导数及其应用分类汇编

江苏省名校数学导数及其应用试题分类汇编

一、填空题

1、（省扬州中学）函数32()f x x bx cx d =+++在区间[]1,2-上是减函数,则c b +的最大值为 答案：152

-

2、（省南京一中）已知R 上的可导函数)(x f 的导函数)(x f '满足：

)(x f '+)(x f 0>，且1)1(=f 则不等式>

)(x f 1

1-x e

的解

是 ．答案：),1(+∞

3、（省阜宁中学）若函数()3

2

f x x ax bx c =+++有极值点12,x x ，且()11f x x =，则关于x 的方程()()()2

320f x af x b ++=的不同实根个数是 .答案：3

4、（省灌云高中）已知函数()x x mx x f 2ln 2-+=在定义域内是增

函数，则实数m 的取值范围为_________答案：1

2

m ≥

5、（省粱丰高中）已知函数32

()f x mx nx =+的图象在点(1,2)-处的

切线恰好与直线30x y +=平行，若()f x 在区间[],1t t +上单调递减，则实数t 的取值范围是 答案：1(1,1)e

+ 6、（省如东县掘港高中）函数1

2ln y x x

=+的单调减区间为__________答案：1(0,)2

7、（睢宁菁华高中）知函数()f x ,()g x 满足(1)2f =,

(1)1f '=,(1)1g =,(1)1g '=,则函数()(()1)()F x f x g x =-?的图象在

1x =处的切线方程为 .答案：2x －y －1＝0

二、解答题

1、（省南京市第一中学）已知f (x )＝x ln x －ax ，g (x )＝-x 2－2，

（Ⅰ）对一切x ∈(0, +∞)，f (x )≥g (x )恒成立，求实数a 的取值范围；（Ⅱ）当a ＝－1时，求函数f (x )在[m ，m ＋3]( m ＞0)上的最值；

（Ⅲ）证明：对一切x ∈(0, +∞)，都有lnx ＋1＞

ex

e x

2

1-成立。 解：（Ⅰ）对一切)()(),,0(x g x f x ≥+∞∈恒成立， 即2ln 2

--≥-x ax x x 恒成立.

也就是+

+≤x x a ln x 2

在),0(+∞∈x 恒成立 令x

x x x F 2

ln )(++= ，

则F '2

222)

1)(2(2211)(x

x x x x x x x x -+=-+=-+=， 在)10(，上F '0)(

在上，)1(∞+上F '0)(>x ，因此，)(x F 在1=x 处取极小值，也是最小值，即3)1()(m in ==F x F ，所以3≤a .

（Ⅱ）当时，

1-=a x x x x f +=ln )( ，

f '2ln )(+=x x ，由f '0)(=x 得2

1e x =

. ①当21

0e m <<时，在上)1,[2e

m x ∈上f '0)(

(

2

+∈m e

x 上f '0)(>x 因此，)(x f 在21e x =处取得极小值，也是最小值. 2min 1

)(e

x f -= .

由于0]1)3)[ln(3()3(,0)(>+++=+

②当时21

e

m ≥，0)('≥x f ，因此]3,[)(+m m x f 在上单调递增，

所以)1(ln )()(m in +==m m m f x f ，

]

1)3)[ln(3()3()(m ax +++=+=m m m f x f （Ⅲ）证明：问题等价于证明)),0((2

ln +∞∈->+x e

e x x x x x

由(Ⅱ)知1-=a 时，x x x x f +=ln )(的最小值是21

e

-，

当且仅当21

e

x =时取得，

设)),0((2)(+∞∈-=x e e x x G x ，则G 'x e

x

x -=1)(，

易知e

G x G 1

)1()(m ax -==，当且仅当1x =时取到，

但，e

e 112->-从而可知对一切(0,)x ∈+∞，

都有ex

e x x 2

11ln ->+成立

2、（省诚贤中学）已知函数2233()[(log )(log )](log )(log )a x a x f x k x a x a =+--，2()(3)(log log )a x g x k x a =-+，(其中1a >)，设l

o g l o g a x t x a =+. （Ⅰ）当(1,)(,)x a a ∈?+∞时,试将()f x 表示成t 的函数()h t ,并探

究函数()h t 是否有极值；

（Ⅱ）当(1,)x ∈+∞时，若存在0(1,)x ∈+∞，使00()()f x g x >成立，

试求k 的范围.

解：（Ⅰ）∵2

2

2

2

(log )(log )(log log )22a x a x x a x a t +=+-=-,

3323(log )(log )(log log )[(log log )3]3a x a x a x x a x a x a t t

+=++-=-,∴3

2

()32,(2)h t t kt t k t =-++-> ∴2

()323h t t kt '=-++ 设12,t t 是()0h t '=的两根，则120t t <，∴()0h t '=在定义域内至多有一解,欲使()h t 在定义域内有极值，只需2

()3230h t t kt '=-++=在

(2,)+∞内有解，且()h t '的值在根的左右两侧异号，∴(2)0h '>得

94k >综上：当94k >时()h t 在定义域内有且仅有一个极值，当94

k ≤

时()h t 在定义域内无极值。

（Ⅱ）∵存在0(1,)x ∈+∞，使00()()f x g x >成立等价于()()f x g x -的最大值大于0，

∵log log a x t x a =+，∴3

2

2

()2,(2)m t t kt k t k t =-++-≥, ∴2

2

()320m t t kt k '=-++=得12,3

k t k t ==-. 当2k >时，max ()()0m t m k =>得2k >； 当02k <≤时，max ()(2)0m t m =>得

171

22

k -<≤ 当0k =时，max ()(2)0m t m =<不成立 当60k -≤<时，max ()(2)0m t m =>得171

62

k ---≤<； 当6k <-时，max ()()03

k m t m =->得6k <-； 综上得：1712k --<

或171

2

k -> 3、（省东海县二中）已知函数1

()()2ln ()f x a x x a R x

=--∈ (1)求函数()f x 的单调区间;(2)设函数()a

g x x

=-

,至少存在一个0[1,]x e ∈,使00()()f x g x >成立,求实数a 的取值范围. 解 ：（1）由题意得，函数()f x 的定义域为(0,)+∞，

易求得222

122()(1)ax x a

f x a x x x -+'=+-=

①当0a ≤时，2

()20h x ax x a =-+<在(0,)+∞恒成立， 则()0f x '<在(0,)+∞恒成立，此时()f x 在(0,)+∞单调递减。 ②当0a >时，244a ?=-

ⅰ若01a <<，由()0f x '>即()0h x >，

得22

1111a a x x a a

--+-<或> 由()0f x '<即()0h x <得22

1111a a x a a --+-<< 所以()f x 单调增区间为22

1111(0,

)a a a a --+-+∞)和（， 单调减区间为22

1111(

,)a a a a

--+- ⅱ若1a ≥，()0h x ≥在(0,)+∞上恒成立，则()0f x '≥在(0,)+∞上恒成立，所以此时()f x 在(0,)+∞单调递增。

（2）因为存在0[1,]x e ∈使得00()()f x g x >成立，所以

002ln ax x >，即0

2ln x a x >

令2ln ()x F x x =

其中[1,]x e ∈，2

2(1ln )

()x F x x -'=，当[1,]x e ∈时，()0F x '≥，所以函数2ln ()x

F x x

=在[1,]e 上是单调递增的，得

()(1)0F x F ≥=，因此0a >，所以实数a 的取值范围为(0,)+∞

4、（省阜宁中学）已知函数()22,0

ln ,0

x x a x f x x x ?++<=?>?，其中a 是实

数，设()()()()1122,,,A x f x B x f x 为该函数的图象上的两点，且

12x x <.⑴指出函数()f x 的单调区间；⑵若函数()f x 的图象在

点,A B 处的切线互相垂直，且20x <，求21x x -的最小值； ⑶若函数()f x 的图象在点,A B 处的切线重合，求a 的取值范围. 解：（1）单调减区间为(),1-∞-，单调增区间为()()1,0,0,-+∞

（2）()()1

21f x f x ''?=- 当0x <时，因为120x x <<，所以()()1222221x x ++=-.

12220,220x x +<+>

∴()()()()21121212222222212

x x x x x x -=-+++≥-++=????

当且仅当1231,22

x x =-=-时等号成立，

∴21x x -的最小值为1.

（3）当120x x <<或210x x >>时，()()1

2f x f x ''≠， 故120x x <<

当10x <时，函数()f x 的图象在点()()

11,x f x 的切线方程为 ()

()()2

1111222y x x a x x x -++=+-即()2

1122y x x x a =+-+

当20x >时，函数()f x 在()()

22,x f x 切线方程为22

1l n 1y x x x =?+- 两切线重合的充要条件是12221122ln 1x x

x x a ?=+???-=-+?①②

由①及120x x <<知110x -<<

由①②得()2

11ln 221a x x =-+-

又2

1y x =，与()1ln 22y x =-+在()1,0-都为减函数.

∴()ln 21,a ∈--+∞

5、（省灌云高中）已知函数2

()ln ()2

x f x x kx k =+-为常数， (1)试讨论()f x 单调性；(2)若()f x 存在极值，求()f x 的零点个数。 解:（1）函数的定义域为(0,)+∞

211

'()x kx f x x k x x -+=+-=

方程210x kx -+=的判别式2

4k ?=-

（i ）当22k -<<时，0?<，在()f x 的定义域内()0f x '>，()

f x 是增函数

（ii ）当2k =±时，0?=

若2k =-，2

(1)'()0x f x x +=>，()f x 是增函数

若2k =，2

(1)'()x f x x

-=，

那么(0,1)(1,)x ∈?+∞时，()0f x '>，且()f x 在1x =处连续， 所以()f x 是增函数

（iii ）当2k <-或2k >时，0?>，方程2

10x kx -+=有两不等

实根221244

,22

k k k k x x --+-==

当2k <-时，120x x <<，当0x >时，2

10x kx -+>恒成立， 即()0f x '>，()f x 是增函数

当2k >时，210x x >>，此时()f x 的单调性如下表： x 1(0,)x 1x 12(,)x x 2x 2(,)x +∞ '()f x +

0 -

0 +

()f x

增

减

增

综上：当2k ≤时，()f x 在(0,)+∞是增函数

当2k >时，()f x 在24(0,

)2k k --，24

(,)2

k k +-+∞是增函数，

在2244

(

,)22

k k k k --+-是减函数 （2）由（1）知当2k >时，()f x 有极值

∵ 212422

124k k x k

k k --=

=<<+-，∴1ln 0x < 且2211111111(4)()()ln 20222

x x x x f x f x x kx x -==+-<-=<极大 ∵()f x 在1(0,)x 是增函数，在12(,)x x 是减函数，

∴当2(0,]x x ∈时，1()()0f x f x ≤<，即()f x 在2(0,]x 无零点 当2(,)x x ∈+∞时，()f x 是增函数，故()f x 在2(,)x +∞至多有一个零点

另一方面，∵(2)ln(2)0f k k =>，2()0f x <，则2()(2)0f x f k < 由零点定理：()f x 在2(,2)x k 至少有一个零点

∴()f x 在2(,)x +∞有且只有一个零点 综上所述，当()f x 存在极值时，()f x 有且只有一个零点。

6、（省粱丰高中）知2

()(22)ln (1)m f x m x mx m x

+=-++-≥-． (I)讨论()f x 的单调性；

(II)设 22 5 (1)()113 (1)22

x x x x g x x ?--≥?

=?-

存在2x ∈[,1]k k +（k N ∈），使12()()f x g x <，求实数k 的最小值． (I)由题意函数()f x 的定义域为(0,)+∞，

'22

222(1)[(2)]

()m m x mx m f x m x x x

--+--+=++= 若'2

,220()x m f x x

-+==则，从而当1x <时，'

()0f x >；当1x >时'

()0f x <，

此时函数()f x 的单调递增区间为(0,1)，单调递减区间为[1,)+∞

若0m ≠，则'2

2

(1)[(1)]

()m x x m f x x

--+= ①当0m >时，211m +> ，从而当1x <或21x m >+时，'

()0f x >，

当211x m

<<+ 时，'

()0f x <

此时函数()f x 的单调递增区间为(0,1)和2

(1,)m

++∞，单调递减区间

为2

[1,1]m

+；

②当10m -≤<时，2

10m

+≤，

此时函数()f x 的单调递增区间为(0,1)，单调递减区间为[1,)+∞ 综上所述，当10m -≤≤时，函数()f x 的单调递增区间为(0,1)，

单调递减区间为[1,)+∞；

当0m >时，函数()f x 的单调递增区间为(0,1)和2

(1,)m ++∞，

单调递减区间为2

[1,1]m

+

(II)由（Ｉ）可得当2m =时，()f x 在区间(0,1)上单调递增，在(1,2)

上单调递减，

所以在区间(0,2)上，max ()(1)2f x f ==-

由题意，对任意1(0,2)x ∈，存在2x ∈[,1]k k +（k N ∈）， 使12()()f x g x <

从而存在x ∈[,1]k k +（k N ∈）使()2g x >-，

即只需函数()g x 在区间x ∈[,1]k k +（k N ∈）上的最大值大于－２， 又当0k =时，11

[0,1],6()2

x g x ∈-≤≤-

，不符，

故在区间x ∈[,1]k k +（*

k N ∈）上2

m a x ()(1)62g x g k k =+

=->-

解得2()k k N >∈，所以实数k 的最小值为３ 7、（省如东县掘港高中）已知函数sin ()2cos a x

f x bx x

+=-+ ()a b R ∈、，

（I ）若()f x 在R 上存在最大值与最小值，且其最大值与最小值的和为2680，试求a 和b 的值。

（II ）若()f x 为奇函数：①是否存在实数b ，使得()f x 在2(0,)3

π为增函数，2(

,)3

π

π为减函数，若存在，求出b 的值，若不存在，请说明理由；②如果当0x ≥时，都有()0f x ≤恒成立，试求b 的取

值范围。

解（Ⅰ）∵)(x f 在R x ∈上存在最大值和最小值， ∴0=b （否则)(x f 值域为R ），

∴sin ()2cos a x

y f x x +==?

+22sin cos 2sin()11y a x y x y a x y

φ--=-?-=≤+

2

2

3410y ay a ?-+-≤，

又24120a ?=+>，由题意有min max 4

26803

y y a +=

=，

∴2010=a ；

（Ⅱ）若)(x f 为奇函数，∵R x ∈，∴00)0(=?=a f ，

∴bx x x

x f -+=

cos 2sin )(，b x x f -++='2

cos)

2(1cos 2)(， （1） 若R b ∈?，使)(x f 在（0，π32

）上递增，

在（π3

2

，π）上递减，则0)32(='πf ，

∴0=b ，这时2

)cos 2(cos 21)(x x

x f ++='，

当)32

,0(π∈x 时，0)(>'x f ，)(x f 递增。

当),3

2

(ππ∈x 时0)(<'x f ，)(x f 递减。

（2）22

cos 2(12)cos 14()(2cos )b x b x b

f x x -+-+-'=+ △＝[]

)31(4)41()21(42

b b b b -=-+-

若△0≤，即3

1

≥b ，则0)(≤'x f 对0≥?x 恒成立，

这时)(x f 在[)+∞,0上递减，∴0)0()(=≤f x f 。 若0b <，则当0≥x 时，[0,)bx -∈+∞，

??

????-∈+33,33cos 2sin x x ，

bx x

x

x f -+=cos 2sin )(不可能恒小于等于0。

若0=b ，则??

????-∈+=33,33c o s 2s i n )(x x x f 不合题意。

若310<

31)0(>-='b

f ，

01)(<--='b f π，∴),0(0π∈?x ，使0)(0='x f ， 当),0(0x x ∈时，0)(>'x f ，这时)(x f 递增，

0)0()(=>f x f ，不合题意。综上??

?

???+∞∈,31b 。

8、（省睢宁县菁华高中）已知函数32

()f x ax x ax =+-,其中,a R x R ∈∈.当1a =时,求函数()f x 在1x =处的切线方程;

(1) 若函数()f x 在区间(1,2)上不是单调函数,试求a 的取值范围; (2) 已知1b >-,如果存在(,1]a ∈-∞-,使得函数()()()h x f x f x '=+([1,])x b ∈-在1x =-处取得最小值,试求b 的

最大值.

解:(1)当1a =时,3

2

()f x x x x =+-,则2

()321f x x x '=+-,故(1)4k f '==

又切点为(1,1),故所求切线方程为14(1)y x -=-

,即

430x y --=

(2)由题意知,2

()32f x ax x a '=+-在区间(1,2)上有不重复的零点,由2

()320f x ax x a '=+-=,得2

(31)2x a x -=-,因为2310

x -≠,所以2231

x

a x =--

令2231x y x =--,则222620(31)x y x +'=>-,故2

231

x

y x =--在区间(1,2)上是增函数,

所以其值域为4(1,)11--

,从而a 的取值范围是4(1,)11

-- (3)32

()()()(31)(2)h x f x f x ax a x a x a '=+=+++--, 由题意知()(1)h x h ≥-对[1,]x b ∈-恒成立,即

32(31)(2)21ax a x a x a a +++--≥-对[1,]x b ∈-恒成立,

即2

(1)[(21)(13)]0x ax a x a ++++-≥ ①对[1,]x b ∈-恒成立 当1x =-时,①式显然成立;

当(1,]x b ∈-时,①式可化为2

(21)(13)0ax a x a +++-≥ ②, 令2

()(21)(13)x ax a x a ?=+++-,则其图象是开口向下的抛物线,所以(1)0()0b ??-≥??

≥? 即240(21)(13)0a ab a b a -≥?

?+++-≥?

,

O

y

x

1 x =2

1 22

1+ 其等价于2231

1b b b a

+-≤-+ ③ ,

因为③在(,1]a ∈-∞-时有解,所以2max 231

()11b b b a

+-≤-=+,解

得17112

b --<≤,从而b 的最大值为171

2-

9、（省无锡市洛社高中）已知函数33

1)(2

3-++=cx bx x x f ，

)(x f y '=为)(x f 的导函数，满足)()2(x f x f '=-'；0)(='x f 有解，但解却不是函数)(x f 的极值点.(1)求)(x f ；

(2)设)()(x f x x g '=，m >0，求函数)(x g 在[0，m ]上的最大值；

(3)设)(ln )(x f x h '=，若对于一切]1,0[∈x ，不等式

）

22()1(+<-+x h t x h 恒成立，求实数t 的取值范围. 解：(1)c bx x x f ++='2)(2

，

∵)()2(x f x f '=-'，∴函数)(x f 的图象关于直线x =1对称，b =-1.

由题意，

02)(2=+-='c x x x f 中044=-=?c ，故

c=1. 所以 33

1)(23

-+-=

x x x x f .

10、（省兴化市安丰高中）已知函数2()ln ,a

f x x a x

=+

∈R ． （1）若函数()f x 在[2,)+∞上是增函数，求实数a 的取值范围； （2）若函数()f x 在[1,]e 上的最小值为3，求实数a 的值．

解：（1）∵2()ln a f x x x =+，∴212()a

f x x x

'=-．

∵()f x 在[2,)+∞上是增函数，

∴212()a f x x x

'=

-≥0在[2,)+∞上恒成立，即a ≤2x

在[2,)+∞上

恒成立．令()2x

g x =，则a ≤[]min (),[2,)g x x ∈+∞．

∵()2

x

g x =在[2,)+∞上是增函数，∴[]min ()(2)1g x g ==．

∴a ≤1．所以实数a 的取值范围为(,1]-∞．

（2）由（1）得2

2()x a

f x x -'=，[1,]x e ∈．

①若21a <，则20x a ->，即()0f x '>在[1,]e 上恒成立， 此时()f x 在[1,]e 上是增函数．

所以()min

(1)23f x f a ===????，解得3

2

a =（舍去）． ②若12a e ≤≤，令()0f x '=，得2x a =．

当12x a <<时，()0f x '<，所以()f x 在(1,2)a 上是减函数， 当2a x e <<时，()0f x '>，所以()f x 在(2,)a e 上是增函数．

所以()()min 2ln(2)13f x f a a ==+=????，解得2

2e a =（舍去）． ③若2a e >，则20x a -<，即()0f x '<在[1,]e 上恒成立，此时

()f x 在[1,]e 上是减函数．所以()()min

213a

f x f e e

==+=????， 所以a e =．

11、（省张家港市后塍高中）已知函数()1ln ,f x a x x x R x ?

?=--∈ ???

．

⑴ 若2a =，求曲线()y f x =在点()()1,1f 处的切线方程；

⑵ 若0a >，求函数()f x 的单调区间； ⑶ 设函数()a

g x x

=-

．若至少存在一个[)01,x ∈+∞，使得()()00f x g x >成立，求实数a 的取值范围．

解：函数的定义域为()0,+∞，

()2'

22

111ax x a f x a x x x -+?

?=+-= ???

222122()(1)ax x a

f x a x x x -+'=+-=

． （1） 当2a =时，函数()12ln f x x x x ?

?

=-

- ???

， 由()10f =，()'

13f =．

所以曲线()y f x =在点(1,(1))f 处的切线方程为()31y x =-， 即330x y --=．

（2）函数()f x 的定义域为()0,+∞．由0a >，2

14a ?=-，

（ⅰ）若102

a <<

，由()'

0f x >，即()0h x >， 得21142a x a --<或2

1142a x a

+->；

由()'

0f x <，即()0h x <，得22

11411422a a x a a

--+-<<．

所以()f x 的单调递增区间为21140,2a a ??-- ? ???和2114,2a a ??

+-+∞

? ???

， 单调递减区间为22114114,22a a a a ??

--+- ? ???．

（ⅱ）若12

a ≥，()0h x ≥在()0,+∞上恒成立，则()'

0f x ≥在

()0,+∞上恒成立，此时()f x 在()0,+∞上单调递增．

（3））因为存在一个[)01,x ∈+∞使得()()00f x g x >， 则00ln ax x >，等价于0

ln x a x >. 令()[)ln ,1,x

F x x x

=

∈+∞，等价于 “当[)1,x ∈+∞ 时，()min a F x >”. 对()F x 求导，得()'

2

1ln x

F x x -=

. 因为当[]1,x e ∈时，()'

0F x ≥，

所以()F x 在[]1,e 上单调递增. 故此时()10,F x e ??∈????

，

当(),x e ∈+∞时，()'

0F x <，所以()F x 在[]1,e 上单调递减.，

又()0F x >，故此时()10,F x e ??∈ ???

，

综上，()10,F x e ??∈????

，即()()min 10F x F ==，所以0a >.

另解：当()1,x ∈+∞时，()0F x >；当1x =时，()0F x =.

即()()min 10F x F ==，所以0a >.

另解：设()()()ln F x f x g x ax x =-=-，[)1,x ∈+∞，

()'11

ax F x a x x

-=-

=

. 依题意，至少存在一个[)1,x ∈+∞，使得00()()f x g x >成立，

等价于当[)1,x ∈+∞ 时，()max 0F x >. （1）当0a ≤时，

()0F x '<在[)1,+∞恒成立，所以()F x 在[)1,+∞单调递减，

只要()()max 10F x F a ==>，则不满足题意.

（2） 当0a >时，()'

11a x ax a F x x x ?

?- ?

-?

?==， 令()0F x '=得1

x a

=.

（ⅰ）当1

01a <≤，即1a ≥时，

在[)1,+∞上()'

0F x ≥，所以()F x 在[)1,+∞上单调递增，由()10F a =>，所以()0F x >恒成立

（ⅱ）当

1

1a >，即01a <<时， 在11,a ??????上()0F x '<，在1,a ??

+∞ ???

上()0F x '>，

所以()F x 在11,a ??????单调递减，在1,a ??

+∞ ???

单调递增，

由()10F a =>，所以()0F x >恒成立

综上所述，实数a 的取值范围为(0,)+∞.