2019年人教版初中九年级数学上册21.1一元二次方程强化练习
九年级数学上册第二十一章21.1一元二次方程课时练(新
21.1 一元二次方程学校：姓名：班考号：,则()A. m=±2B. m=2C. m=-2 D. m≠±22. 若一元二次方程(m-3)x2+2x+m2-9=0的常数项为0,则m的值为()A. 3B. -3C.±3 D. ±93. 已知x=2是一元二次方程x2+mx+2=0的一个解,则m的值是()A. -3B. 3C.0 D. 0或34. 把方程2x(x+5)=10化为一般形式后,二次项系数、一次项系数、常数项分别是()A. 2,5,10B. 2,5,-10C.2,1,5 D. 2,10,-105. 若ax2-5x+3=0是一元二次方程,则不等式3a+6>0的解集是()A. a>-2B. a<-2C. a>-D. a>-2且a≠06. 已知实数a,b满足a2-3a+1=0,b2-3b+1=0,则关于一元二次方程x2-3x+1=0的根的说法中正确的是()A. x=a,x=b都不是该方程的解 B. x=a是该方程的解,x=b不是该方程的解C. x=a不是该方程的解,x=b是该方程的解D. x=a,x=b都是该方程的解7. 已知整式x2－x的值为6，则2x2－5x＋6的值为( )A. 9B. 12C.18 D. 24二、填空题12 2 8. 关于x 的一元二次方程(x -1)2+b (x -1)+c =0整理成一般形式后为x 2-3x -1=0,则b 的值为 .9. 把方程(2x -1)(3x -2)=x 2+4化为ax 2+bx +c =0形式后,其二次项系数、一次项系数、常数项分别为 .10. 若一元二次方程ax 2-bx-2015=0有一根为x=-1,则a+b= .11. 已知如下一元二次方程:第1个方程:3x 2+2x -1=0;第2个方程:5x 2+4x -1=0;第3个方程:7x 2+6x -1=0;…;按照上述方程的二次项系数、一次项系数、常数项的排列规律,则第8个方程为 .12. 已知x =2是关于x 的方程x 2-2a =0的一个解,则一次函数y =ax -1的图象不经过第___象限13. 若x ＝－1是关于x 的一元二次方程x 2＋3x ＋m ＋1＝0的一个解,则m 的为__________.14. 已知如图所示的图形的面积为24，根据图中的条件，可列出方程：________.三、解答题15. (新定义题)我们规定:x ※y =x 2-y .如:2※1=22-1,※2=()2-2.试判断x =3是否是方程x ※x =2的一个解.16. 根据下列问题,列出关于x 的方程,并将其化成ax 2+bx +c =0(a ≠0)的形式:(1)一个长方形的宽比长少3,面积是75,求长方形的长x ;(2)两个连续偶数的积为168,求较小的偶数x ;(3)一个直角三角形的两条直角边的长的和是20,面积是25,求其中一条直角边的长x .17. 小刚在写作业时,一不小心,方程3x 2-□x -5=0的一次项系数被墨水盖住了,但从题目的答案中,他知道方程的一个解为x =5,请你帮助小刚求出被覆盖住的数.18. 一天,老师在黑板上布置了这样一道题目:如果2y a-b -3y 2a+b +8=0是关于y 的一元二次方程,你能试着求出a ,b 的值吗?下面是小明和小敏两位同学的解法:小明:根据题意得解方程组得小敏:根据题意得或解方程组得或你认为上述两位同学的解法是否正确?为什么?若都不正确,你能给出正确的解答吗?19. 根据题意列出方程,化为一般式,不解方程.(1)一个大正方形的边长比一个小正方形边长的3倍多1,若两正方形面积和为53,求这两正方形的边长.(2)2014年某超市销售一种品牌童装,平均每天可售出30件,每件盈利40元.面对下半年市场竞争激烈,超市采用降价措施,每件童装每降价2元,平均每天就多售出6件.要使平均每天销售童装利润为1 000元,那么每件童装应降价多少元?20. 已知:方程(a+9)x|a|-7+8x+1=0是一元二次方程,求a的值.参考答案1. 【答案】B【解析】由题意可得,由①得,m=±2,由②得,m≠-2,从而m=2,∴选择B.2. 【答案】B【解析】常数项为0,则有时,方程的二次项系数变为0,不和题意,所以本题属于易错题,容易忽视二次项系数不为零的条件.3. 【答案】A【解析】有题意知x=2适合方程x2+mx+2=0,则得到关于m的一元一次方程:4+2m+2=0,2m=-6,m=-3,所以选择A.4. 【答案】D【解析】原方程去括号、移项得2x2+10x-10=0,则二次项系数、一次项系数、常数项分别是2,10,-10.故选D.5. 【答案】D【解析】解不等式3a+6>0得a>-2,∵ax2-5x+3=0是一元二次方程,∴a≠0.故a 的取值范围是a>-2且a≠0.故选D.6. 【答案】D【解析】由方程根的定义知,a,b都适合方程x2-3x+1=0.选D.7. 【答案】C【解析】2x2－5x＋6＝2＋6＝2×6＋6＝12＋6＝18.故选C.8. 【答案】-19. 【答案】5,-7,-210. 【答案】201511. 【答案】17x2+16x-1=012. 【答案】二13. 【答案】114. 【答案】或(x＋1)x＋x×1＝24.答案不唯一15. 【答案】解法一:由题意知x※x=2可化为x2-x=2,当x=3时,x2-x=32-3=6≠2,所以x=3不是方程x※x=2的一个解.解法二：因为3※3=,所以x=3不是方程x※x=2的一个解.16. 【答案】根据题意列出方程x(20-x)=25,化成ax2+bx+c=0(a≠0)的形式为:x2-20x+50=0.17. 【答案】设被墨水盖住的数字为a,∵x=5是方程3x2-ax-5=0的一个解,所以3×52-5a-5=0,解得a=14,即被覆盖住的数是14.18. 【答案】两位同学的解法都不正确,因为都考虑不全面.正确解答:要使2y a-b-3y2a+b+8=0是关于y的一元二次方程,则有:或或或或解得或或或或19. 【答案】设每件童装降价x元,则每天多售出3x件.降价后每天销售件数为(30+3x),则每件利润为(40-x)元.根据题意可列方程为(30+3x)(40-x)=1 000,化简得3x2-90x-200=0.20. 【答案】∵方程(a+9)x|a|-7+8x+1=0是一元二次方程,∴解得故a=9.注意:二次项系数不为0是一元二次方程的前提条件,本题容易忽视a≠-9这一个条件,而导致错误.3。
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2019年春九年级上册数学《第21章一元二次方程》单元测试题一．选择题（共10小题）1．若关于x的方程（a﹣2）x2﹣3x+a＝0是一元二次方程，则（）A．a≠2B．a＞2C．a＝0D．a＞02．方程﹣5x2＝1的一次项系数是（）A．3B．1C．﹣1D．03．已知x＝1是一元二次方程x2+mx+2＝0的一个解，则m的值是（）A．﹣3B．3C．0D．0或34．方程x2﹣4＝0的两个根是（）A．x1＝2，x2＝﹣2B．x＝﹣2C．x＝2D．x1＝2，x2＝05．用配方法解下列方程，其中应在方程左右两边同时加上4的是（）A．x2﹣2x＝5B．x2+4x＝5C．2x2﹣4x＝5D．4x2+4x＝56．x＝是下列哪个一元二次方程的根（）A．3x2+5x+1＝0B．3x2﹣5x+1＝0C．3x2﹣5x﹣1＝0D．3x2+5x﹣1＝07．方程x（x+2）＝0的解是（）A．x＝0B．x＝2C．x＝0或x＝2D．x＝0或x＝﹣28．已知方程x2+3x﹣4＝0的解是x1＝1，x2＝﹣4，则方程（2x+3）2+3（2x+3）﹣4＝0的解是（）A．x1＝﹣1，x2＝﹣3.5B．x1＝1，x2＝﹣3.5C．x1＝1，x2＝3.5D．x1＝﹣1，x2＝3.59．关于x的一元二次方程x2﹣2x﹣（m﹣1）＝0有两个不相等的实数根，则实数m的取值范围是（）A．m＞0且m≠1B．m＞0C．m≥0且m≠1D．m≥010．某市从2018年开始大力发展旅游产业．据统计，该市2018年旅游收入约为2亿元．预计2020年旅游收入约达到2.88亿元，设该市旅游收入的年平均增长率为x，下面所列方程正确的是（）A．2（1+x）2＝2.88B．2x2＝2.88C．2（1+x%）2＝2.88D．2（1+x）+2（1+x）2＝2.88二．填空题（共8小题）11．m是方程2x2+3x﹣1＝0的根，则式子4m2+6m+2018的值为．12．方程（n﹣3）x|n|﹣1+3x+3n＝0是关于x的一元二次方程，n＝．13．如果关于x的一元二次方程（k+2）x2﹣3x+1＝0有实数根，那么k的取值范围是．14．如果一元二次方程x2﹣4x+k＝0经配方后，得（x﹣2）2＝1，那么k＝．15．2018﹣2019赛季中国男子篮球职业联赛（CBA），继续采用双循环制（每两队之间都进行两场比赛），总比赛场数为380场．求有多少支队伍参加比赛？设参赛队伍有x支，则可列方程为．16．用长为14的铁丝围成一个面积是12的矩形，这个矩形相邻的两边长分别是．17．设a、b是一元二次方程x2+2x﹣7＝0的两个根，则a2+3a+b＝．18．已知﹣3是一元二次方程x2﹣4x+c＝0的一个根，则方程的另一个根是三．解答题（共7小题）19．选择适当方法解下列方程（1）（3x﹣1）2＝（x﹣1）2（2）3x（x﹣1）＝2﹣2x20．已知x＝n是关于x的一元二次方程mx2﹣4x﹣5＝0的一个根，若mn2﹣4n+m＝6，求m的值．21．当m为何值时，关于x的方程（m﹣2）x m2﹣2﹣4mx＝0为一元二次方程，并求这个一元二次方程的解．22．已知关于x的一元二次方程x2+x+m﹣1＝0．（I）当m＝0时，求方程的实数根．（Ⅱ）若方程有两个不相等的实数根，求实数m的取值范围．23．某种服装平均每天可销售20件，每件盈利44元，若每件降价1元，每天可多售5件，若设每件降价x元．（1）根据题意，填表：（2）若每天盈利1600元，则每件应降价多少元？24．某钢铁厂计划今年第一季度一月份的总产量为500t，三月份的总产量为720t，若平均每月的增长率相同．（1）第一季度平均每月的增长率；（2）如果第二季度平均每月的增长率保持与第一季度平均每月的增长率相同，请你估计该厂今年5月份总产量能否突破1000t？25．商场某种商品平均每天可销售30件，每件盈利50元，为了尽快减少库存，商场决定采取适当的降价措施．经调査发现，每件商品每降价1元，商场平均每天可多售出2件．（1）若某天该商品每件降价3元，当天可获利多少元？（2）设每件商品降价x元，则商场日销售量增加件，每件商品，盈利元（用含x的代数式表示）；（3）在上述销售正常情况下，每件商品降价多少元时，商场日盈利可达到2000元？2019年春九年级上册数学《第21章一元二次方程》单元测试题参考答案与试题解析一．选择题（共10小题）1．若关于x的方程（a﹣2）x2﹣3x+a＝0是一元二次方程，则（）A．a≠2B．a＞2C．a＝0D．a＞0【分析】根据一元二次方程的定义解答，一元二次方程必须满足四个条件：未知数的最高次数是2；二次项系数不为0；是整式方程；含有一个未知数．【解答】解：关于x的方程ax2﹣3x+（a﹣2）＝0是一元二次方程，得a﹣2≠0，所以a≠2．故选：A．【点评】本题利用了一元二次方程的概念．只有一个未知数且未知数最高次数为2的整式方程叫做一元二次方程，一般形式是ax2+bx+c＝0（且a≠0）．特别要注意a≠0的条件．这是在做题过程中容易忽视的知识点．2．方程﹣5x2＝1的一次项系数是（）A．3B．1C．﹣1D．0【分析】方程整理为一般形式，找出一次项系数即可．【解答】解：方程整理得：﹣5x2﹣1＝0，则一次项系数为0，故选：D．【点评】此题考查了一元二次方程的一般形式，一元二次方程的一般形式是：ax2+bx+c＝0（a，b，c是常数且a≠0）特别要注意a≠0的条件．这是在做题过程中容易忽视的知识点．在一般形式中ax2叫二次项，bx叫一次项，c是常数项．其中a，b，c分别叫二次项系数，一次项系数，常数项．3．已知x＝1是一元二次方程x2+mx+2＝0的一个解，则m的值是（）A．﹣3B．3C．0D．0或3【分析】根据一元二次方程解的定义把x＝1代入x2+mx+2＝0得到关于m的方程，然后解关于m的方程即可．【解答】解：把x＝1代入方程x2+mx+2＝0得1+m+2＝0，解得m＝﹣3．故选：A．【点评】本题考查了一元二次方程的解：能使一元二次方程左右两边相等的未知数的值是一元二次方程的解．又因为只含有一个未知数的方程的解也叫做这个方程的根，所以，一元二次方程的解也称为一元二次方程的根．4．方程x2﹣4＝0的两个根是（）A．x1＝2，x2＝﹣2B．x＝﹣2C．x＝2D．x1＝2，x2＝0【分析】首先移项，再两边直接开平方即可．【解答】解：移项得：x2＝4，两边直接开平方得：x＝±2，则x1＝2，x2＝﹣2，故选：A．【点评】此题主要考查了解一元二次方程﹣直接开平方法，解这类问题要移项，把所含未知数的项移到等号的左边，把常数项移项等号的右边，化成x2＝a（a≥0）的形式，利用数的开方直接求解．5．用配方法解下列方程，其中应在方程左右两边同时加上4的是（）A．x2﹣2x＝5B．x2+4x＝5C．2x2﹣4x＝5D．4x2+4x＝5【分析】利用完全平方公式判断即可．【解答】解：用配方法解下列方程，其中应在方程左右两边同时加上4的是x2+4x＝5，故选：B．【点评】此题考查了解一元二次方程﹣配方法，熟练掌握完全平方公式是解本题的关键．6．x＝是下列哪个一元二次方程的根（）A．3x2+5x+1＝0B．3x2﹣5x+1＝0C．3x2﹣5x﹣1＝0D．3x2+5x﹣1＝0【分析】用公式法解一元二次方程的一般步骤为：①把方程化成一般形式，进而确定a，b，c的值；②求出b2﹣4ac的值（若b2﹣4ac＜0，方程无实数根）；③在b2﹣4ac≥0的前提下，把a、b、c的值代入公式进行计算求出方程的根．【解答】解：A.3x2+5x+1＝0中，x＝，不合题意；B.3x2﹣5x+1＝0中，x＝，不合题意；C.3x2﹣5x﹣1＝0中，x＝，不合题意；D.3x2+5x﹣1＝0中，x＝，符合题意；故选：D．【点评】本题主要考查了一元二次方程的根，用求根公式解一元二次方程的方法是公式法．7．方程x（x+2）＝0的解是（）A．x＝0B．x＝2C．x＝0或x＝2D．x＝0或x＝﹣2【分析】利用因式分解的方法得到x＝0或x+2＝0，然后解两个一次方程即可．【解答】解：x＝0或x+2＝0，所以x1＝0，x2＝﹣2．故选：D．【点评】本题考查了解一元二次方程﹣因式分解法：就是先把方程的右边化为0，再把左边通过因式分解化为两个一次因式的积的形式，那么这两个因式的值就都有可能为0，这就能得到两个一元一次方程的解，这样也就把原方程进行了降次，把解一元二次方程转化为解一元一次方程的问题了（数学转化思想）．8．已知方程x2+3x﹣4＝0的解是x1＝1，x2＝﹣4，则方程（2x+3）2+3（2x+3）﹣4＝0的解是（）A．x1＝﹣1，x2＝﹣3.5B．x1＝1，x2＝﹣3.5C．x1＝1，x2＝3.5D．x1＝﹣1，x2＝3.5【分析】先把方程（2x+3）2+3（2x+3）﹣4＝0看作关于（2x+3）的一元二次方程，利用题中的解得到2x+3＝1或2x+3＝﹣3，然后解两个一元一次方程即可．【解答】解：把方程（2x+3）2+3（2x+3）﹣4＝0看作关于2x+3的一元二次方程，所以2x+3＝1或2x+3＝﹣4，所以x1＝﹣1，x2＝﹣3.5．故选：A．【点评】本题考查了一元二次方程的解：能使一元二次方程左右两边相等的未知数的值是一元二次方程的解．9．关于x的一元二次方程x2﹣2x﹣（m﹣1）＝0有两个不相等的实数根，则实数m的取值范围是（）A．m＞0且m≠1B．m＞0C．m≥0且m≠1D．m≥0【分析】根据一元二次方程的系数结合根的判别式△＞0，即可得出关于m的一元一次不等式，解之即可得出实数m的取值范围．【解答】解：∵关于x的一元二次方程x2﹣2x﹣（m﹣1）＝0有两个不相等的实数根，∴△＝（﹣2）2﹣4×1×[﹣（m﹣1）]＝4m＞0，∴m＞0．故选：B．【点评】本题考查了根的判别式，牢记“当△＞0时，方程有两个不相等的实数根”是解题的关键．10．某市从2018年开始大力发展旅游产业．据统计，该市2018年旅游收入约为2亿元．预计2020年旅游收入约达到2.88亿元，设该市旅游收入的年平均增长率为x，下面所列方程正确的是（）A．2（1+x）2＝2.88B．2x2＝2.88C．2（1+x%）2＝2.88D．2（1+x）+2（1+x）2＝2.88【分析】设该市旅游收入的年平均增长率为x，根据该市2018年旅游收入及2020年旅游预计收入，即可得出关于x的一元二次方程，此题得解．【解答】解：设该市旅游收入的年平均增长率为x，根据题意得：2（1+x）2＝2.88．故选：A．【点评】本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．二．填空题（共8小题）11．m是方程2x2+3x﹣1＝0的根，则式子4m2+6m+2018的值为2020．【分析】根据一元二次方程的解的定义，将x＝m代入已知方程后即可求得所求代数式的值．【解答】解：把x＝m代入2x2+3x﹣1＝0，得2m2+3m﹣1＝0，则2m2+3m＝1．所以4m2+6m+2018＝2（2m2+3m）+2018＝2+2018＝2020．故答案为：2020．【点评】本题考查了一元二次方程的解的定义．一元二次方程的根就是一元二次方程的解，就是能够使方程左右两边相等的未知数的值．即用这个数代替未知数所得式子仍然成立．12．方程（n﹣3）x|n|﹣1+3x+3n＝0是关于x的一元二次方程，n＝﹣3．【分析】一元二次方程的一般形式是：ax2+bx+c＝0（a，b，c是常数且a≠0），把方程化为一般形式，根据二次项系数不等于0，即可求得n的值．【解答】解：∵方程（n﹣3）x|n|﹣1+3x+3n＝0是一元二次方程，∴|n|﹣1＝2，且n﹣3≠0，即n＝﹣3．故答案为：﹣3．【点评】本题考查了一元二次方程的定义．一元二次方程的一般形式是：ax2+bx+c＝0（a，b，c是常数且a≠0），特别要注意a≠0的条件．这是在做题过程中容易忽视的知识点．13．如果关于x的一元二次方程（k+2）x2﹣3x+1＝0有实数根，那么k的取值范围是k≤且k≠﹣2．【分析】因为一元二次方程有实数根，所以△≥0，得关于k的不等式，求解即可．【解答】解：∵关于x的一元二次方程（k+2）x2﹣3x+1＝0有实数根，∴△≥0且k+2≠0即（﹣3）2﹣4（k+2）×1≥0且k+2≠0整理，得﹣4k≥﹣1且k+2≠0∴k≤且k≠﹣2．故答案为：k≤且k≠﹣2．【点评】本题考查了一元二次方程根的判别式．解决本题的关键是能正确计算根的判别式．本题易忽略二次项系数不为0．14．如果一元二次方程x2﹣4x+k＝0经配方后，得（x﹣2）2＝1，那么k＝3．【分析】先移项得到x2﹣4x＝﹣k，再把方程两边加上4得到（x﹣2）2＝4﹣k，从而得到4﹣k＝1，然后解关于k的方程即可．【解答】解：x2﹣4x＝﹣k，x2﹣4x+4＝4﹣k，（x﹣2）2＝4﹣k，所以4﹣k＝1，解得k＝3．故答案为3．【点评】本题考查了解一元二次方程﹣配方法：将一元二次方程配成（x+m）2＝n的形式，再利用直接开平方法求解，这种解一元二次方程的方法叫配方法．15．2018﹣2019赛季中国男子篮球职业联赛（CBA），继续采用双循环制（每两队之间都进行两场比赛），总比赛场数为380场．求有多少支队伍参加比赛？设参赛队伍有x支，则可列方程为x （x﹣1）＝380．【分析】设参赛队伍有x支，根据参加篮球职业联赛的每两队之间都进行两场场比赛，共要比赛380场，可列出方程．【解答】解：设参赛队伍有x支，则x（x﹣1）＝380．故答案为：x（x﹣1）＝380．【点评】本题考查由实际问题抽象出一元二次方程，关键是根据总比赛场数做为等量关系列方程求解．16．用长为14的铁丝围成一个面积是12的矩形，这个矩形相邻的两边长分别是3，4．【分析】设矩形的长为x，则宽为（7﹣x），根据矩形的面积公式，即可得出关于x的一元二次方程，解之取其正值即可得出结论．【解答】解：设矩形的长为x，则宽为（7﹣x），根据题意得：x（7﹣x）＝12，解得：x1＝4，x2＝﹣3（舍去），∴7﹣x＝3．故答案为：3，4．【点评】本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．17．设a、b是一元二次方程x2+2x﹣7＝0的两个根，则a2+3a+b＝5．【分析】根据根与系数的关系可知a+b＝﹣2，又知a是方程的根，所以可得a2+2a﹣7＝0，最后可将a2+3a+b变成a2+2a+a+b，最终可得答案．【解答】解：∵设a、b是一元二次方程x2+2x﹣7＝0的两个根，∴a+b＝﹣2，∵a是原方程的根，∴a2+2a﹣7＝0，即a2+2a＝7，∴a2+3a+b＝a2+2a+a+b＝7﹣2＝5，故答案为：5．【点评】本题主要考查了根与系数的关系，解题的关键是把a2+3a+b转化为a2+2a+a+b的形式，结合根与系数的关系以及一元二次方程的解即可解答．18．已知﹣3是一元二次方程x2﹣4x+c＝0的一个根，则方程的另一个根是7【分析】设另一根为a，直接利用根与系数的关系可得到关于a的方程，则可求得答案．【解答】解：设方程的另一根为a，∵﹣3是一元二次方程x2﹣4x+c＝0的一个根，∴﹣3+a＝4，解得a＝7，故答案为：7．【点评】本题有要考查根与系数的关系，熟练掌握一元二次方程的两根之和等于﹣、两根之积等于是解题的关键．三．解答题（共7小题）19．选择适当方法解下列方程（1）（3x﹣1）2＝（x﹣1）2（2）3x（x﹣1）＝2﹣2x【分析】（1）两边开方得到3x﹣1＝±（x﹣1），然后解两个一元一次方程即可；（2）先变形得到3x（x﹣1）+2（x﹣1）＝0，然后利用因式分解法解方程．【解答】解：（1）3x﹣1＝±（x﹣1），即3x﹣1＝x﹣1或3x﹣1＝﹣（x﹣1），所以x1＝0，x2＝；（2）3x（x﹣1）+2（x﹣1）＝0，（x﹣1）（3x+2）＝0，x﹣1＝0或3x+2＝0，所以x1＝1，x2＝﹣．【点评】本题考查了解一元二次方程﹣因式分解法：就是先把方程的右边化为0，再把左边通过因式分解化为两个一次因式的积的形式，那么这两个因式的值就都有可能为0，这就能得到两个一元一次方程的解，这样也就把原方程进行了降次，把解一元二次方程转化为解一元一次方程的问题了（数学转化思想）．20．已知x＝n是关于x的一元二次方程mx2﹣4x﹣5＝0的一个根，若mn2﹣4n+m＝6，求m的值．【分析】把x＝n代入方程求出mn2﹣4n的值，代入已知等式求出m的值即可．【解答】解：把x＝n代入方程得：mn2﹣4n﹣5＝0，即mn2﹣4n＝5，代入已知等式得：5+m＝6，解得：m＝1．【点评】此题考查了一元二次方程的解，以及一元二次方程的定义，熟练掌握运算法则是解本题的关键．21．当m为何值时，关于x的方程（m﹣2）x m2﹣2﹣4mx＝0为一元二次方程，并求这个一元二次方程的解．【分析】根据一元二次方程的定义，得到关于m的一元二次方程和关于m的不等式，解之即可得到m的值，代入原方程解一元二次方程即可．【解答】解：根据题意得：，解得：m＝﹣2，即原方程为：﹣4x2+8x＝0，解得：x1＝0，x2＝2．【点评】本题考查了一元二次方程的定义，正确掌握一元二次方程的定义是解题的关键．22．已知关于x的一元二次方程x2+x+m﹣1＝0．（I）当m＝0时，求方程的实数根．（Ⅱ）若方程有两个不相等的实数根，求实数m的取值范围．【分析】（Ⅰ）令m＝0，用公式法求出一元二次方程的根即可；（Ⅱ）根据方程有两个不相等的实数根，计算根的判别式得关于m的不等式，求解不等式即可．【解答】解：（Ⅰ）当m＝0时，方程为x2+x﹣1＝0．△＝12﹣4×1×（﹣1）＝5＞0．∴x＝，∴x1＝，x2＝．（Ⅱ）∵方程有两个不相等的实数根，∴△＞0即（﹣1）2﹣4×1×（m﹣1）＝1﹣4m+4＝5﹣4m＞0∵5﹣4m＞0∴m＜．【点评】本题考查了一元二次方程的解法、根的判别式．一元二次方程根的判别式△＝b2﹣4ac．23．某种服装平均每天可销售20件，每件盈利44元，若每件降价1元，每天可多售5件，若设每件降价x元．（1）根据题意，填表：（2）若每天盈利1600元，则每件应降价多少元？【分析】（1）根据题意确定出降价后的利润与销售量，以及利润即可；（2）根据盈利的钱数，确定出应降的价即可．【解答】解：（1）根据题意，填表：（2）根据题意得：（44﹣x）（20+5x）＝1600，整理得：（x﹣4）（x﹣36）＝0，解得：x＝4或x＝36，则应降价4元或36元．【点评】此题考查了一元二次方程的应用，弄清题中的等量关系是解本题的关键．24．某钢铁厂计划今年第一季度一月份的总产量为500t，三月份的总产量为720t，若平均每月的增长率相同．（1）第一季度平均每月的增长率；（2）如果第二季度平均每月的增长率保持与第一季度平均每月的增长率相同，请你估计该厂今年5月份总产量能否突破1000t？【分析】（1）设第一季度平均每月的增长率为x，根据该厂一月份及三月份的总产量，即可得出关于x的一元二次方程，解之取其正值即可得出结论；（2）根据五月份的总产量＝三月份的总产量×（1+增长率）2，即可求出今年五月份的总产量，再与1000进行比较即可得出结论．【解答】解：（1）设第一季度平均每月的增长率为x，根据题意得：500（1+x）2＝720，解得：x1＝0.2＝20%，x2＝﹣2.2（舍去）．答：第一季度平均每月的增长率为20%．（2）720×（1+20%）2＝1036.8（t），∵1036.8＞1000，∴该厂今年5月份总产量能突破1000t．【点评】本题考查了一元二次方程的应用，解题的关键是：（1）找准等量关系，正确列出一元二次方程；（2）根据数量关系，求出今年五月份的总产量．25．商场某种商品平均每天可销售30件，每件盈利50元，为了尽快减少库存，商场决定采取适当的降价措施．经调査发现，每件商品每降价1元，商场平均每天可多售出2件．（1）若某天该商品每件降价3元，当天可获利多少元？（2）设每件商品降价x元，则商场日销售量增加2x件，每件商品，盈利50﹣x元（用含x 的代数式表示）；（3）在上述销售正常情况下，每件商品降价多少元时，商场日盈利可达到2000元？【分析】（1）根据“盈利＝单件利润×销售数量”即可得出结论；（2）根据“每件商品每降价1元，商场平均每天可多售出2件”结合每件商品降价x元，即可找出日销售量增加的件数，再根据原来没见盈利50元，即可得出降价后的每件盈利额；（3）根据“盈利＝单件利润×销售数量”即可列出关于x的一元二次方程，解之即可得出x的值，再根据尽快减少库存即可确定x的值．【解答】解：（1）当天盈利：（50﹣3）×（30+2×3）＝1692（元）．答：若某天该商品每件降价3元，当天可获利1692元．（2）∵每件商品每降价1元，商场平均每天可多售出2件，∴设每件商品降价x元，则商场日销售量增加2x件，每件商品，盈利（50﹣x）元．故答案为：2x；50﹣x．（3）根据题意，得：（50﹣x）×（30+2x）＝2000，整理，得：x2﹣35x+250＝0，解得：x1＝10，x2＝25，∵商城要尽快减少库存，∴x＝25．答：每件商品降价25元时，商场日盈利可达到2000元．【点评】本题考查了一元二次方程的应用，根据数量关系列出一元二次方程（或算式）是解题的关键．。
2019年人教版九年级上《第21章一元二次方程》单元测试含答案解析
《第21章 一元二次方程》一、选择题：1．方程（m ﹣2）x 2+3mx+1=0是关于x 的一元二次方程，则（ ） A ．m ≠±2 B ．m=2 C ．m=﹣2D ．m ≠22．一元二次方程x 2﹣4=0的解是（ ）A ．x=2B ．x=﹣2C ．x 1=2，x 2=﹣2D ．x 1=，x 2=﹣3．下列方程中是一元二次方程的有（ ）①=；②y（y ﹣1）=x （x+1）；③=；④x 2﹣2y+6=y 2+x 2．A ．①②B ．①③C ．①④D ．①③④4．若x 1、x 2是方程x 2+3x ﹣5=0的两个根，则x 1•x 2的值为（ ） A ．﹣3 B ．﹣5 C ．3D ．55．在一次篮球联赛中，每个小组的各队都要与同组的其他队比赛两场，然后决定小组出线的球队．如果某一小组共有x 个队，该小组共赛了90场，那么列出正确的方程是（ ）A ．B ．x （x ﹣1）=90C ．D ．x （x+1）=90二、填空题：6．把一元二次方程（x+1）（1﹣x ）=2x 化成二次项系数大于零的一般式为 ，其中二次项系数是 ，一次项系数是 ，常数项是 ．一元二次方程x 2=2x 的解为： ． 7．方程x 2+3x+1=0的解是 ．8．写出一个以﹣3和2为根的一元二次方程： ．9．如果方程x 2﹣（m ﹣1）x+=0有两个相等的实数根，则m 的值为 ． 10．若x 2﹣4x+m 2是完全平方式，则m= ． 三、解答题 11．解下列方程：（1）x 2﹣9=0 （2）（x ﹣1）（x+2）=6．12．若﹣2是方程x 2﹣3x+k=0的一个根，求方程的另一个根和k 的值．13．若关于x的一元二次方程（m﹣2）x2+2x﹣1=0有实数根，求m的取值范围．14．汽车产业的发展，有效促进我国现代化建设．某汽车销售公司2005年盈利1500万元，到2007年盈利2160万元，且从2005年到2007年，每年盈利的年增长率相同．（1）该公司2006年盈利多少万元？（2）若该公司盈利的年增长率继续保持不变，预计2008年盈利多少万元？15．从一块正方形的木板上锯掉2米宽的长方形木条，剩下的面积是48平方米，求原来正方形木板的面积．16．已知关于x的一元二次方程ax2+bx+1=0（a≠0）有两个相等的实数根，求的值．《第21章 一元二次方程》参考答案与试题解析一、选择题：1．方程（m ﹣2）x 2+3mx+1=0是关于x 的一元二次方程，则（ ） A ．m ≠±2 B ．m=2 C ．m=﹣2 D ．m ≠2【考点】一元二次方程的定义．【分析】根据一元二次方程的定义可得m ﹣2≠0，再解即可． 【解答】解：由题意得：m ﹣2≠0， 解得：m ≠2， 故选：D ．【点评】此题主要考查了一元二次方程的定义，关键是注意二次项的系数不等于0．2．一元二次方程x 2﹣4=0的解是（ ）A ．x=2B ．x=﹣2C ．x 1=2，x 2=﹣2D ．x 1=，x 2=﹣【考点】解一元二次方程-直接开平方法．【分析】观察发现方程的两边同时加4后，左边是一个完全平方式，即x 2=4，即原题转化为求4的平方根． 【解答】解：移项得：x 2=4， ∴x=±2，即x 1=2，x 2=﹣2． 故选：C ．【点评】（1）用直接开方法求一元二次方程的解的类型有：x 2=a （a ≥0）；ax 2=b （a ，b 同号且a ≠0）；（x+a ）2=b （b ≥0）；a （x+b ）2=c （a ，c 同号且a ≠0）．法则：要把方程化为“左平方，右常数，先把系数化为1，再开平方取正负，分开求得方程解．（2）用直接开方法求一元二次方程的解，要仔细观察方程的特点．3．下列方程中是一元二次方程的有（ ） ①=；②y（y ﹣1）=x （x+1）；③=；④x 2﹣2y+6=y 2+x 2．A ．①②B ．①③C ．①④D ．①③④ 【考点】一元二次方程的定义．【分析】根据一元二次方程必须满足两个条件：（1）未知数的最高次数是2；（2）二次项系数不为0对各小题分析判断后利用排除法求解． 【解答】解：①=是一元二次方程；②y（y ﹣1）=x （x+1）不是一元二次方程，是二元二次方程； ③=，分母上含有未知数x ，不是整式方程；④x 2﹣2y+6=y 2+x 2整理后为y 2+2y ﹣6=0，是一元二次方程； 综上所述，是一元二次方程的有①④． 故选C ．【点评】本题利用了一元二次方程的概念．只有一个未知数且未知数最高次数为2的整式方程叫做一元二次方程，一般形式是ax 2+bx+c=0（且a ≠0）．特别要注意a ≠0的条件．这是在做题过程中容易忽视的知识点．4．若x 1、x 2是方程x 2+3x ﹣5=0的两个根，则x 1•x 2的值为（ ） A ．﹣3 B ．﹣5 C ．3D ．5【考点】根与系数的关系．【分析】根据根与系数的关系可得出x 1•x 2=，再计算即可． 【解答】解：∵x 1、x 2是方程x 2+3x ﹣5=0的两个根， ∴x 1•x 2==﹣5， 故选B ．【点评】本题考查了根与系数的关系，掌握x 1+x 2=﹣，x 1•x 2=是解题的关键．5．在一次篮球联赛中，每个小组的各队都要与同组的其他队比赛两场，然后决定小组出线的球队．如果某一小组共有x 个队，该小组共赛了90场，那么列出正确的方程是（ ）A ．B ．x （x ﹣1）=90C ．D ．x （x+1）=90【考点】由实际问题抽象出一元二次方程． 【专题】比赛问题．【分析】如果设某一小组共有x 个队，那么每个队要比赛的场数为（x ﹣1）场，有x 个小队，那么共赛的场数可表示为x （x ﹣1）=90．【解答】解：设某一小组共有x 个队， 那么每个队要比赛的场数为x ﹣1；则共赛的场数可表示为x （x ﹣1）=90． 故本题选B ．【点评】本题要注意比赛时是两支队伍同时参赛，且“每个小组的各队都要与同组的其他队比赛两场”，以免出错．二、填空题：6．把一元二次方程（x+1）（1﹣x ）=2x 化成二次项系数大于零的一般式为 x 2+2x ﹣1=0 ，其中二次项系数是 1 ，一次项系数是 2 ，常数项是 ﹣1 ．一元二次方程x 2=2x 的解为： x 1=0，x 2=2 ． 【考点】解一元二次方程-因式分解法；一元二次方程的一般形式． 【专题】计算题．【分析】先利用平方差公式把方程（x+1）（1﹣x ）=2x 左边展开，再移项得到 x 2+2x ﹣1=0，然后写出二次项系数、一次项系数、常数项；利用因式分解法解方程x 2=2x ．【解答】解：一元二次方程（x+1）（1﹣x ）=2x 化成二次项系数大于零的一般式为 x 2+2x ﹣1=0，其中二次项系数是1，一次项系数是2，常数项是﹣1． x 2﹣2x=0， x （x ﹣2）=0， x=0或x ﹣2=0， 所以x 1=0，x 2=2．故答案为 x 2+2x ﹣1=0，1，2，﹣1，x 1=0，x 2=2．【点评】本题考查了解一元二次方程﹣因式分解法：就是先把方程的右边化为0，再把左边通过因式分解化为两个一次因式的积的形式，那么这两个因式的值就都有可能为0，这就能得到两个一元一次方程的解，这样也就把原方程进行了降次，把解一元二次方程转化为解一元一次方程的问题了（数学转化思想）．7．方程x 2+3x+1=0的解是 x 1=，x 2=．【考点】解一元二次方程-公式法．【分析】求出b 2﹣4ac 的值，再代入公式求出即可． 【解答】解：这里a=1，b=3，c=1， b 2﹣4ac=32﹣4×1×1=5，x=，x 1=，x 2=，故答案为：x1=，x2=．【点评】本题考查了解一元二次方程的应用，主要考查学生的计算能力．8．写出一个以﹣3和2为根的一元二次方程：x2﹣x﹣6=0 ．【考点】根与系数的关系．【分析】本题根据一元二次方程的根的定义，一根为3，另一个根为﹣2，则方程是（x﹣3）（x+2）=0的形式，即可得出答案．【解答】解：根据一个根为x=3，另一个根为x=﹣2的一元二次方程是：x2﹣x﹣6=0；故答案为：x2﹣x﹣6=0．【点评】此题考查了根与系数的关系，已知方程的两根，写出方程的方法是需要熟练掌握的一种基本题型．9．如果方程x2﹣（m﹣1）x+=0有两个相等的实数根，则m的值为m=2或m=0 ．【考点】根的判别式．【分析】根据方程有两个相等实数根得△=0，即（m﹣1）2﹣4×=0，解方程即可得．【解答】解：∵方程x2﹣（m﹣1）x+=0有两个相等的实数根，∴△=0，即（m﹣1）2﹣4×=0，解得：m=2或m=0，故答案为：m=2或m=0．【点评】此题考查了一元二次方程根的判别式的知识．此题比较简单，注意掌握一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的根与△=b2﹣4ac有如下关系：①当△＞0时，方程有两个不相等的两个实数根；②当△=0时，方程有两个相等的两个实数根；③当△＜0时，方程无实数根．10．若x2﹣4x+m2是完全平方式，则m= ±2 ．【考点】完全平方式．【分析】先根据已知平方项和乘积二倍项确定出这两个数，再根据完全平方公式解答即可．【解答】解：∵x2﹣4x+m2=x2﹣2x•2+m2，∴m2=22=4，∴m=±2．故答案为：±2．【点评】本题主要考查了完全平方式，根据平方项和乘积二倍项确定出这两个数是解题的关键，也是难点，熟记完全平方公式对解题非常重要．三、解答题11．解下列方程：（1）x2﹣9=0（2）（x﹣1）（x+2）=6．【考点】解一元二次方程-公式法；解一元二次方程-直接开平方法．【分析】（1）根据直接开平方法求解即可；（2）先去括号，再用公式法求解即可．【解答】解：（1）x2=9，x=±3，∴x1=3，x2=﹣3；（2）x2+x﹣8=0，a=1，b=1，c=﹣8，△=b2﹣4ac=1+32=33＞0，∴方程有两个不相等的实数根，∴x==，∴x1=，x2=．【点评】本题考查了解一元二次方程，解一元二次方程的方法有直接开平方法、配方法、公式法以及因式分解法．12．若﹣2是方程x2﹣3x+k=0的一个根，求方程的另一个根和k的值．【考点】根与系数的关系．【分析】设方程的另一个根为x2，根据韦达定理得出关于x2和k的方程组，解之可得．【解答】解：设方程的另一个根为x2，根据题意，得：，解得：，∴方程的另一个根位5，k 的值为﹣10．【点评】本题主要考查一元二次方程根与系数的关系，熟练掌握韦达定理是解题的关键．13．若关于x 的一元二次方程（m ﹣2）x 2+2x ﹣1=0有实数根，求m 的取值范围． 【考点】根的判别式；一元二次方程的定义． 【专题】计算题．【分析】根据一元二次方程的定义和判别式的意义得到m ﹣2≠0且△=22﹣4（m ﹣2）×（﹣1）≥0，然后解两个不等式确定它们的公共部分即可．【解答】解：根据题意得m ﹣2≠0且△=22﹣4（m ﹣2）×（﹣1）≥0， 解得m ≥1且m ≠2．【点评】本题考查了一元二次方程ax 2+bx+c=0（a ≠0）的根的判别式△=b 2﹣4ac ：当△＞0，方程有两个不相等的实数根；当△=0，方程有两个相等的实数根；当△＜0，方程没有实数根．也考查了一元二次方程的定义．14．汽车产业的发展，有效促进我国现代化建设．某汽车销售公司2005年盈利1500万元，到2007年盈利2160万元，且从2005年到2007年，每年盈利的年增长率相同． （1）该公司2006年盈利多少万元？（2）若该公司盈利的年增长率继续保持不变，预计2008年盈利多少万元？ 【考点】一元二次方程的应用． 【专题】增长率问题；压轴题．【分析】（1）需先算出从2005年到2007年，每年盈利的年增长率，然后根据2005年的盈利，算出2006年的利润； （2）相等关系是：2008年盈利=2007年盈利×每年盈利的年增长率． 【解答】解：（1）设每年盈利的年增长率为x ， 根据题意得1500（1+x ）2=2160解得x 1=0.2，x 2=﹣2.2（不合题意，舍去） ∴1500（1+x ）=1500（1+0.2）=1800 答：2006年该公司盈利1800万元． （2）2160（1+0.2）=2592答：预计2008年该公司盈利2592万元．【点评】本题的关键是需求出从2005年到2007年，每年盈利的年增长率．等量关系为：2005年盈利×（1+年增长率）2=2160．15．从一块正方形的木板上锯掉2米宽的长方形木条，剩下的面积是48平方米，求原来正方形木板的面积．【考点】一元二次方程的应用．【分析】设原来的正方形木板的边长为x，锯掉2米宽厚，就变为长为x米，宽为（x﹣2）米的长方形，根据长方形的面积公式列方程求x，继而可求正方形的面积．【解答】解：设原来的正方形木板的边长为x．x（x﹣2）=48，x=8或x=﹣6（舍去），8×8=64（平方米）．答：原来正方形木板的面积是64平方米．【点评】本题考查了一元二次方程的应用．解题关键是要读懂题目的意思，根据题目给出的条件，找出合适的等量关系，列出方程，再求解本题设出正方形木板的边长为x，根据题意列方程求解即可．16．已知关于x的一元二次方程ax2+bx+1=0（a≠0）有两个相等的实数根，求的值．【考点】根的判别式．【分析】由于这个方程有两个相等的实数根，因此△=b2﹣4a=0，可得出a、b之间的关系，然后将化简后，用含a的代数式表示b，即可求出这个分式的值．【解答】解：∵ax2+bx+1=0（a≠0）有两个相等的实数根，∴△=b2﹣4ac=0，即b2﹣4a=0，b2=4a，∵===∵a≠0，∴===4．【点评】本题需要综合运用分式和一元二次方程来解决问题，考查学生综合运用多个知识点解决问题的能力，属于中等难度的试题，具有一定的区分度．。
人教版九年级数学上册第二十一章 ：一元二次方程 阶段强化训练
一元二次方程阶段强化训练一．选择题1．用配方法解一元二次方程x2﹣4x+2＝0时，可配方得（）A．（x﹣2）2＝6 B．（x+2）2＝6 C．（x﹣2）2＝2 D．（x+2）2＝2 2．关于x的方程x2+mx﹣2m2＝0的一个根为1，则m的值为（）A．1 B．C．1或D．1或﹣3．现定义运算“★”，对于任意实数a、b，都有a★b＝a2﹣3a+b，如：3★5＝32﹣3×3+5，若x★2＝6，则实数x的值是（）A．﹣4或﹣1 B．4或﹣1 C．4或﹣2 D．﹣4或24．关于x的方程ax2﹣（3a+1）x+2（a+1）＝0有两个不相等的实根x1、x2，且有x1﹣x1x2+x2＝1﹣a，则a的值是（）A．1 B．﹣1 C．1或﹣1 D．25．若a•b≠1，且有2a2+5a+1＝0，b2+5b+2＝0，则2+的值为（）A．B．C．D．6．已知m、n是方程x2﹣3x﹣1＝0的两根，且（2m2﹣6m+a）（3n2﹣9n﹣5）＝10，则a的值为（）A．7 B．﹣7 C．3 D．﹣37．如图1，将一个正方体分割成甲、乙、丙三个长方体，且三个长方体的长和宽均与正方体的棱长相等；若已知如图2甲、乙、丙三个长方体的表面积之比为2：3：4，则它们的体积之比等于（）A．2：3：4 B．2：5：7 C．1：10：23 D．1：6：118．某商场购进一批运动服用了1000元，每件按10元卖出，假如全部卖出这批运动服所得的钱数与买进这批运动服所用的钱数的差就是利润，按这样计算，这次买卖所得的利润刚好是买进11件运动服所用的钱数，则这批运动服有（ ） A ．10件B ．90件C ．110件D ．150件9．在某次聚会上，每两人都握了一次手，所有人共握手10次，设有x 人参加这次聚会，则列出方程正确的是（ ） A ．x （x ﹣1）＝10 B ．＝10C ．x （x +1）＝10D ．＝1010．已知（m 为任意实数），则P 、Q 的大小关系为（ ）A ．P ＞QB ．P ＝QC ．P ＜QD ．不能确定二．填空题11．三角形的每条边的长都是方程x 2﹣7x +10＝0的根，则三角形的周长是 ． 12．如图，将矩形沿图中虚线（其中x ＞y ）剪成①②③④四块图形，用这四块图形恰能拼一个正方形．若y ＝2，则x 的值等于 ．13．某种型号的微机，原售价7200元/台，经连续两次降价后，现售价为3528元/台，则平均每次降价的百分率为 ．14．庆“元旦”，市工会组织篮球比赛，赛制为单循环形式（每两队之间都赛一场），共进行了45场比赛，这次有 队参加比赛．15．阅读材料：设一元二次方程ax 2+bx +c ＝0的两根为x 1，x 2，则两根与方程系数之间有如下关系式x 1+x 2＝﹣，x 1•x 2＝根据该材料填空，已知x 1，x 2是方程x 2+3x +1＝0的两实数根，则的值为 ．三．解答题16．解方程：2x2﹣3x﹣1＝0．17．已知关于x的一元二次方程x2+3x﹣m＝0有实数根．（1）求m的取值范围（2）若两实数根分别为x1和x2，且，求m的值．18．如图，四边形ACDE是证明勾股定理时用到的一个图形，a，b，c是Rt△ABC和Rt△BED 边长，易知，这时我们把关于x的形如的一元二次方程称为“勾系一元二次方程”．请解决下列问题：（1）写出一个“勾系一元二次方程”；（2）求证：关于x的“勾系一元二次方程”必有实数根；（3）若x＝﹣1是“勾系一元二次方程”的一个根，且四边形ACDE的周长是6，求△ABC面积．19．机械加工需要用油进行润滑以减少摩擦，某企业加工一台大型机械设备润滑用油90千克，用油的重复利用率为60%，按此计算，加工一台大型机械设备的实际耗油量为36千克．为了建设节约型社会，减少油耗，该企业的甲、乙两个车间都组织了人员为减少实际耗油量进行攻关．（1）甲车间通过技术革新后，加工一台大型机械设备润滑用油量下降到70千克，用油的重复利用率仍然为60%．问甲车间技术革新后，加工一台大型机械设备的实际耗油量是多少千克？（2）乙车间通过技术革新后，不仅降低了润滑用油量，同时也提高了用油的重复利用率，并且发现在技术革新的基础上，润滑用油量每减少1千克，用油量的重复利用率将增加1.6%．这样乙车间加工一台大型机械设备的实际耗油量下降到12千克．问乙车间技术革新后，加工一台大型机械设备润滑用油量是多少千克？用油的重复利用率是多少？20．在一块长16m，宽12m的矩形荒地上建造一个花园，要求花园占地面积为荒地面积的一半，下面分别是小强和小颖的设计方案．（1）你认为小强的结果对吗？请说明理由．（2）请你帮助小颖求出图中的x．（3）你还有其他的设计方案吗？请在右边的图中画出一个与图（1）（2）有共同特点的设计草图，并加以说明．参考答案一．选择题1．解：移项，得x 2﹣4x ＝﹣2在等号两边加上4，得x 2﹣4x +4＝﹣2+4 ∴（x ﹣2）2＝2． 故C 答案正确． 故选：C ．2．解：把x ＝1代入方程可得1+m ﹣2m 2＝0， ∴2m 2﹣m ﹣1＝0，m ＝＝，解得：m ＝1或﹣． 故选：D ．3．解：依题意，原方程化为x 2﹣3x +2＝6， 即x 2﹣3x ﹣4＝0，分解因式，得（x +1）（x ﹣4）＝0， 解得x 1＝﹣1，x 2＝4． 故选：B ．4．解：依题意△＞0，即（3a +1）2﹣8a （a +1）＞0， 即a 2﹣2a +1＞0，（a ﹣1）2＞0，a ≠1，∵关于x 的方程ax 2﹣（3a +1）x +2（a +1）＝0有两个不相等的实根x 1、x 2，且有x 1﹣x 1x 2+x 2＝1﹣a ，∴x 1﹣x 1x 2+x 2＝1﹣a ， ∴x 1+x 2﹣x 1x 2＝1﹣a ， ∴﹣＝1﹣a ，解得：a ＝±1，又a ≠1， ∴a ＝﹣1． 故选：B ．5．解：∵2a2+5a+1＝0，∴+5×+2＝0；又∵b2+5b+2＝0，∴、b可以看成是关于x的一元二次方程x2+5x+2＝0的两根；∴由韦达定理，得x 1•x2＝2，即•b＝2，∴a＝；∴2+＝2+＝．故选：A．6．解：∵m、n是方程x2﹣3x﹣1＝0的两根，∴代入方程可以分别得到m2﹣3m﹣1＝0，n2﹣3n﹣1＝0，∴m2﹣3m＝1，n2﹣3n＝1，∴2m2﹣6m＝2，3n2﹣9n＝3，而（2m2﹣6m+a）（3n2﹣9n﹣5）＝10，∴（2+a）（3﹣5）＝10，∴a＝﹣7．故选：B．7．解：设甲单侧面积是a，乙为b，丙为c，底面积为s．则a+b+c＝s，（2a+s）：（2b+s）：（2c+s）＝2：3：4，2a+s+2c+s＝2（2b+s），推出a+c＝2b，4（2b+s）＝3（2c+s），8b+4s＝6c+3s，8b换成4a+4c得出：4a+4c+4s＝6c+3s，化简s＝2c﹣4a，2s＝4c﹣8a，2s＝2a+2b+2c，2b 换成a +c ， 2s ＝3a +3c ． 3a +3c ＝4c ﹣8a ， 得出c ＝11a ，a ：c ＝1：11， a ：b ：c ＝1：6：11．故选：D ．8．解：设有x 件运动服． 10x ﹣1000＝×11，10x 2﹣1000x ＝11000，即x 2﹣100x ﹣1100＝0， （x ﹣110）（x +10）＝0，解得x 1＝110，x 2＝﹣10（不合题意，舍去）， 经检验x ＝110是原方程的解． 故选：C ．9．解：设x 人参加这次聚会，则每个人需握手：x ﹣1（次）； 依题意，可列方程为：＝10；故选：B ．10．解：由题意，知：Q ﹣P ＝m 2﹣m ﹣m +1＝m 2﹣m +1＝m 2﹣m ++＝（m ﹣）2+；由于（m ﹣）2≥0，所以（m ﹣）2+＞0； 因此Q ﹣P ＞0，即Q ＞P ． 故选：C ．二．填空题（共5小题） 11．解：方程x 2﹣7x +10＝0，分解因式得：（x ﹣2）（x ﹣5）＝0， 解得：x ＝2或x ＝5，三角形三边长为2，2，5（舍去）；2，5，5；2，2，2；5，5，5， 则周长为12或6或15． 故答案为：12或6或1512．解：∵三角形相似对应边成比例．∴＝，∵y＝2．∴x2﹣2x﹣4＝0解得：x＝1﹣（舍去），x＝+1．故答案为：+1．13．解：设平均每次降价的百分率为x，7200（1﹣x）2＝3528x＝30%或x＝170%（舍去）．平均每次降价的百分率为 30%．故答案为：30%．14．解：设这次有x队参加比赛，则此次比赛的总场数为场，根据题意列出方程得：＝45，整理，得：x2﹣x﹣90＝0，解得：x1＝10，x2＝﹣9（不合题意舍去），所以，这次有10队参加比赛．答：这次有10队参加比赛．15．解：∵x1，x2是方程x2+3x+1＝0的两个实数根，∴x1+x2＝﹣3，x1x2＝1．∴＝＝＝7．故答案为：7．三．解答题（共5小题）16．解：2x2﹣3x﹣1＝0，a＝2，b＝﹣3，c＝﹣1，∴△＝9+8＝17，∴x＝，x 1＝，x2＝．17．解：（1）∵关于x的一元二次方程x2+3x﹣m＝0有实数根，∴△＝b2﹣4ac＝32+4m≥0，解得：m≥﹣；（2）∵x1+x2＝﹣3、x1x2＝﹣m，∴x12+x22＝（x1+x2）2﹣2x1•x2＝11，∴（﹣3）2+2m＝11，解得：m＝1．18．（1）解：当a＝3，b＝4，c＝5时勾系一元二次方程为3x2+5x+4＝0；（2）证明：根据题意，得△＝（c）2﹣4ab＝2c2﹣4ab∵a2+b2＝c2∴2c2﹣4ab＝2（a2+b2）﹣4ab＝2（a﹣b）2≥0即△≥0∴勾系一元二次方程必有实数根；（3）解：当x＝﹣1时，有a﹣c+b＝0，即a+b＝c∵2a+2b+c＝6，即2（a+b）+c＝6∴3c＝6∴c＝2∴a2+b2＝c2＝4，a+b＝2∵（a+b）2＝a2+b2+2ab∴ab＝2∴S△ABC＝ab＝1．19．解：（1）由题意得70×（1﹣60%）＝70×40%＝28（千克）；答：甲车间技术革新后，加工一台大型机械设备的实际耗油量是28千克．（2）设乙车间加工一台大型机械设备润滑用油量为x 千克， 由题意得：x ×[1﹣（90﹣x ）×1.6%﹣60%]＝12， 整理得：x 2﹣65x ﹣750＝0，因式分解得：（x ﹣75）（x +10）＝0， 解得x 1＝75，x 2＝﹣10（舍去）∴用油的重复利用率：（90﹣75）×1.6%+60%＝84%．答：（1）技术革新后，甲车间加工一台大型机械设备的实际耗油量是28千克． （2）技术革新后，乙车间加工一台大型机械设备润滑用油量是75千克，用油的重复利用率是84%．20．解：（1）小强的结果不对． 设小路宽x 米， 则，解得x 1＝2，x 2＝12，∵荒地的宽为12m ，若小路宽为12m ，不合实际，故x 2＝12（舍去）， ∴所以小路的宽为2m ；（2）依题意得：，∴x ≈5.5m ；（3）如图，矩形ABCD 中，E 、F 、G 、H 分别为各边中点，以它们为圆心画弧， 设半径为xm ，依题意得， ∴x ≈3.9m ， 所以半径为3.9m ．。
人教版九年级数学上册第21章一元二次方程的解法归类专题训练【含答案】
人教版九年级数学上册第21章一元二次方程的解法归类专题训练【含答案】人教版九年级数学上册第21章一元二次方程的解法归类专题训练方法一缺少一次项或形如(mx+n)2=p(p≥0)的一元二次方程选直接开平方法求解1.用直接开平方法解下列一元二次方程,其中无解的方程为 ()A.x2-5=5B.-3x2=0C.x2+4=0D.(x+1)2=02.解下列方程:(1)t2-45=0;(2)4.3-6x2=2.8;(3)(x-3)2-49=0; (4)(6x-1)2=25;(3y-1)2-8=0; (6)(x-3)2=(5-2x)2.(5)12方法二方程一边化为0后,另一边能分解因式的一元二次方程用因式分解法求解3.已知方程4x2-3x=0,下列说法正确的是 ()A.只有一个根x=34B.只有一个根x=0C.有两个根x1=0,x2=34D.有两个根x1=0,x2=-344.一元二次方程x2-9=3-x的根是()A.3B.-4C.3和-4D.3和45.解下列方程:(1)x2=x; (2)(x-1)(x+2)=2(x+2);(3)4(x-3)2-25(x-2)2=0; (4)(2x+1)2+4(2x+1)+4=0.方法三当二次项系数为1,且一次项系数为偶数或者遇到大系数时选配方法求解6.解下列方程:(1)x2-24x=9856;(2)x2-6x-9991=0.7.有n个方程:x2+2x-8=0;x2+2×2x-8×22=0;…;x2+2nx-8n2=0.小静同学解第一个方程x2+2x-8=0的步骤为:①x2+2x=8;②x2+2x+1=8+1;③(x+1)2=9;④x+1=±3;⑤x=1±3;⑥x1=4,x2=-2.(1)小静的解法是从第步开始出现错误的(填序号);(2)用配方法解第n个方程:x2+2nx-8n2=0.(用含有n的式子表示方程的根)方法四方程的系数没有特殊性,化为一般形式后用公式法求解8.用公式法解方程√2x2+4√3x=2√2时,其中求得的b2-4ac的值是.9.解下列方程:(1)2x2-3x+1=0;(2)2x(x+√2)+1=0;(3)3(x2+1)-7x=0;(4)4x2-3x-5=x-2.方法五运用换元法等数学思想方法解一元二次方程10.若(a2+b2)(a2+b2-2)=8,则a2+b2的值为 ()A.4或-2B.4C.-2D.-411.请阅读下列解方程(x2+1)2-2(x2+1)-3=0的过程.解:设x2+1=y,则原方程可变形为y2-2y-3=0,解得y1=3,y2=-1.当y=3时,x2+1=3,解得x=±√2.当y=-1时,x2+1=-1,x2=-2,此方程无实数解.所以原方程的解为x1=√2,x2=-√2.我们将上述解方程的方法叫做换元法.请用换元法解方程:xx-12-2xx-1-15=0.答案1.C2.解:(1)t 1=3√5,t 2=-3√5.(2)6x 2=1.5,x 2=14,所以x 1=12,x 2=-12.(3)x 1=10,x 2=-4.(4)x 1=1,x 2=-23. (5)移项,得12(3y-1)2=8,(3y-1)2=16, 所以3y-1=±4,所以3y-1=4或3y-1=-4,所以y 1=53,y 2=-1.(6)方程两边开平方,得x-3=±(5-2x ),即x-3=5-2x 或x-3=-(5-2x ),所以x 1=83,x 2=2.3.C4.C .5.解:(1)移项,得x 2-x=0,即x (x-1)=0,所以x=0或x-1=0,所以x 1=0,x 2=1.(2)移项,得(x-1)(x+2)-2(x+2)=0,所以(x+2)[(x-1)-2]=0,即(x+2)(x-3)=0,所以x+2=0或x-3=0,所以x 1=-2,x 2=3.(3)原方程可变形为[2(x-3)]2-[5(x-2)]2=0,即(2x-6)2-(5x-10)2=0,所以(2x-6+5x-10)(2x-6-5x+10)=0,即(7x-16)(-3x+4)=0,所以7x-16=0或-3x+4=0,所以x 1=167,x 2=43.(4)原方程可变形为(2x+1+2)2=0,即(2x+3)2=0,所以x 1=x 2=-32.6.解:(1)原方程变形为x 2-24x+144=10000,所以(x-12)2=1002.两边同时开平方,得x-12=±100,所以x 1=112,x 2=-88.(2)移项,得x 2-6x=9991,配方,得x 2-6x+9=10000,即(x-3)2=1002,所以x-3=±100,所以x 1=103,x 2=-97.7.解:(1)⑤(2)x 2+2nx-8n 2=0,x 2+2nx=8n 2,x 2+2nx+n 2=8n 2+n 2,(x+n )2=9n 2,x+n=±3n ,x 1=2n ,x 2=-4n. 8.649.解:(1)Δ=b 2-4ac=(-3)2-4×2×1=1>0,所以x=3±√12×2=3±14,即x 1=1,x 2=12.(2)原方程可化为2x 2+2√2x+1=0.因为a=2,b=2√2,c=1,所以Δ=b 2-4ac=(2√2)2-4×2×1=0,所以x=-2√2±√02×2=-√22, 所以x 1=x 2=-√22.(3)化简,得3x 2-7x+3=0,所以Δ=b 2-4ac=(-7)2-4×3×3=13>0,所以x=7±√132×3=7±√136, 所以x 1=7+√136,x 2=7-√136.(4)化简,得4x 2-4x-3=0,所以Δ=b 2-4ac=(-4)2-4×4×(-3)=64>0,所以x=4±√642×4=1±22,所以x 1=32,x 2=-12. 10.B .11.解:x x -12-2x x -1-15=0, 设x x -1=a ,则原方程可变形为a 2-2a-15=0, 解得a 1=-3,a 2=5. 当a=-3时,x x -1=-3,解得x=34, 经检验,x=34是分式方程的解;当a=5时,x x -1=5,解得x=54, 经检验,x=54是分式方程的解.所以原方程的解是x 1=34,x 2=54.。
人教版数学九年级上册强化限时练： 第21章《一元二次方程》实际应用题(二)
九年级上册强化限时练：第21章《一元二次方程》实际应用题（二）满分：100分限时60分钟练习一：每题10分，共50分1．商场某种商品平均每天可销售30件，每件盈利50元，为了尽快减少库存，商场决定采取适当的降价措施，经调查发现，每件商品每降价1元，商场每天可多售出2件，设每件商品降低x元据此规律，请回答：（1）商场日销售量增加件，每件商品盈利元（用含x的代数式表示）（2）在上述条件不变，销售正常的情况下，每件商品降价多少元时，商场日盈利可达到2100元？2．如图，用同样规格黑白两色的正方形瓷砖铺设矩形地面，请观察图形，并探究和解答下列问题：（1）设铺设地面所用瓷砖的总块数为y，请写出y与n（表示第n个图形）的关系式；（2）上述铺设方案，铺一块这样的长方形地面共用了506块瓷砖，求此时n的值；（3）黑瓷砖每块4元，白瓷砖每块3元，在问题（2）中，共需要花多少钱购买瓷砖？（4）否存在黑瓷砖与白瓷砖块数相等的情形？请通过计算加以说明．3．水果店张阿姨以每斤2元的价格购进某种水果若干斤，然后以每斤4元的价格出售，每天可售出100斤．通过调查发现，这种水果每斤的售价每降低0.1元，每天可多售出20斤，为保证每天至少售出260斤，张阿姨决定降价销售．（1）当售价降低0.5元时，计算每天的销售量和销售利润．（2）若将这种水果的售价降低x元，则每天的销售量是斤（用含x的代数式表示）（3）销售这种水果要想每天获得300元的利润，张阿姨将每斤的售价降低多少元？4．利民商店经销甲、乙两种商品．现有如下信息信息1：甲乙两种商品的进货单价和为11；信息2：甲商品的零售单价比其进货单价多2元，乙商品的零售单价比其进货单价的2倍少4元：信息3：按零售单价购买甲商品3件和乙商品2件共付37元．（1）甲、乙两种商品的进货单价各是多少？（2）据统计该商店平均每天卖出甲商品500件，经调查发现，甲商品零售单价每降0.1元，这样甲商品每天可多销售100件，为了使每天获取更大的利润，商店决定把甲种商品的零售单价下降a元，在不考虑其他因素的条件下，当a定为多少时，才能使商店每天销售甲种商品获取利润为1500元？5．如图，某小区规划在一个长16m，宽9m的矩形场地ABCD上，修建同样宽的小路，使其中两条与AB平行，另一条与AD平行，其余部分种草，若草坪部分总面积为112m2，求小路的宽．练习二：每题10分，共50分6．列一元二次方程解应用题某公司今年1月份的纯利润是20万元，由于改进技术，生产成本逐月下降，3月份的纯利润是22.05万元．假设该公司2、3、4月每个月增长的利润率相同．（1）求每个月增长的利润率；（2）请你预测4月份该公司的纯利润是多少？7．某商场销售一批A型衬衫，平均每天可售出20件，每件盈利40元，为了增加盈利并尽快减少库存，商场决定采取适当降价措施，经调查发现，如果每件衬衫每降价1元，商场平均每天可多售出2件．（1）若商场平均每天盈利1200元，每件衬衫应降价多少元？（2）在（1）的定价情况下，衬衫的成本是100元，为了更快的盈利和清理库存，商店选择一种领带与A型衬衫成套出售，领带按照标价的8折出售，领带标价是其进价的2倍，要使每套的利润率不低于40%，则选择的领带的成本至少多少钱？8．如图是一张长10dm，宽6dm矩形纸板，将纸板四个角各剪去一个同样的边长为xdm的正方形，然后将四周突出部分折起，可制成一个无盖方盒．（1）无盖方盒盒底的长为dm，宽为dm（用含x的式子表示）；（2）若要制作一个底面积是32dm2的一个无盖长方体纸盒，求剪去的正方形边长x．9．某市要组织一次篮球联赛，赛制为单循环形式（每两队之间都赛一场），计划安排15场比赛．（1）应该邀请多少支球队参加比赛？（2）若某支球队参加2场后，因故不参与以后比赛，问实际共比赛多少场？10．随着“互联网+”时代的到来，传统的教学模式也在悄然发生着改变．某出国培训机构紧跟潮流，对培训课程采取了线上线下同步销售的策路，为了让客户更理性的选择，该机构推出了甲、乙两个课程体验包：甲课程体验包价值660元含3节线上课程和2节线下课；乙课程体验包价值990元含2节线上课程和5节线下课程．（1）分别求出该机构每节课的线上价格和线下价格；（2）该机构其中一个销售团队上个月的销售业绩为：线上课程成交900节，线下课成交1000节．为回馈客户，本月该机构针对线上、线下每节课程的价格均作出了调整：每节课线上价格比上个月的价格下调a%，线下价格比上个月的价格下调a%，到本月底统计发现，该销售团队线上成交的课程数比上个月增加了a%，线下成交的课程数上升到1080节，最终团队的月销售总额线上比线下少了54000元，求a的值．参考答案1．解：（1）降价1元，可多售出2件，降价x元，可多售出2x件，盈利的钱数＝50﹣x；故答案为：2x；（50﹣x）；（2）由题意得：（50﹣x）（30+2x）＝2100化简得：x2﹣35x+300＝0，即（x﹣15）（x﹣20）＝0解得：x1＝15，x2＝20由于该商场为了尽快减少库存，因此降的越多，越吸引顾客，故选x＝20，答：每件商品降价20元，商场日盈利可达2100元．2．解：（1）n＝1时，y＝4×3＝12，n＝2时，y＝5×4＝20，n＝3时，y＝6×5＝30，∴y＝（n+3）（n+2）．（2）（n+3）（n+2）＝506∴n2+5n﹣500＝0，解得n＝20或n＝﹣25（舍去）．（3）20×（20+1）＝420（块）4×（506﹣420）+3×420＝4×86+1260＝344+1260＝1604（元）答：共需要花1604元购买瓷砖．（4）当黑瓷砖与白瓷砖块数相等时，铺设地面所用瓷砖的总块数等于白瓷砖的数量的2倍，∴（n+3）（n+2）＝2n（n+1），∴n2+5n+6＝2n2+2n，整理，可得n2﹣3n﹣6＝0，解得n＝，∵n是整数，∴不存在黑瓷砖与白瓷砖块数相等的情形．答：不存在黑瓷砖与白瓷砖块数相等的情形．3．解：（1）每天的销售量为：100+×20＝200（斤），每天的销售利润为：（4﹣2﹣0.5）×200＝300（元），答：当售价降低0.5元时，每天的销售量为200斤，销售利润为300元；（2）由题意得：100+200x，故答案为：（100+200x）；（3）根据题意，得（4﹣2﹣x）（100+200x）＝300，解得x1＝0.5，x2＝1，当x1＝0.5时，销售量为100+200×0.5＝200＜260，不合题意，舍去；当x2＝1时，销售量为100+200×1＝300＞260，符合题意．所以取x＝1，答：要想每天获得300元的利润，张阿姨将每斤的售价降低1元．4．解：（1）设甲种商品的进货单价是x元/件，乙种商品的进货单价是y元/件，根据题意得：，解得：．答：甲种商品的进货单价是5元/件，乙种商品的进货单价是6元/件．（2）当零售单价下降a元/件时，每天可售出（500+1000a）件，根据题意得：（2﹣a）（500+1000a）＝1500，整理得：2a2﹣3a+1＝0，解得：a1＝0.5，a2＝1．答：当a定为0.5或1时，才能使商店每天销售甲种商品获取利润为1500元．5．解：设小路的宽度为xm，那么草坪的总长度和总宽度应该为（16﹣2x），（9﹣x）．根据题意即可得出方程为：（16﹣2x）（9﹣x）＝112，解得x1＝1，x2＝16．∵16＞9，∴x＝16不符合题意，舍去，∴x＝1．答：小路的宽为1m．6．解：（1）设每个月增长的利润率为x，根据题意得：20×（1+x）2＝22.05，解得：x1＝0.05＝5%，x2＝﹣2.05（不合题意，舍去）．答：每个月增长的利润率为5%．（2）22.05×（1+5%）＝23.1525（万元）．答：4月份该公司的纯利润为23.1525万元．7．解：（1）设每件衬衫应降价x元，则每天多销售2x件，由题意，得（40﹣x）（20+2x）＝1200，解得：x1＝20，x2＝10，∵要增加盈利并尽快减少库存，∴每件衬衫应降价20元；（2）设选择的领带的成本为y元，由题意，得（40﹣20）+（0.8×2y﹣y）≥（100+y）×40%，解得y≥100．答：选择的领带的成本至少100元．8．解：（1）无盖方盒盒底的长为（10﹣2x）dm，宽为（6﹣2x）dm．故答案为：（10﹣2x）；（6﹣2x）．（2）根据题意得：（10﹣2x）（6﹣2x）＝32，解得：x1＝1，x2＝7（不合题意，舍去）．答：剪去的正方形边长为1dm．9．解：（1）设应该邀请x支球队参加比赛，依题意得x（x﹣1）＝15，解得x＝6或x＝﹣5（不合题意，舍去）．答：应邀请6支球队参加比赛；（2）2+＝12．答：实际共比赛12场．10．解：（1）设该机构每节课的线上价格为每节课x元，线下价格为每节课y元．由题意：，解得，答：该机构每节课的线上价格为每节课120元，线下价格为每节课150元．（2）由题意：1080×150（1﹣a%）﹣900×120（1﹣a%）（1+a%）＝54000，解得a＝25．答：a的值为25．。
人教版九年级上册数学21章一元二次方程分课时练习题及答案
21.1一元二次方程基础导练1.把一元二次方程(x－3)2＝5化为一般形式为________________，二次项为________，一次项系数为__________，常数项为________.2.若(a－1)x2＋bx＋c＝0是关于x的一元二次方程，则( )A．a≠0 B．a≠1C．a＝1 D．a≠－13．一元二次方程2x2－(m＋1)x＋1＝x(x－1)化成一般形式后二次项的系数为1，一次项的系数为－1，则m的值为( )A．－1 B．1 C．－2 D．2能力提升4．方程(m＋2)x|m|＋3mx＋1＝0是关于x的一元二次方程，则m＝_______________.5．若关于x的方程mx2＋(m－1)x＋5＝0有一个解为2，则m的值是______．6．已知关于x的一元二次方程(2m－1)x2＋3mx＋5＝0有一根是x＝－1，求m的值．参考答案1.x2－6x＋4＝0 x2－6 42.B3.B4.25.－1 26．解：把x＝－1代入原方程，得2m－1－3m＋5＝0，解得m＝4.21.2.1配方法基础导练1.下列方程中，一定有实数解的是（ ）A.210x +=B.2(21)0x +=C.2(21)30x ++=D.21()2x a a -= 2.若224()x x p x q -+=+，那么p 、q 的值分别是（ ）A.p =4，q =2B.p =4，q =-2C.p =-4，q =2D.p =-4，q =-23.若28160x -=，则x 的值是_________．能力提升4.无论x 、y 取任何实数，多项式222416x y x y +--+的值总是_______数（填“正”或“负”）．5.如果16（x -y ）2+40（x -y ）+25=0，那么x 与y 的关系是 ．6.解一元二次方程22(3)72x -=．7.如果a 、b b 2-12b +36=0，求ab 的值．参考答案1.B2.B3.正 5.x -y =-54 6.解：方程两边同除以2，得2(3)36x -=，∴36x -=±，∴129,3x x ==-．7.2(6)0b -=，∴34060a b +=⎧⎨-=⎩， ∴43a =-，6b =，∴8ab =-. 21.2.2公式法基础导练1.一元二次方程2210x x --=的根的情况为（ ）A ．有两个相等的实数根B ．有两个不相等的实数根C ．只有一个实数根D ．没有实数根2.若关于x 的一元二次方程220x x m -+=没有实数根，则实数m 的取值范围是（ ）A ．1m <B ．1m >-C ．1m >D ．1m <-3.若关于x 的一元二次方程230x x m -+=有实数根，则实数m 的取值范围是_____________. 能力提升4.如果关于x 的方程022=--k x x 没有实数根，则k 的取值范围为_____________.5.用公式法解下列方程.（1）1)4(2=+x x ；（2）(2)(35)1x x --=；（3）20.30.8y y +=.6.求证：关于x 的方程01)12(2=-+++k x k x 有两个不相等的实数根．参考答案 1.B 2.C 3.94m ≤4.1k <-5.解：（1）将方程化为一般形式22810x x +-=，∴2a =，8b =，1c =-,∴224842(1)720b ac -=-⨯⨯-=>,∴84222x -±-±==⨯，∴142x -+=，242x --=． （2）将方程化为一般形式231190x x -+=，∴3a =，11b =-，9c =,∴224(11)439130b ac -=--⨯⨯=>,∴x ==1x =2x =． （3）将方程化为一般形式20.30.80y y +-=，∴0.3a =，1b =，0.8c =-,∴224140.3(0.8) 1.960b ac -=-⨯⨯-=>,∴y =1101420.36--±=⨯，∴14y =-，223y =．6. 证明：∵∆＝2224(21)41(1)450b ac k k k -=+-⨯⨯-=+>恒成立，∴方程有两个不相等的实数根．21.2.3一元二次方程的根与系数的关系基础导练1．若x 1，x 2是一元二次方程x 2＋4x ＋3＝0的两个根，则x 1x 2的值是( )A ．4B ．3C ．－4D ．－32．如果关于x 的一元二次方程x 2＋px ＋q ＝0的两根分别为x 1＝2，x 2＝1，那么p ，q 的值分别是( )A ．－3,2B ．3，－2C ．2，－3D ．2,33．已知一元二次方程的两根之和为7，两根之积为12，则这个方程为____________________． 能力提升4．已知方程x 2－3x ＋m ＝0的一个根是1，则它的另一个根是______，m 的值是______．5．已知x 1，x 2是方程x 2－3x －3＝0的两根，不解方程可求得x 21＋x 22＝________.6.已知1x 、2x 是方程2630x x ++=的两实数根，求2112x x x x +的值.参考答案1．B 2.A 3．x 2－7x ＋12＝0(答案不唯一) 4．2 2 5.156.解：由一元二次方程根与系数的关系可得：121263x x x x +=-⎧⎨=⎩，∴222221121212121212()2(6)23103x x x x x x x x x x x x x x ++---⨯+====. 21.3实际问题与一元二次方程基础导练1.一台电视机成本价为a 元，销售价比成本价增加25%，因库存积压，•所以就按销售价的70%出售，那么每台售价为（ ）A ．（1+25%）（1+70%）a 元B ．70%（1+25%）a 元C ．（1+25%）（1-70%）a 元D ．（1+25%+70%）a 元2.某商品原价200元，连续两次降价a ％后售价为148元，下列所列方程正确的是（ ）A ．2002(1%)a +=148B ．2002(1%)a -=148C ．200(12%)a -=148D ．2002(1%)a -=1483.为了美化环境，某市加大对绿化的投资．2012年用于绿化投资20万元，2014年用于绿化投资25万元，求这两年绿化投资的年平均增长率．设这两年绿化投资的年平均增长率为x ，根据题意所列方程为（ ）A ．22025x =B ．20(1)25x +=C ．220(1)25x +=D ．220(1)20(1)25x x +++=能力提升4.一个小组有若干人，新年互送贺卡，若全组共送贺卡72张，则这个小组共有（ ）人.A ．12B ．10C ．9D ．85.某县化肥厂第一季度增产a 吨化肥，以后每季度比上一季度增产%x ，则第三季度化肥增产的吨数为（ ）A ．2)1(x a +B ．2%)1(x a +C ．2%)1(x +D ．2%)(x a a +6.某化工厂今年一月份生产化工原料15万吨，通过优化管理，产量逐月上升，三月份生产化工原料60万吨，设二、三月份平均增长的百分率相同，均为x ，则可列出方程为________________________．7.某公司一月份营业额为10万元，第一季度总营业额为33.1万元，求该公司二、三月份营业额平均增长率是多少？（分析：设该公司二、三月份营业额平均增长率为x ，•那么二月份的营业额就应该是10(1)x +，三月份的营业额应是102(1)x +．）参考答案1.B2.B3.C4.C5.B6.215(1)60x +=7.解：设该公司二、三月份营业额平均增长率为x ．则依题意得：21010(1)10(1)x x ++++=33.1把（1+x ）看成一个整体，配方得：21(1)2x ++=2.56，即23()2x +=2.56, ∴x +32=±1.6，即x +32=1.6或x +32=-1.6. ∴1x =0.1=10%，2x =-3.1∵因为增长率为正数，∴取x =10%.答:该公司二、三月份营业额平均增长率为10%．。
人教版九年级上册数学第21章 一元二次方程 一元二次方程及其相关概念的定义的五种应用
解：由题意可得(x＋1)·2x－(x＋2)·(x－2)＝1，它是一元二次方程 ，化成一般形式为x2＋2x＋3＝0.
4．(2019·遂宁)已知关于x的一元二次方程(a－1)·x2－2x＋a2－1＝0有一个根为x
＝0，则a的值为( )
A．0B．±1C．1D．－1
D
5．已知 x＝m 是方程 x2－x－2＝0 的一个非零实数根，求代数式 (m2－m)m－m2 ＋1的值．
解：当mm2＋＋11≠＝0 2，时，它是一元二次方程，解得 m＝1. 当 m＝1 时，原方程可化为 2x2－x－1＝0.
(2)m取何值时，它是一元一次方程？
解：当mm－＋21≠＝00，或mm＋2＋11－1 或 m＝0. 故当 m＝－1 或 m＝0 时，它是一元一次方程．
【点拨】解此类求代数式的值的问题时，一般都会用到整体思想.求 解时，将所求代数式的一部分看成一个整体，再用整体代入法求 值．
解：∵x＝m是方程x2－x－2＝0的一个非零实数根， ∴m2－m－2＝0， 即m2－m＝2，m2－2＝m. ∵m≠0， ∴m－＝1. ∴原式＝2×(1＋1)＝4.
2 m
6．关于x的方程x2－mx＋2m＝0的一个实数根是6，并且m和6恰好是等腰三角形 ABC的两边长，求△ABC的周长．
2．已知关于x的一元二次方程(m－1)x2＋5x＋m2－1＝0的常数项为0，求m的值．
解：由题意得mm2－－11≠＝0，0，解得 m＝－1.
人教版九年级数学上册21.1一元二次方程同步测试及答案解析【新编】
一元二次方程21.1__一元二次方程__[见A本P2]1．下列方程中是关于x的一元二次方程的是(C)A．x2＋1x2＝0B．ax2＋bx＋c＝0C．(x－1)(x＋2)＝1D．3x2－2xy－5y2＝0【解析】A是分式方程，B中缺a≠0，D中含有两个未知数．2．方程5x2＝6x－8化为一元二次方程的一般形式后，二次项系数、一次项系数、常数项分别为(C)A．5，6，－8 B．5，－6，－8C．5，－6，8 D．6，5，－8【解析】5x2＝6x－8化为一般形式后得5x2－6x＋8＝0.3．若关于x的方程ax2－3x＋2＝0是一元二次方程，则(B)A．a>0 B．a≠0C．a＝1 D．a≥0【解析】一元二次方程的隐含条件是二次项系数a≠0，故选B.4．已知关于x的方程x2－kx－6＝0的一个根为x＝3，则实数k的值为(A)A．1 B．－1C．2 D．－2【解析】因为x＝3是原方程的根，所以将x＝3代入原方程，即32－3k－6＝0成立，解得k＝1. 5．如图21－1－1所示，图形中四个长方形的长比宽多5，围成的大正方形的面积为125.设长方形的宽为x，则下列方程不正确的是(C)图21－1－1A．x(x＋5)＝25B．x2＋5x＝25C．x2＋5x－20＝0D．x(x＋5)－25＝0【解析】大正方形边长为2x＋5，则(2x＋5)2＝125，∴4x2＋20x＋25＝125，∴4x2＋20x－100＝0，∴x2＋5x－25＝0，故A，B，D正确，选C.6．下列关于x的方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)的根的说法正确的有(C)①若有一个根为零时，则c＝0；②若有一个根为1时，则a＋b＋c＝0；③若有一个根为－1时，则a－b＋c＝0；④只有一个实数根．A．1个B．2个C．3个D．4个【解析】把x＝0代入原方程有a×02＋b×0＋c＝0，得到c＝0；把x＝1代入原方程有a×12＋b×1＋c＝0，即a＋b＋c＝0；把x＝－1代入原方程有a×(－1)2＋b×(－1)＋c＝0，即a－b＋c＝0，这说明①②③都正确．一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)可以没有实数根，所以④不正确．7．当x＝__0__时，方程(a2－9)x2＋(a＋3)x＋5＝0不是关于a的一元二次方程；当a＝__3__时，方程(a2－9)x2＋(a＋3)x＋5＝0是关于x的一元一次方程．8．滨州市体育局要组织一次篮球赛，赛制为单循环形式(每两队之间都赛一场)，计划安排28场比赛，应邀请多少支球队参加比赛？学习以下解答过程，并完成填空．解：设应邀请x 支球队参赛，则每队共打__x －1__场比赛，比赛总场数用代数式表示为__12x (x －1)__．根据题意，可列出方程__12x (x －1)＝28__．整理，得__12x 2－12x ＝28__．化为一般式，得__x 2－x －56＝0__．二次项系数、一次项系数、常数项分别为__1__，__－1__，__－56__．【解析】 设应邀请x 支球队参赛，则每队共打(x －1)场比赛，比赛总场数用代数式表示为12x (x －1)． 根据题意，可列出方程12x (x －1)＝28. 整理，得12x 2－12x ＝28， 化为一般式为x 2－x －56＝0.二次项系数、一次项系数、常数项分别为1，－1，－56.9．《九章算术》“勾股”章有一题：“今有户高多于广六尺八寸，两隅相去适一丈，问户高、广各几何？”大意是说：已知矩形门的高比宽多6尺8寸，门的对角线长1丈，那么门的高和宽各是多少？(1丈＝10尺，1尺＝10寸)如果设门的宽为x 尺，那么这个门的高为(x ＋6.8)尺，根据题意，得__x 2＋(x ＋6.8)2＝102__，整理、化简，得__2x 2＋13.6x －53.76＝0__．10．教材或资料会出现这样的题目：把方程12x 2－x ＝2化为一元二次方程的一般形式，并写出它的二次项系数、一次项系数和常数项．现把上面的题目改编为下面的两个小题，请解答：(1)下列式子中，有哪几个是方程12x 2－x ＝2所化的一元二次方程的一般形式？(答案只写序号)__①②④⑤__．①12x 2－x －2＝0；②－12x 2＋x ＋2＝0；③x 2－2x ＝4；④－x 2＋2x ＋4＝0；⑤3x 2－23x －43＝0. (2)方程12x 2－x ＝2化为一元二次方程的一般形式后，它的二次项系数、一次项系数、常数项之间具有什么关系？解：(2)若设它的二次项系数为a (a ≠0)，则一次项系数为－2a 、常数项为－4a .11．若关于x 的一元二次方程为ax 2＋bx ＋5＝0(a ≠0)的解是x ＝1，则2013－a －b 的值是( A )A ．2018B ．2008C ．2014D ．2012【解析】∵x ＝1是一元二次方程ax 2＋bx ＋5＝0的一个根，∴a ·12＋b ·1＋5＝0，∴a ＋b ＝－5，∴2013－a －b ＝2013－(a ＋b )＝2013－(－5)＝2018.12．[2013·黔西南]已知x ＝1是一元二次方程x 2＋ax ＋b ＝0的一个根，则代数式a 2＋b 2＋2ab 的值是__1__.【解析】 ∵x ＝1是一元二次方程x 2＋ax ＋b ＝0的一个根，∴12＋a ＋b ＝0，∴a ＋b ＝－1∴a 2＋b 2＋2ab ＝(a ＋b )2＝(－1)2＝1.13．若方程4x k －1＋3x ＋1＝0是关于x 的一元二次方程，则k 的值为__3__．【解析】 ∵此方程是一元二次方程，∴k －1＝2，∴k ＝3.14．翠湖公园有一块长为32 m ，宽为20 m 的长方形空地，现准备在空地中修同样宽的两条“之”字路．如图21－1－2所示，若设道路宽为x m ，剩下的空地面积为540 m 2，请列出关于x 的一元二次方程，把它化为一般形式，并指出二次项系数、一次项系数和常数项．图21－1－2解：将图形中的“之”字路进行平移得到如图所示的图形．依题意得(32－x )(20－x )＝540，整理，得一般形式为x 2－52x ＋100＝0，二次项系数为1，一次项系数为－52，常数项为100. 15．已知m 是方程x 2－2 013x ＋1＝0的一个根，试求代数式m 2－2 012m ＋2 013m 2＋1的值． 解：∵m 为方程x 2－2 013x ＋1＝0的根，∴m 2－2 013m ＋1＝0，即m 2－2 013m ＝－1，m 2＋1＝2 013m ，∴m 2－2 012m ＋2 013m 2＋1＝m 2－2 013m ＋m ＋2 0132 013m ＝－1＋m ＋1m .又由m 2－2 013m ＋1＝0， 两边同除以m 得m ＋1m＝2 013， ∴原式＝－1＋2 013＝2 012.。
人教版九年级上册数学同步培优第二十一章 一元二次方程 一元二次方程
14．根据一元二次方程根的定义，解答下列问题： 一个三角形两边的长分别为3 cm和7 cm，第三边的长为a cm
，且整数a满足a2－10a＋21＝0，求这个三角形的周长． 解：由题意可得4＜a＜10.(第一步) ∵a是整数，∴a可取5，6，7，8，9.(第二步) 当a＝5时，a2－10a＋21＝52－10×5＋21≠0，故a＝5不是方
返回
2．以下是关于x的一元二次方程的是( D )
A．x2－
1 x2
＝2
B．ax2＋bx＋c＝0
C．3x2－2xy＋y2＝0 D. x－122＝0
返回
3．已知关于x的方程(m＋2)x|m|＋2x－1＝0. (1)当m为何值时，原方程是一元一次方程？
解：由题意得，当m＝0时，2x＋1＝0是一元一次方程； 当m＋2＝0，即m＝－2时，2x－1＝0是一元一次方程； 当m＝±1时，(m＋2)x|m|＋2x－1＝0是一元一次方程． 综上可知，当m＝－2，0，±1时，原方程是一元一次方程．
程的根．
同理可知a＝6，a＝8，a＝9都不是方程的根，只有a＝7是
方程的根．(第三步)
∴这个三角形的周长是3＋7＋7＝17(cm)． 上述过程中，第一步的根据是_三__角__形__任__意__两__边__之__和__大__于____ _第__三__边__，__任__意__两__边__之__差__小__于__第__三__边______，第三步应用了 _分__类__讨__论_____的数学思想，确定a的值的根据是 _方__程__根__的__定__义___．
人教 九年级上
第二十一章 一元二次方程
21.1 一元二次方程
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1 见习题 2 D
6D
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22.1一元二次方程
◆随堂检测
1、判断下列方程，是一元二次方程的有____________.
（1）32250xx； （2）21x； （3）221352245xxxx；
（4）22(1)3(1)xx；（5）2221xxx；（6）20axbxc.
（提示：判断一个方程是不是一元二次方程，首先要对其整理成一般形式，然
后根据定义判断.）
2、下列方程中不含一次项的是（ ）
A．xx2532 B．2916xx
C．0)7(xx D．0)5)(5(xx
3、方程23(1)5(2)xx的二次项系数___________；一次项系数__________；常
数项_________.
4、1、下列各数是方程21(2)23x解的是（ ）
A、6 B、2 C、4 D、0
5、根据下列问题，列出关于x的方程，并将其化成一元二次方程的一般形式.
（1）4个完全相同的正方形的面积之和是25，求正方形的边长x.
（2）一个矩形的长比宽多2，面积是100，求矩形的长x.
（3）一个直角三角形的斜边长为10，两条直角边相差2，求较长的直角边长x.
◆典例分析
已知关于x的方程22(1)(1)0mxmxm．
（1）x为何值时，此方程是一元一次方程？
（2）x为何值时，此方程是一元二次方程？并写出一元二次方程的二次项系数、
一次项系数及常数项。
分析：本题是含有字母系数的方程问题．根据一元一次方程和一元二次方程
的定义，分别进行讨论求解.
解：（1）由题意得，21010mm时，即1m时，
方程22(1)(1)0mxmxm是一元一次方程210x.
（2）由题意得，2(1)0m时，即1m时，方程22(1)(1)0mxmxm是一元
二次方程.此方程的二次项系数是21m、一次项系数是(1)m、常数项是m.
◆课下作业
●拓展提高
1、下列方程一定是一元二次方程的是（ ）
A、22310xx B、25630xy
C、220axx D、22(1)0axbxc
2、2121003mxxm是关于x的一元二次方程，则x的值应为（ ）
A、m＝2 B、23m C、32m D、无法确定
3、根据下列表格对应值：
x
3.24 3.25 3.26
2
axbxc
-0.02 0.01 0.03
判断关于x的方程20,(0)axbxca的一个解x的范围是（ ）
A、x＜3.24 B、3.24＜x＜3.25
C、3.25＜x＜3.26 D、3.25＜x＜3.28
4、若一元二次方程20,(0)axbxca有一个根为1，则cba_________；若
有一个根是-1，则b与a、c之间的关系为________；若有一个根为0，则
c=_________.
5、下面哪些数是方程220xx的根？
-3、-2、-1、0、1、2、3、
6、若关于x的一元二次方程012)1(22mxxm的常数项为0，求m的值是多
少？
●体验中考
1、（2009年，武汉）已知2x是一元二次方程220xmx的一个解，则m的值
是（ ）
A．-3 B．3 C．0 D．0或3
（点拨：本题考查一元二次方程的解的意义.）
2、（2009年，日照）若(0)nn是关于x的方程220xmxn的根，则mn的值为
（ ）
A．1 B．2 C．-1 D．-2
（提示：本题有两个待定字母m和n，根据已知条件不能分别求出它们的值，故
考虑运用整体思想，直接求出它们的和.）
参考答案：
◆随堂检测
1、（2）、（3）、（4） （1）中最高次数是三不是二；（5）中整理后是一次方
程；（6）中只有在满足0a的条件下才是一元二次方程．
2、D 首先要对方程整理成一般形式，D选项为2250x.故选D.
3、3；-11；-7 利用去括号、移项、合并同类项等步骤，把一元二次方程化
成一般形式231170xx，同时注意系数符号问题.
4、B 将各数值分别代入方程，只有选项B能使等式成立．故选B.
5、解：（1）依题意得，2425x，
化为一元二次方程的一般形式得，24250x.
（2）依题意得，(2)100xx，
化为一元二次方程的一般形式得，221000xx.
（3）依题意得，222(2)10xx，
化为一元二次方程的一般形式得，22480xx.
◆课下作业
●拓展提高
1、D A中最高次数是三不是二；B中整理后是一次方程；C中只有在满足
0a
的条件下才是一元二次方程；D选项二次项系数2(1)0a恒成立.故根据定义判
断D.
2、C 由题意得，212m，解得32m.故选D.
3、B 当3.24＜x＜3.25时,2axbxc的值由负连续变化到正,说明在3.24
＜x＜3.25范围内一定有一个x的值,使20axbxc,即是方程20axbxc的一
个解.故选B.
4、0；bac；0 将各根分别代入简即可.
5、解：将3x代入方程，左式=2(3)(3)20，即左式右式.故3x不是
方程220xx的根.
同理可得2,0,1,3x时,都不是方程220xx的根.
当1,2x时,左式=右式.故1,2x都是方程220xx的根.
6、解:由题意得，21010mm时，即1m时，012)1(22mxxm的常数项为
0.
●体验中考
1、A 将2x带入方程得4220m，∴3m.故选A.
2、D 将xn带入方程得220nmnn，∵0n，∴20nm，
∴2mn.故选D.