第3专题圆周运动

因此，所有同步卫星的线速度大小、角速度大小及周期、半径都相等．
由此可知要发射同步卫星必须同时满足三个条件：
①卫星运行周期和地球自转周期相同；
②卫星的运行轨道在地球的赤道平面内；
③卫星距地面高度有确定值．
热点、重点、难点
一、圆周运动
关于圆周运动，在高考中除了一般会出现星体问题，带电粒子在匀强磁场中的运动的试题外，还常会出现其他考查动能和功能关系的圆周运动问题．如2009年高考安徽理综卷第24题、浙江理综卷第24题，2008年高考山东理综卷第24题、广东物理卷第17题，2007年高考全国理综卷Ⅱ第23题等．
＝4mπ2f2r(牛顿第二定律)
3．圆周运动的临界问题
分析圆周运动的临界问题时，一般应从与研究对象相联系的物体(如：绳、杆、轨道等)的力学特征着手．
(1)如图3－1所示，绳系小球在竖直平面内做圆周运动及小球沿竖直圆轨道的内侧面做圆周运动过最高点的临界问题(小球只受重力、绳或轨道的弹力)．
图3－1
由于小球运动到圆轨迹的最高点时，绳或轨道对小球的作用力只能向下，作用力最小为零，所以小球做完整的圆周运动在最高点应有一最小速度vmin．当小球刚好能通过最高点时，有：
图3－4
(2)周期(T)一定
①同步卫星的运行方向与地球自转的方向一致．
②同步卫星的运转周期与地球的自转周期相同，即T＝24h．
(3)角速度(ω)一定
由公式ω＝知，地球同步卫星的角速度ω＝，因为T恒定，π为常数，故ω也一定．
(4)向心加速度(a)的大小一定
地球同步卫星的向心加速度为a，则由牛顿第二定律和万有引力定律得：
图3－2
分析小球在最高点的受力情况：小球受重力mg、杆或轨道对小球的力F．
小球在最高点的动力学方程为：
mg＋F＝m．
由于小球运动到圆轨迹的最高点时，杆或轨道对小球的作用力可以向下，可以向上，也可以为零；以向下的方向为正方向，设小球在最高点时杆或轨道对它的作用力大小为F，方向向上，速度大小为v，则有：
A．可以计算火星的质量
B．可以计算火星表面的引力加速度
C．可以计算火星的密度
D．可以计算火星的半径
【解析】卫星绕火星做圆周运动的向心力由万有引力提供，则有：G＝mr
而火星的质量M＝ρπr3
联立解得：火星的密度ρ＝
由M＝，g＝G＝r知，不能确定火星的质量、半径和其的表面引力加速度，所以C正确．
[答案]C
●例1如图3－5所示，两个圆弧轨道固定在水平地面上，半径R相同，A轨道由金属凹槽制成，B轨道由金属圆管制成，均可视为光滑轨道．在两轨道右侧的正上方分别将金属小球A和B由静止释放，小球距离地面的高度分别用hA和hB表示，则下列说法正确的是()
图3－5
A．若hA＝hB≥2R，则两小球都能沿轨道运动到最高点
(1)若将S2星的运行轨道视为半径r＝9.50×102天文单位的圆轨道，试估算人马座A*的质量MA是太阳质量MS的多少倍．(结果保留一位有效数字)
专题 圆周运动、航天与星体问题
知识网络
考点预测
本专题包含两类问题或者说两大题型，无论是星体问题还是其他圆周运动的问题，往往都要运用牛顿运动定律和功能关系进行求解，但由于在高考中地位重要，因`而单独作为一个专题进行总结、分类和强化训练．
航天与星体问题是近几年各地高考卷中的必考题型．由于对这个小模块每年都考，各类题型都有，考得很细，所以历年高考试题往往与近期天文的新发现或航天的新成就、新事件结合，我们在平时学习的过程中应多思考这类天文新发现和航天新事件中可能用于命题的要素．
[答案]D
【点评】除了天体问题和带电粒子在匀强磁场中运动外，竖直方向的圆周运动问题是较常出现的题型．本例题较典型地包含这类问题中的动力学关系和动能关系．
二、天体质量、密度及表面重力加速度的计算
1．星体表面的重力加速度：g＝G
2．天体质量常用的计算公式：M＝＝
●例2假设某个国家发射了一颗绕火星做圆周运动的卫星．已知该卫星贴着火星表面运动，把火星视为均匀球体，如果知道该卫星的运行周期为T，引力常量为G，那么()
A．B．C．D．
【解析】设月球表面附近的重力加速度为g0．
有：T＝2π
又由g0＝G，ρ＝
可解得ρ＝．
[答案]B
三、行星、卫星的动力学问题
不同轨道的行星(卫星)的速度、周期、角速度的关系在“要点归纳”中已有总结，关于这类问题还需特别注意分析清楚卫星的变轨过程及变轨前后的速度、周期及向心加速度的关系．
●例32008年9月25日到28日，我国成功发射了神舟七号载人航天飞行并实现了航天员首次出舱．飞船先沿椭圆轨道飞行，后在远地点343千米处点火加速，由椭圆轨道变成高度为343千米的圆轨道，在此圆轨道上飞船运行周期约为90分钟．下列判断正确的是[2009年高考·山东理综卷]()
(2)关系：v＝＝ωr＝2πrf，a＝＝ω2r＝r＝4π2f2r．
2．匀速圆周运动的向心力
(1)向心力的来源：向心力是由效果命名的力，它可以由重力、弹力、摩擦力等力来充当，也可以是由这些力的合力或它们的分力来提供，即任何力都可能提供向心力，向心力的作用是只改变线速度的方向，不改变线速度的大小．
(2)大小：F向＝ma＝m＝mω2r＝mr
图3－3
(3)骑自行车在水平路面上转弯时，向心力由静摩擦力提供，但车身的倾斜角仍为θ＝arctan．
二、航天与星体问题
1．天体运动的两个基本规律
(1)万有引力提供向心力
行星卫星模型：F＝G＝m＝mrω2＝mr
双星模型：G＝m1ω2r1＝m2ω2(L－r1)
其中，G＝6.67×10－11N·m2/kg2
(1)位置一定(必须位于地球赤道的上空)
地球同步卫星绕地球旋转的轨道平面一定与地球的赤道面重合．
假设同步卫星的轨道平面与赤道平面不重合，而与某一纬线所在的平面重合，如图3－4所示．同步卫星由于受到地球指向地心的万有引力F的作用，绕地轴做圆周运动，F的一个分力F1提供向心力，而另一个分力F2将使同步卫星不断地移向赤道面，最终直至与赤道面重合为止(此时万有引力F全部提供向心力)．
[答案]BC
【点评】对于这类卫星变轨的问题，特别要注意比较加速度时不能根据运动学公式a＝＝ω2r，因为变轨前后卫星在同一点的速度、轨道半径均变化，一般要通过决定式a＝来比较．
★同类拓展2为纪念伽利略将望远镜用于天文观测400周年，2009年被定为以“探索我的宇宙”为主题的国际天文年．我国发射的嫦娥一号卫星绕月球经过一年多的运行，完成了既定任务，于2009年3月1日16日13分成功撞月．图示为嫦娥一号卫星撞月的模拟图，卫星在控制点1开始进入撞月轨道．假设卫星绕月球做圆周运动的轨道半径为R，周期为T，引力常量为G．根据题中信息()
【点评】历年的高考中都常见到关于星体质量(或密度)、重力加速度的计算试题，如2009年高考全国理综卷Ⅰ第19题，江苏物理卷第3题，2008年高考上海物理卷1(A)等．★同类拓展1我国探月的嫦娥工程已启动，在不久的将来，我国宇航员将登上月球．假如宇航员在月球上测得摆长为l的单摆做小振幅振动的周期为T，将月球视为密度均匀、半径为r的球体，则月球的密度为()
mg＝m
解得：vmin＝．
又由机械能守恒定律有：mv下2＝mv上2＋mg·2R，可得v下≥
所以，小球要能通过最高点，它在最高点时的速度v需要满足的条件是v≥．当v＞时，绳对球产生拉力，轨道对球产生压力．
(2)如图3－2所示，轻质杆一端的小球绕杆的另一端做圆周运动及小球在竖直放置的圆环内做圆周运动过最高点的临界问题．
●例42008年12月，天文学家们通过观测的数据确认了银河系中央的黑洞“人马座A*”的质量与太阳质量的倍数关系．研究发现，有一星体S2绕人马座A*做椭圆运动，其轨道半长轴为9.50×102天文单位(地球公转轨道的半径为一个天文单位)，人马座A*就处在该椭圆的一个焦点上．观测得到S2星的运动周期为15.2年．
A．飞船变轨前后的机械能相等
B．飞船在圆轨道上时航天员出舱前后都处于失重状态
C．飞船在此圆轨道上运动的角速度大于同步卫星运动的角速度
D．飞船变轨前通过椭圆轨道远地点时的加速度大于变轨后沿圆轨道运动的加速度
【解析】飞船点火变轨，反冲力对飞船做正功，飞船的机械能不守恒，A错误．飞船在圆形轨道上绕行时，航天员(包括飞船及其他物品)受到的万有引力恰好提供所需的向心力，处于完全失重状态，B正确．神舟七号的运行高度远低于同步卫星，由ω2∝知，C正确．由牛顿第二定律a＝＝G知，变轨前后过同一点的加速度相等．
A．可以求出月球的质量
B．可以求出月球对嫦娥一号卫星的引力
C．可知嫦娥一号卫星在控制点1处应减速
D．可知嫦娥一号在地面的发射速度大于11.2km/s
【解析】由G＝mR可得月球的质量M＝，A正确．由于不知嫦娥一号的质量，无法求得引力，B错误．卫星在控制点1开始做近月运动，知在该点万有引力要大于所需的向心力，故知在控制点1应减速，C正确．嫦娥一号进入绕月轨道后，同时还与月球一起绕地球运行，并未脱离地球，故知发射速度小于11.2km/s，D错误．
mg－F＝m
当v＝0时，F＝mg，方向向上；
当0＜v＜时，F随v的增大而减小，方向向上；
当v＝时，F＝0；
当v＞时，F为负值，表示方向向下，且F随v的增大而增大．
4．弯道问题
(1)火车的弯道、公路的弯道都向内侧倾斜，若弯道半径为r，车辆通过速度为v0，则弯道的倾角应为：
θ＝．
(2)飞机、鸟在空中盘旋时受力与火车以“v0”过弯道相同，故机翼、翅膀的倾角θ＝arctan．
2．万有引力等于重力
G＝mg(物体在地球表面且忽略地球自转效应)；
G＝mg′(在离地面高h处，忽略地球自转效应完全相等，g′为该处的重力加速度)
2．人造卫星的加速度、线速度、角速度、周期跟轨道半径的关系
F万＝G＝F向＝
3．宇宙速度
(1)第一宇宙速度(环绕速度)：v＝＝7.9_km/s，是卫星发射的最小速度，也是卫星环绕地球运行的最大速度．