导数及其应用分类汇编
广东省14市2016届高三上学期期末考试数学文试题分类汇编：导数及其应用
广东省14市2016届高三上学期期末考试数学文试题分类汇编 导数及其应用一、选择题1、（潮州市2016届高三上学期期末）已知函数322()23(0)3f x x ax x a =-++>的导数'()f x 的最大值为5，则在函数()f x 图象上的点（1，f （1））处的切线方程是 A 、3x －15y ＋4＝0 B 、15x －3y －2＝0C 、15x －3y ＋2＝0D 、3x －y ＋1＝0 2、（东莞市2016届高三上学期期末）如图，某时刻P 与坐标原点重合，将边长为2的等边三角形PAB 沿x 轴正方向滚动，设顶点P （x ，y ）的轨迹方程是y ＝f （x ），若对于任意的t ∈［1,2］，函数()g x =32(4)[(4)]2f mx x f x +-++在区间（t ，3）上都不是单调函数，则m 的取值范围为 (A) （－373，－5） (B) （－9，－5） (C) （－373，－9） (D)（－∞，－373）3、（广州市2016届高三1月模拟考试）已知()y f x =为R 上的连续可导函数，且()()0xf x f x '+>，则函数()()1g x xf x =+()0x >的零点个数为（A ）0 （B ）1 （C ）0或1 （D ）无数个 4、（清远市2016届高三上学期期末）己知函数2()f x x bx =+的图象在点(1,(1))A f 处的切线l 与直线3x －y ＋2＝0平行，若函数)(sin )(x f x g =,则函数)(x g 的最大值是（ ）.A -21B. 0 .C 2 D. 不存在 5、（韶关市2016届高三上学期调研）已知定义在R 上的函数()y f x =满足：函数(1)y f x =-的图象关于直线1x =对称，且当(,0),()'()0x f x xf x ∈-∞+<('()f x 是函数()f x 的导函数)成立.若11(sin )(sin )22a f =⋅，(2)b ln =⋅121(2),()4f ln c log =⋅121()4f log ,则,,a b c 的大小关系是（ ）A ． a b c >>B ．b a c >>C ．c a b >>D ．a c b >>6、（肇庆市2016届高三第二次统测（期末））已知函数()ln f x x x h =-++，在区间1,e e ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上任取三个实数,,a b c 均存在以()f a ,()f b ,()f c 为边长的三角形，则实数h 的取值范围是（A ）(,1)-∞- （B ）(,3)e -∞- （C ）(1,)-+∞ （D ）(3,)e -+∞参考答案： 1、B 2、3、A4、C5、A6、D二、填空题1、（汕头市2016届高三上学期期末）已知直线:l y kx b =+与曲线331y x x =++相切，则当斜率k 取最小值时，直线l 的方程为 ．2、（湛江市2016年普通高考测试（一））函数()2cos 1f x x =+的图象在点6x π=处的切线方程是 3、（肇庆市2016届高三第二次统测（期末））曲线ln y x x =在点(,)e e 处的切线方程为 . 4、（珠海市2016届高三上学期期末）在平面直角坐标系xOy 中，若曲线ln y x =在x e =（e 为自然对数的底数）处的切线与直线30ax y -+=垂直，则实数a 的值为 ．参考答案：1、31y x =+2、1306x y π+--= 3、2y x e =- 4、e -三、解答题 1、（潮州市2016届高三上学期期末）已知函数()ln f x x a x =+，其中a 为常数，且a ≤－1。
北京市部分区届高三上学期期中期末考试数学文分类汇编：导数及其应用.docx
北京市部分区2016届高三上学期期末考试数学理试题分类汇编导数及其应用一、填空题1、（东城区2016届高三上学期期中）若曲线f （x ）＝在点（1，a ）处的切线平行于x轴，则a ＝2、（东城区2016届高三上学期期中）已知函数f （x ）＝为实数，若f（x ）在x ＝－1处取得极值，则a ＝3、（海淀区2016届高三上学期期末）直线l 经过点(,0)A t ，且与曲线2y x =相切，若直线l 的倾斜角为45o ，则___.t =参考答案 1、12 2、1 3、14二、解答题1、（昌平区2016届高三上学期期末）已知函数()ln f x x =． (Ⅰ) 求函数()f x 在点()()11f ，处的切线方程； （Ⅱ）证明：当1x >时，()1f x x <-；（Ⅲ）设()()()1h x f x k x =--，若()h x 存在最大值，且当最大值大于22k -时，确定实数k 的取值范围．2、（朝阳区2016届高三上学期期末）已知函数()(21)ln 2kf x k x x x=-++，k ∈R . （Ⅰ）当1k =时，求曲线()y f x =在点(1,(1))f 处的切线方程； （Ⅱ）当e k =时，试判断函数()f x 是否存在零点,并说明理由； （Ⅲ）求函数()f x 的单调区间.3、（朝阳区2016届高三上学期期中）已知函数2()ln (1)2x f x a x a x =+-+，a ∈R ．（Ⅰ）若函数()f x 在区间(1,3)上单调递减，求a 的取值范围； （Ⅱ）当1a =-时，证明1()2f x ≥.4、（大兴区2016届高三上学期期末）已知函数ln ()xf x x=． （Ⅰ）求函数()y f x =在点(1,0)处的切线方程； （Ⅱ）设实数k 使得()f x kx <恒成立，求k 的取值范围；（Ⅲ）设()() (R)g x f x kx k =-∈，求函数()g x 在区间21[,e ]e上的零点个数5、（东城区2016届高三上学期期末）已知函数()e xf x x a =-，a ∈R . （Ⅰ）当1a =时，求曲线()y f x =在点(0,(0))f 处的切线的方程； （Ⅱ）若曲线()y f x =与x 轴有且只有一个交点，求a 的取值范围；（Ⅲ）设函数3()g x x =，请写出曲线()y f x =与()y g x =最多有几个交点.（直接写出结论即可）6、（东城区2016届高三上学期期中） 已知函数（I ）若a ＝1，求f （x ）的单调区间与极值； （II ）求证：在（I ）的条件下，f （x ）＞g （x ）＋12； （III ）是否存在实数a ，使f （x ）的最小值是－1？若存在，求出a 的值，若不存在，说明理由。
高三上学期考试数学理试题分类汇编导数及其应用 Word版含答案
北京市部分区届高三上学期考试数学理试题分类汇编导数及其应用、（昌平区届高三上学期期末）设函数，.（Ⅰ）若，求函数的单调区间；（Ⅱ）若曲线在点处的切线与直线平行.() 求的值；()求实数的取值范围，使得对恒成立.、（朝阳区届高三上学期期末）设函数，，．（Ⅰ）当时，求函数在点处的切线方程；（Ⅱ）若函数有两个零点，试求的取值范围；（Ⅲ）证明．、（朝阳区届高三上学期期中）已知函数，．（Ⅰ）当时，求曲线在点处的切线方程；（Ⅱ）若函数在上单调递减，试求的取值范围；（Ⅲ）若函数的最小值为，试求的值．、（东城区届高三上学期期末）设函数．（Ⅰ）若为的极小值，求的值；（Ⅱ）若对恒成立，求的最大值．、（丰台区届高三上学期期末）已知函数与函数的图象在点处有相同的切线.（Ⅰ）求的值；（Ⅱ）设，求函数在上的最小值.、（海淀区届高三上学期期末）已知函数．（Ⅰ）若曲线存在斜率为的切线，求实数的取值范围；（Ⅱ）求的单调区间；（Ⅲ）设函数，求证：当时，在上存在极小值．、（海淀区届高三上学期期中）已知函数，函数.（Ⅰ）已知直线是曲线在点处的切线，且与曲线相切，求的值；（Ⅱ）若方程有三个不同实数解，求实数的取值范围.、（石景山区届高三上学期期末）已知函数，．（Ⅰ）求函数的单调区间；（Ⅱ）若对任意，恒成立，求的取值范围．、（通州区届高三上学期期末）设函数．（Ⅰ）当＝时，求曲线在点处的切线方程；（Ⅱ）设函数，证明：当∈时，＞.、（西城区届高三上学期期末）已知函数，其中．（Ⅰ）如果曲线在处的切线的斜率是，求的值；（Ⅱ）如果在区间上为增函数，求的取值范围．。
高考数学理试题分类汇编：导数及其应用 Word版含答案
一、选择、填空题1、（赣州市2017届高三上学期期末考试）设函数'()f x 是函数()()f x x R ∈的导函数，(0)1f =，且1()'()13f x f x =-，则4()'()f x f x >的解集为（ ）A ．ln 4(,)3+∞ B ．ln 2(,)3+∞ C. )2+∞ D ．()3+∞2、（上饶市2017届高三第一次模拟考试）已知()f x 是定义域为(0,)+∞的单调函数，若对任意的(0,)x ∈+∞，都有13()log 4f f x x ⎡⎤+=⎢⎥⎣⎦，且方程32|()3|694f x x x x a -=-+-+在区间[]0,3上有两解，则实数a 的取值范围是（ ） A ．05a <≤B ．5a <C ．05a <<D ．5a ≥3、（江西省师大附中、临川一中2017届高三1月联考）已知()332f x x x m =-++ ()0m >，在区间[]0,2上存在三个不同的实数,,a b c ，使得以()()(),,f a f b f c 为边长的三角形是直角三角形，则m 的取值范围是 （ ）A. 4m >+02m <<+C. 44m -<<+D. 04m <<+4、（新余市2017高三上学期期末考试）曲线2'(1)1()(0)2x f f x e f x x e =-+在点(1,(1))f 处的切线方程为 。
5、（南昌市八一中学2017届高三2月测试）已知定义在R 上的函数)(x f 和)(x g 分别满足222'(1)()2(0)2x f f x e x f x -=⋅+-⋅， 0)(2)('<+x g x g ，则下列不等式成立的是( ) A.(2)(2015)(2017)f g g ⋅< B.(2)(2015)(2017)f g g ⋅> C.(2015)(2)(2017)g f g <⋅D.(2015)(2)(2017)g f g >⋅二、解答题1、（红色七校2017届高三第二次联考）已知函数f （x ）=a x +x 2﹣xln a （a ＞0，a ≠1）．（1）求函数f （x ）在点（0，f （0））处的切线方程；（2）求函数f （x ）单调增区间；（3）若存在x 1，x 2∈[﹣1，1]，使得|f （x 1）﹣f （x 2）|≥e ﹣1（e 是自然对数的底数），求实数a 的取值范围．2、（赣吉抚七校2017届高三阶段性教学质量监测考试（二））已知()()2ln 1f x a x bx =++存在两个极值点12 x x ，.（1）求证：122x x +>；（2）若实数λ满足等式()()120f x f x a b λ+++=，试求λ的取值范围.3、（赣中南五校2017届高三下学期第一次联考）设函数()1,xf x e ax =--对(),0x R f x ∀∈≥恒成立.（1）求a 的取值集合； （2）求证：()()1111ln 1.23n n N n*++++>+∈.4、（赣州市2017届高三上学期期末考试）已知函数()ln 2,f x x ax a R =-∈. （1）若函数()y f x =存在与直线20x y -=平行的切线，求实数a 的取值范围； （2）设21()()2g x f x x =+，若()g x 有极大值点1x ，求证：1212ln 1x a x x +>.5、（上饶市2017届高三第一次模拟考试）已知函数()ln f x x mx =+（m 为常数）．（1）讨论函数()f x 的单调区间；（2）当m ≤时，设21()()2g x f x x =+的两个极值点1x ，2x （12x x <）恰为2()2ln h x x ax x =--的零点，求1212()'()2x x y x x h +=-的最小值．6、（江西省师大附中、临川一中2017届高三1月联考）已知函数()212f x x =，()lng x a x =．（1）若曲线()()y f x g x =-在1x =处的切线的方程为6250x y --=，求实数a 的值； （2）设()()()h x f x g x =+，若对任意两个不等的正数12x x ，，都有()()12122h x h x x x ->-恒成立，求实数a 的取值范围；（3）若在[]1,e 上存在一点0x ，使得()()()()00001f x g x g x f x ''+<-'成立，求实数a 的取值范围．7、（新余市2017高三上学期期末考试）已知函数()()sin 3,cos f x x mx g x mx x mx =-=-． （1）讨论()f x 在区间[]0,π上的单调性；（2）若对任意0x ≥，都有()()f x g x ≤，求实数m 的取值范围．8、（江西省重点中学协作体2017届高三下学期第一次联考）若,x D ∀∈总有()()(),f x F x g x <<则称()F x 为()f x 与()g x 在D 上的一个“严格分界函数”.（1）求证：xy e =是1y x =+和212x y x =++在(1,0)-上的一个“严格分界函数”；（2）函数1(2)21x h x e x +=-+，若存在最大整数M 使得()10M h x >在(1,0)x ∈-恒成立，求M 的值.（2,718e =131.414,2 1.260≈≈）9、（江西师范大学附属中学2017届高三12月月考）已知函数()ln (,f x a x bx a b R =+∈)，211()() (0)2g x x m x m m=-+>，且()y f x =在点(1,(1))f 处的切线方程为10x y --=． (Ⅰ）求,a b 的值；(Ⅱ）若函数()()()h x f x g x =+在区间(0,2)内有且仅有一个极值点，求m 的取值范围； (Ⅲ）设1(,) ()M x y x m m>+为两曲线() ()y f x c c R =+∈，()y g x =的交点，且两曲线在交点M 处的切线分别为12,l l ．若取1m =，试判断当直线12,l l 与x 轴围成等腰三角形时c 值的个数并说明理由．10、（南昌市八一中学2017届高三2月测试）已知函数2()ln (,,1)x f x a x x a b a b R a =+--∈>，e 是自然对数的底数.(1)当,4a e b ==时，求整数k 的值，使得函数()f x 在区间(,1)k k +上存在零点； (2)若存在12,[1,1],x x ∈-使得12|()()|1f x f x e -≥-，试求a 的取值范围.11、（九江市十校2017届高三第一次联考）已知函数()()ln af x x a R x=+∈. （1）判断函数)(x f 在区间[),2+∞-e 上的零点个数； （2）若函数)(x f 在1x =处的切线平行于直线20x y -=.参考答案 一、选择、填空题1、B 提示：观察3()()3f x f x '=-，由已知可设函数3()2e 1xf x =-. 2、A 3、D 4、y ＝21-ex 5、D二、解答题1、解：（1）∵f （x ）=a x +x 2﹣xlna ，∴f ′（x ）=a xlna +2x ﹣lna ，∴f ′（0）=0，f （0）=1即函数f （x ）图象在点（0，1）处的切线斜率为0， ∴图象在点（0，f （0））处的切线方程为y=1；（2）由于f'（x ）=a x lna +2x ﹣lna=2x +（a x﹣1）lna①当a ＞1，y=2x 单调递增，lna ＞0，所以y=（a x ﹣1）lna 单调递增，故y=2x +（a x ﹣1）lna 单调递增，∴2x +（a x ﹣1）lna ＞2×0+（a 0﹣1）lna=0，即f'（x ）＞f'（0），所以x ＞0故函数f （x ）在（0，+∞）上单调递增；②当0＜a＜1，y=2x单调递增，lna＜0，所以y=（a x﹣1）lna单调递增，故y=2x+（a x﹣1）lna单调递增，∴2x+（a x﹣1）lna＞2×0+（a0﹣1）lna=0，即f'（x）＞f'（0），所以x＞0故函数f（x）在（0，+∞）上单调递增；综上，函数f（x）单调增区间（0，+∞）；（3）因为存在x1，x2∈[﹣1，1]，使得|f（x1）﹣f（x2）|≥e﹣1，所以当x∈[﹣1，1]时，|（f（x））max﹣（f（x））min|=（f（x））max﹣（f（x））min≥e﹣1，由（2）知，f（x）在[﹣1，0]上递减，在[0，1]上递增，所以当x∈[﹣1，1]时，（f（x））min=f（0）=1，（f（x））max=max{f（﹣1），f（1）}，而f（1）﹣f（﹣1）=（a+1﹣lna）﹣（+1+lna）=a﹣﹣2lna，记g（t）=t﹣﹣2lnt（t＞0），因为g′（t）=1+﹣=（﹣1）2≥0（当t=1时取等号），所以g（t）=t﹣﹣2lnt在t∈（0，+∞）上单调递增，而g（1）=0，所以当t＞1时，g（t）＞0；当0＜t＜1时，g（t）＜0，也就是当a＞1时，f（1）＞f（﹣1）；当0＜a＜1时，f（1）＜f（﹣1）①当a＞1时，由f（1）﹣f（0）≥e﹣1⇒a﹣lna≥e﹣1⇒a≥e，②当0＜a＜1时，由f（﹣1）﹣f（0）≥e﹣1⇒+lna≥e﹣1⇒0＜a≤，综上知，所求a的取值范围为a∈（0，]∪[e，+∞）．2、.解：（1）∵()22222'11ax bx ax bf x bx x++=+=++，∴结合题意，12x x，为一元二次方程220bx ax b++=的两根，…………………………2分于是，22440a b∆=->且0b≠，可得：211a ab b⎛⎫>⇒>⎪⎝⎭，∴1212222a ax x x xb b+=-+=>，.………………………………5分（2）由（1）可得121x x =，∵()()()()22121122ln 1ln 1f x f x a a x bx a x bx a ++=++++++()()2222121212ln 1a x x x x b x x a ⎡⎤=++++++⎣⎦ ()21212ln 121a x x x x a ⎡⎤=++-+-⎣⎦212122ln 2ln 2lnaa x x a a x x a a a b=+-=+-=-， ∴由()()120f x f x a b λ+++=得22ln0aa ab bλ-+=，整理可得 22lna a ab b bλ=-，……………………………………7分 令，1ln 2t t t λ=-.设函数()1ln 221ln 22x x x x y x x x x ⎧->⎪⎪=⎨⎪--<-⎪⎩，，，求导得：()1ln 22'1ln 22x x x y x x ⎧-->⎪⎪=⎨⎪---<-⎪⎩，，，所以'0y <，函数()1ln 221ln 22x x x y x x x x ⎧->⎪⎪=⎨⎪--<-⎪⎩，，在() 2-∞-，和()2 +∞，上为减函数，………………11分 该函数的值域为()() 12ln 212ln 2 -∞--++∞，，， 因此λ的取值范围为()() 12ln 212ln 2 -∞--++∞，，.……………………12分 3、（解: (1)1)(--=ax e x f x ,a e x f x -=')(①当0<a 时,0)(≥'x f (不恒为0),)(x f 在R 上单调递增,又0)0(=f ,所以当0)(),0,(<-∞∈x f x ,不合题意,舍去;②当0≥a 时,)(,0)(),ln ,(x f x f a x <'-∞∈单调递减, )(,0)(),,(ln x f x f a x >'+∞∈单调递增,1ln )(ln )(min --==a a a a f x f ,则需01ln ≥--a a a 恒成立.令1ln )(--=a a a a g ,a a g ln )(-=',当)1,0(∈a 时,)(,0)(a g a g >'单调递增, 当),1(+∞∈a 时,)(,0)(a g a g <'单调递减,而0)1(=g ,所以01ln ≤--a a a 恒成立.所以a 的取值集合为{}1. …………………………………………………………7分(2)由(1)可得)0(01>>--x x e x ,)0)(1ln(>+>x x x ,令nx 1=,则 n n nn n n ln )1ln(1ln )11ln(1-+=+=+>,所以))(1ln()ln )1(ln()2ln 3(ln )1ln 2(ln 131211*∈+=-+++-+->++++N n n n n n………………………………………………………………………………12分4、（1）因为1()2,0f x a x x'=->………………………………………………………1分 因为函数()y f x =存在与直线20x y -=平行的切线，所以()2f x '=在(0,)+∞上有解……………………………………………………………2分 即122a x -=在(0,)+∞上有解，也即122a x+=在(0,)+∞上有解， 所以220a +>，得1a >-故所求实数a 的取值范围是(1,)-+∞………………………………………………………4分 （2）因为2211()()ln 222g x f x x x x ax =+=+- 因为2121()2x ax g x x a x x-+'=+-=……………………………………………………5分①当11a -≤≤时，()g x 单调递增无极值点，不符合题意………………………………6分 ②当1a >或1a <-时，令()0g x '=，设2210x ax -+=的两根为1x 和2x ， 因为1x 为函数()g x 的极大值点，所以120x x <<， 又12121,20x x x x a =+=>，所以11,01a x ><<，所以211111()20g x x ax x '=-+=，则21112x a x +=………………………………………8分 要证明1211ln 1x a x x +>，只需要证明2111ln 1x x ax +> 因为332111111111111ln 1ln 1ln 1222x x x x x ax x x x x x ++-=-+=--++，101x <<， 令31()ln 122x h x x x x =--++，(0,1)x ∈……………………………………………9分 所以231()ln 22x h x x '=--+，记231()ln 22x p x x =--+，(0,1)x ∈， 则2113()3x p x x x x-'=-+=当0x <<时，()0p x '>1x <<时，()0p x '<，所以max ()(1ln 033p x p ==-+<，所以()0h x '<……………………………11分 所以()h x 在(0,1)上单调递减，所以()(1)0h x h >=，原题得证……………………12分5、解：（1）11'()mxf x m x x+=+=，0x >， 当0m <时，由10mx +>，解得1x m <-，即当10x m<<-时，'()0f x >，()f x 单调递增；由10mx +<解得1x m >-，即当1x m>-时，'()0f x <，()f x 单调递减；当0m =时，1'()0f x x=>，即()f x 在(0,)+∞上单调递增；当0m >时，10mx +>，故'()0f x >，即()f x 在(0,)+∞上单调递增． 所以当0m <时，()f x 的单调递增区间为1(0,)m -，单调递减区间为1(,)m-+∞； 当0m ≥时，()f x 的单调递增区间为(0,)+∞．（2）由21()ln 2g x x mx x =++得211'()x mx g x m x x x ++=++=，由已知210x mx ++=有两个互异实根1x ，2x ， 由根与系数的关系得12x x m +=-，121x x =，因为1x ，2x （12x x <）是()h x 的两个零点，故21111()2ln 0h x x x ax =--=①22222()2ln 0h x x x ax =--= ②由②-①得：222212112ln()()0x x x a x x x ----=， 解得2121212ln()x x a x x x x =-+-，因为2'()2h x x a x=--，得1212124'()222x x x x h a x x ++=-⋅-+， 将2121212ln()x x a x x x x =-+-代入得2121212112212ln 4'()2()22x x x x x x h x x x x x x ⎡⎤⎢⎥++⎢⎥=-⋅--++-⎢⎥⎢⎥⎣⎦2121122ln 4x x x x x x =-+-+ 2221212211122111(1)2()22ln ln 21x x x x x x x x x x x x x x x x ⎡⎤-⎢⎥⎡⎤-⎢⎥=--=--⎢⎥-+-⎢⎥⎣⎦+⎢⎥⎣⎦， 所以21221122111()'()2ln 221x x x x xy x x h x x x ⎡⎤-⎢⎥+⎢⎥=-=-⎢⎥+⎢⎥⎣⎦， 设211x t x =>，因为22221212129()22x x x x x x m +=++=≥， 所以221252x x +≥，所以221212122152x x x x x x x x +=+≥，所以152t t +≥，所以2t ≥． 构造1()ln 21t F t t t -=-+，得22214(1)'()0(1)(1)t F t t t t t -=-=>++， 则1()ln 21t F t t t -=-+在[2,)+∞上是增函数， 所以min2()(2)ln 23F x F ==-，即1212()'()2x x y x x h +=-的最小值为42ln 23-．6、（1）由()()21ln 2y f x g x x a x =-=-，得a y x x '=-，由题意，13a -=，所以2a =-． ………………………………（1分） （2）()()()21ln 2h x f x g x x a x =+=+，因为对任意两个不等的正数12x x ，，都有()()12122h x h x x x ->-，设12x x >，则()()()12122h x h x x x ->-，即()()112222h x x h x x ->-恒成立，问题等价于函数()()2F x h x x =-，即()21ln 22F x x a x x =+-在()0,+∞为增函数．……（3分）所以()20a F x x x'=+-≥在()0,+∞上恒成立，即22a x x -≥在()0,+∞上恒成立，所以()2max21a x x -=≥，即实数a 的取值范围是[)1,+∞．……………………………（5分）（3）不等式()()()()00001f x g x g x f x ''+<-'等价于00001ln a x a x x x +<-，整理得0001ln 0a x a x x +-+<．设()1ln a m x x a x x+=-+，由题意知，在[]1,e 上存在一点0x ，使得()00m x <．………（6分）由()2222(1)(1)(1)11x ax a x a x a a m x x x x x --+--++'=--==． 因为0x >，所以10x +>，即令()0m x '=，得1x a =+．………………………………（7分） ① 当11a +≤，即0a ≤时，()m x 在[]1,e 上单调递增，只需()120m a =+<，解得2a <-． ………………………………………………（8分） ② 当11e a <+≤，即0e 1a <-≤时，()m x 在1x a =+处取最小值．令()11ln(1)10m a a a a +=+-++<，即11ln(1)a a a ++<+，可得11ln(1)a a a ++<+．考查式子1ln 1t t t +<-，因为1e t <≤，可得左端大于1，而右端小于1，所以不等式不能成立．……………（10分） ③ 当1e a +>，即e 1a >-时，()m x 在[]1,e 上单调递减，只需()1e e 0ea m a +=-+<，解得2e 1e 1a +>-． 综上所述，实数a 的取值范围是()()2,2e 1,e 1-∞-++∞-． …………………………（12分）7、【解析】（1）()cos 3f x x m '=-，当13m ≥时，()f x 在区间[]0,π上为减函数； 当13m ≤-时，()f x 在区间[]0,π上为增函数；当1133m -<<时，则存在()00,x π∈使得0cos 3x m =，因此()f x 在区间[)00,x 上为增函数，在区间(]0,x π上为减函数．（2）0,0cos 2sin 0),()(≥≤--⇔≥≤x x mx mx x x x g x f()sin 2cos 0,02cos x x mx x x ⎛⎫⇔+-≤≥ ⎪+⎝⎭，（*）设()()sin 02cos xh x mx x x=-≥+，则()()222cos 111322cos 2cos 2cos x h x m m x x x +⎛⎫⎛⎫'=-=-+- ⎪ ⎪++⎝⎭⎝⎭+211132cos 33m x ⎛⎫=--+- ⎪+⎝⎭①当103m -≤即13m ≥时，()0h x '≤，即()h x 在[)0,+∞递减，所以()()00h x h ≤=，因此（*）恒成立；②当0m ≤时，取2x π=，则有()1022h x m π=->，因此（*）不恒成立； ③当103m <<时，则由（1）可知存在()00,x π∈使得()f x 在()00,x 递增， 所以()()00f x f >=，即sin 3x mx >， 因此当()00,x x ∈时，()sin 03xh x mx >->，因此（*）不恒成立， 综上，实数m 的取值范围是),31[+∞． 8、解：（1）证明：令()1,x x e x ϕ=--，['()1x x e ϕ=-．当0x <时，'()0x ϕ<，故()g x 在区间(1,0)-上为减函数，因此()(0)0x ϕϕ>=，故1x e x >+．···················2(分)再令2()12xx t x e x =---，当0x <时，'()10x t x e x =-->，故()t x 在区间(1,0)-上为增函数．()(0)0t x t <=，所以212xx e x <++，故xy e =是1y x =+和212x y x =++在(1,0)-上的一个“严格分界函数”···················5(分)（2）由（1）知11222(1)220.82(11)8x e x x h xx +->++-≥≈+=+. 又22111222(1)22121)1(xx e x x x x x h x x +-<+++-=+++=++，···················7分)令22'2111()2(1)1,()2(1),11(1)m x x x x m x x x x x =++=++-=+-+++'()0,m x =解得13011()2x =-+，易得()m x 在131(1,1())2--+单调递减，在131(1(),0)2-+单调递增，则121333min11(())(1())()2110.89022m x m =-+=+-=≈···················9(分)又2'()12(1)x x h e x -+=在(1,0)x ∈-存在0x 使得'0()0h x =，故()h x 在(1,0)x ∈-上先减后增，则有1133min11()(1())(1())0.89022h x h m ≤-+<-+≈，则min 0.828()0.890h x <<，所以min ()10Mh x >，则8M =····················12(分)9、解：(Ⅰ）()af x b x'=+，∴(1)1f a b '=+=，又(1)0f b ==，∴1,0a b ==． (Ⅱ）211()ln ()2h x x x m x m =+-+； ∴11()()h x x m x m'=+-+ 由()0h x '=得1()()0x m x m --=， ∴x m =或1x m=． ∵0m >，当且仅当102m m <<≤或102m m<<≤时，函数()h x 在区间(0,2)内有且仅有一个极值点． 若102m m <<≤，即102m <≤，当(0,)x m∈时()0h x '>；当(,2)x m ∈时()0h x '<，函数()h x 有极大值点x m =， 若102m m <<≤，即2m ≥时，当1(0,)x m ∈时()0h x '>；当1(,2)x m ∈时()0h x '<，函数()h x 有极大值点1x m =， 综上，m 的取值范围是1|022m m m ⎧⎫<≤≥⎨⎬⎩⎭或． (Ⅲ）当1m =时，设两切线12,l l 的倾斜角分别为,αβ，则1tan ()()2f x g x x xαβ''===-，ta n =， ∵2x >， ∴,αβ均为锐角， 当αβ>，即21x <<时，若直线12,l l 能与x 轴围成等腰三角形，则2αβ=；当αβ<，即1x >+时，若直线12,l l 能与x 轴围成等腰三角形，则2βα=．由2αβ=得，22tan tan tan 21tan βαββ==-，得212(2)1(2)x x x ---=， 即23830x x -+=，此方程有唯一解4(2,13x +=+，12,l l 能与x 轴围成一个等腰三角形．由2βα=得， 22tan tan tan 21tan αβαα==-，得212211x x x⋅-=-，即322320xx x --+=，设32()232F x x x x =--+，2()343F x x x '=--，当(2,)x ∈+∞时，()0F x '>，∴()F x 在(2,)+∞单调递增，则()F x在(1)++∞单调递增，由于5()02F <，且512+<，所以(10F +<，则(1(3)0F F +<，即方程322320x x x --+=在(2,)+∞有唯一解，直线12,l l 能与x 轴围成一个等腰三角形． 因此，当1m =时，有两处符合题意，所以12,l l 能与x 轴围成等腰三角形时，c 值的个数有2个． 10、解：2()4x f x e x x =+--，'()21x f x e x ∴=+-，'(0)0f ∴=当0x >时，1x e >，'()0f x ∴>，故()f x 是(0,)+∞上的增函数， 同理()f x 是(,0)-∞上的减函数，2(0)30,(1)40,(2)20f f e f e =-<=-<=->，且2x >时，()0f x >，故当0x >时，函数()f x 的零点在(1,2)内，1k ∴=满足条件． 同理，当0x <时，函数()f x 的零点在(-2,-1)内，2k ∴=-满足条件， 综上1,2k =-．....................5分(2)问题⇔当[1,1]x ∈-时，max min max min |()()|()()1f x f x f x f x e -=-≥-，'()ln 2ln 2(1)ln x x f x a a x a x a a =+-=+-①当0x >时，由1a >，可知10,ln 0,'()0x a a f x ->>∴>； ②当0x <时，由1a >，可知10,ln 0,'()0x a a f x -<>∴<； ③当0x =时，'()0f x =，()f x ∴在[1,0]-上递减，[0,1]上递增，∴当[1,1]x ∈-时，min max ()(0),()max{(1),(1)}f x f f x f f ==-，而1(1)(1)2ln f f a a a --=--，设1()2ln (0),g t t t t t=--> 22121'()1(1)0g t t t t=+-=-≥（仅当1t =时取等号）， ()g t ∴在(0,)+∞上单调递增，而(1)0g =， ∴当1t >时，()0g t >即1a >时，12ln 0a a a-->， (1)(1),(1)(0)1f f f f e ∴>-∴-≥-即ln 1ln a a e e e -≥-=-，构造()ln (1)h a a a a =->，易知'()0h a >，()h a ∴在(1,)+∞递增，a e ∴≥，即a 的取值范围是[,)e +∞．....................12分11、【解析】（1）令=)(x f 0ln =+xa x ， [),2+∞∈-e x 得x x a ln =- 记∈=x x x x H ,ln )([),2+∞-e ，,ln 1)('x x H +=由此可知)(x H 在[]12,--e e 上递减，在),(1+∞-e 上递增，且,2)(22---=e e H ,)(11---=e e H +∞→x 时+∞→)(x H故e a 1>时，)(x f 在[),2+∞-e 无零点 221e a e a <=或时，)(x f 在[),2+∞-e 恰有一个零点e a e 122<≤时，)(x f 在[),2+∞-e 有两个零点……5分（2）)(x f 的定义域为),,0(+∞()()210,,'af x x x+∞=-,函数)(x f 在1x =处的切线平行于直线20x y -=.()112,1f a a '∴=-=∴=-.若在[]()1,2.71828...e e =上存在一点0x ,使得()0001x mf x x +<成立,构造函数()()11ln mh x x mf x x m x x x x=+-=+-+在[]1,e 上的最小值小于零.()()()222221111'1x x m m m x mx m h x x x x x x+-----=---==, ①当1m e +≥时,即1m e ≥-时,()h x 在[]1,e 上单调递减,所以()h x 的最小值为()h e ,由()10m h e e m e +=+-<可得211e m e +>-,22111,11e e e m e e ++>-∴>--; ②当11m +≤时,即0m ≤时,()h x 在[]1,e 上单调递增,所以()h x 的最小值为()1h ,由()1110h m =++<可得2m <-;③当11m e<+<时,即01m e <<-时,可得()h x 的最小值为()()()()()1,0ln 11,0ln 1,12ln 12h m m m m m h m m m m +<+<∴<+<+=+-+<,此时,()10h m +<不成立.综上所述:可得所求m 的范围是211e m e +>-或2m <-.…12分。
高考数学文试题分类汇编：导数及其应用 Word版含答案
一、选择、填空题1、（上饶市2017届高三第一次模拟考试）已知函数2ln ()()()x x b f x b R x +-=∈，若存在1,22x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，使得()'()f x x f x >-⋅，则实数b 的取值范围是（ ）A ．(-∞B ．3(,)2-∞C ．9(,)4-∞D ．(,3)-∞2、（新余市2017高三上学期期末考试）关于x 的不等式＜恒成立，则实数k 的取值范围为（ ） A ．[0，e +1）B ．[0，2e ﹣1）C ．[0，e ）D ．[0，e ﹣1）3、（江西省重点中学协作体2017届高三下学期第一次联考）过函数2331)(x x x f -=图像上一个动点作函数的切线，则切线倾斜角的范围为( ) A ．]43,0[π B ．),43[)2,0[πππ⋃ C ．),43[ππ D ．]43,2(ππ4、（江西师范大学附属中学2017届高三12月月考）若曲线x x ax x f ++=ln )(2存在垂直于y 轴的切线，则实数a 的取值范围是 .5、（赣吉抚七校2017届高三阶段性教学质量监测考试（二））函数21x x y e+=（其中e 为自然对数的底）的图象大致是（ ）6、（赣吉抚七校2017届高三阶段性教学质量监测考试（二））设曲线()1*n y x x N +=∈在点()1 1，处的切线与x 轴的交点横坐标为n x ，则20161201622016320162015log log log log x x x x ++++…的值为 ．7、（南昌市八一中学2017届高三2月测试）已知2cos sin )(x x x x x f ++=，则不等式1(ln )(ln )2(1)f x f f x+<的解集为( )（A ）),(+∞e （B ）(0,)e（C ）1(0,)(1,)e e（D ）),1(e e8、（南昌市三校（南昌一中、南昌十中、南铁一中）2017届高三第四次联考）已知定义在0,2π⎛⎫⎪⎝⎭上的函数()(),'f x f x 为其导数,且()()'tan f x f x x <恒成立，则（ ）A 43ππ⎛⎫⎛⎫>⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ B 64f ππ⎛⎫⎛⎫> ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭C 63f ππ⎛⎫⎛⎫< ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭D ．()1sin16f π⎛⎫< ⎪⎝⎭二、解答题1、（赣州市2017届高三上学期期末考试）已知函数()ln 2,f x x ax a R =-∈. （1）若函数()y f x =存在与直线20x y -=平行的切线，求实数a 的取值范围； （2）已知1a >设21()()2g x f x x =+，若()g x 有极大值点1x ，求证：2111ln 10x x ax -+>.2、（红色七校2017届高三第二次联考）已知函数21()(),()2xf x x a eg x x bx a =+=++，其中,a b R ∈．（1）若曲线()y f x =与曲线()y g x =在点(0,)P a 处有相同的切线，试讨论函数()()()F x f x g x =-的单调性；（2）若[]1,2a ∀∈，函数()f x 在(,2)am e -上为增函数，求证：232ae m e -≤<+．3、（吉安市2017届高三上学期期末考试）已知函数f （x ）=a x 2+lnx +1 （1）讨论函数f （x ）的单调性；（2）若对任意a ∈（﹣2，﹣1）及x ∈[1，2]，恒有m a ﹣f （x ）＞a 2成立，求实数m 的取值集合．4、（景德镇市2017届高三上学期期末考试）设函数f （x ）=ln （x +1）﹣+1（x ＞﹣1）（1）讨论f （x ）的单调性；（2）k ＞0，若f （x ）的最小值为g （k ），当0＜k 1＜k 2且k 1+k 2=2，比较g （k 1）与g （k 2）的大小．5、（上饶市2017届高三第一次模拟考试）已知函数()xe f x x=．（1）求曲线()y f x =在点(2,(2))f 处的切线方程； （2）设()()ln 2G x xf x x x =--，证明3()ln 22G x >--．6、（江西省师大附中、临川一中2017届高三1月联考）已知函数()ln f x x a x =+ ，在x =1处 的切线与直线x +2y =0垂直，函数()()212g x f x x bx =+- ． (1)求实数a 的值；(2)设()1212,x x x x < 是函数()g x 的两个极值点，记12x t x =，若133b ≥， ①t 的取值范围；②求()()12g x g x - 的最小值．7、（新余市2017高三上学期期末考试）已知函数f （x ）=x ﹣﹣lnx ，a ＞0． （Ⅰ）讨论f （x ）的单调性；（Ⅱ）若f （x ）＞x ﹣x 2在（1，+∞）恒成立，求实数a 的取值范围．8、（江西省重点中学协作体2017届高三下学期第一次联考） 设)(x ϕ是定义在],[n m 上的函数，若存在),(n m r ∈，使得)(x ϕ在],[r m 上单调递增，在],[n r 上单调递减，则称)(x ϕ为],[n m 上的F 函数.(1)已知xe ax x +=)(ϕ为]2,1[上的F 函数，求a 的取值范围； （2）设)5432()(5432px x x x px x +++-=ϕ，其中0>p ，判断)(x ϕ是否为],0[p 上的F 函数？ （3）已知))(()(22t x x x x x +--=ϕ为],[n m 上的F 函数，求t 的取值范围.9、（江西师范大学附属中学2017届高三12月月考）已知函数()ln f x b x =． （Ⅰ）当3-=b 时，求函数x xx f x g 21)()(+-=的极小值；（Ⅱ）若在[]1,e 上存在0x ，使得0001()bx f x x +-<-成立，求b 的取值范围．10、（赣吉抚七校2017届高三阶段性教学质量监测考试（二））已知()x f x xe =. （1）求函数()f x 的单调区间；（2）叵()()()()2g x f x tf x t R =+∈，满足()1g x =-的x 有四个，求t 的取值范围.11、（九江市十校2017届高三第一次联考）已知()ln (1)f x x ax ax =-+，a R ∈． （1）讨论函数()x f 的单调性；（2）若函数()f x 在(,1]0内至少有1个零点，求实数a 的取值范围．12、（南昌市八一中学2017届高三2月测试）已知函数()()1ln 0f x a x a a x=+≠∈R ，． （Ⅰ）若1a =，求函数()f x 的极值和单调区间；（Ⅱ）若在区间(0]e ，上至少存在一点0x ，使得()00f x <成立， 求实数a 的取值范围．13、（南昌市三校（南昌一中、南昌十中、南铁一中）2017届高三第四次联考）已知函数()()1ln 0,f x a x a a R x=+≠∈． （1）若1a =，求函数()f x 的极值和单调区间；（2）若在区间(]0,e 上至少存在一点0x ，使得()00f x <成立，求实数a 的取值范围．参考答案 一、选择、填空题 1、C2、【解答】解：依题意，k +2x ﹣x 2＞0，即k ＞x 2﹣2x 对任意x ∈（0，2）都成立， ∴k ≥0， ∵＜， ∴k ＜+x 2﹣2x ，令f （x ）=+x 2﹣2x ，f'（x ）=+2（x ﹣1）=（x ﹣1）（+2），令f'（x ）=0，解得x=1，当x ∈（1，2）时，f'（x ）＞0，函数递增， 当x ∈（0，1）时，f'（x ）＜0，函数递减， ∴f （x ）的最小值为f （1）=e ﹣1， ∴0≤k ＜e ﹣1， 故选：D ．3、B4、)0,(-∞5、答案：A解析：当0x ≥时，函数是21x x y e +=，212'x x x y e +-=有且只有一个极大值点是2x =，所以选A.6、答案：1-解析：求导函数，可得()()'1n f x n x =+，设过()1 1，处的切线斜率为k ，则()'11k f n ==+，所以切线方程为()()111y n x -=+-，令0y =， 可得01n x n =+，∴12201512201512320162016x x x ⋅⋅⋅=⋅⋅⋅=……， ∴()1201620161201622016201520161220152016log log log log log 1x x x x x x +++===-…….7、D 8、C二、解答题1、解：（1）因为1()2,0f x a x x'=->…………………………………………………1分 因为函数()y f x =存在与直线20x y -=平行的切线，所以()2f x '=在(0,)+∞上有解……………………………………………………………2分 即122a x -=在(0,)+∞上有解，也即122a x+=在(0,)+∞上有解， 所以220a +>，得1a >-，故所求实数a 的取值范围是(1,)-+∞………………………………………………………4分 （2）因为2211()()ln 222g x f x x x x ax =+=+- 因为2121()2x ax g x x a x x-+'=+-=……………………………………………………5分令()0g x '=，设2210x ax -+=的两根为1x 和2x ，则12121,2x x x x a =+=因为1x 为函数()g x 的极大值点，1a >，所以120x x <<，101x <<………………6分所以211111()20g x x ax x '=-+=，则21112x a x +=…………………………………………7分 因为332111111111111ln 1ln 1ln 1222x x x x x ax x x x x x +-+=-+=--++，101x <<…8分 令31()ln 122x h x x x x =--++，(0,1)x ∈， 所以231()ln 22x h x x '=--+……………………………………………………………9分 记231()ln 22x p x x =--+，(0,1)x ∈，则2113()3x p x x x x-=-+=当03x <<时，()0p x '>，当13x <<时，()0p x '<…………………………10分所以max ()(1ln 033p x p ==-+<，所以()0h x '<……………………………11分 所以()h x 在(0,1)上单调递减，所以()(1)0h x h >=，原题得证……………………12分 解：（1）由题意可得'()(1),()xf x x a eg x x b '=++=+，………………………………（1分） 则'(0)(0),1f g a b '=+= ，即21()()()()(1)2xF x f x g x e x a x a x a =-=+--+- ()(1)(1)(1)(1)x x F x e x a x a e x a '=++-++=-++……………………………………（3分）① 当1a =-时，()(1)xF x x e '=-，此时()F x 在(,)-∞+∞上递增； ②当1a >-时，当(,1)(0,)x a ∈-∞--+∞时，()0F x '>；当(1,0)x a ∈--时，()0F x '<；()F x 在(,1)(0,)a -∞--+∞、上递增，在(1,0)a --上递减；③当1a <-时，当(,0)(1,)x a ∈-∞--+∞时，()0F x '>；当(0,1)x a ∈--时，()0F x '<；()F x 在(,0)(1,)a -∞--+∞、上递增，在(0,1)a --上递减；…………………………………（6分）（2）由题意可得'()(1)0xf x x a e =++≥对(,2)ax b e ∈-恒成立，∵0xe >，∴10x a ++≥，即1x a ≥--对(,2)ax b e ∈-恒成立，∴1aa b e --≤-，即1ab e a ≥--对[]1,2a ∈恒成立，…………（7分）设()1ag a e a =--，[]1,2a ∈，…………（8分）则'()110ag a e e =->->，…………（9分） ∴()g a 在[]1,2上递增，…………（10分）∴2max ()(2)3g a g e ==-，∴23b e ≥-．…………（11分）又2a b e -<，∴232ae b e -≤<+．…………（12分） 3、【解答】解：（1）∵f （x ）=ax 2+lnx +1，∴=（x ＞0），①当a ≥0时，恒有f′（x ）＞0，则f （x ）在（0，+∞）上是增函数； ②当a ＜0时，当0＜x ＜时，f′（x ）＞0，则f （x ）在（0，）上是增函数；当x ＞时，f′（x ）＜0，则f （x ）在（，+∞）上是减函数．综上，当a ≥0时，f （x ）在（0，+∞）上是增函数；当a ＜0时，f （x ）在（0，）上是增函数，f （x ）在（，+∞）上是减函数．（2）由题意知对任意a ∈（﹣2，﹣1）及x ∈[1，2]时，恒有ma ﹣f （x ）＞a 2成立，等价于ma ﹣a 2＞f （x ）max ，∵a ∈（﹣2，﹣1），∴，由（1）知当a ∈（﹣2，﹣1）时，f （x ）在（1，2）上是减函数， ∴f （x ）max =f （1）=a +1，∴ma ﹣a 2＞a +1，即m ＜a ++1，∵y=a ++1在a ∈（﹣2，﹣1）上为增函数，∴﹣，∴实数m 的取值集合为{m |m}．4、【解答】解：（1）f （x ）的定义域为（﹣1，+∞），f'（x ）=﹣=，令f'（x ）＞0得：x ＞k ﹣1，当k ﹣1≤﹣1即k ≤0时，f （x ）的单调递增区间是（﹣1，+∞）； 当k ﹣1＞﹣1即k ＞0时，f （x ）的单调递减区间是（﹣1，k ﹣1）， f （x ）的单调递增区间是（k ﹣1，+∞）； （2）k ＞0时，由（2）得：f （x ）的单调递减区间是（﹣1，k ﹣1）， f （x ）的单调递增区间是（k ﹣1，+∞）； 故f （x ）的最小值是f （k ﹣1）=g （k ）=lnk ﹣k +2， 当0＜k 1＜k 2且k 1+k 2=2，则k 2=2﹣k 1， 故0＜k 1＜1，g （k 1）﹣g （k 2）=lnk 1﹣k 1+2﹣ln （2﹣k 1）+2﹣k 1﹣2=ln﹣2k 1+2，令h （k ）=ln ﹣2k +2，（0＜k ＜1）， h′（k ）=＞0，故h （k ）在（0，1）递增， 故h （k ）＜h （1）=0， 故g （k 1）＜g （k 2）．5、解：（1）2'()x x e x e f x x -=，22222'(2)24e e e f -==且2(2)2e f =， 所以切线方程22(2)24e e y x -=-，即24e y x =． （2）由()()ln 2G x xf x x x =--(0)x >，1'()2x G x e x=--．21''()0x G x e x=+>，所以'()G x 在(0,)+∞为增函数， 又因为'(1)30G e =-<，25'(2)02G e =->，所以存在唯一0(1,2)x ∈，使0001'()20xG x e x =--=，即0012x e x =+且当0(0,)x x ∈时，'()0G x <，()G x 为减函数，0(,)x x ∈+∞时'()0G x >，()G x 为增函数，所以0min 0000001()()ln 22ln 2xG x G x e x x x x x ==--=+--，0(1,2)x ∈， 记1()2ln 2H x x x x=+--，(12)x <<， 211'()20H x x x=---<，所以()H x 在(1,2)上为减函数，所以13()(2)2ln 24ln 222H x H >=+--=--，所以03()()ln 22G x G x ≥>--．6、(1)1,21)(1==+=a a x f 即 2分（2）由()()212g x f x x bx =+-，x x b x x g 1)1()(2+--=' 4分 1,1,01)1(,0)(21212=-=+=+--='x x b x x x b x x g 得到9100)1(122)(2122121221≥-=++=++=+b t t x x x x x x x x 5分9101021≤<<<<t t x x ，解上不等式得：即由 8分]91,0(),1(21ln )(∈--=t t t t t h (),021)(],91,0(22<--='∈t t t h t 10分3ln 2940)91()(min -==h t h 3ln 2940)()(21--∴最小值x g x g 12分7、【解答】解：（I ）函数f （x ）=x ﹣﹣lnx 的定义域为（0，+∞），且f′（x ）=1+﹣=①当△=1﹣4a ≤0，即a ≥时， f′（x ）≥0恒成立，故f （x ）在（0，+∞）为增函数． ②当△=1﹣4a ＞0，即0＜a ＜时，由f′（x ）＞0得，x 2﹣x +a ＞0，即x ∈（0，），或x ∈（，+∞）由f′（x ）＜0得，x 2﹣x +a ＜0，即x ∈（，）∴f （x ）在区间（0，），（，+∞）为增函数；在区间（，）为减函数．（II ）若f （x ）＞x ﹣x 2在（1，+∞）恒成立，则f （x ）﹣x +x 2=＞0在（1，+∞）恒成立，即a ＜x 3﹣xlnx 在（1，+∞）恒成立，令g （x ）=x 3﹣xlnx ，h （x ）=g′（x ）=3x 2﹣lnx ﹣1，则h′（x ）==，在（1，+∞）上，h′（x ）＞0恒成立， 故h （x ）＞h （1）=2恒成立， 即g′（x ）＞0恒成立， 故g （x ）＞g （1）=1， 故0＜a ≤1，即实数a 的取值范围为（0，1]． 8、解：（1）xexa x --='1)(ϕ，令0)(='x ϕ)2,1(1∈-=⇒a x )0,1(-∈⇒a ………3分 又)(x ϕ在]1,1[a -上为单调递增，在]2,1[a -上单调递减，∴)(x ϕ为F 函数)0,1(-∈⇒a …………………………………………………4分 （2）)()(432px x x x p x +++-='ϕ，],0[p x ∈)(x ϕ'⇒在],0[p 上为单调递减，……………………………………………………6分又0)0(>='p ϕ，0)(532<---='p p p p ϕ),0(0p x ∈∃∴，使得0)(0='x ϕ， )(x ϕ⇒在],0[0x 上为单调递增，在],[0p x 上单调递减，)(x ϕ⇒是],0[p 上的F 函数 ……………………………………………8分 （3）)22)(12()(2t x x x x +--='ϕ 方程0222=+-t x x 的判别式为t 84-=∆ 当D £0即21≥t 时，0222≥+-t x x 恒成立， 此时21≤x 时，0)(≤'x ϕ，)(x ϕ单调递减；21≥x 时，0)(≥'x ϕ，)(x ϕ单调递增； 故)(x ϕ不是F 函数。
高二数学下学期期末考试分类汇编导数及其应用新人教A版
专题09 导数及其应用1．（2022·四川成都·高二期中（理））若在R上可导， 则=（ ）A．16B．54C．－25D．－16【答案】D【解析】解：，则，解得：，，故选:D.2．（2021·重庆合川·高二阶段练习）过函数图像上一个动点作函数的切线，则切线领斜角范围为（ ）A．B．C．D．【答案】B【解析】【分析】由题意，函数，可得，因为，所以，即切线的斜率，设切线的倾斜角为，则又因为，所以或，即切线的倾斜角的范围为.故选：B.3．（2022·安徽·合肥一中模拟预测）对于三次函数，若曲线在点处的切线与曲线在点处点的切线重合，则（ ）A．B．C．D．【答案】B【解析】设，，设，则，即……①又，即……②由①②可得，.故选：B.4．（2022·黑龙江·哈尔滨市第六中学校高二期中）已知曲线在点处的切线也是曲线的一条切线，则实数的值为（ ）A．B．C．D．【答案】D【解析】解：因为，所以，，所以，所以切线的方程为，又，所以，设切线与的切点为，可得切线的斜率为，即，，可得切点为，所以，解得．故选：D．5．（2022·河北·邢台市第二中学高二阶段练习）已知函数与的部分图像如图所示，则（ ）A．B．C．D．【答案】B【解析】由图可知，与在区间上单调递增，所以，.在区间上，的图像比的图像更陡峭，所以，.故选：B6．（2022·广东·中山大学附属中学高二期中）设函数，则（ ）A ．e B．1C．D．【答案】B【解析】由题意，所以，所以原式等于.故选：B.7．（2022·重庆·高二阶段练习）定义在上的函数满足，且，则满足不等式的的取值有（ ）A．B．0C．1D．2【答案】D【解析】构造函数，则，因为，所以，所以单调递减，又，所以，不等式变形为，即，由函数单调性可得：故选：D8．（2022·江苏·昆山柏庐高级中学高二期中）已知的定义域是，为的导函数，且满足，则不等式的解集是（ ）A．B．C．D．【答案】B【解析】令，则，所以函数在区间上单调递增，所以，解之得或，即原不等式的解集为，故选：B.9．（2022·四川省内江市第六中学高二期中）是定义在上的函数，是的导函数，已知，且，则不等式的解集为（ ）A．B．C．D．【答案】C【解析】由，得构造函数，，所以函数在上单调递增，因为，所以不等式等价于即，所以故选：C.10．（2022·江苏南通·模拟预测）已知函数的导函数，，， ，则（ ）A．B．C．D．【答案】A【解析】，则，为偶函数，且在单调递增，，，即，，所以，∴，故选：A二、解答题11．（2021·重庆合川·高二阶段练习）已知函数(1)当，证明：；(2)若函数在上恰有一个极值，求a的值．【答案】(1)证明见解析；(2).【解析】(1)由题设且，则，所以在上递增，则，得证.(2)由题设在有且仅有一个变号零点，所以在上有且仅有一个解，令，则，而，故时，时，时，所以在、上递增，在上递减，故极大值，极小值，，要使在上与有一个交点，则或或.经验证，或时对应零点不变号，而时对应零点为变号零点，所以.12．（2022·吉林·长春市第二实验中学高二期中）设函数，若在处有极值．(1)求实数a的值；(2)求函数的极值；(3)若对任意的，都有，求实数c的取值范围．【答案】(1)(2)在处有极大值，在处有极小值(3)【解析】(1)，因为在处有极值，所以，解得.检验：当时，，当时，，单调递减；当时，，单调递增，所以在处有极小值，满足条件.故.(2)由（1）知当时，，单调递增；当时，，单调递减；当时，，单调递增；又，.所以在处有极大值，在处有极小值.(3)原命题等价于对任意的都成立，由（2）知，在上单调递增，在上单调递减，在上单调递增，所以，因为，，所以，解得.13．（2022·天津河北·高二期中）已知函数，其中，曲线在处的切线方程为．(1)求函数f（x）的解析式；(2)求函数f（x）在区间[－1，4]上的最大值和最小值．【答案】(1)(2)最大值是－，最小值是－19【解析】(1)：∵，∴．由题意得，即，解得，．∴；(2)解：令，解得，或，列表讨论和f（x）的变化情况：3（3，4）＋0－0＋单调递增单调递减－19单调递增∴当时，函数f（x）有极大值；当时，函数f（x）有极小值．又，，∴函数f（x）在区间[－1，4]上的最大值是－，最小值是－19.14．（2022·河北·沧县中学高二阶段练习）已知函数，为函数的导数．(1)求的解集；(2)求曲线的单调区间．【答案】(1)(2)单调递增区间是，，单调递减区间是【解析】【分析】由得，，∴，即，解得，∴的解集是(2)，∴当x变化时，的变化情况如下表：x＋0－0＋∴的单调递增区间是，，单调递减区间是．15．（2022·安徽师范大学附属中学高二期中）已知函数．(1)讨论函数的单调性；(2)若恒成立，求实数a的取值范围．【答案】(1)答案见解析(2)【解析】(1)解：因为，所以，若，则在上恒成立，故在上单调递增，若，则当时，；当时，．故在上单调递增，在上单调递减．综上所述，当时，在上单调递增，当时，在上单调递增，在上单调递减．(2)由等价于．令，函数，则，由，可得．当时，单调递减；当时，单调递增，故．所以a的取值范围为．16．（2022·广西·柳州市第三中学高二阶段练习（理））已知函数在处的切线与轴平行.(1)求的值；(2)若函数的图象与抛物线恰有三个不同交点，求的取值范围.【答案】(1)(2)【解析】(1)解：因为，所以，在处的切线与轴平行，，解得．(2)解：令，则原题意等价于图象与轴有三个交点，由，解得或；由，解得．在时取得极大值；在时取得极小值．故，．一、单选题1．（2022·天津市滨海新区塘沽第一中学高二期中）已知函数，，若对任意的存在，使，则实数的取值范围是（ ）A．B．C．D．【答案】B【解析】因为对任意的存在，使成立，即，由函数，可得，当时，，单调递减；当时，，单调递增，所以当时，函数取得最小值，最小值为，又由函数，当时，函数在上单调递增，，即，解得，不成立，舍去；当时，函数在上单调递减，上单调递增，，即，解得或，不成立，舍去；当时，函数在上单调递减，，即，解得，综上可得，实数的取值范围是.故选：B.2．（2022·湖北·高二阶段练习）函数在内存在极值点，则（ ）A．B．C．或D．或【答案】A【解析】由题意知：在内存在变号零点，即在内有解，则，易得在内单调递减，值域为，故.故选：A.3．（2022·甘肃·兰州一中高二期中）定义在（0，+∞）上的函数f（x）满足，且f（4）＝ln（4e4），则不等式f（e x）＞e x+x的解集为（ ）A．（4，+∞）B．（﹣∞，2）C．（ln2，+∞）D．（ln4，+∞）【答案】D【解析】解：令g（x）＝f（x）﹣ln x﹣x，因为定义在（0，+∞）上的函数f（x）满足xf′（x）﹣1﹣x＞0，所以g′（x）＝，所以g（x）在（0，+∞）上单调递增，因为f（4）＝ln（4e4）＝4+ln4，所以g（4）＝0，则不等式f（e x）＞e x+x可转化为g（e x）+x+e x＞e x+x，即g（e x）＞0=g（4），所以e x＞4，所以x＞ln4．故选：D．4．（2022·河南·高二阶段练习（理））若当时，关于的不等式恒成立，则实数的取值范围是（ ）A．B．C．D．【答案】A【解析】【分析】令，所以，所以当时，单调递增，当时，单调递减，所以，即时，恒成立，所以当时，恒成立成立；若当时，关于的不等式恒成立，则等价于当时，关于的不等式恒成立，当时，不等式显然成立当时，关于的不等式恒成立，即恒成立，又函数在上单调递减，所以，所以，即；综上实数的取值范围是.故选：A.5．（2022·江苏·海门中学高二阶段练习）已知函数的图象在点处的切线方程为，且函数在上的最大值为M，最小值为m，则的值为（ ）A．B．C．D．0【答案】B【解析】解：，，又时，，则，解得，，则，，，当时，，当或时，，故函数在，上单调递减，在上单调递增，故的极小值为，极大值为，，故函数在上的最大值为，最小值为，则故选：B6．（2022·首都师范大学附属中学高二期中）已知函数，若有三个不同的零点，则实数k的取值范围为（ ）A．B．C．D．【答案】C【解析】当 时， ，故当 时， 单调递减，当 时， 单调递增，故 ，且时， ，当 时， ，由此作出函数的大致图象如图：由有三个不同的零点，即函数 的图象与 有三个不同的交点，结合图象，可得 ，故选：C7．（2022·天津市蓟州区第一中学高二期中）已知函数，若对任意的，存在使得，则实数a的取值范围是（ ）A．B．[，4]C．D．【答案】B【解析】解：的导函数为，由时，，时，，可得g（x）在[–1，0]上单调递减，在（0，1]上单调递增，故g（x）在[–1，1]上的最小值为g（0）=0，最大值为g（1）=，所以对于任意的，．因为开口向下，对称轴为轴，所以当时，，当时，，则函数在[，2]上的值域为[a–4，a]，由题意，得，，可得，解得．故选：B.8．（2022·山东济宁·高二期中）已知，则a，b，c的大小关系为（ ）A．B．C．D．【答案】D【解析】解：因为，令，则，当时，，则在上递增；当时，，则在上递减，因为，所以，又，所以，即，故选：D9．（2022·黑龙江·双鸭山一中高二期末）已知是奇函数的导函数，，当时，，则使得成立的的取值范围是A．B．C．D．【答案】A【解析】设g（x），则g′（x）＝，∵当x＞0时，xf′（x）﹣f（x）>0，∴当x＞0时，g′（x）>0，此时函数g（x）为增函数，∵f（x）是奇函数，∴g（x）是偶函数，即当x＜0时，g（x）为减函数．∵f（﹣1）＝0，∴g（﹣1）＝g（1）＝0，当x＞0时，f（x）>0等价为g（x）>0，即g（x）>g（1），此时x＞1，当x＜0时，f（x）>0等价为g（x）<0，即g（x）<g（﹣1），此时﹣1＜x＜0，综上不等式的解集为（﹣1，0）∪（1，+∞），故选A．10．（2022·重庆市万州第二高级中学高二阶段练习）设函数，其中 ，若存在唯一的整数，使得，则的取值范围是（ ）A．B．C．D．【答案】D【解析】设，，由题意知，函数在直线下方的图象中只有一个点的横坐标为整数，，当时，；当时，.所以，函数的最小值为.又，.直线恒过定点且斜率为，故且，解得，故选D.二、解答题11．（2022·北京·北师大二附中三模）已知函数，其中，为的导函数.(1)当，求在点处的切线方程；(2)设函数，且恒成立.①求的取值范围；②设函数的零点为，的极小值点为，求证：.【答案】(1)(2)①;②详见解析【解析】(1)时，,,,，所以函数在处的切线方程，即.(2)①由题设知，，，，由，得，所以函数在区间上是增函数；由，得，所以函数在区间上是减函数.故在处取得最小值，且.由于恒成立，所以，得，所以的取值范围为；②设，则.设，则，故函数在区间上单调递增，由（1）知，，所以，，故存在，使得，所以，当时，，，函数单调递减；当时，，，函数单调递增.所以是函数的极小值点.因此，即.由①可知，当时，，即，整理得，所以.因此，即.所以函数在区间上单调递增.由于，即，即，所以.又函数在区间上单调递增，所以.12．（2022·河北衡水·高三阶段练习）已知函数，．(1)若在点处的切线的斜率为，求的最值；(2)若在原点处取得极值，当时，的图像总在的图像的上方，求k的取值范围．【答案】(1)有最小值，且最小值为，无最大值；(2).【解析】由题意得，函数的定义域为，．因为，所以，解得，所以，则．令，解得或（舍），所以当时，，则单调递减；当时，，则单调递增，所以函数有最小值，且最小值，无最大值．(2)因为，，所以，解得，所以，若，则，单调递减，若，则，单调递增．因为当时，函数的图像总在函数的图像的上方，即恒成立，所以，即．设，，则，令，则，所以函数在上单调递增，所以，当，即时，，所以函数在上单调递增，所以恒成立，符合题意；当，即时，，，所以存在，使得，所以函数在上单调递减，在上单调递增．又，所以不恒成立，故不符合题意．综上所述，k的取值范围为．13．（2022·河北保定·高二期中）已知函数．(1)求函数的单调区间；(2)若函数无零点，求实数a的取值范围；(3)若函数有两个相异零点，求证；．【答案】(1)答案见解(2)(3)证明见解析【解析】(1)解：由题可知的定义域是，当时，，所以在上单调递增；当时，令解得，当时，所以在上单调递增，当时，所以在上单调递减.综上：当时，在上单调递增；当时，在上单调递增，在上单调递减.(2)解：由（1）可知，要使函数无零点就需要，此时在上递增，在上递减，，欲使函数无零点，则只要，即所以的范围是.(3)因为有两个相异的零点，又由于，故不妨设令，且有，，要证令，则，所以只要证明时恒成立，令，由于已知恒成立，所以在递增，所以时，恒成立，即恒成立，从而证明.【点睛】利用导数证明不等式问题：（1）直接构造法：证明不等式转化为证明，进而构造辅助函数；（2）适当放缩构造法：一是根据已知条件适当放缩；二是利用常见放缩结论；（3）构造“形似”函数，稍作变形再构造，对原不等式同解变形，根据相似结构构造辅助函数；14．（2022·四川成都·高二期中（理））已知函数（其中为自然对数的底数）.(1)若曲线在点处的切线与x轴交于点，求a的值；(2)求证：时，存在唯一极值点，且.【答案】(1)(2)证明见解析【解析】(1)因为，所以，又，所以曲线在点处的切线方程为，令，得，因为切线与x轴正半轴交于点，所以，所以；(2)因为，设，因为，所以时，，故在上是减函数，因为，若，则时，，当时，，若，则，故当时，，所以有唯一零点，当时，即，故为增函数，当时，即，故为减函数.所以存在唯一极大值点，又因，即，所以等价于所以，因为是增函数，故15．（2022·广东·佛山市南海区罗村高级中学高二阶段练习）已知函数（）.（I）若，求曲线在点处的切线方程；（II）若在上无极值点，求的值；（III）当时，讨论函数的零点个数，并说明理由.【答案】（1）； （2）时函数在上无零点；当时，函数在上有一个零点；当时，函数在上有两个零点.【解析】（I）当时，，，，，所以曲线在点处的切线方程为.（II），，依题意有，即，，解得.(III)（1）时，函数在上恒为增函数且，函数在上无零点.（2）时：当，，函数为增函数；当，，函数为减函数；当，，函数为增函数.由于，此时只需判定的符号：当时，函数在上无零点；当时，函数在上有一个零点；当时，函数在上有两个零点.综上，时函数在上无零点；当时，函数在上有一个零点；当时，函数在上有两个零点.。
最新高考数学理试题分类汇编：导数及其应用
2017年高考数学理试题分类汇编：导数及其应用1. (2017年新课标Ⅰ文) 8．函数sin21cos xy x=-的部分图像大致为 (C)2. ( 2017年新课标Ⅱ卷理) 11.若2x =-是函数21`()(1)x f x x ax e-=+-的极值点，则()f x 的极小值为（ ）A.1-B.32e --C.35e -D.1 【答案】A【解析】由题可得12121()(2)(1)[(2)1]x x x f x x a ex ax e x a x a e ---'=+++-=+++-因为(2)0f '-=，所以1a =-，21()(1)x f x x x e -=--，故21()(2)x f x x x e-'=+-令()0f x '>，解得2x <-或1x >，所以()f x 在(,2),(1,)-∞-+∞单调递增，在(2,1)-单调递减 所以()f x 极小值(1)f =11(111)1e-=--=-，故选A 。
3. (2017年新课标Ⅰ文) 9．已知函数()ln ln(2)f x x x =+-，则 (C) A ．()f x 在（0,2）单调递增B ．()f x 在（0,2）单调递减C ．y =()f x 的图像关于直线x =1对称D ．y =()f x 的图像关于点（1,0）对称4. (2017年浙江卷)函数y=f (x )的导函数()y f x '=的图像如图所示，则函数y=f (x )的图像可能是【答案】D【解析】原函数先减再增，再减再增，因此选D.5. (2017年新课标Ⅲ卷理) 11．已知函数211()2()x x f x x x a ee --+=-++有唯一零点，则a =A ．12- B ．13C ．12D ．1【答案】C6. ( 2017年新课标Ⅱ卷理)21.已知函数()2ln f x ax ax x x =--，且()0f x ≥。
2022年高考数学文真题分类汇编：导数及其应用 Word版含答案
2022年高考数学文试题分类汇编 导数及其应用一、选择题1、（2022年山东高考）若函数()y f x =的图象上存在两点，使得函数的图象在这两点处的切线相互垂直，则称()y f x =具有T 性质.下列函数中具有T 性质的是 （A ）sin y x =（B ）ln y x =（C ）e x y =（D ）3y x =【答案】A2、（2022年四川高考）已知a 函数f(x)＝x 3－12x 的微小值点，则a= (A)-4 (B) -2 (C)4 (D)2 【答案】D3、（2022年四川高考）设直线l 1，l 2分别是函数f(x)=图象上点P 1，P 2处的切线，l 1与l 2垂直相交于点P ，且l 1，l 2分别与y 轴相交于点A ，B 则则△PAB 的面积的取值范围是 (A)(0,1) (B) (0,2) (C) (0,+∞) (D) (1,+ ∞) 【答案】A4、（2022年全国I 卷高考）若函数1()sin 2sin 3f x x -x a x =+在(),-∞+∞单调递增，则a 的取值范围是 （A ）[]1,1-（B ）11,3⎡⎤-⎢⎥⎣⎦（C ）11,33⎡⎤-⎢⎥⎣⎦（D ）11,3⎡⎤--⎢⎥⎣⎦【答案】C二、填空题1、（2022年天津高考）已知函数()(2+1),()xf x x e f x '=为()f x 的导函数，则(0)f '的值为__________.【答案】32、（2022年全国III 卷高考）已知()f x 为偶函数，当0x ≤ 时，1()x f x ex --=-，则曲线()y f x =在点(1,2)处的切线方程式_____________________________.【答案】2y x =三、解答题1、（2022年北京高考）设函数()32.f x x ax bx c =+++（I ）求曲线().y f x =在点()()0,0f 处的切线方程；（II ）设4a b ==，若函数()f x 有三个不同零点，求c 的取值范围； （III ）求证：230a b -＞是().f x 有三个不同零点的必要而不充分条件. 解：（I ）由()32f x x ax bx c=+++，得()232f x x ax b'=++．由于()0f c =，()0f b'=，所以曲线()y f x =在点()()0,0f 处的切线方程为y bx c =+．（II ）当4a b ==时，()3244f x x x x c =+++，所以()2384f x x x '=++．令()0f x '=，得23840x x ++=，解得2x =-或23x =-．()f x 与()f x '在区间(),-∞+∞上的状况如下：x(),2-∞-2-22,3⎛⎫-- ⎪⎝⎭ 23-2,3⎛⎫-+∞ ⎪⎝⎭()f x ' +-+()f xc3227c -所以，当0c >且32027c -<时，存在()14,2x ∈--，222,3x ⎛⎫∈-- ⎪⎝⎭， 32,03x ⎛⎫∈- ⎪⎝⎭，使得()()()1230f x f x f x ===．由()f x 的单调性知，当且仅当320,27c ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，函数()3244f x x x x c =+++有三个不同零点．（III ）当24120a b ∆=-<时，()2320f x x ax b '=++>，(),x ∈-∞+∞，此时函数()f x 在区间(),-∞+∞上单调递增，所以()f x 不行能有三个不同零点．当24120a b ∆=-=时，()232f x x ax b '=++只有一个零点，记作0x ．当()0,x x ∈-∞时，()0f x '>，()f x 在区间()0,x -∞上单调递增； 当()0,x x ∈+∞时，()0f x '>，()f x 在区间()0,x +∞上单调递增．所以()f x 不行能有三个不同零点．综上所述，若函数()f x 有三个不同零点，则必有24120a b ∆=->．故230a b ->是()f x 有三个不同零点的必要条件．当4a b ==，0c =时，230a b ->，()()232442f x x x x x x =++=+只有两个不同零点， 所以230a b ->不是()f x 有三个不同零点的充分条件． 因此230a b ->是()f x 有三个不同零点的必要而不充分条件．2、（2022年江苏省高考）已知函数()(0,0,1,1)x x f x a b a b a b =+>>≠≠.（1） 设a =2,b =12.① 求方程()f x =2的根;②若对任意x R ∈,不等式(2)f()6f x m x ≥-恒成立，求实数m 的最大值； （2）若01,1a b <<＞，函数()()2g x f x =-有且只有1个零点，求ab 的值.解：（1）由于12,2a b ==，所以()22x xf x -=+.①方程()2f x =，即222x x -+=，亦即2(2)2210x x -⨯+=， 所以2(21)0x -=，于是21x =，解得0x =. ②由条件知2222(2)22(22)2(())2x x x x f x f x --=+=+-=-. 由于(2)()6f x mf x ≥-对于x R ∈恒成立，且()0f x >，所以2(())4()f x m f x +≤对于x R ∈恒成立.而2(())44()4()()f x f x f x f x +=+≥=，且2((0))44(0)f f +=，所以4m ≤，故实数m 的最大值为4.（2）由于函数()()2g x f x =-只有1个零点，而0(0)(0)220g f a b =-=+-=， 所以0是函数()g x 的唯一零点.由于'()ln ln x x g x a a b b =+，又由01,1a b <<>知ln 0,ln 0a b <>， 所以'()0g x =有唯一解0ln log ()ln b aax b =-.令'()()h x g x =，则''22()(ln ln )(ln )(ln )x x x x h x a a b b a a b b =+=+，从而对任意x R ∈，'()0h x >，所以'()()g x h x =是(,)-∞+∞上的单调增函数，于是当0(,)x x ∈-∞，''0()()0g x g x <=；当0(,)x x ∈+∞时，''0()()0g x g x >=. 因而函数()g x 在0(,)x -∞上是单调减函数，在0(,)x +∞上是单调增函数.下证00x =.若00x <，则0002x x <<，于是0()(0)02x g g <=， 又log 2log 2log 2(log 2)220a a a a g aba=+->-=，且函数()g x 在以02x 和log 2a 为端点的闭区间上的图象不间断，所以在02x 和log 2a 之间存在()g x 的零点，记为1x . 由于01a <<，所以log 20a <，又002x <，所以10x <与“0是函数()g x 的唯一零点”冲突.若00x >，同理可得，在02x 和log 2a 之间存在()g x 的非0的零点，冲突.因此，00x =.于是ln 1ln ab -=，故ln ln 0a b +=，所以1ab =.3、（2022年山东高考）设f (x )=x ln x –ax 2+(2a –1)x ，a ∈R . (Ⅰ)令g (x )=f'(x )，求g (x )的单调区间；(Ⅱ)已知f (x )在x =1处取得极大值.求实数a 的取值范围. 解析：(Ⅰ)由()'ln 22,f x x ax a =-+ 可得()()ln 22,0,g x x ax a x =-+∈+∞，则()112'2axg x a x x -=-=， 当0a ≤时，()0,x ∈+∞时，()'0g x >，函数()g x 单调递增；当0a >时，10,2x a ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，()'0g x >，函数()g x 单调递增，1,2x a ⎛⎫∈+∞ ⎪⎝⎭时，()'0g x <，函数()g x 单调递减. 所以当0a ≤时，函数()g x 单调递增区间为()0,+∞；当0a >时，函数()g x 单调递增区间为10,2a ⎛⎫ ⎪⎝⎭，单调递减区间为1,2a⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭. (Ⅱ)由(Ⅰ)知，()'10f =.①当0a ≤时，()'0f x <，()f x 单调递减.所以当()0,1x ∈时，()'0f x <，()f x 单调递减.当()1,x ∈+∞时，()'0f x >，()f x 单调递增.所以()f x 在x=1处取得微小值，不合题意.②当102a <<时，112a >，由(Ⅰ)知()'f x 在10,2a ⎛⎫ ⎪⎝⎭内单调递增， 可得当当()0,1x ∈时，()'0f x <，11,2x a ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，()'0f x >， 所以()f x 在(0,1)内单调递减，在11,2a ⎛⎫ ⎪⎝⎭内单调递增，所以()f x 在x=1处取得微小值，不合题意.③当12a =时，即112a =时，()'f x 在(0,1)内单调递增，在()1,+∞内单调递减， 所以当()0,x ∈+∞时，()'0f x ≤，()f x 单调递减，不合题意.④当12a >时，即1012a << ，当1,12x a ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，()'0f x >，()f x 单调递增, 当()1,x ∈+∞时，()'0f x <，()f x 单调递减，所以f(x)在x=1处取得极大值，合题意.综上可知，实数a 的取值范围为12a >.4、（2022年四川高考）设函数f(x)=a x 2－a －lnx ，g(x)=1x －ee x ，其中a ∈R ，e=2.718…为自然对数的底数。
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江苏省名校数学导数及其应用试题分类汇编一、填空题1、（省扬州中学）函数32()f x x bx cx d =+++在区间[]1,2-上是减函数,则c b +的最大值为 答案：152-2、（省南京一中）已知R 上的可导函数)(x f 的导函数)(x f '满足：)(x f '+)(x f 0>，且1)1(=f 则不等式>)(x f 11-x e的解是 ．答案：),1(+∞3、（省阜宁中学）若函数()32f x x ax bx c =+++有极值点12,x x ，且()11f x x =，则关于x 的方程()()()2320f x af x b ++=的不同实根个数是 .答案：34、（省灌云高中）已知函数()x x mx x f 2ln 2-+=在定义域内是增函数，则实数m 的取值范围为_________答案：12m ≥5、（省粱丰高中）已知函数32()f x mx nx =+的图象在点(1,2)-处的切线恰好与直线30x y +=平行，若()f x 在区间[],1t t +上单调递减，则实数t 的取值范围是 答案：1(1,1)e+ 6、（省如东县掘港高中）函数12ln y x x=+的单调减区间为__________答案：1(0,)27、（睢宁菁华高中）知函数()f x ,()g x 满足(1)2f =,(1)1f '=,(1)1g =,(1)1g '=,则函数()(()1)()F x f x g x =-⋅的图象在1x =处的切线方程为 .答案：2x －y －1＝0二、解答题1、（省南京市第一中学）已知f (x )＝x ln x －ax ，g (x )＝-x 2－2，（Ⅰ）对一切x ∈(0, +∞)，f (x )≥g (x )恒成立，求实数a 的取值范围；（Ⅱ）当a ＝－1时，求函数f (x )在[m ，m ＋3]( m ＞0)上的最值；（Ⅲ）证明：对一切x ∈(0, +∞)，都有lnx ＋1＞exe x21-成立。
解：（Ⅰ）对一切)()(),,0(x g x f x ≥+∞∈恒成立， 即2ln 2--≥-x ax x x 恒成立.也就是++≤x x a ln x 2在),0(+∞∈x 恒成立 令xx x x F 2ln )(++= ，则F '2222)1)(2(2211)(xx x x x x x x x -+=-+=-+=， 在)10(，上F '0)(<x ，在上，)1(∞+上F '0)(>x ，因此，)(x F 在1=x 处取极小值，也是最小值，即3)1()(m in ==F x F ，所以3≤a .（Ⅱ）当时，1-=a x x x x f +=ln )( ，f '2ln )(+=x x ，由f '0)(=x 得21e x =. ①当210e m <<时，在上)1,[2em x ∈上f '0)(<x ， 在上]3,1(2+∈m ex 上f '0)(>x 因此，)(x f 在21e x =处取得极小值，也是最小值. 2min 1)(ex f -= .由于0]1)3)[ln(3()3(,0)(>+++=+<m m m f m f 因此，]1)3)[ln(3()3()(m ax +++=+=m m m f x f②当时21em ≥，0)('≥x f ，因此]3,[)(+m m x f 在上单调递增，所以)1(ln )()(m in +==m m m f x f ，]1)3)[ln(3()3()(m ax +++=+=m m m f x f （Ⅲ）证明：问题等价于证明)),0((2ln +∞∈->+x ee x x x x x由(Ⅱ)知1-=a 时，x x x x f +=ln )(的最小值是21e-，当且仅当21ex =时取得，设)),0((2)(+∞∈-=x e e x x G x ，则G 'x exx -=1)(，易知eG x G 1)1()(m ax -==，当且仅当1x =时取到，但，ee 112->-从而可知对一切(0,)x ∈+∞，都有exe x x 211ln ->+成立2、（省诚贤中学）已知函数2233()[(log )(log )](log )(log )a x a x f x k x a x a =+--，2()(3)(log log )a x g x k x a =-+，(其中1a >)，设lo g l o g a x t x a =+. （Ⅰ）当(1,)(,)x a a ∈⋃+∞时,试将()f x 表示成t 的函数()h t ,并探究函数()h t 是否有极值；（Ⅱ）当(1,)x ∈+∞时，若存在0(1,)x ∈+∞，使00()()f x g x >成立，试求k 的范围.解：（Ⅰ）∵2222(log )(log )(log log )22a x a x x a x a t +=+-=-,3323(log )(log )(log log )[(log log )3]3a x a x a x x a x a x a t t+=++-=-,∴32()32,(2)h t t kt t k t =-++-> ∴2()323h t t kt '=-++ 设12,t t 是()0h t '=的两根，则120t t <，∴()0h t '=在定义域内至多有一解,欲使()h t 在定义域内有极值，只需2()3230h t t kt '=-++=在(2,)+∞内有解，且()h t '的值在根的左右两侧异号，∴(2)0h '>得94k >综上：当94k >时()h t 在定义域内有且仅有一个极值，当94k ≤时()h t 在定义域内无极值。
（Ⅱ）∵存在0(1,)x ∈+∞，使00()()f x g x >成立等价于()()f x g x -的最大值大于0，∵log log a x t x a =+，∴322()2,(2)m t t kt k t k t =-++-≥, ∴22()320m t t kt k '=-++=得12,3k t k t ==-. 当2k >时，max ()()0m t m k =>得2k >； 当02k <≤时，max ()(2)0m t m =>得17122k -<≤ 当0k =时，max ()(2)0m t m =<不成立 当60k -≤<时，max ()(2)0m t m =>得17162k ---≤<； 当6k <-时，max ()()03k m t m =->得6k <-； 综上得：1712k --<或1712k -> 3、（省东海县二中）已知函数1()()2ln ()f x a x x a R x=--∈ (1)求函数()f x 的单调区间;(2)设函数()ag x x=-,至少存在一个0[1,]x e ∈,使00()()f x g x >成立,求实数a 的取值范围. 解 ：（1）由题意得，函数()f x 的定义域为(0,)+∞，易求得222122()(1)ax x af x a x x x -+'=+-=①当0a ≤时，2()20h x ax x a =-+<在(0,)+∞恒成立， 则()0f x '<在(0,)+∞恒成立，此时()f x 在(0,)+∞单调递减。
②当0a >时，244a ∆=-ⅰ若01a <<，由()0f x '>即()0h x >，得221111a a x x a a--+-<或> 由()0f x '<即()0h x <得221111a a x a a --+-<< 所以()f x 单调增区间为221111(0,)a a a a --+-+∞)和（， 单调减区间为221111(,)a a a a--+- ⅱ若1a ≥，()0h x ≥在(0,)+∞上恒成立，则()0f x '≥在(0,)+∞上恒成立，所以此时()f x 在(0,)+∞单调递增。
（2）因为存在0[1,]x e ∈使得00()()f x g x >成立，所以002ln ax x >，即02ln x a x >令2ln ()x F x x =其中[1,]x e ∈，22(1ln )()x F x x -'=，当[1,]x e ∈时，()0F x '≥，所以函数2ln ()xF x x=在[1,]e 上是单调递增的，得()(1)0F x F ≥=，因此0a >，所以实数a 的取值范围为(0,)+∞4、（省阜宁中学）已知函数()22,0ln ,0x x a x f x x x ⎧++<=⎨>⎩，其中a 是实数，设()()()()1122,,,A x f x B x f x 为该函数的图象上的两点，且12x x <.⑴指出函数()f x 的单调区间；⑵若函数()f x 的图象在点,A B 处的切线互相垂直，且20x <，求21x x -的最小值； ⑶若函数()f x 的图象在点,A B 处的切线重合，求a 的取值范围. 解：（1）单调减区间为(),1-∞-，单调增区间为()()1,0,0,-+∞（2）()()121f x f x ''⋅=- 当0x <时，因为120x x <<，所以()()1222221x x ++=-.12220,220x x +<+>∴()()()()21121212222222212x x x x x x -=-+++≥-++=⎡⎤⎣⎦当且仅当1231,22x x =-=-时等号成立，∴21x x -的最小值为1.（3）当120x x <<或210x x >>时，()()12f x f x ''≠， 故120x x <<当10x <时，函数()f x 的图象在点()()11,x f x 的切线方程为 ()()()21111222y x x a x x x -++=+-即()21122y x x x a =+-+当20x >时，函数()f x 在()()22,x f x 切线方程为221l n 1y x x x =⋅+- 两切线重合的充要条件是12221122ln 1x xx x a ⎧=+⎪⎨⎪-=-+⎩①②由①及120x x <<知110x -<<由①②得()211ln 221a x x =-+-又21y x =，与()1ln 22y x =-+在()1,0-都为减函数.∴()ln 21,a ∈--+∞5、（省灌云高中）已知函数2()ln ()2x f x x kx k =+-为常数， (1)试讨论()f x 单调性；(2)若()f x 存在极值，求()f x 的零点个数。