2020版高三数学(理)一轮复习练习：第十二章概率、随机变量及其分布62
2020届高考数学理一轮温习课时训练第12章概率随机变量及其散布60
【课时训练】第60节 几何概型一、选择题1．(2018佛山模拟)如图，矩形长为6，宽为4，在矩形内随机地撒300颗黄豆，数得落在椭圆外的黄豆数为96，以此实验数据为依据能够估量出椭圆的面积约为( )A ．16.32B ．15.32C ．8.68D ．7.68【答案】A【解析】设椭圆的面积为S ，则S4×6＝300－96300，故S ＝16.32.2．(2018辽宁五校联考)假设实数k ∈[－3,3]，则k 的值使得过点A (1,1)能够作两条直线与圆x 2＋y 2＋kx －2y －54k ＝0相切的概率等于( )A.12 B ．13C ．14D ．16【答案】D【解析】由点A 在圆外可得k ＜0，由题中方程表示圆可得k ＞－1或k ＜－4，因此－1＜k ＜0，故所求概率为16.应选D.3．(2018宁夏银川模拟)在正三棱锥S －ABC 内任取一点P ，使得V P －ABC ＜12V S －ABC 的概率是()A.78B ．34C．12D．14【答案】A【解析】如图，别离取D，E，F为SA，SB，SC的中点，那么知足条件的点P 应在棱台DEF－ABC内，而S△DEF＝14S△ABC，∴V S－DEF＝18V S－ABC.∴P＝V DEF－ABCV S－ABC＝78.应选A.4．(2018石家庄一模)在区间[0,1]上随意选择两个实数x，y，那么使x2＋y2≤1成立的概率为()A.π2B．π4C．π3D．π5【答案】B【解析】如下图，实验的全数结果组成正方形区域，使得x2＋y2≤1成立的平面区域为以坐标原点O为圆心，1为半径的圆的14与x轴正半轴，y轴正半轴围成的区域，由几何概型的概率计算公式得，所求概率P＝π41＝π4.应选B.5．(2018湖南十校联考)如下图，正方形的四个极点别离为O (0,0)，A (1，0)，B (1,1)，C (0,1)，曲线y ＝x 2通过点B ，现将一个质点随机投入正方形中，那么质点落在图中阴影区域的概率是()A.12 B ．14C ．13D ．25【答案】C【解析】由题意可知，阴影部份的面积S 阴影＝⎠⎛10x 2dx ＝13x31＝13，又正方形的面积S ＝1，故质点落在图中阴影区域的概率P ＝131＝13.应选C.6.(2018武汉武昌区调研)在区间[0,1]上随机取一个数x ，那么事件“log 0.5(4x －3)≥0”发生的概率为( ),A.34 B ．23C ．13D ．14,【答案】D ,【解析】因为log 0.5(4x －3)≥0，因此0＜4x －3≤1，即34＜x ≤1，因此所求概率P ＝1－341－0＝14.应选D.,7．(2018济南模拟)如下图，在边长为1的正方形OABC 内任取一点P (x ，y )，那么以x ，y,1为边长能组成锐角三角形的概率为( ),A.1－π4B ．1－π6C.1－π3D ．π12【答案】A ,【解析】连接AC ，第一由x ＋y ＞1得组成三角形的点P 在△ABC 内，假设组成锐角三角形，那么最大边1所对的角α必是锐角，cos α＝x 2＋y 2－122xy ＞0，x 2＋y 2＞1，即点P 在以原点为圆心，1为半径的圆外．∴点P 在边AB ，BC 及圆弧AC 围成的区域内．∴所求概率为12－π4×1212＝1－π4.应选A.二、填空题8.(2018重庆检测)在不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x －y ＋1≥0，x ＋y －2≤0，y ≥0，所表示的平面区域内随机地取一点P ，那么点P 恰好落在第二象限的概率为________．【答案】29【解析】画出不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x －y ＋1≥0，x ＋y －2≤0，y ≥0，表示的平面区域(如图中阴影部份所示)，因为S △ABC ＝12×3×32＝94，S △AOD ＝12×1×1＝12，因此点P 恰好落在第二象限的概率为S△AODS△ABC＝1294＝29.9．(2018邢台摸底考试)有一个底面半径为1，高为3的圆柱，点O 1，O 2别离为那个圆柱上底面和下底面的圆心，在那个圆柱内随机取一点P ，那么点P 到点O 1，O 2的距离都大于1的概率为________．【答案】59【解析】由题意知，所求的概率为1－⎝ ⎛⎭⎪⎫4π3×13÷(π×12×3)＝59.10．(2018沈阳模拟)某人家门前挂了两盏灯笼，这两盏灯笼发光的时刻彼此独立，且都在通电后的5秒内任意时刻等可能发生，那么它们通电后发光的时刻相差不超过3秒的概率是________．【答案】2125【解析】设两盏灯笼通电后发光的时刻别离为x ，y ，那么由题意可知0≤x ≤5,0≤y ≤5，它们通电后发光的时刻相差不超过3秒，即|x －y |≤3，做出图形如下图，依照几何概型的概率计算公式可知，它们通电后发光的时刻相差不超过3秒的概率P ＝1－2×12×2×25×5＝2125.11．(2018河南检测)假设m ∈(0,3)，那么直线(m ＋2)x ＋(3－m )y －3＝0与x 轴，y 轴围成的三角形的面积小于98的概率为________．【答案】23【解析】关于直线方程(m ＋2)x ＋(3－m )y －3＝0，令x ＝0，得y ＝33－m；令y ＝0，得x ＝3m ＋2.由题意可得12·⎪⎪⎪⎪⎪⎪3m ＋2·⎪⎪⎪⎪⎪⎪33－m ＜98，因为m ∈(0,3)，因此解得0＜m ＜2，由几何概型的概率计算公式可得，所求事件的概率是23.12．(2018云南昆明统测)在底和高等长度的锐角三角形中有一个内接矩形ABCD，矩形的一边BC在三角形的底边上，如图，在三角形内任取一点，那么该点取自矩形内的最可能率为________．【答案】12【解析】设AD＝x，AB＝y，那么由三角形相似可得xa＝a－ya，解得y＝a－x，因此矩形的面积S＝xy＝x(a－x)≤⎝⎛⎭⎪⎫x＋a－x22＝a24，当且仅当x＝a－x，即x＝a2时，S 取得最大值a24，因此该点取自矩形内的最可能率为a2412×a×a＝12.三、解答题13．(2018山东德州一模)设关于x的一元二次方程x2＋2ax＋b2＝0.假设a是从区间[0,3]任取的一个数，b是从区间[0,2]任取的一个数，求方程有实根的概率．【解】设事件A为“方程x2＋2ax＋b2＝0有实根”．当a≥0，b≥0时，方程x2＋2ax＋b2＝0有实根的充要条件为a≥b.实验的全数结果所组成的区域为{(a，b)|0≤a≤3,0≤b≤2}，组成事件A的区域为{(a，b)|0≤a≤3,0≤b≤2，a≥b}，依照条件画出组成的区域(略)，可得所求的概率为P(A)＝3×2－12×223×2＝23.。
2020届高考数学一轮复习第十二章概率与统计12.2离散型随机变量及其分布列、均值与方差教师用书理PDF含解析
１ 为４．
（２） 随机变量 Ｘ 的可能取值为 ０，１，２，３，４．
Ｐ（Ｘ ＝ ０）＝
１ ４
，Ｐ（Ｘ ＝ １） ＝
２ Ａ２４
＝
１ ６
，Ｐ（Ｘ ＝
２） ＝
１ Ａ２４
＋ Ａ２２ Ａ３４
＝
１ ，
６
Ｐ（Ｘ ＝ ３）＝
Ｃ１２ Ａ２２ ＝ Ａ３４
１ ６
，Ｐ（ Ｘ ＝ ４）＝
Ａ
３ ３
Ａ
４ ４
＝
１ ４
．
所以随机变量 Ｘ 的分布列为
的两点分布．
３．超几何分布列
在含有 Ｍ 件次品的 Ｎ 件产品中，任取 ｎ 件，其中含有 Ｘ 件
次 品， 则 事 件 ｛ Ｘ ＝ ｋ ｝ 发 生 的 概 率 为 Ｐ （ Ｘ ＝ ｋ ） ＝
ＣｋＭ
·Ｃｎ－ｋ Ｎ－Ｍ ＣｎＮ
（
ｋ
＝
０，１，２，…，ｍ） ，其中
ｍ ＝ ｍｉｎ｛ Ｍ，ｎ｝ ，且
ｎ≤Ｎ，Ｍ≤
Ｎ，ｎ、Ｍ、Ｎ∈Ｎ∗ ，称分布列
中，甲留下的概率与他摸卡片的顺序无关，则
Ｐ（ Ａ）＝
６ １２
×
３ ６
×
２ ３
×
１ ２
＝
１ １２
．
（２） 随机变量 Ｘ 的取值可以为 １，２，３，４．
Ｐ（Ｘ ＝ １）＝
６＝ １２
１ ２
，
Ｐ（Ｘ ＝ ２）＝
６× １２
３ ６
＝
１ ４
，
Ｐ（Ｘ ＝ ３）＝
６× １２
３ ６
×
１ ３
＝ １， １２
Ｐ（Ｘ ＝ ４）＝
（１） ｐｉ ≥０，ｉ ＝ １，２，…，ｎ； （２）ｐ１ ＋ｐ２ ＋…＋ｐｉ ＋…＋ｐｎ ＝ １． 离散型随机变量在某一范围内取值的概率等于它取这个范 围内各个值的概率之和． ２．两点分布 如果随机变量 Ｘ 的分布列为
2020版高考数学_福建专用_一轮复习课件_第十二章 概率 离散型随机变量及其分布列
-21-
考点1
考点2
考点3
汽车行 驶路线
公路 1 公路 2
在不堵车的情 在堵车的情况 况下到达城市 下到达城市乙 乙所需时间/天 所需时间/天
2
3
1
4
堵车的 概率
1 10 1 2
运费 /万元
1.6
0.8
①记汽车选择公路1运送牛奶时牛奶厂获得的毛收入为ξ(单位:
万元),求ξ的分布列和均值E(ξ);
②如果你是牛奶厂的决策者,那么你选择哪条公路运送牛奶有可
各设奖100元,点击某一格即显示相应金额.某人在一张表中随机不 重复地点击3格,记中奖的总金额为X元.
①求概率P(X=600); ②求X的概率分布及数学期望E(X).
-23-
考点1
考点2
考点3
(1)解 ①若汽车走公路 1,则不堵车时牛奶厂获得的毛收入 ξ=20-1.6=18.4(万元);
堵车时牛奶厂获得的毛收入 ξ=20-1.6-1=17.4(万元). 故汽车走公路 1 时牛奶厂获得的毛收入 ξ 的分布列为
能让牛奶厂获得的毛收入更多? (注:毛收入=销售商支付给牛奶厂的费用-运费)
-22-
考点1
考点2
考点3
(2)(2018江苏南通、徐州等六市调研)在某公司举行的年终庆典 活动中,主持人利用随机抽奖软件进行抽奖:由电脑随机生成一张
如图所示的3×3表格,其中1格设奖300元,4格各设奖200元,其余4格
关闭
选项A,B表述的都是随机事件,选项D是确定的值2,并不随机;选项C是随 机变量,可能取值为0,1,2.
关闭
C
解析 答案
知识梳理
-8-
知识梳理 双基自测
12345
2020版高三数学(理科)一轮复习课件：第十二章概率、随机变量及其分布 61
【答案】B
【解析】根据随机变量X的概率分布列知， 1 1 1 3＋m＋4＋6＝1， 1 解得m＝4； 又|X－3|＝1， ∴X＝2或X＝4， 则P(X－3|＝1)＝P(X＝2)＋P(X＝4) 1 1 5 ＝4＋6＝12.
3．在含有3件次品的10件产品中，任取4件，X表示取到的次品 数，则P(X＝2)＝________.
第十二章 第61节
概率、随机变量及其分布 离散型随机变量及其分布
考纲呈现 1．理解取有限个值的离散型随机变量及其分布列的概念，了解 分布列对于刻画随机现象的重要性． 2．能确定随机变量，求出随机变量发生的概率，正确列出分布 列． 3．理解超几何分布，并能进行简单的应用.
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
诊断型·微题组
课前预习·诊断双基
n k Ck MCN－M n CN 则P(X＝k)＝__________ ，k＝0,1,2，…，m，其中m＝min{M，n}，
－
且n≤N，M≤N，n，M，N∈N . X 0
－
1
－
…
m
－
n 0 C0 MCN－M P n C N __________
n 1 n m C1 Cm MCN－M MCN－M … n n C C N N ______ __________
(2018山西临汾三模)设离散型随机变量X的分布列为 X 0 1 2 3 4 P 0.2 0.1 0.1 0.3 m 求：(1)2X＋1的分布列； (2)|X－1|的分布列．
【解】由分布列的性质知，0.2＋0.1＋0.1＋0.3＋m＝1，∴m＝ 0.3. 首先列表为 X 0 1 2 3 4 2X＋1 1 3 5 7 9 |X－1| 1 0 1 2 3
1－2q q2
【答案】C
高考数学一轮复习第十二章概率12
12.5 离散型随机变量的均值与方差必备知识预案自诊知识梳理1.离散型随机变量的均值与方差若离散型随机变量X 的分布列为P (X=x i )=p i ,i=1,2,…,n.(1)均值:称EX= 为随机变量X 的均值或数学期望. (2)方差:称DX=∑i =1i(x i -EX )2p i 为随机变量X 的方差,其算术平方根√DX为随机变量X的 .(3)期望的含义:①期望是算术平均值概念的推广,是概率意义下的平均;②EX 是一个实数,由X 的分布列唯一确定,即作为随机变量,X 是可变的,可取不同值,而EX 是不变的,它描述X 取值的平均状态;③EX=x 1p 1+x 2p 2+…+x n p n 直接给出了EX 的求法,即随机变量取值与相应概率分别相乘后相加.(4)方差的含义:①随机变量的方差与标准差都反映了随机变量取值的稳定与波动.集中与离散的程度DX 越大,表明平均偏离程度越大,X 的取值越分散.反之,DX 越小,X 的取值越集中在EX 附近.②方差也是一个常数,它不具有随机性,方差的值一定是非负.2.均值与方差的性质(1)E (aX+b )= ; (2)E (ξ+η)=E ξ+E η;(3)D (aX+b )= .3.两点分布与二项分布的均值与方差(1)若X 服从两点分布,则EX= ,DX= . (2)若X~B (n ,p ),则EX= ,DX= .1.若X 1,X 2相互独立,则E (X 1·X 2)=EX 1·EX2.2.均值与方差的关系:DX=EX 2-E 2X. 3.Ek=k ,Dk=0,其中k 为常数. 4.E (X 1+X 2)=EX 1+EX 2.5.若X~N (μ,σ2),则X 的均值与方差分别为EX=μ,DX=σ2. 6.若Y=aX+b ,其中a ,b 是常数,X 是随机变量,则E (aX+b )=aEX+b ,D (aX+b )=A 2DX.7.超几何分布的均值:若X 服从参数为N ,M ,n 的超几何分布,则EX=nMN .考点自诊1.判断下列结论是否正确,正确的画“√”,错误的画“×”. (1)期望是算术平均数概念的推广,与概率无关.( )(2)均值与方差都是从整体上刻画离散型随机变量的情况,因此它们是一回事.( ) (3)随机变量的均值是常数,样本的平均值是随机变量,它不确定.( )(4)随机变量的方差和标准差都反映了随机变量取值偏离均值的平均程度,方差或标准差越小,则偏离均值的平均程度越小.( )(5)正态分布中的参数μ和σ完全确定了正态分布,参数μ是正态分布的均值,σ是正态分布的标准差.( )2.已知某8个数的期望为5,方差为3,现又加入一个新数据5,此时这9个数的期望记为EX ,方差记为DX ,则( )A.EX=5,DX>3B.EX=5,DX<3C.EX<5,DX>3D.EX<5,DX<33.已知随机变量X 满足E (2X+3)=7,D (2X+3)=16,则下列选项正确的是( )A.EX=72,DX=132B.EX=2,DX=4C.EX=2,DX=8D.EX=74,DX=8 4.设0<a<1,随机变量X 的分布列是:X 0 a 1 P 13 13 13则当a 在(0,1)内增大时( )A.DX 增大B.DX 减小C.DX 先增大后减小D.DX 先减小后增大5.一批产品的二等品率为0.02,从这批产品中每次随机取一件,有放回地抽取100次,X 表示抽到的二等品件数,则DX= .关键能力学案突破考点求离散型随机变量的均值与方差〖例1〗从某校参加高一年级期中考试的学生中随机抽出60名学生,将其数学成绩分成六段〖40,50),〖50,60),…,〖90,100〗后得到如图部分频率分布直方图,观察图形的信息,回答下列问题:(1)求分数在〖70,80)内的频率,并补全这个频率分布直方图;(2)统计方法中,同一组数据常用该组区间的中点值作为代表,据此估计本次考试的平均分;(3)若从60名学生中随机抽取2人,抽到的学生成绩在〖40,60)记0分,在〖60,80)记1分,在〖80,100〗记2分,用ξ表示抽取结束后的总记分,求ξ的分布列和数学期望.解题心得1.求离散型随机变量X的均值与方差的步骤:(1)理解X的意义,写出X的全部可能取值.(2)求X取每个值的概率.(3)写出X的分布列.(4)由均值的定义求EX.(5)由方差的定义求DX.2.注意性质的应用:若随机变量X的均值为EX,则对应随机变量aX+b的均值是aEX+b,方差为a2DX.对点训练1某班50名学生在一次百米测试中,成绩全部介于13秒与18秒之间,将测试结果按如下方式分成五组:第一组〖13,14),第二组〖14,15),…,第五组〖17,18〗,如图是按上述分组方法得到的频率分布直方图.(1)根据频率分布直方图,估计这50名学生百米测试成绩的中位数和平均数(精确到0.1).(2)若从第一、五组中随机取出三名学生成绩,设取自第一组的个数为ξ,求ξ的分布列,期望及方差.考点二项分布的均值与方差〖例2〗(2020甘肃天水一中高三月考)某学校实行自主招生,参加自主招生的学生从8个试题中随机挑选出4个作答,至少答对3个才能通过初试.已知甲、乙两人参加初试,在这8个试题中甲能答对6个,乙答对每个试题的概率均为34,且甲、乙两人是否答对每个试题互不影响.(1)试通过概率计算,分析甲、乙两人谁通过自主招生初试的可能性更大;(2)若答对一题得5分,答错或不答得0分,记乙答题的得分为Y,求Y的分布列及数学期望和方差.解题心得(1)求随机变量X的均值与方差时,可首先分析X是否服从二项分布,如果X~B(n,p),那么用公式EX=np,DX=np(1-p)求解,可大大减少计算量.(2)有些随机变量虽不服从二项分布,但与之具有线性关系的另一随机变量服从二项分布,这时,可以综合应用E(aξ+b)=aEξ+b以及Eξ=np求出E(aξ+b),同样还可求出D(aξ+b).对点训练2某部门为了解一企业在生产过程中的用水量情况,对其每天的用水量做了记录,得到了大量该企业的日用水量的统计数据,从这些统计数据中随机抽取12天的数据作为样本,得到如图所示的茎叶图(单位:吨).若用水量不低于95吨,则称这一天的用水量超标.(1)从这12天的数据中随机抽取3个,求至多有1天的用水量超标的概率;(2)以这12天的样本数据中用水量超标的频率作为概率,估计该企业未来3天中用水量超标的天数,记随机变量X为未来这3天中用水量超标的天数,求X的分布列、数学期望和方差.考点均值与方差在决策中的应用〖例3〗(2020江苏启东中学高三月考)冠状病毒是一个大型病毒家族,已知可引起感冒以及中东呼吸综合征和严重急性呼吸综合征等较严重疾病.而今年出现的新型冠状病毒是以前从未在人体中发现的冠状病毒新毒株.人感染了新型冠状病毒后常见体征有呼吸道症状、发热、咳嗽、气促和呼吸困难等.在较严重病例中感染可导致肺炎、严重急性呼吸综合征、肾衰竭,甚至死亡.核酸检测是诊断新冠肺炎的重要依据,首先取病人的唾液或咽拭子的样本,再提取唾液或咽拭子样本里的遗传物质,如果有病毒,样本检测会呈现阳性,否则为阴性.根据统计发现,疑似病例核酸检测呈阳性的概率为p(0<p<1),现有4例疑似病例,分别对其取样、检测,多个样本检测时,既可以逐个化验,也可以将若干个样本混合在一起化验,混合样本中只要有病毒,则混合样本化验结果就会呈阳性,若混合样本呈阳性,则将该组中各个样本再逐个化验;若混合样本呈阴性,则该组各个样本均为阴性.现有以下三种方案:方案一:逐个化验;方案二:四个样本混在一起化验;方案三:平均分成两组化验.在新冠肺炎爆发初期,由于检查能力不足,化检次数的期望值越小,则方案越“优”.(1)若p=1,求2个疑似病例样本混合化验结果为阳性的概率;4,现将该4例疑似病例样本进行化验,请问:方案一、二、三中哪个最“优”?(2)若p=14(3)若对4例疑似病例样本进行化验,且“方案二”比“方案一”更“优”,求p的取值范围.解题心得利用均值、方差进行决策的方法:均值能够反映随机变量取值的“平均水平”,因此,当均值不同时,两个随机变量取值的水平可见分晓,由此可对实际问题作出决策判断;若两个随机变量均值相同或相差不大,则可通过分析两个变量的方差来研究随机变量的离散程度或者稳定程度,方差或标准差越小,则偏离均值的平均程度越小,进而进行决策.对点训练3(2020四川三台高三一模)2020年春节期间,某超市准备举办一次有奖促销活动,若顾客一次消费达到400元则可参加一次抽奖活动,超市设计了两种抽奖方案.方案一:一个不透明的盒子中装有30个质地均匀且大小相同的小球,其中10个红球,20个白球,搅拌均匀后,顾客从中随机抽取一个球,若抽到红球,则顾客获得60元的返金券,若抽到白球,则获得20元的返金券,且顾客有放回地抽取3次.方案二:一个不透明的盒子中装有30个质地均匀且大小相同的小球,其中10个红球,20个白球,搅拌均匀后,顾客从中随机抽取一个球,若抽到红球,则顾客获得80元的返金券,若抽到白球,则未中奖,且顾客有放回地抽取3次.(1)现有两位顾客均获得抽奖机会,且都按方案一抽奖,试求这两位顾客均获得180元返金券的概率;(2)若某顾客获得抽奖机会.①试分别计算他选择两种抽奖方案最终获得返金券的数学期望;②为了吸引顾客消费,让顾客获得更多金额的返金券,该超市应选择哪一种抽奖方案进行促销活动?一般地,假设一批产品共有N 件,其中有M 件次品.从N 件产品中随机抽取n 件(不放回),用X 表示抽取的n 件产品中的次品数,则X 的分布列为P (X=k )=C i i C i -ii -i C ii ,k=m ,m+1,m+2,…,r.其中n ,N ,M ∈N +,M ≤N ,n ≤N ,m=max{0,n-N+M },r=min{n ,M }.如果随机变量X 的分布列具有上式的形式,那么称随机变量X 服从超几何分布.X 的均值为EX=ii i,X 的方差为DX=ii (i -i )(i -i )i 2(i -1).〖典例〗已知100件产品中有10件次品,从中任取3件,则取出的3件产品中次品数的均值是 ,方差是 .答案0.3 0.264 5解析(方法1)用随机变量ξ表示取出的3件产品中的次品数,则ξ的所有可能取值是0,1,2,3,且有P (ξ=0)=C 100C 903C 1003≈0.7265,P (ξ=1)=C 101C 902C 1003≈0.2477,P (ξ=2)=C 102C 901C 1003≈0.0250,P (ξ=3)=1-P (ξ=0)-P (ξ=1)-P (ξ=2)≈0.0008,所以ξ的分布列为ξ 0 1 2 3 P 0.7265 0.2477 0.0250 0.0008从而E ξ=0×0.7265+1×0.2477+2×0.0250+3×0.0008=0.3001≈0.3,D ξ≈(0-0.3)2×0.7265+(1-0.3)2×0.2477+(2-0.3)2×0.0250+(3-0.3)2×0.0008≈0.2645.(方法2)这是超几何分布问题,其中N=100,M=10,n=3, 故E ξ=ii i=3×10100=310=0.3,D ξ=ii (i -i )(i -i )i 2(i -1)=3×10×(100-10)×(100-3)1002×(100-1)=2911100≈0.2645.解题心得求超几何分布的均值时,直接应用公式EX=iii比较简单,而方差公式不太容易记忆,一般是根据超几何分布的概率公式求出分布列,代入离散型随机变量的方差公式计算.对点训练从5名女生和2名男生中任选3人参加英语演讲比赛,设随机变量ξ表示所选3人中男生的人数.(1)求ξ的分布列; (2)求ξ的均值与方差; (3)求ξ≤1的概率.12.5 离散型随机变量的均值与方差必备知识·预案自诊知识梳理1.(1)x 1p 1+x 2p 2+…+x i p i +…+x n p n (2)标准差2.(1)aEX+b (3)a 2DX3.(1)p p (1-p ) (2)np np (1-p )考点自诊1.(1)× (2)× (3)√ (4)√ (5)√2.B 根据题意可知,EX=5×8+59=5,DX=3×8+(5-5)29=83<3.故选B .3.B E(2X+3)=2EX+3=7;D(2X+3)=4DX=16.故EX=2,DX=4.故选B.4.D根据题意可得EX=0+i+13=i+13,DX=(0-i+13)2·13+(i-i+13)2·13+(1-i+13)2·13=6A2-6i+627=6(i-12)2+9227,所以DX在a∈(0,12)上单调递减,在a∈(12,1)上单调递增,所以DX是先减小后增大,故选D.5.1.96有放回地抽取,是一个二项分布模型,其中p=0.02,n=100,则DX=np(1-p)=100×0.02×0.98=1.96.关键能力·学案突破例1解(1)设分数在〖70,80)内的频率为x,根据频率分布直方图,有(0.01+0.015×2+0.025+0.005)×10+x=1,可得x=0.3,所以频率分布直方图如图所示.(2)平均分为。
2020版高三数学(理)一轮复习练习：第十二章 概率、随机变量及其分布 61
【课时训练】第61节离散型随机变量及其分布列一、选择题1．(2018江西九校联考)已知下列四个变量：①某高铁候车室中一天的旅客数量X1；②某次学术讲座中学员向主讲教授提问的次数X2；③某一天中长江的水位X3；④某次大型车展中销售汽车的车辆数X4.其中不是离散型随机变量的是()A．①中的X1B．②中的X2C．③中的X3D．④中的X4【答案】C【解析】①②④中的随机变量可能取的值都可以按一定次序一一列出，因此它们都是离散型随机变量；③中的X3可以取某一区间内的一切值，无法按一定次序一一列出，故X3不是离散型随机变量．故选C.2．(2018湖南湘阳联考)某射手射击所得环数X的分布列为A．0.28 B．0.88C．0.79 D．0.51【答案】C【解析】P(X＞7)＝P(X＝8)＋P(X＝9)＋P(X＝10)＝0.28＋0.29＋0.22＝0.79.3．(2018福建南平一模)随机变量ξ的所有可能的取值为1,2,3，…，10，且P(ξ＝k)＝ak(k＝1,2，…，10)，则a值为()A.1110 B ．155 C ．110 D ．55【答案】B【解析】∵随机变量ξ的所有可能的取值为1,2,3，…，10，且P (ξ＝k )＝ak (k ＝1,2，…，10)，∴a ＋2a ＋3a ＋…＋10a ＝1，∴55a ＝1，∴a ＝155.4．(2018兰州模拟)有一个公用电话亭，观察使用过电话的人的流量时，设在某一时刻，有n 个人正在使用电话或等待使用电话的概率为P (n )，且P (n )与时刻t 无关，统计得到P (n )＝⎩⎨⎧⎝ ⎛⎭⎪⎫12n ·P (0)(1≤n ≤5)，0(n ≥6)，那么P (0)的值是( )A ．0B ．1C ．3263D ．12【答案】C【解析】由题意得P (1)＝12P (0)，P (2)＝14P (0)，P (3)＝18P (0)，P (4)＝116P (0)，P (5)＝132P (0)，P (n ≥6)＝0，所以1＝P (0)＋P (1)＋P (2)＋P (3)＋P (4)＋P (5)＋P (n ≥6)＝⎝⎛⎭⎪⎫1＋12＋14＋18＋116＋132·P (0)＝6332P (0)，所以P (0)＝3263.5．(2018四川资阳联考)在15个村庄中有7个村庄交通不方便，现从中任意选10个村庄，用X 表示这10个村庄中交通不方便的村庄数，下列概率中等于C 47C 68C 1015的是( )A ．P (X ＝2)B ．P (X ≤2)C ．P (X ＝4)D ．P (X ≤4)【答案】C【解析】X 服从超几何分布P (X ＝k )＝C k 7C 10－k 8C 1015，故X ＝k ＝4.6．(2018衡水中学模拟)若随机变量X 的分布列为则当P (X )A ．(－∞，2]B ．[1,2]C ．(1,2]D ．(1,2)【答案】C【解析】由随机变量X 的分布列知：P (X ＜－1)＝0.1，P (X ＜0)＝0.3，P (X ＜1)＝0.5，P (X ＜2)＝0.8，则当P (X ＜a )＝0.8时，实数a 的取值范围是(1,2]．7．(2018湖北八校联考)已知随机变量ξ的分布列如下表：其中a ，b ，c d 的取值范围分别是( )A.23 ⎣⎢⎡⎦⎥⎤－13，13B ．23 ⎣⎢⎡⎦⎥⎤13，23 C.23⎣⎢⎡⎦⎥⎤－13，23 D ．13⎣⎢⎡⎦⎥⎤－13，13 【答案】A【解析】∵a ，b ，c 成等差数列，∴2b ＝a ＋c . 又a ＋b ＋c ＝1，∴b ＝13，∴P (|ξ|＝1)＝a ＋c ＝23， 则a ＝13－d ，c ＝13＋d .根据分布列的性质，得0≤13－d ≤23，0≤13＋d ≤23， ∴－13≤d ≤13.故选A. 二、填空题8．(2018浙江温州模拟)设随机变量X 等可能取值1,2,3，…，n ，如果P (X ＜4)＝0.3，那么n ＝________.【答案】10【解析】由于随机变量X 等可能取1,2,3，…，n .∴取到每个数的概率均为1n .∴P (X ＜4)＝P (X ＝1)＋P (X ＝2)＋P (X ＝3)＝3n ＝0.3，∴n ＝10.9．(2018甘肃联合诊断)抛掷2颗骰子，所得点数之和X 是一个随机变量，则P (X ≤4)＝________.【答案】16【解析】相应的基本事件空间有36个基本事件，其中X ＝2对应(1,1)；X ＝3对应(1,2)，(2,1)；X ＝4对应(1,3)，(2,2)，(3,1)．所以P (X ≤4)＝P (X ＝2)＋P (X ＝3)＋P (X ＝4)＝136＋236＋336＝16. 10．(2018广东珠海三模)在一个口袋中装有黑、白两个球，从中随机取一球，记下它的颜色，然后放回，再取一球，又记下它的颜色，写出这两次取出白球数η的分布列为________．【答案】【解析】η的所有可能取值为0,1,2.P (η＝0)＝C 11C 11C 12C 12＝14；P (η＝1)＝C 11C 11×2C 12C 12＝12；P (η＝2)＝C 11C 11C 12C 12＝14.∴η的分布列为三、解答题11．(2018石家庄调研)为检测某产品的质量，现抽取5件产品，测量产品中微量元素x ，y 的含量(单位：毫克)，测量数据如下：时，该产品为优等品．现从上述5件产品中，随机抽取2件，求抽取的2件产品中优等品数ξ的分布列．【解】5件抽测品中有2件优等品，则ξ的可能取值为0,1,2. P (ξ＝0)＝C 23C 25＝0.3；P (ξ＝1)＝C 13·C 12C 25＝0.6；P (ξ＝2)＝C 22C 25＝0.1.∴优等品数ξ的分布列为。
2020版高考数学理科人教B版一轮温习单元质检卷12概率B
单元质检卷十二 概率(B )(时刻:45分钟 总分值:100分)一、选择题(本大题共6小题,每题7分,共42分)1.(2018山东济南二模,4)我国成功申办2022年第24届冬季奥林匹克运动会,届时冬奥会的高山速降运动将给咱们以速度与激情的完美展现,某选手的速度ξ服从正态散布N (100,σ2)(σ>0),若ξ在(80,120)内的概率为,那么他速度超过120的概率为( )福建厦门二模,5)从装有形状大小相同的3个黑球和2个白球的盒子中依次不放回地任意抽取3次,假设第二次抽得黑球,那么第三次抽得白球的概率等于( ) A.15B.14C.13D.123.(2018河南洛阳三模,6)设随机变量X~N (1,1),其正态散布密度曲线如下图,那么向正方形ABCD 中随机抛掷10 000个点,那么落入阴影部份的点的个数的估量值是( )注:若X~N (μ,σ2),则P (μ-σ<X<μ+σ)≈ 6,P (μ-2σ<X<μ+2σ)≈ 4. 038 587 028 5394.(2018辽宁沈阳一模,5)刘徽是一个伟大的数学家,他的杰作《九章算术注》和《海岛算经》是中国最宝贵的文化遗产,他所提出的割圆术能够估算圆周率π,理论上能把π的值计算到任意的精度.割圆术的第一步是求圆的内接正六边形的面积.假设在圆内随机取一点,那么此点取自该圆内接正六边形的概率是( ) A.3√34πB.3√32πC.12πD.14π5. (2018浙江杭州模拟,4)已知甲盒子中有m 个红球,n 个蓝球,乙盒子中有m-1个红球,n+1个蓝球(m ≥3,n ≥3),同时从甲乙两个盒子中掏出i (i=1,2)个球进行互换,(a )互换后,从甲盒子中取1个球是红球的概率记为p i (i=1,2).(b )互换后,乙盒子中含有红球的个数记为ξi (i=1,2).则( ) >p 2,E (ξ1)<E (ξ2) <p 2,E (ξ1)>E (ξ2) >p 2,E (ξ1)>E (ξ2) <p 2,E (ξ1)<E (ξ2)6.(2018安徽合肥三模,5)一个正四面体的四个面上别离标有数字1,2,3,4.掷那个四面体四次,令第i 次取得的数为a i ,假设存在正整数k 使得∑i=1ka i =4的概率p=m n,其中m ,n 是互质的正整数,则log 5m-log 4n 的值为( )二、填空题(本大题共2小题,每题7分,共14分)7.(2018江苏南京一模,5)口袋中有形状和大小完全相同的4个球,球的编号别离为1,2,3,4,假设从袋中一次随机摸出2个球,那么摸出的2个球的编号之和大于4的概率为 .8.(2018上海浦东新区一模,7)某企业生产的12个产品中有10个一等品,2个二等品,现从中抽取4个产品,其中恰好有1个二等品的概率为 .三、解答题(本大题共3小题,共44分)9.(14分)(2018江西南昌二模,19)中国海军,正在以不可阻挡的气魄向深蓝进军。
2020届高考数学(理科)一轮复习课时训练第12章概率、随机变量及其分布63Word版含解析
【课时训练】第63节 离散型随机变量的均值与方差、正态分布一、选择题1．(2018浙江嘉兴一中质检)随机变量X 的分布列如下表，且E(X )＝2，则D(2X －3)＝( )A ．2B ．3C ．4D ．5【答案】C【解析】p ＝1－16－13＝12，E (X )＝0×16＋2×12＋a ×13＝2⇒a ＝3，所以D (X )＝(0－2)2×16＋(2－2)2×12＋(3－2)2×13＝1，所以D (2X－3)＝22D (X )＝4，故选C.2．(2018广东广雅中学期中)口袋中有5个形状和大小完全相同的小球，编号分别为0,1,2,3,4，从中任取3个球，以X 表示取出球的最小号码，则E (X )＝( )A ．0.45B ．0.54 C.0.55 D ．0.6【答案】B【解析】易知随机变量X 的取值为0,1,2，由古典概型的概率计算公式得P (X ＝0)＝6C 35＝0.6，P (X ＝1)＝3C 35＝0.3，P (X ＝2)＝1C 35＝0.1.所以E (X )＝0×0.6＋1×0.3＋2×0.1＝0.5，故选B.3．(2018浙江东阳模拟)若随机事件A 在1次试验中发生的概率为p (0＜p ＜1)，用随机变量ξ表示A 在1次试验中发生的次数，则2D (ξ)－1E (ξ)的最大值为( ) A ．2＋2 2 B ．2 2C ．2－ 2D ．2－22【答案】D【解析】随机变量ξ的所有可能取值为0,1，且P (ξ＝1)＝p ，P (ξ＝0)＝1－p ，即ξ～B (1，p )，则E (ξ)＝p ，D (ξ)＝p (1－p )，2D (ξ)－1E (ξ)＝2－⎝⎛⎭⎪⎫2p ＋1p .而2p ＋1p ≥22p ·1p ＝2 2，当且仅当2p ＝1p ，即p ＝22时取等号．因此当p ＝22时，2D (ξ)－1E (ξ)取得最大值2－2 2.4．(2018南阳模拟)设随机变量X ～B (2，p )，随机变量Y ～B (3，p )，若P (X ≥1)＝59，则D (3Y ＋1)＝( )A ．2B ．3C ．6D ．7【答案】C【解析】由题意得P (X ≥1)＝P (X ＝1)＋P (X ＝2)＝C 12p (1－p )＋C 22p2＝59，所以p ＝13，则Y ～B ⎝ ⎛⎭⎪⎫3，13，故D (Y )＝3×13×⎝ ⎛⎭⎪⎫1－13＝23，所以D (3Y ＋1)＝9D (Y )＝9×23＝6.5．(2018江西宜春质检)已知随机变量ξ的所有可能取值分别为1,2,3,4,5.若数学期望E (ξ)＝4.2，则ξ取值为5的概率至少为( )A ．0.1B ．0.15C ．0.2D ．0.25【答案】C【解析】设ξ的取值为1,2,3,4,5的概率分别为p 1，p 2，p 3，p 4，p 5，p i ∈[0,1]，i ＝1,2,3,4,5，则p 1＋p 2＋p 3＋p 4＋p 5＝1，则p 1＋2p 2＋3p 3＋4(1－p 1－p 2－p 3－p 5)＋5p 5＝4.2，p 5＝0.2＋3p 1＋2p 2＋p 3≥0.2，当p 1＝p 2＝p 3＝0时等号成立．6．(2018吉林长春质检)据统计，某城市的火车站春运期间日接送旅客人数X (单位：万)服从正态分布X ～N (6,0.82)，则日接送人数在6万到6.8万之间的概率为(P (|X －μ|<σ)＝0.682 6，P (|X －μ|<2σ)＝0.954 4，P (|X －μ|<3σ)＝0.997 4)( )A ．0.682 6B ．0.954 4C ．0.997 4D ．0.341 3【答案】D【解析】因为μ＝6，σ＝0.8，所以P (6<X <6.8)＝P (5.2<X <6.8)2＝0.682 62＝0.341 3.故选D.7．(2018广东惠州二调)设随机变量ξ服从正态分布N (4,3)，若P (ξ<a －5)＝P (ξ>a ＋1)，则实数a 等于( )A ．7B ．6C ．5D ．4 【答案】B【解析】由随机变量ξ服从正态分布N (4,3)可得正态分布密度曲线的对称轴为直线x ＝4，又P (ξ<a －5)＝P (ξ>a ＋1)，∴x ＝a －5与x ＝a ＋1关于直线x ＝4对称，∴(a －5)＋(a ＋1)＝8，即a ＝6.故选B.8．(2018河北石家庄一模)设X ～N (1，σ2)，其正态分布密度曲线如图所示，且P (X ≥3)＝0.022 8，那么向正方形OABC 中随机投掷20 000个点，则落入阴影部分的点的个数的估计值为( )附：(随机变量ξ服从正态分布N (1，σ2)，则P (μ－σ<ξ<μ＋σ)＝0.682 6，P (μ－2σ<ξ<μ＋2σ)＝0.954 4)．A ．12 076B ．13 174C ．14 056D ．7 539【答案】B【解析】由题意，得P (X ≤－1)＝P (X ≥3)＝0.022 8， ∴P (－1<x <3)＝1－0.022 8×2＝0.954 4， ∵P (μ－2σ<ξ<μ＋2σ)＝0.954 4，∴1－2σ＝－1，故σ＝1，∴P (0<X <1)＝12P (0<X <2)＝0.341 3，故估计落入阴影部分的点的个数为20 000×(1－0.341 3)＝13 174，故选B.二、填空题9．(2018南高中期中)设随机变量X 的概率分布列为X 12 3 4 P13m1416则P (|X －3|＝1)【答案】512【解析】由13＋m ＋14＋16＝1，解得m ＝14， P (|X －3|＝1)＝P (X ＝2)＋P (X ＝4)＝14＋16＝512.10．(2018河南新乡三模)在某项测量中，测量结果ξ服从正态分布N (1，σ2)(σ＞0)．若ξ在(0,1)内取值的概率为0.4，则ξ在(0,2)内取值的概率为________．【答案】0.8【解析】由正态分布N (1，σ2)(σ＞0)的图象关于直线x ＝1对称，且ξ在(0,1)内取值的概率为0.4，知ξ在(1,2)内取值的概率也为0.4，故ξ在(0,2)内取值的概率为0.8.11．(2018内蒙古包头调研)已知X 是离散型随机变量，P (X ＝x 1)＝23，P (X ＝x 2)＝13，且x 1＜x 2.若E (X )＝43，D (X )＝29，则x 1＋x 2的值为________．【答案】3【解析】由题意得X 的所有可能取值为x 1，x 2，所以E (X )＝23x 1＋13x 2＝43，D (X )＝23⎝ ⎛⎭⎪⎫x 1－432＋13⎝ ⎛⎭⎪⎫x 2－432＝29，整理得⎩⎪⎨⎪⎧2x 1＋x 2＝4，6⎝ ⎛⎭⎪⎫x 1－432＋3⎝ ⎛⎭⎪⎫x 2－432＝2，解得⎩⎨⎧x 1＝1，x 2＝2，或⎩⎪⎨⎪⎧x 1＝53，x 2＝23，(舍去)，故x 1＋x 2＝3.12．(2018开中学一模)2012年国家开始实行法定节假日高速公路免费通行政策，某收费站在统计了2017年清明节前后车辆通行数量，发现该站近几天每天通行车辆的数量ξ服从正态分布ξ～N (1 000，σ2)，若P (ξ>1 200)＝a ，P (800<ξ<1 000)＝b ，则1a ＋9b 的最小值为________．【答案】32【解析】由ξ～N (1 000，σ2)，P (ξ>1 200)＝a ，P (800<ξ<1 000)＝b 得a ＝0.5－b ，所以a ＋b ＝12，则1a ＋9b ＝2⎝ ⎛⎭⎪⎫1a ＋9b (a ＋b )＝2⎝ ⎛⎭⎪⎫10＋b a ＋9a b ≥2⎝⎛⎭⎪⎫10＋2 b a ·9a b ＝32，所以1a ＋9b 的最小值为32.。
2019-2020年福建专用高考数学一轮复习第十二章概率12
-15考点1
考点2
考点3
对点训练1从装有5个红球和3个白球的口袋内任取3个球,则互斥
而不对立的事件有
.(填序号)
①至少有一个红球,都是红球;
②至少有一个红球,都是白球;
③至少有一个红球,至少有一个白球;
④恰有一个红球,恰有两个红球.
关闭
由互斥事件与对立事件的关系及定义知,①不互斥,②对立,③不互斥,④互
2
3
4
5
1
1
4.甲、乙两人下棋,两人下成和棋的概率是2,甲获胜的概率是3,
则甲不输的概率为(
5
)
2
A.6
B.5
C.6
D.3
1
1
关闭
令 A=“甲、乙下成和棋”,B=“甲获胜”,
1
1
∵P(A)=2,P(B)=3,
且 A,B 互斥,
1
1
5
∴甲不输的概率为 P(A∪B)=P(A)+P(B)=2 + 3 = 6.
定
包含
关系
相等
关系
义
符号表示
若事件 A 发生
一定发生
B
,则事件
,这时称事件 B 包
含事件 A(或称事件 A 包含于事件 B)
B⊇A(或A⊆B)
若 B⊇A,且 A⊇B
事件 B 相等
A=B
,则称事件 A 与
若某事件发
并事件 生,当且仅当事件A发生或事件B发生 ,
A∪B(或A+B)
(和事件) 则称此事件为事件 A 与事件 B 的并事
斥不对立.
关闭
④
解析
答案
高考数学一轮复习第十二章概率12
2
3
4
5
5.(全国Ⅱ,理13)一批产品二等品率为0.02,从这批产品中每次随
机取一件,有放回地抽取100次.X表示抽到二等品件数,则
D(X)=
.
关闭
由题意可知抽到二等品件数X服从二项分布,即X~B(100,0.02),其中
p=0.02,n=100,则D(X)=np(1-p)=100×0.02×0.98=1.96.
考点自测
1
2
3
4
5
1.判断以下结论是否正确,正确画“√”,错误画“×”.
(1)期望是算术平均数概念推广,与概率无关.(
)
(2)均值与方差都是从整体上刻画离散型随机变量情况,所以它们
是一回事.(
)
(3)随机变量均值是常数,样本平均值是随机变量,它不确定.(
)
(4)随机变量方差和标准差都反应了随机变量取值偏离均值平均
np
(2)若X~B(n,p),则E(X)=
,D(X)= np(1-p) .
.
3/34
-4知识梳理
考点自测
1.假如X1,X2相互独立,那么E(X1·X2)=EX1·EX2.
2.均值与方差关系:DX=EX2-E2X.
3.超几何分布均值:若X服从参数为N,M,n超几何分布,则EX=
4/34
.
-5知识梳理
12.5 离散型随机变量均值与方差
1/34
-2知识梳理
考点自测
1.离散型随机变量均值与方差
若离散型随机变量X分布列为P(X=xi)=pi,i=1,2,…,n.
(1)均值:称E(X)= x1p1+x2p2+…+xipi+…+xnpn