第六章 共形映射
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第六章 共形映射
6.1解:'
2w
z =
(1)'''(1)2,|(1)|2,arg (1)0w w w ===,伸缩率为2,旋转角为0
(2)'''1111(),|()|,arg (1)4242w w w π-=--==,伸缩率为1
2,旋转角为π
(3)'''(1)2(1),|(1)|(1)4
w i i w i w i π
+=++=+=,伸缩率为为
4
π (4)'''4
(34)2(34),|(34)|10,arg (34)arctan 3
w i i w i w i π-+=-+-+=-+=-,伸缩
率为10,旋转角为4
arctan 3π-
6.2解:令11w u iv z x iy =+==+,则可以得到2222,u v x y u v u v
-==++ (1)2222
,u v x y u v u v
-=
=++代入224x y +=得到22
14u v += (2)2222
,u v
x y u v u v -==++代入x y =得到u v =- (3)2222
,u v x y u v u v -==++代入1
x =得到22u v u +=整理得22
11()24u v -+= (4)2222,u v x y u v u v -==++代入22
(1)1x y -+=得到2222222
2()u v u u v u v
+=++整理得12u =
6.3解: (1)分式线性变换z i
w z i
-=
+把0,0x y >>变成下半单位圆域,把上半虚轴变成实轴上[1,1]-,把正半实轴变成下半单位圆
(2)分式线性变换(1)w i z =+,将Im 0z >区域按逆时针方向旋转
4
π
,得到区域Im Re w w >
(3)分式线性变换1z w z =
-把正实轴变成了不含(0,1)的实轴,把arg 4
z π
=变成
11
|(1)|22
w i --=的实轴下面部分
(4)分式线性变换i
w z
=把虚轴上0i →变成实轴上的(1,)∞,把正实轴变换成
上半虚轴,把z a i =+变成了11
||22
w -=的上半圆。
6.4解:
2w z =把上半单位圆映射成为||1w <,并且沿正实轴割开。
6.5解: (1)
11::
1111w i w z z i i i i i --+-∞
=+-+-+-∞
,化简可以得到11(1)w i z w i i -+=-+ 进而可以得到22z i
w z i
++=+-
(2)1::111w w i z z i i i -∞-+-∞=-∞-+-∞,化简可以得到111
i z w i i -+=
-+ 进而可以得到(1)2
1
i z w z ++=+
(3)01::
1011w w z z i i --∞+-∞=--∞+-∞,化简可以得到11
z w i +=+ 进而可以得到1(1)2
i
w z -=+
6.6解:
(1)令
1z =
将z 平面上的区域||2,Im 0z i z +<>变成1z 平面上的角形区
域14arg 3z ππ<<,令321z z =,将1z 平面上的角形区域14
arg 3z ππ<<变成2z 平
面上的下半平面,然后令2w z =-,则将下半平面变成了w 平面的上半平面,综合上面变换可得到所求线性变换为
3w =-
(2)两个圆的交点是1z =±,令11
1z z z +=
-,将z 平面上的区域
|||z i z i +>-<1z 平面上的角形区域135arg 44
z ππ
<<,令221z z =,将
1z 平面上的角形区域135arg 44z ππ<<变成2z 平面上的角形区域1arg 22
z ππ
-<<,
令2w iz =-,可以将2z 平面上的角形区域1arg 2
2
z π
π
-
<<
变成上半平面,综合可
以得到2
1(
)1
z w i z +=-- 6.7解:将上半平面映射为单位圆内部的分式线性变换为00
i z z w e z z θ
-=-
(1)0z i =,2π
θ=-
,所以z i
w i
z i -=-+
(2)0z i =,2πθ=,所以z i
w i z i -=+
(3)利用保对称点性质,可以知道,,1,z i i =-
变成w =
交比性质可以得到w =
(4)0z i =,θπ=,所以z i
w z i
-=-
+ 6.8解:将单位圆映射为单位圆内部的分式线性变换为001i z z w e z z
θ
-=-
(1)012z =,θπ=,所以1
2121212z z w z z -
-=-
=-- (2)012z =,2πθ=,所以12121212
z z w i
i z z -
-==-- 6.9解:(1)
令1z =
将z 平面上的区域||2,Im 1z z <>变成1z 平面上的
角形区域14arg 3z ππ<<,令321z z =,将1z 平面上的角形区域14
arg 3z ππ<<变
成2z 平面上的下半平面,然后令2w z =-,则将下半平面变成了w 平面的上半平面,综合上面变换可得到所求线性变换为
3w =-
(2)令41z z =,将z 平面上的区域0arg ,||24
z z π
<<
<变成1z 平面上的半圆区域
110arg ,||16z z π<<<,令12116
16
z z z +=
-,将1z 平面上的半圆区域