数字信号处理期末考试试卷

2012 ～2013 学年第 1 学期 数字信号处理 期末考试试卷学号：________________；姓名：__________________；成绩：___________ 一、填空计算题（每空1分,共25分，其中最后5个是判断题，填写“√”或“×”）1．设x[n]是一个如图所示的有限长序列，X(e j ω) 为其傅里叶变换，X(k)为其6点离散傅里叶变换，则可求得X(e j0)= ____0____，X(e jπ)=____0____，X(0)= ____0____，X(3)= ___0_____，2()j X e d πωπω-⎰=__22()20x n ππ=∑___； 2. 复指数序列ej0.5n(-∞<n<∞)的傅里叶变换DTFT_2(0.52)r r πδωπ∞=-∞-+∑ 、ej0.5nu[n]的z 变换为_0.511,11j z ez->-_、2[]jmn Nx n eπ=(0<m<N)的N 点DFT_[]()X k N k m δ=-_；3. 单位脉冲响应为h[n]=δ[n]-δ[n-1]的系统是____非时变___(时变、非时变)__ 因果____(因果、非因果)、__稳定___(稳定、不稳定)、___线性___(线性、非线性)系统；1-z 1-z 1-z 1-z 2481632)n y 1-z )(n x图1 某LTI 系统的横截型结构4. 某LTI 系统的横截型结构如图1所示，该系统的单位脉冲响应为_2[()(6)]nu n u n --__，系统函数为__61164()12z H z z ---=-___，该系统__不是__（是否）线性相位系统；5. FIR 滤波器的窗函数设计法中，阻带衰减取决于____窗种类___，加特定形状窗口条件下，过渡带宽度取决于____窗口宽度____；6. 一个时间连续的实信号x c (t) ，带宽限制在5KHz 以下，即对于 |Ω|≥2π(5000),Xc(jΩ) =0，以每秒10000个样本的采样率对信号x c (t)进行采样，得到一个长度为N=1000的序列 x[n]= x c (nT)。

x[n]的N 点DFT 记作X[k]。

若已知X[400]=1+j ，则X[ 600 ]=1-j ，k=400对应Xc(jΩ)的连续频率是Ωk = 24000π⋅ rad/s ，在该连续频率处Xc(jΩk ) = 441010j --+ ；7.任何信号通过线性时不变的离散时间系统不可能产生比输入信号本身更多的频率分量(√ )8. 离散时间系统的极点全部在Z 平面的单位圆内，则系统一定是稳定的 （×）9. 因果线性时不变系统的其单位冲激响应未必是正半轴序列 （×） 10. 线性常系数差分方程无论初始状态为何，总是代表线性时不变系统 （×） 11．线性时不变离散时间系统存在系统函数，则频率响应必存在且连续 （×） 二、（12分）某LTI 因果系统用下面差分方程描述：y(n)=0.9y(n －1)+x(n)+0.9x(n －1) (a)求系统函数H(z)及单位脉冲响应h(n)；(b)写出系统频率响应函数H(e jω)的表达式,说明该系统为低通滤波器还是高通滤波器？(c)该系统是否存在因果稳定的逆系统？ 解：(a)两边取z变换，得11()0.9()()0.9X()Y z z Y z X z z z --=++，11()10.9H()()10.9Y z z z X z z --+==-，111.8H()110.9z z z --=+-，0.9z >。

由于系统是因果系统，所以11()() 1.80.9(1)0.9()0.90.9(1)n n n h n n u n u n u n δ--=+⋅-=+⋅-.(b)收敛域包含单位圆。

所以10.9()10.9j j j e H e e ωωω--+=-，零点在0.9z =-，极点在0.9z =，所以是低通滤波器。

(c) 系统1110.9H()10.9z z z---=+，极点在0.9z =-，选择收敛域0.9z >，则存在因果稳定的逆系统1110.9H()10.9z z z ---=+。

三、（15分）在图3所示系统中，输入连续信号()c x t 的频谱()Ωj X c 是带限的，即N Ω≥Ω时，()Ωj X c =0。

离散时间系统()ωj e H =10cωω⎧≤⎨⎩其它。

（a ）为了使()c y t =()c x t ，采样周期T 最大可以取多少？ （b ）要使整个系统等效为低通滤波器，确定T 的取值范围？（c ）若给定采样频率1/T=20KHz ，整个系统等效为截止频率为3kHz 的理想低通滤波器，确定c ω及N Ω的取值范围。

图3解：(a) 等效模拟低通滤波器，现要求全通，则数字频率的最高频率限制在c ω之内，即N N c T ωω=Ω≤，所以c NT ω≤Ω。

(b) 等效模拟低通滤波器，则数字频率的最高频率大于c ω无混叠，或者有混叠，混叠大于c ω，即N N c T ωω=Ω≥，且2N c T πω-Ω≥，化简得2c cN NT ωπω-≤≤ΩΩ。

(c) 31230000.32010c c T ωππ=Ω=⋅⋅=⋅，N Ω的取值使采样后不混叠，且高于0.3π，或混叠部分在0.3π以上。

所以N N c T ωω=Ω≥，2()0.3N T Tππ-Ω⋅≥，0.320.3N T πππ<Ω<-，即600034000N ππ<Ω<。

四、（15分）已知序列[]4[]3[1]2[2][3]x n n n n n δδδδ=+-+-+-，其6点离散傅立叶变换(DFT)用X[k] 表示。

(a)若序列y[n]的长度为6，其6点离散傅立叶变换为Y[k] 46[]k W X k =,求y[n]； (b) 求[]x n ﹡[]x n ； (c) 求[]x n ④[]x n ；解：(a) 依据Y[k] 46[]k W X k =，y[]n 是[]x n 循环右移4位的结果，即 6y[]((4))4[4]3[5]2[][1]n x n n n n n δδδδ=-=-+-++-(b) ()()16()24(1)25(2)20(3)10(4)4(5)(6)x n x n n n n n n n n δδδδδδδ*=+-+-+-+-+-+-(c) []x n ④[]x n 26()28(1)26(2)20(3)n n n n δδδδ=+-+-+-五、(10分) 采用Kaiser 窗函数法设计一个广义线性相位的数字低通滤波器，经验公式如下0.40.1102(8.7)500.5842(21)0.07886(21)21500.021A A A A A A β->⎧⎪=-+-≤≤⎨⎪<⎩82.285A M ω-=∆ 要求性能指标为： 0.4p ωπ=，0.6s ωπ=，通带纹波10.005δ=，阻带纹波20.001δ=。

确定该滤波器的参数β、最小阶次及延迟；解：根据窗函数设计法的对称性，应当设20.001δδ==，截止频率()/20.5c p s ωωωπ=+=，0.2s p ωωωπ∆=-=，1020log 60A δ=-=dB ，所以5.653β=，最小阶次37M =，延迟(1)/218M -=。

六、（8分）研究一个如图所示长度为N 的有限长序列x[n]，实线表示序列在0和N-1之间取值的包络，1[]x n 是x[n]后面补N 个零的长度为2N 的有限长序列。

x[n]的N 点DFT 用[]X k 表示，1[]x n 的2N 点DFT 用[]k X 1表示，能否用[]k X 1表示得出[]X k ，说明理由。

解：解法一：由于DFT ，[]X k 是DTFT 在区间[0,2]π的等间隔采样，所以2()()|j kNX k X e ωπω==，122()()|j k NX k X e ωπω==，所以1()(2)X k X k =。

解法二：21111220()()()N N kn kn NN n n X k x n Wx n W --===⋅=⋅∑∑，021k N ≤≤-。

当2k m =为偶数时，1121200(2m)()()()N N mn mn NN n n X x n Wx n W X m --===⋅=⋅=∑∑，01m N ≤≤-。

所以1()(2)X k X k =，01k N ≤≤-。

七（15分）考虑两个实值有限长序列h[n]和x[n]，0≤n ≤58，若线性卷积为y[n]=x[n]*h[n]，该线性卷积可用DFT 进行计算，即分别计算出H[k]、X[k]，然后通过IDFT 计算出y[n]=IDFT{X[k]H[k]}。

试问：(a)计算H[k]、X[k]的最小点数是多少？(b) 若有复数基2-FFT 程序可供使用，如何构造一序列z[n]，通过一次调用该程序，并经简单计算得到H[k]和X[k]，写出实现步骤。

解：(a)两个序列线性卷积的长度为121117N N +-=，则长度为117的圆周卷积可以计算线性卷积，所以计算DFT 的最小点数是117. (b) 步骤1：序列()x n ，h()n 均补零至长度71282N ==，满足121115N N N ≥+-=，即()0,1,,58()059,60,,127x n n x n n =⎧=⎨=⎩，h()0,1,,58h()059,60,,127n n n n =⎧=⎨=⎩步骤2：由于()x n ，h()n 的71282N ==点DFT 分别为()X k ，H()k ，所以构造序列z(n)=x(n)+jh(n)，计算其71282N ==点DFT Z()k ，得Z(k)=X(k)+jH(k)。

步骤3：*()Z ()(()(N ))/2ep X k k Z k Z k ==+- *Z ()(()(N ))/2op H(k)k Z k Z k ==--。