14_FFT算法的DSP实现

离散(T)和非周期
非周期和离散(Ω0=2π/T0)
周期(Ωs=2π/T)和连续
离散(T)和周期(T0) 周期(Ωs=2π/T)和离散 (Ω0=2π/T0)
周期序列的离散傅里叶级数
周期序列的DFS正变换和反变换：
其中：
离散傅里叶变换（DFT）
同样：X(k)也是一个N点的有限长序列
有限长序列的DFT正变换和反变换：
解：
（1）抽样频率应为 （2）抽样时间间隔应为
频率分辨率
提高频率分辨率方法： 增加信号实际记录长度 补零并不能提高频率分辨率
14.2.2 FFT算法的导出
FFT: Fast Fourier Transform
1965年，Cooley, Tukey 《机器计算傅里叶级数的一种算法》
直接计算DFT的问题及改进途径
8点的FFT的运算流图
x(0) W0 x(4) N x(2) W0 x(6) N x(1) W0 x(5) N x(3) W0 x(7) N
X (0)
3
X1 (0) X1 (1) X1 (2) -1 X1 (3)
X(0)
X(1) X(2) X(3)
X (1) -1
N X (1) W 2 4 N -1 X (0) 5
(0)= 2 2(2)= 2(1)= 2(3)=
(0) (4) (2) (6) (1) (5) (3) (7)
N/4 DFT N/4 DFT N/4 DFT N/4 DFT
X3 (0) X3 (1) 4 (0) X 0 W N 4 X (1) 2 W N X5 (0) X5 (1) 6 (0) X 0 W N X6 (1) 2
系数 ：N / 2个存储单元
4、DIT算法的其他形式流图
• • • • 输入倒位序输出自然序 输入自然序输出倒位序 输入输出均自然序 相同几何形状
– 输入倒位序输出自然序 – 输入自然序输出倒位序
IFFT运算方法 用FFT计算反FFT
• 以上所讨论的FFT的运算方法同样 可用于IDFT的运算，简称为IFFT 。即快速付里叶反变换。从IDFT 的定义出发，可以导出下列二种 利用FFT来计算FFT的方法。
3.直接利用FFT流图方法的注意点
（1）FFT与IFFT连接应用时，注意输入输 出序列的排列顺序，即应注意是自然顺 序还是倒序。 （2）FFT和IFFT共用同一个程序时，也应 注意利用FFT算法输入输出的排列顺序， 即应注意自然顺序还是例位序 （3）当把频率抽取FFT流图用于IDFT时， 应改称时间抽取IFFT流图。 （4）当把时间抽取FFT流图用于IDFT时， 应改称频率抽取IFFT流图。
N / 2个蝶形 总计
复数加法 N / 2 (N / 2 –1) N (N / 2 –1) 2
N
1
N/2
运算量减少了近一半
N / 2仍为偶数，进一步分解：N / 2 N / 4
同理：
其中：
3(0)= 1(0)=
3(1)= 1(2)=
4(0)= 1(1)= 4(1)= 1(3)=
(0)= 5 5(1)= 6(0)= 6(1)=
运算量
一个X(k) N个X(k) (N点DFT)
复数乘法 复数加法 N N–1
N2 N (N – 1)
实数乘法
一次复乘 4 4N
实数加法
2
一次复加 一个X (k) N个X (k) (N点DFT)
4N 2
2 2N+2 (N – 1)=2 (2N – 1) 2N (2N – 1)
FFT算法分类: • 时间抽选法 DIT: Decimation-In-Time • 频率抽选法 DIF: Decimation-In-Frequency
x(n) 补N-N1个零 N点DFT
N点IDFT h(n) y(n) = x(n)*h(n)
补N-N2个零
N点DFT
用DFT对模拟信号作频谱分析
信号的频谱分析：计算信号的傅里叶变换
频率响应的混叠失真及参数的选择
信号最高频率与频率分辨率之间的矛盾
同时提高信号最高频率和频率分辨率，需增加采 样点数N。
一、利用FFT计算IFFT的思路
• 将下列两式进行比较
1 N 1 nk x ( n ) IDFT [ X ( k )] X ( k ) W N N k 0 N 1 nk X (k ) DFT [ x(n)] x(n)W N k 0 nk nk (1)只要把DFT运算中的每个系数W N 改成W N (2)将运算结果都除以N （3）那么以上讨论的时间抽取 或频率抽取FFT算法都可以拿来运算IDFT
3
14.2 FFT的基本原理
14.2.1 DFT的基本原理 14.2.2 FFT算法的导出 时间抽取FFT（DIT） 用FFT计算反FFT
4
14.2.1 DFT的基本原理
离散傅里叶变换： DFT: Discrete Fourier Transform
5
Fourier变换的几种可能形式
时间函数 频率函数
X1(0)
N/2点 DFT
X1(1)
X1(2)
X1(3)
X2(0)
X(0) X(1) X(2) X(3)
X(4) -1 X(5) -1 X(6) -1 X(7)
-1
N/2点 DFT
0 W X2(1) N W1 X2(2) N W2 X2(3) N W3 N
分解后的运算量：
复数乘法 一个N / 2点DFT (N / 2)2 两个N / 2点DFT N 2 / 2 一个蝶形
《数字信号处理与DSP器件》讲义 Digital Signal Processing (DSP) and DSP device
第十四章 FFT算法的DSP实现
丁喜冬 中山大学物理科学与工程技术学院
1
第14章 FFT算法的DSP实现
本章内容
14.1 14.2 14.3 14.4
引言
FFT的基本原理
FFT算法的c语言实现
1
0 1
3）蝶形运算 对N = 2L点FFT，输入倒位序，输出自然序， 第m级运算每个蝶形的两节点距离为 2m–1 第m级运算：
蝶形运算两节点的第一个节点为k值，表 示成L位二进制数，左移L – m位，把右 边空出的位置补零，结果为r的二进制数 。
4）存储单元
输入序列x(n) : N个存储单元
IFFT的基本蝶形运算
A
1 n WN 2 1 2 1 A W N n B 2 1 A W N n B 2


A
1 2 1 n WN 2 1
1 A B 2
B
B
2
A B W Nn
(a)频率抽取IFFT的蝶形运 算
(b)时间抽取IFFT的蝶形运算
二.直接利用FFT流图的方法 1.思路
2、序列的圆周移位
定义：
有限长序列的圆周移位导致频谱线性相移， 而对频谱幅度无影响。
3、共轭对称性
序列的Fourier变换的对称性质中提到：
任意序列可表示成
和
之和:
其中：
4、有限长序列的线性卷积与圆周卷积
N点圆周卷积：
N
N
线性卷积：
N
小结：线性卷积求解方法
• 时域直接求解
• z变换法
• DFT法
离散时间、连续频率—序列的傅里叶变换
时域的离散化造成频域的周期延拓， 而时域的非周期对应于频域的连续
离散时间、离散频率—离散傅里叶变换
一个域的离散造成另一个域的周期延拓 ，因此离散傅里叶变换的时域和频域都 是离散的和周期的
四种傅里叶变换形式的归纳
时间函数 连续和非周期 频率函数 非周期和连续
连续和周期(T0)
其中：
x(n)的N点DFT是 x(n)的z变换在单位圆上的N点等间隔抽样；
x(n)的DTFT在区间[0，2π]上的N点等间隔 抽样。
离散傅里叶变换的性质
DFT正变换和反变换：
1、线性：
若
则
这里，序列长度及DFT点数均为N 若不等，分别为N1，N2，则需补零使两序列长度 相等，均为N，且 N max[ N1 , N 2 ]
时间抽取FFT（DIT）
按时间抽选的基-2FFT算法
1、算法原理
设序列点数 N = 2L，L 为整数。 若不满足，则补零 N为2的整数幂的FFT算法称基-2FFT算法。 将序列x(n)按n的奇偶分成两组：
则x(n)的DFT:
再利用周期性求X(k)的后半部分
x1(0)=x(0) x1(1)=x(2) x1(2)=x(4) x1(3)=x(6) x2(0)=x(1) x2(1)=x(3) x2(2)=x(5) x2(3)=x(7)
FFT的定点DSP实现 FFT的浮点DSP实现 小结
2
14.5
14.6
14.1
引言
傅里叶变换: 将信号从时域变换到频域的变换形式， 有离散傅里叶变换和连续傅里叶变换。 快速傅里叶变换： （FFT：Fast Fourier Transform） 用DSP实现快速傅里叶变换： 更为方便快速：单周期乘加指令；比特 反转指令等。
连续时间、连续频率—傅里叶变换 连续时间、离散频率—傅里叶级数
离散时间、连续频率—序列的傅里叶变换
离散时间、离散频率—离散傅里叶变换
连续时间、连续频率—傅里叶变换
时域连续函数造成频域是非周期的谱， 而时域的非周期造成频域是连续的谱密度函数。
连续时间、离散频率—傅里叶级数
时域连续函数造成频域是非周期的谱， 而频域的离散对应时域是周期函数。
复数加法：
比较DFT
3、算法特点
1）原位计算
m表示第m级迭代，k，j表示数据所在的行数