主成分分析PPT课件
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主成分分析讲解PPT参考幻灯片
关性越高，则总信息量越小
2019/11/19
3
谁更重要？
历史成绩 数学成绩
N Mean
4 92.00 4 77.50
Variance
8.667 337.667
2019/11/19
4
A1 A2 A3 B1 B2 B3
2019/11/19
两组变量: A B
Descriptiv e Statistics
2019/11/19
17
主成分的概念 1
• 设x1,x2,…xp为 p 维随机变量 X1,X2,…,Xp
的标准化变换 xi ( X i X i ) / Si
如果其线性组合
C1 a11x1 a12 x2 ... a1p xp
满足
a121 a122 ... a12p 1,且使Var(C1)最大， 则称C1为第一主成分。
1
rik sik / siiskk ;i 1,2,, p;k 1,2,, p;i k
2019/11/19
10
矩阵的特征值和特征向量
• 对于方阵A，如存在常数λ及非零向量x， 使
Ax= λx 则λ为A的一个特征值，x为与λ对应的矩 阵A的特征向量。
n介方阵有n对特征值和特征向量
2019/11/19
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
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谁更重要？
历史成绩 数学成绩
N Mean
4 92.00 4 77.50
Variance
8.667 337.667
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A1 A2 A3 B1 B2 B3
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两组变量: A B
Descriptiv e Statistics
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17
主成分的概念 1
• 设x1,x2,…xp为 p 维随机变量 X1,X2,…,Xp
的标准化变换 xi ( X i X i ) / Si
如果其线性组合
C1 a11x1 a12 x2 ... a1p xp
满足
a121 a122 ... a12p 1,且使Var(C1)最大， 则称C1为第一主成分。
1
rik sik / siiskk ;i 1,2,, p;k 1,2,, p;i k
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矩阵的特征值和特征向量
• 对于方阵A，如存在常数λ及非零向量x， 使
Ax= λx 则λ为A的一个特征值，x为与λ对应的矩 阵A的特征向量。
n介方阵有n对特征值和特征向量
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线性判别分析LDA与主成分分析PCA ppt课件
线性判别分析LDA与主成分分析PCA
线性判别分析LDA与主成分分析PCA
LDA
要说明白LDA，首先得弄明白线性分类器(Linear Classifier)
：因为LDA是一种线性分类器。对于K-分类的一个分类问题，
会有K个线性函数：
权向量（weight vector） 法向量（normal vector）
线性判别分析LDA与主成分分析PCA
例子
举一个例子，假设我们对一张100*100像素的图片 做人脸识别，每个像素是一个特征，那么会有 10000个特征，而对应的类别标签y仅仅是0，1值 ，1代表是人脸。这么多特征不仅训练复杂，而且 不必要特征对结果会带来不可预知的影响，但我 们想得到降维后的一些最佳特征（与y关系最密切 的），怎么办呢？
线性判别分析LDA与主成分分析PCA
基本思想
线性判别分析的基本思想是将高维的模式样本 投影到最佳鉴别矢量空间，以达到抽取分类信息 和压缩特征空间维数的效果。投影后保证模式样 本在新的子空间有最大的类间距离和最小的类内 距离，即模式在该空间中有最佳的可分离性。因 此，它是一种有效的特征抽取方法。使用这种方 法能够使投影后模式样本的类间散布矩阵最大， 并且同时类内散布矩阵最小。
介绍
在实际问题中，我们经常会遇到研究多个变量的问 题，而且在多数情况下，多个变量之 间常常存在一 定的相关性。由于变量个数较多再加上变量之间的 相关性，势必增加了分析问 题的复杂性。如何从多 个变量中综合为少数几个代表性变量，既能够代表 原始变量的绝大多 数信息，又互不相关，并且在新 的综合变量基础上，可以进一步的统计分析，这时 就需要进行主成分分析。
红色的方形的点为0类的原始点、蓝色的方形点为1类的原始点，经过 原点的那条线就是投影的直线，从图上可以清楚的看到，红色的点和 蓝色的点被原点明显的分开了。下面我来推导一下二分类LDA问题的公 式：
线性判别分析LDA与主成分分析PCA
LDA
要说明白LDA，首先得弄明白线性分类器(Linear Classifier)
：因为LDA是一种线性分类器。对于K-分类的一个分类问题，
会有K个线性函数：
权向量（weight vector） 法向量（normal vector）
线性判别分析LDA与主成分分析PCA
例子
举一个例子，假设我们对一张100*100像素的图片 做人脸识别，每个像素是一个特征，那么会有 10000个特征，而对应的类别标签y仅仅是0，1值 ，1代表是人脸。这么多特征不仅训练复杂，而且 不必要特征对结果会带来不可预知的影响，但我 们想得到降维后的一些最佳特征（与y关系最密切 的），怎么办呢？
线性判别分析LDA与主成分分析PCA
基本思想
线性判别分析的基本思想是将高维的模式样本 投影到最佳鉴别矢量空间，以达到抽取分类信息 和压缩特征空间维数的效果。投影后保证模式样 本在新的子空间有最大的类间距离和最小的类内 距离，即模式在该空间中有最佳的可分离性。因 此，它是一种有效的特征抽取方法。使用这种方 法能够使投影后模式样本的类间散布矩阵最大， 并且同时类内散布矩阵最小。
介绍
在实际问题中，我们经常会遇到研究多个变量的问 题，而且在多数情况下，多个变量之 间常常存在一 定的相关性。由于变量个数较多再加上变量之间的 相关性，势必增加了分析问 题的复杂性。如何从多 个变量中综合为少数几个代表性变量，既能够代表 原始变量的绝大多 数信息，又互不相关，并且在新 的综合变量基础上，可以进一步的统计分析，这时 就需要进行主成分分析。
红色的方形的点为0类的原始点、蓝色的方形点为1类的原始点，经过 原点的那条线就是投影的直线，从图上可以清楚的看到，红色的点和 蓝色的点被原点明显的分开了。下面我来推导一下二分类LDA问题的公 式：
主成分分析课件
学习交流PPT
19
学习交流PPT
20
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学习交流PPT
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上，这k维是全新的正交特征也被称为主成分，
是在原有n维特征的基础上重新构造出来的k
维特征。PCA的工作就是从原始的空间中顺序
地找一组相互正交的坐标轴，新的坐标轴的
选择与数据本身是密切相关的。其中，第一
个新坐标轴选择是原始数据中方差最大的方
向，第二个新坐标轴选取是与第一个坐标轴
正交的平面中使得方差最大的，第三个轴是
与第1,2个轴正交学习的交流平PPT 面中方差最大的。依次
4
思考：我们如何得到这些包含最大差异 性的主成分方向呢？
答案：事实上，通过计算数据矩阵的协方差矩 阵，然后得到协方差矩阵的特征值特征向量， 选择特征值最大(即方差最大)的k个特征所对 应的特征向量组成的矩阵。这样就可以将数 据矩阵转换到新的空间当中，实现数据特征 的降维。
1 .0 7 8 5
4 .8 8 5 0
-0 .9 7 1 8
sc
-
1
.0
1
5
8
-0 .0 2 9 9
0 .0 0 1 5
-0 .8 6 5 3
-
1
.0
1
2
2
-0 .8 8 9 4
0 .0 4 6 5
-0 .3 2 9 5 -2 .1 5 3 1 -3 .0 3 9 7 0 .7 0 0 0 -1 .3 7 7 6 -1 .4 6 2 5 0 .6 3 1 7 3 .3 4 1 1 1 .3 9 1 5 0 .6 6 8 0 0 .0 3 5 3 0 .9 7 2 5 0 .6 2 2 5
主成分分析PPT培训讲学
y p u1 p x1 u2 p x2 upp x p
写为矩阵形式： y U x
u11 u12
U (u1,
,
up
)
u21
u22
up1 up2
x ( x1, x2 , , x p )
u1 p
u2 p
upp
4
主成分性质
§4 主成分的性质
1、均值
Ey E(Ux) U
2 1
Σx
21
12
2 2
p1 p2
1
p
2p
2 p
由于Σx为非负定的对称阵，所以存在正交阵U， 使得
UΣXU
1
0
0
p
其中1,…,p为Σx的特征根，不妨假设1…p。
U是由特征根相对应的特征向量所组成的正交阵：
u11 u12
i
U (u1,
,up
)
u21
u22
up1 up2
释
将xl 轴和x2轴先平移，再同时按逆时针方向旋转角
度，得到新坐标轴Fl和F2，则
y1 y1
x1 cos x2 sin x1 sin x2 cos
y1 y2
cos sin
sin cos
x1 x2
U
x
U为正交旋转变换矩阵
平移、旋转坐标轴
x 2
F 1
主
F2
Va（r y1） Var( y2 ) Var( yp )
二维空间中主成分的几何意义：设有n个样品，每个 样品有两个观测变量xl和x2。在由变量xl和x2 所确定 的二维平面中，n个样本点所散布的情况如椭圆状。 由图可以看出这n个样本点无论是沿着xl 轴方向或x2 轴方向都具有较大的离散性，其离散的程度可以分别
现代统计学分析方法与应用主成分分析PPT课件
§12.3 总体主成分及其性质
2021/3/12
中国人民大学六西格玛质量管理研究中心
19
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§12.3 总体主成分及其性质
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§12.3 总体主成分及其性质
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§12.3 总体主成分及其性质
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§12.3 总体主成分及其性质
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§12.3 总体主成分及其性质
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§12.2 主成分分析的意义
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§12.3 总体主成分及其性质
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第十二章 主成分分析
主成分分析（principal components analysis）也 称主分量分析，是由Hotelling于1933年首先提出的。主 成分分析是利用降维的思想，在损失很少信息的前提下 把多个指标转化为几个综合指标的多元统计方法。通常 把转化生成的综合指标称之为主成分，其中每个主成分 都是原始变量的线性组合，且各个主成分之间互不相关， 这就使得主成分比原始变量具有某些更优越的性能。这 样在研究复杂问题时就可以只考虑少数几个主成分而不 至于损失太多信息，从而更容易抓住主要矛盾，揭示事 物内部变量之间的规律性，同时使问题得到简化，提高 分析效率。本章主要介绍主成分分析的基本理论和方法、 主成分分析的计算步骤及主成分分析的上机实现。
主成分分析方法优秀课件
❖ 从以上的分析可以看出，主成分分析的实质就
是确定原来变量xj（j=1，2 ，…， p）在诸主 成分zi（i=1，2，…，m）上的荷载 lij（ i=1， 2，…，m； j=1，2 ，…，p）
❖ 从几何上看,找主成分的问题,就是找出P维空间 中椭球体的主轴问题；从数学上容易知道，从
数学上可以证明，它们分别是相关矩阵的m个
=0
❖ 所以上述条件等同于
6
5Co(Yv1,Y2) y1jy2j 0 j1
❖ 因此，如果原坐标旋转后的Y1轴是我们要 求的使Var(Y1)最大的直线的话，则必然有 Var(Y2)最小，且 Co(Y1v,Y2)0。这说明6个 样方点对新坐标的离差矩阵应为
YT Y 5 C V(Y o (1 a Y ,1 Y )2 v )rC V(Y o (a 1 Y ,2 Y )2 v )r 0 1
力的工具。主成分分析是把原来多个变量划为少数几个综 合指标的一种统计分析方法。从数学角度来看，这是一种 降维处理技术
§1 主成分分析方法的基本原理
假定有n个地理样本，每个样本共有p个 变量，构成一个n×p阶的地理数据矩阵
x11 x12 x1 p
X
x21
x22
x2
p
xn1
xn 2
xnp
6
样方
1
物种X1 1
物种X2 5
2 3 4 5 6 总和 2 0 2 -4 -1 0 2 1 0 -4 -4 0
种X2
X2
12
10
8
6
4
2
0
0
1
2
3
4
5
6
7
种X1
6 5 4 3 2 1 0 -5 -4 -3 -2 -1-1 0 1 2 3 4 5 6 -2 -3 -4 -5
多元统计分析——基于R 语言 PPT课件-主成分分析
5.2 总体主成分及其性质
5.2.4 由相关阵求主成分时主成分性质的简单形式
我们将由相关阵得到的主成分的性质总结如下:
(1) 的协方差矩阵为对角阵;
(2)
性质
σ
= ()
= () = () = =
σ= () ;
(3) 第个主成分的方差占总方差的比例,即第个主成分的方差贡献率
④各主成分之间互不相关
5.1 主成分分析的基本原理
5.1.2 主成分分析的基本理论
设对某一事物的研究涉及p个指标,分别用, , … , 表示,这p个指标构成的p维随机向量为
= (, , … , )′。设随机向量X的均值为μ,协方差矩阵为Σ
对进行线性变换,可以形成新的综合变量,用表示,也就是说,新的综合变量可以由
(1) = ′,即为阶正交阵;
(2)的分量之间互不相关,即() = (, , … , );
(3)的个分量按方差由大到小排列,即 ≥ ≥ ⋯ ≥
5.2 总体主成分及其性质
5.2.2 主成分的性质
定义5.1
称 =
+ +⋯+
σ
= ，
′
′
≠
=
5.2 总体主成分及其性质
5.2.1 从协方差矩阵出发求解主成分
设随机向量 = (, , … , )′的协方差矩阵为, , , … , ( ≥ ≥ ⋯ ≥ )
为的特征根, , , … , 为矩阵Σ各特征根对应的标准正交特征向量,则第个主成
=1
性质5
=1
=1
1
2
2
, =
= 1
5.2 总体主成分及其性质
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a a j1 0
a a j1 0
称 Y j aj X 为原始变量 X 的第 j 个主成分。
14
按 前面 的 步骤 依 次类 推， 可 得到
p
个主成分y1 ,
y2 ,
,
y
，
p
它
们
两
两
不 相关 ， 且 方差 依 次减少 。
15
定理3.2.1 设 的 p 个顺序特征值为
1 p 0， 1 2 p ，
***********
**
*
*
X1
方差
10
假设原始的
p 个变量为： X1, X 2 ,
,
X
，记：
p
X1
X
X2
X p
D( X ) ( ij ) p p
令：新变量 Y aX
11
第一主成分
求 p 维常数向量 a1 ,使得
Da1X max DaX max a a
aa 1
aa 1
其中
j(
j
1,2,
,
p)是对应于
的标准
j
正交特征向量，则 I , X 的第 j 个
主成分Yj 表达式的系数向量a j j ,
即Y j
j X ,且D(Yj )
。
j
16
主成分的几何意义
X2
Y2
Y1
*
*
***
*
* * *
*
** *
* *
* *
*
* ************* **
*
X1
***
X2
21
22
X p p1 p2
1k Y1 X1
2k kp
Y2 Yk
X 2 X p
25
原始变量与主成分的函数关系（续）
k
k
DX i
2 ij
D
Y
j
j
2 ij
j 1
j 1
用 X i 代替X i时，X i 所失去的方差为：
k
p
ii
j
2 ij
27
第三节
基于总体相关矩阵的主成分分析
28
总体相关矩阵
1 12
D D 1 2
1
2
12
1
1 p 2 p
1 p
2 p
1
29
标准化原始变量
30
31
主要结果
1.
Yj j Z
j
D
1 2
X
1j
X1 1 11
pj
Xp p pp
2. D Yj j
a a1 0
称 Y2 a2 X 为原始变量 X 的第二主成分。
13
第 j 个主成分
求第 j 个新变量 aj X (aj a j 1)，使其与
Y1 ,Y2 ,
,
Y
j
不
1
相关，且包含的信
息量尽
可能地大，即满足：
D aj X max DaX max a a
aa 1
aa 1
a a1 0
a a1 0
个k 变量是两两不相关，另一方面，在
尽可能保持原有信息的基础上，使得
尽可k 能的小。
7
第二节
基于总体协方差矩阵的主成分求法
8
需要解决的问题
新变量是原始变量的什么函数关系
——线性函数
用什么来表示一个变量所反映的信息量
9
X2
Y2
Y1
*
**
* **
** ** *
**
* *
* *
* *
* *
* *
i 1
21
原始变量与主成分的函数关系
Y1 1 X
Y X
Y
p
p
X
从而有：X Y，
22
原始变量与主成分的函数关系（续）
X 1 11 12
X2
21
22
X p p1 p2
1 p Y1 2 p Y2
pp Y p
的第 i 行反映了各主成分对X i 的影响， 的第 j 列反映了主成分Yj对各原始变量的影响。
X 2 ,
,
X
的能力越强，
p
也 就 是 说 对 原 始 变 量X 1 , X 2 , , X p
的解释能力越强。
20
原始变量与主成分的相关系数
因子负荷量
( Xi ,Yj )
cov Xi ,Yj
VarXi Var Yj
j ij ii j
1
2
j
ij
1
2 ii
p
2 (Xi , Yj ) ii j
称 Y1 a1X 为原始变量 X 的第一主成分 (a1a1 1)。
12
第二主成分
求 第 二 个 新 变 量a2 X (a2a2 1)， 使 其 与Y1不 相 关 ， 且 包 含 的 信 息量 尽 可 能 地大，即满足：
Da2 X max DaX max a a
aa 1
aa 1
a a1 0
ij 称为 X i 在 Y j上的载荷。
23
原始变量与主成分的函数关系（续）
ii DX i
p
2 ij
D
Yj
j 1
p
j
2 ij
j 1
24
原始变量与主成分的函数关系（续）
如果仅选择前 k（k p) 个主成分，则这 k 个主 成分便不能完全反映原始变量的信息，此时
X1 11 12
4
主成分分析的基本思想 基于总体协方差矩阵的主成分求法 基于总体相关矩阵的主成分分析 基于样本数据的主成分分析 实例分析
5
第一节
主成分分析的基本思想
6
主成分分析的基本思想
对于原先的 p(个2量) X 1 ,，X 2 , ,需X 要p 找 出 个新k变(量p) 来代替Y1原,Y始2 ,变,量Yk， 要求：一方面，这
17
“总方差” 的不变性
p
j
tr
p
ii
j 1
i 1
18
贡献率
p
定义3.2.1 称 j
j
为
主
成
分Y
的
j
j 1
k
p
贡献率, 称 j j 为前k个主成分
j 1
j 1
Y1 ,Y2 , ,Yk的 累 积 贡 献 率 。
19
贡献率的含义
主
成
分Y
的
j
贡
献
率
越
大
，
说
明
其
“ 综 合 ”X 1 ,
j
2 ij
j 1
jk 1
26
主成分对单个原始变量的贡献率
k
定义3.2.2 称 i
j
2 ij
ii 为
j 1
前k个主成分Y1 ,Y2 , ,Yk 对第i个原
始变量X i 的贡献率。
i说 明 前k个 主 成 分Y1 ,Y2 , ,Yk 提 取
了 第i个 原 始 变 量X i 的 多 少 信 息 ， 即 反 映 对X i 的 解 释 能 力 。
第三章 主成分分析
1
问题的提出
根据某班学生的“高等数学”成绩对 全班学生进行排序。
如何根据某班学生的所有必修课成绩 对全班学生进行综合排序？
如何综合评价某行业各企业的经济效 益情况？
2
经济效益综合评价
成本费用利润率 全员劳动生产率 流动资金周转次
数 产品销售率
等等
3
在实际中，为了全面分析问题，往往 提出很多与此有关的变量（因素）， 每个变量都反映了一定的信息，有些 变量之间有一定的相关性，即反映信 息有一定的重叠。由于变量太多，人 们自然希望利用较少的变量来反映足 够多的信息。
3.
p
Dzi
p
p
tr j
p
DY
j
i1
j 1
j 1
32
主要结果(续)