2017-2018学年高中数学第一章坐标系本讲知识归纳与达标验收教学案新人教A版选修4-4
2017_2018学年高中数学第1章坐标系1.1平面直角坐标系学案北师大版选修4_420171023 (2)
1.1平面直角坐标系1.理解平面直角坐标系的作用.(重点)2.了解在平面直角坐标系伸缩变换作用下平面图形的变化情况.(重点)3.了解平面直角坐标系中直线、圆、椭圆、双曲线、抛物线等各种图形的代数表示.(易混点)教材整理1平面直角坐标系与点的坐标在平面直角坐标系中，对于任意一点，都有唯一的有序实数对(x，y)与之对应；反之，对于任意的一个有序实数对(x，y)，都有唯一的点与之对应.即在平面直角坐标系中，点和有序实数对是一一对应的.判断(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)在平面直角坐标系中，x轴上点的纵坐标都是0.()(2)在平面直角坐标系中，点和有序实数对是一一对应的.()(3)坐标(3,0)和(0,3)表示同一个点.()【解析】(1)√(2)√(3)×因为(3,0)在x轴上，而(0,3)在y轴上.【答案】(1)√(2)√(3)×教材整理2平面直角坐标系中曲线与方程的关系曲线可看作是满足某些条件的点的集合或轨迹，在平面直角坐标系中，如果某曲线C上的点与一个二元方程f(x，y)＝0的实数解建立了如下的关系：(1)曲线C上的点的坐标都是方程f(x，y)＝0的解；(2)以方程f(x，y)＝0的解为坐标的点都在曲线C上.那么，方程f(x，y)＝0叫作曲线C的方程，曲线C叫作方程f(x，y)＝0的曲线.填空：(1)x轴的直线方程为________.1(2)以原点为圆心，以1为半径的圆的方程为____________.【导学号：12990000】(3)方程2x2＋y2＝1表示的曲线是____________.【答案】(1)y＝0(2)x2＋y2＝1(3) 椭圆教材整理3平面直角坐标轴中的伸缩变换在平面直角坐标系中进行伸缩变换，即改变x轴或y轴的单位长度，将会对图形产生影响.判断(正确的打“√”，错误的打“×”)1(1)如果x轴的单位长度保持不变，y轴的单位长度缩小为原来的，圆x2＋y2＝4的图形2变为椭圆.()(2)平移变换既不改变形状，也不改变位置.()(3)在伸缩变换下，直线依然是直线.()x2 【解析】(1)√因为x2＋y2＝4的圆的形状变为方程＋y2＝1表示的椭圆.4(2)×平移变换只改变位置，不改变形状.(3)√直线在平移和伸缩下依然为直线，但方程发生了变化.【答案】(1)√(2)×(3)√预习完成后，请将你的疑问记录，并与“小伙伴们”探讨交流：疑问1：解惑：疑问2：解惑：疑问3：解惑：利用平面直角坐标系确定位置由甲导弹驱逐舰、乙导弹驱逐舰、丙综合补给舰组成的护航编队奔赴某海域执行护航任务，对商船进行护航.某日，甲舰在乙舰正东6千米处，丙舰在乙舰北偏西30°，相距4千米.某时刻甲舰发现商船的某种求救信号.由于乙、丙两舰比甲舰距商船远，因此4 s后乙、丙两舰才同时发现这一信号，此信号的传播速度为1 km/s.若甲舰赶赴救援，行进的方位角应是多少？【精彩点拨】本题求解的关键在于确定商船相对于甲舰的相对位置，因此不妨用点A，B，C表示甲舰、乙舰、丙舰，建立适当坐标系，求出商船与甲舰的坐标，问题可解.【自主解答】设A，B，C，P分别表示甲舰、乙舰、丙舰和商船.如图所示，以直线AB为x轴，线段AB的垂直平分线为y轴建立直角坐标系，则A(3,0)，B(－3,0)，C(－5,2 3).∵|PB|＝|PC|，∴点P在线段BC的垂直平分线上.k BC＝－3，线段BC的中点D(－4，3)，1∴直线PD的方程为y－3＝(x＋4). ①3又|PB|－|PA|＝4，∴点P在以A，B为焦点的双曲线的右支上，x2 y2双曲线方程为－＝1(x≥2).②4 5联立①②，解得P点坐标为(8,5 3).5 3∴k PA＝＝3.8－3因此甲舰行进的方位角为北偏东30°.1.由于A，B，C的相对位置一定，解决问题的关键是如何建系，将几何位置量化，根据直线与双曲线方程求解.2.运用坐标法解决实际问题的步骤：建系→设点→列关系式(或方程)→求解数学结果→回答实际问题.1.已知某荒漠上有两个定点A，B，它们相距2 km，现准备在荒漠上开垦一片以AB为一条对角线的平行四边形区域建成农艺园，按照规划，围墙总长为8 km.(1)问农艺园的最大面积能达到多少？(2)该荒漠上有一条水沟l恰好经过点A，且与AB成30°的角，现要对整条水沟进行加固改造，但考虑到今后农艺园的水沟要重新改造，所以对水沟可能被农艺园围进的部分暂不加固，问：暂不加固的部分有多长？【解】(1)设平行四边形的另两个顶点为C，D，由围墙总长为8 km，得|CA|＋|CB|＝4>|AB|＝2，由椭圆的定义知，点 C 的轨迹是以 A ，B 为焦点，长轴长 2a ＝4，焦距 2c ＝2的椭圆(去除 落在直线 AB 上的两点).以 AB 所在直线为 x 轴，线段 AB 的中垂线为 y 轴，建立直角坐标系，则点 C 的轨迹方程为x 2 y 2＋ ＝1(y ≠0). 4 3易知点 D 也在此椭圆上，要使平行四边形 ABCD 的面积最大，则 C ，D 为此椭圆短轴的端点，此时，面积 S ＝2 3(km 2).x 2 y 2(2)因为修建农艺园的可能范围在椭圆 ＋ ＝1(y ≠0)内，故暂不 4 3 3需要加固水沟的长就是直线 l ：y ＝ (x ＋1)被椭圆截得的弦长，如图.3因此，由Error!⇒13x 2＋8x －32＝0， 那么弦长＝ 1＋k 2|x 1－x 2|38 32 4848 ＝ 1＋(3 )2· (－13 )2－4 × (－13 )＝，故暂不加固的部分长km.1313平面直角坐标系中曲线方程的确定3(1)已知椭圆 G 的中心在坐标原点，长轴在 x 轴上，离心率为 ，且 G 上一点到 G2的两个焦点的距离之和为 12，求椭圆 G 的方程；(2)在边长为 2的正△ABC 中，若 P 为△ABC 内一点，且|PA |2＝|PB |2＋|PC |2，求点 P 的轨 迹方程，并画出方程所表示的曲线.【精彩点拨】 本题是曲线方程的确定与应用问题，考查建立平面直角坐标系、数形结合 思想、曲线方程的求法及分析推理、计算化简技能、技巧等.解答此题中(1)需要根据已知条件 用待定系数法求解；(2)需要先建立平面直角坐标系，写出各点的坐标，用直接法求解，再根 据方程判定曲线类型画出其表示的曲线.【自主解答】 (1)由已知设椭圆方程为x2 y 2＋ ＝1(a >b >0)， a 2 b 2c 3则 2a ＝12，知 a ＝6.又离心率 e ＝ ＝ ，故 c ＝3 3. a 2∴b 2＝a 2－c 2＝36－27＝9.x 2 y 2∴椭圆的标准方程为 ＋ ＝1. 36 9(2)以 BC 所在直线为 x 轴，BC 的中点为原点，BC 的中垂线为 y 轴建立平面直角坐标系， 设 P (x ，y )是轨迹上任意一点，又|BC |＝2，∴B (－1,0)，C (1,0)，则 A (0， 3).222∴x2＋(y－3)2＝(x＋1)2＋y2＋(x－1)2＋y2，化简得x2＋(x＋3)2＝4.又∵P在△ABC内，∴y>0.∴P点的轨迹方程为x2＋(y＋3)2＝4(y>0).其曲线如图所示为以(0，－3)为圆心，半径为2的圆在x轴上半部分圆弧.求动点轨迹方程常用的方法有：(1)直接法：如果题目中的条件有明显的等量关系或者可以推出某个等量关系，即可直接求曲线的方程，步骤如下：①建立适当的平面直角坐标系，并用(x，y)表示曲线上任意一点M的坐标；②写出适合条件P的点M的集合P＝{M|P(M)}；③用坐标表示条件P(M)，写出方程f(x，y)＝0；④化简方程f(x，y)＝0；⑤检验或证明④中以方程的解为坐标的点都在曲线上，若方程的变形过程是等价的，则⑤可以省略.(2)定义法：如果动点的轨迹满足某种已知曲线的定义，则可依定义写出轨迹方程.(3)代入法(相关点法)：如果动点P(x，y)依赖于另一动点Q(x1，y1)，而Q(x1，y1)又在某已知曲线上，则可先列出关于x，y，x1，y1的方程组，利用x，y表示x1，y1，把x1，y1代入已知曲线方程即为所求.→→→→2.如图111，四边形MNPQ是圆C的内接等腰梯形，向量CM与PN的夹角为120°，QC·QM＝2.5图111(1)求圆C的方程；(2)求以M，N为焦点，过点P，Q的椭圆方程.【解】(1)建立如图所示的平面直角坐标系，由题意得，△CQM为正三角形.→→∴QC·QM＝r2·cos60°＝2，∴圆C的半径为2.又圆心为(0,0)，∴圆C的方程为：x2＋y2＝4.(2)由(1)知M(2,0)，N(－2,0)，Q(1，3)，∴2a＝|QN|＋|QM|＝2 3＋2，∴a＝3＋1，c＝2，∴b2＝a2－c2＝2 3，x2 y2∴椭圆方程为：＋＝1.4＋2 3 2 3平面直角坐标系中的伸缩变换探究1在平面直角坐标系中，经过伸缩变换后，直线变为什么图形？圆、椭圆、双曲线和抛物线呢？【提示】在平面经过伸缩变换，直线伸缩后仍为直线；圆伸缩后可能是圆或椭圆；椭圆伸缩后可能是椭圆或圆；双曲线伸缩后仍为双曲线；抛物线伸缩后仍为抛物线.探究2平移变换与伸缩变换的区别是什么？【提示】平移变换区别于伸缩变换的地方就是：图形经过平移后只改变了位置，不会改变它的形状.探究3在伸缩变换中，若x轴上的单位长度为y轴上单位长度的k倍后，变换后的坐标(x′，y′)与原坐标(x，y)有什么关系？【提示】一般地，在平面直角坐标系xOy中：使x轴上的单位长度为y轴上单位长度的k倍(k>0)，则当k＝1时，x轴与y轴具有相同的单位长度；即为Error!的伸缩变换，当k>1时，相当于x轴上的单位长度保持不变，y轴上1的单位长度缩小为原来的，即为Error!的伸缩变换，当0<k<1时，相当于y轴上的单位长度k保持不变，x轴上的单位长度缩小为原来的k倍，即为Error!的伸缩变换.x2 y2在下列平面直角坐标系中，分别作出＋＝1的图形：25 9(1)x轴与y轴具有相同的单位长度；(2)x轴上的单位长度为y轴上单位长度的2倍；1(3)x轴上的单位长度为y轴上单位长度的倍.2【精彩点拨】先按要求改变x轴或y轴的单位长度，建立平面直角坐标系，再在新坐标系中作出图形.x2 y2 【自主解答】(1)建立平面直角坐标系，使x轴与y轴具有相同的单位长度，则＋＝125 9的图形如图①.1 x2 y2(2)如果x轴上的单位长度保持不变，y轴上的单位长度缩小为原来的，则＋＝1的2 25 9图形如图②.1 x2 y2(3)如果y轴上的单位长度保持不变，x轴上的单位长度缩小为原来的，则＋＝1的2 25 9图形如图③.在平面直角坐标系中，改变x轴或y轴的单位长度会对图形产生影响，本题中即为Error!的伸缩变换，本题中即为Error!的伸缩变换.x2 y23.本例中，＋＝1不变，试在下列平面直角坐标系中，分别作出其图形：25 95(1)x轴上的单位长度为y轴上单位长度的倍；33(2)x轴上的单位长度为y轴上单位长度的倍.53 x2【解】(1)如果x轴上的单位长度保持不变，y轴上的单位长度缩小为原来的，则＋5 25y2＝1的图形如图①.93 x2 y2(2)如果y轴上的单位长度保持不变，x轴上的单位长度缩小为原来的，则＋＝1的5 25 9图形如图②.1.曲线C的方程为y＝x(1≤x≤5)，则下列四点中在曲线C上的是()1 1A.(0,0)B.( 5 )，5C.(1,5)D.(4,4)【解析】将答案代入验证知D正确.【答案】 D2.直角坐标系中到两坐标轴距离之差等于1的点的轨迹方程是()A.|x|－|y|＝1B.|x－y|＝1C.||x|－|y||＝1D.|x±y|＝1【解析】由题知C正确.【答案】 Cx2 y2 13.已知一椭圆的方程为＋＝1，如果x轴上的单位长度为y轴上单位长度的，则该椭16 4 2圆的形状为()1【解析】如果y轴上单位长度不变，x轴的单位长度变为原来的倍，则方程变为x2＋y2＝24，故选B.【答案】 B4.将圆x2＋y2＝1经过伸缩变换Error!后的曲线方程为________.【导学号：12990001】【解析】由Error!得Error!x′2 y′2代入到x2＋y2＝1，得＋＝1.16 9x2 y2∴变换后的曲线方程为＋＝1.16 9x2 y2【答案】＋＝116 95.已知动点M(x，y)到直线l：x＝4的距离是它到点N(1,0)的距离的2倍.求动点M的轨迹C的方程.【解】如图，设点M到直线l的距离为d，根据题意，d＝2|MN|，由此得|4－x|＝2 x－12＋y2，x2 y2化简得＋＝1，4 3x2 y2∴动点M的轨迹C的方程为＋＝1.4 3我还有这些不足：(1)(2)我的课下提升方案：(1)(2)10。
精选2018版高中数学第一讲坐标系学案新人教A版选修4_4
第一讲坐标系一平面直角坐标系[学习目标]1.了解平面直角坐标系的组成，领会坐标法的应用.2.理解平面直角坐标系中的伸缩变换.3.能够建立适当的平面直角坐标系，运用解析法解决数学问题.[知识链接]1.如何根据几何图形的几何特征建立恰当的坐标系？提示(1)如果图形有对称中心，可以选对称中心为坐标原点；(2)如果图形有对称轴，可以选对称轴为坐标轴；(3)若题目有已知长度的线段，以线段所在的直线为x轴，以端点或中点为原点.建系原则：使几何图形上的特殊点尽可能多的落在坐标轴上.2.怎样由正弦曲线y＝sin x得到曲线y＝sin 2x?提示曲线y＝sin x上各点保持纵坐标不变，将横坐标缩为原来的一半.3.怎样由正弦曲线y＝sin x得到曲线y＝3sin x?提示曲线y＝sin x上各点保持横坐标不变，将纵坐标伸长为原来的3倍.[预习导引]1.平面直角坐标系(1)平面直角坐标系的作用：使平面上的点与坐标(有序实数对)、曲线与方程建立联系，从而实现数与形的结合.(2)坐标法：根据几何对象的特征，选择适当的坐标系，建立它的方程，通过方程研究它的性质及与其他几何图形的关系.(3)坐标法解决几何问题的“三步曲”：第一步，建立适当坐标系，用坐标和方程表示问题中涉及的几何元素，将几何问题转化成代数问题；第二步，通过代数运算，解决代数问题；第三步，把代数运算结果“翻译”成几何结论.2.平面直角坐标系中的伸缩变换(1)平面直角坐标系中方程表示图形，那么平面图形的伸缩变换就可归结为坐标伸缩变换，这就是用坐标方法研究几何变换.(2)平面直角坐标系中的坐标伸缩变换：设点P(x，y)是平面直角坐标系中任意一点，在变换φ：⎩⎪⎨⎪⎧x ′＝λx （λ>0），y ′＝μy （μ>0）的作用下，点P (x ，y )对应到点P ′(x ′，y ′)，称φ为平面直角坐标系中的坐标伸缩变换，简称伸缩变换.要点一 运用坐标法解决解析几何问题例1 △ABC 的顶点A 固定，角A 的对边BC 的长是2a ，边BC 上的高的长是b ，边BC 沿一条直线移动，求△ABC 外心的轨迹方程.解 以边BC 所在的定直线为x 轴，过A 作x 轴的垂线为y 轴，建立直角坐标系，则点A 的坐标为(0，b ).设△ABC 的外心为M (x ，y ).取BC 的中点N ，则MN ⊥BC ，即MN 是BC 的垂直平分线.因为|BC |＝2a ，所以|BN |＝a ，|MN |＝|y |.又M 是△ABC 的外心，所以|MA |＝|MB |.又|MA |＝x 2＋（y －b ）2，|MB |＝|MN |2＋|BN |2＝y 2＋a 2，所以x 2＋（y －b ）2＝y 2＋a 2，化简，得所求的轨迹方程为x 2－2by ＋b 2－a 2＝0(x ∈R ，y >0). 规律方法 建立坐标系的几个基本原则： (1)尽量把点和线段放在坐标轴上； (2)对称中心一般作为原点； (3)对称轴一般作为坐标轴.跟踪演练1 △ABC 的边AB 的长为定长2a ，边BC 的中线的长为定长m ，试求顶点C 的轨迹方程.解 取AB 的中点为原点，直线AB 为x 轴，建立平面直角坐标系，则A (－a ，0)，B (a ，0).设C (x ，y )，则边BC 的中点为D ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋a 2，y 2，由|AD |＝m ，得⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋a 2＋a 2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫y 22＝m 2.化简得(x ＋3a )2＋y 2＝4m 2.又因点C 在直线AB 上时不能组成三角形，故y ≠0. 因此顶点C 的轨迹方程是(x ＋3a )2＋y 2＝4m 2(y ≠0). 要点二 用坐标法解决平面几何问题例2 已知▱ABCD ，求证：|AC |2＋|BD |2＝2(|AB |2＋|AD |2).证明 法一(坐标法)以A 为坐标原点O ，AB 所在的直线为x 轴，建立平面直角坐标系xOy ，则A (0，0)，设B (a ，0)，C (b ，c )，则AC 的中点E ⎝ ⎛⎭⎪⎫b 2，c2，由对称性知 D (b －a ，c )，所以|AB |2＝a 2，|AD |2＝(b －a )2＋c 2，|AC |2＝b 2＋c 2，|BD |2＝(b －2a )2＋c 2， |AC |2＋|BD |2＝4a 2＋2b 2＋2c 2－4ab＝2(2a 2＋b 2＋c 2－2ab )，|AB |2＋|AD |2＝2a 2＋b 2＋c 2－2ab ，∴|AC |2＋|BD |2＝2(|AB |2＋|AD |2). 法二(向量法)在▱ABCD 中，AC →＝AB →＋AD →，两边平方得AC →2＝|AC →|2＝AB →2＋AD →2＋2AB →·AD →，同理得BD →2＝|BD →|2＝BA→2＋BC →2＋2BA →·BC →，以上两式相加，得|AC →|2＋|BD →|2＝2(|AB →|2＋|AD →|2)＋2BC →·(AB →＋BA →)＝2(|AB→|2＋|AD →|2)，即|AC |2＋|BD |2＝2(|AB |2＋|AD |2).规律方法 1.本例实际上为平行四边形的一个重要定理：平行四边形的两条对角线的平方和等于其四边的平方和.法一是运用代数方法，即解析法实现几何结论的证明的.这种“以算代证”的解题策略就是坐标方法的表现形式之一.法二运用了向量的数量积运算，更显言简意赅，给人以简捷明快之感. 2.建立平面直角坐标系的方法步骤(1)建系——建立平面直角坐标系，建系原则是利于运用已知条件，使运算简便，表达式简明； (2)设点——选取一组基本量，用字母表示出题目涉及的点的坐标和曲线的方程； (3)运算——通过运算，得到所需要的结果.跟踪演练2 已知正△ABC 的边长为a ，在平面上求一点P ，使|PA |2＋|PB |2＋|PC |2最小，并求出此最小值.解 以BC 所在直线为x 轴，BC 的垂直平分线为y 轴，建立平面直角坐标系，如图，则A ⎝ ⎛⎭⎪⎫0，32a ，B ⎝ ⎛⎭⎪⎫－a 2，0，C ⎝ ⎛⎭⎪⎫a 2，0.设P (x ，y )，则|PA |2＋|PB |2＋|PC |2＝x 2＋⎝⎛⎭⎪⎫y －32a 2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋a 22＋y 2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫x －a 22＋y 2＝3x 2＋3y2－3ay ＋5a 24＝3x 2＋3⎝⎛⎭⎪⎫y －36a 2＋a 2≥a 2，当且仅当x ＝0，y ＝36a 时，等号成立.∴所求的最小值为a 2，此时P 点的坐标为P ⎝ ⎛⎭⎪⎫0，36a ，即为正△ABC 的中心. 要点三 平面直角坐标系中的伸缩变换例3 在同一平面直角坐标系中，已知伸缩变换φ：⎩⎪⎨⎪⎧x ′＝3x ，2y ′＝y .(1)求点A ⎝ ⎛⎭⎪⎫13，－2经过φ变换所得的点A ′的坐标；(2)点B 经过φ变换后得到点B ′⎝ ⎛⎭⎪⎫－3，12，求点B 的坐标；(3)求直线l ：y ＝6x 经过φ变换后所得直线l ′的方程；(4)求双曲线C ：x 2－y 264＝1经过φ变换后所得曲线C ′的焦点坐标.解 (1)设点A ′(x ′，y ′).由伸缩变换φ：⎩⎪⎨⎪⎧x ′＝3x ，2y ′＝y ，得到⎩⎪⎨⎪⎧x ′＝3x ，y ′＝12y .又已知点A ⎝ ⎛⎭⎪⎫13，－2.于是x ′＝3×13＝1，y ′＝12×(－2)＝－1.∴变换后点A ′的坐标为(1，－1).(2)设B (x ，y )，由伸缩变换φ：⎩⎪⎨⎪⎧x ′＝3x ，2y ′＝y ，得到⎩⎪⎨⎪⎧x ＝13x ′，y ＝2y ′，由于B ′⎝ ⎛⎭⎪⎫－3，12，于是x ＝13×(－3)＝－1，y ＝2×12＝1，∴B (－1，1)为所求.(3)设直线l ′上任意一点P ′(x ′，y ′)，由上述可知，将⎩⎪⎨⎪⎧x ＝13x ′，y ＝2y ′，代入y ＝6x 得2y ′＝6×⎝ ⎛⎭⎪⎫13x ′，所以y ′＝x ′，即y ＝x 为所求. (4)设曲线C ′上任意一点P ′(x ′，y ′)，将⎩⎪⎨⎪⎧x ＝13x ′y ＝2y ′代入x 2－y 264＝1，得x ′29－4y ′264＝1，化简得x ′29－y ′216＝1，∴曲线C ′的方程为x 29－y 216＝1，∴a 2＝9，b 2＝16，c 2＝25，因此曲线C ′的焦点F 1(5，0)，F 2(－5，0).规律方法 1.解答本题的关键：(1)是根据平面直角坐标系中的伸缩变换公式的意义与作用；(2)是明确变换前后点的坐标关系，利用方程思想求解. 2.伸缩变换前后的关系已知平面直角坐标系中的伸缩变换φ：⎩⎪⎨⎪⎧x ′＝λx （λ>0），y ′＝μy （μ>0），则点的坐标与曲线的方程的关系为跟踪演练3 在同一直角坐标系中，将直线x －2y ＝2变成直线2x ′－y ′＝4，求满足条件的伸缩变换.解 设满足条件的伸缩变换为⎩⎪⎨⎪⎧x ′＝λ·x （λ>0），y ′＝μ·y （μ>0），将其代入方程2x ′－y ′＝4，得2λx－μy ＝4，与x －2y ＝2比较，将其变成2x －4y ＝4.比较系数得λ＝1，μ＝4.所以⎩⎪⎨⎪⎧x ′＝x ，y ′＝4y .直线x －2y ＝2图象上所有点的横坐标不变，纵坐标扩大到原来的4倍可得到直线2x ′－y ′＝4.1.坐标系是现代数学中的重要内容，它在数学发展的历史上起着划时代的作用.坐标系的创建，在代数和几何之间架起了一座桥梁、利用坐标系，我们可以方便地用代数的方法确定平面内一个点的位置，也可以方便地确定空间内一个点的位置.它使几何概念得以用代数的方法来描述，几何图形可以通过代数形式来表达，这样便可将抽象的代数方程用形象的几何图形表示出来，又可将先进的代数方法应用于几何学的研究.2.体会用坐标伸缩变换研究图形伸缩变换的思想方法(1)平面几何图形的伸缩变换可以归结为坐标伸缩变换，学习中可结合坐标间的对应关系进行理解.(2)对于图形的伸缩变换问题，需要搞清新旧坐标，区别x ，y 和x ′，y ′，点(x ，y )在原曲线上，点(x ′，y ′)在变换后的曲线上，因此点(x ，y )的坐标满足原曲线的方程，点(x ′，y ′)的坐标适合变换后的曲线方程.1.点P (－1，2)关于点A (1，－2)的对称点坐标为( ) A.(3，6) B.(3，－6) C.(2，－4)D.(－2，4)解析 设对称点的坐标为(x ，y )，则x －1＝2，且y ＋2＝－4， ∴x ＝3，且y ＝－6. 答案 B2.在同一平面直角坐标系中，将曲线y ＝3sin 2x 变成曲线y ′＝sin x ′的伸缩变换是( )A.⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2x ′，y ＝13y ′B.⎩⎪⎨⎪⎧x ′＝2x ，y ′＝13yC.⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2x ′，y ＝3y ′D.⎩⎪⎨⎪⎧x ′＝2x ，y ′＝3y解析 设⎩⎪⎨⎪⎧x ′＝λx ，λ>0，y ′＝μy ，μ>0，则μy ＝sin λx ，即y ＝1μsin λx .比较y ＝3sin 2x 与y ＝1μsinλx ，则有1μ＝3，λ＝2.∴μ＝13，λ＝2.∴⎩⎪⎨⎪⎧x ′＝2x ，y ′＝13y .答案 B3.如何由正弦曲线y ＝sin x 经伸缩变换得到y ＝12sin 12x 的图象( )A.将横坐标压缩为原来的12，纵坐标也压缩为原来的12B.将横坐标压缩为原来的12，纵坐标伸长为原来的2倍C.将横坐标伸长为原来的2倍，纵坐标也伸长为原来的2倍D.将横坐标伸长为原来的2倍，纵坐标压缩为原来的12答案 D4.已知函数f (x )＝（x －1）2＋1＋（x ＋1）2＋1，则f (x )的最小值为________.解析 f (x )可看作是平面直角坐标系下x 轴上一点(x ，0)到两定点(－1，1)和(1，1)的距离之和，结合图形可得，f (x )的最小值为2 2. 答案 2 2一、基础达标1.在同一平面直角坐标系中，经过伸缩变换⎩⎪⎨⎪⎧x ′＝5x ，y ′＝3y后，曲线C 变为曲线x ′2＋y ′2＝0，则曲线C 的方程为( ) A.25x 2＋9y 2＝0 B.25x 2＋9y 2＝1 C.9x 2＋25y 2＝0D.9x 2＋25y 2＝1解析 将伸缩变换⎩⎪⎨⎪⎧x ′＝5x ，y ′＝3y 代入x ′2＋y ′2＝0，得25x 2＋9y 2＝0，此即为曲线C 的方程.答案 A2.平行四边形ABCD 中三个顶点A ，B ，C 的坐标分别是(－1，2)，(3，0)，(5，1)，则顶点D 的坐标是( ) A.(9，－1) B.(－3，1) C.(1，3)D.(2，2)解析 设D (x ，y )，则由题意，得AB →＝DC →，即(4，－2)＝(5－x ，1－y )，∴⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1，y ＝3，即D (1，3). 答案 C3.已知四边形ABCD 的顶点分别为A (－1，0)，B (1，0)，C (1，1)，D (－1，1)，四边形ABCD在伸缩变换⎩⎪⎨⎪⎧x ′＝ax ，y ′＝y (a >0)的作用下变成正方形，则a 的值为( )A.1B.2C.12D.23解析 如图，由矩形ABCD 变为正方形A ′B ′C ′D ′，已知y ′＝y ， ∴边长为1，∴AB 长由2缩为原来的一半，∴x ′＝12x ，∴a ＝12.答案 C4.已知f 1(x )＝sin x ，f 2(x )＝sin ωx (ω>0)，f 2(x )的图象可以看作把f 1(x )的图象在其所在的坐标系中的横坐标压缩到原来的13(纵坐标不变)而得到的，则ω为( )A.12B.2C.3D.13解析 对照伸缩变换公式φ：⎩⎪⎨⎪⎧x ′＝λx （λ>0），y ′＝μy （μ>0），由y ＝sin x 得到y ′＝sin ωx ′故⎩⎪⎨⎪⎧ωx ′＝x y ′＝y ，即⎩⎪⎨⎪⎧x ′＝1ωx y ′＝y. ∴1ω＝13，∴ω＝3. 答案 C5.若点P (－2016，2017)经过伸缩变换⎩⎪⎨⎪⎧x ′＝x2 017，y ′＝y2 016后的点在曲线x ′y ′＝k 上，则k ＝________.解析 ∵P (－2 016，2 017)经过伸缩变换⎩⎪⎨⎪⎧x ′＝x 2 017，y ′＝y 2 016，得⎩⎪⎨⎪⎧x ′＝－2 0162 017，y ′＝2 0172 016代入x ′y ′＝k ，得k ＝x ′y ′＝－1. 答案 －16.可以将椭圆x 210＋y 28＝1变为圆x 2＋y 2＝4的伸缩变换为________.解析 将椭圆方程x 210＋y 28＝1，化为2x 25＋y22＝4，∴⎝⎛⎭⎪⎫2x 52＋⎝ ⎛⎭⎪⎫y 22＝4.令⎩⎪⎨⎪⎧x ′＝25x ，y ′＝y2得x ′2＋y ′2＝4，即x 2＋y 2＝4.∴伸缩变换⎩⎨⎧5x ′＝2x ，2y ′＝y为所求.答案 ⎩⎪⎨⎪⎧x ′＝25x y ′＝12y7.在同一平面直角坐标系中，求将曲线x 2－2y 2－3x ＝0变成曲线x ′2－8y ′2－12x ′＝0的伸缩变换.解 令伸缩变换为⎩⎪⎨⎪⎧x ′＝λx （λ>0），y ′＝μy （μ>0）.将其代入x ′2－8y ′2－12x ′＝0得λ2x 2－8μ2y 2－12λx ＝0，与x 2－2y 2－3x ＝0.进行比较，得⎩⎪⎨⎪⎧4μ2＝λ2，12λ＝3.故⎩⎪⎨⎪⎧λ＝4，μ＝2.从而伸缩变换为⎩⎪⎨⎪⎧x ′＝4x ，y ′＝2y .二、能力提升8.在平面直角坐标系中，方程3x －2y ＋1＝0所对应的直线经过伸缩变换⎩⎪⎨⎪⎧x ′＝13x ，y ′＝2y 后的直线方程为( ) A.3x ′－4y ′＋1＝0 B.3x ′＋y ′－1＝0 C.9x ′－y ′＋1＝0D.x ′－4y ′＋1＝0解析 由伸缩变换⎩⎪⎨⎪⎧x ′＝13x ，y ′＝2y 得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝3x ′，y ＝12y ′，代入方程3x －2y ＋1＝0有9x ′－y ′＋1＝0.答案 C9.平面直角坐标系中，在伸缩变换φ：⎩⎪⎨⎪⎧x ′＝λx （λ>0，λ≠1），y ′＝μy （μ>0，μ≠1）作用下仍是其本身的点为________.解析 设P (x ，y )在伸缩变换φ：⎩⎪⎨⎪⎧x ′＝λx （λ>0），y ′＝μy （μ>0）作用下得到P ′(λx ，μy ).依题意得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝λx ，y ＝μy ，其中λ>0，μ>0，λ≠1，μ≠1.∴x ＝y ＝0，即P (0，0)为所求.答案 (0，0)10.已知实数x ，y 满足方程x 2＋y 2－4x ＋1＝0，则x 2＋y 2的最大值和最小值分别为________. 解析 x 2＋y 2表示圆上的一点与原点距离的平方，由平面几何知识知，在原点和圆心连线与圆的两个交点处取得最大值和最小值.又圆心到原点的距离为（2－0）2＋（0－0）2＝2，所以x 2＋y 2的最大值是(2＋3)2＝7＋43，x 2＋y 2的最小值是(2－3)2＝7－4 3. 答案 7＋43；7－4 311.在平面直角坐标系中，求下列方程所对应的图形经过伸缩变换⎩⎪⎨⎪⎧x ′＝12x ，y ′＝13y 后的图形.(1)5x ＋2y ＝0； (2)x 2＋y 2＝2.解 (1)由伸缩变换⎩⎪⎨⎪⎧x ′＝12x ，y ′＝13y ，得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2x ′，y ＝3y ′，将其代入5x ＋2y ＝0，得到经过伸缩变换后的图形的方程是5x ′＋3y ′＝0. 所以经过伸缩变换⎩⎪⎨⎪⎧x ′＝12x ，y ′＝13y ，后，直线5x ＋2y ＝0变成直线5x ′＋3y ′＝0.(2)将⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2x ′，y ＝3y ′代入x 2＋y 2＝2，得到经过伸缩变换后的图形的方程是x ′214＋y ′219＝2，即x ′212＋y ′229＝1.所以经过伸缩变换⎩⎪⎨⎪⎧x ′＝12x ，y ′＝13y后，圆x 2＋y 2＝2变成椭圆x ′212＋y ′229＝1.12.台风中心从A 地以20 km/h 的速度向东北方向移动，离台风中心30 km 内的地区为危险区，城市B 在A 地正东40 km 处.求城市B 处于危险区内的时间.解 以A 为坐标原点，AB 所在直线为x 轴，建立平面直角坐标系，则B (40，0)，以点B 为圆心，30为半径的圆的方程为(x －40)2＋y 2＝302，台风中心移动到圆B 内时，城市B 处于危险区.台风中心移动的轨迹为直线y ＝x ，与圆B 相交于点M ，N ，点B 到直线y ＝x 的距离d ＝402＝20 2.求得|MN |＝2302－d 2＝20(km)，故|MN |20＝1，所以城市B 处于危险区的时间为1 h.三、探究与创新13.学校科技小组在计算机上模拟航天器变轨返回试验.设计方案如图，航天器运行(按顺时针方向)的轨迹方程为x 2100＋y 225＝1，变轨(即航天器运行轨迹由椭圆变为抛物线)后返回的轨迹是以y 轴为对称轴，M ⎝⎛⎭⎪⎫0，647为顶点的抛物线的实线部分，降落点为D (8，0)，观测点A (4，0)，B (6，0)同时跟踪航天器.(1)求航天器变轨后的运行轨迹所在的曲线方程；(2)试问：当航天器在x 轴上方时，观测点A ，B 测得离航天器的距离分别为多少时，应向航天器发出变轨指令？解 (1)设曲线方程为y ＝ax 2＋647.因为D (8，0)在抛物线上，∴0＝a ·82＋647，解得：a ＝－17.∴曲线方程为y ＝－17x 2＋647.(2)设变轨点为C (x ，y ).根据题意可知⎩⎪⎨⎪⎧x 2100＋y 225＝1 ①y ＝－17x 2＋647 ②得4y 2－7y －36＝0，解得y ＝4或y ＝－94(不合题意).∴y ＝4.得x ＝6或x ＝－6(不合题意，舍去). ∴C 点的坐标为(6，4).|AC |＝25，|BC |＝4.所以当观测点A 、B 测得离航天器的距离分别为25、4时，应向航天器发出变轨指令.二 极坐标系[学习目标]1.理解极坐标系的概念，理解极坐标的多值性.2.掌握极坐标与直角坐标的互化.3.掌握极坐标系的简单应用. [知识链接]1.在教材第2页思考中，我们以信息中心为基点，用角和距离刻画点P 的位置，这种刻画就是极坐标思想.这种方法与用直角坐标刻画点P 的位置有什么区别和联系？你认为哪种方法更方便？提示 直角坐标系中点的位置用有序数组来刻画.两者的联系是都通过数刻画点，体现了数形结合思想.在这里，应该使用角和距离刻画点P 位置更方便. 2.由极坐标的意义可判断平面上点的极坐标唯一吗？提示 平面上点的极坐标不是唯一的.如果限定ρ>0，θ∈[0，2π)，平面上的点(除去极点)与极坐标(ρ，θ)可建立一一对应关系.3.联系点的极坐标与直角坐标的互化公式的纽带是什么？提示 任意角的三角函数的定义及其基本关系式是联系点的极坐标与直角坐标的互化公式的纽带.事实上，若ρ>0，则sin θ＝y ρ，cos θ＝xρ，所以x ＝ρcos θ，y ＝ρsin θ，ρ2＝x 2＋y 2，tan θ＝yx(x ≠0). [预习导引] 1.极坐标系的概念(1)极坐标系的建立：在平面内取一个定点O ，叫做极点；自极点O 引一条射线Ox ，叫做极轴；再选定一个长度单位、一个角度单位(通常取弧度)及其正方向(通常取逆时针方向)，这样就建立了一个极坐标系.(2)极坐标：设M 是平面内一点，极点O 与点M 的距离|OM |叫做点M 的极径，记为ρ；以极轴Ox 为始边，射线OM 为终边的角xOM 叫做点M 的极角，记为θ.有序数对(ρ，θ)叫做点M 的极坐标，记为M (ρ，θ).一般地，不作特殊说明时，我们认为ρ≥0，θ可取任意实数. 2.点与极坐标的关系一般地，极坐标(ρ，θ)与(ρ，θ＋2k π)(k ∈Z )表示同一个点，特别地，极点O 的坐标为(0，θ)(θ∈R ).如果规定ρ>0，0≤θ<2π，那么除极点外，平面内的点可用唯一的极坐标(ρ，θ)表示；同时，极坐标(ρ，θ)表示的点也是唯一确定的. 3.极坐标与直角坐标的互化(1)互化背景：把直角坐标系的原点作为极点，x 轴的正半轴作为极轴，并在两种坐标系中取相同的长度单位，如图所示.(2)互化公式：设M 是平面内任意一点，它的直角坐标是(x ，y )，极坐标是(ρ，θ)，于是极坐标与直角坐标的互化公式如表：要点一 极坐标系的概念例1 设点A ⎝ ⎛⎭⎪⎫2，π3，直线l 为过极点且垂直于极轴的直线，分别求点A 关于极轴，直线l ，极点的对称点的极坐标(限定ρ>0，－π<θ≤π). 解 如图所示，关于极轴的对称点为B ⎝⎛⎭⎪⎫2，－π3.关于直线l 的对称点为C ⎝ ⎛⎭⎪⎫2，23π.关于极点O 的对称点为D ⎝ ⎛⎭⎪⎫2，－23π.规律方法 1.点的极坐标不是唯一的，但若限制ρ>0，0≤θ<2π，则除极点外，点的极坐标是唯一确定的.2.写点的极坐标要注意顺序：极径ρ在前，极角θ在后，不能颠倒顺序.跟踪演练1 在极坐标系中，下列各点中与⎝⎛⎭⎪⎫2，π6不表示同一个点的是( )A.⎝⎛⎭⎪⎫2，－116πB.⎝⎛⎭⎪⎫2，136πC.⎝⎛⎭⎪⎫2，116πD.⎝⎛⎭⎪⎫2，－236π 解析 与极坐标⎝ ⎛⎭⎪⎫2，π6相同的点可以表示为⎝ ⎛⎭⎪⎫2，π6＋2k π(k ∈Z )，只有⎝⎛⎭⎪⎫2，116π不满足.答案 C要点二 极坐标化为直角坐标例2 已知点的极坐标分别为A ⎝ ⎛⎭⎪⎫3，－π4，B ⎝ ⎛⎭⎪⎫2，2π3，C ⎝ ⎛⎭⎪⎫32，π，求它们的直角坐标.解 因为x ＝3cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫－π4＝3×22＝322，y ＝3sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫－π4＝3×⎝ ⎛⎭⎪⎫－22＝－322，所以A 点的直角坐标为⎝⎛⎭⎪⎫322，－322.同理，B ，C 两点的直角坐标分别为(－1，3)，⎝ ⎛⎭⎪⎫－32，0.规律方法 将点的极坐标(ρ，θ)化为点的直角坐标(x ，y )时，运用到求角θ的正弦值和余弦值，熟练掌握特殊角的三角函数值，灵活运用三角恒等变换公式是关键. 跟踪演练2 分别把下列点的极坐标化为直角坐标：(1)⎝ ⎛⎭⎪⎫2，π6；(2)⎝⎛⎭⎪⎫3，π2；(3)(π，π).解 (1)∵x ＝ρcos θ＝2cos π6＝3，y ＝ρsin θ＝2sin π6＝1.∴点的极坐标⎝ ⎛⎭⎪⎫2，π6化为直角坐标为(3，1).(2)∵x ＝ρcos θ＝3cos π2＝0，y ＝ρsin θ＝3sin π2＝3.∴点的极坐标⎝⎛⎭⎪⎫3，π2化为直角坐标为(0，3).(3)∵x ＝ρcos θ＝πcos π＝－π，y ＝ρsin θ＝πsin π＝0. ∴点的极坐标(π，π)化为直角坐标为(－π，0). 要点三 直角坐标化为极坐标例3 分别把下列点的直角坐标化为极坐标(限定ρ≥0，0≤θ<2π)： (1)(－2，23)；(2)(6，－2)；(3)⎝⎛⎭⎪⎫3π2，3π2.解 (1)∵ρ＝x 2＋y 2＝（－2）2＋（23）2＝4，tan θ＝yx＝－3，θ∈[0，2π)，由于点(－2，23)在第二象限，∴θ＝2π3.∴点的直角坐标(－2，23)化为极坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫4，23π.(2)∵ρ＝x 2＋y 2＝（6）2＋（－2）2＝22，tan θ＝yx ＝－33， θ∈[0，2π)，由于点(6，－2)在第四象限， ∴θ＝11π6.∴点的直角坐标(6，－2)化为极坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫22，11π6. (3)∵ρ＝x 2＋y 2＝⎝ ⎛⎭⎪⎫3π22＋⎝ ⎛⎭⎪⎫3π22＝32π2，tan θ＝y x ＝1，θ∈[0，2π).由于点⎝ ⎛⎭⎪⎫3π2，3π2在第一象限，∴θ＝π4.∴点的直角坐标⎝ ⎛⎭⎪⎫3π2，3π2化为极坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫32π2，π4.规律方法 1.将直角坐标(x ，y )化为极坐标(ρ，θ)，主要利用公式ρ2＝x 2＋y 2， tan θ＝yx (x ≠0)进行求解，先求极径，再求极角.2.在[0，2π)范围内，由tan θ＝y x(x ≠0)求θ时，要根据直角坐标的符号特征判断出点所在的象限.如果允许θ∈R ，再根据终边相同的角的意义，表示为θ＋2k π(k ∈Z )即可.跟踪演练3 点P 的直角坐标为(2，－2)，那么它的极坐标可表示为( )A.⎝ ⎛⎭⎪⎫2，π4B.⎝ ⎛⎭⎪⎫2，3π4C.⎝⎛⎭⎪⎫2，5π4 D.⎝⎛⎭⎪⎫2，7π4 解析 ∵ρ＝（－2）2＋（2）2＝2，tan θ＝－22＝－1，点P 在第四象限，θ＝7π4.∴极坐标为⎝⎛⎭⎪⎫2，7π4.答案 D要点四 极坐标的应用例4 在极坐标系中，如果A ⎝⎛⎭⎪⎫2，π4，B ⎝ ⎛⎭⎪⎫2，5π4为等边三角形ABC 的两个顶点，求顶点C 的极坐标(ρ>0，0≤θ<2π).解 对于点A ⎝ ⎛⎭⎪⎫2，π4有ρ＝2，θ＝π4，∴x ＝2cos π4＝2，y ＝2sin π4＝2，则A (2，2).对于B ⎝ ⎛⎭⎪⎫2，54π有ρ＝2，θ＝54π，∴x ＝2cos 54π＝－2，y ＝2sin 54π＝－ 2.∴B (－2，－2).设C 点的坐标为(x ，y )，由于△ABC 为等边三角形， 故|AB |＝|BC |＝|AC |＝4.∴有⎩⎨⎧（x －2）2＋（y －2）2＝16，（x ＋2）2＋（y ＋2）2＝16.解之得⎩⎨⎧x ＝6，y ＝－6或⎩⎨⎧x ＝－6，y ＝ 6.∴C 点的坐标为(6，－6)或(－6，6). ∴ρ＝6＋6＝23，tan θ＝－66＝－1，∴θ＝74π或θ＝34π.故点C 的极坐标为⎝⎛⎭⎪⎫23，74π或⎝ ⎛⎭⎪⎫23，34π.规律方法 1.本例综合考查了点的极坐标与直角坐标的互化公式以及等边三角形的意义和性质.结合几何图形可知，点C 的坐标有两解，设出点的坐标寻求等量关系建立方程组求解是关键.2.若设出C (ρ，θ)，利用余弦定理亦可求解跟踪演练4 已知A 、B 两点的极坐标分别是⎝ ⎛⎭⎪⎫2，π3，⎝ ⎛⎭⎪⎫4，5π6，求A 、B 两点间的距离和△AOB的面积.解 求两点间的距离可用如下公式： |AB |＝4＋16－2×2×4×cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫5π6－π3＝20＝2 5.S △AOB ＝12|ρ1ρ2sin(θ1－θ2)|＝12⎪⎪⎪⎪⎪⎪2×4×sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫5π6－π3＝12×2×4＝4.1.极坐标系的概念极坐标系就是用长度和角度来确定平面内点的位置.极坐标系的建立有四个要素：①极点；②极轴；③长度单位；④角度单位和它的正方向.四者缺一不可. 2.点的极坐标每一个有序实数对(ρ，θ)确定一个点的位置.其中，ρ是点M 的极径，θ是点M 的极角.平面上给定一点，可以写出这个点的无数多个极坐标.如果限定ρ>0，0≤θ<2π，则除极点外，平面上的点就与它的极坐标构成一一对应的关系. 3.极坐标与直角坐标的互化任意角的三角函数的定义及其基本关系式是联系点的极坐标与直角坐标的互化公式的纽带.事实上，若ρ>0，sin θ＝y ρ，cos θ＝xρ，所以x ＝ρcos θ，y ＝ρsin θ，ρ2＝x 2＋y 2，tan θ＝yx(x ≠0).1.极坐标⎝⎛⎭⎪⎫1，2π3对应的点在以极点为坐标原点，极轴为横轴的直角坐标系的( )A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限解析 由题意可得ρ＝1，θ＝2π3，∴x ＝ρcos θ＝－12，y ＝ρsin θ＝32，故它的直角坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，32在第二象限.答案 B2.点A 的极坐标是⎝⎛⎭⎪⎫2，7π6，则点A 的直角坐标为( )A.(－1，－3)B.(－3，1)C.(－3，－1)D.(3，－1)解析 x ＝ρcos θ＝2cos 76π＝－3，y ＝ρsin θ＝2sin 76π＝－1.答案 C3.把点P 的直角坐标(－3，1)化成极坐标为________(ρ>0，0≤θ<2π). 解析 ρ＝（－3）2＋12＝2，tan θ＝1－3＝－33，又点P 在第二象限，故θ＝5π6，因此，点P 的极坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫2，5π6.答案 ⎝⎛⎭⎪⎫2，5π64.将极轴Ox 绕极点顺时针方向旋转π6得到射线OP ，在OP 上取点M ，使|OM |＝2，则ρ>0，θ∈[0，2π)时点M 的极坐标为________，它关于极轴对称点的极坐标为________(ρ>0，θ∈[0，2π)).解析 ρ＝|OM |＝2，与OP 终边相同的角为－π6＋2k π(k ∈Z ).∵θ∈[0，2π)，∴k ＝1，θ＝11π6，∴M ⎝ ⎛⎭⎪⎫2，11π6，∴M 关于极轴的对称点为⎝ ⎛⎭⎪⎫2，π6.答案 ⎝ ⎛⎭⎪⎫2，11π6 ⎝ ⎛⎭⎪⎫2，π6一、基础达标1.点P 的极坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫2，74π，则点P 的直角坐标为( ) A.(2，2) B.(2，－2) C.(2，2)D.(－2，2)解析 x ＝ρcos θ＝2，y ＝ρsin θ＝－ 2. 答案 B2.点M 的直角坐标为⎝⎛⎭⎪⎫0，π2，则点M 的极坐标可以为( )A.⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，0B.⎝⎛⎭⎪⎫0，π2C.⎝⎛⎭⎪⎫π2，π2D.⎝⎛⎭⎪⎫π2，－π2 解析 ∵ρ＝x 2＋y 2＝π2，且θ＝π2，∴M 的极坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，π2.答案 C3.下列各点与⎝ ⎛⎭⎪⎫2，π3表示极坐标系中同一点的是( ) A.⎝ ⎛⎭⎪⎫2，2π3B.(2，π)C.⎝⎛⎭⎪⎫2，7π3 D.(2，2π)解析 与极坐标⎝ ⎛⎭⎪⎫2，π3相同的点可以表示为⎝ ⎛⎭⎪⎫2，π3＋2k π(k ∈Z )，只有⎝⎛⎭⎪⎫2，7π3适合.答案 C4.在极坐标系中，已知点P 1⎝ ⎛⎭⎪⎫6，π4、P 2⎝⎛⎭⎪⎫8，3π4，则|P 1P 2|等于( )A.9B.10C.14D.2解析 ∠P 1OP 2＝3π4－π4＝π2，∴△P 1OP 2为直角三角形，由勾股定理可得|P 1P 2|＝10.答案 B5.在极坐标系中，已知点A ⎝ ⎛⎭⎪⎫1，34π，B ⎝⎛⎭⎪⎫2，π4，则A 、B 两点间的距离为________.解析 由公式|AB |＝ρ21＋ρ22－2ρ1ρ2cos （θ1－θ2），得|AB |＝1＋4－2×1×2cos ⎝⎛⎭⎪⎫3π4－π4＝1＋4－0＝ 5.答案56.平面直角坐标系中，若点P ⎝ ⎛⎭⎪⎫3，7π2经过伸缩变换⎩⎪⎨⎪⎧x ′＝2x y ′＝13y 后的点为Q ，则极坐标系中，极坐标为Q 的点到极轴所在直线的距离等于________.解析 ∵点P ⎝ ⎛⎭⎪⎫3，7π2经过伸缩变换⎩⎪⎨⎪⎧x ′＝2x ，y ′＝13y 后的点为Q ⎝ ⎛⎭⎪⎫6，7π6，则极坐标系中，极坐标为Q 的点到极轴所在直线的距离等于6⎪⎪⎪⎪⎪⎪sin 7π6＝3.答案 37.在极轴上求与点A ⎝ ⎛⎭⎪⎫42，π4距离为5的点M 的坐标.解 设M (r ，0)，∵A ⎝ ⎛⎭⎪⎫42，π4，∴（42）2＋r 2－82r cos π4＝5，即r 2－8r ＋7＝0，解得r ＝1或r ＝7. ∴点M 的坐标为(1，0)或(7，0). 二、能力提升8.下列的点在极轴上方的是( ) A.(3，0)B.⎝ ⎛⎭⎪⎫3，7π6C.⎝⎛⎭⎪⎫4，7π4D.⎝ ⎛⎭⎪⎫4，17π4解析 建立极坐标系，由极坐标的定义可得点(3，0)在极轴上，点⎝ ⎛⎭⎪⎫3，7π6，⎝ ⎛⎭⎪⎫4，7π4在极轴下方，点⎝ ⎛⎭⎪⎫4，17π4在极轴上方，故选D.答案 D9.点M ⎝⎛⎭⎪⎫6，5π6到极轴所在直线的距离为________. 解析 依题意，点M ⎝ ⎛⎭⎪⎫6，5π6到极轴所在的直线的距离为d ＝6×sin 5π6＝3.答案 310.已知极坐标系中，极点为O ，0≤θ<2π，M ⎝⎛⎭⎪⎫3，π3，在直线OM 上与点M 的距离为4的点的极坐标为________.解析 如图，|OM |＝3，∠xOM ＝π3，在直线OM 上取点P ，Q ，使|OP |＝7，|OQ |＝1，显然有|PM |＝|OP |－|OM |＝7－3＝4，|QM |＝|OM |＋|OQ |＝3＋1＝4.点P ，Q 都满足条件，且∠xOP ＝π3，∠xOQ ＝4π3.答案 ⎝⎛⎭⎪⎫7，π3或⎝ ⎛⎭⎪⎫1，4π311.(1)已知点的极坐标分别为A ⎝ ⎛⎭⎪⎫5，π3，B ⎝ ⎛⎭⎪⎫1，2π3，C ⎝ ⎛⎭⎪⎫2，－3π4，D ⎝ ⎛⎭⎪⎫4，11π6，求它们的直角坐标.(2)已知点的直角坐标分别为A (3，3)，B ⎝ ⎛⎭⎪⎫0，－53，C (－1，－3)，求它们的极坐标(ρ≥0，0≤θ<2π).解 (1)根据x ＝ρcos θ，y ＝ρsin θ，得A ⎝ ⎛⎭⎪⎫52，532，B ⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，32，C (－2，－2)，D (23，－2).(2)根据ρ2＝x 2＋y 2，tan θ＝y x 得A ⎝ ⎛⎭⎪⎫23，π6，B ⎝ ⎛⎭⎪⎫53，3π2，C ⎝ ⎛⎭⎪⎫2，4π3.12.在极坐标系中，已知△ABC 的三个顶点的极坐标分别为A ⎝ ⎛⎭⎪⎫2，π3，B (2，π)，C ⎝⎛⎭⎪⎫2，5π3.(1)判断△ABC 的形状； (2)求△ABC 的面积.解 (1)如图所示，由A ⎝ ⎛⎭⎪⎫2，π3，B (2，π)，C ⎝⎛⎭⎪⎫2，5π3得|OA |＝|OB |＝|OC |＝2，∠AOB ＝∠BOC ＝∠AOC ＝2π3.∴△AOB ≌△BOC ≌△AOC ，∴AB ＝BC ＝CA ， 故△ABC 为等边三角形. (2)由上述可知，AC ＝2OA sin π3＝2×2×32＝2 3. ∴S △ABC ＝34×(23)2＝33(面积单位). 三、探究与创新13.某大学校园的部分平面示意图如图：用点O ，A ，B ，C ，D ，E ，F ，G 分别表示校门，器材室，操场，公寓，教学楼，图书馆，车库，花园，其中|AB |＝|BC |，|OC |＝600 m.建立适当的极坐标系，写出除点B 外各点的极坐标(限定ρ≥0，0≤θ<2π且极点为(0，0)).解 以点O 为极点，OA 所在的射线为极轴Ox (单位长度为1 m)，建立极坐标系.由|OC |＝600 m ，∠AOC ＝π6，∠OAC ＝π2，得|AC |＝300 m ，|OA |＝300 3 m ，又|AB |＝|BC |，所以|AB |＝150 m.同理，得|OE |＝2|OG |＝3002m ，所以各点的极坐标分别为O (0，0)，A (3003，0)，C ⎝⎛⎭⎪⎫600，π6，D ⎝⎛⎭⎪⎫300，π2，E ⎝ ⎛⎭⎪⎫3002，3π4，F (300，π)，G ⎝⎛⎭⎪⎫1502，34π.三 简单曲线的极坐标方程[学习目标]1.了解极坐标方程的意义.2.掌握直线和圆的极坐标方程.3.能够根据极坐标方程研究有关数学问题. [知识链接]1.曲线的极坐标方程是否唯一？提示 由于平面上点的极坐标的表示形式不唯一，所以曲线上的点的极坐标有多种表示，曲线的极坐标方程不唯一.2.上节课我们学了点的直角坐标与极坐标的互化，若已知一曲线的极坐标方程是ρ＝2cos θ，那么该曲线对应怎样的几何图形？提示由ρ＝2cos θ得ρ2＝2ρcos θ，即x2＋y2＝2x，即标准方程为(x－1)2＋y2＝1，曲线为以(1，0)为圆心，半径为1的圆.[预习导引]1.曲线与方程的关系在平面直角坐标系中，平面曲线C可以用方程f(x，y)＝0表示，曲线与方程满足如下关系：(1)曲线C上点的坐标都是方程f(x，y)＝0的解；(2)以方程f(x，y)＝0的解为坐标的点都在曲线C上.2.曲线的极坐标方程一般地，在极坐标系中，如果平面曲线C上任意一点的极坐标中至少有一个满足方程f(ρ，θ)＝0，并且坐标适合方程f(ρ，θ)＝0的点都在曲线C上，那么方程f(ρ，θ)＝0叫做曲线C的极坐标方程.3.常见曲线的极坐标方程要点一圆的极坐标方程例1 求圆心在C ⎝ ⎛⎭⎪⎫2，3π2处并且过极点的圆的极坐标方程，并判断点⎝ ⎛⎭⎪⎫－2，sin 5π6是否在这个圆上.解 如图，由题意知，圆经过极点O ，OA 为其一条直径，设M (ρ，θ)为圆上除点O ，A 以外的任意一点，则|OA |＝2r ，连接AM ，则OM ⊥MA .在Rt △OAM 中，|OM |＝|OA |cos ∠AOM ，即ρ＝2r cos ⎝⎛⎭⎪⎫3π2－θ，∴ρ＝－4sin θ，经验证，点O (0，0)，A ⎝⎛⎭⎪⎫4，3π2的坐标满足上式.∴满足条件的圆的极坐标方程为ρ＝－4sin θ.∵sin 5π6＝12，∴ρ＝－4sin θ＝－4sin 5π6＝－2，∴点⎝⎛⎭⎪⎫－2，sin 5π6在此圆上.规律方法 1.求曲线的极坐标方程通常有以下五个步骤：(1)建立适当的极坐标系(本题无需建)；(2)在曲线上任取一点M (ρ，θ)；(3)根据曲线上的点所满足的条件写出等式；(4)用极坐标(ρ，θ)表示上述等式，并化简得曲线的极坐标方程；(5)证明所得的方程是曲线的极坐标方程.(一般只要对特殊点加以检验即可). 2.求曲线的极坐标方程，关键是找出曲线上的点满足的几何条件，并进行坐标表示. 跟踪演练1 曲线C 的直角坐标方程为x 2＋y 2＋2x ＝0，以原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，则曲线C 的极坐标方程为________.解析 直角坐标方程x 2＋y 2－2x ＝0可化为x 2＋y 2＝2x ，将ρ2＝x 2＋y 2，x ＝ρcos θ代入整理得ρ＝2cos θ. 答案 ρ＝2cos θ要点二 射线或直线的极坐标方程例2 如图，在极坐标系中，直线l 过M ⎝⎛⎭⎪⎫3，π2且该直线与极轴的正方向成π4，求此直线l 的极坐标方程.解 法一 设直线上任意一点为P (ρ，θ)，在△OMP 中∠OMP ＝π2＋π4＝34π，∠MPO ＝θ－π4.根据正弦定理得ρsin 3π4＝3sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ－π4， 即ρsin ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ－π4＝322.法二 设直线上任意一点为P (ρ，θ)，点M 的直角坐标为(0，3)，直线MP 的倾斜角为π4，∴直线l 为y ＝x ＋3，化直角坐标方程为极坐标方程为ρsin θ＝ρcos θ＋3，∴ρsin ⎝⎛⎭⎪⎫θ－π4＝322. 规律方法 法一通过运用正弦定理解三角形建立了动点M 所满足的等式，从而集中条件建立了以ρ，θ为未知数的方程；法二先求出直线的直角坐标方程，然后通过直角坐标向极坐标的转化公式间接得解，过渡自然，视角新颖，不仅优化了思维方式，而且简化了解题过程. 跟踪演练2 求以A (1，0)为端点，倾斜角为π4且在极轴上方的射线的极坐标方程.解 由题意，设M (ρ，θ)为射线上任意一点，根据例题可知，ρsin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－θ＝22，化简得ρ(cos θ－sin θ)＝1.经检验点A (1，0)的坐标适合上述方程.因此，以A 为端点且在极轴上方的射线的极坐标方程为ρ(cos θ－sin θ)＝1⎝⎛⎭⎪⎫其中ρ≥0，0≤θ<π4.要点三 极坐标方程与直角坐标方程的互化例3 若曲线C 的极坐标方程为ρ＝2sin θ＋4cos θ，以极点为原点，极轴为x 轴的正半轴建立直角坐标系.(1)求曲线C 的直角坐标方程；(2)若直线ρsin ⎝⎛⎭⎪⎫θ－π4＝0与曲线C 相交于A 、B ，求|AB |. 解 (1)因为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝ρcos θ，y ＝ρsin θ，所以ρ2＝x 2＋y 2，由ρ＝2sin θ＋4cos θ，得ρ2＝2ρsin θ＋4ρcos θ，∴x 2＋y 2－4x －2y ＝0，即(x －2)2＋(y －1)2＝5.(2)由ρsin ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ－π4＝0，得ρ⎝ ⎛⎭⎪⎫22sin θ－22cos θ＝0，即ρsin θ－ρcos θ＝0，∴x －y ＝0.由于圆(x －2)2＋(y －1)2＝5的半径为r ＝5，圆心(2，1)到直线x －y ＝0的距离为d ＝|2－1|2＝12，∴|AB |＝2r 2－d 2＝3 2. 规律方法 1.直角坐标方程化为极坐标方程，只需把公式x ＝ρcos θ及y ＝ρsin θ直接代入并化简即可；而极坐标方程化为直角坐标方程要通过变形，构造形如ρcos θ，ρsin θ，ρ2的形式，进行整体代换.其中方程的两边同乘以(或同除以)ρ及方程两边平方是常用的变形方法.但对方程进行变形时，方程必须保持同解，因此应注意对变形过程的检验.2.对方程进行合理变形，并注重公式的正向、逆向与变形使用. 跟踪演练3 (1)将x 2－y 2＝a 2化为极坐标方程； (2)将ρ＝2a sin θ化为直角坐标方程. (3)将θ＝π3化为直角坐标方程.解 (1)直接代入互化公式，ρ2cos 2θ－ρ2sin 2θ＝a 2，∴ρ2cos 2θ＝a 2，这就是所求的极坐标方程.(2)两边同乘以ρ得ρ2＝2a ·ρsin θ.∴x 2＋y 2＝2ay ，这就是要求的直角坐标方程.(3)tan θ＝y x ，∴tan π3＝yx＝3，化简得y ＝3x (x ≥0).要点四 极坐标方程的应用例4 从极点O 作直线与另一直线l ：ρcos θ＝4相交于点M ，在OM 上取一点P ，使|OM |·|OP |＝12.(1)求点P 的轨迹方程；(2)设R 为l 上的任意一点，试求|RP |的最小值.解 (1)设动点P 的极坐标为(ρ，θ)，M 的极坐标为(ρ0，θ)，则ρρ0＝12. ∵ρ0cos θ＝4，∴ρ＝3cos θ即为所求的轨迹方程.(2)将ρ＝3cos θ化为直角坐标方程，得x 2＋y 2＝3x ，即⎝ ⎛⎭⎪⎫x －322＋y 2＝⎝ ⎛⎭⎪⎫322，知P 的轨迹是以⎝ ⎛⎭⎪⎫32，0为圆心，半径为32的圆.直经l 的直角坐标方程是x ＝4.结合图形易得|RP |的最小值为1.规律方法 1.用极坐标法可使几何中的一些问题得出很直接、简单的解法.当然，因为建系的不同，曲线的极坐标方程也会不同.2.解题时关键是极坐标要选取适当，这样可以简化运算过程，转化为直角坐标时也容易一些.。
2017_18学年高中数学第一章坐标系第1节教学案
第1节 平面直角坐标系[核心必知]1．平面直角坐标系 (1)平面直角坐标系的作用通过直角坐标系，平面上的点与坐标(有序实数对)、曲线与方程建立了联系，从而实现了数与形的结合．(2)坐标法解决几何问题的“三部曲”第一步：建立适当坐标系，用坐标和方程表示问题中涉及的几何元素，将几何问题转化为代数问题；第二步：通过代数运算解决代数问题；第三步：把代数运算结果翻译成几何结论．2．平面直角坐标系中的伸缩变换设点P (x ，y )是平面直角坐标系中的任意一点，在变换φ：⎩⎪⎨⎪⎧x ′＝λ·x ，（λ＞0），y ′＝μ·y ，（μ＞0）的作用下，点P (x ，y )对应到点P ′(x ′，y ′)，称φ为平面直角坐标系中的坐标伸缩变换，简称伸缩变换．[问题思考]1．用坐标法解决几何问题时，坐标系的建立是否是唯一的？提示：对于同一个问题，可建立不同的坐标系解决，但应使图形上的特殊点尽可能多地落在坐标轴，以便使计算更简单、方便．2．伸缩变换中的系数λ，μ有什么特点？在伸缩变换下，平面直角坐标系是否发生变化？提示：伸缩变换中的系数λ>0，μ>0，在伸缩变换下，平面直角坐标系保持不变，只是对点的坐标进行伸缩变换．已知Rt △ABC ，|AB |＝2a (a >0)，求直角顶点C 的轨迹方程．[精讲详析] 解答此题需要结合几何图形的结构特点，建立适当的平面直角坐标系，然后设出所求动点的坐标，寻找满足几何关系的等式，化简后即可得到所求的轨迹方程．以AB 所在直线为x 轴，AB 的中点为坐标原点，建立如图所示的直角坐标系，则有A (－a ，0)，B (a ，0)，设顶点C (x ，y )．法一：由△ABC 是直角三角形可知|AB |2＝|AC |2＋|BC |2，即(2a )2＝(x ＋a )2＋y 2＋(x －a )2＋y 2，化简得x 2＋y 2＝a 2.依题意可知，x ≠±a .故所求直角顶点C 的轨迹方程为x 2＋y 2＝a 2(x ≠±a )．法二：由△ABC 是直角三角形可知AC ⊥BC ，所以k AC ·k BC ＝－1，则yx ＋a ·yx －a＝－1(x ≠±a )，化简得直角顶点C 的轨迹方程为x 2＋y 2＝a 2(x ≠±a )．法三：由△ABC 是直角三角形可知|OC |＝|OB |，且点C 与点B 不重合，所以x 2＋y 2＝a (x ≠±a )，化简得直角顶点C 的轨迹方程为x 2＋y 2＝a 2(x ≠±a )．——————————————————求轨迹方程，其实质就是根据题设条件，把几何关系通过“坐标”转化成代数关系，得到对应的方程．(1)求轨迹方程的一般步骤是：建系→设点→列式→化简→检验．(2)求轨迹方程时注意不要把范围扩大或缩小，也就是要检验轨迹的纯粹性和完备性．(3)由于观察的角度不同，因此探求关系的方法也不同，解题时要善于从多角度思考问题．1．已知线段AB与CD互相垂直平分于点O，|AB|＝8，|CD|＝4，动点M满足|MA|·|MB|＝|MC|·|MD|，求动点M的轨迹方程．解：以O为原点，分别以直线AB，CD为x轴、y轴建立直角坐标系，则A(－4，0)，B(4，0)，C(0，2)，D(0，－2)．设M(x，y)为轨迹上任一点，则|MA|＝（x＋4）2＋y2，|MB|＝（x－4）2＋y2，|MC|＝x2＋（y－2）2，|MD|＝x2＋（y＋2）2，∴由|MA|·|MB|＝|MC|·|MD|，可得[（x＋4）2＋y2][（x－4）2＋y2]＝[x2＋（y－2）2][x2＋（y＋2）2].化简，得y2－x2＋6＝0.∴点M的轨迹方程为x2－y2＝6.已知△ABC中，AB＝AC，BD、CE分别为两腰上的高．求证：BD＝CE.[精讲详析] 本题考查坐标法在几何中的应用．解答本题可通过建立平面直角坐标系，将几何证明问题转化为代数运算问题．如图，以BC所在直线为x轴，BC的垂直平分线为y轴建立平面直角坐标系．设B(－a，0)，C(a，0)，A(0，h)．则直线AC 的方程为y ＝－h ax ＋h ，即：hx ＋ay －ah ＝0. 直线AB 的方程为y ＝h ax ＋h ， 即：hx －ay ＋ah ＝0.由点到直线的距离公式：|BD |＝|2ah |a 2＋h2，|CE |＝|2ah |a 2＋h2，∴|BD |＝|CE |， 即BD ＝CE . ——————————————————(1)建立适当的直角坐标系，将平面几何问题转化为解析几何问题，即“形”转化为“数”，再回到“形”中，此为坐标法的基本思想，务必熟练掌握．(2)建立坐标系时，要充分利用图形的几何特征．例如，中心对称图形，可利用它的对称中心为坐标原点；轴对称图形，可利用它的对称轴为坐标轴；题设中有直角，可考虑以两直角边所在的直线为坐标轴等．2．已知△ABC 中，BD ＝CD ，求证：AB 2＋AC 2＝2(AD 2＋BD 2)． 证明：以A 为坐标原点O ，AB 所在直线为x 轴，建立平面直角坐系xOy ，则A (0，0)，设B (a ，0)，C (b ，c )，则D (a ＋b 2，c2)，∴AD 2＋BD 2＝（a ＋b ）24＋c 24＋（a －b ）24＋c24＝12(a 2＋b 2＋c 2)， AB 2＋AC 2＝a 2＋b 2＋c 2.∴AB 2＋AC 2＝2(AD 2＋BD 2)．在平面直角坐标系中，求下列方程所对应的图形经过伸缩变换⎩⎪⎨⎪⎧x ′＝13x ，y ′＝12y后的图形是什么形状？(1)y 2＝2x ；(2)x 2＋y 2＝1.[精讲详析] 本题考查伸缩变换的应用，解答此题需要先根据伸缩变换求出变换后的方程，然后再判断图形的形状．由伸缩变换⎩⎪⎨⎪⎧x ′＝13x ，y ′＝12y .可知⎩⎪⎨⎪⎧x ＝3x ′，y ＝2y ′.(1)将⎩⎪⎨⎪⎧x ＝3x ′，y ＝2y ′代入y 2＝2x ，可得4y ′2＝6x ′，即y ′2＝32x ′.即伸缩变换之后的图形还是抛物线． (2)将⎩⎪⎨⎪⎧x ＝3x ′，y ＝2y ′代入x 2＋y 2＝1，得(3x ′)2＋(2y ′)2＝1，即x ′219＋y ′214＝1，即伸缩变换之后的图形为焦点在y 轴上的椭圆． ——————————————————利用坐标伸缩变换φ：⎩⎪⎨⎪⎧x ′＝λ·x ，（λ>0），y ′＝μ·y ，（μ>0）求变换后的曲线方程，其实质是从中求出⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1λx ′，y ＝1μy ′，然后将其代入已知的曲线方程求得关于x ′，y ′的曲线方程．3．将圆锥曲线C 按伸缩变换公式⎩⎪⎨⎪⎧3x ′＝x ，2y ′＝y 变换后得到双曲线x ′2－y ′2＝1，求曲线C 的方程．解：设曲线C 上任意一点P (x ，y )，通过伸缩变换后的对应点为P ′(x ′，y ′)， 由⎩⎪⎨⎪⎧3x ′＝x ，2y ′＝y 得⎩⎪⎨⎪⎧x ′＝13x ，y ′＝12y .代入x ′2－y ′2＝1得(x3)2－(y2)2＝1，即x 29－y 24＝1为所求．本课时考点常以解答题(多出现在第(1)小问)的形式考查轨迹方程的求法，湖北高考将圆锥曲线的类型讨论同轨迹方程的求法相结合，以解答题的形式考查，是高考命题的一个新热点．[考题印证](湖北高考改编)设A 是单位圆x 2＋y 2＝1上的任意一点，l 是过点A 与x 轴垂直的直线，D 是直线l 与x 轴的交点，点M 在直线l 上，且满足|DM |＝m |DA |(m ＞0，且m ≠1)．当点A在圆上运动时，记点M 的轨迹为曲线C .求曲线C 的方程，判断曲线C 为何种圆锥曲线，并求其焦点坐标．[命题立意] 本题考查圆锥曲线的相关知识以及轨迹方程的求法． [解]如图，设M (x ，y )，A (x 0，y 0)，则由|DM |＝m |DA |(m ＞0，且m ≠1)，可得x ＝x 0，|y |＝m |y 0|，所以x 0＝x ，|y 0|＝1m|y |. ①因为A 点在单位圆上运动，所以x 20＋y 20＝1. ②将①式代入②式即得所求曲线C 的方程为x 2＋y 2m2＝1(m ＞0，且m ≠1)．因为m ∈(0，1)∪(1，＋∞)，所以当0＜m ＜1时，曲线C 是焦点在x 轴上的椭圆， 两焦点坐标分别为(－1－m 2，0)，(1－m 2，0)； 当m ＞1时，曲线C 是焦点在y 轴上的椭圆， 两焦点坐标分别为(0，－m 2－1)，(0，m 2－1)．一、选择题1．y ＝cos x 经过伸缩变换⎩⎪⎨⎪⎧x ′＝2x ，y ′＝3y后，曲线方程变为( )A ．y ′＝3cosx ′2B ．y ′＝3cos 2x ′C ．y ′＝13cos x ′2D ．y ′＝13cos 2x ′解析：选A 由⎩⎪⎨⎪⎧x ′＝2x ，y ′＝3y 得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝12x ′，y ＝13y ′.又∵y ＝cos x ，∴13y ′＝cos x ′2，即y ′＝3cos x ′2. 2．直线2x ＋3y ＝0经伸缩变换后变为x ′＋y ′＝0，则该伸缩变换为( ) A.⎩⎪⎨⎪⎧x ′＝12x ，y ′＝3yB.⎩⎪⎨⎪⎧x ′＝2x ，y ′＝3yC.⎩⎪⎨⎪⎧x ′＝2x ，y ′＝13yD.⎩⎪⎨⎪⎧x ′＝12x ，y ′＝13y解析：选B 设变换为⎩⎪⎨⎪⎧x ′＝λ·x ，（λ>0）y ′＝μ·y ，（μ>0），将其代入方程x ′＋y ′＝0，得，λx ＋μy ＝0.又∵2x ＋3y ＝0，∴λ＝2，μ＝3.即⎩⎪⎨⎪⎧x ′＝2x ，y ′＝3y . 3．将一个圆作伸缩变换后所得到的图形不可能是( ) A ．椭圆 B ．比原来大的圆 C ．比原来小的圆 D ．双曲线 解析：选D 由伸缩变换的意义可得．4．已知两定点A (－2，0)，B (1，0)，如果动点P 满足|PA |＝2|PB |，则点P 的轨迹所围成的图形的面积等于( )A ．πB ．4πC ．8πD ．9π解析：选B 设P 点的坐标为(x ，y )， ∵|PA |＝2|PB |，∴(x ＋2)2＋y 2＝4[(x －1)2＋y 2]． 即(x －2)2＋y 2＝4.故P 点的轨迹是以(2，0)为圆心，以2为半径的圆， 它的面积为4π. 二、填空题5．将点P (2，3)变换为点P ′(1，1)的一个伸缩变换公式为________．解析：设伸缩变换为⎩⎪⎨⎪⎧x ′＝hx （h >0）y ′＝kx （k >0），由⎩⎪⎨⎪⎧1＝2h1＝3k ，解得⎩⎪⎨⎪⎧h ＝12，k ＝13∴⎩⎪⎨⎪⎧x ′＝x 2，y ′＝y 3. 答案：⎩⎪⎨⎪⎧x ′＝x 2，y ′＝y36．将对数曲线y ＝log 3x 的横坐标伸长到原来的2倍得到的曲线方程为________． 解析：设P (x ，y )为对数曲线y ＝log 3x 上任意一点，变换后的对应点为P ′(x ′，y ′)，由题意知伸缩变换为⎩⎪⎨⎪⎧x ′＝2xy ′＝y ，∴⎩⎪⎨⎪⎧x ＝12x ′，y ＝y ′.代入y ＝log 3x 得y ′＝log 312x ′，即y ＝log 3x2.答案：y ＝log 3x27．把圆x 2＋y 2＝16沿x 轴方向均匀压缩为椭圆x ′2＋y ′216＝1，则坐标变换公式是________．解析：设φ：⎩⎪⎨⎪⎧x ′＝λ·x （λ＞0），y ′＝μ·y （μ＞0），则⎩⎪⎨⎪⎧x ＝x ′λ，y ＝y ′μ.代入x 2＋y 2＝16得x ′216λ2＋y ′216μ2＝1.∴16λ2＝1，16μ2＝16. ∴⎩⎪⎨⎪⎧λ＝14，μ＝1.故⎩⎪⎨⎪⎧x ′＝x 4，y ′＝y .答案：⎩⎪⎨⎪⎧x ′＝x 4，y ′＝y8．已知A (2，－1)，B (－1，1)，O 为坐标原点，动点M ，其中m ，n ∈R ，且2m 2－n 2＝2，则M 的轨迹方程为________．解析：设M (x ，y )，则(x ，y )＝m (2，－1)＋n (－1，1)＝(2m －n ，n －m )，∴⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2m －n ，y ＝n －m .又2m 2－n 2＝2，消去m ，n 得x 22－y 2＝1.答案：x 22－y 2＝1三、解答题9．在同一平面直角坐标系中，将曲线x 2－36y 2－8x ＋12＝0变成曲线x ′2－y ′2－4x ′＋3＝0，求满足条件的伸缩变换．解：x 2－36y 2－8x ＋12＝0可化为 (x －42)2－9y 2＝1.①x ′2－y ′2－4x ′＋3＝0可化为(x ′－2)2－y ′2＝1.②比较①②，可得⎩⎪⎨⎪⎧x ′－2＝x －42，y ′＝3y ，即⎩⎪⎨⎪⎧x ′＝x 2，y ′＝3y .所以将曲线x 2－36y 2－8x ＋12＝0上所有点的横坐标变为原来的12，纵坐标变为原来的3倍，就可得到曲线x ′2－y ′2－4x ′＋3＝0的图象．10．在正三角形ABC 内有一动点P ，已知P 到三顶点的距离分别为|PA |，|PB |，|PC |，且满足|PA |2＝|PB |2＋|PC |2，求点P 的轨迹方程．解：以BC 的中点为原点，BC 所在的直线为x 轴，BC 的垂直平分线为y 轴，建立如图所示的直角坐标系，设点P (x ，y )，B (－a ，0)，C (a ，0)，A (0，3a )，(y >0，a >0)用点的坐标表示等式|PA |2＝|PB |2＋|PC |2，有x 2＋(y －3a )2＝(x ＋a )2＋y 2＋(x －a )2＋y 2， 化简得x 2＋(y ＋3a )2＝(2a )2，即点P 的轨迹方程为x 2＋(y ＋3a )2＝4a 2(y >0)． 11．已知椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的离心率为33，以原点为圆心、椭圆短半轴长为半径的圆与直线y ＝x ＋2相切．(1)求a 与b ；(2)设该椭圆的左、右焦点分别为F 1和F 2，直线l 1过F 2且与x 轴垂直，动直线l 2与y 轴垂直，l 2交l 1于点P .求线段PF 1的垂直平分线与l 2的交点M 的轨迹方程，并指明曲线类型．解：(1)∴e ＝33， ∴e 2＝c 2a 2＝a 2－b 2a 2＝13， ∴b 2a 2＝23. 又圆x 2＋y 2＝b 2与直线y ＝x ＋2相切， ∴b ＝21＋1＝ 2. ∴b 2＝2，a 2＝3.因此，a ＝3，b ＝ 2.(2)由(1)知F 1，F 2两点的坐标分别为(－1，0)，(1，0)，由题意可设P (1，t )． 那么线段PF 1的中点为N (0，t 2)． 设M (x ，y )，由于MN ―→＝(－x ，t2－y )， PF 1―→＝(－2，－t )，则⎩⎪⎨⎪⎧MN ―→·PF 1―→＝2x ＋t （y －t 2）＝0y ＝t，消去t 得所求轨迹方程为y 2＝－4x ，曲线类型为抛物线．。
高中数学第一章坐标系三1圆的极坐标方程教学案新人教A版选修4-4(2021学年)
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1.圆的极坐标方程错误!1.曲线的极坐标方程（1）在极坐标系中，如果曲线Ｃ上任意一点的极坐标中至少有一个满足方程ｆ(ρ，θ）=0,并且坐标适合方程f(ρ，θ)＝０的点都在曲线C上,那么方程ｆ(ρ，θ）＝0叫做曲线C 的极坐标方程．（2)建立曲线的极坐标方程的方法步骤是:①建立适当的极坐标系,设Ｐ(ρ,θ）是曲线上任意一点．②列出曲线上任意一点的极径与极角之间的关系式.③将列出的关系式整理、化简．④证明所得方程就是曲线的极坐标方程．2．圆的极坐标方程（1)圆心在C(a，0)（ａ＞0)，半径为a的圆的极坐标方程为ρ＝2ａｃoｓ_θ.(2)圆心在极点，半径为r的圆的极坐标方程为ρ=r.（３)圆心在点（ａ,＼f(π,２））处且过极点的圆的方程为ρ=2a sin θ(０≤θ≤π).错误!圆的极坐标方程[例1] 求圆心在(ρ0，θ0),半径为ｒ的圆的方程．[思路点拨] 结合圆的定义求其极坐标方程．［解］在圆周上任取一点P(如图）设其极坐标为(ρ,θ)．由余弦定理知:CP２＝ＯP2+OC2-2OP·OＣｃｏs∠COP,故其极坐标方程为r2=ρ错误!＋ρ2-２ρρｃoｓ(θ－θ0）．几种特殊情形下的圆的极坐标方程当圆心在极轴上即θ0＝0时，方程为r2＝ρ错误!+ρ２－2ρρ０cｏs θ，若再有ρ0＝ｒ，则其方程为ρ＝2ρ0cos θ=2r cｏs θ,若ρ0=r，θ0≠0,则方程为ρ＝2r cos（θ-θ０)，这几个方程经常用来判断图形的形状和位置．1.求圆心在C错误!,半径为1的圆的极坐标方程.解:设圆Ｃ上任意一点的极坐标为M（ρ，θ)，如图,在△OCM中,由余弦定理,得｜OM｜2+|OC｜2-2|OM｜·|OC｜·ｃｏs∠COM=|CM|2,即ρ２-２＼r(2)ρcｏs错误!＋1=0.当O,C,M三点共线时,点M的极坐标错误!也适合上式，所以圆的极坐标方程为ρ2－2错误!ρcｏs错误!+1＝0．2．求圆心在A错误!处并且过极点的圆的极坐标方程．解:设M（ρ，θ)为圆上除O、B外的任意一点,连结OM、ＭB，则有ＯB＝4，OM=ρ,∠MOB=θ-错误!π．∠BMO＝9０°,从而△BOM为直角三角形.∴有｜OＭ|＝|OＢ｜cos∠MOB即ρ＝4cｏｓ错误!=－4siｎθ。
2017-2018学年高中数学第一章坐标系本讲知识归纳与达标验收教学案新人教A版选修4-4
第一章坐标系[对应学生用书P13]考情分析通过对近几年新课标区高考试题的分析可知，高考对本讲的考查集在考查极坐标方程、极坐标与直角坐标的互化等.预计今后的高考中，仍以考查圆、直线的极坐标方程为主.真题体验1. （安徽高考）在极坐标系中，圆p = 2cos 0的垂直于极轴的两条切线方程分别为（）A. 0= 0（p€ R）和p cos 0 = 2n 十B. 0= ~2（P € R）和P cos 0 = 2nc. 0 =2（p € R）和P cos 0 = 1D. 0 = 0（p€ R）和p cos 0 = 1. . 2 2解析：由题意可知，圆p = 2cos 0可化为普通方程为（x—1）+ y = 1.所以圆的垂直于x轴的两条切线方程分别为x= 0和x= 2,再将两条切线方程化为极坐n标方程分别为0 = —（p € R»和p cos 0 = 2，故选B.答案：Bn2. （安徽高考）在极坐标系中，圆p = 4sin 0的圆心到直线0 =~6（p € R）的距离是x 轴正半轴建立直角坐标系，则该曲线的直角坐标方程为 _____________ .2解析：T p = 2sin 0 + 4cos 0，^ p = 2 p sin 0 + 4 p cos 0 ,2222••• x + y = 2y + 4x ,即卩 x + y — 4x — 2y = 0.答案：x 2+ y 2— 4x — 2y = 0.高频土例析［对应学生用书P13］用解析法解决几何问题利用问题的几何特征， 建立适当坐标系，主要就是兼顾到它们的对称性， 尽量使图形的 对称轴（对称中心）正好是坐标系中的 x 轴，y 轴（坐标原点）.坐标系的建立，要尽量使我们研究的曲线的方程简单.［例1］已知正三角形 ABC 的边长为a ,在平面上求一点 P ,使|PA 2+ |PB 2+ | P （f 2最 小，并求出此最小值.x 轴，BC 的垂直平分线为 y 轴，建立平面直角坐标系，如图,y 一 "^a 2+ a > a ，当且仅当x = 0, y =-^a 时，等号成立.a 2,此时P 点的坐标为P 0, fa ，即为正三角形 ABC 的中心. ［解］以BC 所在直线为B — 2, 2设 P (x , y )，则 I PA + 0丿,股，0丿n 2_ 22 [\j 3 \I PB +1 PC = x + i y -亍a j + +刃+y + j -2)+y 2=3x 2+ 3y 2— 3ay + 罟=3x 2 + 3 y•••所求的最小值为x，=入• x 入>0 设点P(x, y)是平面直角坐标系中的任意一点，在变换0 :, 门y = ^ • y 卩>U的作用下，点P(x, y)对应点P' (x ' , y ')，称0为平面直角坐标系中的坐标伸缩变换.x ' = 2x［例2］在同一平面直角坐标系中，经过伸缩变换，' 后，曲线C变为曲线y = 2y(x ' —5)2+ (y ' + 6)2= 1,求曲线C的方程，并判断其形状.J 八? 2 2［解］将£ , 代入(x ' —5) + (y ' + 6) = 1 中,y = 2y得(2x—5)2+ (2y + 6)2= 1.5 °o 1化简，得(X—+ (y+ 3)= 4.该曲线是以(|, —3)为圆心，半径为2的圆.LIU极坐标方程在给定的平面上的极坐标系下，有一个二元方程F( P , 0 ) = 0如果曲线C是由极坐标(P , 0 )满足方程的所有点组成的，则称此二元方程F( P , 0 ) =0为曲线C的极坐标方程.由于平面上点的极坐标的表示形式不唯一，因此曲线的极坐标方程和直角坐标方程也有不同之处，一条曲线上的点的极坐标有多组表示形式，有些表示形式可能不满足方程，这里要求至少有一组能满足极坐标方程.求轨迹方程的方法有直接法、定义法、相关点代入法，在极坐标中仍然适用，注意求谁设谁，找出所设点的坐标P, 0的关系.1［例3］△ ABC底边BC= 10,/ A= 2/ B,以B为极点，BC为极轴，建立极坐标系，求顶点A的轨迹的极坐标方程.［解］如图：令A p , 0 ),△ ABC内，设/ B=0,/ Ap,又| BQ = 10, | AB = p .10.300 '、丨「I n — ~2 sin —化简，得A 点轨迹的极坐标方程为p = 10 + 20cos 0 .极坐标与直角坐标的互化“* ■ 1系下取相同的单位长度.y 代替较为方便，常常两端同乘以 p 即可达到目的，但要注意变形的等价性.［例4］(天津高考)在以O 为极点的极坐标系中，圆 p = 4sin 0和直线p sin 0 = a 相交于A , B 两点.若△ AOB 是等边三角形，则 a 的值为 ［解析］由于圆和直线的直角坐标方程分别为 x 2 + y 2= 4y 和y = a ,它们相交于A ,点，△ AOB 为等边三角形，所以不妨取直线 OB 的方程为y = 3x ,联立 去 y ,得 x = ^..：3x ，解得 x=g'3或 x = 0,所以 y=“.：3x = 3，即 a = 3.［答案］3［例5］在极坐标系中，点M 坐标是(2 , y),曲线C 的方程为p = 2 2sin( 0 +专)；极点为坐标原点，极轴为 x 轴的正半轴建立平面直角坐标系，直线I 经过点M 和极点.⑴ 写出直线l 的极坐标方程和曲线 C 的直角坐标方程; ⑵ 直线l 和曲线C 相交于两点 A 、B ,求线段AB 的长.n［解］(1) •••直线l 过点M 2 , ~)和极点,由正弦定理，得互化的前提依x 轴的正半轴作为极轴并在两种坐标直角坐标方程化极坐标方程可直接将x = p cos0 , y =p sin 0代入即可，而极坐标方程化为直角坐标方程通常将极坐标方程化为 p cos0 , p sin 0的整体形式，然后用X,• 2 | 2x + y = 4y ,y = . 3x ,互化公式为•••直线l的直角坐标方程是0 =亍p € R).ynp= 2 2sin( 0 + —)即p = 2(sin 0 + cos 0 ),两边同乘以p得p = 2( p sin 0 + p cos 0 ),•••曲线C的直角坐标方程为x2+ y2—2x—2y= 0.(2)点M的直角坐标为(1 , 3)，直线l过点M和原点，•直线l的直角坐标方程为y= 3x.曲线C的圆心坐标为(1,1)，半径r = ■ 2，圆心到直线I的距离为d = • | AB| =.3 + 1.[对应学生用书P35](时间：90分钟，总分120分)一、选择题(本大题共10小题，每小题5分，满分50分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1. 点M的极坐标为(1 , n )，则它的直角坐标是()A. (1,0)B. ( —1,0)C. (0,1)D. (0，—1)解析：x = 1 X cos n =— 1 , y = 1 X sin n = 0,即直角坐标是(一1,0).答案：Bn2.已知曲线C的极坐标方程p = 2cos 20 ,给定两点P(0 ,亍)，Q2 , n )，则有()A. P在曲线C上, Q不在曲线C上B. P、Q都不在曲线C上C. P不在曲线C上，Q在曲线C上D. P、Q都在曲线C上n ,解析：当0 =—时，p = 2cos n = —2工0,故点P不在曲线上；当0 = n时，p =2cos 2 n = 2，故点Q 在曲线上.答案：C 3. 点P 的柱坐标为|16, -3, 5，则其直角坐标为()A.(5, 8, 83)B.( 8, 8 3, 5)C.( 8 3，8，5)D.(4, 8 3，5)n解析：T p = 16, 0 = —, z = 5,x = p cos 0 = 8, y = p sin 0 = 8 3, z = 5,•••点P 的直角坐标是(8,8 3, 5).答案：B4.在同一坐标系中，将曲线 y = 2sin 3 x 变为曲线y = sin x 的伸缩变换是（）■x = 3x '=3x A . J 1 , B,1y =2y' ■-=2yC ."x = 3x ' D.-=3xy = 2y 'fy =2y入xx=3x ,答案：BA. 1个 C. 4个D.无数个解析：由极坐标的定义易知有无数个.解析：将y 代入 y = sin x , □ y得卩y = sin 即 y Jsin□ 入x , 1与 y = 2sin 3 x 比较，得□ = ?,=3,即变换公式为1 = 2y .5 .曲线p = 5与=n 的交点的极坐标写法可以有B. 2个答案：D6. 在极坐标系中，过点A（6 , n ）作圆p =—4cos 0的切线，则切线长为（）A. 2 C. 2 3D. 2 15解析：圆P =- 4cos 0化为（x + 2）2+ y 2= 4，点（6 , n ）化为（一6,0），所以切线长= 42- 22=12= 2 3.答案：C一 17.极坐标方程 p = cos 0与p cos0 =㊁的图形是（）11解析：把p cos 0 = 2化为直角坐标方程，得 x = 2 ,把p = cos 0代为直角坐标方程，得 X 2 + y 2-x = 0,即其圆心为£, 0，，半径为"2，故 选项B 正确.答案：B一 n 2&极坐标方程0 =亍，0 = 3 n （ p > 0）和p = 4所表示的曲线围成的图形面积是（ ）A 16 A •亍n 4 C・3n解析：三条曲线围成一个扇形, 2 n n n半径为4，圆心角为—-—=-^.B. 6 8 B P n2 D."•••扇形面积为: 1 n-X4X X 4 = 2 3答案：Bn9•在极坐标系中，曲线p = 4sin（0 --3）关于（）A.线0=宁轴对称B.线0 轴对称3 6nC. （2 , -3）中心对称D.极点中心对称解析：n 5 n 5 np = 4sin( 0 — 3 )可化为p = 4cos( 0 —§ )，可知此曲线是以(2 , § )为圆心的圆，故圆关于0 =鉴对称.6答案：B10.在极坐标系中有如下三个结论：①点P在曲线C上，则点P的极坐标满足曲线Cn的极坐标方程；②tan 0 = 1与0 =—表示同一条曲线；③ p = 3与p =—3表示同一条曲线.在这三个结论中正确的是（）A.①③B.①C.②③D③解析：在直角坐标系内，曲线上每一点的坐标一定适合它的方程，但在极坐标系内，曲线上所有点的坐标不一定适合方程，故①是错误的；tan 0 = 1不仅表示0 =子这条射线，4它的球坐标为j 6, 3, 3 .解析：由直线I 的方程可知直线I 过点（1,0）且与极轴垂直，设 A 是点A 关于I 的对称点，贝U 四边OBA A 是正方形，/ BOA =才，且OA答案：2 2, n14. _____________________________________________________________ 从极点作圆p = 2a cos 0的弦，则各条弦中点的轨迹方程为 ____________________________________ .解析：数形结合，易知所求轨迹是以 a , 0为圆心，专为半径的圆，求得方程是p = a cos '2 1 2十宀\ nn答案：p = a cos 0 i — — w 0 w —三、解答题（本大题共4个小题，满分50分•解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤）15.（本小题满分12分）（辽宁高考改编）将圆x 2 + y 2= 1上每一点的横坐标保持不变， 纵坐标变为原来的2倍，得曲线C设直线l : 2x + y — 2= 0与C 的交点为P , R,以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴建 立极坐标系，求过线段 P 1P 2的中点且与l 垂直的直线的极坐标方程.tan9=£3^ 3，'9~2~13.在极坐标系中，点A 2,于关于直线I : p cos 0 = 1的对称点的一个极坐标为=2 2，故A'的解析:cos9答案:解：设(X 1, y i )为圆上的点，在已知变换下变为C 上点(x , y )，依题意，得— %1，|Y = 2y i .2即曲线C 的方程为X 2+鲁=1.不妨设P (1,0) , F 2(O,2)，则线段RF 2的中点坐标为 弓,1，所求直线斜率为k ={,于化为极坐标方程，并整理得2 p cos 0 — 4 p sin 0 = — 3,n ..16. (本小题满分12分)极坐标方程p = — 2cos 0与p cos( 0 + y) = 1表示的两个图 形的位置关系是什么？2解：p =— 2cos 0 可变为 p =— 2 p cos 0 , 化为普通方程为x 2 + y 2=— 2x 即(x +1) + y = 1它表示圆， 圆心为(一1,0)，半径为1.将p cos （ 0 +才）=1化为普通方程为 x — 3y — 2= 0.•••直线与圆相离.17. (本小题满分12分)把下列极坐标方程化为直角坐标方程并说明表示什么曲线. (1) p = 2a cos 0 (a > 0)； (2) p = 9(sin 0 + cos 0 );⑶ P = 4;⑷2 p cos 0 — 3 p sin 0 = 5.- 2 x 2+ 七=1,由f〔2x + y — 2=0, 解得 x = 1, y =0 x= 0,或.y = 2.p4sin30 — 2cos 0•••圆心(一1,0)到直线的距离为I — 1 — 2| ,1 + 3 3=2> 1由 x ?+ y i = 1 得 x 2+1是所求直线方程为 y — 1 =2，解：(1) p = 2a cos 0，两边同时乘以p ,2 得 p = 2a p cos 0 ,2 2即 x + y = 2ax .整理得 x 2+ y 2— 2ax = 0，即（x — a ）2+ y 2= a 2. 是以（a,0）为圆心，a 为半径的圆.2⑵两边同时乘以p 得p = 9 p （sin 0 + cos 0 ）, 即 x 2+ y 2 = 9x + 9y , 9 2 9 2 81又可化为（x — ^）+ （y —J ） = 2， 9 9 9^/2是以g ,功为圆心，才为半径的圆.⑶将p = 4两边平方得 p 2= 16,即x + y? = 16. 是以原点为圆心，4为半径的圆.⑷2 p cos 0 — 3p sin 0 = 5, 即卩 2x — 3y = 5,是一条直线.18. (本小题满分14分)在直角坐标系xOy 中，以0为极点，x 轴正半轴为极轴建立极 坐标系.曲线 C 的极坐标方程为 p cos 0 — n 3 = 1, M N 分别为曲线 C 与x 轴，y 轴的交占八、、♦(1) 写出曲线C 的直角坐标方程，并求 M N 的极坐标；(2) 设MN 的中点为P,求直线OP 的极坐标方程.即 x +■ 3y = 2.当 0 = 0 时，p = 2,得 M 2,0）；⑵M 点的直角坐标为(2,0),N 点的直角坐标为所以P 点的直角坐标为解: （1）由 p cos 0 — "3 = 1，得 p |cos 从而C 的直角坐标方程为2x +y = 1,+¥sin则P点的极坐标为竽，n6.n所以直线0P的极坐标方程为0 =—, p€ R.6解析：将p = 4sin 0化成直角坐标方程为x2+ y2= 4y，即x2+ （y—2）2= 4,圆心为（0,2）.将0 = 6（p € R）化成直角坐标方程为x —3y = 0，由点到直线的距离公式可知圆心到直线的距离d=|0 3| = ■, 3.答案：33. （江西高考）若曲线的极坐标方程为p= 2sin 0 + 4cos 0，以极点为原点，极轴为5 n 一还表示0 =〒这条射线，故②亦不对；p = 3与p =—3差别仅在于方向不同，但都表示一个半径为3的圆，故③正确.答案：D二、填空题（本大题共4个小题，每小题5分，满分20 分.把答案填写在题中的横线上）11.（天津高考）已知圆的极坐标方程为p =4cos 0，圆心为C,点P的极坐标为i4,专,则| cp = _________ .解析：由圆的极坐标方程为p = 4cos 0，得圆心C的直角坐标为（2,0），点P的直角坐标为（2,2 3），所以|CP = 2 3.答案：2 . 312 .点A的直角坐标为”3^3, 5 * * * 9 * * 12, 3 ［，则它的球坐标为 ___________________________________________________ .。
2017-2018学年高中数学选修4-4教材用书：第一讲坐标系本讲高考热点解读与高频考点例析含答案
本讲高考热点解读与高频考点例析考情分析通过对近几年高考试题的分析可知,高考对本讲的考查主要涉及极坐标方程、极坐标与直角坐标的互化等．预计今后的高考中,仍以考查圆、直线的极坐标方程为主．真题体验1．（北京高考）在极坐标系中，点错误!到直线ρ(cos θ＋错误!sin θ)＝6的距离为________．解析：由错误!知极坐标错误!可化为(1，错误!)，直线ρ（cos θ＋错误!sin θ）＝6可化为x＋错误!y－6＝0.故所求距离为d＝错误!＝1。
答案：12．（广东高考）在极坐标系中，曲线C1和C2的方程分别为ρsin2θ＝cos θ和ρsin θ＝1.以极点为平面直角坐标系的原点，极轴为x轴的正半轴，建立平面直角坐标系,则曲线C1和C2交点的直角坐标为________．解析:由ρsin2θ＝cos θ，得ρ2sin2θ＝ρcos θ,其直角坐标方程为y2＝x,ρsin θ＝1的直角坐标方程为y＝1,由错误!得C1和C2的交点为（1,1）．答案：(1,1)3．(安徽高考）在极坐标系中,圆ρ＝8sin θ上的点到直线θ＝错误!（ρ∈R)距离的最大值是________．解析:圆ρ＝8sin θ化为直角坐标方程为x2＋y2－8y＝0，即x2＋(y －4)2＝16,直线θ＝错误!(ρ∈R）化为直角坐标方程为y＝错误!x，结合图形知圆上的点到直线的最大距离可转化为圆心到直线的距离再加上半径．圆心(0,4)到直线y＝错误!x的距离为错误!＝2，又圆的半径r＝4，所以圆上的点到直线的最大距离为6。
答案:6用解析法解决几何问题的对称性,尽量使图形的对称轴（对称中心)正好是坐标系中的x轴、y轴（坐标原点）．坐标系的建立，要尽量使我们研究的曲线的方程简单．已知圆的半径为6，圆内一定点P离圆心的距离为4，A，B是圆上的两动点且满足∠APB＝90°，求矩形APBQ的顶点Q的轨迹方程．如图,以圆心O为原点，OP所在直线为x轴建立直角坐标系，则圆的方程为x2＋y2＝36，P（4,0)．设Q（x，y），PQ与AB相交于P1，则P1错误!.由｜PQ｜＝|AB|＝2错误!，即错误!＝2错误!，化简，可得x2＋y2＝56。
高中数学 第1章坐标系教案 新人教版选修4-4
坐标系【基础知识导学】1、 坐标系包括平面直角坐标系、极坐标系、柱坐标系、球坐标系。
2、 “坐标法”解析几何学习的始终，同学们在不断地体会“数形结合”的思想方法并自始至终强化这一思想方法。
3、 坐标伸缩变换与前面学的坐标平移变换都是将平面图形进行伸缩平移的变换，本质是一样的。
应注意：通过一个表达式，平面直角坐标系中坐标伸缩变换将x 与y 的伸缩变换统一成一个式子了，即⎩⎨⎧>='>=0,0,/μμλλy y x x 我们在使用时，要注意对应性，即分清新旧。
【知识迷航指南】【例1】（2005年江苏）圆O 1与圆O 2的半径都是1，|O 1O 2|=4，过动点P 分别作圆O 1、圆O 2的切线PM 、PN （M 、N 分别为切点），使得PM=2PN ，试建立适当的坐标系，求动点P 的轨迹方程。
解：以直线O 1O 2为X 轴，线段O 1O 2的垂直平分线为Y轴，建立平面直角坐标系，则两圆的圆心坐标分别为O 1（-2，0），O 2（2，0），设P （y x ,） 则PM 2=PO 12-MO 12=1)2(22-++y x同理，PN 2=1)2(22-+-y x因为PM=2PN ，即1)2(22-++y x =2[1)2(22-+-y x ]，即,031222=++-y x x 即,33)6(22=+-y x 这就是动点P 的轨迹方程。
【点评】这题考查解析几何中求点的轨迹方程的方法应用，考查建立坐标系、数形结合思想、勾股定理、两点间距离公式等相关知识，及分析推理、计算化简技能、技巧等，是一道很综合的题目。
【例2】在同一直角坐标系中，将直线22=-y x 变成直线42='-'y x ，求满足图象变换的伸缩变换。
分析：设变换为⎩⎨⎧>⋅='>⋅='),0(,),0(,μμλλy y x x 可将其代入第二个方程，得42=-y x μλ，与22=-y x 比较，将其变成,442=-y x 比较系数得.4,1==μλX【解】⎩⎨⎧='='yy x x 4，直线22=-y x 图象上所有点的横坐标不变，纵机坐标扩大到原来的4倍可得到直线42='-'y x 。
2017-2018学年高中数学第一章坐标系2.4曲线的极坐标方程与直角坐标方程的互化2.5
=0,2. 4 & 2.5 曲线的极坐标方程与直角坐标方程的互化圆锥曲线统的极坐标方程［自主学习］曲线的极坐标方程与直角坐标方程的互化 (1) 互化的前提条件： ① 极坐标系中的极点与直角坐标系中的原点重合.②极坐标系中的极轴与直角坐标系中的 x 轴的正半轴重合.③ 两种坐标系中取相同的长度单位.X = p cos 0 ,⑵互化公式：1|y = p sin 0 ,(3)圆锥曲线统一的极坐标方程为：epp1 — e cos 0 .［合作探究］p = 1和p =—1是同一个圆的极坐标方程，那么，该圆对应的直角坐标方程也有两个吗？提示：唯一的一个， x 2+ y 2= 1.将直角坐标方程化成极坐标方程把下列直角坐标方程化为极坐标方程.⑴ x + y = 0;2 2(2) x + y + 2ax = 0( a * 0);2 2(3) ( x — 5) + y = 25.［思路点拨］本题考查极坐标与直角坐标互化公式的应用及转化与化归思想，解答此2 2 2题，需要将x = p cos 0 , y = p sin 0 ,及x + y = p 代入直角坐标方程，再化简即可. ［精解详析］ ⑴将 x = p cos 0 , y = p sin 0 代入 x + y = 0 得 p cos 0 + p sinr 22 |2p = x + y , ytan 0 = x xH(][例1] ［对应学生用书 P12］［对应学生用书P13］••• p (cos 0 + sin 0 ) = 0. =0,••• cos 0 + sin 0 = 0. /• sin 0= —cos 0 .ta n 0 = — 1.3 n 十7 n•- 0 = ~^( P》0) 和0 = _^( P》0) •综上所述，直线x+ y= 0的极坐标方程为3 n 7 n0 =〒(P》0)和0=才(P》0)•2 2(2) 将x= p cos 0 , y = p sin 0 代入x + y + 2ax= 0 得2 2 2・2八P cos 0 + p sin 0 + 2a P cos 0 = 0, 即p ( p + 2a cos 0 ) = 0.•• P = —2a cos 0 .2 2•••圆x + y + 2ax= 0(a z 0)的极坐标方程为p = —2a cos 0 .2 2 2 2(3) ( x—5) + y = 25,即：x + y —10x = 0.把x2+『=p 2, x= p cos 0 代入上式得：2P —10 p cos 0 = 0.即p = 0 或p = 10cos 0 .•.•极点p = 0在圆p = 10cos 0上，•••所求圆的极坐标方程为p = 10cos 0 .［片法■规律■小结］、将直角坐标方程化为极坐标方程，只需将x= p cos 0 , y = p sin 0 , x2+ y2= p 2代入化简即可，但化简时要注意变形的等价性.1. 把圆的直角坐标方程(x —a)2+ (y—b) 2= r2化为极坐标方程.2 2 2 2 解：把x = p cos 0 , y= p sin 0 代入方程(x—a) + (y —b) = r，得(p cos 0 —a)+ ( P sin 0 —b) 2= r2.如果设圆心(a, b)的极坐标为(P 0, 0 o)，贝Ua= p 0cos 0 0, b= p 0sin 0 0，再代入上方程可得：(p cos 0 — p 0COS 0 0)2+ ( p sin 0 — p °sin 0 0)2= r2.2 2 2 2 2 2--P (cos 0 + sin 0 ) — 2 p 0 p (cos 0 cos 0 0+ sin 0 sin 0 0) + p 0(cos 0 0 + sin 0 0)2=r .•- p — 2 p 0 p cos( 0 — 0 0) + p 0—r = 0.这就是所求的圆的极坐标方程将下列极坐标方程化为直角坐标方程，并说明是何曲线. ⑴ p sin 0 = 1;(2) p (cos 0 + sin 0 ) — 4= 0; (3) p=— 2cos 0 ; (4) p = cos 0 — 2sin 0 .［思路点拨］ 本题考查极坐标与直角坐标互化公式的应用及转化与化归思想的应用， 解答此题需要利用 p cos 0 = x, p sin 0 = y 求解.有时需要在等式两边同乘 p ，构造出p cos 0和p sin 0 .［精解详析］(1) p sin 0 = 1 ? y = 1，表示的是一条直线. (2) p (cos 0 + sin 0 ) — 4= 0? p cos 0 + p sin 0 — 4= 0,x + y — 4= 0，表示的是一条直线.(3) p =— 2cos 0 两边同乘以 p 得 p =— 2 p cos 0 , ••• x 2 + y 2 + 2x = 0，即(x + 1)2 + y 2= 1. 表示的是以(一1,0)为圆心，以1为半径的圆. (4) p = cos 0 — 2sin 0两边同乘以 p 得2 p = p cos 0 — 2 p sin 0 , • x + y = x — 2y ，即 x + y — x + 2y = 0, 即 x ―12+ (y + 1)2= -2 2.极坐标方程化为直角坐标方程时，往往需要将原极坐标方程两边同乘以 p ，尽可能使得p cos 0换成x , p sin 0换成y , p 2换成x 2 + y 2.但注意p = 0是原方程的解时，所得 到的直角坐标方程与原极坐标方程等价. 若p =0不是原方程的解时，求得的直角坐标方程，还需加x , y 不同时为0的限制.b^1[例2]把极坐标方程化为直角坐标方程［方法-规律•小结］2. 把下列极坐标方程化为直角坐标方程.2⑴ p cos 2 0 = 8; ⑵ p = 2cos 0 --4 .解：⑴因为p 2cos 2 0 = 8,2 2 2.2所以 p cos 0-p sin 0 = 8.所以化为直角坐标方程为 x 2— y 2= 8.n(2)因为 p = 2cos 0 cos —+ 2sin=2cos 0 + 2sin 0 ,所以 p 2 = ,2p cos 0+•. 2 p sin 0 .所以化为直角坐标方程为 x 2+ y 2— 2x — 2y = 0.［例3］ 求两个圆= 4cos , = 4sin 的圆心之间的距离，并判定两圆的位置关系.［思路点拨］本题考查在极坐标系下的距离及位置关系的确定问题， 解答此题可以在极坐标系下求解，也可以转化为直角坐标系下的距离及位置关系问题求解.［精解详析］ 法一：p = 4cos 0的圆心为(2,0)，半径为2, p = 4sin 0的圆心为(2 , ^)，半径为2.两圆圆心的距离为d = 22 + 22 — 2 X 2 X 2cos : = 2 2.而两圆半径之和为 4,两圆半径之差为 0. •••两圆相交.法二：p = 4cos 0两边同乘以 p 得p 2= 4 p cos 0 ,22• p = 4cos 0 可化为 x + y — 4x = 0,22即(x — 2) + y = 4,•表示的是以(2,0)为圆心，半径为2的圆.p = 4sin 0两边同乘以p 得p = 4 p sin 0 ,n 0 sin42 2•p = 4sin 0 可化为x + y —4y= 0, 即x2+ (y—2) 2= 4,•••表示的是以（0,2）为圆心，半径为2的圆. 两圆的圆心距为d =- U 2+ 〔〕一？ 2= 2”；；2,两圆半径之和为4,之差为0, •两圆相交.［片法•规律•小结］、对于研究与极坐标方程相关的距离及位置关系等问题，可在极坐标系下研究，也可将它们化为直角坐标方程，在直角坐标系下研究.解：把点A 2, 7^化为直角坐标为（，2,-把直线p sin j 0 + — = -^化为直角坐标方程为 p sin n . n \f 20 • cos 4 + p cos 0 • sin 4 - ？,•••点A 2, - 2）到直线x + y - 1 = 0的距离为」2- .. 2- 1| .2 d = =—dJ + 12，故点A 2,晋到直线p sin i B +亍=¥的距离为J| ［本节热点命题关汪］「本课时经常考查直线和圆的极坐标方程的应用以及极坐标方程与直角坐标方程的互化.［考题印证］（辽宁高考改编）在直角坐标系xOy 中，以O 为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系.圆C ,直线C 2的极坐标方程分别为 p = 4sin 0 , p cos （ 0 -"^-） = 2边.求C 与C 2的交点的极坐标.3.已知直线的极坐标方程为|J 这条直线的距离.p sin，求点•- x + y = 1.［命题立意］本题主要考查极坐标系、极坐标方程与直角坐标方程的互化.［自主尝试］由p = “/x2+ y2, p cos 0 = x, p sin 0 = y 得，圆C i的直角坐标方程为x2+ (y—2)2= 4,直线C2的直角坐标方程为x+ y — 4 = 0,2得p = —2( p cos 0 —p sin 0 )，即所以圆C ,直线C 的交点直角坐标为(0,4) , (2,2),再由p =x 2+ y 2, p cos 0 = x , p sin 0 = y ,将交点的直角坐标化为极坐标、选择题i .将方程0 =-4( p > 0)化为直角坐标方程为()B . y = x ( x >0)D y=#x (x >0)n yy解析：选 B ' ■/ tan= (x 丰 0) ,「. - = 1( x 丰 0). 4 x xy = x .而 0 = —( p >0)表示射线,•••所求的直角坐标方程为 y = x (x >0).2.圆心在点(一1,1)处，且过原点的圆的极坐标方程是( )A. p = 2(sin 0 — cos 0 )B . p = 2(cos 0 — sin 0 )C. p = 2sin 0D. 解析：选A 如图所示，圆的半径为 •圆的直角坐标方程为 (x + 1)2+ (y — 1)2= 2,2 2即x + y = — 2( x — y )，化为极坐标方程,X 2 + y — 2 2=4, 由 X + y — 4= 0.Xi= 0,解得；iy i = 4,X 2= 2, y 2= 2.[对应学生用书P14]A. y = xC. y = x (x w 0) 所以C 与G 的交点的极坐标VING/QNCip = 2cos2一2 —1 + 1p =2(sinA. I 1 // I 2 C. I 1和l 2重合B . I l 丄 l 2D. I 1和I 2斜交解析：选B 对于I l 可化为x sinsin aa+ycos a=a ，ki =—矿a、填空题5. _______________________________________________________ 直线2 p cos 0 = 1与圆p = 2cos 0相交的弦长为 __________________________________________ .解析：直线的方程为 2x = 1，圆的方程为x 2+y 2— 2x = 0，圆心为（1,0），半径r = 1,圆 心到直线的距离为 d =答案：•. 3n一6.在极坐标系中，定点 A （1 ,―），点B 在直线I : p cos 0 + p sin 0= 0上运动,当线段AB 最短时，点B 的极坐标是 _________ .解析：将 p cos 0 + p sin 0 = 0化为直角坐标方程为 x + y = 0,点A 1,寺化为直角坐标得 A （0,1）,如图，过A 作AE 丄直线I 于B ,因为△ AOB3n为等腰直角三角形，又因为 |OA = 1,则|OB 七,0 =〒，故B 点的极 坐标是B 今,3n .答案：子，34n7. _____________________________________________________________________ 过极点O 作圆C: p = 8cos 0的弦ON 则ON 的中点M 的轨迹方程是 _________________________3.直线 11 ： p sin( 0 + a ) = a 和丨2： 7te^2a 的位置关系是（k 1 • k 2 =—1.- •• I 1丄 1 ,故选B.4.极坐标方程 p = sin 0 + 2cos 0表示的曲线为（）A .直线B .圆C . 椭圆D.双曲线解 析：选B 由p = sin 0 + 2cos 0 ,得 p = p sin 0 + 2 p cos 0对于12可化为x cos a — y sin二 x 2 + y 2 = y + 2x ，即 x 2+ y 2— 2x — y = 0，表示圆.cos aa = 0, k 2=——sin a 42+ 0 = 2,设所求的弦长为丨，则= 2 + 2 2, 解得I = 3.解析：法一：如图，圆C的圆心为C(4,0)，半径为|OC = 4，连接CM 「••• M为弦ON的中点，•••CMLON故M在以0C为直径的圆上. “•••点M的轨迹方程是p = 4cos 0 .法二：设M点的坐标是(p , 0 ) , p i, 0 i).T N点在圆p = 8cos 0 上，•• p i = 8cos 0 i,①p 1= 2 p ,••• M是ON的中点，•弋0 i= 0 .将它代入①式得 2 p = 8cos 0，故点M的轨迹方程是p = 4cos 0 .答案：p = 4cos 08. (天津高考)已知圆的极坐标方程为p = 4cos 0 ,圆心为C,点P的极坐标为4, n^ ］则CP= ________ .解析：如图，由圆的极坐标方程为p = 4cos 0知0C= 2，又因为点P的极坐标为4, n3，所以0P= 4，/ P0=专，在△ POC中，由余弦定理得CP= OP1+ OC- 2OP- OC cos 3= 16+ 4-2X 4X 2X = 12,所以CP= 2 3.答案：2 3三、解答题9.0 O和0 O 的极坐标方程分别为p = 2cos 0 , p 2- 2 p (cos 0 + sin 0 ) = 0.(1) 把O O和O Q的极坐标方程化为直角坐标方程;(2) 求经过O 0,0 Q交点的直线的直角坐标方程.解：(1) T x= p cos 0 , y = p sin 0 ,由p = 2cos 0 得p = 2 p cos 0 , 所以x2+ y2= 2x.即x2+ y2- 2x= 0为O O的直角坐标方程.. . 2 2同理x + y - 2X- 2y= 0为O Q的直角坐标方程.2+ y2- 2x —2y = 0,2 2⑵法一：由+ y - 2x = 0,即O 0,0 O 2交于点(0,0)和(2,0).过交点的直线的直角坐标方程为 y = 0.法二：①—②得y = 0,即y = 0为过O 0,0 Q 交点的直线的直角坐标方程.10 .在直角坐标系xOy 中，以O 为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系.曲线 C 的极坐标方程为p cos i 守=1, M N 分别为C 与x 轴、y 轴的交点.(1) 写出C 的直角坐标方程，并求 M N 的极坐标； (2) 设MN 的中点为P,求直线OP 的极坐标方程. 解：(1)由 p cos 0 —-3 = 1 得，p i 1cos 0 + ^sin 0 = 1.2 2从而C 的直角坐标方程为1x +~2^y = 1，即 x + 3y = 2.当 0 = 0 时，p = 2,所以 M 2,0)； 当0 =寺时，P =攀，所以N 号,-2 .⑵M 点的直角坐标为(2,0),N 点的直角坐标为［,233 ［ 所以P 点的直角坐标为］，¥ .3p = 1 — 2cos 0，过极点作直线与它交于 A, B 两点,且|AB = 6,求直线 AB 的极坐标方程.解：设直线 AB 的极坐标方程为 0 = 0 1, A p 1,0 1) , B ( p 2, 0 1 + n )，贝U p 1 =X 2= 2, y 2= 0.解得则P 点的极坐标为所以直线OP的极坐标方程为np € ( —m,+m ).0 =百,11.已知双曲线的极坐标方程为31 — 2cos 0 i________ 3 _______ 3 P 2— 1 — ?1阴 0 i + n — 1 + 2cos 0 i33|AB = 1 p1+p 2|= 1 — 2cos 0 i + 1 + 2cos 0 i61— 4cos 0 i故直线AB 的极坐标方程为 n n 3 n0 =㊁或0 =~4或0 =〒•11 — 4cos2 0 -=± 1. cos 10 i = 0 或 cos 0 i =±_2亍。
2017_18学年高中数学第一章坐标系一教学案
一 平面直角坐标系[对应学生用书P1] 1．平面直角坐标系(1)平面直角坐标系的作用：使平面上的点与坐标、曲线与方程建立联系，从而实现数与形的结合．(2)坐标法解决几何问题的“三部曲”：第一步：建立适当坐标系，用坐标和方程表示问题中涉及的几何元素，将几何问题转化为代数问题；第二步：通过代数运算解决代数问题；第三步：把代数运算结果翻译成几何结论．2．平面直角坐标系中的伸缩变换(1)平面直角坐标系中方程表示图形，那么平面图形的伸缩变换就可归纳为坐标伸缩变换，这就是用代数方法研究几何变换．(2)平面直角坐标系中的坐标伸缩变换：设点P (x ，y )是平面直角坐标系中任意一点，在变换φ：⎩⎪⎨⎪⎧x ′＝λx λ＞0y ′＝μyμ＞0的作用下，点P (x ，y )对应到点P ′(x ′，y ′)，称为φ－平面直角坐标系中的坐标伸缩变换，简称伸缩变换．[对应学生用书P1]用坐标法解决几何问题[例1] 已知△ABC 中，AB ＝AC ，BD 、CE 分别为两腰上的高．求证：BD ＝CE . [思路点拨] 由于△ABC 为等腰三角形，故可以BC 为x 轴，以BC 中点为坐标原点建立直角坐标系，在坐标系中解决问题．[证明] 如图，以BC 所在直线为x 轴，BC 的垂直平分线为y 轴建立平面直角坐标系．设B (－a,0)，C (a,0)，A (0，h )． 则直线AC 的方程为y ＝－hax ＋h ，即：hx ＋ay －ah ＝0. 直线AB 的方程为y ＝h ax ＋h ， 即：hx －ay ＋ah ＝0.由点到直线的距离公式：得|BD |＝|2ah |a 2＋h 2，|CE |＝|2ah |a 2＋h2.∴|BD |＝|CE |，即BD ＝CE .建立平面直角坐标系的原则根据图形的几何特点选择适当的直角坐标系的一些规则：①如果图形有对称中心，选对称中心为原点，②如果图形有对称轴，可以选对称轴为坐标轴，③使图形上的特殊点尽可能多地在坐标轴上．1．求证等腰梯形对角线相等． 已知：等腰梯形ABCD .求证：AC ＝BD .证明：取B 、C 所在直线为x 轴，线段BC 的中垂线为y 轴， 建立如图所示的直角坐标系． 设A (－a ，h )，B (－b,0)， 则D (a ，h )，C (b,0)． ∴|AC |＝b ＋a 2＋h 2，|BD |＝a ＋b2＋h 2.∴|AC |＝|BD |，即等腰梯形ABCD 中，AC ＝BD . 2．已知△ABC 中，BD ＝CD ， 求证：AB 2＋AC 2＝2(AD 2＋BD 2)．证明：以A 为坐标原点O ，AB 所在直线为x 轴，建立平面直角坐系xOy ，则A (0,0)． 设B (a,0)，C (b ，c )，则D (a ＋b 2，c2)， 所以AD 2＋BD 2＝a ＋b24＋c 24＋a －b24＋c 24＝12(a 2＋b 2＋c 2)， AB 2＋AC 2＝a 2＋b 2＋c 2＝2(AD 2＋BD 2).用平面直角坐标系解决实际问题[例2] 如图所示，A ，B ，C 是三个观察站，A 在B 的正东，两地相距6 km ，C 在B 的北偏西30°，两地相距4 km ，在某一时刻，A 观察站发现某种信号，并知道该信号的传播速度为1 km/s,4 s 后B ，C 两个观察站同时发现这种信号，在以过A ，B 两点的直线为x 轴，以AB 的垂直平分线为y 轴建立的平面直角坐标系中，指出发出这种信号的P 的坐标．[思路点拨] 由题意可知，点P 所在的位置满足两个条件：(1)在线段BC 的垂直平分线上；(2)在以A ，B 为焦点的双曲线上．[解] 设点P 的坐标为(x ，y )，则A (3,0)，B (－3,0)，C (－5,23)． 因为|PB |＝|PC |，所以点P 在BC 的中垂线上． 因为k BC ＝－3，BC 的中点D (－4，3)， 所以直线PD 的方程为y －3＝13(x ＋4)．①又因为|PB |－|PA |＝4，所以点P 必在以A ，B 为焦点的双曲线的右支上， 双曲线方程为x 24－y 25＝1(x ≥2)．②联立①②，解得x ＝8或x ＝－3211(舍去)，所以y ＝5 3.所以点P 的坐标为(8,53)．运用解析法解决实际问题的步骤(1)建系——建立平面直角坐标系．建系原则是利于运用已知条件，使表达式简明，运算简便．因此，要充分利用已知点和已知直线作为原点和坐标轴．(2)设点——选取一组基本量，用字母表示出题目涉及的点的坐标和曲线的方程． (3)运算——通过运算，得到所需要的结果．3．已知B 村位于A 村的正西方向1千米处，原计划经过B 村沿着北偏东60°的方向埋设一条地下管线m ，但A 村的西北方向400米处，发现一古代文物遗址W .根据初步勘察的结果，文物管理部门将遗址W 周围100米范围划为禁区．试问：埋设地下管线m 的计划需要修改吗？解：建立如图所示的平面直角坐标系，则A (0,0)，B (－1 000,0)，由W 位于A 的西北方向及 |AW |＝400，得W (－2002，2002)．由直线m 过B 点且倾斜角为90°－60°＝30°，得直线m 的方程是x －3y ＋1 000＝0.于是，点W 到直线m 的距离为 |－2002－3×2002＋1 000|2＝100×(5－2－6)≈113.6＞100. 所以，埋设地下管线m 的计划可以不修改．直角坐标系中的伸缩变换[例3] 求满足下列图形变换的伸缩变换：由曲线x 2＋y 2＝1变成曲线29＋y ′24＝1.[思路点拨] 设出变换公式，代入方程，比较系数，得出伸缩变换． [解] 设变换为⎩⎪⎨⎪⎧x ′＝λx ，λ>0y ′＝μy ，μ>0，代入方程x ′29＋y ′24＝1，得λ2x 29＋μ2y 24＝1.与x 2＋y 2＝1比较，将其变形为λ29x 2＋μ24y 2＝1，比较系数得λ＝3，μ＝2.∴⎩⎪⎨⎪⎧x ′＝3x y ′＝2y ，即将圆x 2＋y 2＝1上所有点横坐标变为原来的3倍，纵坐标变为原来的2倍，可得椭圆x ′29＋y ′24＝1.坐标伸缩变换φ：⎩⎪⎨⎪⎧x ′＝λx λ＞0y ′＝μy μ＞0注意变换中的系数均为正数．在伸缩变换下，平面直角坐标系保持不变，即在同一坐标系下只对点的坐标进行伸缩变换．利用坐标伸缩变换φ可以求变换前和变换后的曲线方程．已知前换前后曲线方程也可求伸缩变换φ.4．求4x 2－9y 2＝1经过伸缩变换⎩⎪⎨⎪⎧x ′＝2x y ′＝3y后的图形所对应的方程．解：由伸缩变换⎩⎪⎨⎪⎧x ′＝2x ，y ′＝3y 得：⎩⎪⎨⎪⎧x ＝12x ′，y ＝13y ′，将其代入4x 2－9y 2＝1， 得4·(12x ′)2－9·(13y ′)2＝1.整理得：x ′2－y ′2＝1.∴经过伸缩变换后图形所对应的方程为x ′2－y ′2＝1.5．在同一直角坐标系下经过伸缩变换⎩⎪⎨⎪⎧x ′＝3x ，y ′＝y 后，曲线C 变为x ′2－9y ′2＝9，求曲线C 的方程．解：将⎩⎪⎨⎪⎧x ′＝3x ，y ′＝y 代入x ′2－9y ′2＝9，得9x 2－9y 2＝9，即x 2－y 2＝1.6．求满足下列图形变换的伸缩变换：由曲线x 24＋y 29＝1变成曲线x ′216＋y ′29＝1.解：设变换为⎩⎪⎨⎪⎧x ′＝λx ，λ>0，y ′＝μy ，μ>0，代入方程x ′216＋y ′29＝1，得λ2x 216＋μ2y 29＝1，与x 24＋y 29＝1比较系数，得λ216＝14，μ29＝19，得λ＝2，μ＝1. ∴⎩⎪⎨⎪⎧x ′＝2x y ′＝y ，即将椭圆x 24＋y 29＝1上所有点横坐标变为原来的2倍，纵坐标不变，可得椭圆x ′216＋y ′29＝1.[对应学生用书P3] 一、选择题1．将一个圆作伸缩变换后所得到的图形不可能是( ) A ．椭圆 B ．比原来大的圆 C ．比原来小的圆D ．双曲线解析：由伸缩变换的意义可得． 答案：D2．点(1,2)经过伸缩变换⎩⎪⎨⎪⎧x ′＝12x ，y ′＝13y 后的点的坐标是( )A ．(4，－3)B ．(－2,3)C ．(2，－3)D.⎝ ⎛⎭⎪⎫12，23解析：把(1,2)代入⎩⎪⎨⎪⎧x ′＝12x ，y ′＝13y ，得⎩⎪⎨⎪⎧x ′＝12，y ′＝23.答案：D3．在同一平面直角坐标系中经过伸缩变换⎩⎪⎨⎪⎧x ′＝5x ，y ′＝3y 后曲线C 变为曲线2x ′2＋8y ′2＝0，则曲线C 的方程为( )A ．25x 2＋36y 2＝0 B ．9x 2＋100y 2＝0 C ．10x ＋24y ＝0D.225x 2＋89y 2＝0 解析：将⎩⎪⎨⎪⎧x ′＝5xy ′＝3y代入2x ′2＋8y ′2＝0，得：2·(5x )2＋8·(3y )2＝0，即：25x 2＋36y 2＝0. 答案：A4．在同一坐标系中，将曲线y ＝3sin 2x 变为曲线y ′＝sin x ′的伸缩变换是( )A.⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2x ′y ＝13y ′B.⎩⎪⎨⎪⎧x ′＝2x y ′＝13yC.⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2x ′y ＝3y ′D.⎩⎪⎨⎪⎧x ′＝2x y ′＝3y解析：设⎩⎪⎨⎪⎧x ′＝λx λ＞0，y ′＝μyμ＞0，则μy ＝sin λx ，即y ＝1μsin λx . 比较y ＝3sin 2x 与y ＝1μsin λx ，可得1μ＝3，λ＝2，∴μ＝13，λ＝2.∴⎩⎪⎨⎪⎧x ′＝2x ，y ′＝13y .答案：B二、填空题5．y ＝cos x 经过伸缩变换⎩⎪⎨⎪⎧x ′＝2x ，y ′＝3y后，曲线方程变为________．解析：由⎩⎪⎨⎪⎧x ′＝2x ，y ′＝3y ，得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝12x ′，y ＝13y ′，代入y ＝cos x ，得13y ′＝cos 12x ′，即y ′＝3cos 12x ′. 答案：y ′＝3cosx ′26．已知平面内有一固定线段AB 且|AB |＝4.动点P 满足|PA |－|PB |＝3，O 为AB 中点，则|PO |的最小值为________．解析：以AB 为x 轴，O 为坐标原点建立平面直角坐标系，则动点P 是以AB 为实轴的双曲线的右支．其中a ＝32.故|PO |的最小值为32.答案：327．△ABC 中，B (－2,0)，C (2,0)，△ABC 的周长为10，则A 点的轨迹方程为________． 解析：∵△ABC 的周长为10，∴|AB |＋|AC |＋|BC |＝10.其中|BC |＝4， 即有|AB |＋|AC |＝6＞4.∴A 点轨迹为椭圆除去B 、C 两点，且2a ＝6,2c ＝4. ∴a ＝3，c ＝2，b 2＝5.∴A 点的轨迹方程为x 29＋y 25＝1(y ≠0)．答案：x 29＋y 25＝1(y ≠0)三、解答题8．在平面直角坐标系中，求下列方程所对应的图形经过伸缩变换⎩⎪⎨⎪⎧x ′＝12x ，y ′＝13y 后的图形．(1)5x ＋2y ＝0；(2)x 2＋y 2＝1. 解：由伸缩变换⎩⎪⎨⎪⎧x ′＝12x ，y ′＝13y得到⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2x ′，y ＝3y ′. ①(1)将①代入5x ＋2y ＝0，得到经过伸缩变换后的图形的方程是5x ′＋3y ′＝0，表示一条直线．(2)将①代入x 2＋y 2＝1，得到经过伸缩变换后的图形的方程是x ′214＋y ′219＝1，表示焦点在x 轴上的椭圆．9．已知△ABC 是直角三角形，斜边BC 的中点为M ，建立适当的平面直角坐标系，证明：|AM |＝12|BC |.证明：以Rt △ABC 的直角边AB ，AC 所在直线为坐标轴，建立如图所示的平面直角坐标系．设B ，C 两点的坐标分别为 (b,0)，(0，c )． 则M 点的坐标为(b 2，c2)．由于|BC |＝b 2＋c 2，|AM |＝ b 24＋c 24＝12b 2＋c 2， 故|AM |＝12|BC |.10．如图，在以点O 为圆心，|AB |＝4为直径的半圆ADB 中，OD ⊥AB ，P 是半圆弧上一点，∠POB ＝30°，曲线C 是满足||MA |－|MB ||为定值的动点M 的轨迹，且曲线C 过点P .建立适当的平面直角坐标系，求曲线C 的方程．解：以O 点为原点，AB ，OD 所在直线分别为x 轴，y 轴，建立平面直角坐标系，则A (－2,0)，B (2,0)，D (0,2)，P (3，1)，依题意得||MA |－|MB ||＝|PA |－|PB |＝2＋32＋12－2－32＋12＝22＜|AB |＝4.∴曲线C 是以原点为中心，A ，B 为焦点的双曲线． 设实半轴长为a ，虚半轴长为b ，半焦距为c ， 则c ＝2,2a ＝22， ∴a 2＝2，b 2＝c 2－a 2＝2. ∴曲线C 的方程为x 22－y 22＝1.。
2017_2018学年高中数学第一讲坐标系一平面直角坐标系学案(含解析)新人教A版选修4_4
一 平面直角坐标系1．平面直角坐标系(1)平面直角坐标系的作用：使平面上的点与坐标、曲线与方程建立联系，从而实现数与形的结合．(2)坐标法解决几何问题的“三部曲”：第一步：建立适当坐标系，用坐标和方程表示问题中涉及的几何元素，将几何问题转化为代数问题；第二步：通过代数运算解决代数问题；第三步：把代数运算结果翻译成几何结论．2．平面直角坐标系中的伸缩变换(1)平面直角坐标系中方程表示图形，那么平面图形的伸缩变换就可归纳为坐标伸缩变换，这就是用代数方法研究几何变换．(2)平面直角坐标系中的坐标伸缩变换：设点P (x ，y )是平面直角坐标系中任意一点，在变换φ：⎩⎪⎨⎪⎧x ′＝λx λ＞y ′＝μy μ＞的作用下，点P (x ，y )对应到点P ′(x ′，y ′)，称φ为平面直角坐标系中的坐标伸缩变换，简称伸缩变换．l 与x 轴的交点，点M 在直线l 上，且满足|DM |＝m |DA |(m >0，且m ≠1)．当点A 在圆上运动时，记点M 的轨迹为曲线C .求曲线C 的方程，判断曲线C 为何种圆锥曲线，并求其焦点坐标． 设出点M 的坐标(x ，y )，直接利用条件求解．如图，设M (x ，y )，A (x 0，y 0)，则由|DM |＝m |DA |(m >0，且m ≠1)，可得x ＝x 0，|y |＝m |y 0|，所以x 0＝x ，|y 0|＝1m|y |. ①因为A 点在单位圆上运动， 所以x 20＋y 20＝1. ② 将①式代入②式，即得所求曲线C 的方程为x 2＋y 2m2＝1(m >0，且m ≠1)．因为m ∈(0,1)∪(1，＋∞)，所以当0<m <1时，曲线C 是焦点在x 轴上的椭圆， 两焦点坐标分别为(－1－m 2，0)，(1－m 2，0)； 当m >1时，曲线C 是焦点在y 轴上的椭圆， 两焦点坐标分别为(0，－m 2－1)，(0，m 2－1)．求轨迹的常用方法(1)直接法：如果题目中的条件有明显的等量关系或者可以推出某个等量关系，即可用求曲线方程的步骤直接求解．(2)定义法：如果动点的轨迹满足某种已知曲线的定义，则可依定义写出轨迹方程． (3)代入法：如果动点P (x ，y )依赖于另一动点Q (x 1，y 1)，而Q (x 1，y 1)又在某已知曲线上，则可先列出关于x ，y ，x 1，y 1的方程组，利用x ，y 表示x 1，y 1，把x 1，y 1代入已知曲线方程即为所求．(4)参数法：动点P (x ，y )的横纵坐标用一个或几个参数来表示，消去参数即得其轨迹方程．1．二次方程x 2－ax ＋b ＝0的两根为sin θ，cos θ，求点P (a ，b )的轨迹方程⎝⎛⎭⎪⎫其中|θ|≤π4. 解：由已知可得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝sin θ＋cos θ， ①b ＝sin θcos θ. ②①2－2×②，得a 2＝2b ＋1.∵|θ|≤π4，由sin θ＋cos θ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ＋π4，知0≤a ≤ 2.由sin θcos θ＝12sin 2θ，知|b |≤12.∴点P (a ，b )的轨迹方程是a 2＝2b ＋1(0≤a ≤2)．2．△ABC 中，若BC 的长度为4，中线AD 的长为3，求点A 的轨迹方程．解：取BC 所在直线为x 轴，线段BC 的中垂线为y 轴，建立直角坐标系，则D (0,0)，B (－2,0)，C (2,0)．设A (x ，y )为所求轨迹上任意一点， 则|AD |＝x 2＋y 2.又|AD |＝3，∴x 2＋y 2＝3，即x 2＋y 2＝9(y ≠0)． ∴点A 的轨迹方程为x 2＋y 2＝9(y ≠0).由于△ABC 为等腰三角形，故可以BC 为x 轴，以BC 中点为坐标原点建立直角坐标系，在坐标系中解决问题．如图，以BC 所在直线为x 轴，BC 的垂直平分线为y 轴建立平面直角坐标系．设B (－a,0)，C (a,0)，A (0，h )． 则直线AC 的方程为y ＝－hax ＋h ，即：hx ＋ay －ah ＝0. 直线AB 的方程为y ＝h ax ＋h ， 即：hx －ay ＋ah ＝0.由点到直线的距离公式，得|BD |＝|2ah |a 2＋h 2，|CE |＝|2ah |a 2＋h 2.∴|BD |＝|CE |，即BD ＝CE .建立平面直角坐标系的原则根据图形的几何特点选择适当的直角坐标系的一些规则：①如果图形有对称中心，选对称中心为原点；②如果图形有对称轴，可以选对称轴为坐标轴；③使图形上的特殊点尽可能多地在坐标轴上．3．求证等腰梯形对角线相等．已知：等腰梯形ABCD 中，AD ∥BC .求证：AC ＝BD .证明：取BC 所在直线为x 轴，线段BC 的中垂线为y 轴， 建立如图所示的直角坐标系． 设A (－a ，h )，B (－b,0)， 则D (a ，h )，C (b,0)． ∴|AC |＝b ＋a 2＋h 2，|BD |＝a ＋b2＋h 2.∴|AC |＝|BD |，即等腰梯形ABCD 中，AC ＝BD .4．已知△ABC 中，D 为边BC 的中点，求证：AB 2＋AC 2＝2(AD 2＋BD 2)． 证明：以A 为坐标原点O ，AB 所在直线为x 轴，建立平面直角坐标系xOy ，则A (0,0)．设B (a,0)，C (b ，c )， 则D ⎝⎛⎭⎪⎫a ＋b 2，c 2，所以AD 2＋BD 2＝a ＋b24＋c 24＋a －b24＋c 24＝12(a 2＋b 2＋c 2)， 又AB 2＋AC 2＝a 2＋b 2＋c 2， 所以AB 2＋AC 2＝2(AD 2＋BD 2).求满足下列图形变换的伸缩变换：由曲线x 2＋y 2＝1变成曲线9＋4＝1.设出变换公式，代入方程，比较系数，得出伸缩变换．设变换为⎩⎪⎨⎪⎧x ′＝λx ，λ>0，y ′＝μy ，μ>0.代入方程x ′29＋y ′24＝1，得λ2x 29＋μ2y24＝1.与x 2＋y 2＝1比较，将其变形为λ29x 2＋μ24y 2＝1，比较系数得λ＝3，μ＝2.∴⎩⎪⎨⎪⎧x ′＝3x ，y ′＝2y .即将圆x 2＋y 2＝1上所有点横坐标变为原来的3倍，纵坐标变为原来的2倍，可得到椭圆x ′29＋y ′24＝1.坐标伸缩变换φ：⎩⎪⎨⎪⎧x ′＝λx ，λ＞0，y ′＝μy ，μ＞0.注意变换中的系数均为正数．在伸缩变换下，平面直角坐标系保持不变，即在同一坐标系下只对点的坐标进行伸缩变换．利用坐标伸缩变换φ可以求变换前和变换后的曲线方程．已知变换前、后曲线方程也可求伸缩变换φ.5．求满足下列图形变换的伸缩变换：由曲线4x 2＋9y 2＝36变成曲线x ′2＋y ′2＝1.解：设变换为⎩⎪⎨⎪⎧x ′＝λx ，λ>0，y ′＝μy ，μ>0，可将其代入x ′2＋y ′2＝1，得λ2x 2＋μ2y 2＝1.将4x 2＋9y 2＝36变为 436x 2＋936y 2＝1，即19x 2＋14y 2＝1，与λ2x 2＋μ2y 2＝1比较， 比较系数得λ＝13，μ＝12.∴⎩⎪⎨⎪⎧x ′＝13x ，y ′＝12y ，即将椭圆4x 2＋9y 2＝36上的所有点的横坐标变为原来的13，纵坐标变为原来的12，可得到圆x ′2＋y ′2＝1.6．求4x 2－9y 2＝1经过伸缩变换⎩⎪⎨⎪⎧x ′＝2x ，y ′＝3y 后的图形所对应的方程．解：由伸缩变换⎩⎪⎨⎪⎧x ′＝2x ，y ′＝3y得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝12x ′，y ＝13y ′，将其代入4x 2－9y 2＝1，得4⎝ ⎛⎭⎪⎫12x ′2－9⎝ ⎛⎭⎪⎫13y ′2＝1.整理，得x ′2－y ′2＝1.∴经过伸缩变换后图形所对应的方程为x ′2－y ′2＝1.课时跟踪检测(一)一、选择题1．将一个圆作伸缩变换后所得到的图形不可能是( ) A ．椭圆 B ．比原来大的圆 C ．比原来小的圆 D ．双曲线 解析：选D 由伸缩变换的意义可得．2．已知线段BC 长为8，点A 到B ，C 两点距离之和为10，则动点A 的轨迹为( ) A ．直线 B ．圆 C ．椭圆 D ．双曲线解析：选C 由椭圆的定义可知，动点A 的轨迹为一椭圆．3．已知两点M (－2,0)，N (2,0)，点P 为坐标平面内的动点，满足|MN ―→|·|MP ―→|＋MN ―→·NP ―→＝0，则动点P (x ，y )的轨迹方程为( )A ．y 2＝8x B ．y 2＝－8x C ．y 2＝4x D ．y 2＝－4x解析：选B 由题意，得MN ―→＝(4,0)，MP ―→＝(x ＋2，y )，NP ―→＝(x －2，y )，由|MN ―→|·|MP ―→|＋MN ―→·NP ―→＝0，得4x ＋2＋y 2＋4(x －2)＝0，整理，得y 2＝－8x .4．在同一坐标系中，将曲线y ＝3sin 2x 变为曲线y ′＝sin x ′的伸缩变换是( )A.⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2x ′y ＝13y ′ B.⎩⎪⎨⎪⎧x ′＝2x y ′＝13y C.⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2x ′y ＝3y ′ D.⎩⎪⎨⎪⎧x ′＝2xy ′＝3y解析：选B 设⎩⎪⎨⎪⎧x ′＝λx ，λ>0，y ′＝μy ，μ>0，则μy ＝sin λx ，即y ＝1μsin λx .比较y ＝3sin 2x 与y ＝1μsin λx ，则有1μ＝3，λ＝2.∴μ＝13，λ＝2.∴⎩⎪⎨⎪⎧x ′＝2x ，y ′＝13y .二、填空题5．y ＝cos x 经过伸缩变换⎩⎪⎨⎪⎧x ′＝2x ，y ′＝3y 后，曲线方程变为________．解析：由⎩⎪⎨⎪⎧x ′＝2x ，y ′＝3y ，得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝12x ′，y ＝13y ′，代入y ＝cos x ，得13y ′＝cos 12x ′，即y ′＝3cos 12x ′. 答案：y ＝3cosx ′26．把圆X 2＋Y 2＝16沿x 轴方向均匀压缩为椭圆x 2＋y 216＝1，则坐标变换公式是________．解析：设⎩⎪⎨⎪⎧x ＝λX λ，y ＝μYμ，则⎩⎪⎨⎪⎧X ＝x λ，Y ＝yμ.代入X 2＋Y 2＝16得 x 216λ2＋y 216μ2＝1.∴16λ2＝1,16μ2＝16. ∴⎩⎪⎨⎪⎧ λ＝14，μ＝1.故⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝X 4，y ＝Y .答案：⎩⎪⎨⎪⎧x ＝X 4，y ＝Y7．△ABC 中，B (－2,0)，C (2,0)，△ABC 的周长为10，则点A 的轨迹方程为________． 解析：∵△ABC 的周长为10，∴|AB |＋|AC |＋|BC |＝10.其中|BC |＝4， 即有|AB |＋|AC |＝6＞4.∴点A 轨迹为椭圆除去B ，C 两点，且2a ＝6,2c ＝4. ∴a ＝3，c ＝2，b 2＝5.∴点A 的轨迹方程为x 29＋y 25＝1(y ≠0)． 答案：x 29＋y 25＝1(y ≠0)三、解答题8. 在同一平面直角坐标系中，将曲线x 2－36y 2－8x ＋12＝0变成曲线x ′2－y ′2－4x ′＋3＝0，求满足条件的伸缩变换．解：x 2－36y 2－8x ＋12＝0可化为⎝⎛⎭⎪⎫x －422－9y 2＝1.①x ′2－y ′2－4x ′＋3＝0可化为(x ′－2)2－y ′2＝1.②比较①②，可得⎩⎪⎨⎪⎧x ′－2＝x －42，y ′＝3y ，即⎩⎪⎨⎪⎧x ′＝x 2，y ′＝3y .所以将曲线x 2－36y 2－8x ＋12＝0上所有点的横坐标变为原来的12，纵坐标变为原来的3倍，就可得到曲线x ′2－y ′2－4x ′＋3＝0的图象．9．已知△ABC 是直角三角形，斜边BC 的中点为M ，建立适当的平面直角坐标系，证明：|AM |＝12|BC |.证明：以Rt △ABC 的直角边AB ，AC 所在直线为坐标轴，建立如图所示的平面直角坐标系．设B ，C 两点的坐标分别为(b,0)，(0，c )．则M 点的坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫b 2，c2. 由于|BC |＝b 2＋c 2， |AM |＝b 24＋c 24＝12b 2＋c 2， 故|AM |＝12|BC |.10．如图，椭圆C 0：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0，a ，b 为常数)，动圆C 1：x 2＋y 2＝t 21，b <t 1<a .点A 1，A 2分别为C 0的左、右顶点，动圆C 1与椭圆C 0相交于A ，B ，C ，D 四点．求直线AA 1与直线A 2B 交点M 的轨迹方程．解：设 A (x 1，y 1)，B (x 1，－y 1)，又知A 1(－a,0)，A 2(a,0)， 则直线A 1A 的方程为y ＝y 1x 1＋a(x ＋a )，①直线A 2B 的方程为y ＝－y 1x 1－a(x －a )．② 由①②，得y 2＝－y 21x 21－a2(x 2－a 2)．③由点A (x 1，y 1)在椭圆C 0上，故x 21a 2＋y 21b2＝1.从而y 21＝b 2⎝ ⎛⎭⎪⎫1－x 21a 2，代入③，得 x 2a 2－y 2b 2＝1(x <－a ，y <0)，此方程即为点M 的轨迹方程．。
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第一章 坐标系[对应学生用书P13]考情分析通过对近几年新课标区高考试题的分析可知，高考对本讲的考查集在考查极坐标方程、极坐标与直角坐标的互化等．预计今后的高考中，仍以考查圆、直线的极坐标方程为主．真题体验1．(安徽高考)在极坐标系中，圆ρ＝2cos θ的垂直于极轴的两条切线方程分别为( )A ．θ＝0(ρ∈R )和ρcos θ＝2B ．θ＝π2(ρ∈R )和ρcos θ＝2C ．θ＝π2(ρ∈R )和ρcos θ＝1D ．θ＝0(ρ∈R )和ρcos θ＝1解析：由题意可知，圆ρ＝2cos θ可化为普通方程为(x －1)2＋y 2＝1.所以圆的垂直于x 轴的两条切线方程分别为x ＝0和x ＝2，再将两条切线方程化为极坐标方程分别为θ＝π2(ρ∈R )和ρcos θ＝2，故选B.答案：B2．(安徽高考)在极坐标系中，圆ρ＝4sin θ的圆心到直线θ＝π6(ρ∈R )的距离是________．解析：将ρ＝4sin θ化成直角坐标方程为x 2＋y 2＝4y ，即x 2＋(y －2)2＝4，圆心为(0,2)．将θ＝π6(ρ∈R )化成直角坐标方程为x －3y ＝0，由点到直线的距离公式可知圆心到直线的距离d ＝|0－23|2＝ 3.答案： 33．(江西高考)若曲线的极坐标方程为ρ＝2sin θ＋4cos θ，以极点为原点，极轴为x 轴正半轴建立直角坐标系，则该曲线的直角坐标方程为________．解析：∵ρ＝2sin θ＋4cos θ，∴ρ2＝2ρsin θ＋4ρcos θ， ∴x 2＋y 2＝2y ＋4x ，即x 2＋y 2－4x －2y ＝0. 答案：x 2＋y 2－4x －2y ＝0.[对应学生用书P13]用解析法解决几何问题利用问题的几何特征，建立适当坐标系，主要就是兼顾到它们的对称性，尽量使图形的对称轴(对称中心)正好是坐标系中的x 轴，y 轴(坐标原点)．坐标系的建立，要尽量使我们研究的曲线的方程简单．[例1] 已知正三角形ABC 的边长为a ，在平面上求一点P ，使|PA |2＋|PB |2＋|PC |2最小，并求出此最小值．[解] 以BC 所在直线为x 轴，BC 的垂直平分线为y 轴，建立平面直角坐标系，如图，则A ⎝ ⎛⎭⎪⎫0，32a ，B ⎝⎛⎭⎪⎫－a 2，0，C ⎝ ⎛⎭⎪⎫a 2，0. 设P (x ，y )，则|PA |2＋|PB |2＋|PC |2＝x 2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫y －32a 2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋a 22＋y 2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫x －a 22＋y 2＝3x 2＋3y 2－3ay ＋5a 24＝3x 2＋3⎝⎛⎭⎪⎫y －36a 2＋a 2≥a 2，当且仅当x ＝0，y ＝36a 时，等号成立．∴所求的最小值为a 2，此时P 点的坐标为P ⎝ ⎛⎭⎪⎫0，36a ，即为正三角形ABC 的中心.平面直角坐标系中的伸缩变换设点P (x ，y )是平面直角坐标系中的任意一点，在变换φ：⎩⎪⎨⎪⎧x ′＝λ·x λ＞0y ′＝μ·yμ＞0的作用下，点P (x ，y )对应点P ′(x ′，y ′)，称φ为平面直角坐标系中的坐标伸缩变换．[例2] 在同一平面直角坐标系中，经过伸缩变换⎩⎪⎨⎪⎧x ′＝2x ，y ′＝2y 后，曲线C 变为曲线(x ′－5)2＋(y ′＋6)2＝1，求曲线C 的方程，并判断其形状．[解] 将⎩⎪⎨⎪⎧x ′＝2x ，y ′＝2y代入(x ′－5)2＋(y ′＋6)2＝1中，得(2x －5)2＋(2y ＋6)2＝1. 化简，得(x －52)2＋(y ＋3)2＝14.该曲线是以(52，－3)为圆心，半径为12的圆.极坐标方程如果曲线C 是由极坐标(ρ，θ)满足方程的所有点组成的，则称此二元方程F (ρ，θ)＝0为曲线C 的极坐标方程．由于平面上点的极坐标的表示形式不唯一，因此曲线的极坐标方程和直角坐标方程也有不同之处，一条曲线上的点的极坐标有多组表示形式，有些表示形式可能不满足方程，这里要求至少有一组能满足极坐标方程．求轨迹方程的方法有直接法、定义法、相关点代入法，在极坐标中仍然适用，注意求谁设谁，找出所设点的坐标ρ，θ的关系．[例3] △ABC 底边BC ＝10，∠A ＝12∠B ，以B 为极点，BC 为极轴，建立极坐标系，求顶点A 的轨迹的极坐标方程．[解] 如图：令A (ρ，θ)， △ABC 内，设∠B ＝θ，∠A ＝θ2，又|BC |＝10，|AB |＝ρ.由正弦定理，得ρsin π－3θ2＝10sinθ2，化简，得A 点轨迹的极坐标方程为ρ＝10＋20cos θ.极坐标与直角坐标的互化互化的前提依旧是把直角坐标系的原点作为极点，x 轴的正半轴作为极轴并在两种坐标系下取相同的单位长度．互化公式为x ＝ρcos θ，y ＝ρsin θρ2＝x 2＋y 2，tan θ＝yxx ≠0直角坐标方程化极坐标方程可直接将x ＝ρcos θ，y ＝ρsin θ代入即可，而极坐标方程化为直角坐标方程通常将极坐标方程化为ρcos θ，ρsin θ的整体形式，然后用x ，y 代替较为方便，常常两端同乘以ρ即可达到目的，但要注意变形的等价性．[例4] (天津高考)在以O 为极点的极坐标系中，圆ρ＝4sin θ和直线ρsin θ＝a 相交于A ，B 两点．若△AOB 是等边三角形，则a 的值为________．[解析] 由于圆和直线的直角坐标方程分别为x 2＋y 2＝4y 和y ＝a ，它们相交于A ，B 两点，△AOB 为等边三角形，所以不妨取直线OB 的方程为y ＝3x ，联立⎩⎨⎧x 2＋y 2＝4y ，y ＝3x ，消去y ，得x 2＝3x ，解得x ＝3或x ＝0，所以y ＝3x ＝3，即a ＝3.[答案] 3[例5] 在极坐标系中，点M 坐标是(2，π3)，曲线C 的方程为ρ＝22sin(θ＋π4); 以极点为坐标原点，极轴为x 轴的正半轴建立平面直角坐标系，直线l 经过点M 和极点．(1)写出直线l 的极坐标方程和曲线C 的直角坐标方程； (2)直线l 和曲线C 相交于两点A 、B ，求线段AB 的长． [解] (1)∵直线l 过点M (2，π3)和极点，∴直线l 的直角坐标方程是θ＝π3(ρ∈R )．ρ＝22sin(θ＋π4)即ρ＝2(sin θ＋cos θ)，两边同乘以ρ得ρ2＝2(ρsin θ＋ρcos θ)， ∴曲线C 的直角坐标方程为x 2＋y 2－2x －2y ＝0. (2)点M 的直角坐标为(1，3)，直线l 过点M 和原点， ∴直线l 的直角坐标方程为y ＝3x .曲线C 的圆心坐标为(1,1)，半径r ＝2，圆心到直线l 的距离为d ＝3－12，∴|AB |＝3＋1.[对应学生用书P35] (时间：90分钟，总分120分)一、选择题(本大题共10小题，每小题5分，满分50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．点M 的极坐标为(1，π)，则它的直角坐标是( ) A ．(1,0) B ．(－1,0) C ．(0,1)D ．(0，－1)解析：x ＝1×cos π＝－1，y ＝1×sin π＝0， 即直角坐标是(－1,0)． 答案：B2．已知曲线C 的极坐标方程ρ＝2cos 2θ，给定两点P (0，π2)，Q (2，π)，则有( )A ．P 在曲线C 上，Q 不在曲线C 上B ．P 、Q 都不在曲线C 上C ．P 不在曲线C 上，Q 在曲线C 上D ．P 、Q 都在曲线C 上解析：当θ＝π2时，ρ＝2cos π＝－2≠0，故点P 不在曲线上；当θ＝π时，ρ＝2cos 2π＝2，故点Q 在曲线上．答案：C3．点P 的柱坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫16，π3，5，则其直角坐标为( ) A.()5，8，83 B.()8，83，5 C.()83，8，5D.()4，83，5解析：∵ρ＝16，θ＝π3，z ＝5，∴x ＝ρcos θ＝8，y ＝ρsin θ＝83，z ＝5， ∴点P 的直角坐标是(8,83，5)． 答案：B4．在同一坐标系中，将曲线y ＝2sin 3x 变为曲线y ＝sin x 的伸缩变换是( )A.⎩⎪⎨⎪⎧x ＝3x ′y ＝12y ′B.⎩⎪⎨⎪⎧x ′＝3x y ′＝12yC.⎩⎪⎨⎪⎧x ＝3x ′y ＝2y ′D.⎩⎪⎨⎪⎧x ′＝3x y ′＝2y解析：将⎩⎪⎨⎪⎧x ′＝λxy ′＝μy 代入y ＝sin x ，得μy ＝sin λx ，即y ＝1μsin λx ，与y ＝2sin 3x 比较，得μ＝12，λ＝3，即变换公式为⎩⎪⎨⎪⎧x ′＝3x ，y ′＝12y .答案：B5．曲线ρ＝5与θ＝π4的交点的极坐标写法可以有( )A ．1个B ．2个C ．4个D ．无数个解析：由极坐标的定义易知有无数个． 答案：D6．在极坐标系中，过点A (6，π)作圆ρ＝－4cos θ的切线，则切线长为( )A ．2B ．6C ．2 3D ．215解析：圆ρ＝－4cos θ化为(x ＋2)2＋y 2＝4，点(6，π)化为(－6,0)，所以切线长＝42－22＝12＝2 3. 答案：C7．极坐标方程ρ＝cos θ与ρcos θ＝12的图形是( )解析：把ρcos θ＝12化为直角坐标方程，得x ＝12，把ρ＝cos θ代为直角坐标方程，得x 2＋y 2－x ＝0，即其圆心为⎝ ⎛⎭⎪⎫12，0，半径为12，故选项B 正确．答案：B8．极坐标方程θ＝π3，θ＝23π(ρ＞0)和ρ＝4所表示的曲线围成的图形面积是( )A.163π B.83π C.43π D.23π 解析：三条曲线围成一个扇形， 半径为4，圆心角为2π3－π3＝π3.∴扇形面积为：12×4×π3×4＝8π3.答案：B9．在极坐标系中，曲线ρ＝4sin(θ－π3)关于( )A ．线θ＝π3轴对称B ．线θ＝5π6轴对称C ．(2，π3)中心对称D ．极点中心对称解析：ρ＝4sin(θ－π3)可化为ρ＝4cos(θ－5π6)，可知此曲线是以(2，5π6)为圆心的圆，故圆关于θ＝5π6对称．答案：B10．在极坐标系中有如下三个结论：①点P 在曲线C 上，则点P 的极坐标满足曲线C 的极坐标方程；②tan θ＝1与θ＝π4表示同一条曲线；③ρ＝3与ρ＝－3表示同一条曲线．在这三个结论中正确的是( )A ．①③B ．①C ．②③D ．③解析：在直角坐标系内，曲线上每一点的坐标一定适合它的方程，但在极坐标系内，曲线上所有点的坐标不一定适合方程，故①是错误的；tan θ＝1不仅表示θ＝π4这条射线，还表示θ＝5π4这条射线，故②亦不对；ρ＝3与ρ＝－3差别仅在于方向不同，但都表示一个半径为3的圆，故③正确．答案：D二、填空题(本大题共4个小题，每小题5分，满分20分．把答案填写在题中的横线上)11．(天津高考)已知圆的极坐标方程为ρ＝4cos θ，圆心为C ，点P 的极坐标为⎝⎛⎭⎪⎫4，π3，则|CP |＝________.解析：由圆的极坐标方程为ρ＝4cos θ，得圆心C 的直角坐标为(2,0)，点P 的直角坐标为(2,23)，所以|CP |＝2 3.答案：2 312．点A 的直角坐标为⎝⎛⎭⎪⎫332，92，3，则它的球坐标为________．解析：r ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫3322＋⎝ ⎛⎭⎪⎫922＋32＝6. cos φ＝36＝12，∴φ＝π3.tan θ＝92332＝3，∴θ＝π3.∴它的球坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫6，π3，π3.答案：⎝⎛⎭⎪⎫6，π3，π313．在极坐标系中，点A ⎝⎛⎭⎪⎫2，π2关于直线l ：ρcos θ＝1的对称点的一个极坐标为________．解析：由直线l 的方程可知直线l 过点(1,0)且与极轴垂直，设A ′是点A 关于l 的对称点，则四边OBA ′A 是正方形，∠BOA ′＝π4，且OA ′＝22，故A ′的极坐标可以是⎝⎛⎭⎪⎫22，π4. 答案：⎝⎛⎭⎪⎫22，π414．从极点作圆ρ＝2a cos θ的弦，则各条弦中点的轨迹方程为________．解析：数形结合，易知所求轨迹是以⎝ ⎛⎭⎪⎫a 2，0为圆心，a2为半径的圆，求得方程是ρ＝a cosθ⎝⎛⎭⎪⎫－π2≤θ≤π2.答案：ρ＝a cos θ⎝ ⎛⎭⎪⎫－π2≤θ≤π2三、解答题(本大题共4个小题，满分50分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)15．(本小题满分12分)(辽宁高考改编)将圆x 2＋y 2＝1上每一点的横坐标保持不变，纵坐标变为原来的2倍，得曲线C .设直线l ：2x ＋y －2＝0与C 的交点为P 1，P 2，以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，求过线段P 1P 2的中点且与l 垂直的直线的极坐标方程．解：设(x 1，y 1)为圆上的点，在已知变换下变为C 上点(x ，y )，依题意，得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝x 1，y ＝2y 1.由x 21＋y 21＝1得x 2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫y 22＝1，即曲线C 的方程为x 2＋y 24＝1.由⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋y 24＝1，2x ＋y －2＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1，y ＝0或⎩⎪⎨⎪⎧x ＝0，y ＝2.不妨设P 1(1,0)，P 2(0,2)，则线段P 1P 2的中点坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫12，1，所求直线斜率为k ＝12，于是所求直线方程为y －1＝12⎝ ⎛⎭⎪⎫x －12，化为极坐标方程，并整理得2ρcos θ－4ρsin θ＝－3， 即ρ＝34sin θ－2cos θ.16．(本小题满分12分)极坐标方程ρ＝－2cos θ与ρcos(θ＋π3)＝1表示的两个图形的位置关系是什么？解：ρ＝－2cos θ可变为ρ2＝－2ρcos θ， 化为普通方程为x 2＋y 2＝－2x 即(x ＋1)2＋y 2＝1它表示圆， 圆心为(－1,0)，半径为1.将ρcos(θ＋π3)＝1化为普通方程为x －3y －2＝0.∵圆心(－1,0)到直线的距离为|－1－2|1＋3＝32＞1∴直线与圆相离．17．(本小题满分12分)把下列极坐标方程化为直角坐标方程并说明表示什么曲线． (1)ρ＝2a cos θ(a ＞0)； (2)ρ＝9(sin θ＋cos θ)； (3)ρ＝4；(4)2ρcos θ－3ρsin θ＝5.解：(1)ρ＝2a cos θ，两边同时乘以ρ，得ρ2＝2aρcos θ，即x 2＋y 2＝2ax .整理得x 2＋y 2－2ax ＝0，即(x －a )2＋y 2＝a 2.是以(a,0)为圆心，a 为半径的圆．(2)两边同时乘以ρ得ρ2＝9ρ(sin θ＋cos θ)，即x 2＋y 2＝9x ＋9y ，又可化为(x －92)2＋(y －92)2＝812， 是以(92，92)为圆心，922为半径的圆． (3)将ρ＝4两边平方得ρ2＝16，即x 2＋y 2＝16.是以原点为圆心，4为半径的圆．(4)2ρcos θ－3ρsin θ＝5，即2x －3y ＝5，是一条直线．18．(本小题满分14分)在直角坐标系xOy 中，以O 为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系．曲线C 的极坐标方程为ρcos ⎝⎛⎭⎪⎫θ－π3＝1，M ，N 分别为曲线C 与x 轴，y 轴的交点．(1)写出曲线C 的直角坐标方程，并求M ，N 的极坐标；(2)设MN 的中点为P ，求直线OP 的极坐标方程．解：(1)由ρcos ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ－π3＝1，得ρ⎝ ⎛⎭⎪⎫12cos θ＋32sin θ＝1. 从而C 的直角坐标方程为12x ＋32y ＝1， 即x ＋3y ＝2.当θ＝0时，ρ＝2，得M (2,0)；当θ＝π2时，ρ＝233，得N ⎝ ⎛⎭⎪⎫233，π2. (2)M 点的直角坐标为(2,0)， N 点的直角坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫0，233. 所以P 点的直角坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫1，33，则P 点的极坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫233，π6. 所以直线OP 的极坐标方程为θ＝π6，ρ∈R .。