2015年陕西省中考数学总复习课件：第23讲 矩形、菱形与正方形

对角线相等且互相平分
；
的四边形．
要点梳理 2．有一组 相等 的平行四边形叫做菱形． 邻边相等 ，对角线 互相垂直平分 ，且 ．
菱形的四条边都 每一条对角线
平分一组对角
要点梳理 菱形的判定方法：
Байду номын сангаас
(1)四条边都 相等 (2)有一组 邻边相等 (3)对角线
互相垂直 (4)对角线 互相垂直平分
；
的平行四边形；
边形的基础上，需有四边相等则可判定为菱形．
(3)菱形、矩形与正方形的联系： 正方形的判定可简记为：菱形＋矩形＝正方形，
其证明思路有两个：先证四边形是菱形，再证明它
有一个角是直角或对角线相等(即矩形)；或先证四
边形是矩形，再证明它有一组邻边相等或对角线互
相垂直(即菱形)．
1．(2014· 陕西)如图，在菱形 ABCD 中，AB＝5，对角线 AC＝ 6.若过点 A 作 AE⊥BC ，垂足为 E，则 AE 的长为( C ) A．4 B. 12 5 24 C. 5 D．5
C．55°
D．50°
4．(2014· 陕西)问题探究
(1)如图①，在矩形ABCD中，AB＝3，BC＝4，如果BC边上存在点P ，使△APD为等腰三角形，那么请画出满足条件的一个等腰三角形 △APD，并求出此时BP的长； (2)如图②，在△ABC中，∠ABC＝60°，BC＝12，AD是BC边上的 高，E，F分别为边AB，AC的中点，当AD＝6时，BC边上存在一点Q， 使∠EQF＝90°，求此时BQ的长； 问题解决 (3)有一山庄，它的平面图为如图③的五边形ABCDE，山庄保卫人员 想在线段CD上选一点M安装监控装置，用来监视边AB，现只要使 ∠AMB大约为60°，就可以让监控装置的效果达到最佳，已知∠A＝ ∠E＝∠D＝90°，AB＝270 m，AE＝400 m，ED＝285 m，CD＝340 m ，问在线段CD上是否存在点M，使∠AMB＝60°？若存在，请求出符 合条件的DM的长，若不存在，请说明理由．
2．(2013· 陕西)如图，在矩形 ABCD 中，AD＝2AB，点 M，N 分别在边 AD，BC 上，连接 BM，DN，若四边形 MBND 是菱形， AM 则 等于( C ) MD 3 2 3 4 A. B. C. D. 8 3 5 5
3 ． (2012· 陕西 ) 如图， 在菱形 ABCD 中 ， 对角线 AC 与 BD 相 交 于 点 O ， OE⊥AB ， 垂 足 为 E ， 若 ∠ADC＝130°，则∠AOE的大小为( B ) A．75° B．65°
(3)在线段 CD 上存在点 M，使∠AMB＝60°.理由如下：以 AB 为边，在 AB 的右 侧作等边三角形 ABG，作 GP⊥AB，垂足为 P，作 AK⊥BG，垂足为 K.设 GP 与 AK 交于点 O，以点 O 为圆心，OA 为半径作⊙O，过点 O 作 OH⊥CD，垂足为 H， 如图③.则⊙O 是△ABG 的外接圆，∵△ABG 是等边三角形，GP⊥AB，∴AP＝PB 1 ＝ AB.∵AB＝270，∴AP＝135.∵ED＝285，∴OH＝285－135＝150.∵△ABG 是 2 3 等边三角形， AK⊥BG， ∴∠BAK＝∠GAK＝30°.∴OP＝AP· tan30°＝135× ＝ 3 45 3.∴OA＝2OP＝90 3.∴OH＜OA.∴⊙O 与 CD 相交，设交点为 M，连接 MA、 MB，如图③.∴∠AMB＝∠AGB＝60°，OM＝OA＝90 3.∵OH⊥CD，OH＝150， OM＝90 3，∴HM＝ OM2－OH2＝ （90 3）2－1502＝30 2.∵AE＝400，OP＝ 45 3，∴DH＝400－45 3.若点 M 在点 H 的左边，则 DM＝DH＋HM＝400－45 3 ＋30 2.∵400－45 3＋30 2＞340， ∴DM＞CD.∴点 M 不在线段 CD 上， 应舍去． 若 点 M 在点 H 的右边， 则 DM＝DH－HM＝400－45 3－30 3.∵400－45 3－30 2＜ 340， ∴DM＜CD.∴点 M 在线段 CD 上． 综上所述： 在线段 CD 上存在唯一的点 M， 使∠AMB＝60°，此时 DM 的长为(400－45 3－30 2)米
1 (2)∵E，F 分别为边 AB，AC 的中点，∴EF∥BC，EF＝ BC.∵BC 2 ＝12， ∴EF＝6.以 EF 为直径作⊙O， 过点 O 作 OQ⊥BC， 垂足为 Q， 连接 EQ、FQ，如图②.∵AD⊥BC，AD＝6，∴EF 与 BC 之间的距 离为 3.∴OQ＝3∴OQ＝OE＝3.∴⊙O 与 BC 相切，切点为 Q.∵EF 为⊙O 的直径，∴∠EQF＝90°.过点 E 作 EG⊥BC，垂足为 G，如 图②.∵EG⊥BC，OQ⊥BC，∴EG∥OQ.∵EO∥GQ，EG∥OQ，∠ EGQ＝90°， OE＝OQ， ∴四边形 OEGQ 是正方形． ∴GQ＝EO＝3， EG＝OQ＝3.∵∠B＝60°， ∠EGB＝90°， EG＝3， ∴BG＝ 3.∴BQ ＝GQ＋BG＝3＋ 3.∴当∠EQF＝90°时，BQ 的长为 3＋ 3
的平行四边形；
的四边形．
要点梳理 3．有一组邻边相等且有一个角是直角的平行四边 形叫做正方形．正方形的四个角都是 直角 ，四条 边都 相等 ，两条对角线 相等 ，并且 互相垂直平分 ， 每一条对角线 平分一组对角． 正方形的判定方法： (1)邻边相等的 矩形 菱形 ； ．
(2)有一角是直角的
一个防范 在判定矩形、菱形或正方形时，要明确是在“四边 形”还是在“平行四边形”的基础之上来求证的． 要熟悉各判定定理的联系和区别，解题时要认真审 题，通过对已知条件的分析、综合，最后确定用哪 一种判定方法．
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数
学
第五章 图形的性质(一)
第23讲 矩形、菱形与正方形
要点梳理
1．有一个角是 直角 的平行四边形是矩形．矩形的
四个角都是 直角 ，对角线 相等且互相平分 ．
矩形的判定方法：
(1)有三个角是 直角 的四边形；
(2)是平行四边形且有一个角是 直角 (3) 对角线相等 的平行四边形； (4)
三种联系 (1)平行四边形与矩形的联系： 在平行四边形的基础上，增加“一个角是直角” 或“对角线相等”的条件可为矩形；若在四边形的 基础上，则需有三个角是直角(第四个角必是直角) 则可判定为矩形．
(2)平行四边形与菱形的联系：
在平行四边形的基础上，增加“一组邻边相等”
或“对角线互相垂直”的条件可为菱形；若在四
解：(1)①作 AD 的垂直平分线交 BC 于点 P ，如图①，则 PA＝ PD.∴△PAD 是等腰三角形．∵四边形 ABCD 是矩形，∴AB＝DC， ∠ B ＝ ∠C ＝ 90 ° . ∵ PA ＝ PD ， AB ＝ DC ， ∴ Rt △ ABP ≌ Rt △ DCP(HL)．∴BP＝CP.∵BC＝4，∴BP＝CP＝2 ②以点 D 为圆心， AD 为半径画弧，交 BC 于点 P′，如图①，则 DA＝DP′.∴△P′AD 是 等腰三角形．∵四边形 ABCD 是矩形，∴AD＝BC，AB＝DC， ∠C＝90°.∵AB＝3，BC＝4，∴DC＝3，DP′＝4.∴CP′＝ 42－32 ＝ 7.∴BP′＝4－ 7.③点 A 为圆心， AD 为半径画弧， 交 BC 于点 P″， 如图①， 则 AD＝AP″.∴△P″AD 是等腰三角形． 同理可得： BP″＝ 7. 综上所述：在等腰三角形△ADP 中，若 PA＝PD，则 BP＝2；若 DP ＝DA，则 BP＝4－ 7；若 AP＝AD，则 BP＝ 7