高二数学-2014-2015学年高二(下)4月月考数学试卷(文科)

2014-2015学年高二（下）4月月考数学试卷（文科）一、填充题（每题5分，计70分）1．已知集合A={﹣1，0，1}，B={0，1，2，3}，则A∩B=．2．函数f（x）=log2（x2﹣6）的定义域为．3．2lg4+lg=．4．函数（常数α∈Z）为偶函数，且在（0，+∞）上是单调递减函数，则α的值为．5．函数的最小正周期为．6．设，则f（f（﹣2））=．7．曲线y=x﹣cosx在点（，）处的切线方程为．8．已知函数f（x）的定义域为R，则“f（0）=0是函数为奇函数”的条件．9．函数取得最小值时x的集合是．10．若函数f（x）=x2+bx+c的图象的顶点在第四象限．则函数f′（x）的图象是下列四幅中的（只填序号）．11．已知=．12．要得到函数的图象，只需将函数y=3sin2x的图象得到．13．定义在实数集R上的偶函数f（x），在区间[0，+∞）上满足f′（x）＞0恒成立，若f（1）＜f（lgx）．则x的取值范围是．14．设函数f（x）=ax3﹣3x+1（x∈R），若对于任意的x∈[﹣1，1]都有f（x）≥0成立，则实数a的值为．二、解答题（本大题共6小题，共90分）15．（14分）（2015春•东台市校级月考）（1）设函数y=Asin（ωx+φ）（A＞0，ω＞0，|φ|＜π）最高点D的坐标为（2，）．由最高点运动到相邻的最低点时，函数曲线与x轴的交点为（6，0）．求A，ω和φ的值；（2）当时，求函数f（x）=sin2x+cos2x的值域．16．（14分）（2015•鹿城区校级模拟）已知函数f（x）=log a（x+1）﹣log a（1﹣x），a＞0且a≠1．（1）求f（x）的定义域；（2）判断f（x）的奇偶性并予以证明；（3）当a＞1时，求使f（x）＞0的x的取值范围．17．（15分）（2015春•东台市校级月考）已知函数．（1）求的值；（2）求的值；（2）设，求的值．18．（15分）（2011•南京一模）如图，在半径为30cm的半圆形（O为圆心）铝皮上截取一块矩形材料ABCD，其中点A、B在直径上，点C、D在圆周上．（1）怎样截取才能使截得的矩形ABCD的面积最大？并求最大面积；（2）若将所截得的矩形铝皮ABCD卷成一个以AD为母线的圆柱形罐子的侧面（不计剪裁和拼接损耗），应怎样截取，才能使做出的圆柱形形罐子体积最大？并求最大面积．19．（16分）（2010•韶关模拟）设函数f（x）=2x3+3ax2+3bx+8c在x=1及x=2时取得极值．（Ⅰ）求a、b的值；（Ⅱ）若对任意的x∈[0，3]，都有f（x）＜c2成立，求c的取值范围．20．（16分）（2015•扬州二模）设a∈R，函数f（x）=x|x﹣a|﹣a．（1）若f（x）为奇函数，求a的值；（2）若对任意的x∈[2，3]，f（x）≥0恒成立，求a的取值范围；（3）当a＞4时，求函数y=f（f（x）+a）零点的个数．2014-2015学年高二（下）4月月考数学试卷（文科）参考答案与试题解析一、填充题（每题5分，计70分）1．已知集合A={﹣1，0，1}，B={0，1，2，3}，则A∩B={0，1}．考点：交集及其运算．专题：集合．分析：由A与B，求出两集合的交集即可．解答：解：∵A={﹣1，0，1}，B={0，1，2，3}，∴A∩B={0，1}．故答案为：{0，1}点评：此题考查了交集及其运算，熟练掌握交集的定义是解本题的关键．2．函数f（x）=log2（x2﹣6）的定义域为（﹣∞，﹣）∪（，+∞）．考点：对数函数的定义域．专题：函数的性质及应用．分析：根据函数f（x）的解析式中，对数的真数大于0，列出不等式，求出解集即可．解答：解：∵函数f（x）=log2（x2﹣6），∴x2﹣6＞0，解得x＜﹣或x＞；∴f（x）的定义域为（﹣∞，﹣）∪（，+∞）．故答案为：（﹣∞，﹣）∪（，+∞）．点评：本题考查了求对数函数的定义域的应用问题，是基础题目．3．2lg4+lg=1．考点：对数的运算性质．专题：函数的性质及应用．分析：利用对数的运算性质即可得出；解答：解：原式=═lg10=1，故答案为：1．点评：本题考查了对数的运算性质，属于基础题．4．函数（常数α∈Z）为偶函数，且在（0，+∞）上是单调递减函数，则α的值为1．考点：奇偶性与单调性的综合．专题：计算题．分析：根据幂函数的性质，要使得函数为偶函数，且在（0，+∞）上是单调递减函数，则α2﹣2α﹣3为偶数，且α2﹣2α﹣3＜0，结合α∈Z 进行求解即可解答：解：根据幂函数的性质，要使得函数为偶函数，且在（0，+∞）上是单调递减函数则α2﹣2α﹣3为偶数，且α2﹣2α﹣3＜0解不等式可得，﹣1＜α＜3∵α∈Z∴α=0，1，2当α=0时，α2﹣2α﹣3=﹣3不满足条件α=1时，α2﹣2α﹣3=﹣4满足条件α=2时，α2﹣2α﹣3=﹣3不满足条件故答案为：1点评：本题主要考查了幂函数的性质：函数y=xα，为偶函数且在（0，+∞）单调递减的条件是α为偶数，且α＜0，这是解决此题的关键．5．函数的最小正周期为2π．考点：三角函数的周期性及其求法．专题：三角函数的图像与性质．分析：由条件利用二倍角的正弦公式化简函数的解析式，再利用正弦函数的周期性求得函数的最小正周期．解答：解：∵函数=sinx，∴函数f（x）的最小正周期为=2π，故答案为：2π．点评：本题主要考查二倍角的正弦公式，正弦函数的周期性，属于基础题．6．设，则f（f（﹣2））=4．考点：函数的值．专题：计算题．分析：因为f（﹣2）=（﹣2）2=4，再将f（﹣2）=4代入f[f（﹣2）]即可得到答案．解答：解：∵f（﹣2）=（﹣2）2=4，再将f（﹣2）=4代入f[f（﹣2）]f（f（﹣2））=4．故答案为：4．点评：本题主要考查已知函数解析式求函数值的问题．这里将已知值代入即可得到答案．7．曲线y=x﹣cosx在点（，）处的切线方程为2x﹣y﹣=0．考点：利用导数研究曲线上某点切线方程．专题：计算题；导数的概念及应用；直线与圆．分析：求出函数的导数，求得切线的斜率，再由点斜式方程即可得到所求切线方程．解答：解：y=x﹣cosx的导数为y′=1+sinx，即有在点（，）处的切线斜率为k=1+sin=2，则曲线在点（，）处的切线方程为y﹣=2（x﹣），即为2x﹣y﹣=0．故答案为：2x﹣y﹣=0．点评：本题考查导数的运用：求切线方程，掌握导数的几何意义和运用点斜式方程是解题的关键．8．已知函数f（x）的定义域为R，则“f（0）=0是函数为奇函数”的必要不充分条件．考点：必要条件、充分条件与充要条件的判断．专题：简易逻辑．分析：根据充分条件和必要条件的定义结合奇函数的性质进行判断即可．解答：解：已知函数f（x）的定义域为R，则函数f（x）=|x|满足f（0）=0，但f（x）为偶函数，不是奇函数，故充分性不成立，若f（x）则奇函数，则满足f（﹣x）=﹣f（x），则当x=0时，有f（0）=﹣f（0），即f（0）=0，必要性成立，故f（0）=0是函数为奇函数的必要不充分条件，故答案为：必要不充分点评：本题主要考查充分条件和必要条件的判断，根据奇函数的性质是解决本题的关键．9．函数取得最小值时x的集合是{x|x=4kπ﹣，k∈Z}．考点：正弦函数的图象．专题：三角函数的图像与性质．分析：由条件利用正弦函数的最小值，求得函数取得最小值时x的集合．解答：解：对于函数，当x﹣=2kπ﹣，k∈Z时，即x=4kπ﹣，k∈Z时，函数y取得最小值为﹣2，故答案为：{x|x=4kπ﹣，k∈Z}．点评：本题主要考查正弦函数的最小值，属于基础题．10．若函数f（x）=x2+bx+c的图象的顶点在第四象限．则函数f′（x）的图象是下列四幅中的Ⅳ（只填序号）．考点：导数的运算；二次函数的性质．专题：函数的性质及应用；导数的概念及应用．分析：先根据二次函数的判断出a，b的符号，再求导，根据一次函数的性质判断所经过的象限即可．解答：解：∵函数f（x）=ax2+bx+c的图象开口向上且顶点在第四象限，∴a＞0，﹣＞0，∴b＜0，∵f′（x）=2ax+b，∴函数f′（x）的图象经过一，三，四象限，∴Ⅳ符合，故答案为：Ⅳ．点评：本题考查了导数的运算和一次函数，二次函数的图象和性质，属于基础题．11．已知=．考点：同角三角函数基本关系的运用．分析：将1=sin2α+cos2α代入，分子分母同时除以cos2α可得到关于tanα的关系式，即可得到答案．解答：解：∵==又∵tanα=﹣∴原式=故答案为：．点评：本题主要考查同角三角三角函数的基本关系．注意形式的转化．12．要得到函数的图象，只需将函数y=3sin2x的图象向左平移个单位得到．考点：函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换．专题：三角函数的图像与性质．分析：由条件利用函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换规律，可得结论．解答：解：将函数y=3sin2x的图象向左平移个单位，可得函数的图象，故答案为：向左平移个单位．点评：本题主要考查函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换规律，属于基础题．13．定义在实数集R上的偶函数f（x），在区间[0，+∞）上满足f′（x）＞0恒成立，若f（1）＜f（lgx）．则x的取值范围是{x|0＜x＜或x＞10}．考点：函数奇偶性的性质；利用导数研究函数的单调性．专题：函数的性质及应用．分析：根据函数的奇偶性和单调性，根据f（1）＜f（lgx）建立不等式组求得x的范围．解答：解：∵在区间[0，+∞）上满足f′（x）＞0恒成立，函数f（x）为增函数，根据偶函数的性质可知f（x）在区间（﹣∞，0）单调减，∵f（1）＜f（lgx）∴有|1|＜|lgx|，即lgx＞1或lgx＜﹣1，解得x＞10，或0＜x＜；故答案为：{x|0＜x＜或x＞10}点评：本题主要考查了函数奇偶性的性质，利用导数研究函数的单调性，绝对值不等式的解法，难度不大属于中档题．14．设函数f（x）=ax3﹣3x+1（x∈R），若对于任意的x∈[﹣1，1]都有f（x）≥0成立，则实数a的值为4．考点：利用导数求闭区间上函数的最值．专题：计算题．分析：先求出f′（x）=0时x的值，进而讨论函数的增减性得到f（x）的最小值，对于任意的x∈[﹣1，1]都有f（x）≥0成立，可转化为最小值大于等于0即可求出a的范围．解答：解：由题意，f′（x）=3ax2﹣3，当a≤0时3ax2﹣3＜0，函数是减函数，f（0）=1，只需f（1）≥0即可，解得a≥2，与已知矛盾，当a＞0时，令f′（x）=3ax2﹣3=0解得x=±，①当x＜﹣时，f′（x）＞0，f（x）为递增函数，②当﹣＜x＜时，f′（x）＜0，f（x）为递减函数，③当x＞时，f（x）为递增函数．所以f（）≥0，且f（﹣1）≥0，且f（1）≥0即可由f（）≥0，即a•﹣3•+1≥0，解得a≥4，由f（﹣1）≥0，可得a≤4，由f（1）≥0解得2≤a≤4，综上a=4为所求．故答案为：4．点评：本题以函数为载体，考查学生解决函数恒成立的能力，考查学生分析解决问题的能力，属于基础题．二、解答题（本大题共6小题，共90分）15．（14分）（2015春•东台市校级月考）（1）设函数y=Asin（ωx+φ）（A＞0，ω＞0，|φ|＜π）最高点D的坐标为（2，）．由最高点运动到相邻的最低点时，函数曲线与x轴的交点为（6，0）．求A，ω和φ的值；（2）当时，求函数f（x）=sin2x+cos2x的值域．考点：由y=Asin（ωx+φ）的部分图象确定其解析式；正弦函数的图象；y=Asin（ωx+φ）中参数的物理意义．专题：计算题；三角函数的图像与性质．分析：（1）利用函数的最高点求出A，求出函数的周期，即可求ω，利用最高点结合φ的范围求出它的值；（2）利用两角和的正弦函数公式化简可得解析式f（x）=2sin（2x+），由，可得：2x+∈（，），从而解得f（x）∈（﹣，2]．解答：（本小题满分10分）解：（1）由题意最高点D（2，）可得：A=．由题意=6﹣2=4，T=16，T=，∴ω=．∴f（x）=sin（+φ），∵函数图象过最高点D（2，），∴×2+φ=2kπ+，可得：φ=2kπ+，k∈Z，结合范围：|φ|＜π，可解得：φ=．综上，A=，ω=，φ=．（2）∵f（x）=sin2x+cos2x=2sin（2x+），∵，∴可得：2x+∈（，），∴sin（2x+）∈（﹣，1]，∴解得：f（x）=2sin（2x+）∈（﹣，2]．点评：本题主要考查了由y=Asin（ωx+φ）的部分图象确定其解析式，y=Asin（ωx+φ）中参数的物理意义，正弦函数的图象和性质，属于基础题．16．（14分）（2015•鹿城区校级模拟）已知函数f（x）=log a（x+1）﹣log a（1﹣x），a＞0且a≠1．（1）求f（x）的定义域；（2）判断f（x）的奇偶性并予以证明；（3）当a＞1时，求使f（x）＞0的x的取值范围．考点：函数奇偶性的判断；对数的运算性质；对数函数的定义域；对数函数的单调性与特殊点．专题：计算题．分析：（1）根据对数的性质可知真数大于零，进而确定x的范围，求得函数的定义域．（2）利用函数解析式可求得f（﹣x）=﹣f（x），进而判断出函数为奇函数．（3）根据当a＞1时，f（x）在定义域{x|﹣1＜x＜1}内是增函数，可推断出f（x）＞0，进而可知进而求得x的范围．解答：解：（1）f（x）=log a（x+1）﹣log a（1﹣x），则解得﹣1＜x＜1．故所求定义域为{x|﹣1＜x＜1}．（2）f（x）为奇函数由（1）知f（x）的定义域为{x|﹣1＜x＜1}，且f（﹣x）=log a（﹣x+1）﹣log a（1+x）=﹣[log a（x+1）﹣log a（1﹣x）]=﹣f（x），故f（x）为奇函数．（3）因为当a＞1时，f（x）在定义域{x|﹣1＜x＜1}内是增函数，所以．解得0＜x＜1．所以使f（x）＞0的x的取值范围是{x|0＜x＜1}．点评：本题主要考查了函数的定义域，奇偶性的判断和单调性的应用．要求考生对函数的基本性质熟练掌握．17．（15分）（2015春•东台市校级月考）已知函数．（1）求的值；（2）求的值；（2）设，求的值．考点：正弦函数的图象．专题：三角函数的求值．分析：（1）把x=代入函数f（x）的解析式中，进行求解即可．（2）利用诱导公式化简函数的表达式，然后利用二倍角公式化简求值即可．（3）分别把x=3α+和x=3β+2π代入f（x）的解析式中，化简后利用诱导公式即可求出sinα和cosβ的值，利用两角和差的余弦公式以及倍角公式进行求解．解答：解：（1）把x=代入函数解析式得：f（）=2sin（×﹣）=2sin=；（2）=8sin（﹣）sin（﹣）sin（﹣）=8sin sin sin=8cos cos cos=8cos cos cos=cos cos cos=（4sin cos cos）=（2sin cos）===1．（3）由f（3α+）=，f（3β+2π）=，代入得：2sin[（3α+）﹣]=2sinα=，2sin[（3β+2π）﹣]=2sin（β+）=2cosβ=则sinα=，cosβ=，又α，β∈[0，]，则cosα=，sinβ=，∈[0，]，则cos（α+β）=cosαcosβ﹣sinαsinβ=×﹣×=．∵∈[0，]，∴cos∈[0，1]，则cos（α+β）=2cos2﹣1=．则cos2=，则cos==．点评：本题主要考查三角函数值的求解，灵活运用诱导公式及同角三角函数间的基本关系化简求值是解决本题的关键．18．（15分）（2011•南京一模）如图，在半径为30cm的半圆形（O为圆心）铝皮上截取一块矩形材料ABCD，其中点A、B在直径上，点C、D在圆周上．（1）怎样截取才能使截得的矩形ABCD的面积最大？并求最大面积；（2）若将所截得的矩形铝皮ABCD卷成一个以AD为母线的圆柱形罐子的侧面（不计剪裁和拼接损耗），应怎样截取，才能使做出的圆柱形形罐子体积最大？并求最大面积．考点：函数模型的选择与应用．专题：应用题．分析：（1）【方法一】连接OC，设BC=x，矩形ABCD的面积为S；则S=AB•BC=2x=2，由基本不等式可得S的最大值以及对应的x的取值；【方法二】连接OC，设∠BOC=θ，矩形ABCD的面积为S，则S=AB•BC=2OB•BC=900sin2θ，由三角函数的知识，得出S的最大值以及对应BC的值．（2）【方法一】设圆柱底面半径为r，高为x，体积为V，由AB=2πr，得r，所以V=πr2h=（900x﹣x3）；利用求导法，可得x=10时，V取最大值，为；【方法二】连接OC，设∠BOC=θ，圆柱底面半径为r，高为h，体积为V，则圆柱的底面半径为r=，高h=30sinθ，所以V=πr2h=cos2θ=（sinθ﹣sin3θ），用换元法，令t=sinθ，则V=（t﹣t3），再由求导法，得t=时，此时BC=10cm 时，V取得最大值即可．解答：解：如图所示，（1）【方法一】连接OC，设BC=x，矩形ABCD的面积为S；则AB=2（其中0＜x＜30），∴S=2x=2≤x2+（900﹣x2）=900，当且仅当x2=900﹣x2，即x=15时，S取最大值900；所以，取BC=cm时，矩形ABCD的面积最大，最大值为900cm2．【方法二】连接OC，设∠BOC=θ，矩形ABCD的面积为S，则BC=30sinθ，OB=30cosθ（其中0＜θ＜）；∴S=AB•BC=2OB•BC=900sin2θ，且当sin2θ=1，即θ=时，S取最大值为900，此时BC=15；所以，取BC=15时，矩形ABCD的面积最大，最大值为900cm2．（2）【方法一】设圆柱底面半径为r，高为x，体积为V，由AB=2=2πr，得r=，∴V=πr2h=（900x﹣x3），（其中0＜x＜30）；由V′=（900﹣3x2）=0，得x=10；因此V=（900x﹣x3）在上是增函数，在（10，30）上是减函数；∴当x=10时，V的最大值为，即取BC=10cm时，做出的圆柱形罐子体积最大，最大值为cm3．【方法二】连接OC，设∠BOC=θ，圆柱底面半径为r，高为h，体积为V，则圆柱的底面半径为r=，高h=30sinθ，（其中0＜θ＜），所以V=πr2h=cos2θ=（sinθ﹣sin3θ），设t=sinθ，则V=（t﹣t3），由V′=（1﹣3t2）=0，得t=，因此V=（t﹣t3）在（0，）上是增函数，在（，1）上是减函数；所以，当t=时，即sinθ=，此时BC=10cm时，V有最大值，为cm3．点评：本题综合考查了二次函数，三次函数的最值问题，这里应用了基本不等式，以及求导数的方法求出了函数的最值．19．（16分）（2010•韶关模拟）设函数f（x）=2x3+3ax2+3bx+8c在x=1及x=2时取得极值．（Ⅰ）求a、b的值；（Ⅱ）若对任意的x∈[0，3]，都有f（x）＜c2成立，求c的取值范围．考点：利用导数研究函数的极值；利用导数求闭区间上函数的最值．专题：计算题；分类讨论．分析：（1）依题意有，f'（1）=0，f'（2）=0．求解即可．（2）若对任意的x∈[0，3]，都有f（x）＜c2成立⇔f（x）max＜c2在区间[0，3]上成立，根据导数求出函数在[0，3]上的最大值，进一步求c的取值范围．解答：解：（Ⅰ）f'（x）=6x2+6ax+3b，因为函数f（x）在x=1及x=2取得极值，则有f'（1）=0，f'（2）=0．即解得a=﹣3，b=4．（Ⅱ）由（Ⅰ）可知，f（x）=2x3﹣9x2+12x+8c，f'（x）=6x2﹣18x+12=6（x﹣1）（x﹣2）．当x∈（0，1）时，f'（x）＞0；当x∈（1，2）时，f'（x）＜0；当x∈（2，3）时，f'（x）＞0．所以，当x=1时，f（x）取得极大值f（1）=5+8c，又f（0）=8c，f（3）=9+8c．则当x∈[0，3]时，f（x）的最大值为f（3）=9+8c．因为对于任意的x∈[0，3]，有f（x）＜c2恒成立，所以9+8c＜c2，解得c＜﹣1或c＞9，因此c的取值范围为（﹣∞，﹣1）∪（9，+∞）．点评：本题考查了导数的应用：函数在某点存在极值的性质，函数恒成立问题，而函数①f （x）＜c2在区间[a，b]上恒成立与②存在x∈[a，b]，使得f（x）＜c2是不同的问题．①⇔f （x）max＜c2，②⇔f（x）min＜c2，在解题时要准确判断是“恒成立”问题还是“存在”问题．在解题时还要体会“转化思想”及“方程与函数不等式”的思想的应用．20．（16分）（2015•扬州二模）设a∈R，函数f（x）=x|x﹣a|﹣a．（1）若f（x）为奇函数，求a的值；（2）若对任意的x∈[2，3]，f（x）≥0恒成立，求a的取值范围；（3）当a＞4时，求函数y=f（f（x）+a）零点的个数．考点：函数奇偶性的性质；函数恒成立问题；根的存在性及根的个数判断．专题：函数的性质及应用．分析：（1）根据f（0）=0即可求出a；（2）讨论a的取值：a＜2，2≤a≤3，a＞3，三种情况，求出每种情况下的f（x）的最小值，让最小值大于等于0从而求出a的取值范围；（3）代入f（x），原函数变成y=f（x|x﹣a|），这时候换元t=x|x﹣a|，y=t|t﹣a|﹣a．然后画出函数t=x|x﹣a|和函数y=t|t﹣a|﹣a的图象，通过图象找出有几个t使得y=t|t﹣a|﹣a=0，并找出对应的x的个数，从而找到原函数的零点个数．解答：解：（1）∵f（x）在原点有定义，f（x）为奇函数；∴f（0）=﹣a=0；∴a=0；（2）f（x）=x|x﹣a|﹣a；∴①若a＜2，则x=2时，f（x）在[2，3]上取得最小值f（2）=2（2﹣a）﹣a=4﹣3a；∴4﹣3a≥0，a≤；∴；②若2≤a≤3，则x=a时，f（x）取得最小值f（a）=﹣a；﹣a＜0，不满足f（x）≥0；即这种情况不存在；③若a＞3，则x=3时，f（x）取得最小值f（3）=3（a﹣3）﹣a=2a﹣9；∴2a﹣9≥0，a；∴；∴综上得a的取值范围为（﹣∞，]∪[，+∞）；（3）f（x）+a=x|x﹣a|，令x|x﹣a|=t；∴y=t|t﹣a|﹣a；下面作出函数t=x|x﹣a|=和函数y=t|t﹣a|﹣a=的图象：函数y=t|t﹣a|﹣a的图象可以认为由函数y=t|t﹣a|的图象向下平移a个单位得到；显然函数y=t|t﹣a|﹣a的左边两个零点t=t1，t=t2都在（0，a）区间上，而通过t=x|x﹣a|的图象可看出：∵，∴；∴t1，t2分别有三个x和它对应；∴这时原函数有6个零点；由t（t﹣a）﹣a=t2﹣ta﹣a=0可以解出；∴；显然；而（a2﹣2a）2﹣4（a2+4a）=a[a2（a﹣4）﹣16]；显然a2（a﹣4）﹣16可能大于0，可能等于0，可能小于0；∴t3可能和它对应的x个数为3，2，1；∴此时原函数零点个数为3，2，或1；∴原函数的零点个数为9个，8个，或7个．点评：考查奇函数的定义，奇函数在原点有定义时f（0）=0，函数零点的定义，含绝对值函数求最值的方法：观察解析式的方法，以及画出分段函数的图象，以及根据图象求函数零点个数的方法．。