主成分分析PPTword版本
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《主成分分析》课件
投资组合优化
通过主成分分析，找到不同投 资标的之间的关系，优化投资 组合的效益。
主成分分析在市场调研中的应用
1
偏好分析
通过主成分分析，找到消费者的特征
产品定位
2
和偏好，精准制定相应的市场策略。
通过主成分分析，找到消费者对产品
的不同评价因素，合理确定产品的定
位。
3
竞品分析
通过主成分分析，评估竞争对手的优 势和劣势，为企业提供相应的决策依 据。
慕课在线学习行业民调
通过主成分分析，找到影响学 习者的因素，比如课程质量、 师资水平、学习难度等方面。
降水量分析和气候变化
通过主成分分析和时间序列分 析，找到影响气象预测和气候 变化的主要原因和特征。
食品市场调查分析
通过主成分分析，找到影响消 费者购买健康食品的因素，制 定相应的市场营销策略。
标准化数据
通过Z-score标准化数据，去除不同变 量的量纲影响。
提取主成分
根据协方差矩阵的特征值和特征向量， 提取主成分。
如何选择主成分数量
特征值
根据特征值大于1的原则，选择主成分的数量。
累计贡献率
当累计贡献率到达一定阈值后，选择主成分数量。
图形分析
通过屏幕图和贡献率图来选择主成分数量。
主成分分析的优点和缺点
应用
主成分分析适用于变量之间没有明确因果关系 的情况下，提取它们的主成分；而因子分析需 要基于理论或先验知识，对变量进行选择和定 量，发现变量间的潜在因子。
主成分分析在金融分析中的应用
股票指数分析
通过主成分分析，找到影响整 个股票市场的因素，快速判断 股票市场的健康状况。
信用卡违约风险评估
通过主成分分析，找到导致信 用卡违约的因素，提高信用卡 贷款的质量。
《主成分分析PCA》课件
1 PCA用于降维，而线
性回归用于预测
PCA帮助我们理解数据的 本质，而线性回归则是用 来预测未知的结果。
2 PCA通过寻找最大方
差方向来解释数据差 异
PCA通过找到能够解释数 据最大方差的方向来降低 数据的维度。
3 线性回归通过拟合一
个线性函数来解释数 据
线性回归则通过拟合一个 线性函数来解释数据之间 的关系。
到协方差矩阵。
3
计算协方差矩阵的特征值和特征
向量
通过对协方差矩阵进行特征值分解，得
选择前n个最大的特征值对应的 特征向量，构成特征向量矩阵
4
到特征值和特征向量。
根据特征值的大小，选取对应的特征向
量来构成特征向量矩阵。
5
将数据投影到特征向量上得到降 维后的数据
将数据乘以特征向量矩阵，得到在新的 低维空间中投影的数据。
《主成分分析PCA》PPT课件
# 主成分分析PCA ## 介绍 - 主成分分析（PCA）是一种常见的数据降维方法 - 通过将高维数据映射到低维空间，以发现数据中的主要变化 ...
PCA步骤
1
数据中心化
将数据减去数据平均值，以使数据中心
计算数据协方差矩阵
2
位于原点。
计算数据在不同维度之间的相关性，得
PCA应用
数据可视化
通过PCA降维，可以将高维数据可视化到二维或 三维空间。
特征选择
通过PCA可以找到数据中最能解释数据变异的特 征。
压缩数据和降噪
PCA可以用于将数据压缩到较低的维度，同时去 除数据中的噪声。
数据预处理
在机器学习中，使用PCA进行数据预处理可以提 高模型的性能。
PCA与线性回归的比较
《主成分分析》幻灯片PPT
PCA的实质——简化数据
用尽可能少的变量〔主成分〕反映原始数据中尽 可能多的信息，以简化数据，突出主要矛盾。
反映原始数据特征的指标：方差-离散度 主成分：原始变量的最优加权线性组合 最优加权：
第一主成分：寻找原始数据的一个线性组合，使 之具有最大方差〔数据离散度最大的方向〕
第二主成分：寻找原始数据的一个线性组合，使 之具有次大方差，且与第一主成分无关
12.00
14.00
16.00
run100m
18.00
20.00
二、PCA的模型与算法
设:x为标准化变量, 原始数据阵 X s [x 1 ,x 2 , x p ] PCA目标：找到原始数据方差最大的线性组合
❖设：线性组合系数为p×1=[1, 2, … p]T
❖即:要找一个 使z=Xs= 1x1+ 2x2 +…+ pxp具有
What does PCA do?
Original data matrix, say n by p 正交旋转
New data matrix, say n by q, with q < p：
例：研究55个国家运发动径赛 能力，用8项径赛成绩
经PCA得到新数据阵： z55×2：选取2个主成分， 其中第一主成分表示综合
0.0
1
第一主成分-1.0包0 含的信0.0息0 量显然1.00
-21..000
售 电 量
Z2
大于第二主成分，因而忽略s 第
二主成分信息损失不大 -2.0
-2
-1
Ma Xin, North China Electric Power University
0
1
2
3
主成分分析方法PPT课件
X
x21
x22
x2
p
xn1
xn 2
xnp
❖ 当p较大时，在p维空间中考察问题比较麻烦。 为了克服这一困难，就需要进行降维处理. 要求：较少的几个综合指标尽量多地反映原来较 多变量指标所反映的信息，同时它们之间又是彼 此独立的
例，成绩数据
❖ 100个学生的数学、物理、化学、语文、历 史、英语的成绩如下表（部分）。
p
lk2j 1, (k 1,2,, m)
j 1
Rlk lk (R E)lk 0
计算主成分贡献率及累计贡献率
▲贡献率:
k
p
i
(k 1,2,, p)
i 1
▲累计贡献率:
k
p
j1 j / i1 i
一般取累计贡献率达85—95%的特征值 1, 2 ,, m 所对应的第一、第二、…、第m（m≤p）个主成分
6
6
样方
1
物种X1 1
物种X2 5
2 3 4 5 6 总和 2 0 2 -4 -1 0 2 1 0 -4 -4 0
种X2
X2
12
10
8
6
4
2
0
0
1
2
3
4
5
6
7
种X1
6 5 4 3 2 1 0 -5 -4 -3 -2 -1-1 0 1 2 3 4 5 6 -2 -3 -4 -5
X1
中心化后的原始数据矩阵
X
1 5
2 2
0 1
2 0
4 4
1 4
❖ 把坐标轴X1、 X2刚性地旋转 一个角度，得
到图中新坐标
轴Y1和Y2
X2
6
主成分分析专题知识课件
5. 主成份旳含义 F1表达学生身材大小。 F2反应学生旳体形特征
三个主成份旳方差贡献率分别为：
1 3 i
98.15 98.15 23.60 1.56
98.15 79.6% 123.31
i 1
2 23.60 19.1%
3
i
123.31
i 1
3 3 i
1.56 1.3% 123.31
i 1
主成份分析旳几何解释
旋转坐标轴
x
2
F 1
F2
•
•••
•••
• •
•
•••••••••••••••••••••••
• •
F1 x1 cos x2 sin
F2 x1 sin x2 cos
F1
F2
cos sin
sin x1
cos
x2
x2
旋转变换旳目旳是为了使得n个
样本点在F1轴方向上旳离散程度
1、数据原则化 2、 求有关矩阵R
zij
xij si
xi
R 1 ZZ T n1
Z (zij )
3、 计算R旳特征值及累积贡献率，并计算相应旳特征 向量
经过计算取2个主成份，信息旳可靠程度超出85%
F1 0.445Z1 0.48Z2 0.45Z3 0.17Z4 0.58Z5 F2 0.45Z1 0.40Z2 0.436Z3 0.65Z4 0.16Z5
80 ~ 85%
且
i
i 1
m
i
i 1 p
80 ~ 85%
i
ii
1 4
• 例 设X (X1, X2)T 旳协方差矩阵为 4 100 作主成份分析。
• 解： 假如从 出发作主成份分析，易求得其特征 值和相应旳正交单位化特征向量为
三个主成份旳方差贡献率分别为：
1 3 i
98.15 98.15 23.60 1.56
98.15 79.6% 123.31
i 1
2 23.60 19.1%
3
i
123.31
i 1
3 3 i
1.56 1.3% 123.31
i 1
主成份分析旳几何解释
旋转坐标轴
x
2
F 1
F2
•
•••
•••
• •
•
•••••••••••••••••••••••
• •
F1 x1 cos x2 sin
F2 x1 sin x2 cos
F1
F2
cos sin
sin x1
cos
x2
x2
旋转变换旳目旳是为了使得n个
样本点在F1轴方向上旳离散程度
1、数据原则化 2、 求有关矩阵R
zij
xij si
xi
R 1 ZZ T n1
Z (zij )
3、 计算R旳特征值及累积贡献率，并计算相应旳特征 向量
经过计算取2个主成份，信息旳可靠程度超出85%
F1 0.445Z1 0.48Z2 0.45Z3 0.17Z4 0.58Z5 F2 0.45Z1 0.40Z2 0.436Z3 0.65Z4 0.16Z5
80 ~ 85%
且
i
i 1
m
i
i 1 p
80 ~ 85%
i
ii
1 4
• 例 设X (X1, X2)T 旳协方差矩阵为 4 100 作主成份分析。
• 解： 假如从 出发作主成份分析，易求得其特征 值和相应旳正交单位化特征向量为
主成分分析,张PPT文档102页
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❖ 知识பைடு நூலகம்是财富 ❖ 丰富你的人生
71、既然我已经踏上这条道路，那么，任何东西都不应妨碍我沿着这条路走下去。——康德 72、家庭成为快乐的种子在外也不致成为障碍物但在旅行之际却是夜间的伴侣。——西塞罗 73、坚持意志伟大的事业需要始终不渝的精神。——伏尔泰 74、路漫漫其修道远，吾将上下而求索。——屈原 75、内外相应，言行相称。——韩非
主成分分析，张
1、合法而稳定的权力在使用得当时很 少遇到 抵抗。 ——塞 ·约翰 逊 2、权力会使人渐渐失去温厚善良的美 德。— —伯克
3、最大限度地行使权力总是令人反感 ；权力 不易确 定之处 始终存 在着危 险。— —塞·约翰逊 4、权力会奴化一切。——塔西佗
5、虽然权力是一头固执的熊，可是金 子可以 拉着它 的鼻子 走。— —莎士 比
第8章主成分分析-PPT精选文档
2019/3/20
©
谢中华, 天津科技大学数学系.
多元统计分析
这种由讨论多个指标降为少数几个综合 指标的过程在数学上就叫做降维。主成 分分析通常的做法是，寻求原指标的线 性组合Fi。
F 1 a 11X 1 a 12 X2 a 1p X p a 1x F 2 a 21X 1 a 22 X2 Fp ap1X1 ap2 X2
2019/3/20
x a2 p Xp a2 app Xp a px
©
谢中华, 天津科技大学数学系.
多元统计分析
满足如下的条件：
1、每个主成分的系数平方和为1。即
a a a 1
2 i 1 2 i 2 2 i p
2、主成分之间相互独立，即无重叠的信息。即 Cov （ F ， F ） 0 ， i j ， i ， j 1 ， 2 ， ， p i j 3、主成分的方差依次递减，重要性依次递减，即 Var （ F ） Var ( F ) Var ( F ) 1 2 p
F2
x2
F1
• • • • • • • • • • • •• • •
• • • • • • • • • • • • •• • • • • •
•
x1
2019/3/20
©
谢中华, 天津科技大学数学系.
多元统计分析
根据旋转变换的公式：
y x 1 x 1cos 2sin y x x 2 1sin 2 cos
2019/3/20
©
谢中华, 天津科技大学数学系.
多元统计分析
如果我们将xl 轴和x2轴先平移，再同时按 逆时针方向旋转角度，得到新坐标轴Fl和 F2。Fl和F2是两个新变量。
第九章 主成分分析PPT课件
➢ 因而，人们希望对这些变量加以“改造”，用少数的互 不相关的新变量反映原始变量所提供的绝大部分信息， 通过对新变量的分析解决问题。
前言
➢ 主成分分析是把各变量之间互相关联的复 杂关系进行简化分析的方法。
➢ 在多指标的数据分析中，压缩指标个数的 讨论成为实际工作者关心的问题之一。
➢ 主成分分析就是将多个指标转化为少数几 个综合指标的一种常用的统计方法
5维空间在平面上的投影
x2 y2
x1
x3
y1 x4
x5
y1 =l11x1 +l21x2 +…+l51x5 y2 =l21x1 +l22x2 +…+l52x5
x2
y2
x1
x3 y1
x4为Z，标准化后的变量记为X。作标准化变换：
z j
1 n
n
zkj
k 1
xkj
zkj sj
➢ yl，y2除了可以对包含在xl，x2中的信息起着 浓缩作用之外，还具有不相关（图形中表 现为正交）的性质，这就使得在研究复杂 的问题时避免了信息重叠所带来的虚假性。 二维平面上的个点的方差大部分都归结在 yl 轴上，而y2轴上的方差很小。 yl 和 y2 称为 原始变量xl和x2的综合变量。 y 简化了系统 结构，抓住了主要矛盾。
➢ 主成分分析能起到既减少指标个数，又不影响所要达 到的统计分析的目的。
➢ 要注意的是，主成分分析方法往往是一种 手段，它要与其它方法结合起来使用。
➢ 常与回归分析、因子分析、聚类分析结合 在一起使用
问题的提出
设在一个问题中，有n个个体，对每一个个体测定了p个指 标，其观察值组成了一个矩阵
x11 x12 ... x1p
前言
➢ 主成分分析是把各变量之间互相关联的复 杂关系进行简化分析的方法。
➢ 在多指标的数据分析中，压缩指标个数的 讨论成为实际工作者关心的问题之一。
➢ 主成分分析就是将多个指标转化为少数几 个综合指标的一种常用的统计方法
5维空间在平面上的投影
x2 y2
x1
x3
y1 x4
x5
y1 =l11x1 +l21x2 +…+l51x5 y2 =l21x1 +l22x2 +…+l52x5
x2
y2
x1
x3 y1
x4为Z，标准化后的变量记为X。作标准化变换：
z j
1 n
n
zkj
k 1
xkj
zkj sj
➢ yl，y2除了可以对包含在xl，x2中的信息起着 浓缩作用之外，还具有不相关（图形中表 现为正交）的性质，这就使得在研究复杂 的问题时避免了信息重叠所带来的虚假性。 二维平面上的个点的方差大部分都归结在 yl 轴上，而y2轴上的方差很小。 yl 和 y2 称为 原始变量xl和x2的综合变量。 y 简化了系统 结构，抓住了主要矛盾。
➢ 主成分分析能起到既减少指标个数，又不影响所要达 到的统计分析的目的。
➢ 要注意的是，主成分分析方法往往是一种 手段，它要与其它方法结合起来使用。
➢ 常与回归分析、因子分析、聚类分析结合 在一起使用
问题的提出
设在一个问题中，有n个个体，对每一个个体测定了p个指 标，其观察值组成了一个矩阵
x11 x12 ... x1p
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u1u1 u12i u22i
u
2 pi
1
(2) 主成分之间相互无关，即无重叠的信息。即
Co（v yi，yj） 0，i j，i, j 1, , p
(3) 主成分的方差依次递减，重要性依次递减，即
Va（r y1） Var( y2 ) Var( yp )
二维空间中主成分的几何意义：设有n个样品，每个 样品有两个观测变量xl和x2。在由变量xl和x2 所确定 的二维平面中，n个样本点所散布的情况如椭圆状。 由图可以看出这n个样本点无论是沿着xl 轴方向或x2 轴方向都具有较大的离散性，其离散的程度可以分别
0
0
0
p
其中i ,i 1.2. p 是A的特征根。
2、若上述矩阵的特征根所对应的单位特征向量
为
u1, ,up
u11 u12
令 U (u1,
,up
)
u21
u22
up1 up2
u1 p
u2 p
upp
则U是正交矩阵，即有
UU UU I
二、主成分的推导
（一） 第一主成分 设x的协方差阵为
所以当且仅当a1 u1 时， y1有最大的方差1．
y1称为第一主成分。 如果第一主成分的信息不够，则需要寻找 第二主成分。
（二） 第二主成分 在约束条件 cov( y1, y2 ) 0下，寻找第二主成分
y2 a12 x1 a p2 x p a2 x
因为 cov( y1, y2 ) cov(u1 x, a2 x)
u1a2 1u1a2 0
所以 a2u1 0
于是，对任意的p维向量a2，有
p
V ( y2 ) a2a2 ia2uiuia2 i 1
因此，人们会很自然地想到，能否在相关分析的 基础上，用较少的新变量代替原来较多的旧变量， 而且使这些较少的新变量尽可能多地保留原来变量 所反映的信息？
事实上，这种想法是可以实现的，主成分分析方 法就是综合处理这种问题的一种强有力的工具。
主成分分析是把原来多个变量划为少数几个综合 指标的一种统计分析方法。从数学角度来看，这是一 种降维处理技术。
主成分分析通常的做法，是寻求原指标的 线性组合yi：
y1 u11 x1 u21 x2 up1 x p y2 u12 x1 u22 x2 up2 x p
y p u1 p x1 u2 p x2
满足如下的条件：
upp x p
(1) 每个主成分的系数平方和为1（否则其方差可 能为无穷大），即
用观测变量xl 的方差和x2 的方差定量地表示。显然， 如果只考虑xl和x2 中的任何一个，那么包含在原始数 据中的信息将会有较大的损失。
平移、旋转坐标轴
主
成
•• • • •
分 分 析 的 几 何
••
•• •• •
•• •
• ••
•
• o• •
• ••
•
• •
•
•
•
• •••
解
••
释
将xl 轴和x2轴先平移，再同时按逆时针方向旋转角 度，得到新坐标轴Fl和F2，则
2
数学模型与几何解释
§2 数学模型与几何解释
假设实际问题中有p个指标，我们把这p个 指标看作p个随机变量，记为x1，x2，…，xp， 主成分分析就是要把这p个指标，转变为讨论p 个指标的线性组合的问题，这些新的指标y1， y2，…，yk(k≤p），
原则: 保留主要信息量的充分反映原指
标的信息，并且相互无关。这种由讨 论多个指标降为少数几个综合指标的 过程在数学上就叫做降维。
2 1
Σx
21
12
2 2
p1 p2
1
p
2p
2 p
由于Σx为非负定的对称阵，所以存在正交阵U， 使得
UΣXU
1
0
0
p
其中1,…,p为Σx的特征根，不妨假设1…p。
U是由特征根相对应的特征向量所组成的正交阵：
u11 u12
i
U (u1,
,up
)
u21
u22
up1 up2
u1 p
u2 p
upp
ui u1i，u2i， ，upi i 1,2, , P
下面证明，由U的第一列元素所构成的原始变量的 线性组合有最大的方差。
设有P维单位向量 a1 a11, a21,
, a p1
y1 a11 x1 a21 x2 a p1 x p a1 x
主成分分析
目录
CONTENT
1 基本思想 2 数学模型与几何解释 3 主成分的推导及性质 4 主成分性质 5 样本的主成分 6 主成分分析计算步骤 7 主成分分析软件操作
1
基本思想
§1 基本思想
在研究中，多变量问题是经常会遇到的。变量太 多，无疑会增加分析问题的难度与复杂性，而且在 许多实际问题中，多个变量之间是具有一定的相关 关系的。
1
D(
y1 )
a1a1
a1U
2
Ua1
p
1
a1 u1,u2 ,
,
up
2
p
p
ia1uiuia1 1 a1uiuia1
i 1
i 1
1a1UUa1 1a1a1 1
u1
u2
a1
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
p
up
当a1 u1时， y1 u11 x1 up1 x p，且
Var y1 u1xu1 1．
平移、旋转坐标轴
x 2
F 1
主
F2
成
•• • • •
分 分 析 的 几 何
•• • •
•• •
•
• •
••• • • •
o • •••
• •• •
•• •
o•
• •
x 1
解
••
释
旋转变换的目的是为了使得n个样品点在Fl轴方向上 的离散程度最大，即yl的方差最大。
变量yl代表了原始数据的大部分信息，在研究某些 实际问题时，即使不考虑变量y2也无损大局。
二维平面上的各点的方差大部分都归结在Fl轴 上，而F2轴上的方差很小。
yl和y2称为原始变量x1和x2的综合变量。F简化 了系统结构，抓住了主要矛盾。
3
主成分的推导及性质
§3 主成分的推导及性质
一、两个线性代数的结论 1、若A是p阶实对称阵，则一定可以找到正交阵U，使
1 0 0
U
1AU
0
2
经过上述旋转变换原始数据的大部分信息集中到 Fl轴上，对数据中包含的信息起到了浓缩作用。
平移、旋转坐标轴
x 2
F 1
主 成 分 分 析 的 几 何 解 释
F2 ••••
•••••
••••o••
••
•••o••••••••
•••
•••
•
x 1
yl，y2除了可以对包含在Xl，X2中的信息起着浓 缩作用之外，还具有不相关的性质，这就使得在 研究复杂的问题时避免了信息重叠所带来的虚假 性。