高考数学题型全归纳：正余弦定理常见解题类型典型例题(含答案)
正弦余弦历年高考题附详细标准答案.docx
正余弦定理1.在AABC中，A>3是sinA>sin3地（）A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件r2、已知关于x地方程X2 -xcos A cosB + 2 sin2— = 0地两根之和等于两根之积地一半, 2则AA5C一定是（）（A）直角三角形（B）钝角三角形（C）等腰三角形（D）等边三角形.3、已知a,b,c分别是地三个内角A, B.C所对地边，若a=l,b=J^, A+C=2B,则sinC=.4、如图，在ZkABC 中，若b = 1, c = ZC = —,则a=.35、在MSC中，角A,B,C所对地边分别为a, b, c,若。
=很，人=2 , sinB + cosB =扼，则角A地大小为.6、在AABC 中，a,b,c分别为角A,B,C地对边，且4 sin2- cos 2 A =-2 2（1）求/A地度数（2）若a =也,b + c = 3,求人和c地值7,在中已知acosB=bcosA,试判断地形状.8、如图，在中，巳知a =后,b = 41, B=45。
求A、C及c.C'1、解：在AABC中，A> B >Z? v>2AsinA> 2Asin3 v>sinA> sin3,因此，选C .1「 i _ ms C2、【答案】由题意可知：cosAcosB = --2 sm--=从而2 2 22 cos A cos B = 1 + cos(A + 3) = 1 + cos A cos B - sin Asin Bcos Acos B + sin Asin B = 1, cos(A-B) = 1 又因为一兀 < A—B<i所以A-B = O,所以即C一定是等腰三角形选C3、【命题立意】本题考察正弦定理在解三角形中地应用.【思路点拨】由己知条件求出3、A地大小，求出C,从而求出sin C.【规范解答】由A+C=2B及A+3 + C = 180°得3 = 60。
正余弦定理典型例题及解析
正余弦定理的应用的典型例题 五大命题热点：五大命题热点：（1）求解斜三角形中的基本元素）求解斜三角形中的基本元素例1(2005年全国高考湖北卷) 在 ΔABC 中，已知66cos ,364==B AB ，AC 边上的中线BD =5，求sin A 的值．的值．（2）判断三角形的形状：给出三角形中的三角关系式，判断此三角形的形状． 例2(2005年北京春季高考题)在ABC D 中，已知C B A sin cos sin 2=，那么ABC D 一定是（定是（ ） A ．直角三角形．直角三角形 B ．等腰三角形．等腰三角形 C ．等腰直角三角形．等腰直角三角形 D ．正三角形．正三角形（3）解决与面积有关问题）解决与面积有关问题例3(2005年全国高考上海卷) 在ABC D 中，若120A Ð= ，5AB =，7BC =，则ABC D 的面积S ＝_________（4）求值问题）求值问题例4(2005年全国高考天津卷) 在ABC D 中，C B A ÐÐÐ、、所对的边长分别为c b a 、、，设c b a 、、满足条件222a bc c b =-+和321+=b c ，求A Ð和B tan 的值．的值．（5）正余弦定理解三角形的实际应用）正余弦定理解三角形的实际应用 ①测量问题；测量问题；例5 如图1所示，为了测河的宽度，在一岸边选定A 、B 两点，望对岸标记物C ，测得∠CAB=30°，∠CBA=75°，AB=120cm ，求河的宽度。
，求河的宽度。
图1 A B C D ②遇险问题遇险问题例6某舰艇测得灯塔在它的东15°北的方向，此舰艇以30海里/小时的速度向正东前进，30分钟后又测得灯塔在它的东30°北。
若此灯塔周围10海里内有暗礁，问此舰艇继续向东航行有无触礁的危险？③追击问题追击问题例7 如图3，甲船在A 处，乙船在A 处的南偏东45°方向，距A 有9n mile 并以20n mile/h 的速度沿南的速度沿南 偏西15°方向航行，若甲船以28n mile/h 的速度航的速度航 行，应沿什么方向，用多少h 能尽快追上乙船？能尽快追上乙船？答案：答案： 例1 分析：本题关键是利用余弦定理，求出AC 及BC ，再由正弦定理，即得sin A ． 西北 南东 A B C 30° 15°图2 图3 A B C 北 45°15°解：设E 为BC 的中点，连接DE ，则DE //AB ，且36221==AB DE ，设BE ＝x在 ΔBDE 中利用余弦定理可得：BED ED BE ED BE BD cos 2222×-+=， x x 6636223852´´++=，解得1=x ，37-=x （舍去） 故BC =2，从而328cos 2222=×-+=B BC AB BC AB AC ，即3212=AC 又630sin =B ，故22123sin 306A =，1470sin =A 例2 解法1：由C B A sin cos sin 2=＝sin(A ＋B )＝sin A cos B ＋cos A sin B ，即sin A cos B －cos A sin B ＝0，得sin(A －B )＝0，得A ＝B ．故选(B)．解法2：由题意，得cos B ＝sin 2sin 2C c A a =，再由余弦定理，得cos B ＝2222a c b ac+-． ∴ 2222a c b ac+-＝2c a ，即a 2＝b 2，得a ＝b ，故选(B)． 评注：判断三角形形状，通常用两种典型方法：⑴统一化为角，再判断(如解法1)，⑵统一化为边，再判断(如解法2)． 例3 解：分析：本题只需由余弦定理，求出边AC ，再运用面积公式S ＝21AB •AC sin A 即可解决．由余弦定理，得cos A ＝2222254912102AB AC BC AC AB AC AC +-+-==-··，解得AC ＝3．∴ S ＝21AB •AC sin A ＝4315．∴．∴ 21AB •AC •sin A ＝21AC •h ，得h ＝AB • sin A ＝223，故选(A)．例4分析：本题给出一些条件式的求值问题，关键还是运用正、余弦定理．分析：本题给出一些条件式的求值问题，关键还是运用正、余弦定理．解：由余弦定理212cos 222=-+=bc a c b A ，因此，°=Ð60A在△ABC 中，∠C=180°－∠A －∠B=120°－∠B. 由已知条件，应用正弦定理BB BC b c sin )120sin(sin sin 321-°===+ ,21cot 23sin sin 120cos cos 120sin +=°-°=B B B B 解得,2cot =B 从而.21tan =B 例5 分析：求河的宽度，就是求△ABC 在AB 边上的高，而在河的一边，已测出AB 长、∠CAB 、∠CBA ，这个三角形可确定。
高考数学正弦余弦真题及答案一
B．直角三角形C．等腰直角三角形D ．等腰三角形或直角三角形（2020•江苏）在△ABC 中，角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c.已知a=3，c=2，B=45°．（1）求sinC 的值；（2）在边BC 上取一点D ，使得cos ∠ADC=-45，求tan ∠DAC的值．√【题型】整体思想；综合法；解三角形；数学运算．【答案】见试题解答内容【分析】（1）由题意及余弦定理求出b 边，再由正弦定理求出sinC 的值；（2）三角形的内角和为180°，cos ∠ADC=-45，可得∠ADC 为钝角，可得∠DAC 与∠ADC+∠C 互为补角，所以sin ∠DAC=sin （∠ADC+∠C ）展开可得sin ∠DAC 及cos ∠DAC ，进而求出tan ∠DAC的值．【解答】解：（1）因为a=3，c=2，B=45°．，由余弦定理可得：b=a 2+c 2−2accosB =9+2−2×3×2×22=5，由正弦定理可得c sinC =b sinB ，所以sinC=c b •sin45°=25•22=55，所以sinC=55；（2）因为cos ∠ADC=-45，所以sin ∠ADC=1−cos 2∠ADC =35，在三角形ADC 中，易知C 为锐角，由（1）可得cosC=1−sin2C=255，所以在三角形ADC 中，sin ∠DAC=sin （∠ADC+∠C ）=sin ∠ADCcos ∠C+cos ∠ADCsin ∠C=2525，因为∠DAC ∈(0，π2)，所以cos ∠DAC=1−sin2∠DAC=11525，所以tan ∠DAC=sin ∠DAC cos ∠DAC =211．√√√√√√√√√√√√√√√√√【点评】本题考查三角形的正弦定理及余弦定理的应用，及两角和的正弦公式的应用，属于中档题．（2022秋•鄠邑区期末）在△ABC 中，内角A ，B ，C 的对边分别为a,b,c,且满足c=2acosB ，则△ABC 的形状是（ ）A．6B．12D．无解B．7C．19D．19【题型】解三角形．【答案】A【分析】利用余弦定理代入，可得a=b,从而可得结论．【解答】解：∵c=2acosB，∴c=2a•a2+c2−b22ac，∴a2=b2，∴a=b,∴△ABC的形状是等腰三角形．故选：A．【点评】本题考查余弦定理的运用，考查学生的计算能力，属于基础题．（2023春•雁塔区校级期中）在△ABC中，已知b=63，c=6，C=30°，则a=（ ）√【题型】计算题；转化思想；综合法；解三角形；数学运算．【答案】C【分析】由已知利用余弦定理可得a2-18a+72=0，解方程即可求解a的值．【解答】解：∵b=63，c=6，C=30°，∴由余弦定理c2=a2+b2-2abcosC，可得36=a2+108-2×a×63×32，整理可得：a2-18a+72=0，∴解得a=12，或6．故选：C．√√√【点评】本题主要考查了余弦定理在解三角形中的应用，考查了方程思想，属于基础题．（2023春•房山区期末）在△ABC中，已知a=2，b=3，C=60°，则c等于（ ）√【题型】解三角形．【答案】A【分析】利用余弦定理列出关系式，将a,b及cosC的值代入即可求出c的值．【解答】解：∵在△ABC中，a=2，b=3，C=60°，∴由余弦定理得：c2=a2+b2-2abcosC=4+9-6=7，A．2B．2C．3A．23C．45D．38则c=7．故选：A．√【点评】此题考查了余弦定理，以及特殊角的三角函数值，熟练掌握余弦定理是解本题的关键．（2023春•青铜峡市校级期末）△ABC的内角A，B，C的对边分别为a,b,c,若cosA=63，b=22，c=3，则a=（ ）√√√√【题型】整体思想；综合法；解三角形；数学运算．【答案】D【分析】根据余弦定理求解即可．【解答】解：由余弦定理得a2=b2+c2-2bccosA=3，得a=3．故选：D．√【点评】本题主要考查了余弦定理在求解三角形中的应用，属于基础题．（2023春•香洲区校级期末）已知△ABC的三边长分别为a,a+3，a+6，且最大内角是最小内角的2倍，则最小内角的余弦值为（ ）【题型】整体思想；综合法；解三角形；数学运算．【答案】B【分析】设角A，B，C所对的边分别为a,a+3，a+6，则C=2A，由正弦定理可得asinA=a+6sinC，化简得cosA=a+62a，再利用余弦定理可求出a的值，进而求出cosA即可．【解答】解：设角A，B，C所对的边分别为a,a+3，a+6，则A为最小角，C为最大角，∴C=2A，由正弦定理可得，asinA=a+6sinC=a+6sin2A，∴asin2A=（a+6）sinA，即2asinAcosA=（a+6）sinA，又∵A∈（0，π），∴sinA≠0，A．6-2B．4-23D．4+23B．60°C．135°D．150°∴cosA=a+62a=(a+3)2+(a+6)2−a22(a+3)(a+6)，解得a=12，∴cosA=a+62a=1824=34，即最小内角的余弦值为34．故选：B．【点评】本题主要考查了正弦定理和余弦定理的应用，属于基础题．（2023春•密山市校级期中）已知△ABC中，角A，B，C的对边分别为a,b.c.若a=c=6+2，且A=75°，则边b=（ ）√√√√√√【题型】解三角形；逻辑推理．【答案】C【分析】根据两角和公式可得sinA，三角形内角和为180°，可得B，根据正弦定理，列出等式，直接求出b.【解答】解：根据两角和公式可得sinA=sin（30°+45°）=2+64，根据题意可知a=c,C=75°，三角形内角和为180°，可得B=30°，sinB=12，根据正弦定理bsinB=asinA，b12=2+62+64=4，所以b=2．故选：C．√√√√√√【点评】本题考查解三角形问题，正弦定理的应用，属基础题．（2023•雁塔区校级模拟）在△ABC中，若a2+c2-b2=-ac,则角B=（ ）【题型】解三角形．【答案】A【分析】由条件利用余弦定理求得cosB=-12，从而求得B的值．A．135°C．60°D．90°B．(1，3)C．（0，1）D．(3，+∞)【解答】解：△ABC中，∵a2+c2-b2=-ac,由余弦定理可得 cosB=a2+c2−b22ac=−ac2ac=-12，∴B=120°，故选：A．【点评】本题主要考查余弦定理的应用，根据三角函数的值求角，属于基础题．（2023•新干县校级一模）已知三角形的三边长分别为a、b、a2+ab+b2，则三角形的最大内角是（ ）√【题型】解三角形．【答案】B【分析】利用三角形中大边对大角可得，三角形的最大内角是a2+ab+b2所对的角，设为θ，由余弦定理求得cosθ 的值，可得θ的值．√【解答】解：∵三角形的三边长分别为a、b、a2+ab+b2中，a2+ab+b2为最大边，则三角形的最大内角是a2+ab+b2所对的角，设为θ．由余弦定理可得 cosθ=a2+b2−(a2+ab+b2)2ab=-12，∴θ=120°，故选：B．√√√【点评】本题主要考查余弦定理的应用，以及大边对大角，根据三角函数的值求角，属于中档题．（2023春•鼓楼区校级期中）已知锐角△ABC中，角A，B，C的对边分别为a,b,c,a2=b2+bc,则tanAtanB的取值范围为（ ）√√【题型】计算题；对应思想；综合法；解三角形；数学运算．【答案】A【分析】由余弦定理，三角函数恒等变换的应用化简已知等式可得tanA=tan2B=2tanB1−tan2B，进而得到tanAtanB=-2+21−tan2B，再求出B的范围，求解即可．【解答】解：∵a2=b2+bc,a2=c2+b2-2bccosA，∴c-2bcosA=b,∴sinC-2sinBcosA=sinB ，∴sin （A+B ）-2sinBcosA=sinB ，∴sinAcosB-sinBcosA=sinB ，∴sin （A-B ）=sinB ，∵A ，B ∈（0，π），∴A-B=B ，∴A=2B ，∴tanA=tan2B=2tanB1−tan 2B，即tanAtanB=2tan 2B1−tan 2B=-2+21−tan 2B，∵锐角△ABC ，∴V Y Y Y Y Y Y Y Y W Y Y Y Y Y Y Y Y X 0<2B <π20<B <π20<π−3B <π2，∴π6＜B ＜π4，∴13＜tan 2B ＜1，∴tanAtanB=-2+21−tan 2B＞1，∴tanAtanB 的取值范围为（1，+∞）．故选：A ．【点评】本题主要考查了余弦定理，三角函数恒等变换的应用，属于中档题．（2023•黄埔区校级模拟）在△ABC 中，a,b,c 分别为角A ，B ，C ，向量m =（2sinB ，2-cos2B ），n =（2sin 2（B 2+π4），-1）且m ⊥n （1）求角B 的大小；（2）若a=3，b=1，求c 的值．→→→→√【题型】计算题；解三角形；平面向量及应用．【答案】见试题解答内容【分析】（1）根据m ⊥n 即m •n =0得关于角B 的三角函数的方程，运用二倍角公式和诱导公式化简，即可求出角B ；（2）由a ＞b,得到A ＞B ，即B=π6，根据余弦定理可得一个关于c 的一元二次方程，解这个方程求解c值．→→→→【解答】解：（1）由于m ⊥n ，则m •n =0，即有2sinB•2sin 2（B 2+π4）-（2-cos2B ）=0，即2sinB•[1-cos2（B 2+π4）]-2+cos2B=0，即2sinB+2sin 2B-2+1-2sin 2B=0，→→→→解得sinB=12，由于0＜B ＜π，则B=π6或5π6；（2）由a ＞b,得到A ＞B ，即B=π6，由余弦定理得：b 2=a 2+c 2-2accosB ，代入得：1=3+c 2-23c •32，即c 2-3c+2=0，解得c=1或c=2．√√【点评】本题考查三角形中三角恒等变换、解三角形．方程思想在三角形问题中的应用极为广泛，根据已知条件可得方程、根据正弦定理、余弦定理、三角形面积公式等都可以得到方程，解三角形问题的实质就是根据有关定理列方程求解未知元素．（2023春•雨山区校级期中）在△ABC 中，A =π3，b =2，再从条件①、条件②这两个条件中选择一个作为已知，求（Ⅰ）B 的大小；（Ⅱ）△ABC 的面积．条件①：b 2+2ac =a 2+c 2；条件②：acosB=bsinA ．√√【题型】转化思想；综合法；解三角形；数学运算．【答案】（Ⅰ）B=π4；（Ⅱ）S △ABC =3+34．√【分析】选择条件①时：（Ⅰ）利用余弦定理求出cosB 和B 的值；（Ⅱ）由正弦定理求出a 的值，再利用三角形内角和定理求出sinC ，计算△ABC 的面积．选择条件②时：（Ⅰ）由正弦定理求出tanB 和B 的值；（Ⅱ）由正弦定理求出a 的值，再利用三角形内角和定理求出sinC ，计算△ABC 的面积．【解答】解：选择条件①：b 2+2ac=a 2+c 2，（Ⅰ）由b 2+2ac=a 2+c 2，得a 2+c 2-b 2=2ac,所以cosB=a 2+c 2−b 22ac=2ac 2ac =22；又B ∈（0，π），所以B=π4；（Ⅱ）由正弦定理知a sinA =bsinB，所以a=bsinAsinB =3；所以sinC=sin （A+B ）=sinAcosB+cosAsinB=32×22+12×22=6+24，√√√√√√√√√√√所以△ABC的面积为S△ABC=12absinC=12×3×2×6+24=3+34．选择条件②：acosB=bsinA．（Ⅰ）由正弦定理得asinA =b sinB，所以asinB=bsinA；又acosB=bsinA，所以sinB=cosB，所以tanB=1；又B∈（0，π），所以B=π4；（Ⅱ）由正弦定理知asinA =b sinB，所以a=bsinAsinB=3；所以sinC=sin（A+B）=sinAcosB+cosAsinB=32×22+12×22=6+24，所以△ABC的面积为S△ABC=12absinC=12×3×2×6+24=3+34．√√√√√√√√√√√√√√√√【点评】本题考查了解三角形的应用问题，也考查了运算求解能力，是基础题．（2022秋•南通期中）在△ABC中，三边长是公差为2的等差数列，若△ABC是钝角三角形，则其最短边长可以为4（区间（2，6）之间的实数都可以）.（写出一个满足条件的值即可）【题型】计算题；转化思想；分析法；解三角形；逻辑推理．【答案】4（区间（2，6）之间的实数都可以）．【分析】设三边分别为x-2，x,x+2，求出最大边对角的余弦值，令其小于零，结合构成三角形的三边满足的条件，列出关于x的不等式组解出x的范围．【解答】解：由已知令△ABC的三边为：x-2，x,x+2，则应满足x＞2，且x-2+x＞x+2，解得x＞4①，因为△ABC是钝角三角形，故边长解得为x+2的边对角θ满足：cosθ=x 2+(x−2)2−(x+2)22x•(x−2)<0，结合①式解得4＜x＜8，故最短边2＜x-2＜6，故可取x=6，则最短边长为4．故答案为：4（区间（2，6）之间的实数都可以）．【点评】本题考查三角形的性质、余弦定理的应用，属于中档题．（2023•玉林三模）在△ABC中，内角A、B、C的对边分别为a、b、c,且acosB+bsinA=c.（1）求角A的大小；（2）若a=2，△ABC的面积为2−12，求b+c的值．√√【题型】对应思想；综合法；解三角形．【答案】见试题解答内容【分析】（1）利用正弦定理和三角形内角和定理与三角恒等变换求得A 的值；（2）由三角形面积公式和余弦定理，即可求得b+c 的值．【解答】解：（1）△ABC 中，acosB+bsinA=c,由正弦定理得：sinAcosB+sinBsinA=sinC ，又sinC=sin （A+B ）=sinAcosB+cosAsinB ，∴sinBsinA=cosAsinB ，又sinB≠0，∴sinA=cosA ，又A ∈（0，π），∴tanA=1，A=π4；（2）由S △ABC =12bcsinA=24bc=2−12，解得bc=2-2；又a 2=b 2+c 2-2bccosA ，∴2=b 2+c 2-2bc=（b+c ）2-（2+2）bc,∴（b+c ）2=2+（2+2）bc=2+（2+2）（2-2）=4，∴b+c=2．√√√√√√√√【点评】本题考查了三角恒等变换与解三角形的应用问题，是基础题．（2023春•杨浦区校级期末）在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边为a,b,c,若a=4，b=6，c=9，则角C=π-arccos2948．【题型】对应思想；定义法；解三角形；数学运算．【答案】见试题解答内容【分析】利用余弦定理求出cosC ，再根据反余弦函数求出C 的值．【解答】解：△ABC 中，a=4，b=6，c=9，由余弦定理得cosC=42+62−922×4×6=-2948，有C ∈（0，π），所以C=π-arccos 2948．故答案为：π-arccos 2948．【点评】本题考查了余弦定理和反余弦函数的应用问题，是基础题．B．2π3C．π6D．5π6B．63C．22D．12（2023•青海模拟）在△ABC中，内角A，B，C所对应的边分别是a,b,c,若△ABC的面积是3(b2+c2−a2)4，则A=（ ）√【题型】计算题；转化思想；综合法；三角函数的求值；解三角形；逻辑推理；数学运算．【答案】A【分析】直接利用三角形的面积公式和余弦定理建立方程，再利用三角函数的值求出A的值．【解答】解：已知△ABC的面积是3(b2+c2−a2)4，利用余弦定理b2+c2-a2=2bccosA，整理得：12bcsinA=3(b2+c2−a2)4=32bccosA，所以tanA=3，由于A∈（0，π）．则A=π3．故选：A．√√√√【点评】本题考查的知识要点：三角形的面积公式，余弦定理，三角函数的值，主要考查学生的理解能力和计算能力，属于中档题和易错题．（2023春•鼓楼区校级期末）△ABC的面积为S，角A，B，C的对边分别是a,b,c,已知43S=(a+b)2−c2，则sinC的值是（ ）√√√【题型】整体思想；综合法；解三角形；数学运算．【答案】A【分析】根据三角形的面积公式结合余弦定理化简求出C，即可得解．【解答】解：因为43S=(a+b)2−c2，又S=12absinC，所以23absinC−2ab=a2+b2−c2，所以3sinC−1=a2+b2−c22ab，又cosC=a2+b2−c22ab，所以3sinC−cosC=1，所以sin(C−π6)=12，√√√√A．3B．2D．3或7又C∈（0，π），则C−π6∈(−π6，5π6)，所以c−π6=π6，所以C=π3，则sinC=32．故选：A．√【点评】本题主要考查了余弦定理的应用，考查了三角形的面积公式，属于基础题．（2023春•永昌县校级月考）在钝角△ABC中，角A，B，C的对边分别为a,b,c,且AB=2，sinB=32，且S△ABC= 32，则AC=（ ）√√√√√【题型】计算题；转化思想；综合法；解三角形；数学运算．【答案】C【分析】由题意利用三角形的面积公式可求BC=1，分类讨论，利用余弦定理即可求解AC的值．【解答】解：因为AB=2，sinB=32，且S△ABC=32=12AB•BC•sinB=12×2×BC×32，所以BC=1，因为BC＜AB，所以A为锐角，当C为钝角时，可得cosB=1−sin2B=12，所以由余弦定理AC2=AB2+BC2-2AB•BC•cosB=22+12-2×2×1×12=3，可得AC=3，此时cosC=a2+b2−c22ab=1+3−42×1×3=0，又C∈（0，π），可得C=π2，不符合题意，故舍去，当B为钝角时，可得cosB=-1−sin2B=-12，所以由余弦定理AC2=AB2+BC2-2AB•BC•cosB=22+12-2×2×1×（-12）=7，可得AC=7．故选：C．√√√√√√√√【点评】本题考查了三角形的面积公式以及余弦定理在解三角形中的应用，属于基础题．（2023春•江油市校级期中）在△ABC中，角A、B、C对的边分别为a、b、c.若a=1，b=3，c=13，则角C等于（ ）√A．90°C．60°D．45°A．5π6C．π3D．π6【题型】转化思想；转化法；解三角形；数学运算．【答案】B【分析】利用余弦定理求解即可．【解答】解：a=1，b=3，c=13，则cosC=a2+b2−c22ab=12+32−(13)22×1×3=−12，因为0°＜C＜180°，故C=120°．故选：B．√√【点评】本题主要考查余弦定理的应用，属于基础题．（2023春•尖山区校级月考）在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a,b,c,若（a+b+c）（c+b-a）=bc,则A=（ ）【题型】计算题；转化思想；综合法；解三角形；数学运算．【答案】B【分析】由已知利用平方差公式整理可得b2+c2-a2=-bc,由余弦定理得cosA=-12，结合A∈（0，π），即可求解A的值．【解答】解：∵△ABC中，（a+b+c）（c+b-a）=bc,∴（b+c）2-a2=bc,整理得：b2+c2-a2=-bc,∴由余弦定理得：cosA=b2+c2−a22bc=−bc2bc=-12，又A∈（0，π），∴A=2π3．故选：B．【点评】本题考查余弦定理在解三角形中的应用，求得b2+c2-a2=-bc是关键，属于基础题．（2023春•安化县期末）在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a,b,c,若ac=8，a+c=7，B=π3，则b=（ ）A．25C．4 $D．5 A．−22B．22D．1010√【题型】计算题；方程思想；综合法；解三角形；数学运算．【答案】B【分析】结合余弦定理与完全平方和公式，进行运算，得解．【解答】解：因为ac=8，a+c=7，B=π3，所以由余弦定理知，b2=a2+c2-2accosB=（a+c）2-2ac-2accosB=49-2×8-2×8×12=25，所以b=5．故选：B．【点评】本题考查解三角形，熟练掌握余弦定理是解题的关键，考查运算求解能力，属于基础题．（2023春•房山区期末）已知平面直角坐标系中的3点A（2，2），B（6，0），C（0，0），则△ABC中最大角的余弦值等于（ ）√√√【题型】转化思想；转化法；解三角形；数学运算．【答案】C【分析】根据夹角公式算出△ABC每个内角的余弦值，然后分析可得结果．【解答】解：A（2，2），B（6，0），C（0，0），AB=(4，−2)，AC=(−2，−2)，cosA=cos〈AB，AC〉=AB⋅AC|AB||AC|=−4410=−1010；CB=(6，0)，CA=(2，2)，cosC=cos〈CB，CA〉=CB⋅CA|CB||CA|=126×22=22，BA=(−4，2)，BC=(−6，0)，cosB=cos〈BA，BC〉=BA⋅BC|BA||BC|=246×25=255；由A，B，C为三角形ABC的内角，则cosA＜0，cosB＞0，cosC＞0，于是A是钝角，B，C是锐角，最大角是A，余弦值为−1010．故选：C．→→→→→→→→√√→→→→→→→→√√→→→→→→→→√√√【点评】本题主要考查余弦定理的应用，属于基础题．A．3B．4D．6 A．-1C．1D．6（2023•郑州模拟）在△ABC中，满足9sin2A+6cosA=10，且AB=3，BC=26，则AC=（ ）√【题型】整体思想；综合法；解三角形；数学运算．【答案】C【分析】由同角三角函数的平方关系化简9sin2A+6cosA=10求出cosA，再利用余弦定理即可求解AC．【解答】解：9sin2A+6cosA=9（1-cos2A）+6cosA=9-9cos2A+6cosA=10，即9cos2A-6cosA+1=（3cosA-1）2=0，解得cosA=13，由余弦定理可知cosA=AB2+AC2−BC22AB⋅AC=9+AC2−246AC=AC2−156AC，则AC2−156AC=13，整理得3AC2-6AC-45=（3AC-15）（AC+3）=0，解得AC=5或AC=-3（舍）．故选：C．【点评】本题主要考查了余弦定理的应用，属于基础题．（2015•重庆）在等差数列{a n}中，若a2=4，a4=2，则a6=（ ）【题型】等差数列与等比数列．【答案】B【分析】直接利用等差中项求解即可．【解答】解：在等差数列{a n}中，若a2=4，a4=2，则a4=12（a2+a6）=12(4+a6)=2，解得a6=0．故选：B．【点评】本题考查等差数列的性质，等差中项个数的应用，考查计算能力．B．b≤0C．c=0D．a-2b+c=0（2017•上海）已知a、b、c为实常数，数列{x n}的通项x n=an2+bn+c,n∈N*，则“存在k∈N*，使得x100+k、x200+k、x300+k成等差数列”的一个必要条件是（ ）【题型】方程思想；等差数列与等比数列；简易逻辑．【答案】A【分析】由x100+k，x200+k，x300+k成等差数列，可得：2x200+k=x100+k+x300+k，代入化简即可得出．【解答】解：存在k∈N*，使得x100+k、x200+k、x300+k成等差数列，可得：2[a（200+k）2+b（200+k）+c]=a（100+k）2+b（100+k）+c+a（300+k）2+b（300+k）+c,化为：a=0．∴使得x100+k，x200+k，x300+k成等差数列的必要条件是a≥0．故选：A．【点评】本题考查了等差数列的通项公式、简易逻辑的判定方法，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．（2021•乙卷）记S n为数列{a n}的前n项和，b n为数列{S n}的前n项积，已知2S n+1b n=2．（1）证明：数列{b n}是等差数列；（2）求{a n}的通项公式．【题型】计算题；方程思想；综合法；定义法；等差数列与等比数列；逻辑推理；数学运算．【答案】（1）证明过程见解答；（2）a n=V Y Y YW YY Y X32，n=1−1n(n+1)，n≥2．【分析】（1）由题意当n=1时，b1=S1，代入已知等式可得b1的值，当n≥2时，将b nb n−1=S n，代入2S n +1b n=2，可得b n-b n-1=12，进一步得到数列{b n}是等差数列；（2）由a1=S1=b1=32，可得b n=n+22，代入已知等式可得S n=n+2n+1，当n≥2时，a n=S n-S n-1=-1n(n+1)，进一步得到数列{a n}的通项公式．【解答】解：（1）证明：当n=1时，b1=S1，由2b1+1b1=2，解得b1=32，B．a n=3n-10C．Sn=2n2-8n D．S n=12n2-2n 当n≥2时，b nb n−1=S n，代入2S n+1b n=2，消去S n，可得2 b n−1b n+1b n=2，所以b n-b n-1=12，所以{b n}是以32为首项，12为公差的等差数列．（2）由题意，得a1=S1=b1=32，由（1），可得b n=32+（n-1）×12=n+22，由2S n+1b n=2，可得S n=n+2n+1，当n≥2时，a n=S n-S n-1= n+2n+1-n+1n=-1n(n+1)，显然a1不满足该式，所以a n=V Y Y YW YY Y X32，n=1−1n(n+1)，n≥2．【点评】本题考查了等差数列的概念，性质和通项公式，考查了方程思想，是基础题．（2019•新课标Ⅰ）记S n为等差数列{a n}的前n项和．已知S4=0，a5=5，则（ ）【题型】计算题；方程思想；等差数列与等比数列．【答案】A【分析】根据题意，设等差数列{a n}的公差为d,则有V WX4a1+6d=0a1+4d=5，求出首项和公差，然后求出通项公式和前n项和即可．【解答】解：设等差数列{a n}的公差为d,由S4=0，a5=5，得V WX4a1+6d=0a1+4d=5，∴V WX a1=−3d=2，∴a n=2n-5，S n=n2−4n，故选：A．【点评】本题考查等差数列的通项公式以及前n项和公式，关键是求出等差数列的公差以及首项，属于基础题．（2016•新课标Ⅰ）已知等差数列{a n}前9项的和为27，a10=8，则a100=（ ）A．100B．99D．97 A．既不充分也不必要条件C．必要不充分条件D．充要条件【题型】计算题；定义法；等差数列与等比数列．【答案】C【分析】根据已知可得a5=3，进而求出公差，可得答案．【解答】解：∵等差数列{a n}前9项的和为27，S9=9(a1+a9)2=9×2a52=9a5．∴9a5=27，a5=3，又∵a10=8，∴d=1，∴a100=a5+95d=98，故选：C．【点评】本题考查的知识点是数列的性质，熟练掌握等差数列的性质，是解答的关键．（2023•阿拉善盟一模）已知{a n}是等差数列，S n是{a n}的前n项和，则“对任意的n∈N*且n≠3，S n＞S3”是“a4＞a3”的（ ）【题型】转化思想；综合法；等差数列与等比数列；简易逻辑；逻辑推理．【答案】B【分析】根据等差数列的性质，充分与必要条件的概念即可求解．【解答】解：由对任意的n∈N*且n≠3，S n＞S3，可得等差数列{a n}的前n项和的最小值为S3，∴等差数列{a n}仅有前三项为负项，且公差d＞0，∴可得a4＞a3，反过来，由a4＞a3，可得d＞0，但不能得到等差数列{a n}仅有前三项为负项，即不能得到等差数列{a n}的前n项和的最小值为S3，∴“对任意的n∈N*且n≠3，S n＞S3”是“a4＞a3”的充分不必要条件，故选：B．【点评】本题考查等差数列项的性质，充分与必要条件的概念，属基础题．A．若①有实根，②有实根，则③有实根C．若①无实根，②有实根，则③无实根D ．若①无实根，②无实根，则③无实根（2023•长宁区二模）设各项均为实数的等差数列{a n }和{b n }的前n 项和分别为S n 和T n ，对于方程①2023x 2-S 2023x+T 2023=0，②x 2-a 1x+b 1=0，③x 2+a 2023x+b 2023=0．下列判断正确的是（ ）【题型】计算题；转化思想；综合法；等差数列与等比数列；数学运算．【答案】B【分析】若①有实根，得到a21012−4b 1012≥0，设方程x 2-a 1x+b 1=0与方程x 2+a 2023x+b 2023=0的判别式分别为Δ1和Δ2023，得到Δ1+Δ2023≥0，结合举反例可以判断选项AB ；通过举反例可以判断选项CD ．【解答】解：若①有实根，由题意得：S22023−4×2023T 2023≥0，其中S 2023=2023(a 1+a 2023)2=2023a 1012，T 2023=2023(b 1+b 2023)2=2023b 1012，代入上式得a21012−4b 1012≥0，设方程x 2-a 1x+b 1=0与方程x 2+a 2023x+b 2023=0的判别式分别为Δ1和Δ2023，则Δ1+Δ2023=(a 21−4b 1)+(a 22023−4b 2023)=a 21+a 22023−4(b 1+b 2023)≥(a 1+a 2023)22−4(b 1+b 2023)等号成立的条件是a 1=a 2023．又Δ1+Δ2023≥(a 1+a 2023)22−4(b 1+b 2023)=(2a 1012)22−8b 1012=2(a21012−4b 1012)≥0，如果②有实根，则Δ1≥0，则Δ2023≥0或者Δ2023＜0，所以③有实根或者没有实根，如a 1=6，b 1=2，a 2023=4，b 2023=6，满足a 21012−4b 1012=52−4×4>0，Δ1=36-8＞0，但是Δ2023=16-24＜0，所以③没有实根，所以A 错误；如果②没实根，则Δ1＜0，则Δ2023≥0，所以③有实根，所以B 正确；若①无实根，则a21012−4b 1012<0，②有实根，则Δ1≥0，设a 1=3，b 1=2，a 2023=-3，b 2023=2，所以a 21012−4b 1012=(0)2−4×2<0，Δ1＞0，此时Δ2023=1＞0，则③有实根，所以C 错误；若①无实根，则a21012−4b 1012<0，②无实根，则Δ1＜0，设a 1=3，b 1=3，a 2023=-3，b 2023=2，所以a 21012−4b 1012=(0)2−4×52<0，Δ1＜0，此时Δ2023=1＞0，则③有实根，所以D错误．故选：B．【点评】本题主要考查等差数列的性质，等差数列的前n项和，解答本题的关键是排除法的灵活运用，要证明一个命题是假命题，证明比较困难，只需举一个反例即可．。
正余弦函数高考题集含答案
正、余弦定理高考练习题（1）1.（15北京理科）在中，，，，则．【答案】1试题分析：2.（15北京文科）在中，，，，则．【答案】试题分析：由正弦定理，得，即，所以，所以..3.（15年广东理科）设的内角，，的对边分别为，，，若，，则 【答案】．4.（15年广东文科）设的内角，，的对边分别为，，．若，，，且，则（ ）A ．B ．C ．D ．【答案】BABC △4a =5b =6c =sin 2sin AC=222sin 22sin cos 2sin sin 2A A A a b c a C C c bc+-==⋅2425361616256⨯+-=⋅=⨯⨯ABC ∆A B C a b c a =1sin 2B =6C =πb =1试题分析：由余弦定理得：，所以，即，解得：或，因为，所以，故选B ．5.(15年安徽理科) 在中，,点D 在边上，，求的长？6.（15年安徽文科）在中，，，，则。
【答案】2试题分析：由正弦定理可知：7.（15年福建理科）若锐角的面积为 ，且 ，则 等于________． 【答案】试题分析：由已知得的面积为，所以，，所以．由余弦定理得 ABC∆,6,4A AB AC π===BC AD BD =AD ABC ∆6=AB 75=∠A 45=∠B =AC45sin )]4575(180sin[ACAB =+-245sin 60sin 6=⇒=⇒AC AC ABC∆5,8AB AC ==BC 7ABC ∆1sin 20sin 2AB AC A A ⋅==sin 2A =(0,)2A π∈3A π=，．8.（15年福建文科）若中，，，，则_______．【答案】试题分析：由题意得．由正弦定理得，则，所以．10.（15年新课标2理科）∆ABC 中，D 是BC 上的点，AD 平分∠BAC ，∆ABD 是∆ADC 面积的2倍。
(Ⅰ)求;(Ⅱ) 若=1，=求和的长.11.（15年新课标2文科）△ABC 中D 是BC 上的点,AD 平分BAC ,BD =2DC .2222cos BC AB AC AB AC A =+-⋅=497BC =ABC∆AC =045A =075C =BC=0018060B A C =--=sin sin AC BCB A=sin sin AC ABC B=BC ==CB∠∠sin sin AD DC 22BDAC ∠（I ）求；（II ）若,求. 【答案】（I ）；.12.(15年陕西理科) 的内角，，所对的边分别为，，．向量与平行． （I ）求； （II ）若，求的面积． 【答案】（I ）；（II ）．试题解析：（I ）因为，所以，由正弦定理，得 又，从而，由于，所以sin sin BC∠∠60BAC ∠=B ∠1230C ∆AB A B C a b c (),3m a b =()cos ,sin n =A B A a =2b =C ∆AB 3π2//m n sin 3cos 0a B b A sinAsinB 3sinBcos A 0sin 0B ≠tan 3A 0A π<<3A π=(II)解法一：由余弦定理，得而得，即因为，所以.故ABC 的面积为.13.（15年陕西文科）的内角所对的边分别为，向量与平行.(I)求； (II)若求的面积.【答案】(I) ；(II). 2222cos a b c bcA 7b 2,a 3πA =2742c c 2230c c 0c 3c ∆133bcsinA 22ABC ∆,,A B C ,,a b c (,3)m a =(cos ,sin )n A B =A 2a b ==ABC ∆3A π=试题解析：(I)因为，所以 由正弦定理，得， 又，从而，由于 所以(II)解法一：由余弦定理，得，而，，得，即因为，所以， 故面积为. 解法二：由正弦定理，得从而 //m n sin 3cos 0a B b A -=sin sin cos 0A B B A -=sin 0B≠tan A =0A π<<3A π=2222cos a b c bc A =+-2a b ==3A π=2742c c =+-2230c c --=0c >3c =ABC∆1sin 22bc A=2sin sin3Bπ=sin B =又由知，所以 故， 所以面积为14.（15年天津理科）在 中，内角 所对的边分别为 ，已知的面积为 ， 则的值为 .【答案】题分析：因为，所以， 又，解方程组得，由余弦定理得，所以.15．（15年天津文科）△ABC 中,内角A ,B ,C 所对的边分别为a ,b ,c ,已知△ABC 的面积为, （I ）求a 和sin C 的值； （II ）求 的值. 【答案】（I ）a =8,；（II ）a b >A B >cos 7B =sin sin()sin()3C A B B π=+=+sin coscos sin33B B ππ=+=ABC ∆1sin 2ab C =ABC ∆,,A B C ,,a b c ABC ∆12,cos ,4b c A -==-a 80A π<<sin 4A ==1sin 2428ABC S bc A bc bc ∆===∴=224b c bc -=⎧⎨=⎩6,4b c ==2222212cos 64264644a b c bc A ⎛⎫=+-=+-⨯⨯⨯-= ⎪⎝⎭8a =12,cos ,4b c A -==-cos 26A π⎛⎫+⎪⎝⎭sin C =正、余弦定理高考题练习（2）一、选择题（每题5分）1.（2013·北京高考文科·Ｔ5）在△ABC 中，a=3,b=5,sinA=13,则sinB=( ) A.15 B.59D.1【解题指南】已知两边及一边的对角利用正弦定理求解。
2024全国高考真题数学汇编：正弦定理与余弦定理
2024全国高考真题数学汇编正弦定理与余弦定理一、单选题1．（2024全国高考真题）在ABC 中,内角,,A B C 所对的边分别为,,a b c ，若π3B =，294b ac =，则sin sin A C +=（）A B C D 二、解答题2．（2024天津高考真题）在ABC 中，角,,A B C 所对的边分别为,,a b c ，已知92cos 5163a Bbc ===，．(1)求a ；(2)求sin A ；(3)求()cos 2B A -的值．3．（2024全国高考真题）记ABC 的内角A 、B 、C 的对边分别为a ，b ，c ，已知sin C B =，222a b c +-=(1)求B ；(2)若ABC 的面积为3c ．4．（2024全国高考真题）记ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知sin 2A A =．(1)求A ．(2)若2a =sin sin 2C c B =，求ABC 的周长．5．（2024北京高考真题）在ABC 中，,,A B C 的对边分别为,,a b c ，A ∠为钝角，7a =，sin 2cos B B =．(1)求A ∠；(2)从条件①、条件②、条件③这三个条件中选择一个作为已知，使得ABC 存在，求ABC 的面积．条件①：7b =；条件②：13cos 14B =；条件③：sin c A =注：如果选择的条件不符合要求，第（2）问得0分；如果选择多个符合要求的条件分别解答，按第一个解答计分．参考答案1．C【分析】利用正弦定理得1sin sin 3A C =，再利用余弦定理有22134a c ac +=，由正弦定理得到22sin sin A C +的值，最后代入计算即可.【详解】因为29,34B b ac π==，则由正弦定理得241sin sin sin 93A CB ==.由余弦定理可得:22294b ac ac ac =+-=，即:22134a c ac +=，根据正弦定理得221313sin sin sin sin 412A C A C +==，所以2227(sin sin )sin sin 2sin sin 4A C A C A C +=++=，因为,A C 为三角形内角，则sin sin 0A C +>，则sin sin 2A C +=.故选：C.2．(1)4(3)5764【分析】（1）2,3a t c t ==，利用余弦定理即可得到方程，解出即可；（2）法一：求出sin B ，再利用正弦定理即可；法二：利用余弦定理求出cos A ，则得到sin A ；（3）法一：根据大边对大角确定A 为锐角，则得到cos A ，再利用二倍角公式和两角差的余弦公式即可；法二：直接利用二倍角公式和两角差的余弦公式即可.【详解】（1）设2,3a t c t ==，0t >，则根据余弦定理得2222cos b a c ac B =+-，即229254922316t t t t =+-⨯⨯⨯，解得2t =（负舍）；则4,6a c ==.（2）法一：因为B 为三角形内角，所以sin 16B =，再根据正弦定理得sin sin a b A B =，即4sin A =sin 4A =，法二：由余弦定理得2222225643cos 22564b c a A bc +-+-===⨯⨯，因为()0,πA ∈，则sin 4A ==（3）法一：因为9cos 016B =>，且()0,πB ∈，所以π0,2B ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，由（2）法一知sin B =因为a b <，则A B <，所以3cos 4A ==，则3sin 22sin cos 24A A A ===2231cos 22cos 12148A A ⎛⎫=-=⨯-= ⎪⎝⎭()9157cos 2cos cos 2sin sin 216816864B A B A B A -=+=⨯+⨯=.法二：3sin 22sin cos 24A A A ===，则2231cos 22cos 12148A A ⎛⎫=-=⨯-= ⎪⎝⎭，因为B 为三角形内角，所以sin 16B ===，所以()9157cos 2cos cos 2sin sin 216864B A B A B A -=+=⨯=3．(1)π3B =(2)【分析】（1）由余弦定理、平方关系依次求出cos ,sin C C ，最后结合已知sin C B =得cos B 的值即可；（2）首先求出,,A B C ，然后由正弦定理可将,a b 均用含有c 的式子表示，结合三角形面积公式即可列方程求解.【详解】（1）由余弦定理有2222cos a b c ab C +-=，对比已知222a b c +-=，可得222cos 2a b c C ab +-===因为()0,πC ∈，所以sin 0C >，从而sin 2C =，又因为sin C B =，即1cos 2B =，注意到()0,πB ∈，所以π3B =.（2）由（1）可得π3B =，cos 2C =，()0,πC ∈，从而π4C =，ππ5ππ3412A =--=，而5πππ1sin sin sin 124622224A ⎛⎫⎛⎫==+⨯+⨯= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，由正弦定理有5πππsin sin sin 1234a b c==，从而,a b ===，由三角形面积公式可知，ABC的面积可表示为21113sin 222228ABC S ab C c c ==⋅= ，由已知ABC的面积为32338c =所以c =4．(1)π6A =(2)2+【分析】（1）根据辅助角公式对条件sin 2A A =进行化简处理即可求解，常规方法还可利用同角三角函数的关系解方程组，亦可利用导数，向量数量积公式，万能公式解决；（2）先根据正弦定理边角互化算出B ，然后根据正弦定理算出,b c 即可得出周长.【详解】（1）方法一：常规方法（辅助角公式）由sin 2A A =可得1sin 122A A +=，即sin()1π3A +=，由于ππ4π(0,π)(,)333A A ∈⇒+，故ππ32A +=，解得π6A =方法二：常规方法（同角三角函数的基本关系）由sin 2A A =，又22sin cos 1A A +=，消去sin A得到：224cos 30(2cos 0A A A -+=⇔=，解得cos 2A =，又(0,π)A ∈，故π6A =方法三：利用极值点求解设()sin (0π)f x x x x =<<，则π()2sin (0π)3f x x x ⎛⎫=+<< ⎪⎝⎭，显然π6x =时，max ()2f x =，注意到π()sin 22sin(3f A A A A =+==+，max ()()f x f A =，在开区间(0,π)上取到最大值，于是x A =必定是极值点，即()0cos sin f A A A '==，即tan 3A =，又(0,π)A ∈，故π6A =方法四：利用向量数量积公式（柯西不等式）设(sin ,cos )a b A A ==，由题意，sin 2a b A A ⋅==，根据向量的数量积公式，cos ,2cos ,a b a b a b a b ⋅==，则2cos ,2cos ,1a b a b =⇔= ，此时,0a b =，即,a b 同向共线，根据向量共线条件，1cos sin tan 3A A A ⋅=⇔=，又(0,π)A ∈，故π6A =方法五：利用万能公式求解设tan 2A t =，根据万能公式，2222)sin 211t t A A t t-+==+++，整理可得，2222(2(20((2t t t -+==-，解得tan22A t ==22tan 13t A t ==-，又(0,π)A ∈，故π6A =（2）由题设条件和正弦定理sin sin 2sin 2sin sin cos C c B B C C B B =⇔=，又,(0,π)B C ∈，则sin sin 0B C ≠，进而cos B =π4B =，于是7ππ12C A B =--=，sin sin(π)sin()sin cos sin cos 4C A B A B A B B A =--=+=+=，由正弦定理可得，sin sin sin a b cA B C==，即2ππ7πsin sin sin 6412bc==，解得b c ==故ABC的周长为2+5．(1)2π3A =；(2)选择①无解；选择②和③△ABC【分析】（1）利用正弦定理即可求出答案；（2）选择①，利用正弦定理得3B π=，结合（1）问答案即可排除；选择②，首先求出sin 14B =，再代入式子得3b =，再利用两角和的正弦公式即可求出sin C ，最后利用三角形面积公式即可；选择③，首先得到5c =，再利用正弦定理得到sin 14C =，再利用两角和的正弦公式即可求出sin B ，最后利用三角形面积公式即可；【详解】（1）由题意得2sin cos cos B B B =，因为A 为钝角，则cos 0B ≠，则2sin 7B =，则7sin sin sin b a BA A ==，解得sin 2A =，因为A 为钝角，则2π3A =.（2）选择①7b =，则sin 7B ==2π3A =，则B 为锐角，则3B π=，此时πA B +=，不合题意，舍弃；选择②13cos 14B =，因为B为三角形内角，则sin B ，则代入2sin 7B =得2147⨯=，解得3b =，()2π2π2πsin sin sin sin cos cos sin 333C A B B B B⎛⎫=+=+=+ ⎪⎝⎭131142⎛⎫=+-⨯ ⎪⎝⎭,则11sin 7322ABC S ab C ==⨯⨯选择③sin c A =2c ⨯=5c =，则由正弦定理得sin sin a c A C =5sin C，解得sin 14C =，因为C为三角形内角，则11cos 14C ==，则()2π2π2πsin sin sin sin cos cos sin 333B A C C C C ⎛⎫=+=+=+⎪⎝⎭111142⎛⎫=+-⨯ ⎪⎝⎭，则11sin 7522ABC S ac B ==⨯⨯=△。
高考数学题型全归纳：正余弦定理例题解析含答案
AB C12 正余弦定理例题解析例1．在△ABC 中，如果a＝18，b＝24，A＝︒45，则此三角形解的情况为(B ).A.一解B.两解C.无解D.不确定解：由bsinA＜a＜b 故有两解选B例2．在△ABC 中，a＝5，b＝15，A＝︒30，则c 等于(C ).A.25B.5C.25或5D.以上都不对解：由bsinA＜a＜b 故有两解选C例3．在△ABC 中，a∶b∶c＝3∶5∶7，则此三角形的最大内角是(B ).A.︒150B.︒120C.︒90D.︒135解：设a＝3k，b＝5k，c＝7k，由余弦定理易求得cosC＝-21，所以最大角C 为︒120.例4．(1)在△ABC 中，若B＝︒30，AB＝23，AC＝2，则△ABC 的面积是_____.(2)△ABC 中，若AB＝1，BC＝2，则角C 的取值范围是_____.解：(1)sinC＝23230sin 32＝︒，于是C＝︒60或︒120，故A＝︒90或︒30，由S △ABC ＝A AC AB sin 21⋅⋅可得答案23或3.(2)如图所示，由已知得BC＝2AB，又A BCC AB sin sin ＝∴sinC＝A sin 21≤21又∵0＜C＜A ∴0＜C≤6π例5．在△ABC 中，求证：a 2sin2B+b 2sin2A＝2absinC 证明：由正弦定理B b A a sin sin ＝知22sin 2sin 2sin 2sin 2a B b AabB Aab b a +=+sin sin 2sin sin 22(sin cos sin cos )2sin()2sin sin sin A BB AA B B A A B C B A ⋅=+=⋅+⋅=+=故原式成立.例6．在锐角三角形ABC 中，A，B，C 是其三个内角，记B A S tan 11tan 11+++＝求证：S＜1证明：∵111tan 1tan 1tan 1tan 1tan 1tan (1tan )(1tan )1tan tan tan tan A B A BS A B A B A B A B+++++++==+++++++＝∵︒+90＞B A ，∴︒-︒9090＜＜A B ，∴cotB＜tanA 即B A tan tan ⋅＞1，∴S＜1.例7．在△ABC 中，如果lga-lgc＝lgsinB＝-lg 2，且B 为锐角，判断此三角形的形状.解：由lga-lgc＝lgsinB＝-lg 2，得sinB＝22，又B 为锐角，∴B＝︒45，又22＝c a 得2sin ＝A ，D C A BE ∴2sinC＝2sinA＝2sin(︒135-C)，∴sinC＝sinC+cosC，∴cosC＝0即C＝︒90，故此三角形是等腰直角三角形.例8．已知a，b，c 分别是△ABC 三个内角A，B，C 的对边.①若△ABC 面积为23，c＝2，A＝︒60，求b，a 的值.②若acosA＝bcosB，试判断△ABC 的形状，证明你的结论.解：①由已知得︒60sin sin 2123b A bc ＝＝，∴b＝1.由余弦定理a 2＝b 2+c 2-2bccosA＝3，∴a＝3.②由正弦定理得：2RsinA＝a，2RsinB＝b，2RsinAcosA＝2RsinBcosB 即sin2A＝sin2B，由已知A，B 为三角形内角，∴A+B＝︒90或A＝B，∴△ABC 为直角三角形或等腰三角形.例9．如图所示，已知在梯形ABCD 中AB∥CD，CD＝2,AC＝19，∠BAD＝︒60，求梯形的高.解:作DE⊥AB于E，则DE就是梯形的高.∵∠BAD＝︒60，∴在Rt△AED中，有DE=AD ︒60sin ＝23⨯AD ，即DE＝23AD.①下面求AD(关键)：∵AB∥CD，∠BAD＝︒60，∴在△ACD中，∠ADC＝︒120，又∵CD＝2,AC＝19，∴,cos ADC CD AD CD AD AC ∠⋅-+2222＝即︒⨯-+12022219222cos )(AD AD ＝解得AD＝3，(AD＝-5，舍).将AD＝3代入①，梯形的高.33333＝＝＝⨯AD DE 例10．如图所示,在△ABC中，若c＝4,b＝7，BC边上的中线AD＝27,求边长a.解：∵AD是BC边上的中线，∴可设CD＝DB＝x.∵c＝4,b＝7,AD＝27,∴在△ACD中，有222772cos .x C x ⎛⎫+- ⎪⎝⎭=⨯⨯在△ACB中，有2227(2)4cos .x C +-=⨯⨯∴222222777(2)42,27272x x x x ⎛⎫+- ⎪+-⎝⎭=⨯⨯⨯⨯∴x＝29,∴a＝2x＝9.。
高考数学《正弦定理、余弦定理及解三角形》真题练习含答案
高考数学《正弦定理、余弦定理及解三角形》真题练习含答案一、选择题1．设△ABC 的内角A ，B ，C 所对的边长分别为a ，b ，c ，若a ＝2 ，b ＝3 ，B ＝π3，则A ＝( )A ．π6B ．56 πC ．π4D ．π4 或34 π答案：C解析：由正弦定理得a sin A ＝b sin B ，∴sin A ＝a sin B b ＝2×323＝22 ，又a <b ，∴A为锐角，∴A ＝π4.2．在△ABC 中，b ＝40，c ＝20，C ＝60°，则此三角形解的情况是( ) A ．有一解 B ．有两解C ．无解D ．有解但解的个数不确定 答案：C解析：由正弦定理b sin B ＝c sin C ，∴sin B ＝b sin Cc ＝40×3220 ＝3 >1，∴角B 不存在，即满足条件的三角形不存在．3．在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，若a ＝2，b ＝3，c ＝7 ，则角C ＝( )A ．π6B ．π4C ．π3D ．π2答案：C解析：由余弦定理得c 2＝a 2＋b 2－2ab cos C ，得cos C ＝a 2＋b 2－c 22ab ＝4＋9－72×2×3 ＝12，又C 为△ABC 内角，∴C ＝π3 .4．已知△ABC 中，内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，若a 2＝b 2＋c 2－bc ，bc ＝4，则△ABC 的面积为( )A ．12 B ．1 C ．3 D ．2答案：C解析：由余弦定理得a 2＝b 2＋c 2－2bc cos A ，又a 2＝b 2＋c 2－bc ，∴2cos A ＝1，cos A ＝12 ，∴sin A ＝1－cos 2A ＝32 ，∴S △ABC ＝12 bc sin A ＝12 ×4×32＝3 . 5．在△ABC 中，a ，b ，c 分别是内角A ，B ，C 的对边．若b sin A ＝3c sin B ，a ＝3，cos B ＝23，则b ＝( )A.14 B ．6 C ．14 D ．6 答案：D解析：∵b sin A ＝3c sin B ，由正弦定理得ab ＝3bc ，∴a ＝3c ，又a ＝3，∴c ＝1，由余弦定理得b 2＝a 2＋c 2－2ac ·cos B ＝9＋1－2×3×23＝6，∴b ＝6 .6．设△ABC 的内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，若b cos C ＋c cos B ＝a sin A ，则△ABC 的形状为( )A ．锐角三角形B ．直角三角形C ．钝角三角形D ．不确定 答案：B解析：∵b cos C ＋c cos B ＝a sin A ，∴sin B cos C ＋sin C cos B ＝sin 2A ，∴sin A ＝1，又A 为△ABC 的内角，∴A ＝90°，∴△ABC 为直角三角形．7．钝角三角形ABC 的面积是12，AB ＝1，BC ＝2 ，则AC ＝( )A ．5B ．5C ．2D ．1 答案：B解析：∵S △ABC ＝12 AB ×BC ×sin B ＝22 sin B ＝12 ，∴sin B ＝22，若B ＝45°，由余弦定理得AC 2＝AB 2＋BC 2－2AB ·BC ·cos 45°＝1＋2－2×2 ×22 ＝1，则AC ＝1，则AB 2＋AC 2＝BC 2，△ABC 为直角三角形，不合题意；当B ＝135°时，由余弦定理得AC 2＝AB 2＋BC 2－2AB ·BC cos 135°＝1＋2＋2×2 ×22＝5，∴AC ＝5 .8．如图，设A ，B 两点在河的两岸，一测量者在A 所在的同侧河岸边选定一点C ，测出AC 的距离为50 m ，∠ACB ＝45°，∠CAB ＝105°后，就可以计算出A ，B 两点的距离为( )A ．502 mB ．503 mC ．252 mD ．2522m答案：A解析：由正弦定理得AC sin B ＝ABsin C，∴AB ＝AC ·sin Csin B ＝50×22sin （180°－45°－105°） ＝502 .9．[2024·全国甲卷(理)]记△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知B ＝60°，b 2＝94ac ，则sin A ＋sin C ＝( )A ．32 B ．2C ．72D ．32答案：C解析：∵b 2＝94 ac ，∴由正弦定理可得sin 2B ＝94sin A sin C ．∵B ＝60°，∴sin B ＝32 ，∴34 ＝94 sin A sin C ，∴sin A sin C ＝13.由余弦定理可得b 2＝a 2＋c 2－2ac cos B ＝a 2＋c 2－ac ，将b 2＝94 ac 代入整理得，a 2＋c 2＝134ac ，∴由正弦定理得sin 2A ＋sin 2C ＝134 sin A sin C ，则(sin A ＋sin C )2＝sin 2A ＋sin 2C ＋2sin A sin C ＝134 sin A sin C＋2sin A sin C ＝214 sin A sin C ＝214 ×13 ＝74 ，∴sin A ＋sin C ＝72 或－72(舍).故选C.二、填空题10．在△ABC 中，内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，若(a ＋b ＋c )(a －b ＋c )＝ac ，则B ＝________．答案：23π解析：由(a ＋b ＋c )(a －b ＋c )＝ac 得a 2＋c 2－b 2＋ac ＝0.由余弦定理得cos B ＝a 2＋c 2－b 22ac ＝－12 ，又B 为△ABC 的内角，∴B ＝23π.11．在△ABC 中，内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，且c ＝a cos B ，①则A ＝________；②若sin C ＝13，则cos (π＋B )＝________．答案：①90° ②－13解析：①∵c ＝a ·cos B ，∴c ＝a ·a 2＋c 2－b 22ac，得a 2＝b 2＋c 2，∴∠A ＝90°；②∵cos B ＝cos (π－A －C )＝sin C ＝13 .∴cos (π＋B )＝－cos B ＝－sin C ＝－13 .12．[2023·全国甲卷(理)]在△ABC 中，∠BAC ＝60°，AB ＝2，BC ＝6 ，∠BAC 的角平分线交BC 于D ，则AD ＝________．答案：2 解析：方法一 由余弦定理得cos 60°＝AC 2＋4－62×2AC ，整理得AC 2－2AC －2＝0，得AC＝1＋3 .又S △ABC ＝S △ABD ＋S △ACD ，所以12 ×2AC sin 60°＝12 ×2AD sin 30°＋12 AC ×AD sin30°，所以AD ＝23AC AC ＋2 ＝23×（1＋3）3＋3＝2.方法二 由角平分线定理得BD AB ＝CD AC ，又BD ＋CD ＝6 ，所以BD ＝26AC ＋2，CD ＝6AC AC ＋2 .由角平分线长公式得AD 2＝AB ×AC －BD ×CD ＝2AC －12AC（AC ＋2）2 ，又由方法一知AC ＝1＋3 ，所以AD 2＝2＋23 －12×（1＋3）（3＋3）2＝2＋23 －(23 －2)＝4，所以AD ＝2.[能力提升]13．(多选)在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，a ＝8，b <4，c ＝7，且满足(2a －b )cos C ＝c ·cos B ，则下列结论正确的是( )A ．C ＝60°B ．△ABC 的面积为63 C ．b ＝2D ．△ABC 为锐角三角形 答案：AB解析：∵(2a －b )cos C ＝c cos B ，∴(2sin A －sin B )cos C ＝sin C cos B ，∴2sin A cos C ＝sin B cos C ＋cos B sin C ，即2sin A cos C ＝sin (B ＋C )，∴2sin A cos C ＝sin A ．∵在△ABC 中，sin A ≠0，∴cos C ＝12 ，∴C ＝60°，A 正确．由余弦定理，得c 2＝a 2＋b 2－2ab cos C ，得49＝64＋b 2－2×8b cos 60°，即b 2－8b ＋15＝0，解得b ＝3或b ＝5，又b <4，∴b ＝3，C 错误．∴△ABC 的面积S ＝12 ab sin C ＝12 ×8×3×32 ＝63 ，B 正确．又cos A ＝b 2＋c 2－a 22bc＝9＋49－642×3×7<0，∴A 为钝角，△ABC 为钝角三角形，D 错误． 14．[2023·全国甲卷(理)]已知四棱锥P ABCD 的底面是边长为4的正方形，PC ＝PD ＝3，∠PCA ＝45°，则△PBC 面积为( )A ．22B ．32C ．42D ．62 答案：C解析：如图，过点P 作PO ⊥平面ABCD ，垂足为O ，取DC 的中点M ，AB 的中点N ，连接PM ，MN ，AO ，BO .由PC ＝PD ，得PM ⊥DC ，又PO ⊥DC ，PO ∩PM ＝P ，所以DC ⊥平面POM ，又OM ⊂平面POM ，所以DC ⊥OM .在正方形ABCD 中，DC ⊥NM ，所以M ，N ，O 三点共线，所以OA ＝OB ，所以Rt △P AO ≌Rt △PBO ，所以PB ＝P A .在△P AC 中，由余弦定理，得P A ＝PC 2＋AC 2－2PC ·AC cos 45° ＝17 ，所以PB ＝17 .在△PBC 中，由余弦定理，得cos ∠PCB ＝PC 2＋BC 2－BP 22PC ·BC ＝13 ，所以sin ∠PCB ＝223 ，所以S △PBC ＝12 PC ·BCsin ∠PCB ＝42 ，故选C.15．[2022·全国甲卷(理)，16]已知△ABC 中，点D 在边BC 上，∠ADB ＝120°，AD ＝2，CD ＝2BD .当ACAB取得最小值时，BD ＝________．答案：3 －1解析：以D 为坐标原点，DC 所在的直线为x 轴，DC →的方向为x 轴的正方向，过点D 且垂直于DC 的直线为y 轴，建立平面直角坐标系(图略)，易知点A 位于第一象限．由AD ＝2，∠ADB ＝120°，得A (1，3 ).因为CD ＝2BD ，所以设B (－x ，0)，x ＞0，则C (2x ，0).所以AC＝（2x －1）2＋（0－3）2＝4x 2－4x ＋4，AB ＝（－x －1）2＋（0－3）2＝x 2＋2x ＋4 ，所以⎝⎛⎭⎫AC AB 2＝4x 2－4x ＋4x 2＋2x ＋4.令f (x )＝4x 2－4x ＋4x 2＋2x ＋4，x ＞0，则f ′(x )＝（4x 2－4x ＋4）′（x 2＋2x ＋4）－（4x 2－4x ＋4）（x 2＋2x ＋4）′（x 2＋2x ＋4）2＝（8x －4）（x 2＋2x ＋4）－（4x 2－4x ＋4）（2x ＋2）（x 2＋2x ＋4）2＝12（x 2＋2x －2）（x 2＋2x ＋4）2 ．令x 2＋2x －2＝0，解得x ＝－1－3 (舍去)或x ＝3 －1.当0＜x ＜3 －1时，f ′(x )＜0，所以f (x )在(0，3 －1)上单调递减；当x ＞3 －1时，f ′(x )＞0，所以f (x )在(3 －1，＋∞)上单调递增．所以当x ＝3 －1时，f (x )取得最小值，即ACAB 取得最小值，此时BD ＝3 －1.16．在△ABC 中，内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，若△ABC 的面积为S ，且6S ＝(a ＋b )2－c 2，则tan C ＝________．答案：125解析：由余弦定理得2ab cos C ＝a 2＋b 2－c 2，又6S ＝(a ＋b )2－c 2，所以6×12 ab sin C ＝(a ＋b )2－c 2＝a 2＋b 2－c 2＋2ab ＝2ab cos C ＋2ab ，化简得3sin C ＝2cos C ＋2，结合sin 2C ＋cos 2C ＝1，解得sin C ＝1213 ，cos C ＝513 ，所以tan C ＝125.。
正余弦定理题型总结（全）
正余弦定理题型总结（全）平面向量题型归纳（全）题型一：共线定理应用例一：平面向量→→b a ,共线的充要条件是（）A.→→b a ,方向相同B. →→b a ,两向量中至少有一个为零向量 C.存在,R ∈λ→→=a b λ D 存在不全为零的实数0,,2121=+→→b a λλλλ变式一：对于非零向量→→b a ,，“→→→=+0b a ”是“→→b a //”的（）A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件变式二：设→→b a ,是两个非零向量（）A.若→→→→=+b a b a _则→→⊥b aB. 若→→⊥b a ，则→→→→=+b a b a _ C. 若→→→→=+b a b a _，则存在实数λ，使得→→=a b λ D 若存在实数λ，使得→→=a b λ，则→→→→=+ba b a _例二：设两个非零向量→→21e e 与，不共线，（1）如果三点共线；求证：D C A e e e e e e ,,,28,23,212121--=+=-= （2）如果三点共线，且D C A e k e e e e e ,,,2,32,212121-=-=+=求实数k 的值。
变式一：设→→21e e 与两个不共线向量，,2,3,2212121e e CD e e CB e k e AB -=+=+=若三点A,B,D 共线，求实数k 的值。
变式二：已知向量→→b a ,，且,27,25,2b a CD b a BC b a AB +=+-=+=则一定共线的三点是（） A.A,B,D B.A,B,C C.B,C,D D.A,C,D题型二：线段定比分点的向量形式在向量线性表示中的应用例一：设P 是三角形ABC 所在平面内的一点，,2+=则（）A. +=B. +=C. +=D. ++=变式一：已知O 是三角形ABC 所在平面内一点，D 为BC 边的中点，且++=2,那么（）A. A =变式二：在平行四边形ABCD 中=，=，3=,M 为BC 的中点，则= ( 用,表示)例二：在三角形ABC 中，=，=,若点D 满足2=,则=( )A. ,3132+B. ,3235-C. ,3132-D. ,3231+变式一：(高考题) 在三角形ABC 中，点D 在边AB 上，CD 平分角ACB,a CB =，b CA =21==,则=CD ( )A. ,3231+B. ,3132b a +C. ,5453+ D. ,5354b a +变式二：设D,E,F 分别是三角形ABC 的边BC,CA,AB 上的点，且,2BD DC =,2EA CE =,2FB AF =则++,与( )A.反向平行B. 同向平行C.互相垂直D.既不平行也不垂直变式三：在平行四边形ABCD 中，E 和F 分别是边CD 和BC 的中点，若μλ+=,其,,R ∈μλ则μλ+=变式四：在平行四边形ABCD 中，AC 与BD 交于点O,E 是线段OD 的中点，AE 的延长线与CD 交于点F ，若,=,=则=( )A.,2141+ B. ,3132+ C. ,4121+ D. ,3231+题型三：三点共线定理及其应用例一：点P 在AB 上，求证：μλ+=且μλ+=1（,,R ∈μλ）变式：在三角形ABC 中，点O 是BC 的中点，过点O 的直线分别交直线AB 、AC 于不同的两点M 和N,若,m =,n =则m+n=例二：在平行四边形ABCD 中，E,F 分别是BC,CD 的中点，DE 与AF 交于点H,设,a AB =,b BC =则= A. ,5452- B. ,5452+ C. ,5452+- D. ,5452--题型四：向量与三角形四心一、内心例一：O 是?ABC 所在平面内一定点，动点P满足），【∞+∈++=0λλ，则点P的轨迹一定通过?ABC 的（）A.外心 B.内心 C.重心 D.垂心变式一：已知非零向量与满足0=?+AC AB，且21=AC AB ，则?ABC 为（） A. 等边三角形 B. 直角三角形 C. 等腰非等边三角形 D.三边均不相等的三角形变式二：?=?+?+?P 为?ABC 的内心二、重心例一：O 是?ABC 内一点，=++，则为?ABC 的（）A.外心B.内心C .重心 D.垂心变式一：在?ABC 中，G 为平面上任意一点，证明：?++=)(31O 为?ABC 的重心变式二：在?ABC 中，G 为平面上任意一点，若?+=)(31AC AB AO O 为?ABC 的重心三垂心：例一：求证：在?ABC 中，??=?=? O 为?ABC 的垂心变式一：O 是平面上一定点，A ，B ，C 是平面上不共线的三个点，动点P 满足,R ∈++=λλ则点P 的轨迹一定通过?ABC 的（）A.外心B.内心C.重心 D .垂心四外心例一：若O 是?ABC 的外心，H 是?ABC 的垂心，则OH ++=变式一：已知点O ，N ，P 在?ABC 所在平面内，且==++=，题型五：向量的坐标运算例一：已知A(-2,4),B(3，-1)，C(-3，-4)，且CB CN CA CM 2,3==,试求点M,N 和的坐标。
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矿产资源开发利用方案编写内容要求及审查大纲
矿产资源开发利用方案编写内容要求及《矿产资源开发利用方案》审查大纲一、概述
㈠矿区位置、隶属关系和企业性质。
如为改扩建矿山, 应说明矿山现状、
特点及存在的主要问题。
㈡编制依据
(1简述项目前期工作进展情况及与有关方面对项目的意向性协议情况。
(2 列出开发利用方案编制所依据的主要基础性资料的名称。
如经储量管理部门认定的矿区地质勘探报告、选矿试验报告、加工利用试验报告、工程地质初评资料、矿区水文资料和供水资料等。
对改、扩建矿山应有生产实际资料, 如矿山总平面现状图、矿床开拓系统图、采场现状图和主要采选设备清单等。
二、矿产品需求现状和预测
㈠该矿产在国内需求情况和市场供应情况
1、矿产品现状及加工利用趋向。
2、国内近、远期的需求量及主要销向预测。
㈡产品价格分析
1、国内矿产品价格现状。
2、矿产品价格稳定性及变化趋势。
三、矿产资源概况
㈠矿区总体概况
1、矿区总体规划情况。
2、矿区矿产资源概况。
3、该设计与矿区总体开发的关系。
㈡该设计项目的资源概况
1、矿床地质及构造特征。
2、矿床开采技术条件及水文地质条件。