rt

m x x t x e x -=

⎛⎫+- ⎪⎝⎭

中的m x 和r ，y1则是对美国美

国2010年的人口的估计。

第二题：

问题重述：

一垂钓俱乐部鼓励垂钓者将钓上的鱼放生，打算按照放生的鱼的重量给与鼓励，俱乐部只准备了一把软尺用于测量，请你设计按照测量的长度估计鱼的重量

1750

180018501900195020002050

050

100

150

200

250

300

的方法。假定鱼池中只有一种鲈鱼，并且得到8条鱼的如下数据（胸围指鱼身的最大周长）：

问题分析：

鲈鱼的体重主要与鱼的身长、胸围有关系。一般来说，鲈鱼的胸围越大，鱼

的体重会越重，身长越长，体重也越重。但鱼的胸围与身长之间又有些必然的联

系，共同影响鱼的体重。建模的目的是寻求鲈鱼体重与身长、胸围之间的数量规

律

模型假设：

1、鲈鱼的身长越长体重越重，体重与身长存在正相关关系；

2、鲈鱼的胸围越大体重也越重，体重与胸围存在正相关的关系；

3、鲈鱼的胸围、身长互相影响，共同作用鲈鱼的体重；

4、鲈鱼的形态近似为与胸围等周长与身长等高的圆柱体。

模型的建立及求解：

（一）、鲈鱼体重与身长模型的确立

为了研究鲈鱼身长与体重的关系，我们利用已测量的数据，取出身长及体重的数据，利用MATLAB软件画出散点图，如下：