2018-2019学年初中数学北师大版九年级下册第三章《圆》检测题B
北师大版数学九年级下册-实际问题与二次函数——面积、利润问题课时对应练习(Word版含答案)
第11课时实际问题与二次函数——面积、利润问题1．如图,假设篱笆（虚线部分）的长度16m,则所围成矩形ABCD的最大面积是（）A．60m2B．63m2C．64m2D．66m22．某旅游景点的收入受季节的影响较大,有时候出现赔本的经营状况．因此,公司规定：若无利润时,该景点关闭．经跟踪测算,该景点一年中的利润W（万元）与月份x之间满足二次函数W＝﹣x2+16x﹣48,则该景点一年中处于关闭状态有（）月．A．5B．6C．7D．83．已知一个直角三角形两直角边之和为20cm,则这个直角三角形的最大面积为（）A．25cm2B．50cm2C．100cm2D．不确定6．某种商品每件的进价为30元,在某段时间内若以每件x元出售,可卖出（100﹣x）件,则将每件的销售价定为元时,可获得最大利润．5．（2019•天门）矩形的周长等于40,则此矩形面积的最大值是_____．6．如图,用总长度为12米的不锈钢材料设计成如图所示的外观为矩形的框架,所有横档和竖档分别与AD、AB平行,则矩形框架ABCD的最大面积为_____m2．7．（2019•丹东）某服装超市购进单价为30元的童装若干件,物价部门规定其销售单价不低于每件30元,不高于每件60元．销售一段时间后发现：当销售单价为60元时,平均每月销售量为80件,而当销售单价每降低10元时,平均每月能多售出20件．同时,在销售过程中,每月还要支付其他费用450元．设销售单价为x元,平均月销售量为y件．（1）求出y与x的函数关系式,并写出自变量x的取值范围．（2）当销售单价为多少元时,销售这种童装每月可获利1800元？（3）当销售单价为多少元时,销售这种童装每月获得利润最大？最大利润是多少？8．某中学课外兴趣活动小组准备围建一个矩形苗圃园,其中一边靠墙,另外三边用长为30米的篱笆围成,已知墙长为18米（如图所示）,设这个苗圃园垂直于墙的一边的长为x米．（1）若苗圃园的面积为72平方米,求x；（2）若平行于墙的一边长不小于8米,这个苗圃园的面积有最大值和最小值吗？如果有,求出最大值和最小值；如果没有,请说明理由；（3）当这个苗圃园的面积不小于100平方米时,直接写出x 的取值范围．9．某公司在甲、乙两地同时销售某种品牌的汽车．已知在甲、乙两地的销售利润y （单位：万元）与销售量x （单位：辆）之间分别满足：y 1＝﹣x 2+10x ,y 2＝2x ,若该公司在甲,乙两地共销售15辆该品牌的汽车,则能获得的最大利润为（ ） A ．30万元B ．40万元C ．45万元D ．46万元10．如图,有一块边长为6cm 的正三角形纸板,在它的三个角处分别截去一个彼此全等的筝形,再沿图中的虚线折起,做成一个无盖的直三棱柱纸盒,则该纸盒侧面积的最大值是（ ）A ．√3cm 2B ．32√3cm 2C ．92√3cm 2D ．272√3cm 211．（2018•武汉）飞机着陆后滑行的距离y （单位：m ）关于滑行时间t （单位：s ）的函数解析式是y ＝60t −32t 2．在飞机着陆滑行中,最后4s 滑行的距离是 _____ m ． 12．某农场拟建两间矩形饲养室,一面靠现有墙（墙足够长）,中间用一道墙隔开,并在如图所示的三处各留1m 宽的门．已知计划中的材料可建墙体（不包括门）总长为27m ,则能建成的饲养室面积最大为 75 m 2．13．（2016•扬州）某电商销售一款夏季时装,进价40元/件,售价110元/件,每天销售20件,每销售一件需缴纳电商平台推广费用a 元（a ＞0）．未来30天,这款时装将开展“每天降价1元”的夏令促销活动,即从第1天起每天的单价均比前一天降1元．通过市场调研发现,该时装单价每降1元,每天销量增加4件．在这30天内,要使每天缴纳电商平台推广费用后的利润随天数t （t 为正整数）的增大而增大,a 的取值范围应为 _____ ．14．（2017•常德）如图,正方形EFGH 的顶点在边长为2的正方形的边上．若设AE ＝x ,正方形EFGH 的面积为y ,则y 与x 的函数关系为 __________ ．15．（2019•盘锦）2018年非洲猪瘟疫情暴发后,专家预测,2019年我市猪肉售价将逐月上涨,每千克猪肉的售价y1（元）与月份x（1≤x≤12,且x为整数）之间满足一次函数关系,如下表所示．每千克猪肉的成本y2（元）与月份x（1≤x≤12,且x为整数）之间满足二次函数关系,且3月份每千克猪肉的成本全年最低,为9元,如图所示．月份x…3456…售价y1/元…12141618…（1）求y1与x之间的函数关系式．（2）求y2与x之间的函数关系式．（3）设销售每千克猪肉所获得的利润为w（元）,求w与x之间的函数关系式,哪个月份销售每千克猪肉所第获得的利润最大？最大利润是多少元？16．某公司生产的某种时令商品每件成本为20元,经过市场调研发现,这种商品在未来40天内的日销售量m（件）与时间t（天）的关系如下表：时间t/天1361036…日销售量m/件9490847624…未来40天内,前20天每天的价格y1（元/件）与时间t（天）的函数关系式为y1＝0.25t+25（1≤t≤20且t为整数）,后20天每天的价格y2（元/件）与时间t（天）的函数关系式y2＝﹣0.5+40（21≤t≤40且t为整数）．下面我们就来研究销售这种商品的有关问题：（1）认真分析上表中的数据,用所学过的一次函数、二次函数、反比例函数的知识确定一个满足这些数据的m（件）与t（天）之间的关系式；（2）请预测未来40天中哪一天的日销售利润最大,最大日销售利润是多少？（3）在实际销售的前20天中,该公司决定每销售一件商品,就捐赠a元利润（a＜4）给希望工程．公司通过销售记录发现,前20天中,每天扣除捐赠后的日销售利润随时间t（天）的增大而增大,请直接写出a 的取值范围．17．已知抛物线y =12x 2+mx ﹣2m ﹣2（m ≥0）与x 轴交于A 、B 两点,点A 在点B 的左边,与y 轴交于点C（1）当m ＝1时,求点A 和点B 的坐标（2）抛物线上有一点D （﹣1,n ）,若△ACD 的面积为5,求m 的值 （3）P 为抛物线上A 、B 之间一点（不包括A 、B ）,PM ⊥x 轴于点M ,求AM⋅BM PM的值．【参考答案】1．C ． 2．A ． 3．B ． 4．65． 5．100． 6．4．7．（1）由题意得：y ＝80+20×60−x10∴函数的关系式为：y ＝﹣2x +200 （30≤x ≤60） （2）由题意得：（x ﹣30）（﹣2x +200）﹣450＝1800 解得x 1＝55,x 2＝75（不符合题意,舍去）答：当销售单价为55元时,销售这种童装每月可获利1800元． （3）设每月获得的利润为w 元,由题意得： w ＝（x ﹣30）（﹣2x +200）﹣450 ＝﹣2（x ﹣65）2+2000 ∵﹣2＜0∴当x ≤65时,w 随x 的增大而增大 ∵30≤x ≤60∴当x ＝60时,w 最大＝﹣2（60﹣65）2+2000＝1950答：当销售单价为60元时,销售这种童装每月获得利润最大,最大利润是1950元． 8．（1）根据题意得：（30﹣2x ）x ＝72, 解得：x ＝3,x ＝12, ∵30﹣2x ≤18, ∴x ＝12；（2）设苗圃园的面积为y,∴y＝x（30﹣2x）＝﹣2x2+30x,∵a＝﹣2＜0,∴苗圃园的面积y有最大值,∴当x=152时,即平行于墙的一边长15＞8米,y最大＝112.5平方米；∵6≤x≤11,∴当x＝11时,y最小＝88平方米；（3）由题意得：﹣2x2+30x≥100,∵30﹣2x≤18,解得：6≤x≤10．9．D．10．C．提示：∵△ABC为等边三角形,∴∠A＝∠B＝∠C＝60°,AB＝BC＝AC．∵筝形ADOK≌筝形BEPF≌筝形AGQH,∴AD＝BE＝BF＝CG＝CH＝AK．∵折叠后是一个三棱柱,∴DO＝PE＝PF＝QG＝QH＝OK,四边形ODEP、四边形PFGQ、四边形QHKO都为矩形．∴∠ADO＝∠AKO＝90°．连结AO,在Rt△AOD和Rt△AOK中,{AO=AOOD=OK,∴Rt△AOD≌Rt△AOK（HL）．∴∠OAD＝∠OAK＝30°．设OD＝x,则AO＝2x,由勾股定理就可以求出AD=√3x,∴DE＝6﹣2√3x,∴纸盒侧面积＝3x（6﹣2√3x）＝﹣6√3x2+18x,＝﹣6√3（x−√32）2+9√32,∴当x=√32时,纸盒侧面积最大为9√32．11．24． 12．75．13．0＜a ＜6．提示：设未来30天每天获得的利润为y , y ＝（110﹣40﹣t ）（20+4t ）﹣（20+4t ）a 化简,得y ＝﹣4t 2+（260﹣4a ）t +1400﹣20a每天缴纳电商平台推广费用后的利润随天数t （t 为正整数）的增大而增大, ∴−260−4a2×(−4)＞29.5解得,a ＜6, 又∵a ＞0,14．y ＝2x 2﹣4x +4．提示：如图所示：∵四边形ABCD 是边长为2的正方形, ∴∠A ＝∠B ＝90°,AB ＝2． ∴∠1+∠2＝90°, ∵四边形EFGH 为正方形, ∴∠HEF ＝90°,EH ＝EF ． ∴∠1+∠3＝90°, ∴∠2＝∠3,在△AHE 与△BEF 中, ∵{∠A =∠B∠2=∠3EH =FE,∴△AHE ≌△BEF （AAS ）, ∴AE ＝BF ＝x ,AH ＝BE ＝2﹣x , 在Rt △AHE 中,由勾股定理得：EH 2＝AE 2+AH 2＝x 2+（2﹣x ）2＝2x 2﹣4x +4； 即y ＝2x 2﹣4x +4（0＜x ＜2）。
2019-2020年北师大版九年级数学下册：第3章《圆》单元试题及答案
第三章圆一、选择题1．如图3－198所示，弦AB的长为6 cm，圆心O到AB的距离为4 cm，则⊙O的半径为( )A．3 cm B．4 cm C．5 cm D．6 cm2．如图3－199所示，△PQR是⊙O的内接正三角形，四边形ABCD是⊙O的内接正方形，BC∥QR，则∠AOQ等于 ( )A．60° B．65° C．72° D．75°3．(2014年广西南宁，第6题3分）在直径为200cm的圆柱形油槽内装入一些油以后，截面如图．若油面的宽AB=160cm，则油的最大深度为（）A． 40cm B． 60cm C． 80cm D． 100cm4．如图3－201所示，AB，AC是⊙O的两条切线，B，C是切点．若∠A＝70°，则∠BOC的度数为A．130° B．120° C．110° D．100°5．如图3－202所示，CD是⊙O的直径，A，B是⊙O上的两点．若∠ABD＝20°，则∠ADC 的度数为 ( )A．40°B．50° C．60°D．70°6．如图3－203所示，在梯形ABCD中，AB∥CD，AB⊥BC，AB＝2 cm，CD＝4 cm，以BC 上一点O为圆心的圆经过A，D两点，且∠AOD＝90°，则圆心O到弦AD的距离是 ( ) A．6cm B．10cm C．23cm D．25cm7．如图3－204所示，∠AOB是⊙O的圆心角，∠AOB＝80°，则弧AB所对圆周角∠ACB 的度数是 ( )A．40° B．45°C．50° D．80°8．如图3－205所示，已知⊙O的半径为5 cm，弦AB的长为8 cm，P是AB延长线上一点，BP＝2 cm，则tan∠OPA等于 ( )A．32B．23C．2 D．129．如图3－206所示，⊙O是△ABC的外接圆，AB是直径，若∠BOC＝80°，则∠A等于( )A．60° B．50°C．40° D．30°10．(2014年贵州安顺，第10题3分)如图，MN是半径为1的⊙O的直径，点A在⊙O上，∠AMN=30°，点B为劣弧AN的中点．点P是直径MN上一动点，则PA+PB的最小值为（）A．B． 1 C． 2 D．2二、填空题11．在圆O中，弦AB的长为6，它所对应的弦心距为4，那么半径OA＝．12．直角三角形的斜边长是6，以斜边的中点为圆心，斜边上的中线为半径的圆的面积是．13．（2014•广西来宾，第18题3分）如图，点A、B、C均在⊙O上，∠C=50°，则∠OAB= 度．．14．如图3－207所示，AB是⊙O的直径，弦CD∥AB．若∠ABD＝65°，则∠ADC ＝．15．如图3－208所示，在⊙O中，直径MN＝10，正方形AB CD的四个顶点分别在PM以及⊙O的半径OM，OP上，并且∠POM＝45°，则AB的长为．16．如图3－209所示，⊙A，⊙B的圆心A，B在直线l上，两圆的半径都为1 cm，开始时圆心距AB＝4 cm．现⊙A，⊙B同时沿直线l以每秒2 cm的速度相向移动，则当两圆相切时，⊙A运动的时间为秒．17．（2014•黔南州，第19题5分）如图，直径为10的⊙A经过点C（0，6）和点O（0，0），与x轴的正半轴交于点D，B是y轴右侧圆弧上一点，则cos∠OBC的值为．18．如图3－210所示，点A，B是⊙O上两点，AB＝10，点P是⊙O上的动点(P与A，B 不重合)，连接AP，PB，过点O分别作OE⊥AP于E，OF⊥PB于F，则EF＝．19．如图3－211所示，把半径为4 cm的半圆围成一个圆锥的侧面，使半圆圆心为圆锥的顶点，那么这个圆锥的高是 cm．(结果保留根号)20．(2014•陕西,第17题3分)如图，⊙O的半径是2，直线l与⊙O相交于A、B两点，M、N是⊙O上的两个动点，且在直线l的异侧，若∠AMB=45°，则四边形MANB面积的最大值是．三、解答题21．如图3－213所示，已知⊙O的直径AB垂直弦CD于点E，连接CO并延长交AD于点F．若CF⊥AD，AB＝2，求CD的长．22．（（2014•黔南州，第24题10分）如图，AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB于点G，点F是CD 上一点，且满足=，连接AF并延长交⊙O于点E，连接AD、DE，若CF=2，AF=3．（1）求证：△ADF∽△AED；（2）求FG的长；（3）求证：tan∠E=．23．如图3－215所示，已知△ABC内接于⊙O，点D在OC的延长线上，sin B＝12，∠D＝30°．(1)求证AD是⊙O的切线；(2)若AC＝6，求AD的长．24．如图3－216所示，AB是⊙O的直径，弦BC＝5，∠BOC＝50°，OE⊥AC，垂足为E．(1)求OE的长；(2)求劣弧AC的长．(结果精确到0．1)25．（2014•湖北黄石,第19题7分）如图，A、B是圆O上的两点，∠AOB=120°，C是AB弧的中点．（1）求证：AB平分∠OAC；（2）延长OA至P使得OA=AP，连接PC，若圆O的半径R=1，求PC的长．26．如图3－218(1)所示，圆内接△ABC中，AB＝BC＝CA，OD，OE为⊙O的半径，OD⊥BC 于点F，OE⊥AC于点G．(1)求证阴影部分四边形OFCG的面积是△ABC面积的13；(2)如图3－218(2)所示，若∠DOE保持120°角度不变，求证当∠DOE绕着O点旋转时，由两条半径和△ABC的两条边围成的图形(图中阴影部分)面积始终是△ABC的面积的13．参考答案1．C 2．D 3．A 4．C 5．D 6．B 7．A 8．D 9．C 10．AB 11．5 12．9π 13．4014．25° 15．516．12或3217．18．5 19．2320．4．21．解：如图3－219所示，在△AOF和△COE中．∠AFO＝∠CEO＝90°，∠AOF＝∠COE，∴∠A＝∠C．连接OD，则∠A＝∠ODA，∠C＝∠ODC，∴∠A＝∠ODA＝∠ODC．∵∠A＋∠ODA＋∠ODC＝90°，∴∠ODC＝30°，∴DE＝ODcos 30°＝32．CD＝2DE＝3．22．解：①∵AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB，∴DG=CG，∴弧AD=弧AC，∠ADF=∠AED，∵∠FAD=∠DAE（公共角），∴△ADF∽△AED；②∵=，CF=2，∴FD=6，∴CD=DF+CF=8，∴CG=DG=4，∴FG=CG﹣CF=2；③∵AF=3，FG=2，③∵AF=3，FG=2，∴AG=，tan∠E=．23．(1)证明：如图3－221所示，连接OA．∵sin B＝12，∴∠B＝30°，∴∠AOC＝60°．∵∠D＝30°，∴∠OAD＝180°－∠D－∠AOD＝90°．∴AD是⊙O的切线．(2)解：∵OA＝OC，∠AOC＝60°，∴△AOC是等边三角形．∴OA＝AC＝6．∵∠OAD＝90°，∠D＝30°，∴AD＝363AO=．24．解：(1)∵OE⊥AC．垂足为E．∴AE＝EC．∵AO＝BO，∴OE＝12BC＝52．(2)∠A＝12∠BOC＝25°，在Rt△AOE中，∵sin A＝OEOA，∴OA＝2.5sin25o．∵∠AOC＝180°－50°＝130°，∴劣弧AC的长＝130 2.5180sin25π⨯o≈13．4．25．解答：（1）证明：连接OC，∵∠AOB=120°，C是AB弧的中点，∴∠AOC=∠BOC=60°，∵OA=OC，∴△ACO是等边三角形，∴OA=AC，同理OB=BC，∴OA=AC=BC=OB，∴四边形AOBC是菱形，∴AB平分∠OAC；（2）解：连接OC，∵C为弧AB中点，∠AOB=120°，∴∠AOC=60°，∵OA=OC，∴OAC是等边三角形，∵OA=AC，∴AP=AC，∴∠APC=30°，∴△OPC是直角三角形，∴．26．(1)证明：连接OA，OC，∵点O是等边三角形ABC的外心，Rt△OFC≌Rt△OGC≌Rt△OGA，S四边形OFCG ＝2S△OFC＝S△OAC．∵S△OAC＝13S△ABC，∴S四边形OFCG＝13S△ABC． (2)证法1：如图3－223(1)所示，连接OA，OB和OC，则△AOC≌△COB≌△BOA，∠1＝∠2．不妨设OD交BC于点F，OE交AC于点G，∠AOC＝∠3＋∠4＝120°，∠DOE＝∠5＋∠4＝120°，∴∠3＝∠5．在△OAG和△OCF中，21,,35,OA OC∠=∠⎧⎪=⎨⎪∠=∠⎩∴△OAG≌△OCF，∴S四边形OFCG＝S△AOC＝13S△ABC．证法2：如图3－223(2)所示，不妨设OD交BC于点F，OE交AC于点G，作DH⊥BC，OK⊥AC，垂足分别为点H，K．在四边形HOKC中，∠OHC＝∠OKC＝90°，∠C＝60°，∴∠HOK＝360°－90°－90°－60°＝120°，即∠1＋∠2＝120°．又∵∠GOF＝∠2＋∠3＝120°∴∠1＝∠3．∵AC＝BC，∴OH＝OK．又∠OHF＝∠OKG＝90°．∴△OFH≌△OGK，∴S四边形OFCG＝S四边形OHCK＝13S△ABC．。
2018-2019学年北师大版数学三年级下册知识点及易错题集
2018-2019学年北师大版数学三年级下册知识点及易错题集第一单元核心知识点：元、角、分与小数1、小数的读写：读小数时，从左往右，整数部分按照整数的读法来读（整数部分是0的读作“零”），小数点读作“点”，小数部分顺次读出每一个数位上的数字，即使是连续的0，也要依次读出来。
写小数时，也是从左往右，整数部分按照整数的写法来写（整数部分是零的写作“0”），小数点点在个位的右下角，小数部分顺次写出每一个数位上的数字。
2、整数部分是0的小数叫做纯小数；整数部分不为0的小数叫做带小数。
3、比大小（比较小数的大小）比较两个小数大小的方法：先看整数部分，整数部分大的小数就大；整数部分相同，再看小数部分的十分位（角），十分位（角）上数字大的小数就大……4、小数的加减法a、小数加、减法的意义：小数加减法的意义与整数加减法的意义相同。
①小数加法的意义：把两个数合并成一个数的运算。
②小数减法的意义：已知两个加数的和与其中的一个加数，求另一个加数的运算。
b、小数的基本性质：小数末尾添上“0”或去掉“0”，小数的大小不变。
c、小数加减计算法则：小数点对齐；按照整数加减法的法则计算。
从末位算起；哪一位上的数相加满十，要向前一位进一。
如果被减数的小数末尾位数不够，可以添“0”再减，哪一位上的数不够减，要从前一位退一，在本位上加十再减；得数的小数点要对齐横线上的小数点。
d、小数加减混合运算的顺序和整数加减混合运算的顺序相同。
同级运算，从左往右；有括号的，先里后外。
5、整数加、减法的运算定律同样适用于小数加减法。
北师大版小学三年级下册数学第一单元（除法）易错题一、填空。
1、三位数除以一位数，商可能是（）位数，也可能是（）位数。
2、□09÷8的商是三位数，□中最小填( )，这时商大约是( )。
3、一个数除能7商是115，有余数，这个数最大是（），最小是（）。
4、要使2□2÷2的商中间有0，□可以填（），也可以填（）。
2018-2019北师大版数学六年级上册第一单元圆知识点和易错题集
圆知识点荟萃1．圆的定义：由曲线围成的封闭图形，且圆上任意一点到中心点（圆心）的距离都相等。
2．10.圆的周长总是直径的3倍多一些，这个比值是一个固定的数。
我们把圆的周长和直径的比值叫做圆周率，用字母表示。
圆周率是一个无限不循环小数。
在计算时，取π≈3.14。
世界上第一个把圆周率算出来的人是我国的数学家祖冲之。
3．圆的周长公式：C=πd 或C=2πr4．圆周长=π×直径或圆周长=π×半径×25．在一个正方形里画一个最大的圆，圆的直径等于正方形的边长。
6．在一个长方形里画一个最大的圆，圆的直径等于长方形的宽。
7．一个环形（圆环），外圆的半径是R，内圆的半径是r，它的面积是8．S=πR²－πｒ²9．或S=π（R²－ｒ²）。
10．（其中R＝r＋环的宽度．）11．半圆的周长等于圆的周长的一半加直径。
半圆的周长与圆周长的一半的区别在于，半圆有直径，而圆周长的一半没有直径。
12．圆的周长：3.14×1＝3.14 3.14×2＝6.283.14×3＝9.42 3.14×4＝12.563.14×5＝15.7 3.14×6＝18.843.14×7＝21.98 3.14×8＝25.123.14×9＝28.26 3.14×10＝31.413．圆的面积：3.14×12＝3.14×1=3.14 3.14×22＝3.14×4=12.563.14×32＝3.14×9=28.26 3.14×42＝3.14×16=50.243.14×52＝3.14×25=78.5 3.14×62＝3.14×36=113.043.14×72＝3.14×49=153.86 3.14×82＝3.14×64=200.963.14×92＝3.14×81=254.34 3.14×102＝3.14×100=314经典案例解析1.求阴影部分的面积。
(北师大版)2018～2019学年下学期八年级期末教学质量检测数学试卷(含答案)
（北师大版）2018～2019学年下学期八年级期末教学质量检测数学（含答案）考生注意:1.本卷共三大题,23小题,全卷满分120分,考试时间为120分钟.2.请将各题答案填在答题卡上.一、填空题(本大题共6小题,每小题3分,共18分)= .2.在不等式4x ≥-12中,x 的最小值是 .3.正六边形的每一个内角的度数都为 .4.已知一组数据:8、6、2、x,它们的众数是8,则这组数据的中位数是 .5.如图,在Y □ABCD 中,若AB=5,AD=4,则△AOB 的周长比△AOD 的周长长 .6.若关于x 的分式方程2124x x mx x +-=--=1无解,则m 的值为 . 二、选择题(本大题共8小题,每小题只有一个正确选项,每小题4分,共32分) 7.要使分式13x -有意义,x 必须满足的条件是（ ）A. x ≠3B. x ≠0C. x ＞3D. x=3 8.下列多项式中能用平方差公式分解因式的是（ ） A.x 2+4 B.x 2-xy C.x 2-9 D.-x 2-y 29.下列美丽的图案中,不是中心对称图形的是（ ）10.不等式3x ≤-2x+5的解集在数轴上表示正确的是（ ）11.在四边形ABCD 的每个顶点处取一个外角,有三个外角的和为240°,则第四个外角的度数是（ ）A.120°B.60°C.150°D.240°12.如图,等边三角形ABC 的边长为2,连接其三边的中点构成一个新的三角形,则新的三角形周长为（ ）A.1B.2C.3D.413.已知x 、y 满足方程组 361x m y m+=-=,则无论m 取何值,x 、y 恒有关系式是（ ）A. x+y=1B. x+y=-1C. x+y=9D. x+y=-914.已知点A 、B 、C 、D 在同一平面内,若从①AB ∥CD,②AB=CD,③BC ∥AD,④BC=AD 这四个条件中任选两个,能使四边形ABCD 是平行四边形的选法有（ ） A.3种 B.4种 C.5种 D.6种 三、解答题(本大题共9小题,共70分) 15.(本小题满分6分)解不等式组21390x x ＞--+≥.16.(本小题满分6分)分解因式:a 2x-6ax+9x.17.(本小题满分8分)先化简,再求值:21(1)11a a a a --÷++,最后选择一个你喜欢的数作为a 的值代入求值.18.(本小题满分6分)如图,四边形ABCD 为平行四边形,点E 、F 在对角线AC 上,且AE=CF.求证:四边形EBFD 是平行四边形.19.(本小题满分7分)已知关于x 的一次函数y=kx+b(k ≠0の)的图象过点A(2,4)、B(0,3). (1)求一次函数y=kx+b 的解析式;(2)若关于x 的一次函数y=mx+n(m<0)的图象也经过点A,则关于x 的不等式mx+n ≥kx+b 的解集为 .20.(本小题满分8分)如图,在Rt△ABC中,∠C=90°,BC=6,AC=8,AB的垂直平分线DE交AB 于点D,交AC于点E,连接BE.(1)求AD的长;(2)求AE的长.21.(本小题满分8分)如图,方格纸中的每个小方格都是边长为1个单位长度的正方形,每个小正方形的顶点叫格点,△ABC的顶点均在格点上,请按要求解决下列问题:(1)画出将△ABC向右平移3个单位长度后得到的△A1B1C1,再画出将△A1B1C1绕点B1按逆时针方向旋转90°后得到的△A2B1C2;（2)在网格中建立平面直角坐标系,使点B的坐标为(0,4),点A2的坐标为(4,5).22.(本小题满分9分)智能时代引领铁路的高速发展,已知某铁路现阶段列车的平均速度是200千米/时,未来还将提速.在相同的时间内,列车现阶段行驶3000千米,提速后列车比现阶段多行驶450千米.问列车平均提速多少千米/小时?23.(本小题满分12分)如图1,将Y OABC放在平面直角坐标系中,O为原点,点C的坐标为(-6,0),点A在第一象限,OA=2,∠A=60°.（1）求A、B两点的坐标；（2）如图2,将Y OABC绕点O逆时针旋转得到Y OA´B´C´,当点A的对应点A´落在y轴正半轴上时,求旋转角及点B的对应点B'的坐标.。
北师大版2018-2019八年级数学下册期末复习优生练习题3(原创 附答案)
北师大版2018-2019八年级数学下册期末复习优生练习题3（原创附答案）一、单选题1．能使分式221x xx--的值为零的所有x的值是（）A．x=0 B．x=1 C．x=0或x=1 D．x=0或x=±12．若m－n＝－6，mn＝7，则mn2－m2n的值是()A．－13 B．13 C．42 D．－423．如图，将线段AB绕点O顺时针旋转90°得到线段A′B′，那么A（﹣2，5）的对应点A′的坐标是（）A．（2，5）B．（5，2）C．（2，﹣5）D．（5，﹣2）4．若不等式组无解，则k的取值范圈为（）A．k≥1 B．k≤1 C．k＜1 D．k＞15．下列因式分解正确的是（）A．x2﹣4=（x+4）（x﹣4）B．x2﹣2x﹣15=（x+3）（x﹣5）C．3mx﹣6my=3m（x﹣6y）D．2x+4=2（x+4）6．一项工程，甲单独做a小时完成，乙单独做b小时完成，甲乙两人一起完成这项工程所需的时间为（）A．11a b⎛⎫+⎪⎝⎭小时B．()a b+小时C．a bab+小时D．aba b+小时7．一次函数y=kx+b的图象如图所示，不等式kx+b＞0的解集是（）A．x＞2 B．x＞4 C．x＜2 D．x＜48．如图，平行四边形中，和的平分线交于AD边上一点E，且，，则AB的长是( )A．2.5 B．3 C．4 D．2.49．如图所示，平面直角坐标系中，已知三点A（－1，0），B（2，0），C（0，1），若以A、B、C、D为顶点的四边形是平行四边形，则D点的坐标不可能是（）A．（3，1）B．（－3，1）C．（1，3）D．（1，－1）10．如图是由射线AB，BC，CD，DE，EA组成的平面图形，若∠1+∠2+∠3+∠4=225°，ED∥AB，则∠1的度数为( )A．55°B．45°C．35°D．25°二、填空题11．分解因式：______．12．一种细菌的半径是米，用科学记数法把它表示为_____米．13．若把分式中的x，y都扩大5倍，则分式的值____________．14．如图，函数y＝2x和y＝ax＋6的图像相交于点A（m，4），则不等式ax＋6＞2x的解集为________．15．如图，BD垂直平分线段AC，AE⊥BC，垂足为E，交BD于点P，PE＝3 cm，则点P 到直线AB的距离是________ cm.16．化简：2a ba b+-＋bb a-－2aa b-＝___.17．已知平面上有三个点，，，将绕点顺时针旋转，则点的对应点的坐标是________．18．如图，∠1是五边形ABCDE的一个外角．若∠1＝60°，则∠A＋∠B＋∠C＋∠D的度数为_________．19．分解因式______．20．若x2－12y2＝xy，且xy＞0，则分式的值为______．三、解答题21．某服装店用4500元购进一批衬衫，很快售完，服装店老板又用2100元购进第二批该款式的衬衫，进货量是第一次的一半，但进价每件比第一批降低了10元，求这两次各购进这种衬衫多少件？22．先化简再求值：222111y y yyy y⎛⎫--+-÷⎪++⎝⎭，其中y是不等式2712y+≤的正整数解.23．△ABC中，AD⊥BC，AE平分∠BAC交BC于点E．（1）若∠B=20°，∠C=80°，求∠EAC和∠EAD的大小．（2）若∠C＞∠B，由（1）的计算结果，你能发现∠EAD与∠C﹣∠B的数量关系吗？写出这个关系式，并加以证明．24．若关于x的不等式组只有4个整数解，求a的取值范围．25．如图，四边形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，点E，F分别在线段OA，OC 上，且OB=OD，∠1=∠2，AE=CF．（1）证明：△BEO≌△DFO；（2）证明：四边形ABCD是平行四边形．26．如图，已知△ABC的面积为3，且AB=AC，现将△ABC沿CA方向平移CA长度得到△EFA．（1）求四边形CEFB的面积；（2）试判断AF与BE的位置关系，并说明理由；（3）若∠BEC=15°，求AC的长．27．先阅读，再因式分解：x4+4＝（x4+4x2+4）﹣4x2＝（x2+2）2﹣（2x）2＝（x2﹣2x+2）（x2+2x+2），按照这种方法把下列多项式因式分解．（1）x4+64（2）x4+x2y2+y428．（1）感知：如图①．AB=AD，AB⊥AD，BF⊥AF于点F，DG⊥AF于点G．求证：△ADG≌△BAF；（2）拓展：如图②，点B，C在∠MAN的边AM，AN上，点E，F在∠MAN在内部的射线AD上，∠1，∠2分别是△ABE，△CAF的外角，已知AB=AC，∠1=∠2=∠BAC．求证：△ABE≌△CAF；（3）应用：如图③，在△ABC中，AB=AC，AB＞BC，点在D边BC上，CD=2BD，点E，F在线段AD上，∠1=∠2=∠BAC．若△ABC的面积为12，则△ABE与△CDF的面积之和为．参考答案一、选择题： 二、填空题： 11．解:-5x 2 y+125y=-5y(x 2-25)=-5y(x+5)(x-5)，故答案为：-5y(x+5)(x-5).12．解：故答案为：13．扩大5倍 解:把分式中的x ，y 都扩大5倍得：=，即分式的值扩大5倍，故答案为：扩大5倍. 14．x ＜2解:由函数y ＝2x 经过点A （m ，4），则2m=4，解得m=2， 则点A （2,4），不等式ax ＋6>2x 对应的即图象上一次函数y ＝2x 在一次函数y=ax ＋6下方时对应的x 的值， 此时x<2. 故答案为x<2. 15．3解:过点P 作PM ⊥AB 与点M ， ∵BD 垂直平分线段AC ， ∴AB=CB ，∴∠ABD=∠DBC ，即BD 为角平分线， 又PM ⊥AB ，PE ⊥CB ， ∴PM=PE=3．故答案为：3 16．－1 解：原式2222 1.a b b a a b b a a ba b a b a b a b a b++---+=--===------ 故答案为： 1.-17．解:如图，，，∴OB=2，AB=2，∴OA=，∴∠OAB=30°，∴∠AOB=60°，∴OA 与x 轴的正半轴所夹的角为120°，∵△ABO 绕点O 顺时针旋转120°，∴点A 的对应点A1在x 轴的正半轴上, 且OA1=OA=4 ，∴点A1的坐标为(4，0).故答案为：(4，0).18．420°解:由邻补角定义得∠AED=180°-∠1=180°-60°=120°,因为五边形的内角和是: 180°（5-2）=540°，所以∠A＋∠B＋∠C＋∠D=540°-120°=420°.故答案为：420°19．（x+y+z）（x﹣y﹣z）．解:x2-y2-z2-2yz，=x2-（y2+z2+2yz），=x2-（y+z）2，=（x+y+z）（x-y-z）．故答案为：（x+y+z）（x-y-z）．20．1．解:∵x2－12y2＝xy，∴x2－xy﹣12y2＝0，(x﹣4y)(x+3y)=0，解得x=4y，或x=﹣3y，又∵xy＞0，∴x=4y，则分式=1.故答案为1.三、解答题：21．两次分别购进这种衬衫30件和15件．解：设第一批衬衫每件进价为x 元，则第二批每件进价为（x ﹣10）元． 由题意：450012100210x x ⨯=-， 解得：x=150，经检验x=150是原方程的解，且符合题意，4500150=30件， 210015010-=15件， 答：两次分别购进这种衬衫30件和15件． 22．12解：原式=22221)111y y y y y y y ---+÷+++（ ()()211=11y y y y y -+⨯+-1=y y - 由2y+7≤12得： y≤52∵y 是正整数， ∴12y =或当1y =时，原式无意义； 当2y =时， 211=22-=原式 23．（1）40，30°；（2）结论：∠EAD=（∠C ﹣∠B ） 解：（1）∵∠B=20°，∠C=80°， ∴∠BAC=180°﹣∠B ﹣∠C=80°， ∵AE 平分∠BAC ， ∴∠EAC=∠BAC=40°， ∵AD ⊥BC ， ∴∠ADC=90°， ∵∠C=80°，∴∠CAD=90°﹣∠C=10°，∴∠EAD=∠EAC ﹣∠CAD=40°﹣10°=30°；（2）结论：∠EAD=（∠C﹣∠B）．理由：∵三角形的内角和等于180°，∴∠BAC=180°﹣∠B﹣∠C，∵AE平分∠BAC，∴∠EAC=∠BAC=（180°﹣∠B﹣∠C），∵AD⊥BC，∴∠ADC=90°，∴∠CAD=90°﹣∠C，∴∠EAD=∠EAC﹣∠CAD=（180°﹣∠B﹣∠C）﹣（90°﹣∠C）=∠C﹣∠B=（∠C﹣∠B）．故答案为：（1）40，30°；（2）结论：∠EAD=（∠C﹣∠B）. 24．解：解不等式①可得x＜21接不等式②可得x＞2-3a所以不等式组的解集是2-3a＜x＜21，因为不等式组只有4个整数解，则这4个解是20，19，18，17．所以可以得到16≤2-3a＜17，解得-5＜a≤-．25．（1）证明：∵∠EOB与∠FOD是对顶角，∴∠EOB=∠FOD，在△BEO和△DFO中,∴△BEO≌△DFO（ASA）（2）证明：由（1）可知△BEO≌△DFO，∴OE=OF，∴OA=OC，∵OB=OD，∴四边形ABCD为平行四边形．26．（1）9；（2）BE⊥AF，（3）；解：（1）由平移的性质得，AF∥BC，且AF=BC，△EFA≌△ABC，∴四边形AFBC为平行四边形，S△EFA=S△BAF=S△ABC=3，∴四边形EFBC的面积为9；（2）BE⊥AF，由（1）知四边形AFBC为平行四边形，∴BF∥AC，且BF=AC，又∵AE=CA，∴四边形EFBA为平行四边形，又∵AB=AC，∴AB=AE，∴平行四边形EFBA为菱形，∴BE⊥AF；（3）如上图，作BD⊥AC于D，∵∠BEC=15°，AE=AB，∴∠EBA=∠BEC=15°，∴∠BAC=2∠BEC=30°，∴在Rt△BAD中，AB=2BD，设BD=x，则AC=AB=2x，∵S△ABC=3，且S△ABC=AC•BD=•2x•x=x2，∴x2=3，∵x为正数，∴x=，27．（1）（x2+8+4x）（x2+8﹣4x）；（2）（x2+y2+xy）（x2+y2﹣xy）.解：（1）原式＝x4+16x2+64﹣16x2＝（x2+8）2﹣16x2＝（x2+8+4x）（x2+8﹣4x）；（2）原式＝x4+2x2y2+y4﹣x2y2＝（x2+y2）2﹣x2y2＝（x2+y2+xy）（x2+y2﹣xy）. 28．（1）证明：∵AB⊥AD，BF⊥AF，∴∠DAG+∠BAF=90°，∠B+∠BAF=90°，∴∠DAG=∠B，在△ADG和△BAF中，，∴△ADG≌△BAF（AAS）；（2）∵∠1=∠2，∴∠AEB=∠CFA，∠1=∠ABE+∠BAE，∠BAC=∠CAF+∠BAE，∠1=∠BAC，∴∠ABE=∠CAF，在△ABE和△CAF中，，∴△ABE≌△CAF（AAS）；（3）∵CD=2BD，∴S△ADC=S△ABC=8，由（2）得，△ABE≌△CAF，∴△ABE与△CDF的面积之和=△CAF与△CDF的面积之和=S△ADC=8，故答案为：8．。
初中数学 北师大版九年级下册同步测试(优选5年真题,含解析)1.4解直角三角形
1.4 解直角三角形一．选择题（共18小题）1．（2019•营口）如图，在四边形ABCD中，∠DAB＝90°，AD∥BC，BC＝AD，AC与BD交于点E，AC⊥BD，则tan∠BAC的值是（）A．B．C．D．2．（2019•湘西州）如图，在△ABC中，∠C＝90°，AC＝12，AB的垂直平分线EF交AC 于点D，连接BD，若cos∠BDC＝，则BC的长是（）A．10 B．8 C．4D．2 3．（2019•宜昌）如图，在5×4的正方形网格中，每个小正方形的边长都是1，△ABC的顶点都在这些小正方形的顶点上，则sin∠BAC的值为（）A．B．C．D．4．（2019•长沙）如图，△ABC中，AB＝AC＝10，tan A＝2，BE⊥AC于点E，D是线段BE 上的一个动点，则CD+BD的最小值是（）A．2B．4C．5D．10 5．（2019•凉山州）如图，在△ABC中，CA＝CB＝4，cos C＝，则sin B的值为（）A．B．C．D．6．（2019•自贡）如图，已知A、B两点的坐标分别为（8，0）、（0，8），点C、F分别是直线x＝﹣5和x轴上的动点，CF＝10，点D是线段CF的中点，连接AD交y轴于点E，当△ABE面积取得最小值时，tan∠BAD的值是（）A．B．C．D．7．（2017•杭州）如图，在△ABC中，AB＝AC，BC＝12，E为AC边的中点，线段BE的垂直平分线交边BC于点D．设BD＝x，tan∠ACB＝y，则（）A．x﹣y2＝3 B．2x﹣y2＝9 C．3x﹣y2＝15 D．4x﹣y2＝21 8．（2017•滨州）如图，在△ABC中，AC⊥BC，∠ABC＝30°，点D是CB延长线上的一点，且BD＝BA，则tan∠DAC的值为（）A．2+B．2C．3+D．3 9．（2016•牡丹江）如图，在△ABC中，AD⊥BC，垂足为点D，若AC＝6，∠C＝45°，tan∠ABC＝3，则BD等于（）A．2 B．3 C．3D．2 10．（2016•绵阳）如图，△ABC中AB＝AC＝4，∠C＝72°，D是AB中点，点E在AC上，DE⊥AB，则cos A的值为（）A．B．C．D．11．（2016•绍兴）如图，在Rt△ABC中，∠B＝90°，∠A＝30°，以点A为圆心，BC长为半径画弧交AB于点D，分别以点A、D为圆心，AB长为半径画弧，两弧交于点E，连接AE，DE，则∠EAD的余弦值是（）A．B．C．D．12．（2016•沈阳）如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠B＝30°，AB＝8，则BC的长是（）A．B．4 C．8D．4 13．（2016•兰州）在Rt△ABC中，∠C＝90°，sin A＝，BC＝6，则AB＝（）A．4 B．6 C．8 D．10 14．（2016•怀化）在Rt△ABC中，∠C＝90°，sin A＝，AC＝6cm，则BC的长度为（）A．6cm B．7cm C．8cm D．9cm 15．（2016•福州）如图，以原点O为圆心，半径为1的弧交坐标轴于A，B两点，P是上一点（不与A，B重合），连接OP，设∠POB＝α，则点P的坐标是（）A．（sinα，sinα）B．（cosα，cosα）C．（cosα，sinα）D．（sinα，cosα）16．（2015•南通）如图，在平面直角坐标系中，直线OA过点（2，1），则tanα的值是（）A．B．C．D．2 17．（2015•牡丹江）在△ABC中，AB＝12，AC＝13，cos∠B＝，则BC边长为（）A．7 B．8 C．8或17 D．7或17 18．（2015•日照）如图，在直角△BAD中，延长斜边BD到点C，使DC＝BD，连接AC，若tan B＝，则tan∠CAD的值（）A．B．C．D．二．填空题（共23小题）19．（2019•鄂尔多斯）如果三角形有一边上的中线长等于这边的长，那么称这个三角形为“好玩三角形”．若Rt△ABC是“好玩三角形”，且∠A＝90°，则tan∠ABC＝．20．（2019•柳州）如图，在△ABC中，sin B＝，tan C＝，AB＝3，则AC的长为．21．（2019•舟山）如图，在△ABC中，若∠A＝45°，AC2﹣BC2＝AB2，则tan C＝．22．（2019•宿迁）如图，∠MAN＝60°，若△ABC的顶点B在射线AM上，且AB＝2，点C在射线AN上运动，当△ABC是锐角三角形时，BC的取值范围是．23．（2019•乐山）如图，在△ABC中，∠B＝30°，AC＝2，cos C＝．则AB边的长为．24．（2019•盐城）如图，在△ABC中，BC＝+，∠C＝45°，AB＝AC，则AC的长为．25．（2019•绵阳）在△ABC中，若∠B＝45°，AB＝10，AC＝5，则△ABC的面积是．26．（2018•德阳）如图，点D为△ABC的AB边上的中点，点E为AD的中点，△ADC为正三角形，给出下列结论，①CB＝2CE，②tan∠B＝，③∠ECD＝∠DCB，④若AC ＝2，点P是AB上一动点，点P到AC、BC边的距离分别为d1，d2，则d12+d22的最小值是3．其中正确的结论是（填写正确结论的序号）．27．（2018•齐齐哈尔）四边形ABCD中，BD是对角线，∠ABC＝90°，tan∠ABD＝，AB ＝20，BC＝10，AD＝13，则线段CD＝．28．（2018•泰安）如图，在△ABC中，AC＝6，BC＝10，tan C＝，点D是AC边上的动点（不与点C重合），过D作DE⊥BC，垂足为E，点F是BD的中点，连接EF，设CD ＝x，△DEF的面积为S，则S与x之间的函数关系式为．29．（2018•无锡）已知△ABC中，AB＝10，AC＝2，∠B＝30°，则△ABC的面积等于．30．（2018•眉山）如图，在边长为1的小正方形网格中，点A、B、C、D都在这些小正方形的顶点上，AB、CD相交于点O，则tan∠AOD＝．31．（2018•德州）如图，在4×4的正方形方格图形中，小正方形的顶点称为格点，△ABC 的顶点都在格点上，则∠BAC的正弦值是．32．（2017•铜仁市）如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，点D是AB的中点，ED⊥AB交AC于点E．设∠A＝α，且tanα＝，则tan2α＝．33．（2017•黑龙江）△ABC中，AB＝12，AC＝，∠B＝30°，则△ABC的面积是．34．（2017•广州）如图，Rt△ABC中，∠C＝90°，BC＝15，tan A＝，则AB＝．35．（2017•无锡）在如图的正方形方格纸中，每个小的四边形都是相同的正方形，A，B，C，D都在格点处，AB与CD相交于O，则tan∠BOD的值等于．36．（2017•嘉兴）如图，把n个边长为1的正方形拼接成一排，求得tan∠BA1C＝1，tan∠BA2C＝，tan∠BA3C＝，计算tan∠BA4C＝，…按此规律，写出tan∠BA n C ＝（用含n的代数式表示）．37．（2016•盐城）已知△ABC中，tan B＝，BC＝6，过点A作BC边上的高，垂足为点D，且满足BD：CD＝2：1，则△ABC面积的所有可能值为．38．（2016•舟山）如图，在直角坐标系中，点A，B分别在x轴，y轴上，点A的坐标为（﹣1，0），∠ABO＝30°，线段PQ的端点P从点O出发，沿△OBA的边按O→B→A→O 运动一周，同时另一端点Q随之在x轴的非负半轴上运动，如果PQ＝，那么当点P 运动一周时，点Q运动的总路程为．39．（2016•临夏州）如图，点A（3，t）在第一象限，OA与x轴所夹的锐角为α，tanα＝，则t的值是．40．（2015•香坊区）如图，△ABC中，AD平分∠BAC，AC＝AD＝2，AB＝3，cos∠ABC的值为．41．（2015•齐齐哈尔）BD为等腰△ABC的腰AC上的高，BD＝1，tan∠ABD＝，则CD 的长为．三．解答题（共9小题）42．（2019•梧州）如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，D为BC上一点，AB＝5，BD＝1，tan B＝．（1）求AD的长；（2）求sinα的值．43．（2018•赤峰）阅读下列材料：如图1，在△ABC中，∠A、∠B、∠C所对的边分别为a、b、c，可以得到：S△ABC＝ab sin C＝ac sin B＝bc sin A证明：过点A作AD⊥BC，垂足为D．在Rt△ABD中，sin B＝∴AD＝c•sin B∴S△ABC＝a•AD＝ac sin B同理：S△ABC＝ab sin CS△ABC＝bc sin A∴S△ABC＝ab sin C＝ac sin B＝bc sin A（1）通过上述材料证明：＝＝（2）运用（1）中的结论解决问题：如图2，在△ABC中，∠B＝15°，∠C＝60°，AB＝20，求AC的长度．（3）如图3，为了开发公路旁的城市荒地，测量人员选择A、B、C三个测量点，在B点测得A在北偏东75°方向上，沿笔直公路向正东方向行驶18km到达C点，测得A在北偏西45°方向上，根据以上信息，求A、B、C三点围成的三角形的面积．（本题参考数值：sin15°≈0.3，sin120°≈0.9，≈1.4，结果取整数）44．（2018•贵阳）如图①，在Rt△ABC中，以下是小亮探究与之间关系的方法：∵sin A＝，sin B＝∴c＝，c＝∴＝根据你掌握的三角函数知识．在图②的锐角△ABC中，探究、、之间的关系，并写出探究过程．45．（2018•上海）如图，已知△ABC中，AB＝BC＝5，tan∠ABC＝．（1）求边AC的长；（2）设边BC的垂直平分线与边AB的交点为D，求的值．46．（2018•自贡）如图，在△ABC中，BC＝12，tan A＝，∠B＝30°；求AC和AB的长．47．（2017•黔西南州）把（sinα）2记作sin2α，根据图1和图2完成下列各题．（1）sin2A1+cos2A1＝，sin2A2+cos2A2＝，sin2A3+cos2A3＝；（2）观察上述等式猜想：在Rt△ABC中，∠C＝90°，总有sin2A+cos2A＝；（3）如图2，在Rt△ABC中证明（2）题中的猜想：（4）已知在△ABC中，∠A+∠B＝90°，且sin A＝，求cos A．48．（2017•湘潭）某游乐场部分平面图如图所示，C、E、A在同一直线上，D、E、B在同一直线上，测得A处与E处的距离为80 米，C处与D处的距离为34米，∠C＝90°，∠ABE＝90°，∠BAE＝30°．（≈1.4，≈1.7）（1）求旋转木马E处到出口B处的距离；（2）求海洋球D处到出口B处的距离（结果保留整数）．49．（2016•遂宁）已知：如图1，在锐角△ABC中，AB＝c，BC＝a，AC＝b，AD⊥BC于D．在Rt△ABD中，sin∠B＝，则AD＝c sin∠B；在Rt△ACD中，sin∠C＝，则AD＝；所以，c sin∠B＝b sin∠C，即，，进一步即得正弦定理：（此定理适合任意锐角三角形）．参照利用正弦定理解答下题：如图2，在△ABC中，∠B＝75°，∠C＝45°，BC＝2，求AB的长．50．（2016•厦门）如图，在四边形ABCD中，∠BCD是钝角，AB＝AD，BD平分∠ABC，若CD＝3，BD＝，sin∠DBC＝，求对角线AC的长．1.4 解直角三角形参考答案与试题解析一．选择题（共18小题）1．（2019•营口）如图，在四边形ABCD中，∠DAB＝90°，AD∥BC，BC＝AD，AC与BD交于点E，AC⊥BD，则tan∠BAC的值是（）A．B．C．D．解：∵AD∥BC，∠DAB＝90°，∴∠ABC＝180°﹣∠DAB＝90°，∠BAC+∠EAD＝90°，∵AC⊥BD，∴∠AED＝90°，∴∠ADB+∠EAD＝90°，∴∠BAC＝∠ADB，∴△ABC∽△DAB，∴＝，∵BC＝AD，∴AD＝2BC，∴AB2＝BC×AD＝BC×2BC＝2BC2，∴AB＝BC，在Rt△ABC中，tan∠BAC＝＝＝；故选C．2．（2019•湘西州）如图，在△ABC中，∠C＝90°，AC＝12，AB的垂直平分线EF交AC 于点D，连接BD，若cos∠BDC＝，则BC的长是（）A．10 B．8 C．4D．2解：∵∠C＝90°，cos∠BDC＝，设CD＝5x，BD＝7x，∴BC＝2x，∵AB的垂直平分线EF交AC于点D，∴AD＝BD＝7x，∴AC＝12x，∵AC＝12，∴x＝1，∴BC＝2；故选D．3．（2019•宜昌）如图，在5×4的正方形网格中，每个小正方形的边长都是1，△ABC的顶点都在这些小正方形的顶点上，则sin∠BAC的值为（）A．B．C．D．解：如图，过C作CD⊥AB于D，则∠ADC＝90°，∴AC＝＝＝5．∴sin∠BAC＝＝．故选D．4．（2019•长沙）如图，△ABC中，AB＝AC＝10，tan A＝2，BE⊥AC于点E，D是线段BE 上的一个动点，则CD+BD的最小值是（）A．2B．4C．5D．10解：如图，作DH⊥AB于H，CM⊥AB于M．∵BE⊥AC，∴∠AEB＝90°，∵tan A＝＝2，设AE＝a，BE＝2a，则有：100＝a2+4a2，∴a2＝20，∴a＝2或﹣2（舍弃），∴BE＝2a＝4，∵AB＝AC，BE⊥AC，CM⊥AB，∴CM＝BE＝4（等腰三角形两腰上的高相等））∵∠DBH＝∠ABE，∠BHD＝∠BEA，∴sin∠DBH＝＝＝，∴DH＝BD，∴CD+BD＝CD+DH，∴CD+DH≥CM，∴CD+BD≥4，∴CD+BD的最小值为4．故选B．5．（2019•凉山州）如图，在△ABC中，CA＝CB＝4，cos C＝，则sin B的值为（）A．B．C．D．解：过点A作AD⊥BC，垂足为D，如图所示．在Rt△ACD中，CD＝CA•cos C＝1，∴AD＝＝；在Rt△ABD中，BD＝CB﹣CD＝3，AD＝，∴AB＝＝2，∴sin B＝＝．故选D．6．（2019•自贡）如图，已知A、B两点的坐标分别为（8，0）、（0，8），点C、F分别是直线x＝﹣5和x轴上的动点，CF＝10，点D是线段CF的中点，连接AD交y轴于点E，当△ABE面积取得最小值时，tan∠BAD的值是（）A．B．C．D．解：如图，设直线x＝﹣5交x轴于K．由题意KD＝CF＝5，∴点D的运动轨迹是以K为圆心，5为半径的圆，∴当直线AD与⊙K相切时，△ABE的面积最小，∵AD是切线，点D是切点，∴AD⊥KD，∵AK＝13，DK＝5，∴AD＝12，∵tan∠EAO＝＝，∴＝，∴OE＝，∴AE＝＝，作EH⊥AB于H．∵S△ABE＝•AB•EH＝S△AOB﹣S△AOE，∴EH＝，∴AH＝＝，∴tan∠BAD＝＝＝，故选B．7．（2017•杭州）如图，在△ABC中，AB＝AC，BC＝12，E为AC边的中点，线段BE的垂直平分线交边BC于点D．设BD＝x，tan∠ACB＝y，则（）A．x﹣y2＝3 B．2x﹣y2＝9 C．3x﹣y2＝15 D．4x﹣y2＝21解：过A作AQ⊥BC于Q，过E作EM⊥BC于M，连接DE，∵BE的垂直平分线交BC于D，BD＝x，∴BD＝DE＝x，∵AB＝AC，BC＝12，tan∠ACB＝y，∴＝＝y，BQ＝CQ＝6，∴AQ＝6y，∵AQ⊥BC，EM⊥BC，∴AQ∥EM，∵E为AC中点，∴CM＝QM＝CQ＝3，∴EM＝3y，∴DM＝12﹣3﹣x＝9﹣x，在Rt△EDM中，由勾股定理得x2＝（3y）2+（9﹣x）2，即2x﹣y2＝9，故选B．8．（2017•滨州）如图，在△ABC中，AC⊥BC，∠ABC＝30°，点D是CB延长线上的一点，且BD＝BA，则tan∠DAC的值为（）A．2+B．2C．3+D．3解：如图，∵在△ABC中，AC⊥BC，∠ABC＝30°，∴AB＝2AC，BC＝＝AC．∵BD＝BA，∴DC＝BD+BC＝（2+）AC，∴tan∠DAC＝＝＝2+．故选A．9．（2016•牡丹江）如图，在△ABC中，AD⊥BC，垂足为点D，若AC＝6，∠C＝45°，tan∠ABC＝3，则BD等于（）A．2 B．3 C．3D．2解：∵AC＝6，∠C＝45°，∴AD＝AC•sin45°＝6×＝6，∵tan∠ABC＝3，∴＝3，∴BD＝＝2，故选A．10．（2016•绵阳）如图，△ABC中AB＝AC＝4，∠C＝72°，D是AB中点，点E在AC上，DE⊥AB，则cos A的值为（）A．B．C．D．解：∵△ABC中，AB＝AC＝4，∠C＝72°，∴∠ABC＝∠C＝72°，∠A＝36°，∵D是AB中点，DE⊥AB，∴AE＝BE，∴∠ABE＝∠A＝36°，∴∠EBC＝∠ABC﹣∠ABE＝36°，∠BEC＝180°﹣∠EBC﹣∠C＝72°，∴∠BEC＝∠C＝72°，∴BE＝BC，∴AE＝BE＝BC．设AE＝x，则BE＝BC＝x，EC＝4﹣x．在△BCE与△ABC中，，∴△BCE∽△ABC，∴＝，即＝，解得x＝﹣2±2（负值舍去），∴AE＝﹣2+2．在△ADE中，∵∠ADE＝90°，∴cos A＝＝＝．故选C．11．（2016•绍兴）如图，在Rt△ABC中，∠B＝90°，∠A＝30°，以点A为圆心，BC长为半径画弧交AB于点D，分别以点A、D为圆心，AB长为半径画弧，两弧交于点E，连接AE，DE，则∠EAD的余弦值是（）A．B．C．D．解：如图所示：设BC＝x，∵在Rt△ABC中，∠B＝90°，∠A＝30°，∴AC＝2BC＝2x，AB＝BC＝x，根据题意得AD＝BC＝x，AE＝DE＝AB＝x，作EM⊥AD于M，则AM＝AD＝x，在Rt△AEM中，cos∠EAD＝＝＝；故选B．12．（2016•沈阳）如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠B＝30°，AB＝8，则BC的长是（）A．B．4 C．8D．4解：∵在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠B＝30°，AB＝8，cos B＝，即cos30°＝，∴BC＝8×＝4；故选D．13．（2016•兰州）在Rt△ABC中，∠C＝90°，sin A＝，BC＝6，则AB＝（）A．4 B．6 C．8 D．10解：在Rt△ABC中，∠C＝90°，sin A＝＝，BC＝6，∴AB＝＝＝10，故选D．14．（2016•怀化）在Rt△ABC中，∠C＝90°，sin A＝，AC＝6cm，则BC的长度为（）A．6cm B．7cm C．8cm D．9cm解：∵sin A＝＝，∴设BC＝4x，AB＝5x，又∵AC2+BC2＝AB2，∴62+（4x）2＝（5x）2，解得x＝2或x＝﹣2（舍），则BC＝4x＝8cm，故选C．15．（2016•福州）如图，以原点O为圆心，半径为1的弧交坐标轴于A，B两点，P是上一点（不与A，B重合），连接OP，设∠POB＝α，则点P的坐标是（）A．（sinα，sinα）B．（cosα，cosα）C．（cosα，sinα）D．（sinα，cosα）解：过P作PQ⊥OB，交OB于点Q，在Rt△OPQ中，OP＝1，∠POQ＝α，∴sinα＝，cosα＝，即PQ＝sinα，OQ＝cosα，则P的坐标为（cosα，sinα），故选C．16．（2015•南通）如图，在平面直角坐标系中，直线OA过点（2，1），则tanα的值是（）A．B．C．D．2解：设（2，1）点是B，作BC⊥x轴于点C．则OC＝2，BC＝1，则tanα＝＝．故选C．17．（2015•牡丹江）在△ABC中，AB＝12，AC＝13，cos∠B＝，则BC边长为（）A．7 B．8 C．8或17 D．7或17解：∵cos∠B＝，∴∠B＝45°，当△ABC为钝角三角形时，如图1，∵AB＝12，∠B＝45°，∴AD＝BD＝12，∵AC＝13，∴由勾股定理得CD＝5，∴BC＝BD﹣CD＝12﹣5＝7；当△ABC为锐角三角形时，如图2，BC＝BD+CD＝12+5＝17，故选D．18．（2015•日照）如图，在直角△BAD中，延长斜边BD到点C，使DC＝BD，连接AC，若tan B＝，则tan∠CAD的值（）A．B．C．D．解：如图，延长AD，过点C作CE⊥AD，垂足为E，∵tan B＝，即＝，∴设AD＝5x，则AB＝3x，∵∠CDE＝∠BDA，∠CED＝∠BAD，∴△CDE∽△BDA，∴，∴CE＝x，DE＝，∴AE＝，∴tan∠CAD＝＝．故选D．二．填空题（共23小题）19．（2019•鄂尔多斯）如果三角形有一边上的中线长等于这边的长，那么称这个三角形为“好玩三角形”．若Rt△ABC是“好玩三角形”，且∠A＝90°，则tan∠ABC＝或．解：①如图1中，在Rt△ABC中，∠A＝90°，CE是△ABC的中线，设AB＝EC＝2a，则AE＝EB＝a，AC ＝a，∴tan∠ABC＝＝．②如图2中，在Rt△ABC中，∠A＝90°，BE是△ABC的中线，设EB＝AC＝2a，则AE＝EC＝a，AB ＝a，∴tan∠ABC＝＝．，故答案为或．20．（2019•柳州）如图，在△ABC中，sin B＝，tan C＝，AB＝3，则AC的长为．解：过A作AD⊥BC，在Rt△ABD中，sin B＝，AB＝3，∴AD＝AB•sin B＝1，在Rt△ACD中，tan C＝，∴＝，即CD＝，根据勾股定理得AC＝＝＝，故答案为21．（2019•舟山）如图，在△ABC中，若∠A＝45°，AC2﹣BC2＝AB2，则tan C＝．解：如图，过B作BD⊥AC于D，∵∠A＝45°，∴∠ABD＝∠A＝45°，∴AD＝BD．∵∠ADB＝∠CDB＝90°，∴AB2＝AD2+DB2＝2BD2，BC2＝DC2+BD2，∴AC2﹣BC2＝（AD+DC）2﹣（DC2+BD2）＝AD2+DC2+2AD•DC﹣DC2﹣BD2＝2AD•DC＝2BD•DC，∵AC2﹣BC2＝AB2，∴2BD•DC＝×2BD2，∴DC＝BD，∴tan C＝＝＝．故答案为．22．（2019•宿迁）如图，∠MAN＝60°，若△ABC的顶点B在射线AM上，且AB＝2，点C在射线AN上运动，当△ABC是锐角三角形时，BC的取值范围是＜BC＜．解：如图，过点B作BC1⊥AN，垂足为C1，BC2⊥AM，交AN于点C2在Rt△ABC1中，AB＝2，∠A＝60°∴∠ABC1＝30°∴AC1＝AB＝1，由勾股定理得BC1＝，在Rt△ABC2中，AB＝2，∠A＝60°∴∠AC2B＝30°∴AC2＝4，由勾股定理得BC2＝2，当△ABC是锐角三角形时，点C在C1C2上移动，此时＜BC＜2．故答案为＜BC＜2．23．（2019•乐山）如图，在△ABC中，∠B＝30°，AC＝2，cos C＝．则AB边的长为．解：如图，作AH⊥BC于H．在Rt△ACH中，∵∠AHC＝90°，AC＝2，cos C＝，∴＝，∴CH＝，∴AH＝＝＝，在Rt△ABH中，∵∠AHB＝90°，∠B＝30°，∴AB＝2AH＝，故答案为．24．（2019•盐城）如图，在△ABC中，BC＝+，∠C＝45°，AB＝AC，则AC的长为2．解：过点A作AD⊥BC，垂足为点D，如图所示．设AC＝x，则AB＝x．在Rt△ACD中，AD＝AC•sin C＝x，CD＝AC•cos C＝x；在Rt△ABD中，AB＝x，AD＝x，∴BD＝＝x．∴BC＝BD+CD＝x+x＝+，∴x＝2．故答案为2．25．（2019•绵阳）在△ABC中，若∠B＝45°，AB＝10，AC＝5，则△ABC的面积是75或25．解：过点A作AD⊥BC，垂足为D，如图所示．在Rt△ABD中，AD＝AB•sin B＝10，BD＝AB•cos B＝10；在Rt△ACD中，AD＝10，AC＝5，∴CD＝＝5，∴BC＝BD+CD＝15或BC＝BD﹣CD＝5，∴S△ABC＝BC•AD＝75或25．故答案为75或25．26．（2018•德阳）如图，点D为△ABC的AB边上的中点，点E为AD的中点，△ADC为正三角形，给出下列结论，①CB＝2CE，②tan∠B＝，③∠ECD＝∠DCB，④若AC ＝2，点P是AB上一动点，点P到AC、BC边的距离分别为d1，d2，则d12+d22的最小值是3．其中正确的结论是①③④（填写正确结论的序号）．解：∵D是AB中点∴AD＝BD∵△ACD是等边三角形，E是AD中点∴AD＝CD，∠ADC＝60°＝∠ACD，CE⊥AB，∠DCE＝30°∴CD＝BD∴∠B＝∠DCB＝30°，且∠DCE＝30°，CE⊥AB∴∠ECD＝∠DCB，BC＝2CE，tan∠B＝故①③正确，②错误∵∠DCB＝30°，∠ACD＝60°∴∠ACB＝90°若AC＝2，点P是AB上一动点，点P到AC、BC边的距离分别为d1，d2，∴四边形PMCN是矩形∴MN＝CP∵d12+d22＝MN2＝CP2∴当CP为最小值，d12+d22的值最小∴根据垂线段最短，则当CP⊥AB时，d12+d22的值最小此时：∠CAB＝60°，AC＝2，CP⊥AB∴CP＝∴d12+d22＝MN2＝CP2＝3即d12+d22的最小值为3故④正确故答案为①③④27．（2018•齐齐哈尔）四边形ABCD中，BD是对角线，∠ABC＝90°，tan∠ABD＝，AB ＝20，BC＝10，AD＝13，则线段CD＝17或．解：当∠ADB为锐角时，作AH⊥BD于H，CG⊥BD于G，∵tan∠ABD＝，∴＝，设AH＝3x，则BH＝4x，由勾股定理得，（3x）2+（4x）2＝202，解得，x＝4，则AH＝12，BH＝16，在Rt△AHD中，HD＝＝5，∴BD＝BH+HD＝21，∵∠ABD+∠CBD＝90°，∠BCG+∠CBD＝90°，∴∠ABD＝∠BCG，∴＝，又BC＝10，∴BG＝6，CG＝8，∴DG＝BD﹣BG＝15，∴CD＝＝17，当∠ADB为钝角时，CD′＝＝，故答案为17或．28．（2018•泰安）如图，在△ABC中，AC＝6，BC＝10，tan C＝，点D是AC边上的动点（不与点C重合），过D作DE⊥BC，垂足为E，点F是BD的中点，连接EF，设CD ＝x，△DEF的面积为S，则S与x之间的函数关系式为S＝x2．解：在Rt△CDE中，tan C＝，CD＝x∴DE＝x，CE＝x，∴BE＝10﹣x，∴S△BED＝×（10﹣x）•x＝﹣x2+3x．∵DF＝BF，∴S＝S△BED＝x2，故答案为S＝x2．29．（2018•无锡）已知△ABC中，AB＝10，AC＝2，∠B＝30°，则△ABC的面积等于15或10．解：作AD⊥BC交BC（或BC延长线）于点D，①如图1，当AB、AC位于AD异侧时，在Rt△ABD中，∵∠B＝30°，AB＝10，∴AD＝AB sin B＝5，BD＝AB cos B＝5，在Rt△ACD中，∵AC＝2，∴CD＝＝＝，则BC＝BD+CD＝6，∴S△ABC＝•BC•AD＝×6×5＝15；②如图2，当AB、AC在AD的同侧时，由①知，BD＝5，CD＝，则BC＝BD﹣CD＝4，∴S△ABC＝•BC•AD＝×4×5＝10．综上，△ABC的面积是15或10，故答案为15或10．30．（2018•眉山）如图，在边长为1的小正方形网格中，点A、B、C、D都在这些小正方形的顶点上，AB、CD相交于点O，则tan∠AOD＝2．解：如图，连接BE，∵四边形BCEK是正方形，∴KF＝CF＝CK，BF＝BE，CK＝BE，BE⊥CK，∴BF＝CF，根据题意得AC∥BK，∴△ACO∽△BKO，∴KO：CO＝BK：AC＝1：3，∴KO：KF＝1：2，∴KO＝OF＝CF＝BF，在Rt△OBF中，tan∠BOF＝＝2，∵∠AOD＝∠BOF，∴tan∠AOD＝2．故答案为231．（2018•德州）如图，在4×4的正方形方格图形中，小正方形的顶点称为格点，△ABC的顶点都在格点上，则∠BAC的正弦值是．解：∵AB2＝32+42＝25、AC2＝22+42＝20、BC2＝12+22＝5，∴AC2+BC2＝AB2，∴△ABC为直角三角形，且∠ACB＝90°，则sin∠BAC＝＝，故答案为．32．（2017•铜仁市）如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，点D是AB的中点，ED⊥AB交AC于点E．设∠A＝α，且tanα＝，则tan2α＝．解：连接BE，∵点D是AB的中点，ED⊥AB，∠A＝α，∴ED是AB的垂直平分线，∴EB＝EA，∴∠EBA＝∠A＝α，∴∠BEC＝2α，∵tanα＝，设DE＝a，∴AD＝3a，AE＝，∴AB＝6a，∴BC＝，AC＝∴CE＝AC﹣AE＝，∴tan2α＝，故答案为．33．（2017•黑龙江）△ABC中，AB＝12，AC＝，∠B＝30°，则△ABC的面积是21或15．解：①如图1，作AD⊥BC，垂足为点D，在Rt△ABD中，∵AB＝12、∠B＝30°，∴AD＝AB＝6，BD＝AB cos B＝12×＝6，在Rt△ACD中，CD＝＝＝，∴BC＝BD+CD＝6+＝7，则S△ABC＝×BC×AD＝×7×6＝21；②如图2，作AD⊥BC，交BC延长线于点D，由①知，AD＝6、BD＝6、CD＝，则BC＝BD﹣CD＝5，∴S△ABC＝×BC×AD＝×5×6＝15，故答案为21或15．34．（2017•广州）如图，Rt△ABC中，∠C＝90°，BC＝15，tan A＝，则AB＝17．解：∵Rt△ABC中，∠C＝90°，tan A＝，BC＝15，∴＝，解得AC＝8，根据勾股定理得，AB＝＝＝17．故答案为17．35．（2017•无锡）在如图的正方形方格纸中，每个小的四边形都是相同的正方形，A，B，C，D都在格点处，AB与CD相交于O，则tan∠BOD的值等于3．解：方法一：平移CD到C′D′交AB于O′，如右图所示，则∠BO′D′＝∠BOD，∴tan∠BOD＝tan∠BO′D′，设每个小正方形的边长为a，则O′B＝，O′D′＝，BD′＝3a，作BE⊥O′D′于点E，则BE＝，∴O′E＝＝，∴tan BO′E＝，∴tan∠BOD＝3，故答案为3．方法二：连接AM、NL，在△CAH中，AC＝AH，则AM⊥CH，同理，在△MNH中，NM＝NH，则NL⊥MH，∴∠AMO＝∠NLO＝90°，∵∠AOM＝∠NOL，∴△AOM∽△NOL，∴，设图中每个小正方形的边长为a，则AM＝2a，NL＝a，∴＝2，∴，∴，∵NL＝LM，∴，∴tan∠BOD＝tan∠NOL＝＝3，故答案为3．方法三：连接AE、EF，如右图所示，则AE∥CD，∴∠F AE＝∠BOD，设每个小正方形的边长为a，则AE＝，AF＝，EF＝a，∵，∴△F AE是直角三角形，∠FEA＝90°，∴tan∠F AE＝，即tan∠BOD＝3，故答案为3．36．（2017•嘉兴）如图，把n个边长为1的正方形拼接成一排，求得tan∠BA1C＝1，tan∠BA2C＝，tan∠BA3C＝，计算tan∠BA4C＝，…按此规律，写出tan∠BA n C＝（用含n的代数式表示）．解：作CH⊥BA4于H，由勾股定理得，BA4＝＝，A4C＝，△BA4C的面积＝4﹣2﹣＝，∴××CH＝，解得，CH＝，则A4H＝＝，∴tan∠BA4C＝＝，1＝12﹣1+1，3＝22﹣2+1，7＝32﹣3+1，∴tan∠BA n C＝，故答案为；．37．（2016•盐城）已知△ABC中，tan B＝，BC＝6，过点A作BC边上的高，垂足为点D，且满足BD：CD＝2：1，则△ABC面积的所有可能值为8或24．解：如图1所示：∵BC＝6，BD：CD＝2：1，∴BD＝4，∵AD⊥BC，tan B＝，∴＝，∴AD＝BD＝，∴S△ABC＝BC•AD＝×6×＝8；如图2所示：∵BC＝6，BD：CD＝2：1，∴BD＝12，∵AD⊥BC，tan B＝，∴＝，∴AD＝BD＝8，∴S△ABC＝BC•AD＝×6×8＝24；综上，△ABC面积的所有可能值为8或24，故答案为8或24．38．（2016•舟山）如图，在直角坐标系中，点A，B分别在x轴，y轴上，点A的坐标为（﹣1，0），∠ABO＝30°，线段PQ的端点P从点O出发，沿△OBA的边按O→B→A→O 运动一周，同时另一端点Q随之在x轴的非负半轴上运动，如果PQ＝，那么当点P 运动一周时，点Q运动的总路程为4．解：在Rt△AOB中，∵∠ABO＝30°，AO＝1，∴AB＝2，BO＝＝，①当点P从O→B时，如图1、图2所示，点Q运动的路程为，②如图3所示，QC⊥AB，则∠ACQ＝90°，即PQ运动到与AB垂直时，垂足为P，当点P从B→C时，∵∠ABO＝30°∴∠BAO＝60°∴∠OQD＝90°﹣60°＝30°∴cos30°＝∴AQ＝＝2∴OQ＝2﹣1＝1则点Q运动的路程为QO＝1，③当点P从C→A时，如图3所示，点Q运动的路程为QQ′＝2﹣，④当点P从A→O时，点Q运动的路程为AO＝1，∴点Q运动的总路程为+1+2﹣+1＝4故答案为439．（2016•临夏州）如图，点A（3，t）在第一象限，OA与x轴所夹的锐角为α，tanα＝，则t的值是．解：过点A作AB⊥x轴于B，∵点A（3，t）在第一象限，∴AB＝t，OB＝3，又∵tanα＝＝＝，∴t＝．故答案为．40．（2015•香坊区）如图，△ABC中，AD平分∠BAC，AC＝AD＝2，AB＝3，cos∠ABC的值为．解：∵AD平分∠BAC，∴＝，∴设BD＝3x，CD＝2x，过AE⊥CD于E，∵AD＝AC，∴DE＝CE＝x，∴BE＝4x，∴AB2﹣BE2＝AC2﹣CE2，∴32﹣（4x）2＝22﹣x2，∴x＝，∴BE＝，∴cos∠ABC＝，故答案为．41．（2015•齐齐哈尔）BD为等腰△ABC的腰AC上的高，BD＝1，tan∠ABD＝，则CD 的长为2或2﹣或．解：分三种情况：①如图1，∠A为钝角，AB＝AC，在R t△ABD中，∵BD＝1，tan∠ABD＝，∴AD＝，AB＝2，∴AC＝2，∴CD＝2+，②如图2，∠A为锐角，AB＝AC，在R t△ABD中，∵BD＝1，tan∠ABD＝，∴AD＝，AB＝2，∴AC＝2，∴CD＝2﹣，③如图3，∠A为底角，∵tan∠ABD＝，∴∠ABD＝60°，∴∠A＝30°，∴∠C＝120°，∴∠BCD＝60°∵BD＝1，∴CD＝；④∠C为锐角且为顶角时，如图4，∵BD⊥AC，∴∠ADB＝90°，∵tan∠ABD＝，∴∠ABD＝60°，∴∠A＝30°，∵∠CBA＝∠A＝30°，∴∠C＝120°＞90°，∴这种情况不存在；综上所述；CD的长为2或2﹣或，故答案为2或2﹣或．三．解答题（共9小题）42．（2019•梧州）如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，D为BC上一点，AB＝5，BD＝1，tan B＝．（1）求AD的长；（2）求sinα的值．解：（1）∵tan B＝，可设AC＝3x，得BC＝4x，∵AC2+BC2＝AB2，∴（3x）2+（4x）2＝52，解得，x＝﹣1（舍去），或x＝1，∴AC＝3，BC＝4，∵BD＝1，∴CD＝3，∴AD＝；（2）过点作DE⊥AB于点E，∵tan B＝，可设DE＝3y，则BE＝4y，∵BE2+DE2＝BD2，∴（3y）2+（4y）2＝12，解得，y＝﹣（舍），或y＝，∴，∴sinα＝．43．（2018•赤峰）阅读下列材料：如图1，在△ABC中，∠A、∠B、∠C所对的边分别为a、b、c，可以得到：S△ABC＝ab sin C＝ac sin B＝bc sin A证明：过点A作AD⊥BC，垂足为D．在Rt△ABD中，sin B＝∴AD＝c•sin B∴S△ABC＝a•AD＝ac sin B同理：S△ABC＝ab sin CS△ABC＝bc sin A∴S△ABC＝ab sin C＝ac sin B＝bc sin A（1）通过上述材料证明：＝＝（2）运用（1）中的结论解决问题：如图2，在△ABC中，∠B＝15°，∠C＝60°，AB＝20，求AC的长度．（3）如图3，为了开发公路旁的城市荒地，测量人员选择A、B、C三个测量点，在B 点测得A在北偏东75°方向上，沿笔直公路向正东方向行驶18km到达C点，测得A在北偏西45°方向上，根据以上信息，求A、B、C三点围成的三角形的面积．（本题参考数值：sin15°≈0.3，sin120°≈0.9，≈1.4，结果取整数）解：（1）∵ab sin C＝ac sin B，∴b sin C＝c sin B，∴＝，：同理得＝，∴＝＝；（4分）（2）由题意得∠B＝15°，∠C＝60°，AB＝20，∴，即，∴，∴AC＝40×0.3＝12；（8分）（3）由题意得∠ABC＝90°﹣75°＝15°，∠ACB＝90°﹣45°＝45°，∠A＝180°﹣15°﹣45°＝120°，由＝＝得＝，∴AC＝6，∴S△ABC＝AC×BC×sin∠ACB＝×6×18×0.7≈38．（12分）44．（2018•贵阳）如图①，在Rt△ABC中，以下是小亮探究与之间关系的方法：∵sin A＝，sin B＝∴c＝，c＝∴＝根据你掌握的三角函数知识．在图②的锐角△ABC中，探究、、之间的关系，并写出探究过程．解：＝＝，理由为过A作AD⊥BC，BE⊥AC，在Rt△ABD中，sin B＝，即AD＝c sin B，在Rt△ADC中，sin C＝，即AD＝b sin C，∴c sin B＝b sin C，即＝，同理可得＝，则＝＝．45．（2018•上海）如图，已知△ABC中，AB＝BC＝5，tan∠ABC＝．（1）求边AC的长；（2）设边BC的垂直平分线与边AB的交点为D，求的值．解：（1）作A作AE⊥BC，在Rt△ABE中，tan∠ABC＝＝，AB＝5，∴AE＝3，BE＝4，∴CE＝BC﹣BE＝5﹣4＝1，在Rt△AEC中，根据勾股定理得AC＝＝；（2）∵DF垂直平分BC，∴BD＝CD，BF＝CF＝，∵tan∠DBF＝＝，∴DF＝，在Rt△BFD中，根据勾股定理得BD＝＝，∴AD＝5﹣＝，则＝．46．（2018•自贡）如图，在△ABC中，BC＝12，tan A＝，∠B＝30°；求AC和AB的长．解：如图作CH⊥AB于H．在Rt△BCH中，∵BC＝12，∠B＝30°，∴CH＝BC＝6，BH＝＝6，在Rt△ACH中，tan A＝＝，∴AH＝8，∴AC＝＝10，∴AB＝AH+BH＝8+6．47．（2017•黔西南州）把（sinα）2记作sin2α，根据图1和图2完成下列各题．（1）sin2A1+cos2A1＝1，sin2A2+cos2A2＝1，sin2A3+cos2A3＝1；（2）观察上述等式猜想：在Rt△ABC中，∠C＝90°，总有sin2A+cos2A＝1；（3）如图2，在Rt△ABC中证明（2）题中的猜想：（4）已知在△ABC中，∠A+∠B＝90°，且sin A＝，求cos A．解：（1）sin2A1+cos2A1＝（）2+（）2＝+＝1，sin2A2+cos2A2＝（）2+（）2＝+＝1，。
2018-2019学年北师大版九年级上期中考试数学试题及答案
2018-2019学年北师大版九年级上期中考试数学试题及答案一、选择题（每小题3分，共36分）1．下列图形中，既是轴对称图形，又是中心对称图形的是（ ）A ．,B ．,C ．,D ．2．下列命题：①四条边相等的四边形是正方形；②两组邻边分别相等的四边形是平行四边 形；③有一个角是直角的平行四边形是矩形；④两条对角线互相垂直且平分的四边形是菱形．其中错误命题的个数是 A ．1B ．2C ．3D ．43．（2018•雅安）已知x 1，x 2是一元二次方程x 2-2x=0的两根，则x 1+x 2的值是（ ）A ．0,B ．2,C ．-2,D ．4 4．（2018•益阳）抛物线y=2（x-3）2+1的顶点坐标是（ ） A ．（3，1）, B ．（3，-1）, C ．（-3，1）, D ．（-3，-1）5．为了改善居民住房条件，我市计划用未来两年的时间将城镇居民的住房面积由现在的人均约为l0m 2提高到12.1m 2，若每年的年增长率相同，则年增长率为 A ．9％B ．10％C ．11％D ．12％6．正方形ABCD 在坐标系中的位置如下图所示，将正方形ABCD 绕D 点顺时针旋转90°后，B 点的坐标为A ．（一2，2）B ．（4，1）C ．（3，1）D ．（4，0）7．在同一直角坐标系中，函数 k kx y -=与xky =（k ≠0）的图像大致是8．两圆的半径分别为R 和r ，圆心距为1，且R 、r 分别是方程0209=+-x x 的两个根，则两圆的位置关系是A ．相交B ．外切C ．内切D ．外离9．Rt△ABC 中，∠C=90°，AC=8，BC=6，两等圆OA ，OB 外切，那么图中两个扇形（阴影部分）的面积是A ．425πB ．825πC ．1625πD ．3225π10．学生甲与学生乙玩一种转盘游戏．如图是两个完全相同的转盘，每个转盘被分成面积相等的四个区域，分别用数字“l”，“2”，“3”，“4”表示．固定指针，同时转动两个转盘，任其自由停止，若两指针所指数字的积为奇数，则甲获胜；若两指针所指数字的积为偶数，则乙获胜；若两指针指向扇形的分界线，则都重转一次，在该游戏中乙获胜的概率是A ．41 B ．21 C ．43 D ．65 11．如下图，⊙O 是△ABC 的内切圆，切点分别是D 、E 、F ，已知∠A=100°，∠C=30°，则∠DFE 的度数是A ．55°B ．60°C ．65°D ．70°12．某电视台“走基层”栏目的一位记者乘汽车赴360km 外的农村采访，全程的前一部分为高速公路，后一部分为乡村公路．若汽车在高速公路和乡村公路上分别以某一速度匀速行驶，汽车行驶的路程y （单位：km ）与时间x （单位：h ）之间的关系如下图所示，则下列结论正确的是A ．汽车在高速公路上的行驶速度为100km ／hB ．乡村公路总长为90kmC ．汽车在乡村公路上的行驶速度为60km ／hD ．该记者在出发后4．5h 到达采访地 二、填空题（每小题3分，共15分）13．抛物线12+=x y 与直线1--=mx y 只有一个交点，则实数m 的值是_______14．康康家购置了一辆新车，爸爸妈妈商议确定车牌号，前三位选定为JA0后，对后两位数字意见有分歧，最后决定由毫不知情的康康从如下图排列的四个数字中随机划去两个，剩下的两个数字从左到右组成两位数，续在JA0之后，则选中的车牌号为JA058的概率是__________。
3.7切线长定理(教案)2018-2019学年九年级下学期数学教材解读(北师大版)
3.增强学生的数学应用意识：将切线长定理应用于解决实际问题，让学生在实际情境中发现数学的价值，提高数学应用意识和解决实际问题的能力，培养数学建模素养。
三、教学难点与重点
五、教学反思
在今天的课堂中，我们探讨了切线长定理，这是一个在几何学中至关重要的概念。通过教学，我发现学生们对于切线长定理的理解存在几个关键点需要关注。
首先，学生在理解切线长定理的定义上还存在一些困难。尽管通过直观的图形可以让他们感受到切线长相等的性质，但在抽象出定理的具体表述时，他们往往需要更多的时间和引导。我意识到，可能需要通过更多的实际例子和操作，让学生在动手实践中加深对定理的理解。
2.应用切线长定理解决实际问题：结合教材例题，让学生掌握如何利用切线长定理求解与圆相关的线段长度问题，以及在实际应用中如何构建切线长定理模型，提高学生的几何解题能力。
二、核心素养目标
本节课的核心素养目标主要包括以下三个方面：
1.培养学生的几何直观和空间观念：通过切线长定理的学习，使学生能够直观理解圆的切线与半径、弦之间的关系，发展空间想象力和几何直观能力。
其次，定理的证明过程对学生来说是一个挑战。在课堂上，我尝试用了几种不同的方法来证明切线长定理，但显然，对于一部分学生来说，这些证明过程仍然难以消化。我考虑在下一节课中，引入更多的辅助工具，比如动画或实物模型，来帮助学生更直观地理解证明的每一步。
在应用方面，我发现学生们在面对实际问题时，往往不知道如何运用切线长定理。这可能是因为他们还没有建立起几何问题与定理之间的联系。在未来的教学中，我计划设计更多与实际情境相关的题目，让学生在解决问题的过程中，学会如何将切线长定理应用到具体情境中。
(常考题)北师大版初中数学九年级数学上册第三单元《概率的进一步认识》检测题(有答案解析)(2)
故选B．
【点睛】
此题考查的是无理数的判断和求频率问题，掌握无理数的定义和频率公式是解决此题的关键．
12．D
解析：D
【分析】
用树状图列举出所有等可能的情况，去掉至少一人左拐的次数，利用概率计算公式求解．
【详解】
树状图如下：
共有8种等可能的情况，其中至少一人左拐的有7种，
∴α+θ=β+γ，∵α+β+γ+θ=360°，
∴α+θ=β+γ=180°，
∴指针落在红色或紫色区域的概率和为0.5，故C错误；
D、∵γ+θ=180°，
∴α+β=180°，
∴指针落在红色或黄色区域的概率和为0.5，故D正确；
故选：C．
【点睛】
本题考查了概率公式，熟练掌握概率公式是解题的关键．
8．B
解析：B
18．技术变革带来产品质量的提升．某企业技术变革后，抽检某一产品2020件，欣喜发现产品合格的频率已达到0.9911，依此我们可以估计该产品合格的概率为_______．（结果要求保留两位小数）
19．往如图所示的地板中随意抛一颗石子（石子看作一个点），石子落在阴影区域的概率为___________
20．从一个不透明的口袋中随机摸出一球，再放回袋中，不断重复上述过程，一共摸了150次，其中有50次摸到黑球，已知口袋中仅有黑球5个和白球若干个，这些球除颜色外，其他都一样，由此估计口袋中有___个白球．
6．B
解析：B
【分析】
由表中数据可判断合格衬衣的频率稳定在0.98，于是利于频率估计概率可判断任意抽取一件衬衣是合格品的概率为0.98，从而得出结论．
【详解】
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2018-
2019学年初中数学北师大版九年级下册第三
章《圆》检测题B
一、选择题
1.如图，点A，B，C，D在⊙O上，∠AOC=140°，点B是
的中点，则∠D的度数是（）
A、70° B、55° C、35.5° D、35°
+
2.
如图，AB是⊙O的直径，弦CD交AB于点P，AP=2，BP=6，∠APC=30°，则CD
的长为（）
A、 B、2 C、2 D、8
+
3.
已知⊙O的直径CD=10cm，AB是⊙O的弦，AB⊥CD，垂足为M，且AB=8cm，
则AC的长为（）
A、2 cm B、4 cm C、2 cm或4 cm D、2 cm或4 cm
+
4.
如图，平面直角坐标系中，⊙P经过三点A（8，0），O（0，0），B（0，6），点D是⊙
P上的一动点．当点D到弦OB的距离最大时，tan∠BOD的值 是（）
A、2 B、3 C、4 D、5
+
5.
在△ABC中，若O为BC边的中点，则必有：AB2+AC2=2AO2+2BO2成立．依据
以上结论，解决如下问题：如图，在矩形DEFG中，已知DE=4，EF=3，点P在以
DE为直径的半圆上运动，则PF2+PG2的最小值为（）
A、 B、 C、34 D、10
+
6.
如图，若△ABC内接于半径为R的⊙O，且∠A=60°，连接OB、OC，则边BC的长
为（）
A、 B、 C、 D、 R
+
7.
以坐标原点O为圆心，作半径为2的圆，若直线y=﹣x+b与⊙O相交，则b的取值
范围 是（）
A、0≤b＜2 B、﹣2 C、﹣2 2 D、﹣2 ＜b＜2
+
8.
如图，点P为⊙O外一点，PA为⊙O的切线，A为切点，PO交⊙O于点B，∠P=30
°，OB=3，则线段BP的长为（）
A、3 B、3 C、6 D、9
+
9.在平面直角坐标系内，以原点O为圆心，1为半径作圆，点P在直线y=
上运动，过点P作该圆的一条切线，切点为A，则PA的最小值为（）
A、3 B、2 C、 D、
+
10.
如图，四边形ABCD内接于⊙O，点I是△ABC的内心，∠AIC=124°，点E在AD
的延长线上，则∠CDE的度数为（）
A、56° B、62° C、68° D、78°
+
11.如图，⊙O是正五边形ABCDE的外接圆，点P是
的一点，则∠CPD的度数是（）
A、30° B、36° C、45° D、72°
+
12.如图，在扇形AOB中，∠AOB=90°，点C为OA的中点，CE⊥OA交
于点E，以点O为圆心，OC的长为半径作
交OB于点D．若OA=4，则图中阴影部分的面积为 （）
A、 + B、 +2 C、 + D、2 +
+
二、填空题
13.已知
的半径为 ， ， 是 的两条弦， ，
， ，则弦 和 之间的距离是 ．
+
14.
如图，AB是⊙O的直径，点C是半径OA的中点，过点C作DE⊥AB，交⊙O于D
，E两点，过点D作直径DF，连结AF，则∠DFA=
．
+
15.
如图，△ABC内接于⊙O，AB为⊙O的直径，∠CAB=60°，弦AD平分∠CAB，若
AD=6，则AC=
．
+
16.
如图，正方形ABCD的边长为8，M是AB的中点，P是BC边上的动点，连结PM
，以点P为圆心，PM长为半径作⊙P．当⊙P与正方形ABCD的边相切时，BP的
长为
．
+
17.如图，△ABC中，∠ACB=90°，sinA=
，AC=12，将△ABC绕点C顺时针旋转90°得到△A'B'C，P为线段A′B'上的动
点，以点P为圆心，PA′长为半径作⊙P，当⊙P与△ABC的边相切时，⊙P的半
径为 ．
+
18.如图，Rt△ABC，∠B=90°，∠C=30°，O为AC上一点，OA=2，以O为圆心，以
OA为半径的圆与CB相切于点E，与AB相交于点F，连接OE、OF，则图中阴影
部分的面积是 ．
+
三、解答题
19.
如图，已知AB是⊙O的直径，C，D是⊙O上的点，OC∥BD，交AD于点E，连结
BC．
(1)、求证：AE=ED；
(2)、若AB=10，∠CBD=36°，求
的长．
+
20.如图，点在⊙的直径
的延长线上，点在⊙上，
，
．
(1)、求证：
是⊙的切线；
(2)、若⊙的半径为，求图中阴影部分的面积．
+
21.
如图，D是△ABC的BC边上一点，连接AD，作△ABD的外接圆，将△ADC沿直
线AD折叠，点C的对应点E落在⊙O上．
(1)、求证：AE=AB．
(2)、若∠CAB=90°，cos∠ADB=，BE=2，求BC的长．
+
22.
如图，在三角形ABC中，AB=6，AC=BC=5，以BC为直径作⊙O交AB于点D，
交AC于点G，直线DF是⊙O的切线，D为切点，交CB的延长线于点E．
(1)、求证：DF⊥AC；
(2)、求tan∠E的值．
+
23.
如图，在⊙O中，AB为直径，AC为弦．过BC延长线上一点G，作GD⊥AO于点
D，交AC于点E，交⊙O于点F，M是GE的中点，连接CF，CM．
(1)、判断CM与⊙O的位置关系，并说明理由；
(2)、若∠ECF=2∠A，CM=6，CF=4，求MF的长．
+
24.如图，线段AB为⊙O的直径，点C，E在⊙O上， =
，CD⊥AB，垂足为点D，连接BE，弦BE与线段CD相交于点F．
(1)、求证：CF=BF；
(2)、若cos∠ABE=
，在AB的延长线上取一点M，使BM=4，⊙O的半径为6．求证：直线CM是⊙
O的切线．
+
25.
如图，AB是⊙O的直径，DO⊥AB于点O，连接DA交⊙O于点C，过点C作⊙O
的切线交DO于点E，连接BC交DO于点F．
(1)、求证：CE=EF；
(2)、连接AF并延长，交⊙O于点G．填空：
①当∠D的度数为 ②当∠D的度数为 + 时，四边形ECFG为菱形；
时，四边形ECOG为正方形．