矩阵可对角化的条件

0 0
解之得基础解系 3
1 2.
2x2 2x3 0
2
第三步 将特征向量正交化
由于1,2 ,3是属于A的3个不同特征值1,2 ,
3的特征向量,故它们必两两正交.
第四步 将特征向量单位化
令
i
i i
,
i 1,2,3.
得
2 3
1 2 3,
2
2 3 1 3,
1 3
2 3
1 3
1 2
1 1
r
1 0
0 1 1 1,
1 1 2 0 0 0
1
得基础解系 1 1,
将 1单位化得
1
1
p1
1 3
1. 1
对应 2 3 1, 解方程(A-E) x=0,由
1 1 1
1 1 1
A E 1 1 1 r 0 0 0,
1 1 1
0 0 0
i 1
i 1
即 , 由此可得是实数.
定理5的意义
由于对称矩阵A的特征值 i为实数, 所以齐次
线性方程组
(A i E)x 0 是实系数方程组, 由 A i E 0知必有实的基础
解系, 从而对应的特征向量可以取实向量.
定理6 设1, 2 是对称矩阵A的两个特征值, p1, p2是对应的特征向量,若1 2 ,则p1与p2正交. 证明 1 p1 Ap1, 2 p2 Ap2 , 1 2 ,
解由
1 1 1 1 0 A E 1 1 r1 r2 1 1
1 1
1 1
c1 c2 1
00
1 1 1
1
2
(1 )(2 2) ( 1)2( 2)
求得A的特征值为 1 2,2 3 1.
对应 λ12解方程(A+2E) x=0,由
2 A 2E 1
(5 )(2 20) (5 )( 5)( 4)
所以矩阵A 的特征值为5（二重），-4，于是 y = 5 求出属于特征值1＝2＝5的特征向量为
1
1 0
1
1
2 4
1
属于3＝－4的特征向量为
2
3
1 3
1 2
取
1 2 1 2 3 32
P
1 ,2
1
3
0
2
3 ( 1)3 2
所以 1是A的三重特征值，但
3 1 2 A E 5 2 3
1 0 1
0 1 1 1 0 1 0 2 2 0 1 1 1 0 1 0 0 0
可见R（A E） 2，从而 1对应的线性无关
的特征向量只有3-2=1个，故A不能相似于对角 矩阵.
得基础解系
1
2 1,
0
1
3 0.
1
将2，3正交化：取2 2，
3
3
2 ,3
2 2
2
1 0 1
1 2
1 1 0
1 2
1 1. 2
在将2 ,3单位化,得
1
1
1
1
p2
2
0, p3 1
6
1 2
.
将p1, p2 , p3构成正交矩阵
1 3
1 2
( P1 , P2 , P3 )1
3
19. 解
设
P3
x1 x2
是
对
应
于3＝0的
特
征
向
量
，
x3
则P1 , P2 , P3两两正交，得
2x1x12
x2 x2
2x3 2x3
0 0
2
求出上方程组的基础解系，得
P3
2
1
令P p1
p2
p3
,
有P
1
AP
1
1
则
0
1
A P 1 P 1
1 4 1
0 x 4 0 9( x 4)，故x 4,则
0 18 9
1 2 4 1 2
4
A E 2 4 2 2 4 2
4 2 1 0 2(5 ) 5
4 2
2
4
(1 )
2
2(5 ) 5 2(5 ) 5
(1 )(5 )(4 4) 2(5 )(10)
17.解：
因为矩阵A和相似，所以它们的特征值相同，有
5 0
0
E 0 4 0
0
0 y
（5 ）（y ）(4 )
则矩阵的特征值为5，y， 4，
所以矩阵A的特征值也是5，y， 4.
于是
5 2 4 1 4 1
． 0 A 4E 2 x 4 2 2 x 4 2 4 2 5 4 2 5
则 A x A x Ax x x.
于是有 xT Ax xT Ax xTx xT x
及 xT Ax xT AT x AxT x xT x xT x.
两式相减，得
xT x 0.
但因为 x 0,
n
n
所以 xT x xi xi xi 2 0, 0,
An=PnP-1= 1 1 21
1 1 1 0
0 1
3n
1
1 1
1 2
Leabharlann Baidu
1 1
3n 3n
1 1
3n 3n
.
例(练习5:16(1)) 对下列各实对称矩阵，分别求 出正交矩阵P，使 P-1AP 为对角阵.
2 2 0 (1)A 2 1 2,
0 2 0
4 0 0 (2) A 0 3 1
P
1
,2
,3
1
0 2
1 0 0 1 2
1 2 0 1 2
则
P 1 AP
2 0
0 4
0 0.
0 0 4
三、小结
1. 对称矩阵的性质： (1)特征值为实数； (2)属于不同特征值的特征向量正交； (3)特征值的重数和与之对应的线性无关的
特征向量的个数相等； (4)必存在正交矩阵，将其化为对角矩阵，
所以A3 5A2 7A 6 3 18
13.证明：因为矩阵A可逆，于是有 A1( AB)A A1 ABA BA,则AB与BA相似.
15.解： 由AP P,得
2 1 2 ，5 a 3 ,1 b 2
解之得 1，a 3, b 0
可求得
2 A E 5
1
第五章习题选讲
8.证明：
设为 矩 阵A的 任 一 特 征 值 ， 则 存 在非 零 向 量， 使得A ，所以 （A2 3A 2E） A2 3A 2
A() 3 2
A 3 2
2 3 2 (2 3 2)
又知A2 3A 2E 0,则（A2 3A 2E） 0
0 0
解之得基础解系 1
2 2.
2x2 4x3 0
1
对 2 1,由A E x 0,得
2
x1 x1
2 x2 2 x3
0 0
2x2 x3 0
解之得基础解系
2
2 1.
2
对 3 2,由A 2E x 0,得
4 x1 2 x1
2 x2 3 x2
2 x3
二、利用正交矩阵将对称矩阵对角化 的方法
根据上述结论，利用正交矩阵将对称矩阵化 为对角矩阵，其具体步骤为：
1. 求A的特征值;
2. 由A i Ex 0,求出A的特征向量;
3. 将特征向量正交化;
4. 将特征向量单位化.
例12 设
0 A 1
1 0
1 1
1 1 0
求一个正交阵P, 使P-1AP=为对角阵.
0
20. 解
设
x1 x2 x3
A x2 x4 x5
11.解：
对于n阶矩阵P，1，n是P的n个特征值 则有 P （ 1）21 2 3 6. 而 A3 5A2 7A A A2 5A 7E
由于A的特征值为1，2，3，所以
A2 5A 7E的特征值分别为
12 51 7 3，22 5 2 7 1，32 5 3 7 1
于是 A2 5A 7E (1)2 311 3
0 1 3
解 (1)第一步:求A的特征值
2 2 0
A E 2 1 2 4 1 2 0
0 2
得 1 4, 2 1, 3 2.
第二步 由A i E x 0,求出A的特征向量
对 1 4,由A 4E x 0,得
2 x1 2 x1
2 x2 3 x2
2
x3
1 2
得A的特征值1=1, 2=3.于是
1
0
0 , n 1
3
0
0
3n
.
1
对应1=1,由A-E=
1
1 r 1
1 0
1 , 0
得1
1 ; 1
对应2=3,由A-3E=
1 1
1 r 1
1 0
1 0
,得
2
1; 1
并有P=(1
,2
)
1 1
1,再求出P-1= 1
1 2
1 1
11.于是
A对称, A AT ,
1 p1T 1 p1 T Ap1 T p1T AT p1T A,
于是
1 p1T p2 p1T Ap2 p1T 2 p2 2 p1T p2 , 1 2 p1T p2 0.
1 2 , p1T p2 0. 即p1与p2正交.
定理7 设A为n阶对称矩阵,则必有正交矩阵P,使
1 1
1
对 2 3 4,由 A 4E x 0,得基础解系
1
2 0,
0
0
3 1.
1
2与3恰好正交 ,
所以 1, 2 , 3两两正交.
再将 1, 2 , 3单位化,令i
i i
i
1,2,3得
0
1 1 2 ,
1 2
1
2 0,
0
0
3 1 2.
1 2
于是得正交阵
PAP1 Er 0 ,
0 0
其中Er是r阶单位阵.
从而 det(2E A) det(2PP1 PP1)
det(2E ) det Er 0
2nr .
0 2 Enr
四、练习5:
16.(2)(见例题). 17.(A与Λ 有相同的特征值，
A的特征值为5, y, 4), 18.(AP=PΛ, P=(p1, p2, p3)), 19.(利用P的正交性求p3, 由AP=PΛ求A), 20.(方法同19)， 24(参考例13).
一个n阶矩阵具备什么条件才能对 角化?这是一个较复杂的问题.我们仅 讨论实对称阵的情形.
一、对称矩阵的性质
说明：本节所提到的对称矩阵，除非特别说 明，均指实对称矩阵．
定理5 对称矩阵的特征值为实数.
证明 设复数为对称矩阵A的特征值 ,复向量x为
对应的特征向量,即
Ax x , x 0.
用 表示的共轭复数, x表示x的共轭复向量 ,
故（2 3 2） 0，于是2 3 2 0 即有（ 1）（ 2） 0，得 1或 2， 所以矩阵A的特征值只能为1或2. 9.证明：
因为A为正交阵，所以AT A E 故 A E A AAT A(E AT ) A E AT
( A E)T A E 则有 A E 0,于是 1是A的一个特征值
,3
0
1 2
1
3 2
3
4 32 1
32
则
有AP＝P
5 0
0 4
0 0
,即
0 0 5
P 1 AP , 且P为正交阵
18. 解：
根据特征向量的性质知 (P1, P2 , P3 )可逆，得
( P1
,
P2
,
P3
)1
A(P1 ,
P2
,
P3
)
1
2
3
可得
1 A (P1 , P2 , P3 ) 2
3 2 3.
2 3
2 2 1
作
P
1 ,
2
,
3
1
3
2 1
1 2
2, 2
4 0 0
则
P 1 AP
0
1
0.
0 0 2
4 0 0 (2) A 0 3 1
0 1 3
4 0 A E 0 3
0
1 2 4 2,
0 1 3
得特征值 1 2, 2 3 4.
0
对 1 2,由A 2E x 0,得基础解系
P 1AP ,其中 是以 A的 n 个特征值为对角元
素的对角矩阵.
这个定理不予证明.
推论 设 A为 n阶对称矩阵, 是A的特征方程的k 重根,则矩阵 A E 的秩 R( A E) n k,从而 对应特征值 恰有k 个线性无关的特征向量.
证 按定理7知对称阵A与对角阵 (1,,n )相似, 从而A-E与-E=diag( 1,… n)相似.当是 A的k重根时,1,… n 这n个特征值中有k个等于, 有nk个不等于,从而对角阵E 的对角元恰有k 个等于0,于是R(E)=nk.而R(AE)= R(E), 所以R(AE)=nk.证毕.
且对角矩阵对角元素即为特征值． 2. 利用正交矩阵将对称阵化为对角阵的步骤：
(1)求特征值；(2)找特征向量；(3)将特征向 量正交化；(4)最后单位化．
思考题
设n阶实对称矩阵A满足A2 A,且A的秩为r,
试求行列式det2E A的值.
思考题解答
解 由A2 A可得A的特征值为1或0,又A是实对称 阵, 且秩为r , 故存在可逆阵P , 使得
1 6
P
(
p1 ,
p2 ,
p3
)
1 3
1 1 , 2 6
1 3
0
2 6
2 0 0
有
P 1 AP
PT
AP
0
1
0.
0 0 1
例13 设 A 2 1,求An . 1 2
解 因A对称,故A可对角化,即有可逆矩阵A及对
角阵,使P-1AP=.于是An= PnP-1.由
2 A E
1 2 4 3 ( 1)( 3).