2019年高考北京卷理科数学真题(含答案)
【精品高考数学试卷】2019年北京高考数学零模试卷(理科)+答案 (2)
2019年北京高考数学零模试卷（理科）一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，选出符合题目要求的一项．1．（5分）已知集合A ＝{0，a }，B ＝{x |﹣1＜x ＜2}，且A ⊆B ，则a 可以是（ ） A ．﹣1B ．0C ．1D ．22．（5分）设a →，b →是非零向量，则“a →，b →共线”是“|a →+b →|＝|a →|+|b →|”的（ ） A ．充分而不必要条件 B ．必要而不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件3．（5分）在平面直角坐标系xOy 中，角θ以Ox 为始边，终边与单位圆交于点（35，45），则 tan （π+θ）的值为（ ） A ．43B ．34C ．−43D ．−344．（5分）已知x ，y ∈R ，且x ＞y ＞0，则（ ） A ．tan x ﹣tan y ＞0 B ．x sin x ﹣y sin y ＞0 C ．lnx +lny ＞0D ．2x ﹣2y ＞05．（5分）某三棱锥的三视图如图所示，则该三棱锥的体积为（ ）A ．23B ．43C ．2D ．836．（5分）设不等式组{x −2y +2≤0x −y +2≥0x ≥0，表示的平面区域为Ω，则（ ）A ．原点O 在Ω内B ．Ω的面积是1C ．Ω内的点到y 轴的距离有最大值D ．若点P （x 0，y 0）∈Ω，则x 0+y 0≠07．（5分）六名同学A 、B 、C 、D 、E 、F 举行象棋比赛，采取单循环赛制，即参加比赛的每两个人之间仅赛一局．第一天，A 、B 各参加了3局比赛，C 、D 各参加了4局比赛，E 参加了2局比赛，且A 与C 没有比赛过，B 与D 也没有比赛过．那么F 在第一天参加的比赛局数为（ ） A ．1B ．2C ．3D ．48．（5分）关于函数f （x ）＝sin x ﹣x cos x ，下列说法错误的是（ ） A ．f （x ）是奇函数 B ．0不是f （x ）的极值点C ．f （x ）在(−π2，π2)上有且仅有3个零点 D ．f （x ）的值域是R二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分．把答案填在答题卡上． 9．（5分）若复数（a +i ）（3+4i ）的实部与虚部相等，则实数a ＝ ．10．（5分）已知{a n }是等差数列，S n 为其前n 项和，若a 1＝6，a 4+a 6＝4，则S 5＝ ． 11．（5分）(x −2x)5的二项展开式中，x 3的系数是 ．（用数字作答）12．（5分）在极坐标系中，若点A(m ，π3)(m ＞0)在圆ρ＝2cos θ外，则m 的取值范围为 ． 13．（5分）若三个点（﹣2，1），（﹣2，3），（2，﹣1）中恰有两个点在双曲线C ：x 2a2−y 2=1(a ＞0)上，则双曲线C 的渐近线方程为 ．14．（5分）若函数f （x ）={−x +4，x ≤3log a x ，x ＞3（a ＞0且a ≠1），函数g （x ）＝f （x ）﹣k ．①若a =13，函数g （x ）无零点，则实数k 的取值范围为 ； ②若f （x ）有最小值，则实数a 的取值范围是 ．三、解答题：本大题共6小题，共80分．解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程． 15．（13分）在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边长分别是a ，b ，c ．满足2a cos C +c cos A ＝b ． （Ⅰ）求角C 的大小；（Ⅱ）求sin A cos B +sin B 的最大值．16．（13分）某市旅游管理部门为提升该市26个旅游景点的服务质量，对该市26个旅游景点的交通、安全、环保、卫生、管理五项指标进行评分．每项评分最低分0分，最高分100分．每个景点总分为这五项得分之和，根据考核评分结果，绘制交通得分与安全得分散点图、交通得分与景点总分散点图如图：请根据图中所提供的信息，完成下列问题：（1）若从交通得分排名前5名的景点中任取1个，求其安全得分大于90分的概率；（2）若从景点总分排名前6名的景点中任取3个，记安全得分不大于90分的景点个数为ξ，求随机变量ξ的分布列和数学期望；（3）记该市26个景点的交通平均得分为x1，安全平均得分为x2，写出x1和x2的大小关系？（只写出结果）17．（13分）如图，四边形ABCD是正方形，P A⊥平面ABCD，EB∥P A，AB＝P A＝4，EB ＝2，F为PD的中点．（Ⅰ）求证：AF⊥PC；（Ⅱ）求证：BD∥平面PEC；（Ⅲ）求二面角D﹣PC﹣E的大小．18．（13分）已知函数f（x）＝lnx−ax−1．（1）若曲线y＝f（x）存在斜率为﹣1的切线，求实数a的取值范围；（2）求f（x）的单调区间；（3）设函数g（x）=x+alnx，求证：当﹣1＜a＜0时，g（x）在（1，+∞）上存在极小值．19．（14分）已知椭圆C ：x 2a +y 2b =1(a ＞b ＞0)的离心率等于√22，经过其左焦点F （﹣1，0）且与x 轴不重合的直线l 与椭圆C 交于两点M ，N 两点． （Ⅰ）求椭圆C 的方程；（Ⅱ）O 为坐标原点，在x 轴上是否存在定点Q ，使得点F 到直线QM ，QN 的距离总相等？若存在，求出点Q 的坐标；若不存在，请说明理由．20．（14分）对于无穷数列{a n }，{b n }，若b k ＝max {a 1，a 2，…，a k }﹣min {a 1，a 2，…，a k }，k ＝1，2，3，…，则称{b n }是{a n }的“收缩数列”．其中max {a 1，a 2，…，a k }，min {a 1，a 2，…，a k }分别表示a 1，a 2，…，a k 中的最大数和最小数．已知{a n }为无穷数列，其前n 项和为S n ，数列{b n }是{a n }的“收缩数列”． （1）若a n ＝2n +1，求{b n }的前n 项和； （2）证明：{b n }的“收缩数列”仍是{b n }； （3）若S 1+S 2+⋯+S n =n(n+1)2a 1+n(n−1)2b n （n ＝1，2，3，…）且a 1＝1，a 2＝2，求所有满足该条件的{a n }．2019年北京高考数学零模试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，选出符合题目要求的一项．1．【解答】解：∵集合A ＝{0，a }，B ＝{x |﹣1＜x ＜2}，且A ⊆B ， ∴﹣1＜a ＜2， ∴a 可以是1． 故选：C ．2．【解答】解：“|a →+b →|＝|a →|+|b →|”⇒“a →，b →共线”，反之不成立，例如a →=−b →≠0→． ∴a →，b →是非零向量，则“a →，b →共线”是“|a →+b →|＝|a →|+|b →|”的必要不充分条件． 故选：B ．3．【解答】解：∵角θ以Ox 为始边，终边与单位圆交于点（35，45），∴tan θ=4535=43，∴tan （π+θ）＝tan θ=43． 故选：A ．4．【解答】解：x ，y ∈R ，且x ＞y ＞0，对于A ：当x =2π3，y =π3时，tan 2π3=−√3，tan π3=√3，显然不成立；对于B ：当x ＝π，y =π2时，πsin π＝﹣π，−π2sinπ2=−1，显然不成立；对于C ：lnx +lny ＞0，即ln （xy ）＞ln 1，可得xy ＞0，∵x ＞y ＞0，那么xy 不一定大于0，显然不成立；对于D ：2x ﹣2y ＞0，即2x ＞2y ，根据指数函数的性质可知：x ＞y ，恒成立． 故选：D ．5．【解答】解：由主视图和侧视图可知棱锥的高h ＝2，结合侧视图和俯视图可知三棱锥的底面ABC 为直角三角形，BC ＝1，AB ＝2，AB ⊥BC ， ∴三棱锥的体积V =13×12×1×2×2=23， 故选：A ．6．【解答】解：不等式组{x −2y +2≤0x −y +2≥0x ≥0，表示的可行域如图：显然O 不在可行域内部．Ω的面积不是1；Ω内的点到y 轴的距离没有最大值， 点P （x 0，y 0）∈Ω，则x 0+y 0≠0，正确； 故选：D ．7．【解答】解：由于A 、B 各参加了3局比赛，C 、D 各参加了4局比赛，E 参加了2局比赛，且A 与C 没有比赛过，B 与D 也没有比赛过， 所以与D 赛过的是A 、C 、E 、F 四人； 与C 赛过的是B 、D 、E 、F 四人； 又因为E 只赛了两局，A 与B 各赛了3局， 所以与A 赛过的是D 、B 、F ； 而与B 赛过的是A 、C 、F ； 所以F 共赛了4局． 故选：D ．8．【解答】解：对于A ：由f （﹣x ）＝sin （﹣x ）+x cos （﹣x ）＝﹣f （x ），∴f （x ）是奇函数，A 对；对于B，f（x）＝sin x﹣x cos x，f′（x）＝cos x﹣cos x﹣x sin x＝﹣x sin x，当x＝0时，f（x）＝0，f′（x）＝0，0不是f（x）的极值点．B对．对于C：f（x）＝sin x﹣x cos x，f′（x）＝cos x﹣cos x+x sin x＝x sin x，可得在（−π2，0）上单调递减．（0，π2）上单调递增．f（0）可得最小值，f（0）＝0，所以，f（x）在(−π2，π2)上不是3个零点．C不对；对于D：当x无限大或无线小时，可得f（x）的值域为R，D对．故选：C．二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分．把答案填在答题卡上．9．【解答】解：∵（a+i）（3+4i）＝（3a﹣4）+（3+4a）i的实部与虚部相等，∴3a﹣4＝3+4a，即a＝﹣7．故答案为：﹣7．10．【解答】解：设{a n}是等差数列的公差为d，∵a1＝6，a4+a6＝4，∴2×6+8d＝4，解得d＝﹣1．则S5＝6×5−5×42=20．故答案为：20．11．【解答】解：T r+1=C5r⋅x5−r⋅(−2x)r=(−2)r⋅C5r⋅x5−2r，令5﹣2r＝3得r＝1，所以x3的系数为（﹣2）1•C51＝﹣10．故答案为﹣1012．【解答】解：极坐标A(m，π3)(m＞0)，转化为直角坐标为：A（m2，√3m2），圆圆ρ＝2cosθ，转化为：x2+y2﹣2x＝0，整理得：（x﹣1）2+y2＝1，由于：点A在圆的外部，则：(m2−1)2+(3m2)2＞1，解得：m＞1或m＜0，由于：m＞0，所以：m ＞1． 即：m ∈（1，+∞）． 故答案为：（1，+∞）．13．【解答】解：根据题意，若三个点（﹣2，1），（﹣2，3），（2，﹣1）中 恰有两个点在双曲线C ：x 2a2−y 2=1(a ＞0)上， 又由双曲线的图象关于原点对称， 故（﹣2，1），（2，﹣1）在双曲线上， 则有4a −1=1，解可得a =√2，则双曲线的方程为x 22−y 2＝1，所以渐近线方程为y =±√22x ；故答案为：y =±√22x14．【解答】解：①a =13时，画出函数f （x ）的图象，如图所示： ，若函数g （x ）无零点，则y ＝k 和y ＝f （x ）无交点， 结合图象，﹣1≤k ＜1；②若0＜a ＜1，显然f （x ）无最小值，故a ＞1， 结合log a 3＝1，解得：a ＝3， 故a ∈（1，3]；故答案为：[﹣1，1），（1，3]．三、解答题：本大题共6小题，共80分．解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程．15．【解答】解：（Ⅰ）由正弦定理及2a cos C +c cos A ＝b ． 得2sin A cos C +sin C cos A ＝sin B 在△ABC 中，A +B +C ＝π，∴A +C ＝π﹣B ，即sin （A +C ）＝sin B ．∴2sin A cos C +sin C cos A ＝sin （A +C ）+sin A cos C ＝sin B +sin A cos C ＝sin B ∴sin A cos C ＝0又∵0＜A ＜π，0＜C ＜π， ∴sin A ＞0． ∴cos C ＝0 ∴C =12π（Ⅱ）由（Ⅰ）得C =12π， ∴A +B =12π，即B =12π−A ．∵sin A cos B +sin B ＝cos 2B +sin B ＝﹣sin 2B +sin B +1=−(sinB −12)2+54∵0＜B ＜π2，∴当sin B =12，即B =π6时，sin A cos B +sin B 取得最大值54．16．【解答】解：（1）由图象可知交通得分排名前5名的景点中，安全得分大于90分的景点有3个，∴从交通得分排名前5名的景点中任取1个，其安全得分大于90分的概率为35．（2）结合两图象可知景点总分排名前6名的景点中，安全得分不大于90分的景点有2个，ξ的可能取值为0，1，2．P （ξ＝0）=C 43C 63=15，P （ξ＝1）=C 42⋅C 21C 63=35，P （ξ＝2）=C 41⋅C 22C 63=15，∴ξ的分布列为：ξ 0 1 2 P153515∴E （ξ）＝0×15+1×35+2×15=1．（3）由图象可知26个景点的交通得分全部在80分以上，主要集中在85分附近， 安全得分主要集中在80分附近，且80分以下的景点接近一半，故而x 1＞x 2． 17．【解答】（本小题共14分）证明：（Ⅰ）依题意，P A ⊥平面ABCD ．如图，以A 为原点，分别以AD →、AB →、AP →的方向为x 轴、y 轴、z 轴的正方向建立空间直角坐标系． ……（2分） 依题意，可得A （0，0，0），B （0，4，0），C （4，4，0）， D （4，0，0），P （0，0，4），E （0，4，2），F （2，0，2）． 因为AF →=(2，0，2)，PC →=(4，4，−4)，所以AF →⋅PC →=8+0+(−8)=0． ……（5分） 所以AF ⊥PC ．……（6分） （Ⅱ）取PC 的中点M ，连接EM ．因为M （2，2，2），EM →=(2，−2，0)，BD →=(4，−4，0)， 所以BD →=2EM→，所以BD ∥EM ． ……（8分） 又因为EM ⊂平面PEC ，BD ⊄平面PEC ，所以BD ∥平面PEC ． ……（9分） 解：（Ⅲ）因为AF ⊥PD ，AF ⊥PC ，PD ∩PC ＝P ，所以AF ⊥平面PCD ，故AF →=(2，0，2)为平面PCD 的一个法向量．……（10分） 设平面PCE 的法向量为n →=(x ，y ，z)， 因为PC →=(4，4，−4)，PE →=(0，4，−2)， 所以{n →⋅PC →=0n →⋅PE →=0即{4x +4y −4z =04y −2z =0令y ＝﹣1，得x ＝﹣1，z ＝﹣2，故n →=(−1，−1，−2)． ……（12分） 所以cos ＜AF →，n →＞=−2−0−42√2⋅√6=−√32，……（13分）所以二面角D ﹣PC ﹣E 的大小为5π6． ……（14分）18．【解答】解：（1）由f（x）＝lnx−ax−1得：f′（x）=x+ax2，（x＞0），由已知曲线y＝f（x）存在斜率为﹣1的切线，∴f′（x）＝﹣1存在大于0的实数根，即x2+x+a＝0存在大于0的实数根，∵y＝x2+x+a在x＞0时递增，∴a的范围是（﹣∞，0）；（2）由f′（x）=x+ax2，（x＞0），得：a≥0时，f′（x）＞0，∴f（x）在（0，+∞）递增；a＜0时，若x∈（﹣a，+∞）时，f′（x）＞0，若x∈（0，﹣a），则f′（x）＜0，故f（x）在（﹣a，+∞）递增，在（0，﹣a）递减；（3）由g（x）=x+alnx及题设得：g′（x）=lnx−a x−1(lnx)2=f(x)(lnx)2，由﹣1＜a＜0，得：0＜﹣a＜1，由（2）得：f（x）在（﹣a，+∞）递增，∴f（1）＝﹣a﹣1＜0，取x＝e，显然e＞1，f（e）=−ae＞0，∴存在x0∈（1，e）满足f（x0）＝0，即存在x 0∈（1，e ）满足g ′（x 0）＝0，令g ′（x ）＞0，解得：x ＞x 0，令g ′（x ）＜0，解得：1＜x ＜x 0，故g （x ）在（1，x 0）递减，在（x 0，+∞）递增，∴﹣1＜a ＜0时，g （x ）在（1，+∞）存在极小值．19．【解答】解：（Ⅰ）由题意可得{1a =√22a 2=b 2+1，解得a =√2，b ＝1， ∴椭圆的方程为x 22+y 2＝1，（Ⅱ）当直线MN 的斜率存在时，设直线MN 的方程为y ＝k （x +1），k ≠0， 由{y =k(x +1)x 22+y 2=1，消y 可得（1+2k 2）x 2+4k 2x +2k 2﹣2＝0， 易得△＞0，设M （x 1，y 1），N （x 2，y 2），则x 1+x 2=−4k 21+2k 2，x 1x 2=2k 2−21+2k 2，设Q （t ，0），由点M ．N 在x 轴异侧，则问题等价于OF 平分∠MQN ，且x 1≠t ，x 2≠t ，又等价于k QM +k QN =y 1x 1−t +y2x 2−t =0， 即y 1（x 2﹣t ）+y 1（x 1﹣t ）＝0，将y 1＝k （x 1+1），y 2＝k （x 2+1），代入上式，整理得2x 1x 2+（x 1+x 2）（1﹣t ）﹣2t ＝0 ∴2•2k 2−21+2k +−4k 21+2k （1﹣t ）﹣2t ＝0，即t +2＝0，即t ＝﹣2，∴Q （﹣2，0）当直线MN 的斜率不存在时，点Q （﹣2，0）也能使得点Q 到直线QM ，QN 的距离总相等，故在x 轴上存在定点Q （﹣2，0）使得点Q 到直线QM ，QN 的距离总相等20．【解答】解：（1）由a n ＝2n +1可得{a n }为递增数列，所以b n ＝max {a 1，a 2，…，a n }﹣min {a 1，a 2，…，a n }＝a n ﹣a 1＝2n +1﹣3＝2n ﹣2， 故{b n }的前n 项和为12（2n ﹣2）n ＝n （n ﹣1） （2）因为max {a 1，a 2，…，a n }≤max {a 1，a 2，…，a n +1}，因为min {a 1，a 2，…，a n }≥min {a 1，a 2，…，a n +1}，所以max {a 1，a 2，…，a n +1}﹣min {a 1，a 2，…，a n +1}≥max {a 1，a 2，…，a n }﹣min {a 1，a 2，…，a n }，所以b n +1≥b n ，又因为b n ＝a 1﹣a 1＝0，所以max {b 1，b 2，…，b n }﹣min {b 1，b 2，…，b n }＝b n ﹣b 1＝b n ，所以{b n }的“收缩数列”仍是{b n }，（3）由S 1+S 2+…+S n =12n （n +1）a 1+12n （n ﹣1）b n ，当n ＝1时，a 1＝a 1，当n ＝2时，3a 1+2a 2+a 3＝6a 3+3b 3，即3b 3＝2（a 2﹣a 1）+（a 3﹣a 1），（*）， 若a 1＜a 3＜a 2，则b 3＝a 2﹣a 1，所以由（*）可得a 3＝a 2与a 3＜a 2矛盾， 若a 3＜a 1≤a 2，则b 3＝a 2﹣a 3，所以由（*）可得a 3﹣a 2＝3（a 1﹣a 3），所以a 3﹣a 2与a 1﹣a 3同号，这与a 3＜a 1≤a 2矛盾；若a 3≥a 2，则b 3＝a 3﹣a 2，由（*）可得a 3＝a 2，猜想：满足S 1+S 2+…+S n =12n （n +1）a 1+12n （n ﹣1）b n 的数列{a n }是，a n ={a 1，n =1a 2，n ＞1，a 2≥a 1，经验证：左式＝S 1+S 2+…+S n ＝na 1+[1+2+…+（n ﹣1）]＝na 1+12n （n ﹣1）a 2， 右式=12n （n +1）a 1+12n （n ﹣1）b n =12n （n +1）a n +12n （n ﹣1）（a 2﹣na 1）＝na 1+12n （n ﹣1）a 2下面证明其它数列都不满足（3）的题设条件由上述n ≤3的情况可知，n ≤3，a n ={a 1，n =1a 2，n ＞1，a 2≥a 1是成立的， 假设a k ＝是首次不符合a n ={a 1，n =1a 2，n ＞1，a 2≥a 1的项，则a 1≤a 2＝a 3＝…＝a k ﹣1≠a k 由题设条件可得12（k 2﹣k ﹣2）a 2+a k =12k （k ﹣1）a 1+12k （k ﹣1）b k （*），若a 1＜a k ＜a 2，则由（*）可得a k ＝a 2与a k ＜a 2矛盾，若a k ＜a 1≤a 2，则b k ＝a 2﹣a k ，所以由（*）可得a k ﹣a 2=12k （k ﹣1）（a 1﹣a k ），所以a k﹣a2与a1﹣a k同号，这与a k＜a1≤a2矛盾；所以a k≥a2，则b k＝a k﹣a1，所以由（*）化简可得a k＝a2，这与假设a k≠a2相矛盾，所以不存在数列不满足a n={a1，n=1a2，n＞1，a2≥a1的{a n}符合题设条件。
2019年北京卷语文英语数学理综高考真题及答案(4套齐了)
2019年普通高等学校招生全国统一考试语文（北京卷）本试卷共10页，150分。
考试时长150分钟。
考生务必将答案答在答题卡上，在试卷上作答无效。
考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
一、本大题共7小题，共23分。
阅读下面的材料，完成1—6题。
材料一随着全球人口的不断增长和科学技术的飞速发展，人类在创造文明的同时也缔造了一个深受人类影响的全球生态系统。
长期以来对生物资源及土地的过度利用，导致了动植物栖息地丧失、环境污染等一系列问题的出现，生态环境及生物系统遭受了严重破坏。
据专家估计，由于人类活动和气候变化，地球上的生物种类目前正在以相当于正常水平1000倍速度消失，全球已有约3．4万种植物和5200多种动物濒临灭绝，物种分布发生了大范围的变化，这些形成了全球性的生物多样性危机。
生物多样性危机是多种因素综合作用的结果，城市化是其中重要的因素之一。
城市化是伴随工业化和现代化必然出现，反过来又推进工业化和现代化的一个历史过程；城市化水平是现代文明的重要指标。
但无序蔓延的城市开发使野生动植物的栖息地日益萎缩，一部分动植物不得不和人类共同生活在城市之中。
城市中约60~70%的地表被道路、人エ建筑、停车场等硬化，水不容易渗入，植物的种子难以生根。
全球很多城市的人口密度已达每平方千米数万人，密集的人流对诸多生物而言是潜在的危险；除此之外，还有大量的汽车、摩托车等在飞驰。
高楼大厦林立，热量不断聚集，城市中心的温度有时甚至高出周边10°C之多，这种热岛效应对生物的生存也是一大干扰因素。
生物多样性为人类发展带来了巨大财富，目前它却面临着来自城市化等方面的威胁。
城市化对生物多样性的影响成为生态学研究者关注的焦点问题。
（取材于干靓等的相关文章）1．根据材料一，下列表述不属于生物多样性危机的一项是（3分）A．生物种类以非正常速度消失。
B．大量动植物濒临灭绝。
C．物种分布发生大范围变化。
D．动植物和人类共同生活。
2．根据材料一，下列理解和分析，符合文意的一项是（3分）A．深受人类影响的全球生态系统利于缓解生物多样性危机。
2019年高考真题和模拟题分项汇编数学(理)：专题03 导数及其应用 (含解析).docx
专题03导数及其应用1. [2019年高考全国III 卷理数】已知曲线y = ae x +xlnx 在点(1, ae)处的切线方程为y=2x+b,贝9 A. a = e, b = —1 B. a=e, b=l C. a — e _1, b = lD. a = e"1 > b = -\【答案】D【解析】T y' = ae* + lnx+l,切线的斜率 k = y' |Y=1= ae+1 = 2,a = e _1， 将(1,1)代入 y = 2x + b,得 2 + b = l,b = -l. 故选D.【名师点睛】本题求解的关键是利用导数的几何意义和点在曲线上得到含有a, b 的等式，从而求解，属于常考题 型.了2 O XTTV 2d V* V 12. [2019年高考天津理数】已知tzeR ，设函数/(%)=' _ '若关于X 的不等式/(x)>0在R 上x-alnx, x>l.恒成立，则a 的取值范围为A. [0,1]B. [0,2]C. [0,e]D. [l,e]【答案】C【解析】当兀=1时，/(1) = 1 —2a + 2a = l>0恒成立;当 x<l 时，/(%) = x 2-2ajc + 2a>0^ 2a>^-恒成立,x-1令g(x) =—7x-1(1 —兀―1)2_ (1—兀)2—2(1 —兀)+ 1 1 — X 1 — X当1 —兀=丄，即x = 0时取等号,1-X贝0g(x) = ——1-X2a= 0,则a>0.Y当 x 〉l 时，f(x) = x-a\nx>0,即a< ---------------- 11 成立,lnx当x>e 时,h'(x) >0,函数〃(x)单调递增, 当0<x<e 时，h'(x) <0,函数力(x)单调递减, 则x = e 时，〃(x)取得最小值A(e) = e,•■- a<h(x)nin =e,综上可知，a 的取值范围是［0,e ］. 故选C.【名师点睛】本题考查分段函数的最值问题，分别利用基本不等式和求导的方法研究函数的最值，然后解决恒成 立问题.x,x<03. (2019浙江)已知a,bwR ，函数/(%) = < 1 1 2.若函数f(x)-ax-b 恰有3个零点, —X ——(Q + 1)兀 + ax, X > 0 13 2A. a<-\, b<0 C. tz>—1, Z?<0D. a>—1, Z?>0【答案】C【解析】当 x<0 时，y=f (x) -ax - b=x - ax - b= (1 - a) x - b=0,得 x= 丿丿 l-a则y=f (x) -ax-b 最多有一个零点；当 x>0 时，y=f (兀)-ax - b= -x 3—- (a+1) x^+ax - ax - b= -x 3—- (a+1) x 2 - b, —)J3 2 3 2y = x 2-(€l + l)x,当 a+lwo,即來-1 时，y>0, y=f (x) -ax-b 在［0, +oo)上单调递增， 则y =f -ax-b 最多有一个零点，不合题意；当a+l>0,即°>-1时，令y'>0得兀丘@+1, +oo),此时函数单调递增， 令WVO 得用［0, d+1),此时函数单调递减，则函数最多有2个零点.根据题意，函数y=f (x) -ax-b 恰有3个零点o 函数y=f (x) - ax - b 在(-oo, 0)上有一个零点，在［0, +oo)令〃(x)=—, lnx则 h\x)=lnx-1(In x)2 B. a<-l, b>0上有2个零点,如图：b—b>01-a (a + l)3 - j (a + l)(a + l)2- b<0解得b<0, 1 - a>0, b> -- (a+1) 3,6则a>-l, b<0.故选C・【名师点睛】本题考查函数与方程，导数的应用.当兀V0时，y=f (x) -ax - b=x - ax - b= (l-°) x~ b最多有一个零点；当空0时，y=/(x) -ax-b=^-\ (a+1) - b,利用导数研究函数的单调性，根据单调性画出函数的草图，从而结合题意可列不等式组求解.4.[2019年高考全国I卷理数】曲线y = 3(x2+x)e x在点(0,0)处的切线方程为_________________ .【答案】3x-y-0【解析】y = 3(2x+l)e A + 3(x2 + x)e r = 3(x2 +3x+l)e r,所以切线的斜率k = y' |x=0=3,则曲线y = 3(x2 + x)^在点(0,0)处的切线方程为y = 3x,即3x — y = 0 .【名师点睛】准确求导数是进一步计算的基础，本题易因为导数的运算法则掌握不熟，而导致计算错误•求导要“慢”, 计算要准，是解答此类问题的基本要求._ 45.[2019年高考江苏】在平面直角坐标系xOy中，P是曲线y = x + —(无>0)上的一个动点，则点P到直线x+ y = 0的距离的最小值是一▲•【答案】44 4【解析】由y = x （x〉0）,得丁' = 1 ——,X X4 4设斜率为一1的直线与曲线_y = x + -（x>0）切于（x0,x0+—）,x 勺由1一一 =一1得x0 = A/2（x0=-A/2舍去），x o曲线y = x + -（x>o）±,点P（V2,3A/2）到直线x+y = o的距离最小，最小值为故答案为4 .【名师点睛】本题考查曲线上任意一点到己知直线的最小距离，渗透了直观想象和数学运算素养.采取导数法，利用数形结合和转化与化归思想解题.6.[2019年高考江苏】在平面直角坐标系中，点A在曲线y=lnr上，且该曲线在点A处的切线经过点（-e, -l）（e 为自然对数的底数），则点A的坐标是▲.【答案】（e, 1）【解析】设出切点坐标，得到切线方程，然后求解方程得到横坐标的值，可得切点坐标.设点A（x0,y0）,则y Q =lnx0.又# =丄，X则曲线y = InX在点A处的切线为y - ％=丄（X —勺），即yin”。
2019年北京市高考理科数学试卷及答案
绝密★启封并使用完毕前2017年普通高等学校招生全国统一考试数学（理）（北京卷）本试卷共5页，150分。
考试时长120分钟。
考生务必将答案答在答题卡上，在试卷上作答无效。
考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
第一部分（选择题共40分）一、选择题共8小题，每小题5分，共40分。
在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项。
（1）若集合A={x|–2x1}，B={x|x–1或x3}，则AB=（A）{x|–2x–1} （B）{x|–2x3}（C）{x|–1x1} （D）{x|1x3}（2）若复数（1–i）(a+i)在复平面内对应的点在第二象限，则实数a的取值范围是（A）(–∞，1)（B）(–∞，–1)（C）(1，+∞)（D）(–1，+∞)（3）执行如图所示的程序框图，输出的s值为（A）2（B）3 2（C ）53（D ）85（4）若x ，y 满足，则x + 2y 的最大值为（A ）1 （B ）3 （C ）5 （D ）9（5）已知函数1(x)33xx f ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，则(x)f（A ）是奇函数，且在R 上是增函数 （B ）是偶函数，且在R 上是增函数 （C ）是奇函数，且在R 上是减函数（D ）是偶函数，且在R 上是减函数（6）设m,n 为非零向量，则“存在负数λ，使得m n λ=”是“m n 0⋅＜”的 （A ）充分而不必要条件 （B ）必要而不充分条件 （C ）充分必要条件（D ）既不充分也不必要条件（7）某四棱锥的三视图如图所示，则该四棱锥的最长棱的长度为（A ）32 （B ）23 （C ）22 （D ）2（8）根据有关资料，围棋状态空间复杂度的上限M 约为，而可观测宇宙中普通物质的原子总数N 约为.则下列各数中与MN最接近的是 （参考数据：lg3≈）（A ）1033 （B ）1053 （C ）1073 （D ）1093第二部分（非选择题 共110分）二、填空题共6小题，每小题5分，共30分。
2019年北京高考数学试卷
2019年北京高考数学试卷第一部分（选择题共40分）一、选择题共8小题，每小题5分，共40分。
在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项。
(1)（A （B （C ）3（D ）5（2）执行如图所示的程序框图，输出的s 值为（A ）1（B ）2（C ）3（D ）4（3）已知直线l 的参数方程为x =1+3t y =2+4tìíî（t 为参数），则点（1，0）到直线l 的距离是（A ）15（B ）25（C ）45（D ）65（4）已知椭圆2x 2a +2y 2b=1（a>b>0）的离心率为12，则（A ）a 2=2b 2.（B ）3a 2=4b 2.（C ）a=2b （D ）3a=4b （5）若x ,y 满足的最大值为（A ）-7（B ）1（C ）5（D ）7（6）在天文学中，天体的明暗程度可以用星等或亮度来描述。
两颗星的星等与亮度满足m 2-m 1=52lg E 1E 2，其中星等为m k 的星的亮度为E k （k =1,2）。
已知太阳的星等为-26.7，天狼星的星等为-1.45，则太阳与天狼星的亮度的比值为（A）1010.1（B）10.1（C）lg10.1（D）10-10.1（7）设点A,B,C不共线，则”是的（A）充分而不必要条件（B）必要而不充分条件（C）充分必要条件（D）既不充分也不必要条件（8）数学中有许多形状优美、寓意美好的曲线，曲线C:x2+y2=1+x y就是其中之一（如图）。
给出下列三个结论：①曲线C恰好经过6个整点（即横、纵坐标均为整数的点）；②曲线C上任意一点到原点的距离都不超过2;③曲线C所围城的“心形”区域的面积小于3.其中，所有正确结论的序号是（A）①（B）②（C）①②（D）①②③第二部分(非选择题共10分)二、填空题共6小题,每小题5分，共30分。
(9)函数f(x)=sin22x的最小正周期是________。
(10)设等差数列{a n}的前n项和为S n，若a2=-3，S5=-10,则a3=________.S n的最小值为_______。
2019年高考最后压轴卷(北京卷)理科数学(附解析)
2019年高考最后压轴卷（北京卷）理科数学（附解析）一、选择题共8小题，每小题5分，共40分。
在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项。
1. 已知，则的值为（） A. B. C. D. 2．下列函数中，值域为R 的偶函数是（ ）A ．y=x 2+1 B ．y=e x﹣e ﹣xC ．y=lg|x|D ．3．若变量满足约束条件,则的最大值为（ ）A ．B ．C ．D ．4. 某程序框图如图所示，执行该程序，若输入的值为1，则输出的值为（）A. B. C. D.5.某四棱锥的三视图如图所示，则该四棱锥的侧面积是（）A ．27B ．30C ．32D ．36(1i)i 1i(b b +=-+∈R)b 11-i i -2x y =0234a a 输出输入开始结束是12356. “”是直线与直线平行的（） A.充分而不必要条件 B.必要而不充分条件 C.充分必要条件 D.既不充分也不必要条件7.已知点及抛物线上一动点，则的最小值是（）A ．B ．1C ．2D ． 3 8.设函数的定义域，如果存在正实数，使得对任意，都有，则称为上的“型增函数”，已知函数是定义在上的奇函数，且当时，（）．若为上的“20型增函数”，则实数的取值范围是（）A ．B ．C ．D ．二、填空题（本大题共6个小题，每小题5分，满分30分.把答案填在题中的横线上．）9.函数的最小正周期是 ，最小值是 ． 10．已知x >0,y >0，且，若x +y ≥m 2+m +3恒成立，则实数m的取值4ab =210x ay +-=220bx y +-=(,)P x y ||y PQ +12()f x D m x D ∈()()f x m f x +>()f x D m ()f x R 0x >()f x x a a =--a R ∈()f x R a 0a >5a <10a <20a <2sin(2)16y x π=++114=+yx范围是__________．11. 如果平面直角坐标系中的两点，关于直线对称，那么直线的方程为 ．12.的二项展开式中项的系数为_________．（用数字作答）13.若，，，，则，，有小到大排列为 ．14.数列满足：，给出下述命题：①若数列满足：，则成立；②存在常数，使得成立；③若，则；④存在常数，使得都成立．上述命题正确的是____．(写出所有正确结论的序号)三、解答题：本大题共6小题，共80分．解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程．15.（本小题满分13分）在中，已知， （Ⅰ）求的长；（Ⅱ）求边上的中线的长.(1,1)A a a -+(,)B a a l l 51⎪⎭⎫ ⎝⎛-x x x 01a b <<<b x a =a y b =log b z a =x y z {}n a *112(1,)n n n a a a n n N -++>>∈{}n a 21a a >*1(1,)n n a a n n N ->>∈c *()n a c n N >∈*(,,,)p q m n p q m n N +>+∈其中p q m n a a a a +>+d *1(1)()n a a n d n N >+-∈ABC △312,cos 413A C π==13.BC =AB BC AD16.（本小题满分13分）自由购是通过自助结算方式购物的一种形式．某大型超市为调查顾客使用自由购的情况，随机抽取了100人，统计结果整理如下：（2）从被抽取的年龄在使用自由购的顾客中，随机抽取3人进一步了解情况，用X 表示这3人中年龄在的人数，求随机变量X 的分布列及数学期望； （3）为鼓励顾客使用自由购，该超市拟对使用自由购的顾客赠送1个环保购物袋．若某日该超市预计有5000人购物，试估计该超市当天至少应准备多少个环保购物袋．)30,50[]50,70[)50,6017．（本小题满分13分）如图，在四棱锥P ﹣ABCD 中，底面ABCD 是平行四边形，∠BCD=135°，侧面PAB ⊥底面ABCD ，∠BAP=90°，AB=AC=PA=2，E ，F 分别为BC ，AD 的中点，点M 在线段PD 上．（Ⅰ）求证：EF ⊥平面PAC ；（Ⅱ）若M 为PD 的中点，求证：ME ∥平面PAB ；（Ⅲ）如果直线ME 与平面PBC 所成的角和直线ME 与平面ABCD 所成的角相等，求的值．18. （本小题满分14分）已知函数. （Ⅰ）当时，求函数的极小值； （Ⅱ）当时，讨论的单调性；（Ⅲ）若函数在区间上有且只有一个零点，求的取值范围.2()e (1)(0)2xmf x x x m =-+≥0m =()f x 0m >()f x ()f x (),1-∞m19.（本小题满分14分）已知圆的切线与椭圆相交于，两点． （1）求椭圆的离心率； （2）求证：； （3）求面积的最大值.20.（本小题共13分）已知曲线的方程为：.（1）分别求出时，曲线所围成的图形的面积;（2）若表示曲线所围成的图形的面积，求证：关于是递增的;（3）若方程，，没有正整数解，求证：曲线上任一点对应的坐标，不能全是有理数.:O 221x y +=l :C 2234x y +=A B C OA OB ⊥OAB ∆n C *1()n nx y n N +=∈1,2n n ==n C ()n S n N *∈n C ()n S n N *∈n (2,)nnnx y z n n N +=>∈0xyz ≠(2,)n C n n N *>∈(,)x y ,x y答案1.【 答案】A【 解析】试题分析：因为（1+bi ）i=i+bi2=-b+i=-1+i ，所以，． 2．【 答案】C【 解析】试题分析：y=x2+1是偶函数，值域为：[1，+∞）．y=ex ﹣e ﹣x 是奇函数．y=lg|x|是偶函数，值域为：R ．的值域：[0，+∞）．故选：C 3．【 答案】D【 解析】作出约束条件表示的可行域，如图内部（含边界），作直线，是直线的纵截距，向上平移直线，增大，当直线过点时，为最大值．故选D ．4.【 答案】C1b -=-1b =2x y =ABC ∆:20l x y +=z 2x y z +=l z l (2,0)B 24z x y =+=【 解析】由题知：a=1，i=1，a=2-1=1，i=2，否；a=3，i=3，否；a=6-3=3，i=4，是，则输出的a 为3． 5.【 答案】A.【 解析】四棱锥的底面是边长为3的正方形，侧面是两个直角边长为3，4的直角三角形，两个直角边长为3，5的直角三角形，∴该四棱锥的侧面积是，故选A.6．【 答案】B【 解析】时，直线与直线不平行，所以直线与直线平行的充要条件是，即且，所以“”是直线与直线平行的必要不充分条件．故选B ．7.【 答案】C.【 解析】由抛物线的定义知：，∴，∴，即当，，三点共线时，值最小，故选C.8.【 答案】B.272532124321=⨯⨯⨯+⨯⨯⨯0=a 012=-+ay x 022=-+y bx 012=-+ay x 022=-+y bx 1222--≠=a b 4=ab )4(1≠≠b a 4=ab 012=-+ay x 022=-+y bx (0,1)F ||1PF y =+||||1||||11312y PQ PF PQ FQ +=-+≥-==-=P Q F【 解析】若：当时，，又∵是定义在上的奇函数，∴，符合题意；若：当时，，又∵是定义在上的奇函数，∴大致的函数图象如下图所示，根据题意可知对于任意恒成立，∴问题等价于将的图象向左平移20个单位后得到的新的函数图象恒在图象上方，根据图象可知，即，综上实数的取值范围是，故选B.9.【 答案】.【 解析】，最小值是，故填：. 10．【 答案】【 解析】∵x >0，y >0，(x +y)min ≥m 2+m +3恒成立，且4x +1y =1， x +y =(x +y)(4x +1y )=5+4y x+x y≥5+2√4y x×xy=9因为(x +y)min ≥m 2+m +3恒成立，∴m 2+m +3≤9 ∴−3≤m ≤2．11.【 答案】【 解析】直线斜率为，所以斜率为1，设直线方程为， 由已知直线过点，所以，即所以直线方程为12.【 答案】0a ≤0x >()||||f x x a a x x =--==()f x R ()f x x =0a >0x >, 0()||2, x x a f x x a a x a x a -<<⎧=--=⎨-≥⎩()f x R ()f x (20)()f x f x +>x R ∈()f x (20)f x +()f x 420a <05a <<a (,5)-∞1-，πππωπ===222T 211-+=-1-，π[]2,3-01=+-y x AB 111-=---+aa aa lb x y +=),1(a a -b a a +-=11=b 01=+-y x 5-【 解析】展开式通项为，令，，所以项的系数为．13.【 答案】【 解析】取特殊值，令，，则，，，则，即 14.【 答案】①④.【 解析】试题分析：对①；因为，所以，由已知，所以，即，正确对②；假设存在在常数，使得，则有，所以应有最大值，错，对③，因为，，所以假设 ，则应有，即原数列应为递增数列，错，对④，不妨设，，则，若存在常数，使得，应有，显然成立，正确，所以正确命题的序号为①④．53521551()(1)rrrr r rr T C C x x --+=-=-5312r -=1r =x 115(1)5C -=-x y z <<14a =12b =121142b x a ⎛⎫=== ⎪⎝⎭141122a y b ⎛⎫==> ⎪⎝⎭121log log 24b z a ===1411222⎛⎫<< ⎪⎝⎭x y z <<21a a >210a a ->11n n n n a a a a +-->-11210n n n n a a a a a a +-->->⋅⋅⋅>->1n n a a ->c n a c>12n n n a a c a ++<<11n n a a -++p q m n +>+22p q m n++>p q m na a a a +>+22p q m na a ++>11a =1n n a a n+-=(1)12n n n a -=+d 1(1)n a a n d>+-112n a a nd n -<=-15. （本小题满分13分）解：（Ⅰ）由，，所以.由正弦定理得，，即……… 6分（Ⅱ）在中，. 由余弦定理得，,所以. 所以. 【答案】（1）；（2）详见解析；（3）2200．【解析】（1）在随机抽取的100名顾客中，年龄在且未使用自由购的共有人，所以随机抽取1名顾客，估计该顾客年龄在且未使用自由购的概率为． （2）所有的可能取值为1，2，3，；；． 12cos 13C =02C π<<5sin 13C =sin sin AB BC C A=5sin=13sin CAB BC A =⋅=ABD△3cos cos()cos 42226B C C C π=π--=+=222+2cos AD AB BD AB BD B =-⋅2AD 21691329+242264=-⨯⨯=2AD =17100[)30,5031417+=[)30,5017100P =X ()124236C C 115C P X ===()214236C C 325C P X ===()304236C C 135C P X ===所以的分布列为所以的数学期望为．（3）在随机抽取的100名顾客中，使用自由购的共有人， 所以该超市当天至少应准备环保购物袋的个数估计为． 17．【答案】（Ⅰ）见解析；（Ⅱ）见解析；（Ⅲ）【解析】试题分析：（Ⅰ）证明AB⊥AC ．EF⊥AC ．推出PA⊥底面ABCD ，即可说明PA⊥EF ， 然后证明EF⊥平面PAC ．（Ⅱ）证明MF∥PA ，然后证明MF∥平面PAB ，EF∥平面PAB ．即可证明平面MEF∥平面PAB ，从而证明ME∥平面PAB ．（Ⅲ）以AB ，AC ，AP 分别为x 轴、y 轴和z 轴，如上图建立空间直角坐标系，求出相关点的坐标，平面ABCD 的法向量，平面PBC 的法向量，利用直线ME 与平面PBC 所成的角和此直线与平面ABCD 所成的角相等，列出方程求解即可试题解析：（Ⅰ）证明：在平行四边形ABCD 中，因为AB=AC ，∠BCD=135°，∠ABC=45°． 所以AB⊥AC ．X X 1232555EX =⨯+⨯+⨯=3121764244+++++=4450002200100⨯=由E ，F 分别为BC ，AD 的中点，得EF∥AB ， 所以EF⊥AC ．因为侧面PAB⊥底面ABCD ，且∠BAP=90°， 所以PA⊥底面ABCD ．又因为EF ⊂底面ABCD ，所以PA⊥EF ．又因为PA∩AC=A ，PA ⊂平面PAC ，AC ⊂平面PAC ， 所以EF⊥平面PAC ．（Ⅱ）证明：因为M 为PD 的中点，F 分别为AD 的中点， 所以MF∥PA ，又因为MF ⊄平面PAB ，PA ⊂平面PAB ， 所以MF∥平面PAB ．同理，得EF∥平面PAB ． 又因为MF∩EF=F ，MF ⊂平面MEF ，EF ⊂平面MEF ， 所以平面MEF∥平面PAB ．又因为ME ⊂平面MEF ， 所以ME∥平面PAB ．（Ⅲ）解：因为PA⊥底面ABCD ，AB⊥AC ，所以AP ，AB ，AC 两两垂直，故以AB ，AC ，AP分别为x 轴、y 轴和z 轴，如上图建立空间直角坐标系，则A （0，0，0），B （2，0，0），C （0，2，0），P （0，0，2），D （﹣2，2， 0），E （1，1，0），所以，，，(2,0,2)PB =-(2,2,2)PD =--(2,2,0)BC =-设，则，所以M （﹣2λ，2λ，2﹣2λ），， 易得平面ABCD 的法向量=（0，0，1）． 设平面PBC 的法向量为=（x ，y ，z ），由，，得令x=1，得=（1，1，1）．因为直线ME 与平面PBC 所成的角和此直线与平面ABCD 所成的角相等，所以，即，所以，解得，或（舍）．18.（本小题满分14分）([0,1])PMPD λλ=∈(2,2,2)PM λλλ=--(12,12,22)ME λλλ=+--m n 0n BC ⋅=0n PB ⋅=220220x y x z -+=⎧⎨-=⎩n cos ,cos ,ME m ME n <>=<>ME mME n ME mME n⋅⋅=⋅⋅22λ-=λ=λ=解：(Ⅰ)当时：，令解得， 又因为当，，函数为减函数； 当，，函数为增函数.所以，的极小值为.（Ⅱ）.当时，由，得或.(ⅰ)若，则.故在上单调递增；（ⅱ）若，则.故当时，； 当时，.所以在，单调递增，在单调递减.(ⅲ)若，则.故当时，； 当时，.所以在，单调递增，在单调递减.（Ⅲ）(1)当时，，令，得.因为当时，，当时，，所以此时在区间上只有一个零点.0m =()(1)e x f x x '=+()0f x '=1x =-(),1x ∈-∞-()0f x '<()f x ()1,x ∈-+∞()0f x '>()f x ()f x 1(1)ef -=-()(1)(e )x f x x m '=+-0m >()0f x '=1x =-ln x m =1em =1()(1)(e )0e xf x x '=+-≥()f x (),-∞+∞1em >ln 1m >-()0f x '>1ln x x m <->或()0f x '<1ln x m -<<()f x (),1-∞-()ln ,m +∞()1,ln m -10em <<ln 1m <-()0f x '>ln 1x m x <>-或()0f x '<ln 1m x <<-()f x (),ln m -∞()1,-+∞()ln ,1m -0m =()e xf x x =()0f x =0x =0x <()0f x <0x >()0f x >()f x (),1-∞(2)当时：（ⅰ）当时，由（Ⅱ）可知在上单调递增，且，，此时在区间上有且只有一个零点. （ⅱ）当时，由（Ⅱ）的单调性结合，又， 只需讨论的符号：当时，，在区间上有且只有一个零点； 当时，，函数在区间上无零点. (ⅲ)当时，由（Ⅱ）的单调性结合，，，此时在区间上有且只有一个零点. 综上所述，. 19.（本小题满分14分）【答案】（1）；（2）详见解析；（3）.【解析】试题分析：（1）根据题意以及椭圆中，，满足的关系式即可求解；（2）联立直线方程与椭圆方程，利用韦达定理和平面向量数量积的坐标表示即可得证；（3）建立的函数关系式，将问题转化为求函数最值.0m >1em =()f x (),-∞+∞1(1)0e f -=-<2(1)e 0ef =->()f x (),1-∞1em >(1)0f -<(ln )(1)0f m f <-<(1)e 2f m =-1ee 2m <<(1)0f >()f x ()1-∞，e2m ≥(1)0f ≤()f x ()1-∞，10em <<(1)0f -<(1)e 20f m =->2(ln )ln 022m mf m m =--<()f x (),1-∞e02m ≤<3a b c OABS ∆试题解析：（1）由题意可知，，∴，∴，∴椭圆的离心率为；（2）若切线的斜率不存在，则，在中令得，不妨设，，则，∴，同理，当时，也有，若切线的斜率存在，设，即，由，得．显然，设，,则，，∴，∴，24a =243b =22283c a b =-=c e a ==C 3l :1l x =±223144x y +=1x =1y =±(1,1)A (1,1)B -110OA OB ⋅=-=OA OB ⊥:1l x =-OA OB ⊥l :l y kx m =+1=221k m +=2234y kx mx y =+⎧⎨+=⎩222(31)6340k x kmx m +++-=0∆>11(,)A x y 22(,)B x y 122631kmx x k +=-+21223431m x x k -=+2212121212()()()y y kx m kx m k x x km x x m =++=+++1212OA OB x x y y ⋅=+221212(1)()k x x km x x m =++++22222346(1)3131m kmk km m k k -=+-+++2222222(1)(34)6(31)31k m k m k m k +--++=+22244431m k k --=+2224(1)44031k k k +--==+∴，综上所述，总有成立；（3）∵直线与圆相切，则圆半径即为的高，当的斜率不存在时，由（2）可知，则，当的斜率存在时，由（2）可知，∴（当且仅当时，等号成立），∴，此时，综上所述，当且仅当时，面积的最大值为．20.（本小题共13分）【答案】（1）；（2）详见解析；（3）详见解析．OA OB⊥OA OB⊥AB OO OAB∆l2AB=1OABS∆=lAB==231k=+231k=+==2242222242424(1)(91)4(9101)44(1)(31)961961k k k k kABk k k k k++++===++++++24222164164164419613396kk k kk=+⋅=+≤+=++++3k=±3AB≤max(S)3OAB∆=3k=±OAB∆3π【解析】试题分析：（1）画出对应的取值的图形，根据图形即可求解；（2）由于曲线具有对称性，只需证明曲线在第一象限的部分与坐标轴所围成的面积递增，再根据式子推导；（3）根据条件中给出的结论利用反证法推导．试题解析：（1）当时，由图可知，；（2）要证是关于递增的，只需证明：，由于曲线具有对称性，只需证明曲线在第一象限的部分与坐标轴所围成的面积递增，现在考虑曲线与，因为（1） 因为，在(1)和(2)中令，，当，存在，使得，成立，此时必有，因为当时，所以，两边同时开次方有，.（指数函数单调性）这就得到了，从而是关于递增的；（3）由于可等价转化为，反证：若曲线上存在一点对应的坐标，，全是有理数，不妨设，，，且互质，互质，则由n nC nC 1,2n =1141122C =⨯⨯⨯=2C π=(*)n S n N ∈n *1()n n S S n N +<∈n C nC nC 1n C +*||||1()n n x y n N +=∈11*||||1()n n x y n N +++=∈0x x =0(0,1)x ∈0(0,1)x ∈1y 2(0,1)y ∈011nn x y +=11011n n x y +++=21y y >0(0,1)x ∈100n n x x +>121n ny y +>n 1221n ny y y +>>21y y >*()n S n N ∈n (2,)n n n x y z n n N +=>∈()()1n n x yz z +=*(2,)n C n n N >∈(,)x y x y q x p =ty s =*,,,p q s t N ∈,p q ,s t可得，，即，这时，，就是的一组解，这与方程，，没有正整数解矛盾， 所以曲线上任一点对应的坐标，不能全是有理数.||||1n n x y +=||||1n n q tp s +=||||||n n nqs pt ps +=qs pt ps (2,)n n n x y z n n N +=>∈(2,)n n nx y z n n N +=>∈0xyz ≠*(2,)n C n n N >∈(,)x y ,x y。
2019年北京市高考数学试卷(理科)(2021年整理)
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2019年北京市高考数学试卷（理科）一、选择题 共8小题,每小题5分，共40分。
在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项。
1．已知复数2z i =+，则(z z= )A ．3B ．5C ．3D ．5 2．执行如图所示的程序框图，输出的s 值为( )A ．1B ．2C ．3D ．43．已知直线l 的参数方程为13,(24x t t y t=+⎧⎨=+⎩为参数），则点(1,0)到直线l 的距离是( )A ．15B ．25C ．45D ．654．已知椭圆22221(0)x y a b a b +=>>的离心率为12，则( )A ．222a b =B ．2234a b =C ．2a b =D ．34a b = 5．若x ,y 满足||1x y -，且1y -，则3x y +的最大值为( )A ．7-B ．1C ．5D ．76．在天文学中,天体的明暗程度可以用星等或亮度来描述．两颗星的星等与亮度满足121252Em m lg E -=，其中星等为k m 的星的亮度为(1,2)k E k =．已知太阳的星等是26.7-，天狼星的星等是 1.45-,则太阳与天狼星的亮度的比值为( )A ．10.110B ．10.1C ．10.1lgD ．10.110-7．设点A ，B ，C 不共线，则“AB 与AC 的夹角为锐角”是“||||AB AC BC +>”的( )A ．充分而不必要条件B ．必要而不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件8．数学中有许多形状优美、寓意美好的曲线，曲线22:1||C x y x y +=+就是其中之一（如图）．给出下列三个结论：①曲线C 恰好经过6个整点(即横、纵坐标均为整数的点); ②曲线C 2； ③曲线C 所围成的“心形”区域的面积小于3． 其中,所有正确结论的序号是( )A ．①B ．②C ．①②D ．①②③ 二、填空题 共6小题，每小题5分，共30分。
2019高考理科数学真题12 数列(解析版)
专题12 数列1．【2019年高考全国I 卷理数】记n S 为等差数列{}n a 的前n 项和．已知4505S a ==，，则 A ．25n a n =-B ．310n a n =-C ．228n S n n =-D ．2122n S n n =- 【答案】A【解析】由题知，41514430245d S a a a d ⎧=+⨯⨯=⎪⎨⎪=+=⎩，解得132a d =-⎧⎨=⎩，∴25n a n =-，24n S n n =-,故选A ． 【名师点睛】本题主要考查等差数列通项公式与前n 项和公式，渗透方程思想与数学计算等素养．利用等差数列通项公式与前n 项公式即可列出关于首项与公差的方程，解出首项与公差，再适当计算即可做了判断．2．【2019年高考全国III 卷理数】已知各项均为正数的等比数列{}n a 的前4项和为15，且53134a a a =+，则3a = A ．16 B ．8C ．4D ．2【答案】C【解析】设正数的等比数列{a n }的公比为q ，则231111421111534a a q a q a q a q a q a ⎧+++=⎨=+⎩， 解得11,2a q =⎧⎨=⎩，2314a a q ∴==，故选C ．【名师点睛】本题利用方程思想求解数列的基本量，熟练应用公式是解题的关键.3．【2019年高考浙江卷】设a ，b ∈R ，数列{a n }满足a 1=a ，a n +1=a n 2+b ，n *∈N ，则A ． 当101,102b a => B ． 当101,104b a => C ． 当102,10b a =-> D ． 当104,10b a =->【答案】A【解析】①当b =0时，取a =0，则0,n a n *=∈N .故B 项不正确. 故本题正确答案为A.【名师点睛】遇到此类问题，不少考生会一筹莫展.利用函数方程思想，通过研究函数的不动点，进一步讨论a 的可能取值，利用“排除法”求解.4．【2018年高考全国I 卷理数】设n S 为等差数列{}n a 的前n 项和，若3243S S S =+，12a =，则5a = A ．12- B ．10- C ．10D ．12【答案】B【解析】设等差数列的公差为d ，根据题中的条件可得3243332224222d d d ⨯⨯⎛⎫⨯+⋅=⨯++⨯+⋅ ⎪⎝⎭， 整理解得3d =-，所以51421210a a d =+=-=-，故选B ．【名师点睛】该题考查的是有关等差数列的求和公式和通项公式的应用，在解题的过程中，需要利用题中的条件，结合等差数列的求和公式，得到公差d 的值，之后利用等差数列的通项公式得到5a 与1a d ,的关系，从而求得结果.5．【2018年高考浙江卷】已知1234,,,a a a a 成等比数列，且1234123ln()a a a a a a a +++=++．若11a >，则 A ．1324,a a a a << B ．1324,a a a a >< C ．1324,a a a a <>D ．1324,a a a a >>【答案】B【解析】令()ln 1,f x x x =--则()11f x x'=-，令()0,f x '=得1x =，所以当1x >时，()0f x '>，当01x <<时，()0f x '<，因此()()10,ln 1f x f x x ≥=∴≥+.若公比0q >，则()1234123123ln a a a a a a a a a a +++>++>++，不合题意； 若公比1q ≤-，则()()212341110,a a a a a q q +++=++≤但()()212311ln ln 1ln 0a a a a q q a ⎡⎤++=++>>⎣⎦，即()12341230l n a a a a a a a +++≤<++，不合题意；因此()210,0,1q q -<<∈，22113224,0a a q a a a q a ∴>=<=<，故选B.【名师点睛】构造函数对不等式进行放缩，进而限制参数取值范围，是一个有效方法.如()2ln 1,e 1,e 10.x x x x x x x ≥+≥+≥+≥6．【2017年高考全国I 卷理数】记n S 为等差数列{}n a 的前n 项和．若4524a a +=，648S =，则{}n a 的公差为 A ．1 B ．2 C ．4D ．8【答案】C【解析】设公差为d ，45111342724a a a d a d a d +=+++=+=，611656615482S a d a d ⨯=+=+=，联立112724,61548a d a d +=⎧⎨+=⎩解得4d =，故选C ． 【秒杀解】因为166346()3()482a a S a a +==+=，即3416a a +=， 则4534()()24168a a a a +-+=-=，即5328a a d -==，解得4d =，故选C ．【名师点睛】求解等差数列基本量问题时，要多多使用等差数列的性质，如{}n a 为等差数列，若m n p q +=+，则m n p q a a a a +=+.7．【2017年高考全国I 卷理数】几位大学生响应国家的创业号召，开发了一款应用软件.为激发大家学习数学的兴趣，他们推出了“解数学题获取软件激活码”的活动.这款软件的激活码为下面数学问题的答案：已知数列1，1，2，1，2，4，1，2，4，8，1，2，4，8，16，…，其中第一项是20，接下来的两项是20，21，再接下来的三项是20，21，22，依此类推.求满足如下条件的最小整数N ：N >100且该数列的前N 项和为2的整数幂.那么该款软件的激活码是 A ．440 B ．330C ．220D ．110【答案】A【解析】由题意得，数列如下：11,1,2,1,2,4,1,2,4,,2k-则该数列的前(1)122k k k ++++=项和为11(1)1(12)(122)222k k k k S k -++⎛⎫=+++++++=-- ⎪⎝⎭，要使(1)1002k k +>，有14k ≥，此时122k k ++<，所以2k +是第1k +组等比数列1,2,,2k 的部分和，设1212221t t k -+=+++=-，所以2314t k =-≥，则5t ≥，此时52329k =-=， 所以对应满足条件的最小整数293054402N ⨯=+=，故选A. 【名师点睛】本题非常巧妙地将实际问题和数列融合在一起，首先需要读懂题目所表达的具体含义，以及观察所给定数列的特征，进而判断出该数列的通项和求和.另外，本题的难点在于数列里面套数列，第一个数列的和又作为下一个数列的通项，而且最后几项并不能放在一个数列中，需要进行判断. 8．【2017年高考全国II 卷理数】我国古代数学名著《算法统宗》中有如下问题：“远望巍巍塔七层，红光点点倍加增，共灯三百八十一，请问尖头几盏灯？”意思是：一座7层塔共挂了381盏灯，且相邻两层中的下一层灯数是上一层灯数的2倍，则塔的顶层共有灯 A ．1盏 B ．3盏 C ．5盏D ．9盏【答案】B【解析】设塔的顶层共有灯x 盏，则各层的灯数构成一个首项为x ，公比为2的等比数列，结合等比数列的求和公式有7(12)38112x -=-，解得3x =，即塔的顶层共有灯3盏，故选B ． 【名师点睛】用数列知识解相关的实际问题，关键是列出相关信息，合理建立数学模型——数列模型，判断是等差数列还是等比数列模型；求解时要明确目标，即搞清是求和、求通项、还是解递推关系问题，所求结论对应的是解方程问题、解不等式问题、还是最值问题，然后将经过数学推理与计算得出的结果放回到实际问题中，进行检验，最终得出结论．9．【2017年高考全国III 卷理数】等差数列{}n a 的首项为1，公差不为0．若a 2，a 3，a 6成等比数列，则{}n a 前6项的和为 A ．24-B ．3-C ．3D ．8【答案】A【解析】设等差数列{}n a 的公差为d ，由a 2，a 3，a 6成等比数列可得2326a a a =，即()()()212115d d d +=++，整理可得220d d +=，又公差不为0，则2d =-，故{}n a 前6项的和为()()()6166166166122422S a d ⨯-⨯-=+=⨯+⨯-=-.故选A ． 【名师点睛】（1）等差数列的通项公式及前n 项和公式共涉及五个量a 1，a n ，d ，n ，S n ，知其中三个就能求另外两个，体现了用方程的思想解决问题.（2）数列的通项公式和前n 项和公式在解题中起到变量代换作用，而a 1和d 是等差数列的两个基本量，用它们表示已知和未知是常用方法.10．【2017年高考浙江卷】已知等差数列{a n }的公差为d ，前n 项和为S n ，则“d >0”是“S 4 + S 6>2S 5”的 A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件【答案】C【解析】由46511210212(510)S S S a d a d d +-=+-+=，可知当0d >时，有46520S S S +->，即4652S S S +>，反之，若4652S S S +>，则0d >，所以“d >0”是“S 4 + S 6>2S 5”的充要条件，选C ．【名师点睛】本题考查等差数列的前n 项和公式，通过套入公式与简单运算，可知4652S S S d +-=， 结合充分必要性的判断，若p q ⇒，则p 是q 的充分条件，若p q ⇐，则p 是q 的必要条件，该题“0d >”⇔“46520S S S +->”，故互为充要条件．11．【2019年高考全国I 卷理数】记S n 为等比数列{a n }的前n 项和．若214613a a a ==，，则S 5=___________．【答案】1213【解析】设等比数列的公比为q ，由已知21461,3a a a ==，所以32511(),33q q =又0q ≠， 所以3,q =所以55151(13)(1)12131133a q S q --===--． 【名师点睛】准确计算，是解答此类问题的基本要求．本题由于涉及幂的乘方运算、繁分式的计算，部分考生易出现运算错误．12．【2019年高考全国III 卷理数】记S n 为等差数列{a n }的前n 项和，12103a a a =≠，，则105S S =___________． 【答案】4【解析】设等差数列{a n }的公差为d ,因213a a =，所以113a d a +=，即12a d =，所以105S S =11111091010024542552a d a a a d⨯+==⨯+． 【名师点睛】本题主要考查等差数列的性质、基本量的计算．渗透了数学运算素养．使用转化思想得出答案．13．【2019年高考北京卷理数】设等差数列{a n }的前n 项和为S n ，若a 2=−3，S 5=−10，则a 5=__________，S n 的最小值为___________． 【答案】 0，10-.【解析】等差数列{}n a 中,53510S a ==-,得32,a =-又23a =-,所以公差321d a a =-=,5320a a d =+=,由等差数列{}n a 的性质得5n ≤时,0n a ≤,6n ≥时,n a 大于0,所以n S 的最小值为4S 或5S ,即为10-. 【名师点睛】本题考查等差数列的通项公式､求和公式､等差数列的性质,难度不大,注重重要知识､基础知识､基本运算能力的考查.14．【2019年高考江苏卷】已知数列*{}()n a n ∈N 是等差数列，n S 是其前n 项和.若25890,27a a a S +==，则8S 的值是___________． 【答案】16【解析】由题意可得：()()()25811191470989272a a a a d a d a d S a d ⎧+=++++=⎪⎨⨯=+=⎪⎩， 解得：152a d =-⎧⎨=⎩，则8187840282162S a d ⨯=+=-+⨯=. 【名师点睛】等差数列、等比数列的基本计算问题，是高考必考内容，解题过程中要注意应用函数方程思想，灵活应用通项公式、求和公式等，构建方程（组），如本题，从已知出发，构建1a d ,的方程组.15．【2018年高考全国I 卷理数】记n S 为数列{}n a 的前n 项和，若21n n S a =+，则6S =___________．【答案】63-【解析】根据21n n S a =+，可得1121n n S a ++=+，两式相减得1122n n n a a a ++=-，即12n n a a +=，当1n =时，11121S a a ==+，解得11a =-，所以数列{}n a 是以−1为首项，以2为公比的等比数列，所以()66126312S --==--，故答案是63-.【名师点睛】该题考查的是有关数列的求和问题，在求解的过程中，需要先利用题中的条件，类比着往后写一个式子，之后两式相减，得到相邻两项之间的关系，从而确定出该数列是等比数列，之后令1n =，求得数列的首项，最后应用等比数列的求和公式求解即可，只要明确对既有项又有和的式子的变形方向即可得结果.16．【2018年高考北京卷理数】设{}n a 是等差数列，且a 1=3，a 2+a 5=36，则{}n a 的通项公式为___________．【答案】63n a n =-【解析】设等差数列的公差为d ，()133343663616 3.n a d d d a n n =∴+++=∴=∴=+-=-，，， 【名师点睛】先根据条件列出关于公差的方程，求出公差后，代入等差数列通项公式即可.在解决等差、等比数列的运算问题时，有两个处理思路,一是利用基本量,将多元问题简化为首项与公差（公比）问题,虽有一定量的运算,但思路简洁,目标明确;二是利用等差、等比数列的性质,性质是两种数列基本规律的深刻体现，是解决等差、等比数列问题既快捷又方便的工具，应有意识地去应用.17．【2018年高考江苏卷】已知集合*{|21,}A x x n n ==-∈N ，*{|2,}nB x x n ==∈N ．将AB 的所有元素从小到大依次排列构成一个数列{}n a ．记n S 为数列{}n a 的前n 项和，则使得112n n S a +>成立的n 的最小值为___________． 【答案】27【解析】所有的正奇数和()2n n *∈N 按照从小到大的顺序排列构成{}n a ，在数列|{}n a 中，25前面有16个正奇数，即5621382,2a a ==.当n =1时，1211224S a =<=，不符合题意；当n =2时，2331236S a =<=，不符合题意；当n =3时，3461248S a =<=，不符合题意；当n =4时，4510<12=60S a =，不符合题意；……；当n =26时，()2752621221(141)441625032121=2516S a⨯-⨯+=+=+=<-，不符合题意；当n =27时，()8527221222(143)21484+62=546>12=5420S a ⨯-⨯+=+=-,符合题意.故使得+1>12n n S a 成立的n 的最小值为27.【名师点睛】本题主要考查等差数列、等比数列的前n 项和，考查考生的运算求解能力，考查的核心素养是数学运算.18．【2017年高考全国II 卷理数】等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，33a =，410S =，则11nk kS ==∑___________． 【答案】21nn + 【解析】设等差数列的首项为1a ，公差为d ，由题意有1123434102a d a d +=⎧⎪⎨⨯+=⎪⎩ ，解得111a d =⎧⎨=⎩ ， 数列的前n 项和()()()111111222n n n n n n n S na d n --+=+=⨯+⨯=， 裂项可得12112()(1)1k S k k k k ==-++， 所以1111111122[(1)()()]2(1)223111nk knS n n n n ==-+-++-=-=+++∑． 【名师点睛】等差数列的通项公式及前n 项和公式，共涉及五个量a 1，a n ，d ，n ，S n ，知其中三个就能求另外两个，体现了用方程的思想解决问题．数列的通项公式和前n 项和公式在解题中起到变量代换作用，而a 1和d 是等差数列的两个基本量，用它们表示已知和未知是常用得方法．使用裂项法求和时，要注意正、负项相消时消去了哪些项，保留了哪些项，切不可漏写未被消去的项，未被消去的项有前后对称的特点．19．【2017年高考全国III 卷理数】设等比数列{}n a 满足a 1 + a 2 = –1, a 1 – a 3 = –3，则a 4 =___________．【答案】8-【解析】设等比数列{}n a 的公比为q ，很明显1q ≠-，结合等比数列的通项公式和题意可得方程组：1212131(1)1(1)3a a a q a a a q +=+=-⎧⎨-=-=-⎩①②，由②①可得：2q =-，代入①可得11a =，由等比数列的通项公式可得3418a a q ==-．【名师点睛】等比数列基本量的求解是等比数列中的一类基本问题，解决这类问题的关键在于熟练掌握等比数列的有关公式并能灵活运用，尤其需要注意的是，在使用等比数列的前n 项和公式时，应该要分类讨论，有时还应善于运用整体代换思想简化运算过程.20．【2017年高考江苏卷】等比数列{}n a 的各项均为实数，其前n 项和为n S ，已知3676344S S ==,，则8a =___________． 【答案】32【解析】当1q =时，显然不符合题意；当1q ≠时，3161(1)714(1)6314a q q a q q⎧-=⎪-⎪⎨-⎪=⎪-⎩，解得1142a q ⎧=⎪⎨⎪=⎩，则7812324a =⨯=． 【名师点睛】在解决等差、等比数列的运算问题时，有两个处理思路：①利用基本量，将多元问题简化为一元问题，虽有一定量的运算，但思路简洁，目标明确；②利用等差、等比数列的性质，性质是两种数列基本规律的深刻体现，是解决等差、等比数列问题既快捷又方便的工具，应有意识地去应用．但在应用性质时要注意性质成立的前提条件，有时需要进行适当变形．在解决等差、等比数列的运算问题时，经常采用“巧用性质、整体考虑、减少运算量”的方法．21．【2017年高考北京卷理数】若等差数列{}n a 和等比数列{}n b 满足11–1a b ==，448a b ==，则22a b =___________． 【答案】1【解析】设等差数列的公差和等比数列的公比分别为d 和q ，则3138d q -+=-=，求得2,3q d =-=，那么221312a b -+==． 【名师点睛】等差、等比数列各有五个基本量,两组基本公式,而这两组公式可看作多元方程,利用这些方程可将等差、等比数列中的运算问题转化为解关于基本量的方程（组）问题,因此可以说数列中的绝大部分运算题可看作方程应用题,所以用方程思想解决数列问题是一种行之有效的方法. 22．【2019年高考全国II 卷理数】已知数列{a n }和{b n }满足a 1=1，b 1=0，1434n n n a a b +-=+，1434n n n b b a +-=-.（1）证明：{a n +b n }是等比数列，{a n –b n }是等差数列； （2）求{a n }和{b n }的通项公式. 【答案】（1）见解析；（2）1122n n a n =+-，1122n nb n =-+.【解析】（1）由题设得114()2()n n n n a b a b +++=+，即111()2n n n n a b a b +++=+． 又因为a 1+b 1=l ，所以{}n n a b +是首项为1，公比为12的等比数列． 由题设得114()4()8n n n n a b a b ++-=-+，即112n n n n a b a b ++-=-+． 又因为a 1–b 1=l ，所以{}n n a b -是首项为1，公差为2的等差数列． （2）由（1）知，112n n n a b -+=，21n n a b n -=-． 所以111[()()]222n n n n n n a a b a b n =++-=+-， 111[()()]222n n n n n n b a b a b n =+--=-+．【名师点睛】本题考查了数列的相关性质，主要考查了等差数列以及等比数列的相关证明，证明数列是等差数列或者等比数列一定要结合等差数列或者等比数列的定义，考查推理能力，考查化归与转化思想，是中档题.23．【2019年高考北京卷理数】已知数列{a n }，从中选取第i 1项、第i 2项、…、第i m 项（i 1<i 2<…<i m ），若12m i i i a a a <<⋅⋅⋅<，则称新数列12m i i i a a a ⋅⋅⋅，，，为{a n }的长度为m 的递增子列．规定：数列{a n }的任意一项都是{a n }的长度为1的递增子列．（1）写出数列1，8，3，7，5，6，9的一个长度为4的递增子列；（2）已知数列{a n }的长度为p 的递增子列的末项的最小值为0m a ，长度为q 的递增子列的末项的最小值为0n a ．若p <q ，求证：0m a <0n a ；（3）设无穷数列{a n }的各项均为正整数，且任意两项均不相等．若{a n }的长度为s 的递增子列末项的最小值为2s –1，且长度为s 末项为2s –1的递增子列恰有2s -1个（s =1，2，…），求数列{a n }的通项公式．【答案】(1) 1,3,5,6（答案不唯一）；(2)见解析；(3)见解析. 【解析】（1）1，3，5，6.（答案不唯一） （2）设长度为q 末项为0n a 的一个递增子列为1210,,,,q r r r n a a a a -.由p <q ，得10p q r r n a a a -≤<.因为{}n a 的长度为p 的递增子列末项的最小值为0m a ， 又12,,,p r r r a a a 是{}n a 的长度为p 的递增子列，所以0p m r a a ≤.所以00m n a a <·（3）由题设知，所有正奇数都是{}n a 中的项.先证明：若2m 是{}n a 中的项，则2m 必排在2m −1之前（m 为正整数）. 假设2m 排在2m −1之后. 设121,,,,21m p p p a a a m --是数列{}n a 的长度为m 末项为2m −1的递增子列，则121,,,,21,2m p p p a a a m m --是数列{}n a 的长度为m +1末项为2m 的递增子列.与已知矛盾.再证明：所有正偶数都是{}n a 中的项.假设存在正偶数不是{}n a 中的项，设不在{}n a 中的最小的正偶数为2m .因为2k 排在2k −1之前（k =1，2，…，m −1），所以2k 和21k -不可能在{}n a 的同一个递增子列中. 又{}n a 中不超过2m +1的数为1，2，…，2m −2，2m −1，2m +1，所以{}n a 的长度为m +1且末项为2m +1的递增子列个数至多为1(1)22221122m m m --⨯⨯⨯⨯⨯⨯=<个.与已知矛盾.最后证明：2m 排在2m −3之后（m ≥2为整数）.假设存在2m （m ≥2），使得2m 排在2m −3之前，则{}n a 的长度为m +1且末项为2m +l 的递增子列的个数小于2m.与已知矛盾.综上，数列{}n a 只可能为2，1，4，3，…，2m −3，2m ，2m −1，…. 经验证，数列2，1，4，3，…，2m −3，2m ，2m −1，…符合条件. 所以1,1,n n n a n n +⎧=⎨-⎩为奇数，为偶数.【名师点睛】“新定义”主要是指即时定义新概念、新公式、新定理、新法则、新运算五种，然后根据此新定义去解决问题，有时还需要用类比的方法去理解新的定义，这样有助于对新定义的透彻理解.但是，透过现象看本质，它们考查的还是基础数学知识，所以说“新题”不一定是“难题”，掌握好三基，以不变应万变才是制胜法宝.24．【2019年高考天津卷理数】设{}n a 是等差数列，{}n b 是等比数列．已知1122334,622,24a b b a b a ===-=+，．（Ⅰ）求{}n a 和{}n b 的通项公式；（Ⅱ）设数列{}n c 满足111,22,2,1,,k k n kk c n c b n +=⎧<<=⎨=⎩其中*k ∈N ． （i ）求数列(){}221n n a c -的通项公式； （ii ）求()2*1ni ii a c n =∈∑N ．【答案】（1）31n a n =+；32nn b =⨯（2）（i ）()221941n n n a c -=⨯-（ii ）()()2*211*12725212nn n i i i a c n n n --=∈=⨯+⨯--∈∑N N【解析】（1）设等差数列{}n a 的公差为d ，等比数列{}n b 的公比为q ．依题意得2662,6124,q d q d =+⎧⎨=+⎩解得3,2,d q =⎧⎨=⎩故14(1)331,6232n nn n a n n b -=+-⨯=+=⨯=⨯．所以，{}n a 的通项公式为{}31,n n a n b =+的通项公式为32n n b =⨯．（2）（i ）()()()()22211321321941n n n n n n n a c a b -=-=⨯+⨯-=⨯-． 所以，数列(){}221n n a c -的通项公式为()221941n n n a c -=⨯-． （ii ）()()22221111211n n niini iiiiii i i i a c a a c a a c====⎡⎤=+-=+⎣⎦-∑∑∑∑()()12212439412n n n ni i =⎛⎫- ⎪=⨯+⨯+⨯- ⎪⎝⎭∑()()2114143252914n n n n ---=⨯+⨯+⨯--()211*2725212n n n n --=⨯+⨯--∈N ．【名师点睛】本小题主要考查等差数列、等比数列的通项公式及其前n 项和公式等基础知识．考查化归与转化思想和数列求和的基本方法以及运算求解能力．25．【2019年高考江苏卷】定义首项为1且公比为正数的等比数列为“M －数列”.（1）已知等比数列{a n }()n *∈N 满足：245132,440a a a a a a =-+=，求证:数列{a n }为“M －数列”；（2）已知数列{b n }()n *∈N 满足:111221,n n n b S b b +==-，其中S n 为数列{b n }的前n 项和． ①求数列{b n }的通项公式；②设m 为正整数，若存在“M －数列”{c n }()n *∈N ，对任意正整数k ，当k ≤m 时，都有1k k k c b c +剟成立，求m 的最大值．【答案】（1）见解析；（2）①b n =n ()*n ∈N ；②5.【解析】解：（1）设等比数列{a n }的公比为q ，所以a 1≠0，q ≠0.由245321440a a a a a a =⎧⎨-+=⎩，得244112111440a q a q a q a q a ⎧=⎨-+=⎩，解得112a q =⎧⎨=⎩．因此数列{}n a 为“M—数列”.（2）①因为1122n n n S b b +=-，所以0n b ≠． 由1111,b S b ==，得212211b =-，则22b =. 由1122n n n S b b +=-，得112()n n n n n b b S b b ++=-， 当2n ≥时，由1n n n b S S -=-，得()()111122n n n nn n n n n b b b b b b b b b +-+-=---，整理得112n n n b b b +-+=．所以数列{b n }是首项和公差均为1的等差数列. 因此，数列{b n }的通项公式为b n =n ()*n ∈N .②由①知，b k =k ，*k ∈N .因为数列{c n }为“M–数列”，设公比为q ，所以c 1=1，q >0.因为c k ≤b k ≤c k +1，所以1k k q k q -≤≤，其中k =1，2，3，…，m .当k =1时，有q ≥1；当k =2，3，…，m 时，有ln ln ln 1k kq k k ≤≤-． 设f （x ）=ln (1)x x x >，则21ln ()xf 'x x-=． 令()0f 'x =，得x =e.列表如下：因为ln 2ln8ln 9ln 32663=<=，所以max ln 3()(3)3f k f ==． 取q =k =1，2，3，4，5时，ln ln kq k…，即k k q ≤， 经检验知1k q k -≤也成立．因此所求m 的最大值不小于5．若m ≥6，分别取k =3，6，得3≤q 3，且q 5≤6，从而q 15≥243，且q 15≤216，所以q 不存在.因此所求m 的最大值小于6. 综上，所求m 的最大值为5．【名师点睛】本题主要考查等差和等比数列的定义、通项公式、性质等基础知识，考查代数推理、转化与化归及综合运用数学知识探究与解决问题的能力．26．【2019年高考浙江卷】设等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，34a =，43a S =，数列{}n b 满足：对每个12,,,n n n n n n n S b S b S b *++∈+++N 成等比数列．（1）求数列{},{}n n a b 的通项公式； （2）记,n c n *=∈N 证明：12+.n c c c n *++<∈N【答案】（1）()21n a n =-，()1n b n n =+；（2）证明见解析.【解析】（1）设数列{}n a 的公差为d ，由题意得11124,333a d a d a d +=+=+，解得10,2a d ==．从而*22,n a n n =-∈N ． 所以2*n S n n n =-∈N ，，由12,,n n n n n n S b S b S b +++++成等比数列得()()()212n n n n n n S b S b S b +++=++．解得()2121n n n n b S S S d++=-． 所以2*,n b n n n =+∈N ．（2）*n c n ===∈N ． 我们用数学归纳法证明．（i ）当n =1时，c 1=0<2，不等式成立；（ii ）假设()*n k k =∈N时不等式成立，即12k c c c +++<．那么，当1n k =+时，121k k c c c c +++++<<<==．即当1n k =+时不等式也成立． 根据（i ）和（ii），不等式12n c c c +++<对任意*n ∈N 成立．【名师点睛】本题主要考查等差数列、等比数列、数列求和、数学归纳法等基础知识，同时考查运算求解能力和综合应用能力.27．【2018年高考全国II 卷理数】记n S 为等差数列{}n a 的前n 项和，已知17a =-，315S =-．（1）求{}n a 的通项公式；（2）求n S ，并求n S 的最小值．【答案】（1）a n =2n –9；（2）S n =n 2–8n ，最小值为–16． 【解析】（1）设{a n }的公差为d ，由题意得3a 1+3d =–15． 由a 1=–7得d =2．所以{a n }的通项公式为a n =2n –9． （2）由（1）得S n =n 2–8n =（n –4）2–16． 所以当n =4时，S n 取得最小值，最小值为–16．【名师点睛】数列是特殊的函数，研究数列最值问题，可利用函数性质，但要注意其定义域为正整数集这一限制条件.（1）根据等差数列前n 项和公式，求出公差，再代入等差数列通项公式得结果；（2）根据等差数列前n 项和公式得n S 关于n 的二次函数关系式，根据二次函数对称轴以及自变量为正整数求函数最值.28．【2018年高考全国III 卷理数】等比数列{}n a 中，15314a a a ==，．（1）求{}n a 的通项公式；（2）记n S 为{}n a 的前n 项和．若63m S =，求m ．【答案】（1）1(2)n n a -=-或12n n a -=；（2）6m =. 【解析】（1）设{}n a 的公比为q ，由题设得1n n a q -=.由已知得424q q =，解得0q =（舍去），2q =-或2q =.故1(2)n n a -=-或12n n a -=.（2）若1(2)n n a -=-，则1(2)3n n S --=.由63m S =得(2)188m-=-，此方程没有正整数解.若12n n a -=，则21n n S =-.由63m S =得264m=，解得6m =.综上，6m =.【名师点睛】本题主要考查等比数列的通项公式和前n 项和公式，属于基础题.29．【2018年高考浙江卷】已知等比数列{a n }的公比q >1，且a 3+a 4+a 5=28，a 4+2是a 3，a 5的等差中项．数列{b n }满足b 1=1，数列{（b n +1−b n ）a n }的前n 项和为2n 2+n ．（1）求q 的值；（2）求数列{b n }的通项公式．【答案】（1）2q =；（2）2115(43)()2n n b n -=-+⋅.【解析】本题主要考查等差数列、等比数列、数列求和等基础知识，同时考查运算求解能力和综合应用能力.（1）由42a +是35,a a 的等差中项得35424a a a +=+， 所以34543428a a a a ++=+=， 解得48a =.由3520a a +=得18()20q q+=， 因为1q >，所以2q =.（2）设1()n n n n c b b a +=-，数列{}n c 前n 项和为n S . 由11,1,, 2.n n n S n c S S n -=⎧=⎨-≥⎩解得41n c n =-.由（1）可知12n n a -=，所以111(41)()2n n n b b n -+-=-⋅，故211(45)(),22n n n b b n n ---=-⋅≥，11123221()()()()n n n n n b b b b b b b b b b ----=-+-++-+-23111(45)()(49)()73222n n n n --=-⋅+-⋅++⋅+.设221113711()(45)(),2222n n T n n -=+⋅+⋅++-⋅≥，2211111137()(49)()(45)()22222n n n T n n --=⋅+⋅++-⋅+-⋅ 所以22111111344()4()(45)()22222n n n T n --=+⋅+⋅++⋅--⋅，因此2114(43)(),22n n T n n -=-+⋅≥，又11b =，所以2115(43)()2n n b n -=-+⋅.【名师点睛】用错位相减法求和应注意的问题：(1)要善于识别题目类型，特别是等比数列公比为负数的情形；(2)在写出“ ”与“ ”的表达式时应特别注意将两式“错项对齐”以便下一步准确写出“ ”的表达式；(3)在应用错位相减法求和时，若等比数列的公比为参数，应分公比等于1和不等于1两种情况求解.30．【2018年高考江苏卷】设{}n a 是首项为1a ，公差为d 的等差数列，{}n b 是首项为1b ，公比为q 的等比数列．（1）设110,1,2a b q ===，若1||n n a b b -≤对1,2,3,4n =均成立，求d 的取值范围； （2）若*110,,a b m q =>∈∈N ，证明：存在d ∈R ，使得1||n n a b b -≤对2,3,,1n m =+均成立，并求d 的取值范围（用1,,b m q 表示）． 【答案】（1）；（2）见解析.【解析】本小题主要考查等差和等比数列的定义、通项公式、性质等基础知识，考查代数推理、转化与化归及综合运用数学知识探究与解决问题的能力．满分16分．（1）由条件知：．因为1||n n a b b -≤对n =1，2，3，4均成立， 即对n =1，2，3，4均成立，即11，1d 3，32d 5，73d 9，得． 因此，d 的取值范围为．（2）由条件知：．若存在d ，使得1||n n a b b -≤（n =2，3，···，m +1）成立，即，即当时，d 满足． 因为，则，从而，，对均成立．因此，取d =0时，1||n n a b b -≤对均成立．75[,]32112(,)n n n a n d b -=-=112|()1|n n d ---≤≤≤≤≤≤≤≤7532d ≤≤75[,]32111(1),n n n a b n d b b q -=+-=1111 |1|2,3,,(1())n b n d b q b n m -+--≤=+2,3,,1n m =+1111211n n q q b d b n n ---≤≤--q ∈112n m q q -<≤≤11201n q b n --≤-1101n q b n ->-2,3,,1n m =+2,3,,1n m =+下面讨论数列的最大值和数列的最小值（）．①当时，， 当时，有，从而．因此，当时，数列单调递增， 故数列的最大值为． ②设，当x >0时，，所以单调递减，从而<f （0）=1．当时，， 因此，当时，数列单调递减， 故数列的最小值为． 因此，d 的取值范围为．31．【2018年高考天津卷理数】设{}n a 是等比数列，公比大于0，其前n 项和为()n S n *∈N ，{}n b 是等差数列. 已知11a =，322a a =+，435a b b =+，5462a b b =+. （1）求{}n a 和{}n b 的通项公式；（2）设数列{}n S 的前n 项和为()n T n *∈N ，（i ）求n T ；（ii ）证明221()22()(1)(2)2n nk k k k T b b n k k n +*+=+=-∈+++∑N . 【答案】（1）12n n a -=，n b n =；（2）（i ）122n n T n +=--；（ii ）见解析.【解析】本小题主要考查等差数列的通项公式，等比数列的通项公式及其前n 项和公式等基础知识.考查数列求和的基本方法和运算求解能力.满分13分.（1）设等比数列{}n a 的公比为q.由1321,2,a a a ==+可得220q q --=.12{}1n q n ---1{}1n q n --2,3,,1n m =+2n m ≤≤111 2222111()()()n n n n n n n n q q nq q nq n q q q n n n n n n -------+--+-==---112mq <≤2n m q q ≤≤1() 20n n nn q q q ---+>21n m ≤≤+12{}1n q n ---12{}1n q n ---2m q m-()()21x f x x =-ln 21(0(n )l 22)xf x x '=--<()f x ()f x 2n m ≤≤111112111()()()nn n q q n n f q n n n n --=≤-=<-21n m ≤≤+1{}1n q n --1{}1n q n --mq m11(2)[,]m mb q b q m m-因为0q >，可得2q =，故12n n a -=.设等差数列{}n b 的公差为d ，由435a b b =+，可得13 4.b d +=由5462a b b =+， 可得131316,b d += 从而11,1,b d == 故.n b n =所以，数列{}n a 的通项公式为12n n a -=，数列{}n b 的通项公式为.n b n =（2）（i ）由（1），有122112nn n S -==--，故 1112(12)(21)22212n nnkkn n k k T n n n +==⨯-=-=-=-=---∑∑.（ii ）证明：因为11212()(222)222(1)(2)(1)(2)(1)(2)21k k k k k k+k T +b b k k k k k k k k k k k k ++++--++⋅===-++++++++，所以，324321221()2222222()()()2(1)(2)3243212n n n nk k k k T b b k k n n n ++++=+=-+-++-=-+++++∑. 【名师点睛】本题主要考查数列通项公式的求解，数列求和的方法，数列中的指数裂项方法等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.32．【2017年高考天津卷理数】已知{}n a 为等差数列，前n 项和为()n S n *∈N ，{}n b 是首项为2的等比数列，且公比大于0，2312b b +=，3412b a a =-，11411S b =． （1）求{}n a 和{}n b 的通项公式；（2）求数列221{}n n a b -的前n 项和()n *∈N ．【答案】（1）32n a n =-，2nn b =；（2）1328433n n +-⨯+. 【解析】（1）设等差数列{}n a 的公差为d ，等比数列{}n b 的公比为q ．由已知2312b b +=，得21()12b q q +=，而12b =，所以260q q +-=． 又因为0q >，解得2q =．所以，2nn b =．由3412b a a =-，可得138d a -= ①． 由114=11S b ，可得1516a d += ②，联立①②，解得11a =，3d =，由此可得32n a n =-．所以，数列{}n a 的通项公式为32n a n =-，数列{}n b 的通项公式为2nn b =．（2）设数列221{}n n a b -的前n 项和为n T ，由262n a n =-，12124n n b --=⨯，有221(31)4nn n a b n -=-⨯，故23245484(31)4n n T n =⨯+⨯+⨯++-⨯，23414245484(34)4(31)4n n n T n n +=⨯+⨯+⨯++-⨯+-⨯，上述两式相减，得23112(14)324343434(31)44(314n n n n T n n +⨯--=⨯+⨯+⨯++⨯--⨯=----111)4(32)48n n n ++⨯=--⨯-，得1328433n n n T +-=⨯+． 所以，数列221{}n n a b -的前n 项和为1328433n n +-⨯+． 【名师点睛】利用等差数列和等比数列通项公式及前n 项和公式列方程组求数列的首项和公差或公比，进而写出通项公式及前n 项和公式，这是等差数列、等比数列的基本要求，数列求和的方法有倒序相加法、错位相减法、裂项相消法和分组求和法等，本题考查的是错位相减法求和． 33．【2017年高考山东卷理数】已知{x n }是各项均为正数的等比数列，且x 1+x 2=3，x 3-x 2=2.（1）求数列{x n }的通项公式；（2）如图，在平面直角坐标系xOy 中，依次连接点P 1(x 1, 1)，P 2(x 2, 2)，…，P n+1(x n+1, n +1)得到折线P 1 P 2…P n+1，求由该折线与直线y =0，11n x x x x +==,所围成的区域的面积.【答案】（1）12n n x -=；（2） 【解析】（1）设数列的公比为q ，由已知0q >.由题意得，所以，nT (21)21.2n n n T -⨯+={}n x 1121132x x q x q x q +=⎧⎨-=⎩23520q q --=因为0q >,所以，因此数列的通项公式为（2）过…，向轴作垂线，垂足分别为…，, 由(1)得记梯形的面积为. 由题意， 所以…+=…+ ①， 又…+ ②， ①-②得121132(222)(21)2n n n T n ----=⨯++++-+⨯= 所以 【名师点睛】本题主要考查等比数列的通项公式及求和公式、数列求和的错位相减法.此类题目是数列问题中的常见题型.本题覆盖面广，对考生的计算能力要求较高.解答本题，布列方程组，确定通项公式是基础，准确计算求和是关键，易错点是在“错位”之后求和时，弄错等比数列的项数.本题将数列与解析几何结合起来，适当增大了难度，能较好地考查考生的数形结合思想、逻辑思维能力及基本计算能力等. 34．【2017年高考江苏卷】对于给定的正整数k ，若数列{}n a 满足：1111n k n k nnnk n ka aa a aa --+-++-++++++++2n ka =对任意正整数()n n k >总成立，则称数列{}n a 是“()P k 数列”．（1）证明：等差数列{}n a 是“(3)P 数列”；（2）若数列{}n a 既是“(2)P 数列”，又是“(3)P 数列”，证明：{}n a 是等差数列．12,1q x =={}n x 12.n n x -=123,,,P P P 1n P +x 123,,,Q Q Q 1n Q +111222.n n n n n x x --+-=-=11n n n n P P Q Q ++n b 12(1)2(21)22n n n n n b n --++=⨯=+⨯123n T b b b =+++n b 101325272-⨯+⨯+⨯+32(21)2(21)2n n n n ---⨯++⨯0122325272n T =⨯+⨯+⨯+21(21)2(21)2n n n n ---⨯++⨯1132(12)(21)2.212n n n ---+-+⨯-(21)21.2n n n T -⨯+=【答案】（1）见解析；（2）见解析.【解析】（1）因为{}n a 是等差数列，设其公差为d ，则1(1)n a a n d =+-， 从而，当4n ≥时，n k n k a a a -++=+11(1)(1)n k d a n k d --+++-122(1)2n a n d a =+-=，1,2,3,k =所以6n n n n n n n a a a a a a a ---+++++=321123+++， 因此等差数列{}n a 是“(3)P 数列”．（2）数列{}n a 既是“(2)P 数列”，又是“(3)P 数列”， 因此，当3n ≥时，n n n n n a a a a a --+++++=21124，① 当4n ≥时，n n n n n n n a a a a a a a ---++++++++=3211236．② 由①知，n n n a a a ---+=-32141()n n a a ++，③n n n a a a ++++=-23141()n n a a -+，④将③④代入②，得n n n a a a -++=112，其中4n ≥， 所以345,,,a a a 是等差数列，设其公差为d'．在①中，取4n =，则235644a a a a a +++=，所以23a a d'=-， 在①中，取3n =，则124534a a a a a +++=，所以132a a d'=-， 所以数列{}n a 是等差数列．【名师点睛】（1）利用等差数列性质得n k n k n a a a -++=2，即得n n n n n a a a a a ---+++++32112++n n a a +=36，再根据定义即可判断；（2）先根据定义得21n n n n n a a a a a --+++++=124，n n n n n a a a a a ---++++++32112n n a a ++=36，再将条件集中消元：n n n a a a ---+=-32141()n n a a ++，n n n a a a ++++=-23141()n n a a -+，即得n n n a a a -++=112，最后验证起始项也满足即可．35．【2017年高考北京卷理数】设{}n a 和{}n b 是两个等差数列，记1122max{,,,}n n n c b a n b a n b a n =--⋅⋅⋅-(1,2,3,)n =⋅⋅⋅，其中12max{,,,}s x x x ⋅⋅⋅表示12,,,s x x x ⋅⋅⋅这s 个数中最大的数．（1）若n a n =，21n b n =-，求123,,c c c 的值，并证明{}n c 是等差数列； （2）证明：或者对任意正数M ，存在正整数m ，当n m ≥时，nc M n>；或者存在正整数m ，使得12,,,m m m c c c ++⋅⋅⋅是等差数列．【答案】（1）详见解析；（2）详见解析. 【解析】（1）111110,c b a =-=-=21122max{2,2}max{121,322}1c b a b a =--=-⨯-⨯=-，3112233max{3,3,3}max{131,332,533}2c b a b a b a =---=-⨯-⨯-⨯=-.当3n ≥时，1111()()()()20k k k k k k k k b na b na b b n a a n ++++---=---=-<， 所以k k b na -关于*k ∈N 单调递减. 所以112211max{,,,}1n n n c b a n b a n b a n b a n n =---=-=-.所以对任意1,1n n c n ≥=-，于是11n n c c +-=-， 所以{}n c 是等差数列.（2）设数列{}n a 和{}n b 的公差分别为12,d d ，则12111121(1)[(1)]()(1)k k b na b k d a k d n b a n d nd k -=+--+-=-+--.所以1121211121(1)(),,n b a n n d nd d nd c b a n d nd -+-->⎧=⎨-≤⎩当时，当时，①当10d >时，取正整数21d m d >，则当n m ≥时，12nd d >，因此11n c b a n =-. 此时，12,,,m m m c c c ++是等差数列.②当10d =时，对任意1n ≥，1121121(1)max{,0}(1)(max{,0}).n c b a n n d b a n d a =-+-=-+--此时，123,,,,,n c c c c 是等差数列.③当10d <时，当21d n d >时，有12nd d <. 所以1121121112(1)()()n c b a n n d nd b d n d d a d n n n-+---==-+-++ 111212()||.n d d a d b d ≥-+-+--对任意正数M ，取正整数12112211||max{,}M b d a d d d m d d +-+-->-，故当n m ≥时，nc M n>. 【名师点睛】近几年北京卷理科压轴题一直为新信息题，本题考查学生对新定义的理解能力和使用能力，本题属于偏难问题，反映出学生对新的信息的理解和接受能力，本题考查数列的有关知识及归纳法证明，即考查了数列（分段形函数）求值，又考查了归纳法证明和对数据的分析研究，考查了学生的分析问题能力和逻辑推理能力，本题属于拔高难题，特别是第二问难度较大，适合选拔优秀学生. 36．【2017年高考浙江卷】已知数列{x n }满足：x 1=1，x n =x n +1+ln(1+x n +1)（n *∈N ）．证明：当n *∈N 时， （1）0＜x n +1＜x n ；（2）2x n +1− x n ≤12n n x x +； （3）112n -≤x n ≤212n -．【答案】（1）见解析；（2）见解析；（3）见解析． 【解析】（1）用数学归纳法证明：0n x >． 当n =1时，x 1=1>0． 假设n =k 时，x k >0，那么n =k +1时，若10k x +≤，则110ln(1)0k k k x x x ++<=++≤，矛盾，故10k x +>．因此0()n x n *>∈N ．所以111ln(1)n n n n x x x x +++=++>，。
2019高考数学真题(理)分类汇编三角函数及解三角形含答案解析
三角函数及解三角形专题1．【2019年高考全国Ⅰ卷文数】函数f (x )=在[,]-ππ的图像大致为A ．B ．C ．D ．【答案】D 【解析】由22sin()()sin ()()cos()()cos x x x xf x f x x x x x-+----===--+-+，得()f x 是奇函数，其图象关于原点对称，排除A ．又22π1π42π2()1,π2π()2f ++==>2π(π)01πf =>-+，排除B ，C ，故选D ． 【名师点睛】本题考查函数的性质与图象，渗透了逻辑推理、直观想象和数学运算素养，采取性质法或赋值法，利用数形结合思想解题．解答本题时，先判断函数的奇偶性，得()f x 是奇函数，排除A ，再注意到选项的区别，利用特殊值得正确答案． 2．【2019年高考全国Ⅰ卷文数】tan255°=A ．−2B ．−C ．2D ．【答案】D【解析】tan 255tan(18075)tan 75tan(4530)︒=︒+︒=︒=︒+︒=tan 45tan 301tan 45tan 30︒+︒-︒︒12+==+故选D. 【名师点睛】本题主要考查三角函数的诱导公式、两角和与差的三角函数、特殊角的三角函数值、运算求解能力．首先应用诱导公式，将问题转化成锐角三角函数的计算，进一步应用两角和的正切公式2sin cos ++x xx x计算求解．题目较易，注重了基础知识、基本计算能力的考查．3．【2019年高考全国Ⅰ卷文数】△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知a sin A −b sin B =4c sin C ，cos A =−14，则b c=A ．6B ．5C ．4D ．3【答案】A【解析】由已知及正弦定理可得2224a b c -=，由余弦定理推论可得2222214131cos ,,,422424b c a c c c A bc bc b +---==∴=-∴=3462b c ∴=⨯=，故选A ． 【名师点睛】本题考查正弦定理及余弦定理推论的应用．先利用余弦定理推论得出a ，b ，c 关系，再结合正弦定理边角互换列出方程，解出结果. 4．【2019年高考全国Ⅱ卷文数】若x 1=4π，x 2=43π是函数f (x )=sin x ω(ω>0)两个相邻的极值点，则ω= A ．2 B ．32C ．1D ．12【答案】A【解析】由题意知，()sin f x x ω=的周期232()44T ωπππ==-=π，解得2ω=．故选A ． 【名师点睛】本题考查三角函数的极值和周期，渗透了直观想象、逻辑推理和数学运算素养．利用周期公式，通过方程思想解题．5．【2019年高考全国Ⅱ卷文数】已知a ∈（0，π2），2sin2α=cos2α+1，则sin α=A ．15BCD 【答案】B 【解析】2sin 2cos21αα=+，24sin cos 2cos .0,,cos 02αααααπ⎛⎫∴⋅=∈∴> ⎪⎝⎭，sin 0,α>2sin cos αα∴=，又22sin cos 1αα+=，2215sin 1,sin 5αα∴==，又sin 0α>，sin 5α∴=，故选B ．【名师点睛】本题是对三角函数中二倍角公式、同角三角函数基本关系式的考查，中等难度，判断正余弦的正负，运算准确性是关键，题目不难，需细心，解决三角函数问题，研究角的范围后得出三角函数值的正负很关键，切记不能凭感觉．解答本题时，先利用二倍角公式得到正余弦关系，再利用角范围及正余弦平方和为1关系得出答案．6．【2019年高考全国Ⅲ卷文数】函数()2sin sin2f x x x =-在[0，2π]的零点个数为 A ．2 B ．3 C ．4D ．5【答案】B【解析】由()2sin sin 22sin 2sin cos 2sin (1cos )0f x x x x x x x x =-=-=-=， 得sin 0x =或cos 1x =，[]0,2πx ∈，0π2πx ∴=、或．()f x ∴在[]0,2π的零点个数是3，故选B ．【名师点睛】本题考查在一定范围内的函数的零点个数，渗透了直观想象和数学运算素养．令()0f x =，得sin 0x =或cos 1x =，再根据x 的取值范围可求得零点.7．【2019年高考北京卷文数】设函数f （x ）=cos x +b sin x （b 为常数），则“b =0”是“f （x ）为偶函数”的A ．充分而不必要条件B ．必要而不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件【答案】C【解析】0b =时，()cos sin cos f x x b x x =+=，()f x 为偶函数；()f x 为偶函数时，()=()f x f x -对任意的x 恒成立，即()cos()sin()cos sin f x x b x x b x -=-+-=-，cos sin cos sin x b x x b x +=-，得sin 0b x =对任意的x 恒成立，从而0b =.从而“0b =”是“()f x 为偶函数”的充分必要条件，故选C.【名师点睛】本题较易，注重基础知识、逻辑推理能力的考查.根据定义域为R 的函数()f x 为偶函数等价于()=()f x f x -恒成立进行判断.8．【2019年高考北京卷文数】如图，A ，B 是半径为2的圆周上的定点，P 为圆周上的动点，APB ∠是锐角，大小为β.图中阴影区域的面积的最大值为A ．4β+4cos βB ．4β+4sin βC ．2β+2cos βD ．2β+2sin β【答案】B【解析】设圆心为O ，如图1，连接OA ，OB ，AB ，OP ，则22AOB APB ∠=∠=β，所以22242OABS ⨯==扇形ββ，因为ABP AOB OAB S S S S =+-△△阴影扇形，且AOB OAB S S △扇形，都已确定， 所以当ABP S △最大时，阴影部分面积最大.观察图象可知，当P 为弧AB 的中点时（如图2），阴影部分的面积S 取最大值，此时∠BOP =∠AOP =π−β，面积S 的最大值为ABP AOB OAB S S S S =+-△△阴影扇形=4β+S △POB + S △POA =4β+12|OP ||OB |sin （π−β）+12|OP ||OA |sin （π−β）=4β+2sin β+2sin β=4β+4 sin β，故选B. 【名师点睛】本题主要考查阅读理解能力、数学应用意识、数形结合思想及数学式子变形和运算求解能力，有一定的难度.关键是观察分析区域面积最大时的状态，并将面积用边角等表示.9．【2019年高考天津卷文数】已知函数()sin()(0,0,||π)f x A x A ωϕωϕ=+>><是奇函数，且()f x 的最小正周期为π，将()y f x =的图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变），所得图象对应的函数为()g x .若π4g ⎛⎫= ⎪⎝⎭3π8f ⎛⎫= ⎪⎝⎭A ．−2B ．C D ．2【答案】C【解析】∵()f x 为奇函数，∴(0)sin 0,=π,,0,f A k k k ϕϕ==∴∈∴=Z 0ϕ=； ∵()f x 的最小正周期为π，2ππ,T ∴==ω∴2ω=，∴1()sin sin ,2g x A x A x ==ω又π()4g =2A =，∴()2sin 2f x x =，3π()8f = 故选C.【名师点睛】本题主要考查函数的性质和函数的求值问题，解题关键是求出函数()g x ，结合函数性质逐步得出,,A ωϕ的值即可.10．【2019年高考全国Ⅰ卷文数】函数3π()sin(2)3cos 2f x x x =+-的最小值为___________． 【答案】4-【解析】23π()sin(2)3cos cos 23cos 2cos 3cos 12f x x x x x x x =+-=--=--+ 23172(cos )48x =-++，1cos 1x -≤≤，∴当cos 1x =时，min ()4f x =-，故函数()f x 的最小值为4-．【名师点睛】本题首先应用诱导公式，转化得到二倍角的余弦，进一步应用二倍角的余弦公式，得到关于cos x 的二次函数，从而得解.注意解答本题的过程中，部分考生易忽视1cos 1x -≤≤的限制，而简单应用二次函数的性质，出现运算错误．11．【2019年高考全国Ⅱ卷文数】ABC △的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ．已知b sin A +a cos B =0，则B =___________. 【答案】3π4【解析】由正弦定理，得sin sin sin cos 0B A A B +=．(0,),(0,)A B ∈π∈π，sin 0,A ∴≠∴sin cos 0B B +=，即tan 1B =-，3.4B π∴=【名师点睛】本题考查利用正弦定理转化三角恒等式，渗透了逻辑推理和数学运算素养．采取定理法，利用转化与化归思想解题．本题容易忽视三角形内角的范围致误，三角形内角均在(0,π)范围内，化边为角，结合三角函数的恒等变化求角．12．【2019年高考江苏卷】已知tan 2π3tan 4αα=-⎛⎫+ ⎪⎝⎭，则πsin 24α⎛⎫+ ⎪⎝⎭的值是 ▲ .【答案】10【解析】由()tan 1tan tan tan 2tan 1πtan 13tan 1tan 4αααααααα-===-++⎛⎫+ ⎪-⎝⎭，得23tan 5tan 20αα--=， 解得tan 2α=，或1tan 3α=-. πππsin 2sin 2cos cos 2sin 444ααα⎛⎫+=+ ⎪⎝⎭()22222sin cos cos sin sin 2cos 2=22sin cos αααααααα⎛⎫+-=+ ⎪+⎝⎭222tan 1tan =2tan 1ααα⎫+-⎪+⎝⎭， 当tan 2α=时，上式222212==22110⎛⎫⨯+- ⎪+⎝⎭ 当1tan 3α=-时，上式=22112()1()33[]=1210()13⨯-+--⨯-+综上，πsin 2410α⎛⎫+= ⎪⎝⎭ 【名师点睛】本题考查三角函数的化简求值，渗透了逻辑推理和数学运算素养.采取转化法，利用分类讨论和转化与化归思想解题.由题意首先求得tan α的值，然后利用两角和的正弦公式和二倍角公式将原问题转化为齐次式求值的问题，最后切化弦求得三角函数式的值即可.13．【2019年高考浙江卷】在ABC △中，90ABC ∠=︒，4AB =，3BC =，点D 在线段AC 上，若45BDC ∠=︒，则BD =___________，cos ABD ∠=___________．【解析】如图，在ABD △中，由正弦定理有：sin sin AB BD ADB BAC =∠∠，而3π4,4AB ADB =∠=,5AC ，34sin ,cos 55BC AB BAC BAC AC AC ∠==∠==，所以BD =.ππcos cos()cos cos sin sin 44ABD BDC BAC BAC BAC ∠=∠-∠=∠+∠=.【名师点睛】本题主要考查解三角形问题，即正弦定理、三角恒等变换、数形结合思想及函数方程思想.在ABD △中应用正弦定理，建立方程，进而得解.解答解三角形问题，要注意充分利用图形特征. 14．【2019年高考全国Ⅲ卷文数】ABC △的内角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ．已知sin sin 2A Ca b A +=． （1）求B ；（2）若△ABC 为锐角三角形，且c =1，求△ABC 面积的取值范围．【答案】（1）B =60°；（2）. 【解析】（1）由题设及正弦定理得sin sinsin sin 2A CA B A +=．因为sin A ≠0，所以sinsin 2A CB +=． 由180A BC ︒++=，可得sincos 22A C B +=，故cos 2sin cos 222B B B=． 因为cos02B ≠，故1sin 22B =，因此B =60°． （2）由题设及（1）知△ABC的面积ABC S =△． 由正弦定理得()sin 120sin 1sin sin 2tan 2C c A a C C C ︒-===+．由于△ABC 为锐角三角形，故0°<A <90°，0°<C <90°，由（1）知A +C =120°，所以30°<C <90°，故122a <<，从而82ABC S <<△． 因此，△ABC面积的取值范围是⎝⎭．【名师点睛】这道题考查了三角函数的基础知识，以及正弦定理的使用（此题也可以用余弦定理求解），最后考查V ABC 是锐角三角形这个条件的利用，考查的很全面，是一道很好的考题. 15．【2019年高考北京卷文数】在△ABC 中，a =3，–2b c =，cos B =12-． （1）求b ，c 的值； （2）求sin （B +C ）的值． 【答案】（1）7b =，5c =；（2【解析】（1）由余弦定理2222cos b a c ac B =+-，得2221323()2b c c =+-⨯⨯⨯-．因为2b c =+，所以2221(2)323()2c c c +=+-⨯⨯⨯-． 解得5c =．所以7b =． （2）由1cos 2B =-得sin 2B =．由正弦定理得sin sin 14a A Bb ==． 在ABC △中，B C A +=π-．所以sin()sin B C A +==【名师点睛】本题主要考查余弦定理、正弦定理的应用，两角差的正弦公式的应用等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.16．【2019年高考天津卷文数】在ABC △中，内角,,A B C 所对的边分别为,,a b c .已知2b c a +=，3sin 4sin c B a C =.（1）求cos B 的值； （2）求sin 26πB ⎛⎫+⎪⎝⎭的值. 【答案】（1）14-；（2）716+-. 【解析】（1）在ABC △中，由正弦定理sin sin b cB C=，得sin sin b C c B =， 又由3sin 4sin c B a C =，得3sin 4sin b C a C =，即34b a =．又因为2b c a +=，得到43b a =，23c a =． 由余弦定理可得222222416199cos 22423a a a a cb B ac a a +-+-===-⋅⋅．（2）由（1）可得sin B ==，从而sin 22sin cos B B B ==，227cos 2cos sin 8B B B =-=-，故71sin 2sin 2cos cos 2sin 66682B B B πππ⎛⎫+=+=⨯= ⎪⎝⎭． 【名师点睛】本小题主要考查同角三角函数的基本关系，两角和的正弦公式，二倍角的正弦与余弦公式，以及正弦定理、余弦定理等基础知识．考查运算求解能力．17．【2019年高考江苏卷】在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ．（1）若a =3c ，b ，cos B =23，求c 的值； （2）若sin cos 2A B a b =，求sin()2B π+的值．【答案】（1）c =（2.【解析】（1）因为23,3a cb B ===，由余弦定理222cos 2a c b B ac +-=，得2222(3)323c c c c+-=⨯⨯，即213c =.所以c =（2）因为sin cos 2A Ba b =， 由正弦定理sin sin a b A B =，得cos sin 2B Bb b=，所以cos 2sin B B =. 从而22cos (2sin )B B =，即()22cos 41cos B B =-，故24cos 5B =.因为sin 0B >，所以cos 2sin 0B B =>，从而cos B =.因此πsin cos 2B B ⎛⎫+== ⎪⎝⎭【名师点睛】本小题主要考查正弦定理、余弦定理、同角三角函数关系、诱导公式等基础知识，考查运算求解能力.18．【2019年高考江苏卷】如图，一个湖的边界是圆心为O 的圆，湖的一侧有一条直线型公路l ，湖上有桥AB （AB 是圆O 的直径）．规划在公路l 上选两个点P 、Q ，并修建两段直线型道路PB 、QA ．规划要求：线段PB 、QA 上的所有点到点O 的距离均不小于圆．．．．O 的半径．已知点A 、B 到直线l 的距离分别为AC 和BD （C 、D 为垂足），测得AB =10，AC =6，BD =12（单位：百米）． （1）若道路PB 与桥AB 垂直，求道路PB 的长；（2）在规划要求下，P 和Q 中能否有一个点选在D 处？并说明理由；（3）在规划要求下，若道路PB 和QA 的长度均为d （单位：百米）.求当d 最小时，P 、Q 两点间的距离．【答案】（1）15（百米）；（2）见解析；（3）17+.【解析】解法一：（1）过A 作AE BD ⊥，垂足为E .由已知条件得，四边形ACDE 为矩形，6, 8DE BE AC AE CD =====.'因为PB ⊥AB ， 所以84cos sin 105PBD ABE ∠=∠==. 所以12154cos 5BD PB PBD ===∠. 因此道路PB 的长为15（百米）.（2）①若P 在D 处，由（1）可得E 在圆上，则线段BE 上的点（除B ，E ）到点O 的距离均小于圆O 的半径，所以P 选在D 处不满足规划要求.②若Q 在D 处，连结AD ，由（1）知10AD ==， 从而2227cos 0225AD AB BD BAD AD AB +-∠==>⋅，所以∠BAD 为锐角. 所以线段AD 上存在点到点O 的距离小于圆O 的半径.因此，Q 选在D 处也不满足规划要求.综上，P 和Q 均不能选在D 处.（3）先讨论点P 的位置.当∠OBP <90°时，线段PB 上存在点到点O 的距离小于圆O 的半径，点P 不符合规划要求；当∠OBP ≥90°时，对线段PB 上任意一点F ，OF ≥OB ，即线段PB 上所有点到点O 的距离均不小于圆O 的半径，点P 符合规划要求.设1P 为l 上一点，且1PB AB ⊥，由（1）知，1P B =15， 此时11113sin cos 1595PD PB PBD PB EBA =∠=∠=⨯=； 当∠OBP >90°时，在1PPB △中，115PB PB >=. 由上可知，d ≥15.再讨论点Q 的位置. 由（2）知，要使得QA ≥15，点Q 只有位于点C 的右侧，才能符合规划要求.当QA =15时，1CQ =此时，线段QA 上所有点到点O 的距离均不小于圆O 的半径.综上，当PB ⊥AB ，点Q 位于点C 右侧，且CQ =时，d 最小，此时P ，Q 两点间的距离PQ =PD +CD +CQ =17+因此，d 最小时，P ，Q 两点间的距离为17+.解法二：（1）如图，过O 作OH ⊥l ，垂足为H.以O 为坐标原点，直线OH 为y 轴，建立平面直角坐标系.因为BD =12，AC =6，所以OH =9，直线l 的方程为y =9，点A ，B 的纵坐标分别为3，−3.因为AB 为圆O 的直径，AB =10，所以圆O 的方程为x 2+y 2=25.从而A （4，3），B （−4，−3），直线AB 的斜率为34.因为PB ⊥AB ，所以直线PB 的斜率为43-， 直线PB 的方程为42533y x =--.所以P （−13，9），15PB ==.因此道路PB 的长为15（百米）.（2）①若P 在D 处，取线段BD 上一点E （−4，0），则EO =4<5，所以P 选在D 处不满足规划要求. ②若Q 在D 处，连结AD ，由（1）知D （−4，9），又A （4，3），所以线段AD ：36(44)4y x x =-+-剟.在线段AD 上取点M （3，154），因为5OM =<=， 所以线段AD 上存在点到点O 的距离小于圆O 的半径.因此Q 选在D 处也不满足规划要求.综上，P 和Q 均不能选在D 处.（3）先讨论点P 的位置.当∠OBP <90°时，线段PB 上存在点到点O 的距离小于圆O 的半径，点P 不符合规划要求；当∠OBP ≥90°时，对线段PB 上任意一点F ，OF ≥OB ，即线段PB 上所有点到点O 的距离均不小于圆O 的半径，点P 符合规划要求.设1P 为l 上一点，且1PB AB ⊥，由（1）知，1P B =15，此时1P （−13，9）； 当∠OBP >90°时，在1PPB △中，115PB PB >=. 由上可知，d ≥15.再讨论点Q 的位置.由（2）知，要使得QA≥15，点Q 只有位于点C 的右侧，才能符合规划要求.当QA =15时，设Q （a ，9），由15(4)AQ a ==>，得a =4+Q （4+9），此时，线段QA 上所有点到点O 的距离均不小于圆O 的半径.综上，当P （−13，9），Q （4+9）时，d 最小，此时P ，Q 两点间的距离4(13)17PQ =+-=+.因此，d 最小时，P ，Q 两点间的距离为17+.【名师点睛】本小题主要考查三角函数的应用、解方程、直线与圆等基础知识，考查直观想象和数学建模及运用数学知识分析和解决实际问题的能力.19．【2019年高考浙江卷】设函数()sin ,f x x x =∈R .（1）已知[0,2),θ∈π函数()f x θ+是偶函数，求θ的值；（2）求函数22[()][()]124y f x f x ππ=+++的值域． 【答案】（1）π2θ=或3π2；（2）[1-+． 【解析】（1）因为()sin()f x x θθ+=+是偶函数，所以，对任意实数x 都有sin()sin()x x θθ+=-+， 即sin cos cos sin sin cos cos sin x x x x θθθθ+=-+，故2sin cos 0x θ=，所以cos 0θ=．又[0,2π)θ∈，因此π2θ=或3π2． （2）2222ππππsin sin 124124y f x f x x x ⎡⎤⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+++=+++ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦⎣⎦ππ1cos 21cos 213621cos 2sin 222222x x x x ⎛⎫⎛⎫-+-+ ⎪ ⎪⎛⎫⎝⎭⎝⎭=+=-- ⎪ ⎪⎝⎭π123x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭．因此，函数的值域是[1+． 【名师点睛】本题主要考查三角函数及其恒等变换等基础知识，同时考查运算求解能力.20．【重庆西南大学附属中学校2019届高三第十次月考数学试题】已知角α的顶点在坐标原点，始边与x 轴正半轴重合，终边经过点(1)P ，则cos2=αAB ．13C ．13- D．3-【答案】B【解析】因为角α的顶点在坐标原点，始边与x 轴正半轴重合，终边经过点(1)P ，所以cos3==-α， 因此21cos 22cos 13=-=αα.故选B. 【名师点睛】本题主要考查三角函数的定义，以及二倍角公式，熟记三角函数的定义与二倍角公式即可，属于常考题型.解答本题时，先由角α的终边过点(1)P ，求出cos α，再由二倍角公式，即可得出结果.。
2019年北京市高考数学一模试卷(理科)(解析版)
2019年北京市高考数学一模试卷(理科)(解析版)2019年北京市高考数学一模试卷（理科）一、选择题共8个小题，每小题5分，共40分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.已知复数z=i（1+i），则|z|等于（）A。
2B。
√2C。
1D。
2√22.在方程r=2cosθ+3sinθ（θ为参数）所表示的曲线上的点是（）A。
(2.-7)B。
(3.1)C。
(1.5)D。
(2.1)3.设公差不为零的等差数列{an}的前n项和为Sn，若a4=2(a2+a3)，则Sn=（）A。
5anB。
6anC。
7anD。
14an4.将函数y=sin2x的图象向左平移π/4个单位后得到函数y=g(x)的图象。
则函数g(x)的一个增区间是（）A。
(π/4.3π/4)B。
(3π/4.5π/4)C。
(5π/4.7π/4)D。
(7π/4.9π/4)5.使“a>b”成立的一个充分不必要条件是（）A。
a>b+1B。
a>b-1C。
a^2>b^2D。
a^3>b^36.下列函数：①y=-|x|；②y=(x-1)^3；③y=log2(x-1)；④y=-6.在x中，在(1.+∞)上是增函数且不存在零点的函数的序号是（）A。
①④B。
②③C。
②④D。
①③④7.某三棱锥的正视图和侧视图如图所示，则该三棱锥的俯视图的面积为（）A。
6B。
8C。
10D。
128.远古时期，人们通过在绳子上打结来记录数量，即“结绳计数”，如图所示的是一位母亲记录的孩子自出生后的天数，在从右向左依次排列的不同绳子上打结，满七进一，根据图示可知，孩子已经出生的天数是（）A。
336B。
510C。
1326D。
3603二、填空题共6小题，每小题5分，共30分。
9.在(1-x)^5的展开式中，x^2的系数为______（用数字作答）。
答案：1010.已知向量a=(1.b)。
b=(-2.-1)，且向量a+b的模长为√10.则实数x=______。
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（Ⅰ）求证：CD⊥平面PAD；
（Ⅱ）求二面角F–AE–P的余弦值；
（Ⅲ）设点G在PB上，且 ．判断直线AG是否在平面AEF内，说明理由．
【答案】(Ⅰ)见解析；
（Ⅲ）已知上个月样本学生的支付方式在本月没有变化．现从样本仅使用A的学生中，随机抽查3人，发现他们本月的支付金额都大于2000元．根据抽查结果，能否认为样本仅使用A的学生中本月支付金额大于2000元的人数有变化？说明理由．
【答案】(Ⅰ) ；
(Ⅱ)见解析；
(Ⅲ)见解析.
【解析】
【分析】
13.设函数f（x）=ex+ae−x（a为常数）．若f（x）为奇函数，则a=________；若f（x）是R上的增函数，则a的取值范围是___________．
【答案】(1). -1; (2). .
【解析】
【分析】
首先由奇函数的定义得到关于的恒等式，据此可得的值，然后利用导函数的解析式可得a的取值范围.
很明显平面AEP的一个法向量为 ，
，
二面角F-AE-P的平面角为锐角，故二面角F-AE-P的余弦值为 .
(Ⅲ)易知 ，由 可得 ，
则 ，
注意到平面AEF的一个法向量为： ，
其 且点A在平面AEF内，故直线AG在平面AEF内.
17.改革开放以来，人们的支付方式发生了巨大转变．近年来，移动支付已成为主要支付方式之一．为了解某校学生上个月A，B两种移动支付方式的使用情况，从全校学生中随机抽取了100人，发现样本中A，B两种支付方式都不使用的有5人，样本中仅使用A和仅使用B的学生的支付金额分布情况如下：
所以x的最大值为15.
【点睛】本题主要考查不等式的概念与性质、数学的应用意识、数学式子变形与运算求解能力，有一定难度.
三、解答题共6小题，共80分。解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程。
15.在△ABC中，a=3，b−c=2，cosB= ．
（Ⅰ）求b，c的值；
（Ⅱ）求sin（B–C）的值．
【答案】(Ⅰ) ；
【详解】直线 的普通方程为 ,即 ,点 到直线 的距离 ,故选D.
【点睛】本题考查直线参数方程与普通方程 转化,点到直线的距离,属于容易题,注重基础知识､基本运算能力的考查.
4.已知椭圆 （a＞b＞0）的离心率为 ，则
A.a2=2b2B. 3a2=4b2C.a=2bD. 3a=4b
【答案】B
【解析】
（2）根据 、 分别探究.
【详解】（1）x=10，顾客一次购买草莓和西瓜各一盒，
需要支付（60+80）-10=130元.
（2）设顾客一次购买水果的促销前总价为y元，
元时，李明得到的金额为y×80%，符合要求.
元时，有（y-x）×80%≥y×70%成立，
即8（y-x）≥7y，x≤ ，即x≤（ ）min=15元.
(Ⅱ) .
【解析】
【分析】
(Ⅰ)由题意列出关于a,b,c的方程组，求解方程组即可确定b,c的值；
(Ⅱ)由题意结合正弦定理和两角和差正余弦公式可得 的值.
【详解】(Ⅰ)由题意可得： ，解得： .
(Ⅱ)由同角三角函数基本关系可得： ，
结合正弦定理 可得： ，
很明显角C为锐角，故 ，
故 .
【点睛】本题主要考查余弦定理、正弦定理的应用，两角和差正余弦公式的应用等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.
(Ⅱ) ；
(Ⅲ)见解析.
【解析】
【分析】
(Ⅰ)由题意利用线面垂直的判定定理即可证得题中的结论；
(Ⅱ)建立空间直角坐标系，结合两个半平面的法向量即可求得二面角F-AE-P的余弦值；
(Ⅲ)首先求得点G的坐标，然后结合平面 的法向量和直线AG的方向向量可判断直线是否在平面内.
【详解】(Ⅰ)由于PA⊥平面ABCD，CD 平面ABCD，则PA⊥CD，
【详解】若函数 为奇函数,则 ，
对任意的 恒成立.
若函数 是 上的增函数,则 恒成立, .
即实数的取值范围是
【点睛】本题考查函数的奇偶性､单调性､利用单调性确定参数的范围.解答过程中,需利用转化与化归思想,转化成恒成立问题.注重重点知识､基础知识､基本运算能力的考查.
14.李明自主创业，在网上经营一家水果店，销售的水果中有草莓、京白梨、西瓜、桃，价格依次为60元/盒、65元/盒、80元/盒、90元/盒．为增加销量，李明对这四种水果进行促销：一次购买水果的总价达到120元，顾客就少付x元．每笔订单顾客网上支付成功后，李明会得到支付款的80%．
故选C.
【点睛】本题考查曲线与方程､曲线的几何性质，基本不等式及其应用,属于难题,注重基础知识､基本运算能力及分析问题解决问题的能力考查,渗透“美育思想”.
第二部分（非选择题 共110分）
二、填空题共6小题，每小题5分，共30分。
9.函数f(x)=sin22x的最小正周期是__________．
【答案】 .
②曲线C上任意一点到原点的距离都不超过 ；
③曲线C所围成的“心形”区域的面积小于3.
其中，所有正确结论的序号是
A. ①B. ②C. ①②D. ①②③
【答案】C
【解析】
【分析】
将所给方程进行等价变形确定x的范围可得整点坐标和个数，结合均值不等式可得曲线上的点到坐标原点距离的最值和范围，利用图形的对称性和整点的坐标可确定图形面积的范围.
【详解】运行第一次， ， ，
运行第二次， ， ，
运行第三次， ， ，
结束循环，输出 ，故选B.
【点睛】本题考查程序框图，属于容易题，注重基础知识、基本运算能力的考查.
3.已知直线l的参数方程为 （t为参数），则点（1,0）到直线l的距离是
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】
首先将参数方程化为直角坐标方程，然后利用点到直线距离公式求解距离即可.
【分析】
由题意利用离心率的定义和 的关系可得满足题意的等式.
【详解】椭圆的离心率 ,化简得 ,
故选B.
【点睛】本题考查椭圆的标准方程与几何性质,属于容易题,注重基础知识､基本运算能力的考查.
5.若x，y满足 ，且y≥−1，则3x+y的最大值为
A. −7B. 1C. 5D. 7
【答案】C
【解析】
【分析】
绝密★启用前
2019年普通高等学校招生全国统一考试
数 学（理）（北京卷）
本试卷共5页，150分。考试时长120分钟。考生务必将答案答在答题卡上，在试卷上作答无效。考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
第一部分（选择题 共40分）
一、选择题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项。
【答案】(1). 0. (2). -10.
【解析】
【分析】
首先确定公差,然后由通项公式可得 的值，进一步研究数列中正项､负项的变化规律,得到和的最小值.
【详解】等差数列 中, ,得 ,公差 , ,
由等差数列 的性质得 时, , 时, 大于0,所以 的最小值为 或 ,即为 .
【点睛】本题考查等差数列的通项公式､求和公式､等差数列的性质,难度不大,注重重要知识､基础知识､基本运算能力的考查.
A. 充分而不必要条件B. 必要而不充分条件
C. 充分必要条件D. 既不充分也不必要条件
【答案】C
【解析】
【分析】
由题意结合向量的减法公式和向量的运算法则考查充分性和必要性是否成立即可.
【详解】∵A､B､C三点不共线,∴
| + |>| | | + |>| - |
| + |2>| - |2 • >0 与
A. 1010.1B. 10.1C. lg10.1D. 10–10.1
【答案】D
【解析】
【分析】
先求出 ，然后将对数式换为指数式求 再求
【详解】两颗星的星等与亮度满足 ,
令 ， ，
，
，
故选D.
【点睛】考查考生的数学应用意识、信息处理能力、阅读理解能力以及指数对数运算.
7.设点A，B，C不共线，则“ 与 的夹角为锐角”是“ ”的
由题意可知AD⊥CD，且PA∩AD=A，
由线面垂直的判定定理可得CD⊥平面PAD.
(Ⅱ)以点A为坐标原点，平面ABCD内与AD垂直的直线为x轴，AD,AP方向为y轴，z轴建立如图所示的空间直角坐标系 ，
易知： ，
由 可得点F的坐标为 ，
由 可得 ，
设平面AEF的法向量为： ，则
，
据此可得平面AEF的一个法向量为： ，
1.已知复数z=2+i，则
A. B. C. 3D. 5
【答案】D
【解析】
【分析】
题先求得 ，然后根据复数的乘法运算法则即得.
【详解】∵ 故选D.
【点睛】本容易题，注重了基础知识、基本计算能力的考查.
2.执行如图所示的程序框图，输出的s值为
A. 1B. 2C. 3D. 4
【答案】B
【解析】
【分析】
根据程序框图中的条件逐次运算即可.
的夹角为锐角.故“ 与 的夹角为锐角”是“| + |>| |”的充分必要条件,故选C.
【点睛】本题考查充要条件的概念与判断､平面向量的模､夹角与数量积,同时考查了转化与化归数学思想.
8.数学中有许多形状优美、寓意美好的曲线，曲线C： 就是其中之一（如图）.给出下列三个结论：
①曲线C恰好经过6个整点（即横、纵坐标均为整数的点）；
【解析】
【分析】
将所给论断，分别作为条件、结论加以分析.
【详解】将所给论断，分别作为条件、结论，得到如下三个命题：